CẤU TRÚC ĐỀ THI ĐẠI HỌC doc

TRUNG TÂM ĐÀO TẠO VÀ LUYỆN THI ĐẠI HỌC
SỐ 1 VIỆT NAM TRƯỜNG TRUNG HỌC PHỔ
THÔNG YÊN PHONG II
Địa chỉ :Yên Trung – Yên Phong - Bắc Ninh
ÔN THI ĐẠI HỌC MÔN TOÁN CẤP TỐC
THEO CHỦ ĐỀ
I. PHẦN BẮT BUỘC (7 điểm):
Câu 1 (2 điểm):
- Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số.
- Các bài toán liên quan đến ứng dụng của đạo hàm và đồ
thị của hàm số: Chiều biến thiên của hàm số; cực trị; giá trị
lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số; tiếp tuyến, tiệm cận (đứng
và ngang) của đồ thị hàm số; tìm trên đồ thị những điểm có
tính chất cho trước; tương giao giữa hai đồ thị (một trong
hai đồ thị là đường thẳng)…
Câu 2 (2 điểm):
- Phương trình, bất phưong trình; hệ phương trình đại số
- Công thức lượng giác, phương trình lượng giác
Câu 3 (1 điểm):
- Tìm giới hạn
- Tìm nguyên hàm, tính tích phân.
- Ứng dụng của tích phân: Tính diện tích hình phẳng, thể
tích khối tròn xoay
Câu 4 (1 điểm):
- Hình học không gian (tổng hợp): Quan hệ song song,
quan hệ vuông góc của đường thẳng, mặt phẳng; diện tích
xung quanh của hình nón tròn xoay, hình trụ tròn xoay; thể
tích của khối lăng trụ, khối chóp, khối nón tròn xoay, khối
trụ tròn xoay; diện tích mặt cầu và thể tích khối cầu.
Câu 5 (1 điểm):
- Bài toán tổng hợp

II. PHẦN TỰ CHỌN (3 điểm)
Thí sinh chỉ được làm một trong hai phần (phần 1 hoặc
phần 2)
1. Theo chương trình Chuẩn:
Câu 6.a (2 điểm):
- Phương pháp toạ độ trong mặt phẳng và trong không
gian:
+ Xác định toạ độ của điểm, vectơ
+ Đường tròn, elip, mặt cầu.
+ Viết phương trình mặt phẳng, đường thẳng
+ Tính góc; tính khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng;
vị trí tương đối của đường thẳng, mặt phẳng và mặt cầu.
Câu 6.a (1 điểm):
- Số phức
- Tổ hợp, xác suất, thống kê.
- Bất đẳng thức; cực trị của biểu thức đại số
2. Theo chương trình Nâng cao:
Câu 5.b (2 điểm):
- Phương pháp toạ độ trong mặt phẳng và trong không
gian:
+ Xác định toạ độ của điểm, vectơ
+ Đường tròn, ba đường cônic, mặt cầu.
+ Viết phương trình mặt phẳng, đường thẳng
+ Tính góc; tính khoảng cách từ điểm đến đường
thẳng, mặt phẳng; khoảng cách giữa hai đường thẳng; vị trí
tương đối của đường thẳng, mặt phẳng và mặt cầu.
Câu 6.b (1 điểm):
- Số phức
- Đồ thị của hàm phân thức hữu tỷ dạng y = và một số yếu
tố liên quan.

- Sự tiếp xúc của hai đường cong
- Hệ phương trình mũ và lôgarit
- Tổ hợp, xác suất, thống kê.
- Bất đẳng thức; cực trị của biểu thức đại số
Phần thứ nhất:
NHỮNG KIẾN THỨC CẦN NHỚ THEO CÁC CHUYÊN
ĐỀ

1. KHẢO SÁT HÀM SỐ VÀ CÁC BÀI TOÁN LIÊN QUAN
1. Biện luận số giao điểm của 2 đường (C): y = f(x) và (C’): y =
g(x)
Số giao điểm của hai đường (C
1
) y= f(x) và (C
2
) y=g(x) là
số nghiệm của phương trình hoành độ giao điểm của (C
1
),
(C
2
): f(x) = g(x) (1)
2. Sự tiếp xúc của hai đường cong:
Hai đường cong (C
1
), (C
2
) tiếp xúc với nhau khi chỉ khi hệ
sau có nghiệm:
( ) ( )

'( ) '( )
f x g x
f x g x
=


=

Viết PTTT của đồ thị (C) hàm số y =f(x)
Bài toán 1: Viết phương trình tiếp tuyến của (C): y = f(x) tại
M
0
(x
0
;y
0
) ∈ (C).
Tìm các thành phần chưa có x
0
, y
0
, f’(x
0
) thay vào y –
y
0
= f’(x
0
)
( )

0
x x−

Bài toán 2: Viết pttt của (C): y = f(x) biết hệ số góc k của
tiếp tuyến.
(hay: biết tiếp tuyến song song, vuông góc với 1 đường thẳng
(D) )
- Lập phương trình f’(x) = k ⇒ ⇒ x = x
0
( hoành
độ tiếp điểm)
- Tìm y
0
và thay vào dạng y = k(x – x
0
) + y
0
. ta
có kết quả
Bài toán 3: Viết pttt của (C): y = f(x) biết tiếp tuyến đi qua
hay xuất phát từ A(x
A
;y
A
)
- Viết pt đường thẳng (d) đi qua A và có hệ số góc k:
y – y
A
= k(x – x
A

) (1)
- (d) là tiếp tuyến của (C) khi chỉ khi hệ sau có
nghiệm:
A A
f (x) k(x x ) y
f '(x) k(*)
= − +


=

- Giải pt
( ) '( )( )
A A
f x f x x x y= − +
tìm x và thay vào (*) tìm
k , thay vào (1) ta có kết quả.
2. PHƯƠNG TRÌNH CHỨA CĂN
1) Dạng cơ bản:



=
≥
⇔=•



=
≥

⇔=•
BA
0B
BA
BA
0B
BA
2
2) Tổng quát:
- Phương pháp chung là bình phương, lập phương hai vế
của phương trình đã cho để khử dấu căn, sau khi đã đặt điều
kiện cho phương trình mới tương đương với hệ đã cho.
- Nếu phép bình phương, lập phương dẫn đến phương
trình bậc cao, phức tạp thì ta tìm cách biến đổi thành tích hoặc
dùng ẩn phụ.
BẤT PHƯƠNG TRÌNH CHỨA CĂN THỨC
Các kiến thức cần nhớ:
1) Dạng cơ bản:





≤
≥
≥
⇔≤•











≥
>



≥
≤
⇔≥•
2
2
BA
0A
0B
BA
BA
0B
0A
0B
BA
2) Tổng quát:
- Phương pháp chung là bình phương hai vế của bất
phương trình đã cho để khử dấu căn, đôi khi phải dùng ẩn số
phụ trước khi bình phương.

- Một số ít bài có thể dùng tính đơn điệu
- Lưu ý: Xét các trường hợp về dấu của hai vế có thể thỏa
mãn trước khi bình phương
3. HỆ PHƯƠNG TRÌNH
Hệ phương trình đối xứng
1) Hệ phương trình bậc nhất hai ẩn
2) Hệ phương trình đối xứng loại 1:
- Dạng:



=
=
0)y,x(g
0)y,x(f
trong đó f(x , y) và g(x , y) là biểu thức
đối xứng theo x và y
- Cách giải: Dùng ẩn phụ S = x + y, P = xy (điều kiện: S
2
-
4P
)0≥
- Chú ý: + Đôi khi phải sử dụng ẩn phụ trước khi tiến
hành đặt S, P
+ Do tính đối xứng nên nếu (x , y) là nghiệm thì
(y , x) cũng là nghiệm.
3) Hệ phương trình đối xứng loại 2:
- Dạng:




=
=
0)x,y(f
0)y,x(f
(hoán vị vai trò của x và y thì phương
trình này thành phương trình kia)
- Cách giải: + Trừ vế theo vế ta được một phương
trình có thể phân tích thành (x - y)g(x,y) = 0
+ Khi đó hệ phương trình đã tương đương với:
)II(
0)y,x(f
0)y,x(g
)I(
0)y,x(f
0yx



=
=
∨



=
=−
- Lưu ý: (II) tương đương với




=+
=
0)x,y(f)y,x(f
0)y,x(g
(Hệ đối xứng loại
1)
Hệ phương trình đẳng cấp
- Dạng:



=
=
0)y,x(g
0)y,x(f
trong đó f(x , y) và g(x , y) là biểu thức
đẳng cấp cùng bậc (tổng số mũ của x và y trong cùng một hạng
tử bằng nhau)
- Cách giải: + Giải hệ với x = 0 (hoặc y = 0)
+ Với x khác 0 (hoặc y khác 0), đặt y = tx (hoặc
x = tx)
Ta được hệ phương trình 2 ẩn x và t.
+ Khử x, ta được phương trình 1 ẩn t.
Hệ phương trình mũ, lôgarit
Phương pháp chung thường hay được sử dụng là: Biến
đổi với các tính chất tương ứng, sau đó dưa về hệ phương trình
đại số (có thể phải qua bước dùng ẩn phụ).
Để ý: Trong hai phương trình của một hệ thường có một
phương trình có thể giúp chúng ta rút được một ẩn theo ẩn kia

để thế vào phương trình còn lại.
Hệ phương trình khác
Dùng phương pháp biến đổi tương đương, đưa hệ
phương trình đã cho về hệ phương trình đơn giản hơn.
Thường ta dùng các phép biến đổi sau:
1) Nếu biểu thị một ẩn theo các ẩn còn lại thì dùng
phương pháp thế
2) Nếu biến được một phương trình của hệ thành tích thì
ta phân tích hệ thành nhiều hệ đơn giản hơn.
3) Nếu biến đổi hệ thành những biểu thức đồng dạng thì
đặt ẩn phụ.
4. LƯỢNG GIÁC
Các công thức biến đổi:
1) Hệ thức giữa các giá trị lượng giác của các cung góc có
liên quan đặc biệt:
* Cung đối nhau:
cos(-x) = cosx; sin(-x) = -sinx; tg(-x) = -
tgx; cotg(-x) = - cotgx
* Cung bù nhau:
cos(
π
- x) = - cosxsin(
π
- x) = sinxtg(
π
- x) = - tgx cotg(
π
- x) = -cotgx
* Cung phụ nhau:
cos(

x
2
π
−
) = sinx sin(
x
2
π
−
) = cosxtg(
x
2
π
−
) = cotgx
cotg(
x
2
π
−
) = tgx
* Cung hơn kém nhau
π
:
cos(
π
+ x) = - cosxsin(
π
+ x) = - sinx tg(
π

- x) = tgx cotg(
π
- x) = cotgx
2) Công thức cộng:
cos(a + b) = cosa cosb - sina sinb cos(a - b) =
cosa cosb + sina sinb
sin(a + b) = sina cosb + sinb cosa sin(a - b) = sina
cosb - sinb cosa
tg(a + b) =
tgatgb1
tgbtga
−
+
tg(a - b) =
tgatgb1
tgbtga
+
−
3) Công thức nhân đôi:
sin2a = 2sina cosa; cos2a = 2cos
2
a - 1 = 1 - 2sin
2
a = cos
2
a
- sin
2
a; tg2a =
atg1

tga2
2
−
4) Công thức hạ bậc:
)a2cos1(
2
1
acos
2
+=
;
)a2cos1(
2
1
asin
2
−=
;
a2cos1
a2cos1
atg
2
+
−
=
5) Công thức tính sina, cosa, tga theo t =
2
a
tg
:

22
2
2
t1
t2
tga;
t1
t1
acos;
t1
t2
asin
−
=
+
−
=
+
=
6) Công thức biến đổi tổng thành tích:
2
ba
cos
2
ba
cos2bcosacos
−+
=+
;
2

ba
sin
2
ba
sin2bcosacos
−+
−=−
2
ba
cos
2
ba
sin2bsinasin
−+
=+
;
2
ba
sin
2
ba
cos2bsinasin
−+
=−
bcos.acos
)basin(
tgbtga;
bcos.acos
)basin(
tgbtga

−
=−
+
=+
7) Công thức biến đổi tích thành tổng:
2cosacosb = cos(a - b) + cos(a + b)
2sinasinb = cos(a - b) - cos(a + b)
2sinacosb = sin(a - b) + sin(a + b)
Các dạng phương trình đã biết cách giải tổng quát:
1) PTLG cơ bản:
π+=⇔=π+=⇔=
π+±=⇔=



π+−π=
π+=
⇔=
kvugvcotgucot;kvutgvtgu
2kvuvcoscou;
2kvu
2kvu
vsinusin
2) PT bậc nhất, bậc hai, theo một HSLG
3) Phương trình bậc nhất theo sinu và cosu: asinu + bcosu = c
- Cách giải: Chia hai vế cho
22
ba +
. Đặt:
α=

+
α=
+
sin
ba
b
;cos
ba
a
2222
- Điều kiện có nghiệm:
222
cba ≥+
4) Phương trình đẳng cấp:
0ucos.cucosusinbusina
22
=++
- Xét cosu = 0
- Trường hợp cosu
0
≠
, chia hai vế của phương trình cho
cos
2
u
5) Phương trình theo
ucosusin
±
và sinu.cosu:
- Đặt t =

ucosusin
±
, suy ra: sinu.cosu =
2
1t
2
−
±
- Lưu ý:
)
4
usin(2ucosusin
π
±=±
,
2u ≤
Một số gợi ý giải phương trình lượng giác:
- Đối với một PTLG tổng quát, trong quá trình giải ta cố
gắng dùng các công thức lượng giác thích hợp để đưa về PTLG
đã biết cách giải tổng quát ở trên hoặc là tích của các phương
trình đó.
- Trong quá trình biến đổi ưu tiên việc biến đổi thành tích
A.B = 0 trước, sau đó là ưu tiên đưa về cùng một góc lượng
giác.
- Nếu trong phương trình có chứa mẫu thức hoặc tg, cotg
thì phải đặt điều kiện trước khi giải. Tùy theo trường hợp mà
điều kiện có thể để nguyên phương trinh lượng giác cơ bản hay
giải tường minh ra x.
- Nếu đưa được PT về theo một hàm lượng giác của cùng
một góc thì dùng ẩn phụ (với điều kiện tương ứng).

- Nếu trong phương trình chỉ chứa tgx và sin2x, cos2x,
tg2x, cotg2x hoặc chỉ chứa toàn bộ các hàm lượng giác của
cùng góc x thì đặt t = tgx. (Nếu Pt bậc n thu được giải được)
Lưu y: Các nhận xét trên chỉ mang tính chất tương đối,
nhiều phương trình phải dựa vào đặc trưng riêng của phương
trình đó mà đưa ra cách giải thích hợp.
5. PHƯƠNG TRÌNH VÀ BẤT PHƯƠNG TRÌNH MŨ,
LÔGARIT
Phương trình, bất phương trình mũ
1) Hàm số mũ y = a
x
: - TXĐ: R, a
x
> 0 với mọi x.
- Hàm số đồng biến trên R nếu a > 1,
nghịch biến trên R nếu 0 < a < 1.
- Các tính chất của lũy thừa.
2) Dạng cơ bản:
)x(glog)x(f
0)x(g,1a0
)x(ga
);x(g)x(f
1a0
aa
a
)x(f)x(g)x(f
=⇔




>≠<
=
=⇔



≠<
=



<
<<
∨



>
>
⇔>
)x(g)x(f
1a0
)x(g)x(f
1a
aa
)x(g)x(f
3) Các phương pháp giải phương trình, bất phương trình mũ:
- Đưa về cùng cơ số - Lôgarít hai vế (dạng:
cba,ba
)x(g)x(f)x(g)x(f

==
)
- Dùng ẩn phụ để đưa về dạng cơ bản - Đoán nghiệm và
dùng tính đơn điệu chứng minh duy nhất
Phương trình, bất phương trình lôgarit
- Định nghĩa:
y
a
axxlogy =⇔=
- Hàm số: y = log
a
x có tập xác định: x > 0,
1a0
≠<
. Tập giá
trị: R
- Tính chất: Hàm số đồng biến nếu a > 1, nghịch biến nếu
1a0
≠<
- Các công thức biến đổi:
1alog
a
=
01log
a
=
xa
xlog
a
=

log
a
(N
1
.N
2
)= log
a
|N
1
| + log
a
|N
2
|
2a1a
2
1
a
NlogNlog
N
N
log −=
blog.clogblog
caa
=
alog
1
blog
b

a
=
c
a
c
log b
log b
log a
=
|N|logNlog
aa
α
α
=
Nlog
1
Nlog
a
α
=
α
a
- Phương trình và bất phương trình cơ bản:



>=
≠<
⇔=
0)x(g)x(f

1a0
)x(glog)x(flog
aa










>>
>



<<
<<
⇔>
0)x(g)x(f
1a
)x(g)x(f0
1a0
)x(glog)x(flog
aa
- Phương pháp giải thường dùng:
+ Đưa về cùng cơ số
+ Đặt ẩn phụ để đưa về phương trình, bất phương

trình cơ bản.
6. TÍCH PHÂN
Tính tích phân bằng phương pháp đổi biến:
Nếu biểu thức dưới dấu tích phân có dạng:
•
22
xa −
Đặt x = asint, t
]
2
;
2
[
ππ
−∈
hoặc x =
acost, t
];0[
π
∈
•
22
xa +
Đặt x = atgt, t
)
2
;
2
(
ππ

−∈
•
xa
xa
+
−
Đặt x = acos2t, t
);0[
π
∈
•
1
2
−x
Đặt x =
tcos
1
, t
}
2
{\];0[
π
π
∈
•
22
22
1
,
xa

xa
+
+
Đặt x = atgt, t
)
2
;
2
(
ππ
−∈
Tính tích phân bằng phương pháp tích phân từng phần:

Chú ý: Một số dạng tích phân sử dụng phương pháp tích
phân từng phần:
P(x)lnx, P(x)e
ax
, P(x)sinax, P(x)cosax, e
ax
cosax, e
ax
sinax
Ứng dụng tích phân để tính diện tích hình phẳng
∫
−=
∫
b
a
vdu
a

b
uv
b
a
udv
1
C
y
2
C
y
2
C
x
1
C
x

[ ]
∫
−=
b
a
dxxgxfS )()(
[ ]
∫
−=
b
a
dyygyfS )()(

Ứng dụng tích phân để tính thể tích vật thể tròn xoay.


[ ]
dxxfV
b
a
2
)(
∫
=
π
[ ]
dyyfV
b
a
2
)(
∫
=
π
6. ĐẠI SỐ TỔ HỢP
Quy tắc cộng :
Nếu có m cách chọn đối tượng x, n cách chọn đối tượng y,
và nếu cách chọn đối tượng x không trùng với bất kỳ cách
chọn đối tượng y nào, thì có m + n cách chọn một trong các đối
tượng đã cho.








=∆
=∆
=
=
bx
ax
xgyC
xfyC
H
:
:
)(:)(
)(:)(
:)(
2
1
2
1







=∆

=∆
=
=
by
ay
ygxC
yfxC
H
:
:
)(:)(
)(:)(
:)(
2
1
2
1
a
b
0=y
)(:)( xfyC =
b
ax =
bx =
x
y
O
b
a
x

y
0=x
O
)(:)( yfxC =
by =
ay =
x
y
)(H
a
b
)(:)(
1
xfyC =
)(:)(
2
xgyC =
ax =
bx =
O
x
y
)(H
a
b
)(:)(
1
yfxC =
)(:)(
2

ygxC =
ay =
by =
O
Quy tắc nhân :
Nếu có m cách chọn đối tượng x, và sau đó, với mỗi cách
chọn x như thế, có n cách chọn đối tượng y, thì có m x n cách
chọn đối tượng (x ; y).
Hoán vị Chỉnh hợp Tổ hợp
P
n
= n!
(n ≥ 1)
≤ ≤
k
n
n!
A =
(n -k)!
(1 k n)
≤ ≤
k
n
n!
C =
k!(n - k)!
(0 k n)
n! = 1.2.3…n
k k
n n

A = k!C
n! = 1.2.3…n
n! = (n – 1)!n
0! = 1
k k
n n
A = k!C
1
n
n
n
A =1
A = n!
0 n
n n
n-k k
n n
k-1 k k
n-1 n-1 n
C = C =1
C = C
C +C = C
n
n n
P = A
Số cách xếp n
phần tử vào n vị trí
co thứ tự.
Số cách chọn k phần
tử trong n phần tử có

thứ tự
Số cách chọn ra tập
hợp con k phần tử trong
tập hợp n phần tử không
thứ tự
Công thức khai triển Niutơn
∑
n
n k n-k k 0 n 1 n-1 2 n-2 2 3 n-3 3 n n
n n n n n n
k=0
(a+ b) = C a b = C a + C a b + C a b + C a b + + C b
Các tính chất :
- Trong khai triển (a + b)
n
ta được (n+1) số hạng.
- Tổng số mũ của a và b trong mỗi số là n.
- Số hạng tổng quát thứ k+1 trong khai triển (a + b)
n
là
k n-k k
k+1 n
T = C a b
Các dạng bài tập
- Dạng 1 : Tìm hệ số của xn trong khai triển nhị thức
Niutơn
- Dạng 2 : Tính tổng hoặc chứng minh một đẳng thức, áp
dụng giải bài toán khác
Phương pháp
Phương pháp :

1) Nếu trong tổng có
k
n
C
k +1
, ta khai triển
( )
n
ax + b
rồi lấy
tích phân.
2) Nếu trong tổng có
k
n
kC
, ta khai triển
( )
n
ax + b
rồi lấy đạo
hàm.
3) Nếu trong tổng không có 2 số hạng trên, ta khai triển
( )
n
ax + b
rồi chọn a, b, x.
4) Nếu tổng có chỉ số không đầy đủ, ta đặt tổng bổ sung,
tính tổng hiệu
7. SỐ PHỨC
1. Tập hợp số phức: C

2. Số phức (dạng đại số) :
z = a + bi (a, b
R∈
, i là đơn vị ảo, i
2
= -1); a là phần thực,
b là phần ảo của z
• z là số thực
⇔
phần ảo của z bằng 0 (b = 0)
• z là phần ảo
⇔
phần thực của z bằng 0 (a = 0)
3. Hai số phức bằng nhau: a + bi = a’ + b’i
)',',,(
'
'
Rbaba
bb
aa
∈



=
=
⇔
4. Biểu diễn hình học : Số phức z = a + bi (a, b
)R∈
được biểu

diễn bởi điểm M(a ; b) hay bởi
);( bau =
→
trong mp(Oxy) (mp
phức)
5. Cộng và trừ số phức : (a + bi) + (a’+ b’i) = (a + a’) + (b +
b’)i
(a + bi) – (a’ + b’i) = (a – a’) + (b –
b’)i (a, b, a’, b’
)R∈
• Số đối của z = a + bi là –z = -a – bi (a, b
)R∈
• z biểu diễn
→
u
, z’ biểu diễn
→
'u
thì z + z’ biểu diễn bởi
→→
+ 'uu
và
z – z’ biểu diễn bởi
→→
− 'uu
6. Nhân hai số phức : (a + bi)(a’ + b’i) = (aa’-bb’) + (ab’ +
ba’)i (a, a’, b, b’
)R∈
.
7. Số phức liên hợp của số phức z = a + bi là

biaz −=
−
a)
'.'.;''; zzzzzzzzzz =+=+=
b) z là số thực
zz =⇔
; z là số ảo
zz −=⇔
8. Môđun của số phức : z = a + bi
a)
OMzzbaz ==+=
22
b)
00,0 =⇔=∈∀≥ zzCzz
c)
Czzzzzzzzzz ∈∀+≤+= ','',''.
9. Chia hai số phức :
a) Số phức nghịch đảo của z (z
)0≠
:
z
z
z
2
1
1
=
−
b) Thương của z’ chia cho z (z
)0≡

:
zz
zz
z
zz
zz
z
z ''
'
'
2
1
===
−
c) Với z
.'
'
,0 wzzw
z
z
=⇔=≠
,
z
z
z
z
z
z
z
z

'
'
,
''
==






10. Căn bậc hai của số phức : z là căn bậc hai của số phức
ω
ω
=⇔
2
z
z = x + yi là căn bậc hai của số phức w = a + bi







=
++
=
⇔




=
=−
⇔
x
b
y
baa
x
bxy
ayx
2
2
2
22
2
22
(a, b, x, y
)R∈
a) w = 0 có đúng 1 căn bậc hai là z = 0
b) w
0
≠
có đúng hai căn bậc hai đối nhau
* Hai căn bậc hai của a > 0 là
a±
* Hai căn bậc hai của a < 0 là
ia.−±
11. Phương trình bậc hai Az

2
+ Bz + C = 0 (A, B, C là số phức
cho trước, A
0
≠
).
ACB 4
2
−=∆
a)
0
≠∆
: Phương trình có hai nghiệm phân biệt
A
B
2
δ
±−
, (
δ
là
1 căn bậc hai của
)∆
b)
0
=∆
: Phương trình có 1 nghiệm kép là
A
B
2

−
8. PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG MẶT PHẲNG
Hệtrục toạ độ, toạ độ của điểm, của vectơ
A) Vectơ: Trong mặt phẳng, với hệ tọa độ Oxy cho hai vectơ
( ) ( )
1 1 2 2
u x ; y , v x ; y= =
r r
u v+ =
r r
(x
1
+ x
2
;y
1
+ y
2
)
u v− =
r r
(x
1
- x
2
;y
1
- y
2
)

1 1
k.u (kx ;ky )=
r
1 2
1 2
x x
u v
y y
=

= ⇔

=

r r

B) Điểm: Trong mặt phẳng, với hệ tọa độ Oxy cho ba điểm
A(x
A
; y
A
), B(x
B
;y
B
), C(x
C
; y
C
)

AB
uuur
= (x
B
- x
A
; y
B
-

y
A
)
A, B, C thẳng hàng khi và chỉ khi
AB
uuur
và
AC
uuur
cùng phương
A, B, C là ba đỉnh của tam giác khi và chỉ khi
AB
uuur
và
AC
uuur

không cùng phương
Tọa độ trung điểm M của AB là
A B

M
A B
M
x x
x
2
y y
y
2
+

=



+

=


,trọng tâm G
của tam giác ABC:
A B C
G
A B C
G
x x x
x
3
y y y

y
3
+ +

=



+ +

=


Phương trình đường thẳng, khoảng cách và góc
1.Đường thẳng đi qua điểm M(x
0
;y
0
) và nhận véctơ
u
r
(a;b) làm
véc tơ chỉ phương có phương trình tham số:
0
0
x x at
y y bt
= +



= +

và
phương trình chính tắc
0 0
x x y y
a b
− −
=
2. PTTQ của đường thẳng có dạng: ax + by + c = 0
Đường thẳng qua M(x
0
;y
0
) và nhận véctơ
r
n
(a;b) làm VTPT có
PTTQ: a(x- x
0
) + b(y - y
0
) = 0
3. Khoảng cách từ M(x
0
;y
0
) đến
∆
:ax + by + c = 0 là:

( )
0 0
2 2
ax by c
d M,
a b
+ +
∆ =
+

4. Đường thẳng d
1
, d
2
lần lượt có VTCP là
( ) ( )
1 1 1 2 2 2
u a ;b ,u a ;b= =
uur uur
.
Khi đó ta có:
·
(
)
( )
1 1 2 2
1 2
1 2 1 2
1 2 1 2
2 2 2 2

1 2
u .u
a a b b
cos d ,d cos u ,u
u . u
a b . a b
+
= = =
+ +
uur uur
uur uur
uur uur
Đường tròn
1. Đường tròn tâm I(a,b), bán kính R có phương trình chính
tắc:(x- a)
2
+ (y - b)
2
= R
2
2. Phương trình x
2
+y
2
+ 2ax + 2by + c = 0 (a
2
+ b
2
- c > 0) là
phương trình của đường tròn với tâm I(-a ; -b), bán kính R =

2 2
a b c+ −
.
Elip
1. Định nghĩa: Trong mp cho 2 điểm cố định F
1
,F
2
và số dương
2a không đổi ( 2a > F
1
F
2
=2c)
(E) = {M : M F
1
+ MF
2
= 2a}
• F
1
,F
2
: Tiêu điểm - F
1
F
2
= 2c tiêu cự ( c < a )
• r
1

= M F
1
, r
2
= MF
2
bán kính qua tiêu tại M.
1
2
c
F M a
a
c
F M a
a
1
2
r x
r x
= = +
= = −
2. Phương trình chính tắc:
2 2
2 2
x y
1
a b
+ =
(

2 2 2
a b 0, b a c> > = −
)
- Các đỉnh: A
1
(-a,0) , A
2
(a,0) , B
1
(0,-b) và B
2
(0,b)
- Các trục: - Trục lớn A
1
A
2
= 2a - Trục nhỏ B
1
B
2
= 2b -
Tâm sai:
c
e
a
=
- Các đường chuẩn:
a
x 0
e

± =
9. PHƯƠNG PHÁP TOẠ ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN
Kệ toạ độ trong không gian
1. Tọa độ vectơ: Cho
( ) ( )
1 2 3 1 2 3
a a ,a ,a ,b b , b ,b= =
r r
. Ta có

( )
1 1 2 2 3 3
a b a b ;a b ;a b
± = ± ± ±
r r

( )
1 2 3
k.a ka ; ka ;ka=
r

1 1
2 2
3 3
a b
a b a b
a b
=



= ⇔ =


=

r r

a
r
cùng phương
31 2
1 2 3
aa a
b
b b b
⇔ = =
r

1 1 2 2 3 3
a.b a b a b a b= + +
r r

1 1 2 2 3 3
a b a b a b a b 0⊥ ⇔ + + =
r r

2 2 2
1 2 3
a a a a= + +
r


( )
1 1 2 2 3 3
2 2 2 2 2 2
1 2 3 1 2 3
a b a b a b
cos a,b
a a a . b b b
+ +
=
+ + + +
r r
y
M(x,y)
F
1
F
2

-c O c x




2. Tọa độ điểm: Cho
A; A A B; B B C; C C
A(x y ;z ),B(x y ;z ),C(x y ; z )

( )
B A B A B A

AB x x ; y y ;z z= − − −
uuur

( ) ( ) ( )
2 2 2
B A B A B A
AB AB x x y y z z= = − + − + −
uuur
 M là trung điểm của AB
A B A B A B
x x y y z z
M ; ;
2 2 2
+ + +
 
⇔
 ÷
 
 G là trọng tâm tam giác ABC
A B C A B C A B C
x x x y y y z z z
M ; ;
3 3 3
+ + + + + +
 
⇔
 ÷
 
3. Tích có hướng của hai vectơ:
( ) ( )

1 2 3 1 2 3
a a ,a ,a ,b b , b ,b= =
r r
Tích có hướng của hai vec tơ
a
r
và
b
r
là một vectơ, k/h:
3
1 2
3
2 1
2 3 1
3 1 2
a
a a
a
a a
a,b ; ;
b b b
b b b
 
 
=
 ÷
 
 ÷
 

r r
- Điều kiện để 3 vectơ đồng phẳng:
a, b,c
r r r
đồng phẳng
a, b .c 0
 
⇔ =
 
r r r
-
a
r
cùng phương
b a, b 0
 
⇔ =
 
r r r r
- Diện tích hình bình hành ABCD :
ABCD
S AB,AD
 
=
 
uuur uuur
- Diện tích tam giác ABC :
ABC
1
S AB,AC

2
 
=
 
uuur uuur
- Thể tích tứ diện ABCD :
ABCD
1
V AB,AC .AD
6
 
=
 
uuur uuur uuur
- Thể tích hình hộp ABCD.A'B'C'D' :
ABCD.A 'B'C ' D '
V AB,AD .AA '
 
=
 
uuur uuur uuuur
Phương trình mặt phẳng
1) Vectơ pháp tuyến, cặp vectơ chỉ phương của mặt phẳng:
*
→→
≠ 0n
là VTPT của mp(
α
) nếu:
α⊥

→
n
* Hai vectơ không cùng phương
→→
b,a
được gọi là cặp vectơ
chỉ phương của (
α
) nếu chúng song song hoặc nằm trên (
α
).
Khí đó:






→→
b,a
là vectơ pháp tuyến của (
α
)
2) Phương trình tổng quát của mặt phẳng: Ax + By + Cz + D = 0
(A
2
+ B
2
+ C
2

0
≠
)
+ Mặt phẳng có phương trinh: Ax + By + Cz + D = 0 thì
có VTPT:
)C;B;A(n =
→
+ Mặt phẳng qua M(x
0
; y
0
; z
0
) và có một VTPT là
)C;B;A(n =
→
thì có pt:
A(x - x
0
) + B(y - y
0
) + C(z - z
0
) = 0
+ Phương trình mp cắt Ox, Oy, Oz lần lượt tại các điểm
(a ; 0 ; 0), (0 ; b ; 0), (0 ; 0; c) là:
1
c
z

b
y
a
x
=++
(phương trình theo đọan chắn)
+ MpOxy: z = 0 + Mp(Oyz): x = 0 +
Mp(Ozx): y = 0
3) Phương trình mặt phẳng qua giao tuyến của hai mp (Ptrình
chùm mặt phẳng)::
Ax+By + Cz +D = 0 và A'x+B'y+ C'z + D'=0 là
m(Ax + By + Cz + D) + n( A'x + B'y + C'z + D') = 0 (m, n
không đồng thời = 0)
Phương trình đường thẳng trong không gian
1) Các dạng phương trình đường thẳng:
-Phương trình tham số:
0 1
0 2
0 3
x x a t
y y a t
z z a t
= +


= +


= +


, với
1 2 3
a (a ;a ;a )=
r
là vectơ
chỉ phương của đường thẳng.
-Phương trình chính tắc:
0 0 0
1 2 3
x x y y z z
a a a
− − −
= =
.
2) Cách xác định vị trí tương đối, tìm giao điểm của hai đường
thẳng:
3) Cách viết phương trình đường thẳng:
Tìm một điểm và một VTCP (hoặc cặp VTPT) của đường
thẳng.
→
PTTS
Một số dạng toán viết phương trình đường thẳng
ST
T
Bài toán
Hình vẽ Cách giải
1
Viết
phương
trình

đường
thẳng ∆ đi
qua điểm
M và cắt 2
đường
thẳng ∆
1
,
∆
2
B
1
: - Gọi M
1
(toạ độ có chứa tham số t) ∈
∆
1

- M
2
(toạ độ có chứa tham số t’)
∈ ∆
2

B
2
:
1
MM
uuuuur

và
2
MM
uuuuur
cùng phương => t =>
M
1
B
3
: Viết phương trình MM
1
chính là
phương trình đường thẳng ∆
2
Viết
phương
trình
đường
thẳng ∆
song song
với d và cắt
cả ∆
1
và ∆
2
B
1
: - Gọi M
1
(toạ độ có chứa tham số t) ∈

∆
1

- M
2
(toạ độ có chứa tham số t’)
∈ ∆
2

B
2
:
1 2
M M
uuuuuur
và
d
a
uur
cùng phương => t, t’ =>
M
1
, M
2
B
3
: Viết phương trình M
1
M
2

chính là
phương trình đường thẳng ∆
3 Viết
phương
trình
đường
thẳng ∆ đi
qua điểm
M vuông
góc và cắt
đường
Phương pháp 1
B
1
: Gọi N (toạ độ có chứa tham số t)
∈
d
B
2
: MN
⊥
d
⇔

.
d
MN a
uuuur uur
= 0 => t => M
Phương trình ∆ chính là phương trình

MN
Phương pháp 2
B
1
: Viết ptrình mặt phẳng(α ) qua M và
vuông góc d
∆
1
α
2
α
1
∆
2
∆
d
∆
1
α
2
α
1
∆
2
∆
M
M
1
M
2

M
d
β
ra
α
ra
N


thẳng d
B
2
: Tìm H = (α )
∩
d
B
3
: phương trình ∆ là phương trình
đường MH
4
Viết
phương
trình
đường
thẳng ∆ đi
qua điểm
M vuông
góc với
đường
thẳng ∆

1
và
cắt đthẳng
∆
2
B
1
: Viết phương trình mặt phẳng(α )
qua M và vuông góc ∆
1
B
2
: Tìm N = (α )
∩
(∆
2
)
B
3
: Phương trình ∆ là phương trình
đường MN
5
Viết
phương
trình
đường
thẳng ∆
nằm trong
mặt phẳng
α và cắt cả

2 đường
thẳng ∆
1
,
∆
2
B
1
: Tìm M
1
= ∆
1

∩
(α )
B
2
: Tìm M
2
= ∆
2

∩
(α )
B
3
: ∆ là đường thẳng M
1
M
2

7 Viết pt
đường
thẳng ∆
nằm trong
mp(α ),
qua giao
điểm A của
d và α ,
B
1
: Tìm điểm A = ∆
∩
(α )
B
2
: ∆
qua A
vtcp a ,
d
Coù n a
α



 
=

 

r uur uur

1
a
uur
2
a
uur
∆
1
M
M
2
∆
2
∆
α
1
α
2
∆
α
β
A
d
M
1

∆
1

α

∆
2

M
2

vuông góc
d
Vị trí tương đối giữa các đường và các mặt phẳng
Vị trí tương đối của hai đường thẳng:
Cho 2 đường thẳng: (d) qua M
0
(x
0
;y
0
;z
0
), có VTCP
u
r
= ( a; b; c)
và (d’) qua M’
0
(x’
0
;y’
0
;z’
0

), có VTCP
u '
ur
= ( a’; b’; c’)
(d) và (d
’
) đồng phẳng ⇔
'
0 0
u,u ' .M M 0
 
=
 
uuuuuur
r ur
(d) và (d’) cắt nhau ⇔
'
0 0
u, u ' .M M 0
 
=
 
uuuuuur
r ur
và a:b:c ≠
a’:b’:c’
(d) // (d’) ⇔ a:b:c = a’:b’:c’≠ (x’
0
– x
0

):(y’
0
–
y
0
) :(z’
0
– z
0
)
(d) ≡ (d’) ⇔ a:b:c = a’:b’:c’ = (x’
0
– x
0
):(y’
0
–
y
0
) :(z’
0
– z
0
)
(d) và (d’) chéo nhau ⇔
'
0 0
u, u ' .M M 0
 
≠

 
uuuuuur
r ur
Vị trí tương đối của đường thẳng và của mặt phẳng :
Cho đường thẳng (d) qua M
0
(x
0
;y
0
;z
0
) , có VTCP
u
r
= ( a;
b; c).
và mặt phẳng (α ): Ax + By + Cz + D = 0 có VTPT
n (A; B;C)
=
r

(d) cắt (α ) ⇔
n.u 0≠
r r
⇔ Aa +Bb +Cc ≠ 0
0
n u
(d) / /( )
M ( )


⊥

α ⇔

∉ α


r r
⇔
0 0 0
Aa Bb Cc 0
Ax By Cz 0
+ + =


+ + ≠

(d) ⊂ (α ) ⇔
0
n u
M ( )

⊥


∈ α


r r

⇔
0 0 0
Aa Bb Cc 0
Ax By Cz 0
+ + =


+ + =

Khoảng cách
- Khoảng cách từ M(x
0
; y
0
; z
0
) đến mặt phẳng (α): Ax + By +
Cz = 0 là:
( )
0 0 0
0
2 2 2
Ax By Cz D
d M ,( )
A B C
+ + +
α =
+ +
- Khoảng cách từ điểm M
1

đến đt
∆
đi qua M
0
và có vectơ chỉ
phương
u
r
là:
( )
0 1
1
M M ,u
d M ,
u
 
 
∆ =
uuuuuur r
r
- Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau
∆
và
∆
', trong
dó:
∆
đi qua điểm M
0
và có vectơ chỉ phương

u
r
,
∆
' đi qua
điểm M
0
' và có vectơ chỉ phương
u '
ur
( )
0 0
u,u ' .M M '
d , '
u, u '
 
 
∆ ∆ =
 
 
r ur uuuuuuur
r ur
Mặt cầu – Phương trình đường tròn trong không gian
1) Phương trình mặt cầu (S) tâm I(a ; b; c), bán kính R:
2 2 2 2
(S) : (x a) (y b) (z c) R
− + − + − =
- Phương trình: x
2
+ y

2
+ z
2
+2Ax + 2By + 2Cz + D = 0 với
A
2
+ B
2
+C
2
- D > 0 là phương trình mặt cầu tâm I(-A ; -B; -C),
bán kính
2 2 2
R A B C D
= + + −
2) Giao của mặt cầu và mặt phẳng - Phương trình đường tròn:
Cho mặt cầu
2 2 2 2
(S) : (x a) (y b) (z c) R− + − + − =
với tâm I(a ; b;
c), bán kính R và mặt phẳng (P): Ax + By + Cz + D = 0.
+ d(I, (P)) > R: (P) và (S) không có điểm chung
+ d(I, (P)) = R: (P) tiếp xúc (S)
+ d(I, (P)) < R: (P) cắt (S) theo đường tròn có tâm H là
hình chiếu của I xuống (P), bán kính
2 2
r R d= −
Phương trình đường tròn trong không gian:
2 2 2 2
Ax By Cz D 0

(x a) (y b) (z c) R
+ + + =


− + − + − =

với d =
2 2 2
Aa Bb Cc D
R
A B C
+ + +
<
+ +
Nguyễn Duy Thành_lớp cơ điện tử 9
Khoa Hàng Không Vũ Trụ_Học Viện Kĩ Thuật Quân
Sự.
MILITARY TECHNICAL ACADEMY
LE QUY DON TECHNICAL UNIVERSITY

Cựu học sinh là một phần quan trọng và không thể tách rời của Yên Phong II.
Chúng tôi luôn mong muốn được cung cấp thông tin từ chính các bạn cũng như gửi
lời chúc mừng về những thành công mà bạn đã đạt được trên con đường sự nghiệp.
Chúng tôi cũng luôn cố gắng và nỗ lực hết sức để giữ vững, duy trì cũng như tiếp tục
phát huy sự liên kết chặt chẽ giữa chúng tôi và các bạn – những cựu học sinh trường
THPT Yên Phong II .