Đạo hàm - vi phân 1 ppsx

1
C2. ĐẠO HÀM – VI PHÂN
1. ĐẠO HÀM HÀM SỐ MỘT BIẾN
Định nghĩa: Cho hàm số f(x) xác định trong (a,b) và x
0
 (a,b). Nếu tồn tại
0
0
xx
xx
)
x
(
f
)
x
(
f
lim
0



thì giới hạn đó được gọi là đạo hàm của hàm số f(x) tại
x
0
. Ký hiệu f’(x
0
), y’(x
0
)

Đặt x = x – x
0
, ta có x = x
0
+ x và
đặt y = f(x
0
+ x) – f(x
0
) thì
x
y
lim'y
0
x





Ký hiệu dy/dx, df/dx
Simpo PDF Merge and Split Unregistered Version -
2
C2. ĐẠO HÀM – VI PHÂN
- Đạo hàm bên phải:
- Đạo hàm bên trái:
x
y
lim'y
0

x






x
y
lim'y
0
x






- Hàm số f(x) có đạo hàm trên khoảng (a,b) nếu nó có
đạo hàm tại mọi điểm trong khoảng đó,
- f(x) có đạo hàm trên đoạn [a,b] nếu nó có đạo hàm
tại mọi điểm trong khoảng (a,b), có đạo hàm phải tại a
và đạo hàm trái tại b
Ví dụ: Tìm đạo hàm của y = x
2
, y = sinx
Simpo PDF Merge and Split Unregistered Version -
3
C2. ĐẠO HÀM – VI PHÂN
Đạo hàm của tổng thương tích của hai hàm số:

Nếu các hàm số u, v có đạo hàm tại x thì:
• u + v cũng có đạo hàm tại x và (u + v)’ = u’ + v’
• u.v cũng có đạo hàm tại x và (u.v)’ = u’v + v’u
• u/v cũng có đạo hàm tại x\V(x)0 và
2
'
v
u'vv'u
v
u 







Đạo hàm của hàm số hợp:
Nếu hàm số u = u(x) có đạo hàm theo x, hàm y = f(u)
có đạo hàm tương ứng u = u(x) thì hàm số hợp f(u) có
đạo hàm theo x và y’(x) = y’(u).u’(x).
Simpo PDF Merge and Split Unregistered Version -
4
C2. ĐẠO HÀM – VI PHÂN
Đạo hàm của hàm số ngược:
Nếu hàm số y = f(x) có đạo hàm tại x, f’(x) ≠ 0 và
có hàm số ngược x = f
-1
(y) thì hàm số x = f
-1

(y) có đạo
hàm tại y = f(x):
)]y(f['f
1
)x('f
1
)y()'f(
1
1



Ví dụ, tìm đạo hàm của y = arcsinx
Simpo PDF Merge and Split Unregistered Version -
5
C2. ĐẠO HÀM – VI PHÂN
Đạo hàm các hàm số sơ cấp cơ bản:
(c)’ = 0
(x

)’ = x
-1
(a
x
)’ = a
x
lna
(e
x
)’ = e

x
a
ln
x
1
)'x(log
a

x
1
)'x(ln 
(sinx)’ = cosx
(cosx)’ = -sinx
x
cos
1
)'tgx(
2

x
sin
1
)'gx(cot
2

2
x
1
1
)'x(arcsin



2
x
1
1
)'x(arccos


2
x
1
1
)'arctgx(


2
x
1
1
)'gxcotarc(


Simpo PDF Merge and Split Unregistered Version -
6
C2. ĐẠO HÀM – VI PHÂN
Đạo hàm cấp cao :
Nếu hàm số y = f(x) có đạo hàm thì y’ = f’(x) gọi là
đạo hàm cấp 1. Đạo hàm, nếu có, của đạo hàm cấp 1
gọi là đạo hàm cấp 2. Ký hiệu: y’’(x), f’’(x)

2
2
2
2
dx
fd
,
dx
yd
Tương tự, đạo hàm của đạo hàm cấp (n-1) là
đạo hàm cấp n. Ký hiệu: f
(n)
(x), y
(n)
(x).
n
n
n
n
dx
fd
,
dx
yd
Simpo PDF Merge and Split Unregistered Version -
7
C2. ĐẠO HÀM – VI PHÂN
Công thức Leibniz:
Giả sử hàm số u, v có đạo hàm liên tiếp đến n. Khi đó
ta có:

(u + v)
(n)
= u
(n)
+ v
(n)




n
0
k
k)kn(k
n
)n(
v.uC)uv(
trong đó u
(0)
= u, v
(0)
= v
Ví dụ: Cho y = x

(  R, x > 0), y = ke
x
, tìm y
(n)
Simpo PDF Merge and Split Unregistered Version -
8

C2. ĐẠO HÀM – VI PHÂN
2. VI PHÂN
Định nghĩa: Cho hàm số y = f(x) khả vi, ta ký hiệu dy
= y’dx (df = f’dx) được gọi là vi phân cấp 1 của hàm
số f.
Vi phân của tổng, tích, thương:
d(u + v) = du + dv
d(u.v) = vdu + udv
2
v
udvvdu
v
u
d








Simpo PDF Merge and Split Unregistered Version -
9
C2. ĐẠO HÀM – VI PHÂN
Định nghĩa: Cho hàm số y = f(x) và f(
n-1)
khả vi, ta ký
hiệu d
(n)

y = y
(n)
dx
n
(d
(n)
f = f
(n)
dx) được gọi là vi phân
cấp n của hàm số f.
Simpo PDF Merge and Split Unregistered Version -
10
C2. ĐẠO HÀM – VI PHÂN
3. CÁC ĐỊNH LÝ VỀ ĐẠO HÀM
Định lý Rolle: Nếu f là hàm số liên tục trên [a,b], khả vi
trong (a,b) và f(a) = f(b) thì tồn tại c  (a,b) sao cho f’(c)
= 0.
Định lý Lagrange: Nếu f là hàm số liên tục trên [a,b],
khả vi trong (a,b) thì tồn tại c  (a,b) sao cho
)c('f
a
b
)
a
(
f
)
b
(
f




Nhận xét: Định lý Rolle là một trường hợp đặc biệt của
định lý Lagrange trong trường hợp f(b) = f(a).
Simpo PDF Merge and Split Unregistered Version -
11
C2. ĐẠO HÀM – VI PHÂN
Định lý Cauchy: Nếu f , g cùng liên tục trên [a,b], khả
vi trong khoảng (a,b) và g’(x) ≠ 0, x  (a,b) thì tồn tại
c  (a,b) sao cho
)c('g
)
c
(
'
f
)a(g)b(g
)
a
(
f
)
b
(
f



Nhận xét: Định lý Lagrange là một trường hợp đặc

biệt của định lý Cauchy trong trường hợp g(x) = x.
Simpo PDF Merge and Split Unregistered Version -
12
C2. ĐẠO HÀM – VI PHÂN
Định lý Taylor: Nếu hàm số f khả vi đến cấp (n+1)
trong lân cận D của x
0
thì x  D, x ≠ x
0
thì tồn tại c
nằm giữa x và x
0
sao cho:
1n
0
)1n(
n
0
0
)n(
2
0
0
0
0
0
)xx(
)!1n(
)c(f
)xx(

!n
)x(f


)xx(
!2
)
x
(
"
f
)xx(
!1
)
x
(
'
f
)x(f)x(f






1
n
0
)
1

n
(
n
)xx(
)!1n(
)c(f
)x(
R





Số hạng cuối cùng được gọi là phần dư Lagrang
Simpo PDF Merge and Split Unregistered Version -
13
C2. ĐẠO HÀM – VI PHÂN
• Đa thức Taylor:



n
0
k
k
0
0
k
n
)xx(

!k
)x(f
)x(
P
Khi x
0
=0 thì công thức Taylor trở thành công thức
Maclaurin
1
n
)
1
n
(
n
)
n
(
2
x
)!1n(
)c(f
x
!n
)0(f
x
!2
)0("f
x
!1

)0('f
)0(f)x(f




Simpo PDF Merge and Split Unregistered Version -
14
C2. ĐẠO HÀM – VI PHÂN
L’Hospital khử dựng vô định khi tìm giới hạn
Định lý: Giả sử f, g khả vi trong (a,b), g’(x) ≠ 0 với mọi x
 (a,b)
0
)
x
(
g
lim
)
x
(
f
lim
a
x
a
x





L
)x('g
)
x
(
'
f
lim
)x('g
)
x
(
'
f
lim
axax


Nhận xét: Qui tắc L’Hospital vẫn đúng nếu:
0
)
x
(
g
lim
)
x
(
f

lim
x
x











)
x
(
g
lim
)
x
(
f
lim
a
x
a
x








)
x
(
g
lim
)
x
(
f
lim
x
x
• Qui tắc L’Hospital có thể áp dụng nhiều lần.
Simpo PDF Merge and Split Unregistered Version -
15
C2. ĐẠO HÀM – VI PHÂN
Ví dụ: Tìm các giới hạn sau (dạng 0/0)
3
x
4
x
27x
lim
2
3

3x




x
sin
x
x
tgx
lim
0
x



3
0x
x
x
sin
x
lim


x
1
arctgx
2
lim

x



Ví dụ: Tìm giới hạn sau (dạng /)
gxcot
x
ln
lim
0x 
n
x
x
x
ln
lim

x
n
x
e
x
lim

1. Dạng 0/0, /
Simpo PDF Merge and Split Unregistered Version -