Chuyên Đề Rút Gọn Biểu Thức Chứa Biến

rút gọn biểu thức chứa biến ===@@@===GV biên soạn: Nguyễn Bá Phúc
Tr
phòng GD & ĐT huyện yên thành
trờng THCS Mã Thành
tài liệu ôn tập thi vào lớp 10 PTTH
(Lu hành nội bộ)
Ruựt goùn bieồu thửực
chửựa bieỏn

Giáo viên biên soạn: Nguyễn Bá Phúc
trờng THCS Mã Thành yên thành nghệ an
1
rút gọn biểu thức chứa biến ===@@@===GV biên soạn: Nguyễn Bá Phúc
Ruựt goùn bieồu thửực chửựa bieỏn

NGuyễn bá phúc - GV: Trờng THCS Mã
thành
Trong chơng trình Toán lớp 9, việc rút gọn các biểu thức là vấn đề vô cùng quan trọng (chiếm khoảng từ 1,5 đến 3,5 điểm trong
các kì thi), vì thế, mà tôi muốn giới thiệu bài Toán này tới bạn đọc. Mong các bạn hiểu sâu hơn và nắm vửng cách làm về dạng
Toán này.
A. Lí thuyết.
1) Bài Toán quy đồng mẩu thức các phân thức .
Trong chơng trình lớp 8, SGK đã giới thiệu cho chúng ta phơng pháp quy đồng mẩu thức các phân thức nh sau.
B ớc 1 . Tìm mẩu thức chung (MTC)
Trong bớc này các em cần làm các việc sau:
1) Phân tích các mẩu thức thành nhân tử.
2) Lập tích gồm các NTC có số mủ cao nhất và các NT riêng để có MTC.
B ớc 2 . Tìm NTP của từng phân thức. (để tìm NTP các em cần lấy MTC vừa tìm đợc chia cho MT riêng của từng phân thức).
B ớc 3 . Quy đồng. (Nhân cả tử và mẩu của từng phân thức với NTP tơng ứng).
Ví dụ 1: Quy đồng mẩu thức các phân thức sau:
a)

1
1
2
x
và
12
1
2
+ xx
b)
4
1
x
và
44
1
+ xx
c)
xx 2
1
+
và
4
1
x
Giải:
a) Đầu tiên ta phải tìm MTC:
Ta có: x
2
1 = (x 1)(x + 1

và: x
2
2x + 1 = (x 1)
2
khi phân tích xong, ta thấy Nhân tử chung là (x 1), còn nhân tử riêng là (x + 1)


MTC là: (x 1)
2
. (x + 1)
Tìm đợc MTC rồi, ta tiến hành tìm nhân tử phụ (NTP) của từng phân thức:
Để tìm NTP của phân thức
1
1
2
x
, ta lấy MTC là (x 1)
2
. (x + 1) chia cho Mẩu thức riêng của nó là (x
2
1) hay (x 1)(x +
1)

Vì (x 1)
2
. (x + 1) : (x 1)(x + 1) = x 1

NTP của phân thức
1
1

2
x
là: (x 1)
Tơng tự, để tìm NTP của phân thức
12
1
2
+ xx
, ta lấy MTC là (x 1)
2
. (x + 1) chia cho Mẩu thức riêng của nó là x
2
2x + 1
hay (x 1)
2

Vì (x 1)
2
. (x + 1):(x 1)
2
= x + 1


NTP của phân thức
12
1
2
+ xx
là: (x + 1)
Công việc còn lại của chúng ta là quy đồng các phân thức đã cho.

Để quy đồng mẩu của phân thức ta lấy tử và mẩucùng nhân với nhân tử phụ của nó là (x 1). Tức là:
( )( )
( ) ( )
11
1
11
1
1
1
22
+

=
+
=

xx
x
xx
x

Tơng tự:
( ) ( ) ( )
11
1
1
1
12
1
222

+
+
=

=
+
xx
x
x
xx
b) Ta có:
( ) ( )( )
2224
2
2
+== xxxx
và:
( ) ( ) ( )
2
2
2
222 244 =+=+ xxxxx


MTC là:
( ) ( )
2.2
2
+ xx

+) NTP của phân thức
4
1
x
là:
2x

+) NTP của phân thức
44
1
+ xx
là:
2+x

trờng THCS Mã Thành yên thành nghệ an
2
rút gọn biểu thức chứa biến ===@@@===GV biên soạn: Nguyễn Bá Phúc



( )( )
( ) ( )
22
2
22
1
4
1
2
+

=
+
=

xx
x
xx
x
Và
( ) ( ) ( )
22
2
2
1
44
1
22
+
+
=

=
+
xx
x
x
xx
c) Tơng tự.
L u ý : Trớc khi quy đồng nếu phân thức cha tối giản, ta nên tối giản rồi mới quy đồng

2) Các phép toán trên phân thức.
a) Phép cộng và phép trừ:
+) Cộng trừ hai phân thức cùng mẩu:
m
BA
m
B
m
A
=

+) Cộng trừ hai phân thức khác mẩu:
nm
BmAn
nm
mB
nm
nA
n
B
m
A

.
.
.
==

b) Phép nhân:
nm

BA
n
B
m
A
.
.
. =
c) Phép chia:
Bm
nA
B
n
m
A
n
B
m
A
.
.
.: ==
3) Bài TOáN rút gọn biểu thức.
a) Cách giải:
Bớc 1. Tìm ĐKXĐ của biểu thức đã cho.
Bớc 2. Quy đồng mẩu thức các phân thức, rồi thực hiện các phép toán cộng, trừ, nhân, chia các phân thức để đa
biểu thức đã cho về dạng đơn giản hơn.
b) Ví dụ: Rút gọn biểu thức: A =
1
2

1
2
1


+


x
xx
x
Giải: ĐKXĐ của biểu thức là:

+


1
0
1
1
0
01
01
01
0
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x

ĐKXĐ của biểu thức là
0

x
và
1

x
.
Khi đó ta có: A =
1
2
1
2
1


+


x
xx
x

)1)(1(
2
)1)(1(
)1(2

)1)(1(
)1(
+

+


+
+
=
xxxx
x
xx
xx

)1)(1(
2)1(2)1(
+
+
=
xx
xxx

)1)(1(
222
+
++
=
xx
xxx

)1)(1( +

=
xx
xx

)1)(1(
)1(
+

=
xx
xx

1+
=
x
x
trờng THCS Mã Thành yên thành nghệ an
3
rút gọn biểu thức chứa biến ===@@@===GV biên soạn: Nguyễn Bá Phúc
B. Các dạng toán liên quan.
Dạng 1. Bài toán tìm x để biểu thức P = m (m là hằng số)
Bớc 1. Sử dụng tính chất
cbda
d
c
b
a

==
để làm mất mẩu của phơng trình.
Bớc 2. Giải phơng trình vừa thu đợc để tìm đợc x.
Bớc 3. Đối chiếu điều kiện và chọn nghiệm hợp lí.
Ví dụ 1: Cho A =
1x
x
(với x

0 và x

1). Tìm các giá trị của x để:
a) A = 2. b) A =
3
2
c) A =
2
1

Giải: Ta có:
a) A = 2
( )
222222122
1
=====

xxxxxx
x
x

x = 4 (TMĐK)
Vậy với x = 4 thì A =2.
b) A =
( )
2223123
3
2
1
3
2
====

xxxxx
x
x
(Vô nghiệm)
Vậy không có giá trị nào của x để A =
3
2
.
c) A =
( )
3
1
131212
2
1
1
2

1
=====

xxxxxx
x
x

9
1
= x
(TMĐK)
Vậy với x =
9
1
thì A =
2
1

.
Chú ý: Trong trờng hợp nếu bài toán cha cho giá trị của P thì các em cần dựa vào yêu cầu của nó để tìm P rồi tiến hành giải
nh bình thờng.
+)



=
=
=
mP
mP

mmP )0(
+)



=
=
=
kP
kP
kP
22
Ví dụ 2: Cho P =
x2
3
(với x

0 và x

4). Tìm các giá trị của x để:
a)
1=P
. b)
4
1
2
=P
. c)
PP 3
2

=
.
Giải:
a) Ta có:



=
=
=
1
1
1
P
P
P
Trờng hợp 1. Với
11231
2
3
1 ====

= xxx
x
P
(Vô nghiệm)
Trờng hợp 2. Với
25523)2(31
2
3

1 =====

= xxxx
x
P
(TM)
Vậy với x = 25 thì
1=P
.
b) Ta có:






=
=
=
2
1
2
1
4
1
2
P
P
P
trờng THCS Mã Thành yên thành nghệ an

4
rút gọn biểu thức chứa biến ===@@@===GV biên soạn: Nguyễn Bá Phúc
Trờng hợp 1. Với
4426
2
1
2
3
2
1
====

= xxx
x
P
(Vô nghiệm)
Trờng hợp 2. Với
64826)2(6
2
1
2
3
2
1
=====

= xxxx
x
P
(TM)

Vậy với x = 64 thì
4
1
2
=P
.
b) Ta có:



=
=
===
3
0
0)3(033
22
P
P
PPPPPP
Trờng hợp 1. Với
030
2
3
0 ==

=
x
P
(Vô nghiệm)

Trờng hợp 2. Với
133363)2(333
2
3
3 =====

= xxxx
x
P

1
=
x
(TM)
Vậy với x = 1 thì
PP 3
2
=
.
Dạng 2. Bài toán tìm x để biểu thức P < m hoặc P > m, hoặc P

m, hoặc P

m (với m là hằng số)
Bớc 1. Chuyển m sang vế trái, để vế phải bằng 0.
Bớc 2. Quy đồng mẩu thức các phân thức rồi làm gọn vế trái.
Bớc 3. Xác định dấu của tử hoặc mẩu của vế trái, từ đó có đợc một bất phơng trình đơn giản (không chứa mẩu).
Bớc 3. Giải bất phơng trình trên để tìm đợc x.
Bớc 4. Đối chiếu điều kiện và chọn nghiệm hợp lí.
Ví dụ: Cho A =

1
1
+

x
x
(với x

0). Tìm các giá trị của x để:
a) A >
3
1
. b) A <
5
2
c) A


2
1
.
Giải: Ta có:
a) A >
0
)1(3
1
)1(3
)1(3
0
3

1
1
1
3
1
1
1
3
1
>
+
+

+

>
+

>
+


x
x
x
x
x
x
x
x

0420
)1(3
42
0
)1(3
)1()1(3
>>
+

>
+
+
x
x
x
x
xx
(vì
0)1(3 >+x
)

4242 >>> xxx
(TMĐK)
Vậy với x > 4 thì A >
3
1
.
b) A <
0

)1(5
)1(2
)1(5
)1(5
0
5
2
1
1
5
2
1
1
5
2
<
+
+

+

<
+

<
+


x
x

x
x
x
x
x
x

0730
)1(5
73
0
)1(5
)1(2)1(5
<<
+

<
+
+
x
x
x
x
xx
(vì
0)1(5 >+x
)

9
49

3
7
73 <<< xxx

Kết hợp với điều kiện xác định ta đợc 0

x <
9
49
.
Vậy với 0

x <
9
49
thì A <
5
2
.
c) A
0
)1(2
)1(
)1(2
)1(2
0
2
1
1
1

2
1
1
1
2
1

+
+

+


+


+


x
x
x
x
x
x
x
x
trờng THCS Mã Thành yên thành nghệ an
5
rút gọn biểu thức chứa biến ===@@@===GV biên soạn: Nguyễn Bá Phúc

030
)1(2
3
0
)1(2
)1()1(2

+


+
+
x
x
x
x
xx
(vì
0)1(2 >+x
)
93 xx

Kết hợp với điều kiện xác định ta đợc 0

x

9.
Vậy với 0

x

9 thì A


2
1
.
Chú ý: +)
0= PPP
.
+)
0= PPP
.
+)
0<> PPP
.
+)
10 <> PPP
.
+)
1>< PPP
.
Ví dụ 2. Cho biểu thức: P =
x1
1
(với
0x
và
1x

). Tìm tất cả các giá trị của x để:
a)
PP =
. b)
PP =
. c)
PP <
. d)
PP >
Giải:
a) Ta có:
11010
1
1
0 <<>

= xxx
x
PPP
.
Kết hợp với điều kiện xác định ta đợc:
10
<
x
.
Vậy với
10
<
x
thì

PP =
.
b) Ta có:
11010
1
1
0 >><

= xxx
x
PPP
(thoả mãn ĐKXĐ)
Vậy với x > 1 thì
PP =
.
c) Ta có:
0
1
1
1
1
01
1
1
1
1
1
1 >

>

>

><
x
x
xxx
PPP
.
11010
1
0
1
)1(1
<<>>

>


xxx
x
x
x
x
.
Kết hợp với điều kiện xác định ta đợc:
10 < x

.
Vậy với
10 < x
thì
PP <
.
d) Ta có:





<




<






<

>

<







<

<>
0
1
1
1
1
1
01
1
1
01
1
1
1
0

1
1
1
0
10
x
x
x
x
x
x
x
x
P
P
PPP
.



>
<




>
<

<
<






<

<

1
1
1
1
01
1
0
1
1
x
x
x
x
x
x
x

x
x
(không tồn tại x)
Vậy không có giá trị nào của x để
PP >
.
Dạng 3. Bài toán so sánh biểu thức P với m (m là hằng số)
Bớc 1. Tính P m = ?
Bớc 2. Nhận xét dấu của hiệu P m để có kết quả so sánh.
+) Nếu P m > 0 thì P > m.
+) Nếu P m < 0 thì P < m.
+) Nếu P m = 0 thì P = m.
Ví dụ: Cho P =
x
x 1
(với x > 0). Hãy so sánh P với 1.
trờng THCS Mã Thành yên thành nghệ an
6
rút gọn biểu thức chứa biến ===@@@===GV biên soạn: Nguyễn Bá Phúc
Giải: Ta có: P 1 =
xx
xx
x
x
x
x
x
x 111
1
1

=

=

=


Vì
x
1
< 0

P 1 < 0

P < 1.
Dạng 4. Bài toán Chứng minh biểu thức P < m (m là hằng số) với mọi giá trị của x thuộc ĐKXĐ.
Bớc 1. Tính P m = ?
Bớc 2. Nhận xét dấu của hiệu P m để có điều phải chứng minh.
+) Nếu P m > 0 thì P > m.
+) Nếu P m < 0 thì P < m.
+) Nếu P m = 0 thì P = m.
Ví dụ: Cho P =
x
x 1+
(với x > 0). Chứng minh rằng: P > 1 với mọi giá trị của x > 0.
Giải: Ta có: P 1 =
xx
xx
x
x

x
x
x
x 111
1
1
=
+
=
+
=
+

Vì với x > 0 thì
x
> 0
x
1

> 0

P 1 > 0

P > 1. (đpcm)
Dạng 5. Bài toán tìm x để biểu thức P nhận giá trị nguyên (nguyên dơng)
Loại I. Bài toán tìm các giá trị nguyên của x để biểu thức P nhận giá trị nguyên.
Cách giải:
Bớc 1. Biến đổi biểu thức P về dạng:
P = m

)(xf
n
( Với m, n

Z, f(x) là biểu thức chứa x)
Bớc 2. Biện luận:
Vì m

Z nên để P nguyên thì
)(xf
n
phải nguyên, mà
)(xf
n
nguyên thì f(x) phải là ớc của n.
Bớc 3. Giải các phơng trình: f(x) = Ư
(n)
để tìm đợc x.
Bớc 4. Đối chiếu điều kiện và chọn nghiệm hợp lí.
Ví dụ 1: Cho P =
1
2

+
x
x
(với x

0 và x

1). Tìm các giá trị của x để P nhận giá trị nguyên.
Giải: Ta có: P =
1
3
1
1
3
1
1
1
3)1(
1
2

+=

+


=

+
=

+
xxx
x
x
x

x
x

Để P nhận giá trị nguyên thì
1
3
x
phải nhận giá trị nguyên, mà
1
3
x
nguyên thì
1x
phải là ớc của 3.






=
=
=

=
=
=
=








=
=
=
=

)(16
)(0
)(4
)(2
4
0
2
31
31
11
11
TMDKx

TMDKx
TMDKx
VNx
x
x
x
x
x
x
x

Vậy với x = 0, x = 4 và x = 16 thì P nhận giá trị nguyên.
Ví dụ 2: Cho M =
2x
x
(với x

0 và x

4). Tìm các giá trị của x để M nhận giá trị nguyên dơng.
Giải: Ta có: M =
2
2
1
2
2
2
2
2
2)2(

2
+=

+


=

+
=
xxx
x
x
x
x
x

Để P nhận giá trị nguyên thì
2x
x
phải nhận giá trị guyên, mà
2x
x
nguyên thì
2x
phải là ớc của 2.
trờng THCS Mã Thành yên thành nghệ an
7
rút gọn biểu thức chứa biến ===@@@===GV biên soạn: Nguyễn Bá Phúc

=
=
=
=








=
=
=
=

=
=
=
=

)(0
)(16
)(1
)(9
0
4
1
3
22
22
12
12
TMDKx
TMDKx
TMDKx
TMDKx
x
x
x
x
x
x
x
x

Với x = 9 thì M =
3
23
3
29
9
=

=

> 0 (TM)
Với x = 1 thì M =
01
21
1
21
1
<=

=

(loại)
Với x = 16 thì M =
2
24
4
216
16
=

=

> 0 (TM)
Với x = 0 thì M =
0
20
0
20
0
=

=

(loại)
Vậy với x = 9 và x = 16 thì M nhận giá trị nguyên dơng.
Loại II. Bài toán tìm các giá trị của x (x bất kì) để biểu thức P nhận giá trị nguyên.
Cách giải:
Bớc 1. Nhân chéo để đa biểu thức P về dạng một phơng trình bậc 2 có ẩn là y và tham số P.
Bớc 2. Tìm P để phơng trình bậc hai trên có nghiệm.
Bớc 3. Chọn các giá trị P nguyên trong các giá trị P vừa tìm ở bớc 2.
Bớc 4. Thay P vừa tìm đợc vào biểu thức đã cho để tìm đợc x.
Bớc 5. Đối chiếu ĐKXĐ chọn nghiệm hợp lí.
Ví dụ: Cho biểu thức P =
1
6
+x
x
(với x

0)
Giải: Ta có : P =
06.4)1(
1
6
=+=+
+
PxxPxxP
x
x
(1)
Đặt:
yx =
(ĐK:
0y
) khi đó phơng trình (1) trở thành:
06.
2
=+ PyyP
(2)
Phơng trình (2) có nghiệm

=

0'
0
0
0
a
b
a
Trờng hợp 1.
0
06
0
0
0
=




=

=
P
P
b
a
Trờng hợp 2.
( )

33
0
9
0
03
0
0'
0
2
2
2
P
P
P
P
P
P
a
Để biểu thức P nhận giá trị nguyên thì
{ }
3;2;1;0;1;2;3 =P
.
Mặt khác: Với x

0 thì P =
0
1

6

+x
x
nên ta có
{ }
3;2;1;0=P
Với P = 0
0060
1
6
===
+
xx
x
x
(TMĐK)
Với P = 1
21217016161
1
6
==++==
+
xxxxx
x
x
(TMĐK)
Với P = 2
2
57

013132
1
6
==++==
+
xxxxx
x
x
(TMĐK)
trờng THCS Mã Thành yên thành nghệ an
8
rút gọn biểu thức chứa biến ===@@@===GV biên soạn: Nguyễn Bá Phúc
Với P = 3
1012123
1
6
==++==
+
xxxxx
x
x
(TMĐK)
Vậy với x = 0, x = 1, x =
2
57
, x =
21217
thì biểu thức P nhận giá trị nguyên.
Dạng 6. Bài toán tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức P.
a) Khái niệm:

+) Nếu P(x)

m (m là hằng số) thì m gọi là giá trị nhỏ nhất của P(x).
+) Nếu P(x)

k (k là hằng số) thì k gọi là giá trị lớn nhất của P(x).
b) Cách giải:
Loại . Trờng hợp phân thức có dạng
dxc
bxa
P
+
+
=
.
Bớc 1. Biến đổi biểu thức P về dạng:
P = m +
)(xf
n
(m, n

Z, f(x) là biểu thức chứa x)
Bớc 2. Biện luận:
Trờng hợp 1. n > 0 .
+) P đạt giá trị lớn nhất khi f(x) đạt giá trị nhỏ nhất.
+) P đạt giá trị nhỏ nhất khi f(x) đạt giá trị lớn nhất.
(Vì: Để P đạt giá trị lớn nhất thì
)(xf
n
phải đạt giá trị lớn nhất tức là f(x) phải đạt giá trị nhỏ nhất.

Còn để P đạt giá trị nhỏ nhất thì
)(xf
n
phải đạt giá trị nhỏ nhất tức là f(x) phải đạt giá trị lớn nhất).
Trờng hợp 2. n < 0 .
+) P đạt giá trị lớn nhất khi f(x) đạt giá trị lớn nhất.
+) P đạt giá trị nhỏ nhất khi f(x) đạt giá trị nhỏ nhất.
Bớc 3. Tiến hành tìm giá trị nhỏ nhất hoặc lớn nhất của f(x) để có đợc giá trị lớn nhất hoặc nhỏ nhất của P.
Bớc 4. Tìm điều kiện để xảy ra dấu =.
Bớc 5. Kết luận.
Ví dụ 1: Cho P =
1
3
+
+
x
x
(với x

0). Tìm giá trị lớn nhất của P.
Giải: Ta có: P =
1
2
1
1
2
1
1
1
2)1(

1
3
+
+=
+
+
+
+
=
+
++
=
+
+
xxx
x
x
x
x
x
Ta thấy: Vì ở đây n = 2 > 0 nên: Để P đạt giá trị nhỏ nhất thì
1+x
phải đạt giá trị lớn nhất.
Vì:
x


0

11 +x
. Dấu = xảy ra khi x = 0.

Giá trị nhỏ nhất của
1+x
là 1

Giá trị lớn nhất của P là:
3
10
30
=
+
+
.
Vậy: Giá trị lớn nhất của P là 3, đạt đợc khi x = 0.
Ví dụ 2: Cho M =
2
1
+

x
x
(với x

0). Tìm giá trị nhỏ nhất của M.
Giải: Ta có: M =
2
3
1

2
3
2
2
2
3)2(
2
1
+

+=
+

+
+
+
=
+
+
=
+

xxx
x
x
x
x
x

Ta thấy: Vì ở đây n = - 2 < 0 nên: Để M đạt giá trị nhỏ nhất thì

2+x
phải đạt giá trị nhỏ nhất.
Vì:
x


0


22 +x
. Dấu = xảy ra khi x = 0.

Giá trị nhỏ nhất của
2+x
là 2.


Giá trị lớn nhất của M là:
2
1
20
10
=
+

trờng THCS Mã Thành yên thành nghệ an
9
rút gọn biểu thức chứa biến ===@@@===GV biên soạn: Nguyễn Bá Phúc
Vậy: Giá trị nhỏ nhất của M là
2

1

, đạt đợc khi x = 0.
Loại II. Trờng hợp phân thức có dạng
dxc
bxa
P
+
+
=
.
.
Bớc 1. Biến đổi biểu thức P về dạng:
P =
m
xf
k
xf +






+
)(
)(
(
)(xf
là biểu thức chứa biến x và

0)(; >xfk
)
Bớc 2. áp dụng bất đẳng thức Cô - sy cho hai số dơng
)(xf
và
)(xf
k
rồi từ đó tìm đợc giá trị lớn nhất hoặc giá trị nhỏ
nhất của biểu thức P.
Bớc 3. Tìm điều kiện để xảy ra dấu =.
Bớc 4. Kết luận.
Ví dụ 1: Cho A =
1
3
+
+
x
x
(với x

0). Tìm giá trị nhỏ nhất của A.
Giải: Ta có: A =
1
4
1
1
4
1
)1)(1(
1

4)1(
1
3
+
+=
+
+
+
+
=
+
+
=
+
+
x
x
xx
xx
x
x
x
x


)2(
1
4
)1( +
+

++=
x
x
áp dụng bất đẳng thức Cô - sy cho hai số dơng
)1( +x
và
1
4
+x
ta đợc:

442
)1(
4
).1(2
1
4
)1( ==
+
+
+
++
x
x
x
x


2)2(4)2(
1

4
)1( =++
+
++
x
x


A
2
.
Dấu = xảy ra khi
11214)1(
1
4
)1(
2
===+=+
+
=+ xxxx
x
x
Vậy: Giá trị nhỏ nhất của A là 2, đạt đợc khi x = 1.
Ví dụ 2: Cho B =
2
12
+
+
x
x

(với x

0). Tìm giá trị nhỏ nhất của B.
Giải: Ta có: A =
2
16
2
2
16
2
)2)(2(
2
16)4(
2
12
+
+=
+
+
+
+
=
+
+
=
+
+
x
x
xx

xx
x
x
x
x


)4(
2
16
)2( +
+
++=
x
x
áp dụng bất đẳng thức Cô - sy cho hai số dơng
)2( +x
và
2
16
+x
ta đợc:

8162
)2(
16
).2(2
2
16
)2( ==

+
+
+
++
x
x
x
x


4)4(8)4(
2
9
)2( =++
+
++
x
x


A
4
.
Dấu = xảy ra khi
424216)2(
2
16
)2(
2
===+=+

+
=+ xxxx
x
x
Vậy: Giá trị nhỏ nhất của A là 4, đạt đợc khi x = 4.
Dạng 7. Phơng trình dạng ax + b
x
+ c = 0 (1) (a, b, c là các số cho trớc và a

0)
trờng THCS Mã Thành yên thành nghệ an
10
rút gọn biểu thức chứa biến ===@@@===GV biên soạn: Nguyễn Bá Phúc
a) Cách giải:
Bớc 1. Đặt
x
= y (*) (ĐK: y

0)
Để đa phơng trình (1) về dạng phơng trình bậc hai có ẩn là y.
a.y
2
+ b.y + c = 0 (2)
Bớc 2. Giải phơng trình (2) để tìm đợc y.
Bớc 3. Thay y vừa tìm đợc vào hệ thức (*) để tìm đợc x.
b) Chú ý:
+) Để phơng trình (1) có 2 nghiệm phân biệt thì phơng trình (2) phải có hai nghiệm phân biệt không âm.
Tức là: Phơng trình (2) phải có:

>

>
0
0
0
a
c
a
b
+) Để phơng trình (1) có 1 nghiệm phân biệt thì phơng trình (2) phải có hai nghiệm trái dấu, hoặc phơng trình (2) phải có
nghiệm kép không âm, hoặc phơng trình (2) phải có một nghiệm âm và một nghiệm bằng không.
Tức là: Phơng trình (2) phải có (3 trờng hợp):
Trờng hợp 1. Phơng trình (2) có hai nghiệm trái dấu

a.c < 0
Trờng hợp 2. Phơng trình (2) có nghiệm kép không âm

=

0
2
0
a
b
Trờng hợp 3. Phơng trình (2) có một nghiệm âm và một nghiệm bằng 0









=
<

>

0
0
0
a
c
a

b
Ví dụ: Cho phơng trình: x 2(m 1)
x
+ 1 2m = 0 (1) (với m là tham số)
a) Giải phơng trình khi m =
2
1
.
b) Tìm các giá trị của tham số m để phơng trình (1) có:
1) Hai nghiệm. 2) Một nghiệm.
Giải:
Đặt
x
= y (*) (ĐK: y

0)
Khi đó phơng trình (1) trở thành: y
2
2(m 1)y + 1 2m = 0 (2)
a) Khi m =
2
1
thì phơng trình (2) trở thành: y
2
+ y = 0

y(y + 1) = 0

=
=




=+
=
)(1
)(0
01
0
loaiy
TMy
y
y
Với y = 0 thì
x
= 0

x = 0
Vậy khi m =
2
1
thì phơng trình có nghiệm là x = 0.
b) Ta có: a = 1, b = 2.(m 1), c = 1 2m, b = (m 1) = 1 m.

( ) ( )
22
22
2121)21(1'' mmmmmmacb =++===

1) Để phơng trình (1) có hai nghiệm phân biệt thì phơng trình (2) phải có:
trờng THCS Mã Thành yên thành nghệ an
11
rút gọn biểu thức chứa biến ===@@@===GV biên soạn: Nguyễn Bá Phúc









>








>
>

>

>
2
1
1
0
021
0)1(2
0
0
0
0
2
m
m
m
m
m
m

a
c
a
b
(Không tồn tại m)
Vậy không có giá trị nào của m để phơng trình (1) có hai nghiệm.
2) Để phơng trình (1) có một nghiệm thì phơng trình (2) phải có hai nghiệm trái dấu hoặc phơng trình (2) phải có nghiệm kép
không âm, hoặc phơng trình (2) phải có một nghiệm âm và một nghiệm bằng 0.
Trờng hợp 1. Phơng trình (2) có hai nghiệm trái dấu: a.c < 0

1 2m < 0

m >
2
1
Trờng hợp 2. Phơng trình (2) có nghiệm kép không âm




=








=

01
0
0
2
0'
2
m
m
a
b





=

1
0
m
m
(Không tồn tại m)
Trờng hợp 3. Phơng trình (2) có một nghiệm âm và một nghiệm bằng không:

<







=
<
>

=
<

>

0
2
1
2
1
1
0
021
0)1(2
0
0
0
0
2
m
m
m
m
m
m
m
m
a

c
a
b

Kết hợp cả 3 trờng hợp trên ta đợc m

0.
Vậy với m

0 thì phơng trình (1) sẽ có một nghiệm.
C. Bài tập.
Bài 1. Cho biểu thức A =
1 1
: 1
1
x x
x
x x x

+

+ +
ữ
ữ
ữ




a) Tìm ĐKXĐ và rút gọn A. b) Tìm các giá trị của x để A > 0.

c) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức M = A.
x
khi x > 1.
Bài 2. Cho biểu thức B =
( )
2
1
1
.
1
2 1 3 1
x
x x
x
x x x
+



ữ
ữ

+ +

a) Tìm ĐKXĐ và rút gọn B. b) Tìm các giá trị của x để biểu thức B nhận giá trị âm.
c) Tìm các giá trị của x thoả mãn điều kiện B =
2
x
.
Bài 3. Cho biểu thức C =

1 1
:
1 2 1
a
a a a a a

+
ữ
+ + + +

a) Tìm ĐKXĐ và rút gọn C. b) Tính giá trị của biểu thức C khi a =
1
25
c) Tìm các giá trị của a thoả mãn điều kiện
C
> 2.
Bài 4. Cho biểu thức D =
1 1 1 1
:
6
3 6 2 2x x x x

+ +
ữ ữ


a) Tìm ĐKXĐ và rút gọn D. b) Tìm các giá trị nguyên của x để D nhận giá trị nguyên.
c) Tìm các giá trị của x để
D D=
.

Bài 5. Cho biểu thức E =
( )
1
1
.
1
1
x x x
x x
x
x x x x
+

+
+
ữ
ữ

+

a) Tìm ĐKXĐ và rút gọn E. b) Tìm các giá trị nguyên của x để E nhận giá trị nguyên.
c) Tìm các giá trị của x để
E E=
.
trờng THCS Mã Thành yên thành nghệ an
12
rút gọn biểu thức chứa biến ===@@@===GV biên soạn: Nguyễn Bá Phúc
Bài 6. Cho biểu thức F =
1 1 4
.

6
2
x
x
x x



ữ


a) Tìm ĐKXĐ và rút gọn F. b) Tìm các giá trị của x để
F
= 1. c) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức M =
F.3
1
.
Bài 7. Cho biểu thức P =
1 1 2
:
1 1 2 1x x x x


ữ
+ +

a) Tìm ĐKXĐ và rút gọn P. b) Tìm các giá trị của x để
P P>
. c) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P.
Bài 8. Cho biểu thức Q =

1 1
2 .
1
x x
x x x x
+

+
ữ ữ


a) Tìm ĐKXĐ và rút gọn Q. b) Tìm các giá trị của x để Q =
2 1x
x

.
c) Tìm các giá trị nguyên của x để biểu thức N =
Q
x
x 3
.
1+
nhận giá trị nguyên dơng.
Bài 9. Cho biểu thức S =
1 1 1
:
x x x x
x
x x x x x

+

+
ữ
ữ
ữ
+


a) Tìm ĐKXĐ và rút gọn S. b) Tìm các giá trị của x để S
2
=
4
5
S. c) So sánh S với 1.
Bài 10. Cho biểu thức: H =
( )
2
1
2 2
.
1 2
2 1
x
x x
x
x x


+

ữ
ữ

+ +


a) Tìm tập xác định và rút gọn H. b) Tính giá trị của H khi x = 4 + 2
3
. c) So sánh H với 3
x
+ 1.
Bài 11. (2 điểm) Cho biểu thức P =
( )
2
1 1 1
:
1
1
x
x x x
x
+

+
ữ



a) Tìm điều kiện xác định và rút gọn P. b) Tìm x để P > 0.

Bài 12. (3 điểm). Cho biểu thức A =
1 1
:
1 1
x
x x x x


ữ
ữ


a) Tìm điều kiện xác định và rút gọn biểu thức A. b) Tìm các giá trị của x để A < 0.
c) Tìm tất cả các giá trị của tham số m để phơng trình A
x
= m
x
có nghiệm.
Bài 13. (3 điểm). Cho biểu thức P =
3 1 1
:
1
1 1
x
x x

+
ữ

+

a) Tìm điều kiện xác định và rút gọn biểu thức P. b) Tìm các giá trị của x để P =
5
4
.
c) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức M =
P
x
x 1
.
1
12
+
+
Bài 14. (2 điểm) Cho biểu thức A =
1
1
1
1
+



+
x
x
x
xx
a) Tìm điều kiện xác định và rút gọn A. b) Tính giá trị của biểu thức A khi x =
9

4
.
c) Tìm tất cả các giá trị của x để A < 1.
Bài 15. Cho biểu thức : A =

















+
+
xxx
1
1.
1
1
1
1

a) Tìm ĐKXĐ và rút gọn A. b) Tính giá trị của biểu thức A khi x = 3 2
2
.
trờng THCS Mã Thành yên thành nghệ an
13
rút gọn biểu thức chứa biến ===@@@===GV biên soạn: Nguyễn Bá Phúc
c) Tìm các giá trị của x để x.A =
3
8
.
Bài 16. Cho biểu thức : B =








+








+

+
xx
x
x
x 1
1.
1
1
1
1

a) Tìm ĐKXĐ và rút gọn B. b) Tính giá trị của biểu thức A khi x = 4 + 2
3
. c) Tìm các giá trị của x để B = 1.
Bài 17. ( 2 điểm ) Cho biểu thức : C =
a
a
a
a
a
a


+
+

+
4
44
2
1
2
3
(Với a > 0 và a

4)
a) Rút gọn C . b) Tính giá trị của C với a = 9
Bài 18. Cho biểu thức : D =
x
x
x
x
xx
x 1
.
1
2
12
2 +

++
+
,
a) Tìm ĐKXĐ và rút gọn D. b) Tìm số nguyên x lớn nhất để D có giá trị nguyên.
Bài 19. ( 2,5 điểm ) Cho biểu thức : N =
xxxxx
+








+

+
+
1
1
1
1
1
1
:
1
1
1
1
a) Rút gọn biểu thức N . b) Tính giá trị của N khi x = 7 + 4
3
c) Với giá trị nào của x thì N đạt giá trị nhỏ nhất. Tìm giá trị nhỏ nhất đó.
Bài 20. (2,5 điểm) Cho biểu thức : H =
2
2
:
11

+

+
+



a
a
aa
aa
aa
aa
a) Tìm ĐKXĐ và Rút gọn biểu thức H.
b) Với những giá trị nguyên nào của a thì biểu thức H nhận giá trị nguyên .
Bài 21. ( 3 điểm ) Cho biểu thức: Q =
1
2
:
1
1
1
2
++
+

+
xx
x
xxx
xx
a) Rút gọn biểu thức Q . b) Tính giá trị của
Q
khi x = 4 + 2
3
Bài 22. Cho biểu thức: D =








+

+

+

1
2
1
1
1
:
1
1
1
1
2
x
xx
x
x
x
x
x
a) Tìm ĐKXĐ và rút gọn D. b) Chứng minh rằng D < 1 với mọi giá trị của x 1.
Bài 23. Cho biểu thức: C =
144
1

:
21
1
14
5
21
2
1
22
++











+

xx
x
x
x
x
x
a) Tìm ĐKXĐ và rút gọn C. b) Tìm các giá trị của x để C =

2
1

.
Bài 24. Cho biểu thức : F =
1
1
2
1
1
:
1
1








+

+
+
xxxx
x
x
x
x
a) Tìm ĐKXĐ và rút gọn F. b) Tìm các giá trị nguyên của x để biểu thức F
x
nhận giá trị nguyên.
Bài 25. Cho biểu thức: P =

+
+
+
1
1.
1
1
a
aa
a
aa

a) Tìm ĐKXĐ và rút gọn P. b) Tìm a biết P >
2
. c) Tìm a biết P =
a
.
Bài 26. Cho biểu thức: M =








+

+
+
1
1
4
:
1
2
x
x
x
x
x
x
x

a) Tìm ĐKXĐ và rút gọn M. b) Tìm x để M < 1.
c) Tìm x để biểu thức M đạt giá trị nhỏ nhất. Tìm giá trị nhỏ nhất đó.
Bài 27. (2 điểm) Cho biểu thức: M =

( )
xx
x
x
x
++




1
1
1
1
3
(với x

0 và x

1)
trờng THCS Mã Thành yên thành nghệ an
14
rút gọn biểu thức chứa biến ===@@@===GV biên soạn: Nguyễn Bá Phúc
a) Rút gọn biểu thức M. b) Tìm x để M 2.
Bài 28. Cho biểu thức: P =

+












2
2
:
2
3
2
4
x
x
x
x
xxx

x
a) Rút gọn P. b) Tìm x để P = 3x 3
x
.
c) Tìm các giá trị của a để có x thoả mãn điều kiện: P.
( )
axx +>+1
Bài 29. Cho biểu thức: A =









+


+

1
2
2
1
:
1
1
1
x
x
x
x
xx
a) Tìm điều kiện xác định và rút gọn P. b) So sánh A với 1.
c) Tìm các giá trị nguyên của x để biểu thức A nhận giá trị nguyên dơng.
d) Tìm các giá trị của tham số m để phơng trình A.x = m có một nghiệm.
Bài 30. Cho biểu thức: M =

+

+

x
x
x
x
x
x 1
.
1
1
1
1
a) Tìm điều kiện xác định và rút gọn M. b) Chứng minh rằng M > 4 với mọi giá trị của x thuộc tập xác định.
c) Tìm các giá trị của x để: M.
x
< 2. d) Tìm các giá trị của tham số m để phơng trình M = 2m có hai nghiệm.
Bài 31. Cho biểu thức: P =
xxx
x
xx
x

+
++
+
+

+
1
1
1
1
1
2
a) Tìm điều kiện xác định và rút gọn P. b) Chứng minh rằng P <
3
1
với mọi giá trị của x thuộc tập xác định.
c) Tìm các giá trị của tham số m để phơng trình m.P = 1 có 1 nghiệm.
Bài 32. (3 điểm) Cho biểu thức: E =
1
2
1
.
1
1
1
1
2
2
2

+
+

x
x
xx
a) Tìm điều kiện của x để biểu thức E có nghĩa . c) Rút gọn biểu thức E.
c) Giải phơng trình A = 2
x
theo ẩn x.
Bài 33. Cho biểu thức: F =









+

+



+
xx
x
x
x
x
x
x
x
x
3
24
3
5

:
9
4
3
3
3
3
a) Tìm ĐKXĐ và rút gọn F. b) Tìm giá trị của x để:
FF >
c) Tìm các giá trị của x để F
2
= 40F.
Bài 34. Cho biểu thức: P =











+

+
2
42
:
2
34
2 x
x
x
x
xx
x
x
x
a) Rút gọn P. b) Tìm các giá trị của x để P > 0. c) Tính giá trị nhỏ nhất của
P
.
d) Tìm giá trị của m để có giá trị x > 1 thoả mãn: m(
x
3).P = 12m
x
4
Bài 35. (3 điểm) Cho biểu thức: M =
xxxxxx
x

++
+
2
1
:
1
a) Tìm ĐKXĐ và rút gọn biểu thức M. b) Coi M là hàm số của biến x vẽ đồ thi hàm số M.
Bài 36. (2 điểm) Cho biểu thức : A =
aaa
a
aa
a
+
+
++
+
+
+
+
1
1
11
11
11
11
a) Tìm ĐKXĐ và rút gọn biểu thức A .
b) Chứng minh rằng biểu thức A luôn nhận giá trị dơng với mọi a thuộc ĐKXĐ.
trờng THCS Mã Thành yên thành nghệ an
15
rút gọn biểu thức chứa biến ===@@@===GV biên soạn: Nguyễn Bá Phúc

Bài 37. Cho biểu thức: B =










+



+









+
+

4
4

2
2
2
2
:
2
3
2
2
x
x
x
x
x
x
xx
x
x
a) Tìm ĐKXĐ và rút gọn B. b) Cho
11
4
3
2
=

x
x
. Hãy tính giá trị của B.
Bài 38. Cho biu thc: E =
( )( )

+
+







+

+
++
1
1
1
1
:
1
12
23

aa
a
aa
aa
aa

a) Rỳt gn E. b) Tỡm a :
1
8
11

+

a
E
.
Bài 39. Cho biểu thức: Q =

+



+
1
1
1
3
:
1
8
1
1
1
1
x
x
xx
x
x

x
x
x
x

a) Tìm ĐKXĐ và rút gọn Q. b) Tính giá trị của biểu thức Q khi x = 3 + 2
2
.
c) Chứng minh rằng: Q

1 với mọi giá trị của x thoả mãn điều kiện x

0 và x

1.
Bài 40. (2 điểm) Cho biểu thức: N =
ab
ba
aab
b
bab
a +


+
+
(với a, b > 0 và a

b).
a) Rút gọn biểu thức N. b) Tính giá trị của N khi:

526 +=a
và
526 =b
.
Bài 41. : Cho biểu thức H =








+
+




+

5
2
2
5
103
25
:1
25
25
a
a
a
a
aa
a
a
aa
a) Rút gọn M. b) Tìm tất cả các giá trị của a để M < 1. c) Tìm giá trị lớn nhất của M.
Bài 42. Cho biểu thức P =
( )
( )
( )
1
2
1
123
13
1

2
2
2

+



+

aaa
a
aa
a
a) Rút gọn P. b) So sánh P với biểu thức Q =
1
12


a
a
.
Bài 43. Cho biểu thức A =

+



+












1
8
1
1
1
1
:
1
1
1

3
a
a
a
a
a
a
a
a
aa

a) Rút gọn A. b) So sánh A với 1.
Bài 44. : Cho biểu thức A =
12
.
1
2
1
12
1

+


+
+
x
xx
xx
xxxx
x
xx
a) Rút gọn A. b) Tìm x để A =
5
66
c) Chứng tỏ A
3
2

là bất đẳng thức sai.
Bài 45. Cho biểu thức P =

+
+
++
+










+
1
2
1
1
:
22
3
22 xx
x
xx
x
x
x
x
x

a) Rút gọn P. b) Chứng minh rằng P > 1. c) Tính giá trị của P, biết
32 =+ xx
.
d) Tìm các giá trị của x để:
)22( +x
.P
( )( )
42225 +=+ xx
.
Bài 46. : Cho biểu thức P =
( )

















+
+

+


+

x
x
xx
x
x
xx
x
xx
1
1
.
1
1
:
1
1
2

a) Rút gọn P. b) Xác định giá trị của x để (x + 1).P = x 1.
c) Biết Q =
x
x
P
31 +

. Tìm x để Q đạt giá trị lớn nhất.
trờng THCS Mã Thành yên thành nghệ an
16
rút gọn biểu thức chứa biến ===@@@===GV biên soạn: Nguyễn Bá Phúc
Bài 47. Cho biểu thức P =








+
+
+

+
+
+
xyy
xy
xyx
xy
yx
yxyxxy
22
:
22
1

a) Rút gọn P. b) Tìm m để phơng trình P = m 1 có nghiệm x, y thoả mãn
6=+ yx
.
Bài 48. Cho biểu thức P =
1212
1
.
1
1
2

+
+

+


+
x
x
xx
x
x
xx
xx
xxxx
a) Rút gọn P. b) Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức A = P.
xx
x
+
35
c) Tìm các giá trị của m để mọi x > 2 thoả mãn điều kiện: P.
( )
xxmxx +>++ )1.(31
.
Bài 49. Cho biểu thức: P =

+


+
1
2
1
1
:
1
22

1
1
x
xxxxx
x
x
a) Rút gọn P. b) Tìm x để P < 1.
c) Tìm x để P đạt giá trị nhỏ nhất. Tìm giá trị nhỏ nhất đó.
Bài 50. Cho biểu thức: P =








+










+

+

+
+
1
2:
3
2
2
3
65
2
x
x
x
x
x
x
xx
x
a) Rút gọn P. b) Tìm x để:
2
51

P
.
Bài 51. Cho biểu thức: P =
( )
1

2
2
3
2
33



+
+
+
+
+
x
x
x
x
xx
xx
a) Rút gọn P . b) Tìm x để P <
4
15
.
Bài 52. Cho biểu thức: P =
( )

+
+
+

+
+
1
1
12
2
1
2
33
xx
x
x
x
xx
xx
a) Tìm ĐKXĐ và rút gọn P.
b) Tìm các giá trị x nguyên để P nguyên ; c) Tìm các giá trị của x để P =
x
.
Bài 53. Cho biểu thức P =

x
x
x
x
xx
x

+


+

+

3
12
2
3
65
92
a) Rút gọn P. b) Tìm các giá trị của x để P < 1. c) Tìm x

Z để P

Z.
Bài 54. 1) Cho biểu thức: M =

+









+
+
1
1
1
:1
1
1
2
a
a
a

a) Tỡm ĐKXĐ và rỳt gn biu thc M. c) Tớnh giỏ tr ca M ti a =
32
3

+
.
2) Tớnh :
5724057240 +

Bài 55. Cho biểu thức: N =



















+
+
+
1
1

1
1
a
aa
a
aa

a) Rút gọn biểu thức N. b) Tìm giá trị của a để N = - 2010.
D. đáp số.
Bài 1. a) ĐKXĐ: x > 0 và x
1
. Kết quả rút gọn: A =
1x
x
b) A > 0
11010
1
>>>>

xxx
x
x
trờng THCS Mã Thành yên thành nghệ an
17
rút gọn biểu thức chứa biến ===@@@===GV biên soạn: Nguyễn Bá Phúc
c) M = A.
1
1)1(
1
+

=

=
x
x
x
x
x

1
1
1
1
1
1
1

++=

+


=
x
x
xx
x
2
1
1

)1( +

+=
x
x
Vì khi x > 1 thì
01 >x
nên áp dụng BĐT Cô-sy Cho 2 số dơng
)1( x
và
1
1
x
ta đợc:

)1( x
+
2
)1(
1
).1(2
1
1
=


x
x
x
4222

1
1
)1( =++

+
x
x

M

4
Dấu = xảy ra khi
)1( x
=
1
1
x




=
=





=
=

=
)(0
)(4
11
11
1)1(
2
Loaix
TMx
x
x
x
Vậy GTNN của biểu thức M là 4, đạt đợc khi x = 4.
Bài 2.a) ĐKXĐ: x

0 ; x
9
1

và x
1
. Kết quả rút gọn: B =
1
1
x
b) B nhận giá trị âm
0
<
B

11010
1
1
<<<<

xxx
x
Kết hợp với ĐKXĐ ta đợc
10
<
x
và x
9
1

c) B =
2)1(
2
1
1
2
==

xx
x
x
x
0)2)(1(02 =+= xxxx
4202 === xxx
(TMĐK)

Bài 3. a) ĐKXĐ: a > 0 . Kết quả rút gọn: C =
2
1








+
a
a
b) Khi a =
25
1
thì C = 36
c)
2
1
2
1
2
2
>
+
>

+
>
a
a
a
a
C
0
1
02
1
2
1
>

>
+
>
+

a
a
a
a

a
a
1101 <<> aaa
. Kết hợp với ĐKXĐ ta đợc:
10
<<
a
.
Bài 4. a) ĐKXĐ: x > 0 và x
4
. Kết quả rút gọn: D =
2
2
x
b) Ta có D nguyên khi
2
2
x
2 x
phải là ớc của 2
16;9;1 === xxx
.
c)
020
2
2
0 >

= x
x

DDD
4
>
x
(TMĐKXĐ)
Bài 5. a) ĐKXĐ: x > 0 và x
1
. Kết quả rút gọn: E =
1x
x
b) Ta có E =
1
1
1
1
1)1(

+=

+
xx
x
. E nguyên khi
1
1
x
nguyên
1 x
phải là ớc của 1
4

=
x
.
c)
0
1
0

=
x
x
EEE
101 << xx
.Kết hợp với ĐKXĐ ta đợc
10
<<
x
Bài 6. a) ĐKXĐ: x > 0 và x
4
. Kết quả rút gọn: F =
x
x
3
2+
b)



=
=

=
1
1
1
F
F
F
Vì F =
0
3
2
>
+
x
x
trờng THCS Mã Thành yên thành nghệ an
18
rút gọn biểu thức chứa biến ===@@@===GV biên soạn: Nguyễn Bá Phúc

F = 1
023231
3
2
=+==
+
xxxx
x
x
010)
3

2
)(1( ==+ xxx
1
=
x
(TMĐKXĐ)
c) M =
2
3
2
.3
1
.3
1
+
=
+
=
x
x
x
x
F
2
4
2
2
4)4(
+
+=

+
+
=
x
x
x
x
)4(
2
4
)2( +
+
++=
x
x
áp dụng BĐT Cô - Sy cho 2 số dơng
)2( +x
và
2
4
+x
ta đợc:
4
2
4
)2(
+
++
x
x

0)4(4)4(
2
4
)2( =++
+
++
x
x
Dấu = xảy ra khi
)2( +x
=
2
4
+x
0224)2(
2
==+=+ xxx
Vậy giá trị nhỏ nhất của M là 0 đạt đợc khi x = 0.
Bài 7. a) ĐKXĐ: x
0
và x

1.Kết quả rút gọn: P
1
1
+

x
x

b)
010
1
1
0 <<
+

<> x
x
x
PPP
1< x
. Kết hợp với ĐKXĐ ta đợc:
10 < x
.
c) P
1
)2(
1
1
)2()1(
+

+=
+
++
=
xx
x
. Do (-2) < 0 nên P đạt giá trị nhỏ nhất

1+x
đạt giá trị nhỏ nhất.
Vì
110 + xx
.Dấu = xảy ra khi x = 0

Giá trị nhỏ nhất của biểu thức
1+x
là 1, đạt đợc khi x = 0.
Vậy giá trị nhỏ nhất của biểu thức P là (-1), đạt đợc khi x = 0.
Bài 8. a) ĐKXĐ: x > 0 và x
1
. Kết quả rút gọn: Q =
x
x 1
b) Ta có Q =
0)2(02121
12112
===

=



xxxxxx
x
x
x
x
x

x
.




=
=





=
=

)(4
)(0
2
0
TMDKx
loaix
x
x

c) N =
1
3
1
3

.
13
.
1

=

+
=
+
x
x
x
x
x
Q
x
x
. N nguyên khi
1
3
x
nguyên
1 x
phải là ớc của 3
16;4 == xx
(TMĐK). Với x = 4 thì N = 3 (thoả mãn), Với x = 16 thì N = 1 (thoả mãn)
16;4 == xx
Bài 9. a) ĐKXĐ: x > 0 và x
1

. Kết quả rút gọn: S =
1
2
+x
x
b) Ta có:




=
=
===
5
4
0
0)
5
4
(0
5
4
5
4
22
S
S
SSSSSS

TH

1
. S = 0
00020
1
2
====
+
xxx
x
x
(loại)
TH
2
. S =
5
4









=
+
=

=
+
=
=++==
+

)(
2
1721
)(
2
17521
4
175
4
175
0152)1(25
5
4
1
2
TMx
TMx
x

x
xxxx
x
x

trờng THCS Mã Thành yên thành nghệ an
19
rút gọn biểu thức chứa biến ===@@@===GV biên soạn: Nguyễn Bá Phúc
c) S 1 =
10
1
)1(
1
)12(
1
)1(2
1
1
1
2
1
1
2
2
<<
+

=
+
+

=
+
+
=
+
+

+
=
+
S
x
x
x
xx
x
xx
x
x
x
x
x
x
Bài 10. a) ĐKXĐ: x

0 và x
1
. Kết quả rút gọn: S =
xx
b) Thay

2
)13(324 +=+=x
vào biểu thức H ta đợc H =
)13(3)324()13(
2
+=++
c) H
)13( +x
=
130)1()12(13
2
+<<+=++= xHxxxxxx
Bài 11. a) ĐKXĐ: x > 0 và x
1
. Kết quả rút gọn: P =
x
x1
b) Thay
11010
1
0 <<>>

> xxx
x
x
P
. Kết hợp với ĐKXĐ ta đợc 0 < x < 1.
Bài 12. a) ĐKXĐ: x > 0 và x
1
. Kết quả rút gọn: A =

x
x 1
b)
1010
1
0 <<<

< xx
x
x
A
. Kết hợp với ĐKXĐ ta đợc 0 < x < 1.
c)
0)1(1. =++== mxxxmxxmxA
(1)
Đặt
yx =
(ĐK: y > 0 và y
1
). Khi đó phơng trình (1) trở thành:
0)1(
2
=++ myy
(2)
Để phơng trình (1) có nghiệm thì phơng trình (2) phải có nghiệm dơng khác 1.
TH
1
. Phơng trình (2) có hai nghiệm phân biệt đều dơng khác 1

>+
>
>+











>
>

>

01
0)1(
01
02
0)1(

0
0
0
m
m
m
f
a
c
a
b
(VN)
TH
2
. Phơng trình (2) có hai nghiệm trái dấu khác 1
1
01
0)1(
0)1(
0
>




<

<
m
m
m
f
a
c

TH
3
. Phơng trình (2) nghiệm kép dơng khác 1








>
>+

>

=

01
0
2
1
02
0)1(
0
2
0
m
m
f
a
b
(VN)
TH
4
. Phơng trình (2) có một nghiệm bằng 0 và một nghiệm dơng khác 1

=+
>
>+











=
>

>

01
0)1(
01
02
0)1(
0
0
0

m
m
m
f
a
c
a
b
(VN)
Kết hợp 4 Trờng hợp trên ta có m > 1.
Bài 13. a) ĐKXĐ: x
0
và x

1. Kết quả rút gọn: P =
1
2
+
+
x
x
b)
93)1(5)2(4
4
5
1
2
4
5
==+=+=

+
+
= xxxx
x
x
P
(TMĐKXĐ)
c) M
4
2
16
)2(
2
16
2
2
16)4(
2
12
2
1
.
1
121
.
1
12

+
++=

+
+=
+
+
=
+
+
=
+
+
+
+
=
+
+
=
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
P
x

x
.
trờng THCS Mã Thành yên thành nghệ an
20
rút gọn biểu thức chứa biến ===@@@===GV biên soạn: Nguyễn Bá Phúc
áp dụng BĐT Cô-sy Cho 2 số dơng
)2( +x
và
2
16
+x
ta đợc:

)2( +x
+
8
)2(
16
).2(2
2
1
=
+
+
+ x
x
x

M

4
Dấu = xảy ra khi
)2( +x
=
2
16
+x
4
)(42
42
16)2(
2
=




=+
=+
=+ x
loaix
x
x
Vậy GTNN của biểu thức M là 4, đạt đợc khi x = 4.
Bài 14. a) ĐKXĐ: x
0

và x

1. Kết quả rút gọn: A =

1x
x
b) Thay x =
4
9
vào biểu thức A ta đợc A =
3
2
1
2
3
1
2
3
2
3
1
4
9
4
9
==

=


c) A < 1
10
1
1

01
1
1
1
<<

<

<

x
xx
x
x
x
. Kết hợp với ĐKXĐ ta đợc
10 < x
Bài 15. a) ĐKXĐ: x > 0 và x

1. Kết quả rút gọn: A =
1
2
+x
b) Thay x =
2
)12(223 =
vào biểu thức A ta đợc A =
)12(2
12
2

12
2
)12(
2
2
+=

=

=


c)
4
)(
3
2
2
0443)1(43
3
8
1
2
3
8
. =

=
=
=+==
+
= x
loaix
x
xxxx
x
x
Ax
(TMĐK)
Bài 16. a) ĐKXĐ: x > 0 và x

1. Kết quả rút gọn: B =
1
4
x
b) Thay x =
2
)13(324 +=+
vào biểu thức B ta đợc B =
)13(2
13
4
13
4
)13(
4

2
=
+
=
+
=
+

c)
255141
1
4
1 ====

= xxx
x
B
(TMĐK)
Bài 17. a) ĐKXĐ: a

0 và a

4. C =
4
44
2
1
2
3
4

44
2
1
2
3



+



+
=


+
+



+
a
a
a
a
a
a
a
a

a
a
a
a

)2)(2(
44
)2)(2(
)2)(1(
)2)(2(
)2)(3(
+


+


+
++
=
aa
a
aa
aa
aa
aa

2
4
)2)(2(

44
)2)(2(
23
)2)(2(
65

=
+


+
+

+
++
=
aaa
a
aa
aa
aa
aa
b) Thay a = 9 C ta đợc C =
4
1
4
29
4
==

Bài 18. a) ĐKXĐ: x > 0 và x

1. Kết quả rút gọn: D =
1
2
x
trờng THCS Mã Thành yên thành nghệ an
21
rút gọn biểu thức chứa biến ===@@@===GV biên soạn: Nguyễn Bá Phúc
b) Ta có D nguyên

1
2
x
nguyên

x 1 là ớc của 2

3
2
3
)(0
)(1
)(2
)(3
11
21
11
21

=



=
=








=
=
=
=







=
=
=
=
x

x
x
loaix
loaix
TMx
TMx
x
x
x
x
Cách 2. D =
1
2
x
2.2)1( +== DxDxD
(*)
TH
1.
Nếu D = 0 thì phơng trình (*) vô nghiệm.
TH
1.
Nếu D

0 thì phơng trình (*)
DD
D
x
2
1
2

+=
+
=
. Để x là số nguyên lớn nhất thì D =1
3
=
x
Bài 19. a) ĐKXĐ: x > 0 và x

1. Kết quả rút gọn: N =
xx
1
b) Thay x =
2
)32(347 +=+
vào N ta đợc N =
32
32
1
32
1
)32(
1
2
=
+
=
+
=
+

c) N =
4
1
)
2
1
(
1
4
1
)
4
1
(
11
2
+
=
++
=

xxx
xx
Vì:
4
1
4
1
)

2
1
(
2
+ x

44
4
1
1
4
1
)
2
1
(
1
2
=
+
N
x
. Dấu = xãy ra khi
4
1
0
2
1
== xx
Vậy giá trị nhỏ nhất của N là 4 đạt đợc khi x =

4
1
.
Bài 20. (2,5 điểm) Cho biểu thức : H =
2
2
:
11

+








+
+



a
a
aa
aa
aa
aa
a) Tìm ĐKXĐ và Rút gọn biểu thức H.

b) Với những giá trị nguyên nào của a thì biểu thức H nhận giá trị nguyên .
a) ĐKXĐ
0
>
a
;
1

a
và
2

a
.
H =
2
2
.
)1(
)1)(1(
)1(
)1)(1(
2
2
:
11
+

+
++


++
=

+








+
+



a
a
aa
aaa
aa

aaa
a
a
aa
aa
aa
aa
2
42
2
2
.
2
2
2
.
)1()1(
+

=
+

=
+
+

+

++
=
a
a
a
a
a
a
a
a
a
aa
a
aa
b) H
2
8
2
2
8
2
)2(2
2
8)42(
2
42
+

=
+

+
+
=
+
+
=
+

=
aaa
a
a
a
a
a
. Để H nguyên thì a + 2 phải là ớc của 8.
6
)(10
)(6
)(6
)(2
)(4
)(0
)(3
)(1
82
82

42
42
22
22
12
12
=














=
=
=
=
=
=
=
=

=+
=+
=+
=+
=+
=+
=+
=+
a
loaia
TMa
loaia
loaia
loaia
loaia
loaia
loaia

a
a
a
a
a
a
a
a
trờng THCS Mã Thành yên thành nghệ an
22
rót gän biÓu thøc chøa biÕn ===@@@===GV biªn so¹n: NguyÔn B¸ Phóc
trêng THCS M· Thµnh yªn thµnh nghÖ an– –
23