Nhắc lại giới hạn, đạo hàm, vi phân

Trần Só Tùng Tích phân
Trang 1
Nhắc lại Giới hạn – Đạo hàm – Vi phân
1. Các giới hạn đặc biệt:
a)
®
=
x0
sinx
lim1
x

Hệ quả:
®
=
x0
x
lim1
sinx

®
=
u(x)0
sinu(x)
lim1
u(x)

®
=
u(x)0
u(x)

lim1
sinu(x)

b)
x
x
1
lim1e,xR
x
®¥
ỉư
+=Ỵ
ç÷
èø

Hệ quả:
1
x
x0
lim(1x)e.
®
+=

x0
ln(1x)
lim1
x
®
+
=

x
x0
e1
lim1
x
®
-
=

2. Bảng đạo hàm các hàm số sơ cấp cơ bản và các hệ quả:
(c)’ = 0 (c là hằng số)
1
(x)'x
aa-
=a
1
(u)'uu'
aa-
=a
2
11
'
xx
ỉư
=-
ç÷
èø

2

1u'
'
uu
ỉư
=-
ç÷
èø

( )
1
x'
2x
=

( )
u'
u'
2u
=

xx
(e)'e=
uu
(e)'u'.e=
xx
(a)'a.lna=
uu
(a)'a.lna.u'=
1
(lnx)'

x
=
u'
(lnu)'
u
=
a
1
(logx')
x.lna
=
a
u'
(logu)'
u.lna
=
(sinx)’ = cosx (sinu)’ = u’.cosu
2
2
1
(tgx)'1tgx
cosx
==+
2
2
u'
(tgu)'(1tgu).u'
cosu
==+
2

2
1
(cotgx)'(1cotgx)
sinx
-
==-+
2
2
u'
(cotgu)'(1cotgu).u'
sinu
-
==-+
3. Vi phân:
Cho hàm số y = f(x) xác đònh trên khoảng (a ; b) và có đạo hàm tại x(a;b)Ỵ . Cho số
gia Dx tại x sao cho xx(a;b)+DỴ . Ta gọi tích y’.Dx (hoặc f’(x).Dx) là vi phân của
hàm số y = f(x) tại x, ký hiệu là dy (hoặc df(x)).
dy = y’.Dx (hoặc df(x) = f’(x).Dx
Áp dụng đònh nghóa trên vào hàm số y = x, thì
dx = (x)’Dx = 1.Dx = Dx
Vì vậy ta có: dy = y’dx (hoặc df(x) = f’(x)dx)