chuyen de rut gon bieu thuc

Giáo viên sọan : Vũ Thành Trung
Rút gọn biểu thức chứa biến
Trong chơng trình Toán lớp 9, việc rút gọn các biểu thức là vấn đề vô cùng quan
trọng(chiếm khoảng từ 1,5 đến 3,5 điểm trong các kì thi), vì thế, mà tôi muốn giới thiệu bài
Toán này tới bạn đọc. Mong các em hiểu sâu hơn và nắm vửng cách làm về dạng toán này.
A. lí thuyết.
1) Bài Toán quy đồng mẩu thức các phân thức .
Trong chơng trình lớp 8, SGK đã giới thiệu cho chúng ta phơng pháp quy đồng mẩu thức
các phân thức nh sau.
B ớc 1 . Tìm mẩu thức chung(MTC)
Trong bớc này các em cần làm các việc sau:
Phân tích các mẩu thức thành nhân tử.
Lập tích gồm các NTC có số mủ cao nhất và các NT riêng để có MTC.
B ớc 2 . Tìm NTP của từng phân thức. (để tìm NTP các em cần lấy MTC vừa tìm đợc
chia cho MT riêng của từng phân thức).
B ớc 3 . Quy đồng. (Nhân cả tử và mẩu của từng phân thức với NTP tơng ứng).
Ví dụ 1: Quy đồng mẩu thức các phân thức sau:
a)




x
à




+
xx
b)

x
à


+
x
x
c)
x
x


+
và




x
Giải:
a)Đầu tiên ta phải tìm MTC:
Ta có: x
2
1 = (x 1)(x + 1)
và: x
2
2x + 1 = (x 1)

2
khi phân tích xong ta thấy Nhân tử chung là
(x 1), còn nhân tử riêng là (x + 1)


MTC là: (x 1)
2
. (x + 1)
Tìm đợc MTC rồi, ta tiến hành tìm nhân tử phụ(NTP) của từng phân thức:
Để tìm NTP của phân thức




x
ta lấy MTC là (x 1)
2
. (x + 1) chia cho Mẩu
thức riêng của nó là (x
2
1) hay (x 1)(x + 1)

Vì (x 1)
2
. (x + 1)
M
(x 1)(x + 1) = x 1


NTP của phân thức

x
là: (x 1)
Tơng tự, để tìm NTP của phân thức




+
xx
ta lấy MTC là (x 1)
2
. (x + 1)
chia cho Mẩu thức riêng của nó là x
2
2x + 1 hay (x 1)
2

Vì (x 1)
2
. (x + 1)
M
(x 1)
2
= x + 1
Chuyên đề rút gọn biểu thức- ôn vào 10

Giáo viên sọan : Vũ Thành Trung


NTP của phân thức




+
xx
là: (x + 1)
Công việc còn lại của chúng ta là quy đồng các phân thức đã cho.
- Để quy đồng mẩu của phân thức ta lấy tử và mẩucùng nhân với nhân tử phụ
của nó là (x 1). Tức là:
( ) ( ) ( ) ( )






++

==

xx
x
xxx

Tơng tự:
( ) ( ) ( )







+
+

==
+
xx
x
xxx
b) Ta có: x 4 = (
x
)
2
- 2
2
= (
x
2)(
x
+ 2)
và: x 4
x

+ 4 = (
x
2)
2



MTC là: (
x
2)
2
. (x + 2)
+) NTP của phân thức



x
là: (
x
- 2)
+) NTP của phân thức


+
x
x
là: (
x
+ 2)

x
=
( ) ( )


+
xx
=
( ) ( )



+

xx
x
Và


+
x
x
=
( )

x
=
( ) ( )



+
+
xx
x
c) Tơng tự.
B. Các dạng toán liên quan.
Dạng 1. Bài toán tìm x để biểu thức P = m (m là hằng số)
Bớc 1. Sử dụng tính chất
cbda
d
c
b
a

==
để làm mất mẩu của phơng trình.
Bớc 2. Giải phơng trình vừa thu đợc để tìm đợc x.
Bớc 3. Đối chiếu điều kiện và chọn nghiệm hợp lí.
Ví dụ: Cho A =

x
x
(với x

0 và x

1).
Tìm các giá trị của x để:
a) A = 2. b) A =


c) A =



Giải: Ta có:
a) A = 2




x
x
= 2


x
= 2(
x
- 1)

x
= 2
x
- 2


2 = 2
x
-
x



x
= 2

x = 4 (TMĐK)
Chuyên đề rút gọn biểu thức- ôn vào 10


Giáo viên sọan : Vũ Thành Trung
Vậy với x = 4 thì A =2.
A =

x
x
=




3
x
= 2(
x
- 1)

3
x
= 2
x
- 2


3
x
- 2
x
= - 2


x

= - 2 (VN)
Vậy không có giá trị nào của x để A =


.
A =








x
x
=





2
x
= - (
x
- 1)

2
x

= -
x
+ 1


2
x
+
x
= 1

3
x
= 1


x
=




x =


(TMĐK)
Vậy với x =


thì A =

.
Dạng 2. Bài toán tìm x để biểu thức P < m hoặc P > m, hoặc P

m, hoặc P

m (m là hằng số)
Bớc 1. Chuyển m sang vế trái, quy đồng mẩu thức các phân thức rồi làm gọn vế trái.
Bớc 2. Xác định dấu của tử hoặc mẩu của vế trái, từ đó có đợc một bất phơng
trình đơn giản (không chứa mẩu).
Bớc 3. Giải bất phơng trình trên để tìm đợc x.
Bớc 4. Đối chiếu điều kiện và chọn nghiệm hợp lí.
Ví dụ: Cho A =


+

x
x
(với x

0).
Tìm các giá trị của x để:
a) A >


. b) A <

c) A




Giải: Ta có:
a) A >







+

x
x
>







+

x

x
-


> 0




+

x
x
-


+
+
x
x
> 0





+
+
x
xx

> 0




+

x
xx
> 0




+

x
x
> 0 (*)
Vì với điều kiện x

0 thì 3(
x
+ 1) > 0

(*)

2
x
- 4 > 0

2
x
> 4



x
> 2

x > 4
Vậy với x > 0 thì A >


.
b) A <







+

x
x
<

+

x
x
-


< 0




+

x
x
-


+
+
x
x
< 0

+
+
x
xx
< 0




+

x
xx
< 0




+

x
x
< 0
(**)
Vì với điều kiện x

0 thì 5(
x
+ 1) > 0

(**)

3
x
- 7 < 0

3
x
< 7



x
<




x <


Kết hợp với điều kiện xác định ta đợc 0

x <

.
Vậy với 0

x <


thì A <


.
Chuyên đề rút gọn biểu thức- ôn vào 10


Giáo viên sọan : Vũ Thành Trung
c) A









+

x
x

+

x
x
-




0




+

x
x
-


+

+
x
x


0



+
+
x
xx


0




+

x
xx


0

+

x
x


0 (***)
Vì với điều kiện x

0 thì 2(
x
+ 1) > 0

(***)


x
- 3

0


x


3


x

9
Kết hợp với điều kiện xác định ta đợc 0

x

9.
Vậy với 0

x

9 thì A




.
Dạng 3. Bài toán so sánh biểu thức P với m (m là hằng số)
Bớc 1. Tính P m = ?
Bớc 2. Nhận xét dấu của hiệu P m để có kết quả so sánh.
+) Nếu P m > 0 thì P > m.
+) Nếu P m < 0 thì P < m.
+) Nếu P m = 0 thì P = m.
Ví dụ: Cho P =
x
x

(với x > 0).
Hãy so sánh P với 1.
Giải: Ta có: P 1 =

x
x

- 1 =
x
x

-
x
x
=
x
xx


=
x


Vì
x


< 0

P 1 < 0

P < 1.
Dạng 4. Bài toán Chứng minh biểu thức P < m (m là hằng số) với mọi giá trị
của x thuộc ĐKXĐ.

Bớc 1. Tính P m = ?
Bớc 2. Nhận xét dấu của hiệu P m để có điều phải chứng minh.
+) Nếu P m > 0 thì P > m.
+) Nếu P m < 0 thì P < m.
+) Nếu P m = 0 thì P = m.
Ví dụ: Cho P =
x
x
+
(với x > 0).
Chứng minh rằng: P > 1 với mọi giá trị của x > 0.
Giải: Ta có: P 1 =
x
x
+
- 1 =
x
x
+
-
x
x
=
x
xx
+

=
x

Vì với x > 0 thì
x
> 0


x

> 0

P 1 > 0

P > 1. (đpcm)
Dạng 5. Bài toán tìm x để biểu thức P nhận giá trị nguyên (nguyên dơng)
Bớc 1. Biến đổi biểu thức P về dạng:
P = m +
xA
n
(m, n

Z, A(x) là biểu thức chứa x)
Bớc 2. Biện luận:
Vì m

Z nên để P nguyên thì
xA
n
phải nguyên, mà
xA
n
nguyên thì A(x)

Chuyên đề rút gọn biểu thức- ôn vào 10


Giáo viên sọan : Vũ Thành Trung
phải là ớc của n.
Bớc 3. Giải các phơng trình: A(x) = Ư
(n)
để tìm đợc x.
Bớc 4. Đối chiếu điều kiện và chọn nghiệm hợp lí.
Ví dụ 1: Cho P =



+
x
x
(với x

0 và x

1).
Tìm các giá trị của x để P nhận giá trị nguyên.
Giải: Ta có: P =



+
x
x
=

+
x
x
=




x
x
+



x
= 1 +



x

Để P nhận giá trị nguyên thì



x
phải nhận giá trị guyên, mà

x
nguyên
thì
x
- 1 phải là ớc của 3.










=
=
=
=




x
x
x
x

=
=
=
=




x
x
VNx
x

=
=
=



x
x
x




TMDK
TMDK
TMDK
Vậy với x = 0, x = 4 và x = 16 thì P nhận giá trị nguyên.
Ví dụ 2: Cho M =


x
x
(với x

0 và x

4).
Tìm các giá trị của x để M nhận giá trị nguyên dơng.
Giải: Ta có: M =

x
x
=



+
x
x
=




x
x
+



x
= 1 +



x

Để P nhận giá trị nguyên thì

x
phải nhận giá trị guyên, mà



x
nguyên
thì
x
- 2 phải là ớc của 2.










=
=
=
=

x
x
x
x










=
=
=
=




x
x
x
x

=
=
=
=




x
x
x
x





TMDK
TMDK
TMDK
TMDK
Với x = 16 thì M =

=



= 2 > 0 (TM)
Với x = 0 thì M =



=



= 0 (loại)
Với x = 9 thì M =



=



= 3 > 0 (TM)
Với x = 1 thì M =



=

= - 1 < 0 (loại)
Vậy với x = 16 và x = 9 thì M nhận giá trị nguyên dơng.
Dạng 6. Bài toán tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức P.
a) Khái niệm:
+) Nếu P(x)

m (m là hằng số) thì m gọi là giá trị nhỏ nhất của P(x).
+) Nếu P(x)

k (k là hằng số) thì k gọi là giá trị lớn nhất của P(x).
b) Cách giải:
Bớc 1. Biến đổi biểu thức P về dạng:
P = m +
xA
n
(m, n

Z, A(x) là biểu thức chứa x)
Bớc 2. Biện luận:
Chuyên đề rút gọn biểu thức- ôn vào 10


Giáo viên sọan : Vũ Thành Trung
Trờng hợp 1. n > 0.
+) P đạt giá trị lớn nhất khi A(x) đạt giá trị nhỏ nhất.
+) P đạt giá trị nhỏ nhất khi A(x) đạt giá trị lớn nhất.
(Vì: Để P đạt giá trị lớn nhất thì
xA
n

phải đạt giá trị lớn nhất tức là A(x)
phải đạt giá trị nhỏ nhất.
Còn để P đạt giá trị nhỏ nhất thì
xA
n
phải đạt giá trị nhỏ nhất tức là A(x)
phải đạt giá trị lớn nhất).
Trờng hợp 2. n < 0.
+) P đạt giá trị lớn nhất khi A(x) đạt giá trị lớn nhất.
+) P đạt giá trị nhỏ nhất khi A(x) đạt giá trị nhỏ nhất.
Bớc 3. Tiến hành tìm giá trị nhỏ nhất hoặc lớn nhất của A(x) để có đợc giá trị lớn
nhất hoặc nhỏ nhất của P
Bớc 4. Tìm điều kiện để xảy ra dấu bằng.
Bớc 5. Kết luận.
Ví dụ 1: Cho P =


+
+
x
x
(với x

0).
Tìm giá trị lớn nhất của P.
Giải: Ta có: P =


+
+

x
x
=


+
++
x
x
=


+
+
x
x
+


+
x
= 1 +


+
x
Ta thấy: Vì ở đây n = 2 > 0 nên: Để P đạt giá trị nhỏ nhất thì
x
+ 1 phải đạt giá
trị lớn nhất.

Vì:
x


0


x
+ 1

1

Giá trị nhỏ nhất của
x
+ 1 là 1


Giá trị lớn nhất của P là: 1 +


= 3
Mặt khác:
x
+ 1 = 1


x
= 0

x = 0.

Vậy: Giá trị lớn nhất của P là 3, đạt đợc khi x = 0.
Ví dụ 2: Cho M =


+

x
x
(với x

0).
Tìm giá trị nhỏ nhất của M.
Giải: Ta có: M =


+

x
x
=


+
+
x
x
=


+

+
x
x
-


+
x
= 1 +


+

x
Ta thấy: Vì ở đây n = - 2 < 0 nên: Để M đạt giá trị nhỏ nhất thì
x
+ 1 phải đạt giá
trị nhỏ nhất.
Vì:
x


0


x
+ 1

1

Giá trị nhỏ nhất của
x
+ 1 là 1


Giá trị lớn nhất của M là: 1 +



= - 1
Mặt khác:
x
+ 1 = 1


x
= 0

x = 0.
Vậy: Giá trị nhỏ nhất của M là - 1, đạt đợc khi x = 0.

Dạng 7. Phơng trình dạng ax + b
x
+ c = 0 (1) (a, b, c là các số cho trớc và
a

0)
a) Cách giải:
Bớc 1. Đặt
x

= y (*) (ĐK: y

0)
Để đa phơng trình (1) về dạng phơng trình bậc hai có ẩn là y.
Chuyên đề rút gọn biểu thức- ôn vào 10


Giáo viên sọan : Vũ Thành Trung
a.y
2
+ b.y + c = 0 (2)
Bớc 2. Giải phơng trình (2) để tìm đợc y.
Bớc 3. Thay y vừa tìm đợc vào hệ thức (*) để tìm đợc x.
b) Chú ý:
+) Để phơng trình (1) có 2 nghiệm phân biệt thì phơng trình (2) phải có hai
nghiệm phân biệt không âm.
Tức là: Phơng trình (2) phải có:










>

>

a
c
a
b
+) Để phơng trình (1) có 1 nghiệm phân biệt thì phơng trình (2) phải có hai
nghiệm trái dấu, hoặc phải có một nghiệm âm và một nghiệm bằng không, hoặc
phải có nghiệm kép không âm.
Tức là: Phơng trình (2) phải có (3 trờng hợp):
Trờng hợp 1. Phơng trình (2) có hai nghiệm trái dấu: a.c < 0
Trờng hợp 2. Phơng trình (2) có một nghiệm âm và một nghiệm bằng không:









=
<

>



a

c
a
b
Trờng hợp 3. Phơng trình (2) có nghiệm kép không âm:







=



a
b
Ví dụ: Cho phơng trình: x 2(m 1)
x
+ 1 2m = 0 (1) (với m là tham số)
Giải phơng trình khi m =


.
b) Tìm các giá trị của tham số m để phơng trình (1) có:
1) Hai nghiệm. 2) Một nghiệm.
Giải:
Đặt
x
= y (*) (ĐK: y

0)
Khi đó phơng trình (1) trở thành: y
2
2(m 1)y + 1 2m = 0 (2)
Khi m =


thì phơng trình (2) trở thành: y
2
+ y = 0

y(y + 1) = 0





=+
=


y
y





=

=


y
y



loai
TM
Với y = 0 thì
x
= 0

x = 0
Vậy khi m =


thì phơng trình có nghiệm là x = 0.
b/1) Để phơng trình (1) có hai nghiệm phân biệt thì phơng trình (2) phải có:
Chuyên đề rút gọn biểu thức- ôn vào 10


Giáo viên sọan : Vũ Thành Trung

>

>



a
c
a
b



( )
[ ]








>
>

m
m
m
m











>
>




m
m
m

>





m
m
m
(VN)
Vậy không có giá trị nào của m để phơng trình (1) có hai nghiệm.
b/2) Để phơng trình (1) có một nghiệm thì phơng trình (2) phải có:

Trờng hợp 1. Phơng trình (2) có hai nghiệm trái dấu: a.c < 0

1 2m < 0


m >

Trờng hợp 2. Phơng trình (2) có một nghiệm âm và một nghiệm bằng không:










=
<

>



a
c
a
b



( )
[ ]

=
<
>






m
m
m
m










=

<
>




m
m
m











<





m
m
m

m
m

Trờng hợp 3. Phơng trình (2) có nghiệm kép không âm:







=



a
b

( )
[ ]






=





m
m
m









=

m
m







=


m
m
(VN)
Kết hợp cả 3 trờng hợp trên ta đợc với m

0 thì phơng trình (1) sẽ có một nghiệm.
C. Bài tập.
Các đề tham khảo năm học
Bài 1 : ( Đà Nẵng 2008-2009) Rút gọn biểu thức A=

ab b a
b b


trong đó a
Bài 2. Ba

i 1(2,0 iờ

m) Thái Bình



!
"#$
!
%
&
%'
(
!
)
*
+",
-.
&
/)
!
0
*


%1

"#
2

3

Chuyên đề rút gọn biểu thức- ôn vào 10