GIẢI TÍCH 12CB - BÀI TẬP CẢ NĂM DẠY THÊM
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (7.86 MB, 39 trang )
Ch ủ đề 1: KHẢO SÁT HÀM SỐ
Vấn đề 1: Một số bài toán về hàm số đồng biến, nghòch biến:
1/ Điều kiện để hàm số luôn luôn nghòch biến :
. Nếu y’là hằng số có chứa tham số hay cùng dấu với hằng số thì điều kiện để hàm
số luôn luôn đồng biến là: y’< 0
. Nếu y’ là nhò thức bậc nhất hay cùng dấu với nhò thức bậc nhất thì hàm số không
thể luôn luôn nghòch biến.
.Nếu y’ là tam thức bậc hai hay cùng dấu với tam thức bậc 2 Đ/k để hàm số luôn
luôn đồng biến là:
y’
≤
0 ∀ x
⇔
≤∆
<
0
0a
(Trường hợp a có chứa tham số thì xét thêm trường hợp a= 0 )
2/ Điều kiện để hàm số luôn luôn đồng biến :
. Nếu y’là hằng số có chứa tham số hay cùng dấu với hằng số thì điều kiện để hàm
số luôn luôn đồng biến là: y’> 0
. Nếu y’ là nhò thức bậc nhất hay cùng dấu với nhò thức bậc nhất thì hàm số không
thể luôn luôn đồng biến.
.Nếu y’ là tam thức bậc hai hay cùng dấu với tam thức bậc 2 đ/k để hàm số luôn
luôn đồng biến là:
y’≥ 0 ∀ x
⇔
≤∆
>
0
0a
(Trường hợp a có chứa tham số thì xét thêm trường hợp a= 0 )
Ví dụ : 1/Đònh m để hàm số y =
1
x m
x
+
+
trên từng khoảng xác đònh của
nó.
Giải:
Txđ : D=R\
{ }
1−
y
/
=
2
1
( 1)
m
x
−
+
Để hàm số luôn giảm trên từng khoảng xác đònh của nó
⇔
y’< 0
∀
x
∈
D
⇔
2
1
( 1)
m
x
−
+
<0, R\
{ }
1−
⇔
1-m < 0
⇔
m >1.
2/ Tìm m để hàm số y= (m+1)x
3
–3(m–2)x
2
+3(m+2)x+1 tăng trên R .
Giải
Txđ:
D R=
, y
/
=3(m+1)x
2
- 6(m-2)x +3(m+2)
Để hàm số luôn đồng biến trên R
⇔
y
/
≥
0
∀
x
⇔
3(m+1)x
2
- 6(m-2)x +3(m+2)
≥
0
∀
x(1)
Nếu m= –1
⇒
(1)
⇔
-18x+3
≥
0
∀
x
⇔
x
≤
1
6
(không thoả
∀
x )
Nếu m
≠
–1: điều kiện để (1) xảy ra là
/ 2
2
0 9( 2) 9( 1)( 2) 0
1
7
1 0 1
1
m
m m m
m
m m
m
≥
∆ ≤ − − + + ≤
⇔ ⇔ ⇔ >
+ > >
>
Vậy m>1 là giá trò thoả ycbt.
Bài tập đề nghò:
!"#$%$
&
&$
#
"#$
&
"
&'#
#
&#
−−+ xxx
( $
#
)&$
&
"$"* )$
#
"$
&
%+, $
#
%#$
&
"#$"
)$
#
%#$"& $
!
%&$
&
"#- )$
!
"&$
&
%
. $
!
"$
&
%
x
x
−
+
#
&
&
−
+
x
x
/ $"
x
!
0 $)
x
&
1
x
xx
−
−
&
&
&23415/$6
$
#
)#$
&
""&$%78
#
&
≤≤− m
$
#
%&%$
&
"!)78
&
#23415/$6
)
9&
#
&
#
+−+−+ xmxm
x
78
! ≤≤− m
#&#
#
&
#
+−++
−
xmmx
xm
78
&
≤
4. Cho hµm sè y=x
3
-3(2m+1)x
2
+(12m+5)x+2. T×m m ®Ĩ hµm sè lu«n ®ång biÕn.
5. Cho hµm sè y=mx
3
-(2m-1)x
2
+(m-2)x-2. T×m m ®Ĩ hµm sè lu«n ®ång biÕn.
6. Tìm các giá trò của tham số m để hàm số
# &
! #
#
f x x mx x= + + +
đồng biến trên R
Vấn đề 2 : Một số bài toán về cực trò :
1/ Điều kiện để hàm số có cực trò tại x = x
0
:
=
0
0
x qua dấu đổi '
0)('
y
xy
hoặc
≠
=
:;;
:;
:
:
xy
xy
2/ Điều kiện để hàm số có cực đại tại x
0
:
−+
=
0
0
.từ qua dấu đổi '
0)('
xquasangy
xy
hoặc
<
=
0)(''
0)('
0
0
xy
xy
3/ Điều kiện để hàm số có cực tòểu tại x
0
:
0
0
y'(x ) 0
y'(x) đổi dấu qua từ - sang qua x
=
+
hoặc
=
>
0
0
y'(x ) 0
y''(x ) 0
4/ Điều kiện để hàm bậc 3 có cực trò (có cực đại,cực tiểu):
y’= 0 có hai nghiệm phân biệt
⇔
a 0
0
≠
∆ >
5/ Điều kiện để hàm hữu tỉ b2/b1 có cực trò (có cực đại,cực tiểu): (tham khảo)
y’= 0 có hai nghiệm phân biệt khác nghiệm của mẫu
6/ Điều kiện để hàm bậc 4 có 3 cực trò : y
/
= 0 có 3 nghiệm phân biệt.
Một số ví dụ:
1/Xác đònh m để hàm số:
2
1x mx
y
x m
+ +
=
+
đạt cực đại tại x=2.
Giải:
Ta có
( )
2 2
2
2 1
'
x mx m
y
x m
+ + -
=
+
;
( )
4
2 2
''
x m
y
x m
+
=
+
Để hàm số đạt cực đại tại x=2 thì => hs t</=6
2/ Chứng minh rằng hàm số y=
2
2
2
2
x x m
x
+ +
+
luôn luôn có một cực đại và một cực tiểu.
Giải:
Ta có
( )
( )
2
2
2
2 2 4
'
1
x m x
y
x
- + - +
=
+
></=6
3/Đònh m để hàm số y=
( )
3 2 2
3 3 1x mx m m x
− + − +
có cực đại, cực tiểu.
Giải
Txđ :D= R ; y
/
= 3x
2
-6mx +3(m
2
-m)
Để hàm số có cực đại, cực tiểu
⇔
y
/
=0 có 2 nghiệm phân biệt
⇔
3x
2
-6mx +3(m
2
-
m)=0 có 2 nghiệm phân biệt
⇔
/
0∆ >
⇔
9m
2
-9m
2
+9m >0
⇔
m>0 vậy m>0 là giá trò
cần tìm.
Bài tập đề nghò:
1623<1?6
$
&
%#$)! & )$
&
"!$%# # &$
#
)#$
&
" !
xx !
#
#
−
+ )&$
#
"#$
&
"&$%+ @ $
#
%#$
&
"#$" ' )$
#
)#$"&
9
!
&
&!
−− xx
A
&!
!
xx +−
: $
!
"&$
&
"&
&
+
−
x
x
&
&
&
−x
x
# )
x
&
!
&&
&
−
+−
x
xx
+
&
−x
x
@
#
&
+
−
x
xx
'
#
&
−
+
x
x
9 $)
x
2: Đònh m để y=
( ) ( )
##
&&&#
−−−+− mxmmxx
đạt cực đại tại x=1.
3: Cho hàm số y=
bax
x
+−
&
!
&
. Đònh a,b để hàm số đạt cực trò bằng –2 tại x=1
46234?<BC<46
&&
#
&#
+−++=
xmmxxy
78D)!EF#
&
&
&#
+−= mxxy
78
:≠m
#
#&
#
&#
−++−=
xmxx
m
y
78
#
!
<<− m
!
##
#
&#
+−−+=
xmmxx
m
y
78
:
E: >< mm
+
&
&
−
+−
=
x
mxx
y
78D#
@
&
&
&
+
++
=
x
mxx
y
78F:
'
mx
mxmx
y
+
++
=
&
78D:EF
&
9
mx
mmxx
y
−
−+−
=
&&
78
:≠
56234
$
!
%$
&
"&?#<16 78F:
& $
!
%"$
&
%?<1 78D)
# $
!
"%$
&
"%&?#<1 78:DD
66234
$
#
%#$
&
"%$"&B<1B$ & 78
&
&&&
#
&#
+−+−+=
xmxmmxy
B<1B$ )678 #
# $
#
%$
&
%$%+B<4B$ 78 #
! $
#
""$
&
"&%$"B<BB$ )&78 '&
'6GH1ICJ>1E
& #
x a a x a
y
x a
+ − − +
=
+
.K?<B
C<46
Vấn đề 3: : Tìm giá trò lớn nhất nhỏ nhất của hàm số .
Phương pháp giải :
*Tìm giá trò lớn nhất và giá trò nhỏ nhất của hàm số trên miền xác đònh hay một
khoảng :
-Tìm tập xác đònh .
-Tính y’, t3L/MN13O :. hay tB?
O
-K$
-Lập bảng biến thiên căn cứ bảng biến thiên ⇒ GTLN, GTNN.
* Giá trò lớn nhất và giá trò nhỏ nhất của hàm số trên một đoạn [a;b]:
-Tính y’, t3L/MN13O : PQB[a;b]. Giả sử các L là
x
1
, x
2
,…, x
n
- Tính các giá trò f(a), f(x
1
), f(x
2
),…., f(x
n
) , f(b) GTLN là số lớn nhất trong các giá trò
vừa tìm được, GTNN là giá trò nhỏ nhất trong các số vừa tìm được.
Ví dụ
a)Tìm giá trò lớn nhất & giá trò nhỏ nhất của hàm số y=
2
2x x
−
.
b)Tìm giá trò lớn nhất & giá trò nhỏ nhất của hàm số y =
x
xx
&
++
trên [
1
2
;2 ]
Giải :
a)Txđ :
x∀ ∈
[0;2] ( Hoặc D= [0;2]
y
/
=
2
1
2
x
x x
−
−
cho y
/
=0
⇔
1-x=0
⇔
x=1
⇒
y=1
Bảng biến thiên
x 0 1
2
y
/
+ 0 -
y 1
0 CĐ
0
max ( ) (1) 1f x f
= =
min ( ) (0) (2) 0f x f f
= = =
b) y
/
=
2
2
1x
x
−
cho y
/
=0
⇔
x
2
-1=0
⇔
1
1 ;2
2
1
1 ;2
2
x
x
= ∈
= − ∉
Ta có y(
1
)
2
=
7
2
; y(1)=3 ; y(2)=
7
2
1
[ ;2]
2
min ( )f x
= f(
1
)
2
=f(2)=
7
2
;
1
;2
2
max ( ) (1) 3f x f
= =
Bài tập đề nghò :
231.JRC1SR
$
&
%&$"&& )$
&
"!$" # $
#
%#$
&
"
! $
&
"&$%+1>T)&U#V + $
&
%&$"#1>T&U+V
@ $
#
%#$
&
"+1>T)UV '
!#&
#
&#
−++ xxx
1>T)!U:V
9 $
!
%&$
&
"#1>T)#U&V A )$
!
"&$
&
"&1>T:U#V
: $
!
%&$
&
"1>TU!V
−
+
x
x
1>T&U+V
& $"
x
1-S:U"
∞
# $)
x
1W-S:U&V
!
#
&
+
+−
x
xx
1>TU!V +
&
!+&
&
+
++
x
xx
1>T)#U#V
@
&
:: x−
1>T)9U@V
'623X2YZCX2ZZ
( )
! &
& f x x x
= − +
1QB
[ ]
:U &
6
9623X2YZCX2ZZ
( )
& Q$f x x c
= +
1QB
:U
&
π
6
A623X2YZEX2ZZ
( )
A
f x x
x
= +
1QB
[ ]
&U!
&:623X2YZCX2ZZ
( )
!
&
f x x
x
= − + −
+
1QB
[ ]
U&
−
6
&623X2YZCX2ZZ
( )
# &
& @ f x x x
= − +
1QB
[ ]
U
−
6
&&623X2YZCX2ZZ
( )
&
#
x
f x
x
−
=
−
1QB
[ ]
:U&
6
ɯX2ZZEX2YZ
( )
&
& !y x x
= + −
&!623X2YZEX2ZZ
&
# :y x x= + −
6
&+623X2YZEX2ZZ
( )
!y x x
= −
6
Vấn đề 4 Tiệm cận
7M[L5HCM[L5
7\7M[]
:
M^>.M[L5>_.L
5 ,$
: :
. .
x x
f x y hoac f x y
→+∞ →−∞
= =
7\&7M[]$ $
:
M^>.M[L5H>_.L5
H ,$
: :
: :
. Q .
. Q .
x x x x
x x x x
f x f x
Hoac f x f x
− +
− +
→ →
→ →
= +∞ = −∞
= −∞ = +∞
23L5HC`
a)
&
&
x
y
x
−
=
+
b)
( )
&
&
&
x x
y
x
− −
=
−
c)
&
&
#
!
x x
y
x
+
=
−
d)
&
&
! #
x
y
x x
−
=
− +
e)
&
# &
x
y
x
− +
=
+
f)
#
x
y
x
=
+
Vấn đề 5: Khảo sát hàm số
I/ Khảo sát hàm đa thức và hàm phân thức
1) Kiến thức trọng tâm ( Xem sgk trang 31 – trang 38)
2) Bài tập áp dụng:
a) Hàm bậc ba:
1) y=-x
3
+3x+2 ( a<0 và y
’
=0 có 2 nghiệm phân biệt)
2) y=x
3
+4x
2
+4x (a>0 và y
’
=0 có 2 nghiệm phân biệt)
3) y= x
3
+x
2
+9x (a>0 và y
’
=0 vô nghiệm)
4) y= -x
3
+x
2
-9x (a<0 và y
’
=0 vô nghiệm)
5) y= -x
3
+3x
2
-3x-2 (a<0 và y
’
=0 có nghiệm kép)
6) y= x
3
+3x
2
+3x-1 (a>0 và y
’
=0 có nghiệm kép)
b) Hàm trùng phương
1)
!
&
#
& &
x
y x= − −
(a>0 và y
’
=0 có 3 nghiệm phân biệt)
2) y=-x
4
+ 2x
2
+2 (a<0 và y
’
=0 có 3 nghiệm phân biệt)
3)
!
&
#
& &
x
y x= − − +
(a<0 và y
’
=0 có 1 nghiệm )
4) y= x
4
+2x
2
+1 (a>0 và y
’
=0 có 1 nghiệm)
c) Hàm số:
ax b
y
cx d
+
=
+
1)
#
x
y
x
+
=
−
(y
’
<0)
2)
&
& !
x
y
x
−
=
−
(y
’
>0)
Bài tập đề nghò:
Bài 1 : Khảo sát các hàm số sau:
1/ y=x
3
– 3x
2
2/ y= - x
3
+ 3x – 2 3/ y= x
3
+ 3x
2
+ 4x -8
4/ y = x
4
– 6x
2
+ 5 5/ y = -
1
4
x
4
+ 2x
2
+
9
4
6/ y = x
4
+ 2x
2
'
&
x
y
x
−
=
+
8) y = x
4
– 2x
2
+ 1 9) y=-x
3
+3x
2
-2
10) y=2x
3
+3x
2
-1 11)
# &
x
y
x
−
=
+
12) y= x
4
-2x
2
+1
13) Cho hàm số y= x
3
– 3m x
2
+ 4m
3
. Khảo sát vẽ đồ thò (C) của hàm số khi m=1.
14) Cho hàm số y= x
4
– m x
2
+ 4m -11 . Khảo sát vẽ đồ thò (C) của hàm số khi m=4.
Vấn đề 6: Các bài toán liên quan đến khảo sát hàm số
* Bài toán 1: Vò trí tương đối giữa hai đồ thò
1) Tìm số giao điểm của hai đường:
Giả sử hàm số y=f(x)có đồ thò (C
1
) và hàm số y=g(x) có đồ thò (C
2
)
* Hoành độ giao điểm (nếu có ) là nghiệm của phương trình f(x)=g(x) (*)
Nếu x0, x1, x2, x3,… là nghiệm của phương trình (*) thì các điểm M
0
(x0;f(x0)),
M
1
(x1; f(x1)),…. là các giao điểm của (1) và (C2).
+Đặc biệt: (C
1
) tiếp xúc (C
2
)
; ;
f x g x
f x g x
=
⇔
=
có nghiệm
2) Biện luận số giao điểm của (C ): y=f(x)
và đường thẳng (d) qua A(x
A
; y
A
): y=k(x-x
A
)+y
A
Phương trình hoành độ giao điểm của ( C) và (d):y = k(x-x
A
)+y
A
(*)
a) Nếu phương trình (*) bậc hai: ax
2
+bx+c=0
Tính và xét dấu
∆
→
số giao điểm của (C ) và (d)
b) Nếu phương trình (*) bậc ba thì phân tích thành:
&
&
:
: &
x giao diem
x ax bx c
ax bx c
α
α
= ⇒
− + + = ⇔
+ + =
- Giải và biện luận (2)
- Số giao điểm của (1) và (2) là số giao điểm của (C) và (d).
Ví dụ: Chứng minh rằng với mọi giá trò của m, đường thẳng y=2x+m luôn cắt đồ
thò (C) của hàm số
#
x
y
x
+
=
+
tại hai điểm phân biệt
3) Dựa vào đồ thò (C) biện luận theo m số nghiệm của phương trình f(x,m)=0 (1)
B1: Từ phương trình f(x,m)=0 <-> f(x)=g(m), Số nghiệm của phương trình (1)
bằng với số giao điểm của hai đồ thò:
y f x C
=
và y=g(m) (d)
B2: Dựa vào đồ thò để kết luận số giao điểm
( * Chú ý: biện luận dựa vào đồ thò ta dựa vào y
cđ
và y
ct
của hàm số )
Ví dụ: Cho hàm số y= -x
3
+3x
1)Khảo sát và vẽ đthò (C)
2)Dựa vào đồ thò (C) biện luận theo m số nghiệm của phương trình x
3
-3x+m=0
* Bài toán 2: Tiếp tuyến với đồ thò
Cho hàm số y=f(x) có đồ thò (C).Ta cần viết phương trình tiếp tuyến với đồ thò (C) trong
các trường hợp sau:
1/ Tại điểm có toạ độ (x
0
;y
0
) :
B1: Tìm f ’(x)
⇒
f ’(x
0
)
B2: Phương trình tiếp tuyến với (C) tại điểm (x
0
; y
0
)
là: y - y
0
=
/
0
f (x )
(x–x
0
)
⇒
y =
/
0
f (x )
(x–x
0
) +y
0
2/ Tại điểm trên đồ thò (C) có hoành độ x
0
:
B1: Tìm f ’(x)
⇒
f ’(x
0
) ; y
0
B2: Phương trình tiếp tuyến với (C) tại điểm có hoành độ x
0
là:
y - y
0
=
/
0
f (x )
(x–x
0
)
⇒
y =
/
0
f (x )
(x–x
0
) +y
0
3/ Tại điểm trên đồ thò (C) có tung độä y
0
:
B1: Tìm f ’(x) .
B2:Do tung độ là y
0
⇔
f(x
0
)=y
0
. giải phương trình này tìm được x
0
⇒
f
/
(x
0
)
B3: Phương trình tiếp tuyến với (C) tại điểm có tung độ y
0
là: y - y
0
=
/
0
f (x )
(x–x
0
)
⇒
y =
/
0
f (x )
(x–x
0
) +y
0
4/ Biết hệ số góc của tiếp tuyến là k:
B1: Gọi M
0
(x
0
;y
0
) là tiếp điểm .
B2: Hệ số góc tiếp tuyến là k nên :
:
xf
′
=k (*)
B3: Giải phương trình (*) tìm x
0
⇒
f(x
0
)
⇒
phương trình tiếp tuyến.
Chú ý:
- Tiếp tuyến song song với đường thẳng y=ax+b thì có f
/
(x
0
)=a.
- Tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng y=ax+b thì có f
/
(x
0
).a=-1.
5/ Biết tiếp tuyến đi qua điểm A(x
1
;y
1
) : ( Chương trình nâng cao)
B1:Phương trình đường thẳng d đi qua A(x
1
;y
1
) có hệ số góc k là: y = k(x–x
1
) + y
1
(1)
B2: d là tiếp tuyến của (C)
⇔
hệ phương trình sau có nghiệm :
=
′
+−=
kxf
yxxkxf
B3:Giải hệ này ta tìm được k chính là hệ số góc của tiếp tuyến thế vào (1) ⇒ phương
trình tiếp tuyến.
*Bài toán 3: Tìm trên đồ thò (C): y=f(x) có tọa độ nguyên:
B1: chia đa thức: y= thương (nguyên) + dư/mẫu số
B2: Với x nguyên, để y nguyên thì dư là ước của mẫu số
B3: Giải mẫu số
⇒
x=
⇒
y= , rồi kết luận
Ví dụ: Tìm các điểm có tọa độ nguyên thuộc đồ thò (C) của hàm số
&
& !x x
y
x
+ +
=
Bài tập đề nghò:
Câu 1: GQ
#
# & y x x C= − −
6 aQCCbG6
&6 c/MN13/CJGB
( )
&U !
o
M − −
#6 c/MN13/CJG/QQCJM[]
&! &::9 y x d= +
6
!6 c /MN 13 CJ G / CK ? CJ M[ ]
&::9 ;
#
y x d= −
+6 c/MN13CJGBQ4CJ1=6
@6 dL.5L/MN13
#
# @ # :x x m
− + − =
*Q
'6 dL.5L/MN13
#
e # & ex x m− − =
*Qtham khảo
Câu 2: Cho hàm số
! &
+
&
& &
y x x C
= − +
1. Khảo sát và vẽ đồ thò hàm số (C).
2. Viết pt tt với đồ thò (C) tại điểm
+
&U
&
M
÷
3. Biện luận số nghiệm của pt:
! &
+
& :
& &
m
x x
−
− + =
Câu 3:6aQCCb
( )
C
# &
#y x x= − +
6
&6 f< CQ
( )
C
E L .5 *Q
m
L /MN 13
# &
# :x x m− + − =
Câu 4:GQ
# &
& # y x x= + −
6
6aQ<CCb6
&6dL.5*QL</MN13
# &
& # x x m+ − =
Câu 5:GQ
! &
& #y x x= − + +
?
( )
C
6aQ
&6f<CQ
( )
C
E34/MN13
! &
& :x x m− + =
?!L/gL6
Câu 6:GQ
! &
& y x x= − +
E>.
( )
C
6
6aQ<CCb6
&6c/MN13/CJ
( )
C
B4<B
( )
C
6
Câu 7:GQ
#
#
!
y x x= −
?
( )
C
6aQ
&6GQ4
( )
M C∈
?QP.
& #x =
6c/MN13M[](0
hC./
( )
C
6
Câu 8:GQ
# & #
# !y x mx m= − +
?
( )
m
C
E.6
6aQCCb
( )
C
- 6
&6c/MN13/
( )
C
B4?QP
x
=
6
Câu 9:
6aQCCb
( )
C
# &
@ A 6y x x x= − +
&6c/MN13/B4?QP.L/MN13
:6
Câu 10: Cho hàm số y= x
3
- 3x
2
có đồ thò (C). Viết phương trình tiếp tuyến với (C)
a/ Tại các giao điểm với trục hoành. b/ Tại điểm có hoành độ = 4.
c/ Biết tiếp tuyến có hệ số góc k= -3. d/ Biết tiếp tuyến song song với đường thẳng
y= 9x + 2005.
e/ Biết tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng y=
1
3
x + 2006.
f/ Biết tiếp tuyến đi qua A(1;-2).
Câu 11 .GQ
! &
&y x x= −
E-QCCbG6c/MN13
/G
6 2B4?QP
&x
=
6 2B4?P #6
6 2/QQCJM[]
( )
&! &::9d y x
= +
(6 2/CK?CJM[]
( )
&
&::9
&!
d y x
= − +
Câu 12.GQG $
#
%@$
&
"A$%6c/MN13/G
2B4?PI)
8QQCJM[](
A$%+6
cK?CJM[](
&
$"&! :6
Câu 136GQG
&
&
+
−
x
x
6c/MN13/G
2BQ4GCJ1=i$6
8QQCJM[](
!$%+6
cK?CJM[](
&
)$6
( 2BQ4L56
Gg!6c/MN13/CJG6
$
#
%#$"&04jU:
&
#
#
&
&!
+−
xx
04j:U
&
#
6
&
&
−
+
x
x
04j)@U+
(
&
+!
&
−
+−
x
xx
04j&U6
Câu 15: (ĐH -KA –2002) (C):
# & & # &
# # y x mx m x m m
= − + + − + −
a- Khảo sát và vẽ đồ thò hàm số ( C ) khi m =1.
b- Tìm k để pt :
# & #
# :x x k
− + + =
Có 3 nghiệm phân biệt .
Câu 16: Cho (C) : y = f(x) = x
4
- 2x
2
.
a) Khảo sát và vẽ đồ thò hàm số (C).
b) Tìm f’(x). Giải bất phương trình f’(x) > 0.
c) Viết phương trình tiếp tuyến của (C) :
* Tại điểm có hoành độ bằng
2
.
* Tại điểm có tung độ bằng 3.
* Biết tiếp tuyến song song với d
1
: y = 24x+2007
* Biết tiếp tuyến vuông góc với d
2
: y =
10x
24
1
−
.
Câu 17: Cho hs : ( C )
& !
x
y
x
+
=
+
a-aQCb( C ) .
b-CMR: 7M[] y =2x+m cắt đồ thò ( C ) tại hai điểm phân biệt A;B với
mọi m . Xác đònh m để AB ngắn nhất. ZgQ
Câu 18: - Cho hs : ( C )
&
x
y
x
+
=
+
a- Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thò (C) của hàm số.
b-Tìm m đường thẳng y= mx+m+3 cắt đồ thò (C) tại hai điểm phân biệt.
c- Viết phương trình tiếp tuyến với (C) tại giao điểm của đồ thò hàm số với trục tung.
d- Viết phương trình tiếp tuyến với (C) tại giao điểm của đồ thò hàm số với trục
hoành.
e- Viết phương trình tiếp tuyến với (C) tại biết tiếp tuyến song song với đường
thẳng
&::'
!
y x= − +
.
Câu 19: Cho HS ( C ) y = x
3
- 6x
2
+9x-1
a- Khảo sát và vẽ đồ thò hàm số trên.
b- 7M[](d) qua A(2;1) có hệ số góc m. Tìm m để (d) cắt (C) tại 3 điểm
phân biệt .
Câu 20: Cho hàm số
! &
& y x x
= − +
, gọi đồ thò là (C).
a) Khảo sát và vẽ đồ thò của hàm số.
b)Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thò (C) tại điểm cực đại của (C).
Câu 21: Cho hàm số
&
x
y C
x
+
=
+
a. Khảo sát và vẽ đồ thò hàm số.
b. Viết phương trình tiếp tuyến với (C) biết tt song song với đường thẳng
y = 4x -2.
c. Viết phương trình tiếp tuyến với © biết tiếp tuyến đó vuông góc với đường
phân giác thứ nhất.
Câu 22GQ )$
#
"#$"6
aQ<CCbG6
f<CQGEL.5*QL/MN13$
#
%#$" :6
c/MN13/GB4?kP$
:
6
Câu 23)GQ $
#
%@$
&
"A$"
aQ<CCbG6
c/MN13/G/?CK?CJM[
]
&
&!
+−
x
c/MN13M[]04<16
Câu 24)GQ )$
#
"#$
&
%&6
aQ<CCbG6
c/MN13/G/QQCJM[]
)A$"
234M[] _GB4/gL6
Câu 25)GQ
#
&#
+−
xx
aQ<CCbG6
c/MN13/G/04jU:
Câu 26)GQ
#
&#
++− xxx
aQ<CCbG6
c/MN13/GBQ4GCJ1=Q6
Câu 27)GQ $
#
"$
aQ<CCbG6
c/MN13/GBQ4GCJ1=6
Câu 28)GQ $
!
%&$
&
"
aQ<CCbG6
dL.5*QL/MN13$
!
%&$
&
"% :6
c/MN13/GB4?kP$
&
Câu 29GQ )$
!
"&$
&
"&6
aQ<CCbG6
234/MN13$
!
%&$
&
" :?L/gL6
c/MN13/GB4<46
Câu 30GQ
&
#
#
&
&
!
+− x
x
aQ<CCbG6
dL.5*QL/MN13$
!
%@$
&
"#% :6
c/MN13/G/04j:U
&
#
Câu 31GQ
&
!
&!
−−
xx
aQ<CCbG6
234/MN13$
!
%9$
&
%!" :?!L/gL6
c/MN13/GBQ4GCJ1=6
Câu 32GQ
−
+
x
x
6
aQ<CCbl6
c/MN13/lB4h
:
&U#6
c/MN13/l/QQCJM[]
)&$"
Câu 33GQ
&
+
+
x
x
6
aQ<CCbl6
c/MN13/lB4?kP$ )&
c/MN13/l/CK?CJM[]
)$"&
Câu 34GQ
x
x
−
&
6l
aQ<CCbl6
231lW4?>P.6
c/MN13/lBQ4lCJ1=6
Câu 35GQ
x
x
−
6
aQ<CCbl6
c/MN13/lBQ4lCJ1=k6
234M[] $"_lB4/gL6
Câu 36GQ
!
!
−
x
aQ<CCbl6
hPM[](0j)!U:?L?.6234(_lB
4/gL6
c/MN13/l/04j!U!6
Câu 37)GQ
&
& ' +
&
x x
y
x
− +
=
−
c/MN13/QQ
CJM[] $"!
Câu 38)GQ
&
# #
&
x x
y
x
+ +
=
+
c/MN13//
CK?CJM[]$)#)@ :6
Câu 39)GQ
#
x
y
x
+
=
−
G
aQ<CCbG6
23>PQ4/GE1I/
?CK?CJM[] $"&::+
Ch ủ đề 2:
PHƯƠNG TRÌNH BẤT PHƯƠNG TRÌNH MŨ VÀ LOGARIT
I) HÀM LUỸ THỪA , HÀM SỐ MŨ VÀ HÀM SỐ LOGARIT
A. KIẾN THỨC CẦN NHỚ:
1.Tính chất
mCJF:EF:E?
α
α
α
αααβαβαβα
β
α
βαβα
b
a
b
a
baabaaa
a
a
aaa
=
====
−+
U6UUU6
6
F
βα
βα
>⇔> aa
:DD
βα
βα
<⇔>
aa
:
U U
m
nn m
n
n
a a a a
a
−
= = =
* Quy tắc tính:
6
m n m n
a a a
+
=
;
( )
n
m mn
a a
=
;
n
n
n
a a
b b
=
÷
;
m
m n
n
a
a
a
−
=
;
( )
6
n
n n
ab a b
=
* Quy tắc so sánh:
+ Với a > 1 thì
m n
a a m n
> ⇔ >
+ Với 0 < a < 1 thì
m n
a a m n
> ⇔ <
2. Căn bậc n
6 6
n n n
a b a b
=
;
n
n
n
a a
b
b
=
( )
p
n p
n
a a
=
m
n mn
a a
=
Nếu
p p
n m
=
thì
n m
p q
a a
=
; Đặc biệt
mn m
n
a a
=
3. Lôgarit
.Q
a
b a b
α
α
= ⇔ =
.Q
.Q :U .Q U .Q U
a
b
b
a a a
a a b a b
= = = =
* Tính chất so sánh:
+ Với a > 0 thì:
.Q .Q
a a
b c b c
> ⇔ >
+ Với 0 < a <1 thì:
.Q .Q
a a
b c b c
> ⇔ <
+
.Q .Q
a a
b c b c
= ⇔ =
* Quy tắc tính:
( )
.Q 6 .Q .Q
a a a
b c b c
= +
.Q .Q .Q
a a a
b
b c
c
= −
.Q .Q
a a
b b
α
α
=
.Q .Q
a
a
b b
α
α
=
.Q .Q
n
a a
b b
n
=
* Công thức đổi cơ số:
.Q
.Q
.Q
a
b
a
c
c
b
=
hay
.Q 6.Q .Q
a b a
b c c=
.Q
.Q
a
b
b
a
=
hay
.Q 6.Q
a b
b a
=
;
.Q .Q
b b
c a
a c
=
* Chú ý: Lôgarit thập phân (cơ số 10) kí hiệu là: logx hoặc lgx
Lôgarit cơ số e kí hiệu là: lnx
n/o$*M-p?4.Q1?\6
4. Bảng đạo hàm cần nhớ:
Đạo hàm của hàm số sơ cấp thường
gặp
Đạo hàm của hàm số hợp u = u(x)
( )
; 6x x
α α
α
−
=
( )
; 6 6 ;u u u
α α
α
−
=
E
&
x x
= −
÷
;
&
;u
u u
= −
÷
( )
;
&
x
x
=
( )
;
;
&
u
u
u
=
( )
;
6
n
n n
x
n x
−
=
( )
;
;
6
n
n n
u
u
n u
−
=
( )
;
Qx x
=
( )
;
;6Qu u u
=
( )
;
Q x x
= −
( )
;
Q ;6u u u
= −
( )
;
&
Q
x
x
=
( )
;
&
;
Q
u
u
u
=
( )
;
&
Q
x
x
= −
( )
;
&
;
Q
u
u
u
= −
( )
;
x x
e e
=
( )
;
;6
u u
e u e=
( )
;
6.
x x
a a a=
( )
;
;6 6.
u u
a u a a=
( )
;
. x
x
=
( )
;
;
.
u
u
u
=
( )
;
.Q
6.
a
x
x a
=
( )
;
;
.Q
6.
a
u
u
u a
=
5. BẢNG ĐẠO HÀM.
xx
ee
=
;
aaa
xx
.6;
=
x
x
;.
=
aa
x
x
a
.
;.Q
=
:E:6;
>≠=
−
xxx
αα
αα
n
n
n
xn
x
;
−
=
uu
eue ;6; =
aaua
uu
.6;6;
=
u
u
u
;
;.
=
au
u
u
a
.6
;
;.Q
=
;6;
uuu
−
=
αα
α
n
n
n
un
u
u
6
;
;
−
=
B. CÁC DẠNG BÀI TẬP
Bài tập: LUỸ THỪA
Baøi 1:Tính a)
+
# '
&
# #
& ! ! &
# 6+ & @ + 6& 6#A
−
=
b) B=
& & # #
! + &
:E&+ &+
! # ! #
− − −
+
Baøi 2: a) Cho a =
& #
−
+
vaø b =
& #
−
−
. Tính A= (a +1)
-1
+ (b + 1)
-1
b) cho a =
! : & ++ +
vaø b =
! : & +− +
. Tính A= a + b
Baøi 3: Tính
a) A =
+
#
& & &
b) B =
#
#
& # &
# & #
c) C =
#
# A &' #
d!6c(MJ(B.qrCJqWs4H
6
+
#
& & &
6
@
a a a a a
UF:6 6
&
!
#
x x
U$F: (6
+
#
a a
b b
UF:
Bài 567N4H
6
!
+a
−
6
! &
9 U :a b b <
6
9 !
!
U x x x+ ≤ −
(6
& &
&
&
a
a
b
P
a b ab
−
−
=
− +
*6
&
& & & &
! A ! # #
U :U U
&
& #
a a a a
Q a a a
a a a a
− −
− −
− − +
= + > ≠ ≠
− −
6 6
# + # !9+ − +
Bài 6/.2t14H
a/.
&
# #
#
#
& &
&
&
#
a b a a b
A
a a b b
a ab
−
+ −
=
−
−
; v i ơ
@
+
a =
và
#
+
b =
b/.
#
&
#
&
#
& &
A a b ab a
−
− −
− −
=
; v i ơ
&
&
a =
và
#
&
b
=
Bài 76uv>4H :
a/.
& &
6 a
a
−
b/.
&
# #
b b
− −
c/.
& !
!
x x x
π π
d/.
# #
&+ +
a
d8. So sánh
a/.
@::
#
và
!::
+
b/.
+
'
&
−
và
#
!
&6&
c/.
#
#
và
&
Baøi 9. 7N bieåu thöùc sau
a) A =
!
+a −
b) B =
! &
9a b
vôùi b ≤ 0 c) C =
# #
&+ +
a
(a > 0)
d) E =
&
& & &
& & &
&
x y x y x y
xy
x y x y
−
+ + −
÷
− −
÷
÷
+ +
vôùi x > 0, y > 0
e ) F =
&
&
&
a x
x x
−
+ −
vôùi x =
&
a b
b a
+
÷
÷
vaø a > 0 , b > 0
f) G =
a x a x
a x a x
+ − −
+ + −
Vôùi x =
&
&
ab
b +
vaø a > 0 , b > 0
g) J =
&
& & & &
! A ! #
& #
a a a a
a a a a
− −
−
− − +
+
− −
vôùi 0 < a ≠ 1, 3/2
h)
# # # #
a b a b
a b a b
− +
−
− +
i)
!
!
#
! &
6 6
a a a
a
a
a a
− +
+
+
+
j)
( ) ( )
+
& &
! ! ! !
#
#
6 6
a b a b
a a a
a ab
+ + −
+
k)
( )
&
# #
#
#
& &
&
&
#
6
x x y
x y
x x y y
x xy
−
−
+
−
−
Đơn giản biểu thức.
Bài 10)
(
)
+
+
&
#
&@
66 yxyx
−
##
#
!
#
!
ba
abba
+
+
6
6
!
!
&
#
!
+
+
+
+
−
a
a
aa
aa
a
(
+−
+
+
−
+
m
m
m
m
m
&
&
6
&&
!
&
#
&
Bài 11)2t14H6
+
#
#
'+E:
#&
&+
9
−−
−
−
+
&:
#
#
&
&
#
A9@!6&::E: +−−−
−
−
−
+E:
'+E:
#
&
&+
@
&'
−
+
−
(
#
&
&+E:!
#A
!
&@&++E:
−
−
−
−+
−−−
Bài 12)dwMC(B.qrCJqWs6
'
#+
6&
9
ax
#
!
+
6 aa
!
9 #
6 bb
(
!
#
6&'
#
a
Bài 13)2t6
( )
#
#
#
##&
@6!
+−
&#
&
#
&'
(
( )
+
+
!
9
&
Bài 14)7N4H6
&#&
#&&&
+
−
−
ba
ba
##!
####&#&
aa
aaaa
−
++−
π
π
ππ
−+
abba 6!
&
Baøi tập: LOGARIT
Baøi 15 Tính
A = log
2
4 B= log
1/4
4 C =
+
.Q
&+
D = log
27
9
E =
!
!
.Q 9
F =
#
#
.Q A
G =
#
+
&
!
.Q
& 9
÷
÷
H=
#
&'
# #
.Q
#
÷
÷
I =
#
@
.Q & &
J=
&
:E+
.Q !
K =
#
.Q
a
a
L =
+& #
.Q
a
a a
Baøi 16: Tính
A =
&
.Q #
!
B =
A
.Q #
&'
C =
#
.Q &
A
D =
#
&
&.Q +
#
&
÷
E =
&
.Q :
&
9
F =
&
.Q ':
&
+
G =
9
# !.Q #
&
−
H =
# #
.Q & #.Q +
A
+
I =
.Q
&
a
a
J =
# #
.Q & #.Q +
&'
−
Bài 1762t
6
#
+
&
! & @
.Q
&
6
#
&
.Q !
.Q # &
# &
+
−
+
6
& 9
9
.Q # #.Q +
.Q +
&
@ !
+
−
+
(62t
!A
.Q #&
*Q
&
.Q ! a
=
*62t
&!
.Q '&
*Q
@
.Q & a
=
,62t
+
.Q @
*QC
::
.Q # a
=
C
::
.Q & b
=
m6GH
$
.Q .Q
.Q
.Q
b x
bx
x
+
=
+
Bài 182t
6
#
+
#
log
6
A
!
#
log
6
#
& +
#
log
−
÷
(6
+ +
#
+
log
*6
( )
#
!
#
log
,6
#
& @
#
log
−
÷
Bài tậpCƠNG THỨC ĐỔI CƠ SỐ
Bài 19 :
2t
#:
9log
#: #:
# + log ; log
= =
2t
+!
@9log
' &
& &! log , log= =
2t
#
+
&'
&+
log
+
#log
(2t
!A
!log
&9
A9log
*2t
&
$log
# '
$ $ log , log
= =
Bài 20:2t14H6
.Q
A
+".Q
A
9%.Q
A
: &
#
#
#
#
!+.Q#!::.Q
&
@.Q&
+−
#
#.Q
&
&.Q
@
#@
−
!
#.Q6!.Q.Q
&#
!
+
&.Q9.Q
!.Q
&
!
'&+
A
!A6&+9
+
−
@
+.Q##.Q
&
+.Q
+&
!
!&@
+
+
+
'
+
−
−
!.Q
@.QA.Q
&
+
''
+!A'&
d&23$6
.Q
@
$ #.Q
@
&":E+.Q
@
&+%&.Q
@
#6
&.Q
!
$
#.Q!:.Q&&@.Q
#
!!!
+−
Rút gọn biểu thức
Bài 22: Rút gọn biểu thức
A =
!
#
.Q 9.Q 9
B =
+
#
.Q &+.Q A
C =
#
& &+
.Q .Q &
+
D =
# 9 @
.Q @.Q A.Q &
E =
# ! + @ 9
.Q &6.Q #6.Q !6.Q +6.Q '
F =
&
!
.Q #:
.Q #:
G =
+
@&+
.Q #
.Q #
H =
& &
A@ &
.Q &! .Q A&
.Q & .Q &
−
Bài 23 : d4(x.Q
#:
90.Q
#:
+C.Q
#:
#6
Bài tập: HÀM SỐ MŨ HÀM SỐ LOGARIT
Vấn đề 1: tìm tập xác đònh của hàm số
Bài 24: Tìm tập xác đònh của các hàm số sau
a) y =
&
#
.Q
: x−
b) y = log
3
(2 – x)
2
c) y =
&
.Q
x
x
−
+
d) y = log
3
|x – 2| e)y =
+
& #
.Q &
x
x
−
−
f) y =
&
&
.Q
x
x −
g) y =
&
&
.Q ! +x x− + −
h) y =
&
.Q x −
i) y= lg( x
2
+3x +2)
Vấn đề 2: Tìm đạo hàm các hàm số
Bài 25: Tính đạo hàm của các hàm số mũ
a) y = x.e
x
b) y = x
7
.e
x
c) y = (x – 3)e
x
d) y = e
x
.sin3x
e) y = (2x
2
-3x – 4)e
x
f) y = sin(e
x
) g) y = cos(
&
& x x
e
+
) h) y = 4
4x – 1
i) y = 3
2x + 5
. e
-x
+
#
x
j) y= 2
x
e
x -1
+ 5
x
.sin2x k) y =
&
!
x
x −
Bài 26 . Tìm đạo hàm của các hàm số
a) y = x.lnx b) y = x
2
lnx -
&
&
x
c) ln(
&
x x+ +
) d) y = log
3
(x
2
- 1)
e) y = ln
2
(2x – 1) f) y = x.sinx.lnx g) y = lnx.lgx – lna.log
a
(x
2
+ 2x + 3)
Bài 276GH1I`gSpLHMNHpQ6
*
$
U OQ$%$%OO :
& .Q$U O$%OO% :
# .$U O"OO$"
&
x
:
! *
$
6Q$U &O%&%OO :
+ .
&
$U $
&
6OO"$6O &
@) Bài tập: PHƯƠNG TRÌNH MŨ VÀ PHƯƠNG TRÌNH LOGARIT
Vấn đề 1: Phương trình mũ
a) Dạng cơ bản:
: a< ≠
.Q :
f x g x
f x b
a
a a f x g x
a b f x b
= ⇔ =
= ⇔ = >
b) Các phương pháp giải
Dạng 1. Đưa về cùng cơ số
Bài 1 : Giải các phương trình sau
1)
!
#
& !
x
−
=
2)
&
+
@
&
& @ &
x x− −
=
3)
&
& # # +
# A
x x x− + −
=
4)
&
9 #
& !
x x x
− + −
=
5) 5
2x + 1
– 3. 5
2x -1
= 110 6)
+ '
' #
#& &9
!
x x
x x
+ +
− −
=
7) 2
x
+ 2
x -1
+ 2
x – 2
= 3
x
– 3
x – 1
+ 3
x - 2
8) (1,25)
1 – x
=
&
:E@!
x+
9) 3
x+1
+ 3
x+2
+
3
x+3
= 9.5
x
+ 5
x+1
+5
x+2
10.)
2
x x 8 1 3x
2 4
− + −
=
11)
2
5
x 6x
2
2 16 2
− −
=
12).
x x 1 x 2 x x 1 x 2
2 2 2 3 3 3
− − − −
+ + = − +
Dạng 2. đặt ẩn phụ ( C ần nắm vững)
Bài 2 : Giải các phương trình
1) 2
2x + 5
+ 2
2x + 3
= 12 2) 9
2x +4
- 4.3
2x + 5
+ 27 = 0
3) 5
2x + 4
– 110.5
x + 1
– 75 = 0 4)
+ & 9
& :
& + +
x x+
− + =
÷ ÷
5)
#
+ + &:
x x
−
− =
6)
( ) ( )
! + ! + &
x x
− + + =
7)
(
)
(
)
+ & @ + & @ :
x x
+ + − =
&
9# A6# @ :
x x+
− + =
(TN – 2008)
9)
' &6' A :
x x−
+ − =
(TN – 2007) 10)
& &
& A6& & :
x x+
− + =
(TN –2006)
11) 4
x+1
-6.2
x+1
+8=0 12)
( ) ( )
+ &! + &! :
x x
+ + − =
;
13)
( ) ( )
#
# + @ # + &
x x
x+
+ + − =
14) 3.25
x
+ 2.49
x
=5.35
x
15) 3
1+x
+3
1-x
=10 16)3
4x+8
-4.3
2x+5
+27=0
17) 4
x+1
-6.2
x+1
+8=0 18)64
x
-8
x
-56=0 19) 3.4
x
-2.6
x
=9
x
Dạng 3. Logarit hóạ
Bài 3 Giải các phương trình
a) 2
x - 2
= 3 b) 3
x + 1
= 5
x – 2
c) 3
x – 3
=
&
' &
+
x x− +
d)
&
& + @
& +
x x x− − +
=
e)
+ 69 +::
x
x
x
−
=
f) 5
2x + 1
- 7
x + 1
= 5
2x
+ 7
x
Dạng 4. sử dụng tính đơn điệu (nâng cao)
Bài 4: giải các phương trình
a) 3
x
+ 4
x
= 5
x
b) 3
x
– 12
x
= 4
x
c) 1 + 3
x/2
= 2
x
d5/.
1.
! &6& ! :
x x+
− + =
2.
A
#
!
&
=
+− xx
3.
&
@+
&
=
+−
xx
