Bài tập Giải tích: Phép tính tích phân pot
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (1.42 MB, 14 trang )
√
x
2
± adx =
x
2
√
x
2
± a ±
a
2
ln
x +
√
x
2
± a
+ C a > 0
√
a
2
− x
2
dx =
x
2
√
a
2
− x
2
+
a
2
2
arcsin
x
a
+ C a > 0
dx
√
a
2
− x
2
= arcsin
x
a
+ C a > 0
dx
√
x
2
± a
= ln
x +
√
x
2
± a
+ C a > 0
dx
x
2
+ a
2
=
1
a
arctan
x
a
+ C a = 0
dx
a
2
− x
2
=
1
2a
ln
a + x
a − x
+ C a = 0
e
ax
cos bx =
b sin bx + a cos bx
a
2
+ b
2
e
ax
+ C a = 0
e
ax
sin bx =
a sin bx − b cos bx
a
2
+ b
2
e
ax
+ C a = 0
dx
sin x
= ln
tan
x
2
+ C x = kπ
dx
cos x
= ln
tan
x
2
+
π
4
+ C x =
π
2
+ kπ
•
dx
x
4
− 1
•
1 + 2x
2
x
2
(1 + x
2
)
dx
•
√
x
2
+ 1 +
√
1 − x
2
√
1 − x
4
dx
•
√
x
2
+ 1 −
√
1 − x
2
√
x
4
− 1
dx
•
√
x
4
+ x
−4
+ 2
x
3
dx
•
2
3x
− 1
e
x
− 1
dx
•
2
2x
− 1
√
2
x
dx
•
dx
x(2 +
2
x)
•
3
√
2
x
x
dx
•
e
x
+ e
2x
1 − e
x
dx
•
e
x
dx
1 + e
x
•
sin
2
x
2
dx
Phép tính tích phân trên R
1
Bài tập Giải tích II
K53 -Toán tin
ĐHKHTN
•
2
xdx
•
√
1 + sin 2xdx
x ∈
0,
π
2
•
e
cos x
sin xdx
•
e
x
cos e
x
dx
•
1
1 + cos x
dx
•
dx
sin x + cos x
•
1 + cos x
(x + sin x)
3
dx
•
sin 2x
1 − 4 sin
2
x
dx
•
sin x
2 − sin
2
x
dx
•
sin x cos x
3 − sin
4
x
dx
•
3x
1 + 9x
2
dx
•
x +
√
2x
1 + 4x
2
dx
•
sin x − cos x
√
1 − x
2
dx
•
x + sin
3
2x
√
1 − 4x
2
dx
•
x + cos
3/2
x
√
1 − x
2
dx
•
x|x|dx
•
(2x − 3)|x − 2|dx
•
f(x)dx
f(x) =
1 − x
2
, |x| 1,
1 − |x|, |x| > 1.
e
2x
4
√
e
x
+ 1
dx
dx
√
e
x
+ 1
e
2x
e
x
− 1
dx
√
1 + x
x
dx
√
1 + x
x x
dx
dx
e
x/2
+ e
x
√
x
√
x
dx
1 + x
√
e
3x
+ e
2x
dx
e
2x
2
+2x−1
(2x + 1)dx
dx
√
e
x
− 1
e
2x
dx
√
e
4x
+ 1
2
x
dx
√
1 − 4
x
dx
1 +
√
x + 1
x + 1
x
√
x − 2
dx
dx
√
ax + b + m
dx
3
√
x(
3
√
x − 1)
dx
(1 − x
2
)
3/2
dx
(x
2
+ a
2
)
3/2
dx
(x
2
− 1)
3/2
√
a
2
− x
2
dx
√
a
2
+ x
2
dx
x
2
√
a
2
+ x
2
dx
dx
x
2
√
x
2
+ a
2
x
2
dx
√
a
2
− x
2
dx
x
√
x
2
− a
2
Phép tính tích phân trên R
2
Bài tập Giải tích II
K53 -Toán tin
ĐHKHTN
•
x2
x
dx
•
x
2
e
−x
dx
•
x
3
e
−x
2
dx
•
(x
3
+ x)e
5x
dx
•
sin xdx
•
x sin xdx
•
x
2
sin 2xdx
•
xdx
•
√
xdx
•
x
3
xdx
•
( x)
2
xdx
•
( sin x)
2
dx
•
sin x
√
x + 1
dx
•
sin x
x
2
dx
•
x x
√
1 + x
2
dx
•
sin
√
x
√
1 − x
dx
•
ln xdx
•
√
x ln
2
xdx
•
ln(x+
√
16 + x
2
)dsx
•
x ln(x +
√
1 + x
2
)
√
1 + x
2
dx
•
sin x ln( x)dx
•
x
2
ln(1 + x)dx
•
x
2
sin 2xdx
•
x
3
cos(2x
2
)dx
•
e
x
sin xdx
•
3
x
cos xdx
•
e
3x
(sin 2x−cos 2x)dx
•
xe
2x
sin 5xdx
•
x
2
e
x
sin xdx
•
x
2
e
x
cos xdx
•
x
2
sin(ln x)dx
• I
n
=
x
n
e
ax
dx a = 0
• I
n
=
ln
n
xdx
• I
n
=
x
α
ln
n
xdx α = −1
• I
n
=
x
n
dx
√
x
2
+ a
n > 2
• I
n
=
sin
n
xdx n > 2
• I
n
=
cos
n
xdx n > 2
• I
n
=
dx
cos
n
x
n > 2
xdx
(x + 1)(x + 2)(x − 3)
2x
4
+ 5x
2
− 2
2x
3
− x − 1
dx
2x
3
+ x
2
+ 5x + 1
(x
2
+ 3)(x
2
− x + 1)
dx
x
4
+ x
2
+ 1
x(x − 2)(x + 2)
dx
Phép tính tích phân trên R
3
Bài tập Giải tích II
K53 -Toán tin
ĐHKHTN
dx
x(x − 1)(x
2
− x + 1)
2
x
4
− x
2
+ 1
(x
2
− 1)(x
2
+ 4)(x
2
− 2)
dx
3x
2
+ 5x + 12
(x
2
+ 3)(x
2
+ 1)
dx
(x
4
+ 1)dx
x
5
+ x
4
− x
3
− x
2
x
3
+ x + 1
x
4
− 1
dx
x
4
1 − x
4
dx
3x + 5
(x
2
+ 2x + 2)
2
dx
x
4
− 2x
2
+ 2
(x
2
− 2x + 2)
2
dx
x
2
+ 2x + 7
(x − 2)(x
2
+ 1)
3
dx
x
2
(x + 2)
2
(x + 1)
dx
x
2
+ 1
(x − 1)
3
(x + 3)
dx
dx
x
5
− x
2
3x
2
+ 8
x
3
+ 4x
2
+ 4x
dx
2x
5
+ 6x
3
+ 1
x
4
+ 3x
2
dx
x
3
+ 4x
2
− 2x + 1
x
4
+ x
dx
x
3
− 3
x
4
+ 10x
2
+ 25
dx
dx
√
2x − 1 −
3
√
2x − 1
xdx
(3x − 1)
√
3x − 1
1 − x
1 + x
dx
x
3
x + 1
x − 1
dx
x + 1
√
x + 1 −
√
x − 1
√
x + 1 +
√
x − 1
dx
xdx
√
x + 1 −
3
√
x + 1
(x − 2)
1 + x
1 − x
dx
3
x + 1
x − 1
dx
(x − 1)
3
dx
(x − 1)
3
(x − 2)
dx
3
(x − 1)
2
(x + 1)
dx
3
(x + 1)
2
(x − 1)
4
dx
4
(x − 1)
3
(x + 2)
5
dx
3
(x − 1)
7
(x + 1)
2
dx
6
(x − 7)
7
(x − 5)
5
dx
n
(x − a)
n+1
(x − b)
n−1
a = b
√
x + 1 −
√
x − 1
√
x + 1 +
√
x − 1
dx
Phép tính tích phân trên R
4
Bài tập Giải tích II
K53 -Toán tin
ĐHKHTN
dx
x
√
x
2
+ x + 1
dx
(x − 2)
√
−x
2
+ 4x − 3
dx
(x + 1)
√
1 + x − x
2
dx
(x − 1)
√
x
2
+ x + 1
(x − 1)dx
(x
2
+ 2x)
√
x
2
+ 2x
5x + 4
√
x
2
+ 2x + 5
dx
x
−
1
3
(1 − x
1/6
)
−1
dx
x
−
2
3
(1 + x
1
3
)
−3
dx
x
−
1
2
(1 + x
1
4
)
−10
dx
x
1 +
3
√
x
2
dx
x
3
(1 + 2x
2
)
−
2
3
dx
dx
x
4
√
1 + x
2
dx
x
2
(1 + x
3
)
5/3
dx
√
x
3
3
1 +
4
√
x
3
dx
3
√
x
2
(
3
√
x + 1)
3
3
√
x
3
√
x + 1
dx
dx
x
6
√
x
2
− 1
dx
x
3
√
1 + x
5
x
7
√
1 + x
2
dx
dx
3
√
1 + x
3
dx
4
√
1 + x
4
3
√
x − x
3
dx
•
cos
4
xdx
•
sin
5
xdx
•
sin
3
x cos
2
xdx
•
cos
3
x sin
5
xdx
•
dx
sin 2x
•
dx
cos
x
3
•
dx
cos
x
3
•
sin x + cos x
sin 2x
dx
•
sin
2
x
cos
6
x
dx
•
sin 3x cos xdx
•
sin
x
3
cos
2x
3
dx
Phép tính tích phân trên R
5
Bài tập Giải tích II
K53 -Toán tin
ĐHKHTN
•
cos
3
x
sin
2
x
dx
•
sin
3
x
cos
2
x
dx
•
cos
3
x
sin
5
x
dx
•
dx
3 + 5 cos x
•
dx
sin x + cos x
•
3 sin x + 2 cos x
2 sin x + 3 cos x
dx
•
dx
1 + sin x + cos x
•
dx
(2 − sin x)(3 − sin x)
•
sin
3
x cos
5
xdx
•
sin
2
x cos
4
xdx
•
sin
4
x cos
6
xdx
•
sin
4
x cos
2
xdx
•
sin
4
x cos
5
xdx
•
sin
3
x
cos x
3
√
cos x
dx
•
dx
3
√
sin
11
x cos x
•
sin
3
x
3
√
cos
2
x
dx
•
3
√
cos
2
x sin
3
xdx
•
dx
4
√
sin
3
x cos
5
x
sin 7x
sin x
dx
dx
x
4
± 1
dx
4
√
x
4
+ 1
1 −
√
x + 1
1 +
3
√
x + 1
dx
dx
x +
√
x
2
− x + 1
dx
sin
3
x
dx
cos
3
x
dx
1 + ε cos x
0 < ε < 1
ε > 1
tanh
2
xdx
sinh x cosh x
sinh
4
x + cosh
4
x
dx
dx
sinh
2
x cosh
2
x
Phép tính tích phân trên R
6
Bài tập Giải tích II
K53 -Toán tin
ĐHKHTN
0 < a < b
f(x) =
x x ∈ [a, b] ∩ Q,
0 x ∈ [a, b]\Q.
• f
• f
g : [0, 1] → R
g(x) =
1 x =
1
n
, n ∈ N,
0 .
• g
• g
1
0
g (x) dx
lim
n→∞
1
n+1
+
1
n+2
+ +
1
n+2n
lim
n→∞
n
2
1
n
3
+1
3
+
1
n
3
+2
3
+ +
1
n
3
+n
3
lim
n→∞
1
k
+2
k
+ +n
k
n
k+1
k 0
lim
n→∞
1
n
n
(n + 1) (n + 2) (n + n)
lim
n→∞
sin
n
n
2
+1
2
+ sin
n
n
2
+2
2
+ + sin
n
n
2
+n
2
lim
n→∞
2
1
n
n+
1
1
+
2
2
n
n+
1
2
+ +
2
n
n
n+
1
n
lim
n→∞
sin
π
n+1
1
+
sin
2π
n+1
2
+
sin
nπ
n+1
n
.
f [0, 1]
lim
n→∞
n
1
n
n
i=1
f
i
n
−
1
0
f (x) dx
=
f (1) − f (0)
2
.
Phép tính tích phân trên R
7
Bài tập Giải tích II
K53 -Toán tin
ĐHKHTN
f f
lim
n→∞
n
2
1
0
f (x) dx −
1
n
n
i=1
f
2i − 1
2n
=
f
(1) − f
(0)
24
.
f [0, 1]
π
0
xf (sin x) dx =
π
2
π
0
f (sin x) dx.
f [0, 1]
1
0
f (x)
f (x) + f (1 −x)
dx.
f [a, b]
b
a
f (x) dx = 0
f
f [a, b]
b
a
f (x) g (x) dx = 0
g [a, b] f
π
2
0
sin
n
xdx
π
2
0
cos
n
xdx
π
4
0
tan
2n
xdx
π
4
0
sin x
sin x + cos x
dx
π
0
x sin x
1 + cos
2
x
dx
1
−1
dx
(e
x
+ 1) (x
2
+ 1)
3
0
sgn
x − x
3
dx
π
2
0
dx
1 + tan
2008
x
f, g [0, T ] g T
lim
n→∞
T
0
f (x) g (nx) dx =
1
T
T
0
f (x) dx
T
0
g (x) dx.
lim
n→∞
π
0
sin x
1 + 3 cos
2
nx
dx
Phép tính tích phân trên R
8
Bài tập Giải tích II
K53 -Toán tin
ĐHKHTN
f [a, b] θ ∈ [a, b]
θ
a
f (t) dt =
b
θ
f (t) dt.
f, g [a, b] θ
1
, θ
2
∈ [a, b]
g (θ
1
)
b
a
f (x) dx = f (θ
1
)
b
a
g (x) dx
g (θ
2
)
θ
2
a
f (x) dx = f (θ
2
)
b
θ
2
g (x) dx.
f, g [a, b] θ ∈ (a, b)
f (θ)
θ
a
f (x) dx
−
g (θ)
b
θ
g (x) dx
= 1.
f [0, 1] θ ∈ (0, 1)
1
0
f (x) dx = f (0) +
1
2
f
(θ) .
f [0, 1] θ ∈ (0, 1)
1
0
f (x) dx = f (0) +
1
2
f
(0) +
1
6
f
(θ) .
f(x) g(x) [a, b]
ξ ∈ [a, b]
b
a
f(x)g(x)dx = f(a)
ξ
a
g(x)dx + f(b)
b
ξ
g(x)dx.
f, g : [a, b] → [0, ∞) g
b
x
f(t)dt ≥
b
x
g(t)dt
x ∈ [a, b]
b
a
f
3
(x)dx ≥
b
a
g
3
(x)dx.
Phép tính tích phân trên R
9
Bài tập Giải tích II
K53 -Toán tin
ĐHKHTN
lim
n→∞
n
4
n+1
n
xdx
x
5
+ 1
lim
n→∞
n
3
2n
n
xdx
x
5
+ 1
lim
n→∞
2
1
ln
x +
x
5
n
dx
lim
n→∞
1
3π
2π
π
xdx
arctan (nx)
n
lim
n→∞
π
2
0
e
−n sin x
dx
lim
n→∞
π
0
n
√
x sin xdx
lim
n→∞
π
2
0
sin
n
x
√
1 + x
dx
lim
x→+∞
1
√
x
x
0
ln
1 +
1
√
t
dt
lim
x→+∞
x
1
x
cos t
t
2
dt
lim
x→0+
x
2
0
sin
√
tdt
x
3
lim
x→0+
1
x
2
x
0
t
1+t
dt
lim
x→0
1
0
f
p
(x) dx
1
p
f
[0, 1]
lim
x→−∞
1
0
f
p
(x) dx
1
p
f
[0, 1]
r =
sin
θ
3
3
0 θ 3π
x
3
+ y
3
= 3xy
r = 1 + cos t θ = t − tan
t
2
0 t β < π
r = aθ 0 ≤ θ ≤ 2π
r
2
= a
2
cos 2θ
r = a(1 + cos θ)
x
3
+ y
3
= 3axy
x
2
3
+ y
2
3
= a
2
3
x = a(t − sin t) y = a(1 − cos t)
0 ≤ t ≤ 2π
r = a(1 + cos 3θ)
y = 6x − x
2
− 7 y = x − 3
y = 6x − x
2
y = 0
4y = 8x − x
2
4y = x + 6
y = 4 − x
2
y = x
2
− 2x
6x = y
3
− 16y 24x = y
3
− 16y
y = 1 − e
x
x = 2 y = 0
y = x
2
−6x + 10 y = 6x −x
2
x = −1
y = sin x y = ±
π
2
x = 0
y = e
x
y = e
−x
x = 1
Phép tính tích phân trên R
10
Bài tập Giải tích II
K53 -Toán tin
ĐHKHTN
y
2
= 2px x
2
= 2py
x
2
+y
2
+6x−2y+8 = 0 y = x
2
+6x+10
x = a(t − sin t) y = a(1 − cos t)
t ∈ [0, 2π]
x = a cos
3
t y = a sin
3
t t ∈ [0, 2π]
x = a cos t y = b sin t t ∈ [0, 2π]
y = x
3/2
x = 0 x = 4
y = x
2
− 1 x = −1 x = 1
y =
a
2
e
x/a
+e
−x/a
x = 0 x = a
y = ln cos x x = 0 x =
π
6
y = ln sin x x =
π
3
x =
2π
3
x = e
t
sin t y = e
t
cos t 0 t
π
2
x = a(t − sin t) y = a(1 − cos t)
0 t 2π
x = a cos
3
t y = a sin
3
t 0 t 2π
x = e
t
cos t y = e
t
sin t t = 0
t = ln π
x = 8 sin t + 6 cos t y = 6 sin t −8 cos t
t = 0 t =
π
2
ρ = ae
kθ
θ = 0
θ = T
ρ = a(1 − cos ϕ) a > 0 0 ϕ 2π
ρϕ = 1 A
2,
1
2
B
1
2
, 2
x
2
a
2
+
y
2
b
2
+
z
2
c
2
= 1. (a, b, c > 0)
Ox, Oy
y
2
= 2px (0 x b)
x
2
a
2
+
y
2
b
2
= 1
(x − a)
2
+ y
2
= b
2
(0 < b < a)
h a
x
2
+ y
2
+ z
2
= 16 x = 2
x = 3
y
2
= (x−1)
3
x = 2 0x
Phép tính tích phân trên R
11
Bài tập Giải tích II
K53 -Toán tin
ĐHKHTN
2π
0
dx
sin
4
x + cos
4
x
π
2
0
ln (sin x) dx
1
0
(−ln x)
n
dx
1
0
x
n
ln
n
xdx
∞
0
dx
(1 + x
2
)
n
∞
1
dx
x
2
√
x
2
− 1
∞
0
ln x
x
2
+ 1
dx
π
0
ln (1 + cos x) dx
∞
0
ln x
(x
2
+ 1)
2
dx
∞
0
ln
x +
1
x
dx
x
2
+ 1
∞
0
xe
−x
2
dx
∞
0
dx
x
√
x
2
− 1
∞
0
dx
(x
2
+ 1)
2
∞
0
x sin xdx
∞
−∞
2xdx
x
2
+ 1
∞
0
e
−x
sin xdx
+∞
2
1
x
2
− 1
+
2
(x + 1)
2
dx
+∞
−∞
dx
x
2
+ 4x + 9
+∞
√
2
xdx
(x
2
+ 1)
3
+∞
1
dx
x
√
x
2
+ x + 1
+∞
1
x
x
2
dx
+∞
3
2x + 5
x
2
+ 3x − 10
dx
∞
0
e
−ax
sin bxdx a > 0
+∞
0
e
−ax
cos bxdx a > 0
∞
2
dx
x ln x
∞
0
sin
2
x
x
2
+ 1
dx
1
0
(−ln x)
α
dx
1
0
dx
x
α
(−ln x)
β
∞
0
xdx
1 + x
2
sin
2
x
∞
1
e
−x
x
dx
+∞
2
xdx
√
x
4
+ 1
+∞
1
sin
2
3x
3
√
x
4
+ 1
dx
+∞
1
dx
√
4x + ln x
+∞
1
ln
1 +
1
x
x
α
dx
Phép tính tích phân trên R
12
Bài tập Giải tích II
K53 -Toán tin
ĐHKHTN
+∞
0
xdx
3
√
x
5
+ 2
+∞
1
cos 5x − cos 7x
x
2
dx
+∞
0
xdx
3
√
1 + x
7
+∞
0
√
x + 1
1 + 2
√
x + x
2
dx
∞
1
1
√
x
(e
1/x
− 1)dx
∞
1
x +
√
x + 1
x
2
+ 2
5
√
x
4
+ 1
dx
∞
3
dx
x(x − 1)(x − 2)
∞
0
(3x
4
− x
2
)e
−x
2
dx
+∞
5
ln(x − 2)
x
5
+ x
2
+ 1
dx
α > 0
∞
1
sin x
x
α
dx
∞
1
|sin x|
x
dx
∞
1
sin
x
2
dx
∞
1
ln
α
x
sin x
x
dx
∞
1
e
sin x
sin 2x
x
α
dx
+∞
1
sin
1 + x + x
2
+ + x
2007
dx
∞
0
sin x
x
α
+ sin x
dx
∞
a
f
2
(x) dx
∞
a
(f
(x))
2
dx
∞
a
(f
(x))
2
dx
f [a, ∞)
∞
a
f (x) dx
lim
x→∞
f (x) = 0
∞
1
xf (x) dx
∞
1
f (x) dx
6
2
dx
3
(4 − x)
2
2
0
dx
3
(x − 1)
2
e
1
dx
x ln x
2
0
dx
x
2
− 4x + 3
1
0
x ln xdx
3
2
xdx
4
√
x
2
− 4
Phép tính tích phân trên R
13
Bài tập Giải tích II
K53 -Toán tin
ĐHKHTN
2
0
dx
(x − 1)
2
2
−2
xdx
x
2
− 1
2
0
x
3
dx
√
4 − x
2
0
−1
e
1/x
x
3
dx
1
0
e
1/x
x
3
dx
1
0
dx
x(1 − x)
b
a
dx
(x − a)(b − x)
a < b
1
0
x ln
2
xdx
1
0
cos
2
x
3
√
1 − x
2
dx
1
0
ln(1 +
3
√
x
e
sin x
− 1
dx
1
0
dx
e
√
x
− 1
1
0
√
xdx
e
sin x
− 1
1
0
x
2
dx
3
(1 − x
2
)
5
1
0
x
3
dx
3
(1 − x
2
)
5
1
0
dx
e
x
− cos x
π/4
0
ln(sin 2x)
5
√
x
dx
1
0
ln x
√
x
dx
1
0
sin x
x
2
dx
2
0
dx
√
x − x
3
2
1
(x − 2)
x
2
− 3x
2
+ 4
dx
1
0
dx
x(e
x
− e
−x
)
2
0
16 + x
4
16 − x
4
dx
1
0
√
e
x
− 1
sin x
dx
1
0
3
ln(1 + x)
1 − cos x
dx
Phép tính tích phân trên R
14
Bài tập Giải tích II
K53 -Toán tin
ĐHKHTN
