Đề thi HSG Toán 9-QTrạch-2009-2010

UBND huyện quảng trạch
Phòng Giáo duc & Đào tạo
Đề thi chọn Học sinh giỏi
Năm học 2009 - 2010
Môn: Toán lớp 9
Thời gian : 150 phút (không kể thời gian giao đề)
Câu1 (1,0 điểm)
Tỡm s t nhiờn n sao cho: n + 24 v n 65 l hai s chớnh phng
Câu 2 (2,0 điểm)
a) (1,0 điểm) Chứng minh rằng với ba số a, b, c bất kỳ ta có: a
2
+ b
2
+c
2


ab + bc + ca
b) (1,0 điểm) Tính giá trị biểu thức:
2 3 2 3
2 2 3 2 2 3
+
+
+ +
Câu 3. (2 điểm)
a) (1,0 điểm) Chng minh:
2 2 2 2 2 2
a b c d (a c) (b d)+ + + + + +
.
b) (1,0 điểm) Cho đờng thẳng y = ( m - 2)x + 2 (d). Chứng minh rằng đờng thẳng (d)
luôn đi qua một điểm cố định với mọi giá trị của m.

Câu 4 (1,5 điểm)
Gọi a, b, c là độ dài ba cạnh của một tam giác biết:
( ) ( ) ( )
a b b c c a 8abc
+ + + =
. Chứng minh rằng tam giác đó là tam giác đều
Câu 5: (1,75 điểm)
Cho hình vuông ABCD. Điểm O thuộc miền trong của hình vuông thoả mãn
OB = 2.OA và

o
AOB=135
. Chứng minh : OC = OA + OB.
Câu 6: (1,75 điểm).
Cho tam giác nhn ABC. Phân giác góc A ct cnh BC ti D. Gi K và M ln lt là
hình chiu ca D trên AB và AC
a) Chng minh: AD vuông vi KM.
b) t góc BAC bng

.Gi S là giao im ca KD và AC.
Chng minh: KM=AD.sin

Hết
1
UBND huyện quảng trạch
Phòng GD & ĐT
Hớng dẫn chấm thi chọn Học sinh giỏi
Năm học 2009 - 2010
Môn: Toán lớp 9
Câu

Tổng
điểm
Nội dung Điểm
1 1
Tacú:





=
=+
2
2
65
24
hn
kn
2 2
k 24 h 65
= +
( )( )
89.189
==+
hkhk



=
=

=
=+

44
45
1
89
h
k
hk
hk

Vy: n = 45
2
24 = 2001
0,25
0,25
0,25
0,25
2a 1 Xét a
2
+ b
2
+ c
2
- (ab +bc + ca)

2 2 2 2 2 2
2 2 2
1 1 1
(a 2ab b ) (b 2bc c ) (c 2ac a )
2 2 2
1 1 1
(a b) (b c) (a c) 0
2 2 2
= + + + + +
= + +
Vy a
2
+ b
2
+ c
2


ab +bc + ca
Dấu = xảy tra khi a=b=c
0,25
0,5
0,25
2b 1
A=
2 3 2 3
2 2 3 2 2 3
+
+

+ +
.
A 2 3 2 3
2
2 4 2 3 2 4 2 3
+
= +
+ +
.
=
2 3 2 3 (2 3)(3 3) (2 3)(3 3)
6
3 3 3 3
+ + + +
+ =
+
.
=
+ + +
=
6 2 3 3 3 3 6 2 3 3 3 3
1
6

A =
2

0, 5
0,25
0,25

3a 1,5 Hai vế BĐT không âm nên bình phơng hai vế ta có:
a
2
+ b
2
+c
2
+ d
2
+2
2 2 2 2
( )( )a b c d+ +

a
2
+2ac + c
2
+ b
2
+ 2bd +
d
2

2 2 2 2
( )( )a b c d+ +

ac + bd (1)
Nu ac + bd < 0 thỡ BT c c/m
Nu ac + bd

0
(1)

( a
2
+ b
2
)(c
2
+ d
2
)

a
2
c
2
+ b
2
d
2
+2acbd

a
2
c
2
+ a
2
d

2
+ b
2
c
2
+ b
2
d
2

a
2
c
2
+ b
2
d
2
+2acbd
0,25
0,25
0,25
0,25
0,25
2

a
2
d
2

+ b
2
c
2
2abcd

0

(ad bc)
2


0
( luụn ỳng)
Du = xy ra

ad = bc

a c
b d
=
0,25
3b 1 Điều kiện cần và đủ để đờng thẳng d đi qua điểm cố định
H (x
0
, y
0
) là:
y
0

= ( m-2)x
0
+ 2 với mọi m

mx
0
-(2x
0
+y
0
-2) = 0 với mọi m



0
0 0
x 0
2x y 2 0
=


+ =


x
0
=0; y
0
= 2
Vậy đờng thẳng d luôn đi qua điểm cố định H (0; 2)

với mọi m
0,5
0,5
4 1,5
Ta có:
( )( )( )
abcaccbba 8
=+++
( ) ( ) ( )
0222
222222
=+++++ abccacbabcabacabcbcba
( ) ( ) ( )
0
222
=++
abccbacab
Ta có:
( )
0
2

cab

cba ,,


( )
0
2

cba

cba ,,


( )
0
2

abc

cba ,,

mà
0,,

cba
( ) ( ) ( )
0
222
++
abccbacab

cba ,,

Dấu bằng xảy ra khi

=
=
=
0)(
0)(
0)(
2
2
2
cab
cba
bac

cba
==
Kết luận: Vậy tam giác có 3 cạnh bằng nhau nên là tam giác
đều
0,25
0,25
0,25
0,25
0,25
0,25
5 1,75 0,25
3
Vẽ tia Ox nằm giữa OB và OA sao cho

Ox 45B

=
o
.
Lấy E trên Ox sao cho BE

BO.
BEA BOC
=
(c.g.c)
Suy ra AE = OC (1)
BOE
vuông cân tại B

EO = OB.
2
.
AOEEOBAOBA ==
0
90OE
vuông tại O, theo Pitago ta
có:
2 2 2 2 2 2 2 2
( 2. ) 8. 9.AE AO EO AO BO AO AO AO= + = + = + =
2 2
9. 3.AE AO AE AO AE OA OB = = = +
(2)
Từ (1) và (2)
OC OA OB = +

0,25

0,25
0,25
0,25
0,25
0,25
6a 0,75
Xét hai tam giác vuông AKD và AMD có:
1 2

A A=
, AD là cạnh
huyền chung
D DAK AM =
AK AM AKM =
cân tại A
Nên đờng phân giác AD cũng chính là đờng cao
KM.AD
0,25
0,25
0,25
6b 1
Ta có
ã
( )BAC gt

=

ã
ã
S ADMK K=

(Hai góc nhọn có cạnh tơng ứng vuông góc)
Mặt khác,
ã
ã
AS ADD K=
(AD là phân giác góc A).
Do đó
ã
ã
S ASMK D=
.
Hai tam giác KSM và ASD có góc S chung và
ã
ã
S ASMK D=
nên
đồng dạng với nhau.
Suy ra :
S
AS D
K KM
A
=
Xét tam giác vuông AKS ta có:
S
sin D.sin
AS D
K KM
KM A
A

= = =
0,25
0,25
0,25
0,25
4