bồi dưỡng toán 6 chia hết -snt-th

Chuyên đề toán 7 : Khai thác bài toán
I> Đặt vấn đề:
Toán học là chìa khoá vạn năng để tiến công vào mọi lĩnh vực khoa học. Ph-
ơng pháp t duy đặc thù của toán học là phơng pháp suy luận logic đòi hỏi ngời
học toán phải luôn tích cực tự giác, chủ động sáng tạo do đó phần lớn các em
ngại học toán (50%) . Khi học toán các em thờng ỉ lại, lời suy nghĩ, học một
cách thụ động, khuôn mẫu, lý thuyết xuông, thờng bắt chớc một cách máy móc
lời giải của thầy, không có khả năng tìm tòi sáng tạo. Vì vậy để học sinh học tốt
môn toán thì công việc của ngời thầy phải tạo sức thu hút thuyết phụ, niềm say
mê khát vọng trong học tập, tạo cho học sinh tính năng động, phát triển t duy
độc lập sáng tạo (sáng tạo trong tiếp thu kiến thức, sáng tạo trong vận dung kiến
thức), khả năng suy nghĩ óc phê phán , tìm tòi qua việc giải quyết những bài toán
có tính logíc cao. Để làm đợc điều đó đòi hỏi mỗi ngời thầy luôn luôn chịu khó
tìm tòi, học hỏi và tích luỹ.
Không dừng lại ở mỗi bài toán đã giải, nếu mỗi ngời thầy trong quá trình
giảng dạy chú ý đến vấn đề khai thác kết quả mỗi bài toán trong sách giáo khoa
tởng chừng nh đơn giản thì ở sau nó rất nhiều điều mới mẻ thú vị đó là tinh thần
tiến công trong toán học là phẩm chất mà mỗi ngời làm toán cần rèn luyện. Với
tôi trong quá trình tham gia giảng dạy trực tiếp, học hỏi nhiều ngời, học trong tr-
ờng s phạm, học trong sách báo cũng có đợc chút ít kinh nghiệm về cách khai
thác kết quả từ bài toán đơn giản trong sách giáo khoa để các bạn đồng nghiệp
tham khảo .
II> Nội dung:
1) Cách khai thác
- Trong tiết dạy lý thuyết tôi yêu cầu các em xem trớc bài sắp học (bằng
cách đọc chậm kết hợp với suy nghĩ đối chiếu với vốn tri thức đã có, nắm sơ lợc
kiến thức của bài), ghi lại những thắc mắc và và đến lớp với những câu hỏi có
sẵn trong đầu. Trong tiết luyện tập học sinh càng có điều kiện phát huy năng lực
sáng tạo qua việc khai thác các bài toán.
- Từ một bài toán đơn giản bằng cách phát hiện ra những tính chất mới của
bài toán, bằng cách diễn đạt bài toán dới những hình thức khác, đi sâu khai thác

khía cạnh , các trờng hợp lý thú, biết thay đổi giả thiết, lật ngợc vấn đề , tổng
quan hoá, đặc biệt hoá, tơng tự, xét bài toán chứng minh dới dạng quỹ tích hay
dựng hình dới các dạng biến hình nh đối xứng trục, đối xứng tâm,phép quay
đều là những công cụ đắc lực để ngời thầy cũng nh học sinh sáng tạo , khai
thác để đề xuất đợc nhiều bài toán mới.
- Để khai thác tốt các bài tập ra cho học sinh cần đợc chọn lọc để tìm đúng
bài cần thiết, ra đúng thời điểm . Bài dễ chuẩn bị trớc bài khó, bài trớc là một gợi
ý cho cách giải bài sau; cứ thế học sinh có thể tự mình giải quyết đợc những vấn
đề mới đặt ra (không nên luôn đặt học sinh trớc những bài toán khó, quá sức
làm, các em sẽ choáng ngợp, mất tự tin, làm các em dễ nản lòng )
Theo tôi các em học sinh khá giỏi không cần làm quá nhiều các bài tập
toán, mà chỉ cần làm một lợng vừa đủ, điều quan trọng là phải hiểu đợc cái nút
riêng của từng bài xác định hớng đi đúng đắn, biết vận dụng các kiến thức liên
quan gỡ dần để tìm ra kết quả bài toán đồng thời hiểu đợc cách giải chung của
từng nhóm bài tơng tự. Có kiến thức vững chắc dễ suy luận, nhiều em học sinh
giỏi đã biết giải toán một cách chọn vẹn, linh họat chuyển hớng giải quyết khá
nhanh khi gặp bế tắc.
Sau đây là một số những ví dụ minh họa.
2. Những ví dụ minh họa
Ví dụ 1: Rút gọn biểu thức
Bài toán 1:







+
+

= 1
1
1
1
1
).1()(
2
xx
xxf

1x
Đây là bài toán rút gọn bằng cách biến đổi đồng nhất các biểu thức hữu tỷ
ở lớp 8.
Giải:








+
+++
+=
)1)(1(
)1)(1()1(1
).1)(1()(

xx
xxxx
xxxf
=x + 1 - x + 1+ x
2
-1
= x
2
+ 1
Từ kết quả của bài toán này ta có thể đặt ra các bài toán sau để học sinh
thấy rõ đợc mục đích của việc học các phép biến đổi đồng nhất.
Bài toán 2: Chứng minh đẳng thức:
11
1
1
1
1
)1(
22
+=






+
+

x
xx
x

1

x
Bài này thực chất là bài 1 rút gọn biểu thức nhng nếu học sinh không nắm
đợc phơng pháp chứng minh đẳng thức thì cũng rất lúng túng khi làm bài làm
bài 2 để củng cố phơng pháp chứng minh đẳng thức.
Bài toán 3 : Tính giá trị của biểu thức:
( )
( )






+
+


= 1
1
1
1
1
1
2

xx
xxf
với x=2002
Bài toán 4: Giải phơng trình f(x) = 5
Bài toán 5: Tìm giá trị nhỏ nhất của f(x)
Giải:






+
+


= 1
1
1
1
1
).1()(
2
xx
xxf
=
( )( )
( )( )
11
111

.11
2
+
+++
+
xx
xxx
xx
xx += 11
2
Vậy giá trị nhỏ nhất của biểu thức f(x)=1 khi và chỉ khi x=0.
Nhận xét: Nếu đổi dấu biểu thức ta có:






+
+


= 1
1
1
1
1
).1()(
2
xx

xxf
( )( )
( )
1)1(
111
.11
2
+
+++
+=
xx
xxx
xx
11
2
= x
Giá trị lớn nhất của -f(x) = -1 Vậy ta có bài toán 6:
Bài toán 6:Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:
( )






+
+


= 1

1
1
1
1
.1)(
2
xx
xxg
(x 1)
Bài toán 7: Chứng minh biểu thức:
( )






+
+


= 1
1
1
1
1
.1)(
2
xx
xXf

luôn dơng với mọi giá trị thích hợp của biến
Ví dụ 2:
Bài toán 1: CMR
a
2
+ b
2
+ c
2
ab + bc+ ac
Hớng dẫn: Xét M= a
2
+ b
2
+ c
2
- ab -bc - ac
2M = ( a-b)
2
+ (b-c)
2
+ (a-c)
2

Nhận xét: Khi thay c bằng một số bất kì ta đợc các bài toán mới
Bài toán 2: ( Với c = 1) CMR:
a
2
+ b
2

+ 1 ab + b + a
Bài toán 3: ( Với c= -1) CMR:
a
2
+ b
2
+ 1 ab - b - a
Đặc biệt đối với lớp 9 thay c=
2003
ta đợc bài toán 4
Bài toán 4: ( Với c=
2003
) CMR
ababba .200320032003
22
++++
Bài toán 5: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
M = a
2
+ b
2
+ c
2
- ab - bc - ac
Bài toán 6: Tìm GTLN của biểu thức:
N = 2003 - a
2
-b
2
- c

2
+ ab + bc + ac
Ví dụ3
Bài toán 1: Muốn viết tất cả các số tự nhiên từ 1 99phải dùng bao nhiêu chữ
số 5?
(Bài 5a trang 15 SGK toán 6)
Giải:
Cách 1: Ta liệt kê các chữ số chứa chữ số 5. Đó là
5;15;25;35;45;50;51;52;53;54;55;56;5 7;58;59;65;75;85;95. Đếm chữ số 5 ta đ-
ợc 20 chữ số 5 từ 199
Nhận xét: Trong cách giải trên, ta đã liệt kê các số chứa chữ số 5. Đó cũng
là cách giải hợp lệ. Tuy nhiên cách giải trên sẽ gặp một số khó khăn, phức tạp
trong trờng hợp số lợng các số liệt kê quá lớn (chẳng hạn từ 1999). Vậy có
quy luật gì trong dãy số trên hay không? hình nh chúng hơn kém nhau 10 đơn vị:
5; 15; 25Nhng rồi quy luật lại thay đổi, đó là các số tự nhiên liên tiếp từ
5059, sau đó nhảy cách 6 đơn vị (59 nhảy sang 65) rồi lặp lại quy luật hơn
kém nhau 10 đơn vị :(65;75.)
Phải chăng không tìm đợc quy luật gì để đếm các chữ số 5?
Cách 2: Bây giờ ta xétt riêng các chữ số 5 ở hàng đơn vị thì chữ số 5 lặp lại sau
10 số(5;15;2585;95) có 10 chữ số 5 ở hàng đơn vị. Lại xét riêng các chữ số 5
ở hàng chục thì chữ số 5 cũng có mặt 10 lần (ở các số 50; 5159).
Vậy chữ số 5 có mặt 20 lần.
Nh vậy ta đã tìm đợc cách đếm các chữ số 5 theo phơng pháp bổ dọc
(đếm từng hàng). Vận dụng phơng pháp này để đếm chữ số 5 trong bài toán 2.
Bài toán 2: Khi viết tất cả các số tự nhiên từ 1999 phải dùng bao nhiêu
chữ số 5?
Giải
+ Các số chứa các chữ số 5 ở hàng đơn vị
5; 15;25;995 gồm
1001

10
5995
=+

(số)
+ Các số chứa chữ số 5 ở hàng chục:
50; 5159 gồm có 10 số
150; 151;159 gồm 10 số
.
950;951959 gồm 10 số
có 10.10 =100 (số) chứa chữ số 5 ở hàng chục
Vậy tổng cộng có 100+100+100=300 (chữ số 5)
Nhận xét: Ta xét xem nếu thay chữ số 5 bởi chữ số 6 chẳng hạn. Tổng quát
(bởi chữ số a 0). Ta đi đến một bài toán tổng quát hơn bài toán 2.
Bài toán tổng quát: thay chữ số 5 bởi chữ số a 0.
Vậy nếu a=0 ta lại có bài toán tổng quát mới .
Bài toán 3: Khi viết tất cả các số tự nhiên từ 1999 phải dùng bao nhiêu
chữ số 0.
Giải: Rõ ràng là số lợng các chữ số 0 ít hơn số lợng các chữ số 5 cụ thể là:
- ít hơn hàng đơn vị là 1 chữ số (không viết số 0)
- ít hơn hàng chục 10 chữ số (không viết chữ số 0 ở hàng chục của các số
00; 01; 02; ;09 ).
- ít hơn ở hàng trăm 100 chữ số ( không viết chữ số ở hàng trăm của các số
000, 001, 002,, 099).
Nh vậy khi viết các số tự nhiên từ 1 999 số lợng mỗi chữ số 0 là 300,
còn số lợng chữ số 0 là
300 - 111 =189
Nhận xét:
1) Ta thấy nếu bổ xung chữ số 0 vào để mọi số từ 0999 đều có 3 chữ
sốthì mọi chữ số từ 0 9 đều bình đẳng, số lợng mỗi chữ số đều nh nhau. Do đó

ta có thêm cách 2 giải bài toán 2.
Xét các số tự nhiên từ 000999 có 1000 số gồm:
3.1000 =3000 chữ số.
Mỗi chữ số từ 0 9 đều có số lợng nh nhau, mỗi chữ số đợc viết 3000 :
10=300 (lần)
2) Từ việc bổ xung các chữ số 0 để đợc dãy mới 000; 001,,999kết hợp
với phơng pháp đếm chữ số 5 ở từng hàng (phơng pháp bổ dọc) ta có 3 cách
giải bài toán 2.
Gọi các số cần đếm có dạng:
)9;0(;5;5;5 baabbaab
+ Xét dạng:
ab5
Ta thấy chữ số a có 10 cách chọn (từ 0 9).
Với mỗi cách chọn của a, chữ số b có 10 cách chọn (từ 0 9)
Vậy có 10.10.1=100 số (dạng
ab5
)
+ Xét các số dạng
ba5
Ta thấy chữ số a có 10 cách chọn (từ 0 9)
Với mỗi cách chọn của a, chữ số b có 10 cách chọn (từ 0 9)
Vậy có 10.10.1=100 số (dạng
ba5
)
+ Xét các số dạng
5ab
Tơng tự ta có 10.10.1=100 số (dạng
5ab
)
Vậy tổng cộng có 100 + 100 + 100 =300 (cs5)

3) ở bài toán 1: Khi viết các số tự nhiên từ 1 99, số lợng mỗi chữ số từ
1 99 là 20 chữ số.
ở bài toán 2: Khi viết các số tự nhiên từ 1 999; số lợng mỗi chữ số từ
1 9 là 300 chữ số.
Lại tổng quát các bài toán trên; khi thay 99; 999 bởi

9
99 9
ncs
ta đi đến bài
toán 4.
Bài toán 4: Khi viết các số tự nhiên từ 1

9
99 9
ncs
phải dùng bao nhiêu chữ số 5;
chữ số 0?
ĐS: n

0)1(
0 00
csn
chữ số 5

1/
01
1 110 000
snc
csn
n

chữ số 0
Nhận xét: Từ cách giải thứ 3 của bài toán 2, nếu ta thu hẹp phạm vi bài
toán thay yêu cầu đếm chữ số 5 bởi yêu cầu đếm số chứa chữ số 5 trong dãy từ
1 999 ta có bài toán 5.
Bài toán 5: Có bao nhiêu số chứa ít nhất 1 chữ số 5 trong dãy từ 1 999.
Giải: Ta bổ xung thêm cac chữ số 0 để đợc dãy mới.
000; 001;002;;999 (1)
+ Số không chứa chữ số 5 của dãy 1 có dạng:
abc
( 0 a; b; c9 & 5)
Vậy mỗi chữ số a; b;c đều có 9 cách chọn từ (0 9 5)
Tất cả có : 9.9.9 = 729 số (không chứa chữ số 5)
Số các số không chứa chữ số 5 từ 1999 là: 729 -1 =728.
Số các số chứa ít nhất một chữ số 5 trong dãy từ 1 999 là:
999 - 728 = 271 số:
Nhận xét: Dễ thấy kết quả không thay đổi nếu ta thay chữ số 5 bởi 1 chữ
số khác, chữ số 1 chẳng hạn, tổng quát bởi chữ số a 0 ta đi đến một bài toán
tổng quát hơn bài toán 5 .

Bài toán tổng quát thay việc đếm số chứa ít nhất một chữ số bởi bài toán
đếm số chứa ít nhất một chữ số a 0 trong dãy từ 1 999. không dừng lại ở dãy
từ 1 999 ta xét dãy: 1 9999 ta có bài toán 6
Bài toán 6: Có bao nhiêu số chứa ít nhất một chữ số5 trong dãy số tự nhiên từ 1
9999
Giải tơng tự bài toán 5 ta đợc:
Số không chứa chữ số 5 của dãy 0000; 0001; ; 9999 có dạng
abcd
(0 a;b; c; d 9; a ; b; c; d 5)
Gồm 9.9.9.9 số (không chứa chữ số 5)
+ Số các số chứa ít nhất một chữ số 5 của dãy 1 9999 là
9999 - (9.9.9.9 -1) = 3439 số
Nhận xét:
ở bài toán 5 : Trong dãy số tự nhiên từ 1 999 số lơng các số chứa ít nhất
1 chữ số (trong các chữ số từ 1 9) là
999 - (9.9.9 -1) =271 số
ở bài toán 6: Trong dãy số tự nhiên từ 1 9999 số lợng các số chứa ít nhất
1 chữ số ( trong các chữ số từ 1 9) là
9999- (9.9.9.9 -1)= 3439 số.
Lại tổng quát bài toán trên khi thay 99; 999; 9999 bởi 999 (n chữ số 9)
ta đi đến bài toán 7:
Bài toán 7: Có bao nhiêu số chứa ít nhất 1 chữ số 5 trong dãy tự nhiên từ 1
99.9 (n chữ số 9)
ĐS:
)19 9.9.9(9 99
9/
9/

snt
snc
số
Ví dụ 4:
Bài toán 1: Tìm tất cả các số tự nhiên n để phân số
2
13

+
n
x
là phân số tối giản.
Giải: Ta có:
)2(
2
15
1
2
152
2
13


+=

+
=

+
n

nn
n
n
n
Để phân số
2
13

+
n
n
là tối giản thì phân số
2
15
n
là phân số tối giản
( 15 ; n-2 ) =1
Vì
515;315






52
32


n

n

25
23
52
32
+
+



kn
kn
kn
kn
(k N; k 0)
Nhận xét: Nếu ta thay điều kiện phân số tối giản bởi trờng hợp ngợc lại:
phân số có thể rút gọn đợc ta có bài toán 2
Bài toán 2 : Tìm tất cả các số tự nhiên n để phân số
2
13

+
n
n
có thể rút gọn đợc.
Cách 1: Từ kết quả phân tích bài toán 1 ta thấy:
Để phân số
2
13

+
n
n
có thể rút gọn đợc thì phân số
2
15
n
phải rút gọn đợc
ƯCLN (15; n-2) 1, Vì 15 có ớc 1 là 3; 5; 15






+=
+=
+=









215
25

23
152
52
32
kn
kn
kn
n
n
n



Cách 2: Tìm ngay ƯSCLN (n+13; n-2)
Ta cũng có kết quả tơng tự.
Nhận xét: Xét bài toán 2 trong trờng hợp đặc biệt giá trị phân số
2
13

+
n
n
là số tự
nhiên ta có bài toán 4:
Bài toán 4: Tìm tất cả các số tự nhiên n để phân số
2
13

+
n

n
có giá trị là một số tự
nhiên .
Giải: Từ kết quả bài toán 1 ta thấy
Để phân số
2
13

+
n
n
có giá trị là một số tự nhiên thì phân số
2
15
n
cũng phải
có giá trị là một số tự nhiên.
215 n
hay n-2 Ư (15)






=
=
=
=

15
5
3
1
2n
+ Với n-2 =1 n=3
+Với n- 2 =3 n=4
+ Với n-2 =5 n=7
+Với n-2= 15 n=17
Nhận xét: từ kết quả baì tập 4 ta thấy.
Phân số
16
2
15
1
2
13


+=

+
nn
n
ta có bài toán 5:
Bài toán 5: Tìm điều kiện của số tự nhiên n để phân số
2
13

+

n
n
có giá trị lớn nhất
và giá trị đó bằng bao nhiêu?
Giải : Ta có
)2(
2
15
1
2
152
2
13


+=

+
=

+
n
nn
n
n
n
Để phân số
2
13

+
n
n
có giá trị lớn nhất thì phân số
2
15
n
có giá trị lớn nhất.
Phân số
2
15
n
có giá trị lớn nhất

n-2 có giá trị lớn nhất n=3 (vì n-2
N; n-2 0)
Vậy với n= 3 thì phân số
2
13

+
n
n
có giá trị lớn nhất = 16.
Nhận xét: Lấy nghịch đảo của phân số
2
13

+
n

n
ta có bài toán 6.
Bài toán 6: Tìm tất cả các số tự nhiên n để phân số
13
2
+

n
n
tối giản
Giải
Ta có
13
15
1
13
1513
13
2
+
=
+
+
=
+

nn
n
n
n

Để phân số
13
2
+

n
n
là phân số tối giản thì phân số
13
15
+n
phải tối giản.
(15; n+13) =1
Mà 15 = 3.5
)0;(
135
133
513
313










+

+
kNk
kn
kn
n
n


Nhận xét : Ngợc lại với phân số tối giản là phân số có thể rút gọn đợc ta
có bài toán 7:
Bài toán 7: Tìm tất cả các số tự nhiên n để phân số
13
2
+

n
n
có thể rút gọn đợc.
Giải: từ kết quả bài 6 ta thấy:
Để phân số
13
2
+

n
n
có thể rút gọn đợc thì phân số
13
15
+n

phải rút gọn đợc
ƯSCLN (15; n+13) 1
Vì 15 = 3.5
)0;(
35
13
53
31
513
313




=
=




+
+




+
+
kNk
kn

kn
n
n
n
n




Nhận xét: Xét trờng hợp đặc biệt của bài toán 7 khi phân số
13
2
+

n
n
có giá
trị là một số tự nhiên ta có bài toán 8.
Bài toán 8: Tìm điều kiện của số tự nhiên n để phân số
13
2
+

n
n
có giá trị là một số
tự nhiên
Giải: Từ kết quả bài 6 ta thấy:
Để phân số
13

2
+

n
n
có giá trị là một số tự nhiên thì phân số
13
15
+n
phải có
giá trị là một số tự nhiên.

1315 +n
hay n+ 13 Ư (15) n=2 (vì n N)
Nhận xét: Từ kết quả bài toán 8 ta thấy: Phân số
0
13
2

+

n
n
ta có bài toán 9.
Bài toán 9: Với giá trị nào của số tự nhiên n để phân số
13
2
+

n

n
có giá trị nhỏ
nhất; giá trị đó bằng bao nhiêu?
Giải: từ
13
15
1
13
1513
13
2
+
=
+
+
=
+

nn
n
n
n
ta thấy.
Để phân số:
13
2
+

n
n

có giá trị nhỏ nhất thì ps
13
15
+n
phải có GTLN t/m
+

+
Q
n 13
15
1
.
Phân số
13
15
+n
có giá trị lớn nhất t/m
+

+
Q
n 13
15
1
khi n=2
Khi đó ps
13
2
+

n
n
có giá trị nhỏ nhất là
0
15
15
1
13
2
==
+

n
n
Ví dụ 5:
Bài toán 1: Cho m N chia m cho 5 thì số d có thể là những số nào?
( Bài 6 - trang 35 - SGK toán 6)
Giải: Khi m:5 thì số d có thể là một trong các chữ số sau 0;1; 2; 3; 4 ( vì số d <
số chia).
Nhận xét: Nếu thay số 5 bởi số khác ( 0) , số 7 chẳng hạn ta cũng đợc kết
quả tơng tự.( số d có thể là một trong các số từ 0 6). Tổng quát hơn ta thay số
5 bởi số n 0 ta có bài toán 2 tổng quát hơn bài toán 1.
Bài toán 2: Cho A N, chia A cho n (n N; n 0) thì số d có thể là những số
nào?
ĐS: Số d là các số từ 0 (n-1)
Nhận xét: Nếu ta thay n bằng số cụ thể , kết hợp tính chất chia hết của một
hiệu ta có bài toán 3
Bài toán 3: Chứng tỏ rằng nếu hai số không phải là bội của 3 mà khi chia cho 3
cũng có số d thì hiệu của chúng chia hết cho3.

Giải: Gọi hai số đó là a và b (a; b N; a b)
Ta có: a=3q
1
+r (1)
b = 3q
2
+r (2)
Do a b nên q
1
q
2
. trừ từng vế hai đẳng thức (1) và(2) ta có:
( )
33
21
qqba =
Vậy hiệu hai số đó chia hết cho 3
Nhận xét: Vẫn lại xét về số d trong phép chia cho 3 ta thấy hai số chia cho
3( không là bội của 3) mà khi chia cho 3 có số d khác nhau (d là 1 và 2) thì tổng
d chia hết cho 3 tổng hai số đó chia hết cho 3 ta có bài toán 4.
Bài toán 4: Chứng tỏ rằng nếu hai số không là bội của 3 mà khi chia cho 3 có số
d khác nhau thì tổng của chúng chia hết cho 3
Giải: Gọi hai số đó là a, b (a; b N; a; b 0)
Ta có: a =3q
1
+r
1
b= 3q
2
+ r

2
Vì
{ }
2;1;&0;
3
3
2121




rrrr
b
a


Do đó r
1
r
2
r
1
+ r
2
=3
Vậy a+b = 3(q
1
+ q
2
)+(r

1
+r
2
)
= 3(q
1
+q
2
) +3
= 3 (q
1
+q
2
+1)

3
Vậy tổng a+b

3
Nhận xét: Tổng quát bài toán 3 ta có bài toán 5
Bài toán 5 : Chứng minh rằng nếu hai số a va b có cùng số d trong phép chia cho
m (m N; m 0) thì hiệu a- b chia hết cho m
Nhận xét: Lại vẫn xét về chuyên đề đồng d kết hợp áp dụng nguyên lý
ĐiRiKLê ta có một số bào toán sau:
Bài toán 6: Chứng minh rằng trong 6 số tự nhiên bất kì bao giờ cũng chọn đợc
hai số có hiệu chia hết cho 5.
Giải: Khi chia một số cho 5 d có thể là một trong 5 số sau: 0; 1; 2; 3; 4.
Vậy trong 6 số bao giờ cũng hai số khi chia cho 5 cùng số d. Vậy hiệu
của hai số chia hết cho 5.
Nhận xét: Xét bài tóan 6 trong phạm vi rộng hơn ta có bài toán 7.

Bài toán 7: Chứng minh rằng có thể tìm đợc số có dạng199319931993000
chia hết cho 1994
Giải: Xét 1994 số có dạng:
1993; 19931993; ; 199319931993 (1994 lần 1993). Mỗi số trên đều là
số lẻ nên không số nào chia hết cho 1994
Khi chia số này cho 1994 ta nhận đợc 1993 số d (1 1993). Vì có 1994
số mà chỉ có 1993 loại số d. Nên theo nguyên lý ĐiRiKlê ít nhất phải có hai số
khi chia cho 1994 có cùng số d, do đó hiệu của chúng chia hết cho 1994. và số
đó có dạng199319931993000
Nhận xét: Hoàn toàn tơng tự, thay việc xét các số có dạng 1993;
19931993; ;199319931993000 bằng việc xét các số chỉ toàn chữ số 1 và 0
ta có bài toán 8.
Bài toán 8: Tồn tại hay không một số tự nhiên khác 0 chia hết cho 1994 mà khi
viết số tự nhiên này chỉ cần dùng chữ số 0 và chữ số 1.
Giải : tơng tự bài toán 7
Xét 1994 số dạng: 1; 11; 111; ;111111 ( 1994 số 1)
Đs: Có tồn tại số tự nhiên n chia hết cho 1994 (n 0 ) mà n chỉ gồm toàn
chữ số 0 và chữ số 1.
Nhận xét: Tổng quát bài toán 8 ta có bài toán 9
Bài toán 9: Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên n (n 0) thì trong hệ thập phân
luôn tồn tại một số chia hết cho n mà khi viết chỉ dùng hai chữ số 0 và 1
Giải: Xét số a
i
=111 (có i chữ số 1) ( với i=1; 2; ;m). Các số này khi
chia cho n các số d nhận giá trị là:
0; 1; 2;3;; n-1
Vậy nếu m>n thì có hai số có cùng số d khi chi cho n. Vậy hiệu hai số đó
chia hết cho n và chỉ dùng hai chữ số 0 và 1.
Nhận xét: áp dụng kết quả các bài toán trên ta có thể đứa ra bài toán sau.
Bài toán 10: Với k N. Timg giá trị nhỏ nất của k để lúc nào cũng cọn đợc hai

số trong k số đó có hiệu chia hết cho 2001.
ĐS: Giá trị nhỏ nhất cần tìm của k là 2002
Nhận xét: Tổng quát bài toán 10 ta có bài toán 11
Bài toán 11: Với k N . Tìm giá trị nhỏ nhất của k để lúc nào cũng chọn đợc hai
số trong k số đó có hiệu chia hết cho n (n N; n 0)
ĐS: Giá trị nhỏ nhất cần tìm của k là k= n+1
Ví dụ 6:
Bài toán 1: Cho 5 điểm: A; B; C; D; E. Vẽ các đờng thẳng đi qua từng cặp hai
điểm. Có thể có bao nhiêu đờng thẳng trong hình vẽ? ( các đờng kẻ trùng nhau
chi kẻ một đờng thẳng)
Giải:
+ Nếu 5 điểm thẳng hàng thì có 1 đờng thẳng.
A
B
C
D
E
+ Nếu 4 đờng thẳng hàng thì có 5 đờng thẳng
+ Nếu chỉ có ba đờng thẳn hàng thì có 8 đờng thẳng:
Vì: Nối A với 3 điểm thẳng hàng đợc 3 đởng thẳng.
Nối B với 3 điểm thẳng hàng ta đợc 3 đờng thẳng.
Qua hai điểm A; B đợc 1 đờng thẳng AB
Qua 3 điểm C; D; E đợc 1 đờng thẳng.
Tổng cộng có tất cả 8 đờng thẳng
+ Nếu không có ba điểm thẳng hàng thì có 10 đờng thẳng
Chọn điểm:
Nối điểm đó với 4 điểm còn lại ta đợc 4 đờng thẳng.
4.5 = 20 đờng thẳng.
Nhng trong mỗi đờng thẳng đã đợc 2 lần
Vậy có tất cả là 4.5:2= 10 đờng thẳng.

Nhận xét: Thay đổi điều kiện, xét bài toán 1 với số điểm lớn hơn( 100
điểm chẳng hạn) ta có bài toán 2.
Bài toán 2: Cho 100 điểm trong đó không có ba điểm nào thẳng hàng. Cứ qua hai
điểm ta vẽ đợc một đờng thẳng. Có tất cả bao nhiêu đờng thẳng.
Giải: Chọn một điểm. Qua điểm đó và từng điểm trong 99 điểm còn lại ta vẽ đợc
99 đờng thẳng.
Làm nh vậy với 100 điểm ta vẽ đợc 99.100 đờng thẳng. Nhng mỗi đờng
thẳng đã đợc tính hai lần. Do đó tất cả chỉ có 99.100:2=4950 đờng thẳng
Nhận xét: Nếu trong 100 điểm có đúng ba điểm thẳng hàng ta có bài toán 3.
Bài toán 3: Cho 100 điểm trong đó có đúng ba điểm thẳng hàng. Cứ qua hai điểm
ta vẽ đợc một đờng thẳng. Có tất cả bao nhiêu đờng thẳng (những đờng thẳng
trùng nhau chỉ đếm là 1).
Giải:
Cách 1: Giả sử không có ba điểm nào thẳng hàng thì có 4950 đờng thẳng ( giải
nh bài tập 2).
Vì 3 điểm thẳng hàng nên số đờng thẳng giảm đi 3-1 = 2 đờng thẳng.
Vậy có 4950 - 2 =4948 đơng thẳng
Cách 2: Chi 100 điểm thành hai nhóm:
+ Nhóm 1 gồm ba điểm thẳng hàng
+ Nhóm 2 gồm 99 điểm còn lại
Số đờng thẳng trong nhóm 1 là 1.
Số đờng thẳng trong nhóm 2 là (97.96):2
Số đờng thẳng đi qua một điểm nhóm 1 và 1 điểm nhóm 2 là 97. 3 = 291.
Tổng cộng có: 1+ 4656 + 291 = 4948 đờng thẳng.
Nhận xét: Tổng quát bài toán 2 và 3 ta có bài toán 4 và 5.
Bài toán 4: Cho n điểm trong đó không có ba điểm nào thẳng hàng. Cứ qua hai
điểm ta vẽ đợc một đờng thẳng. Có tất cả bao nhiêu đờng thẳng ?
ĐS:
2
)1( nn

đờng thẳng
B
C
D
A
E
Bài toán 5: Cho n điểm trong đó có đúng ba điểm thẳng hàng. Cứ qua hai điểm
ta vẽ đợc một đờng thẳng. Có tất cả bao nhiêu đờng thẳng ( các đờng thẳng trùng
nhau chỉ kể là 1)
ĐS:
2
2
)1(

nn
đờng thẳng
Nhận xét: từ bài toán 2,3 nếu phát triển mệnh đề đảo lại ta có các bài toán sau:
Bài toán 6: Cho n điểm trong đó không có ba điểm nào thẳng hàng. Cứ qua hai
điểm ta vẽ đợc một đờng thẳng. Có tất cả 4950 đờng thẳng. Tính n?
Giải : Ta có:
4950
2
)1(
=
nn

ĐS n=100
Bài toán 7: Cho n điểm trong đó có đúng ba điểm thẳng hàng. Cứ qua hai điểm ta
vẽ đợc một đờng thẳng. Có tất cả 4948 đờng thẳng. Tính n?
ĐS n=100 điểm

Nhận xét: Từ bài toán 2 và 3. Nếu thay đổi kết luận của bài toán ( tính số
đờng thẳng thay bằng số đoạn thẳng) ta có bài toán mới.
Bài toán 8: Có 100 điểm. Nối từng cặp 2 trong 100 điểm đó thành các đoạn
thẳng. Tính số đoạn thẳng nếu trong các điểm đã cho:
a) không có ba điểm nào thẳng hàng
b) Có đúng ba điểm thẳng hàng.
ĐS: a) Số đoạn thẳng có: 100.99:2= 4950
b) Điều kiện có đúng ba đờng thẳng hàng không ảnh hởng đến các đoạn
thẳng đếm đợc.
Tổng quát bài toán 8 ta có bài toán 9:
Bài toán 9: Cho n điểm. Nối từng cặp 2 trong n điểm đó thành các đoạn thẳng.
Tính các đoạn thẳng nếu trong các điểm đã cho:
a) Không có ba điểm nào thẳng hàng.
b) Có đúng ba điểm thẳng hàng
Đáp số:
2
)1( nn
đoạn thẳng.
Từ bài toán 8 nếu phát triển mệnh đề đảo lại ta có bài toán sau:
Bài toán 10: Cho n điểm nối từng cặp hai trong n điểm đó thành các đoạn
thẳng. Biết rằng có tất cả 4950 đoạn thẳng. Tính n
Giải: áp dụng công thức
2
)1( nn
=4950
ĐS n=100
Nhận xét: ở các bài toán trên thay việc tính số đờng thẳng đoạn thẳng
bằng việc tính số giao điểm tạo thành khi các đờng thẳng hoặc đoạn thẳng cắt
nhau. Liệu có cách nào? Công thức nào để tính số giao điểm một cách nhanh
chóng nh công thức tính số đoạn thẳng, đờng thẳng hay không? Trớc hết ta đi

tính bài toán đơn giản sau:
Bài toán 11: Cho 4 đờng thẳng cắt nhau từng đôi một, trong đó không có ba đờng
thẳng nào đồng quy.
Tính số giao điểm của hai trong các đờng thẳng đó.
Giải: mỗi đờng thẳng cắt ba đờng
thẳng còn lại nên có ba giao điểm.
Có 4 đờng thẳng nên có:
3.4 =12 giao điểm.
Nhng mỗi giao điểm đã đợc tính hai lần
Vậy chỉ có (4.3):2=6 giao điểm.
Nhận xét: Từ kết quả bài toán trên (4.3):2= 4(4-1):2.
Tổng quát nên với n đờng thẳng đôi một cắt nhau, trong đó không có ba đ-
ờng thẳng nào đồng qua ta có bài toán mới.
Bài toán 12: Cho n đờng thẳng (n 2) trong đó hai đờng thẳng nào cũng cắt
nhau, không có ba đờng thẳng nào đồng quy. Xét các giao điểm của hai trong n
đờng thẳng đó.
Giải: Mỗi đờng thẳng cắt n-1 đờng thẳng còn lại tạo nên n-1 giao điểm.
Có n đờng thẳng nên có n(n-1) giao điểm. Nhng mỗi giao điểm đã đợc
tính hai lần.
Do đó chỉ có: n(n-1):2 giao điểm.
Nhận xét: Xét dạng mệnh đề đảo của bài tóan11 ta có bài tóan sau:
Bài toán 13: Cho n đờng thẳng trong đó bất cứ hai đờng thẳng nào cũng cắt nhau,
không có ba đờng thẳng nào đồng qui. Biết rằng số giao điểm của các đờng
thẳng đó là 780. Tính n?
ĐS Ta có: n(n-1):2=780 n= 40.
Nhận xét: Trong các trờng hợp trên ta đã đi tính số đoạn thẳng, sô đờng
thẳng, số giao điểm. Vậy có thể tính đợc số tam giác tạo thành hay không ? và
qui luật đợc tính nh thế nào ta xét bài toán sau:
Bài toán 14: Cho 10 điểm thuộc đờng thẳng a và một điểm nằm ngoài đờng
thẳng ấy. Có bao nhiêu tam giác có các đỉnh là ba trong 11 điểm trên.

Giải: Ta thấy điểm A không thuộc a và từng
cặp hai điểm a là ba đỉnh của một cần xét.
Vậy có bao nhiêu đoạn thẳng nằm trên đờng
thẳng a thì có bấy nhiêu tam giác.
Vậy số là: 10.9:2=45 tam giác
Nhận xét: Tổng quát bài toán 14 ta có bài toán 15.
Bài toán 15: Cho n điểm đờng thẳng a (n2) và một điểm nằm ngoài đờng
thẳng ấy. Có bao nhiêu tam giác có các đỉnh là 3 trong n+1 điểm trên.
ĐS: n(n-1):2 tam giác
III> Kết luận:
Qua thực tế áp dụng sáng kiến khai thác kết quả từ một bài toán trong quá
trình giảng dạy tôi thấy học sinh có tiến bộ rõ rệt trong học toán.
Từ việc nắm vững kiến thức các em đã biết áp dụng vào giải bài tập một
cách linh hoạt hơn, biết suy luận và tìm tòi cách giải mới, biết vận dụng kết qủa
của các bài toán trớc ( đó chỉ là những gợi ý) để tìm ra cách giải các bài toán
mang tính tơng tự, tổng quát hơn, đặc biệt hơn Trong tiết học bài mới các em
cũng nhanh nhạy hơn trong việc phát hiện ra tính chất đinh lý tiên đề(là những
vấn đề đợc tổng quát hóa từ những ví dụ đơn giản) giúp các em tiếp thu kiến thức
nhanh hơn, nắm kiến thức sâu sắc hơn.
Đặc biệt với học sinh khá, giỏi qua phần hớng dẫn khai thác kết quả bài
toán của thầy có thể tích lũy kinh nghiệm cho chiến lợc giải toán của mình để từ
đó có thể linh hoạt trong việc tìm hớng giải quyết cho mỗi bài toán.
Thực tế những năm học trớc áp dụng sáng kiến kinh nghiệm vào giải dạy
toán 6;toán7 kết quả đợc nâng nên rõ rệt.
Trên đây là một số ví dụ về cách khai thác kết quả của mỗi bài toán đơn giản
trong sách giáo khoa có tác dụng tốt trong quá trình giảng dạy. Không chỉ có ví
dụ trên mới khai thác đợc, mà hầu hết các bài tập trong sách giáo khoa nếu ngời
thày có suy nghĩ, có sự sáng tạo tìm tòi các phơng pháp giải thì công việc giảng
dạy của mình sẽ đem lại kết quả tốt, giúp học sinh học toán một cách sáng tạo
linh hoạt và gây đợc hứng thú giải toán, rèn luyện t duy, rèn luyện phơng pháp

nghiên cứu, suy nghĩ học tập, tìm tòi và vận dụng kiến thức.
Do thời gian và điều kiện có hạn nên tôi chỉ đa ra một số phơng pháp
nghiên cứu khai thác, một vài ví dụ để minh họa. Kinh nghiệm của tôi chắc chắn
còn nhiều thiếu sót do trình độ và năng lực có hạn , rất mong sự đóng góp ý kiến
của các bạn đồng nghiệp, để góp phần làm tăng thêm kinh nghiệm của mình góp
phần nâng cao chất lợng giảng dạy.
Tôi xin chân thành cảm ơn!
Thụy Phong, ngày31 tháng 5 năm 2008
Ngời viết : Ttrịnh Thị Liên