TÀI LIỆU TOÁN 8 (CHUYÊN ĐỀ VÀ BT)

BAØI 1: NHÂN ĐƠN THỨC VỚI ĐA THỨC
A. KIEÁN THÖÙC CÔ BAÛN
B. BÀI TẬP
Bài 1:
1. Tính :
a./ (- 4xy)(2xy
2
– 3x
2
y) b./ (- 5x)(3x
3
+ 7x
2
– x)
2. Rút gọn:
A = x
2
(a – b) + b(1 – x) + x(bx + b) – ax(x + 1)
B = x
2
(11x – 2) + x
2
(x – 1) – 3x(4x
2
- x – 2)
3. Tìm hệ số của x
3
và x
2
trong đa thức sau:
( ) ( ) ( )

3 2 2 2
3 2 1 2 3 1Q x x x x x x x= − + + − − − +
Bài 2:
1) Tính :
3 2 4 3
1 3 4
2 4 3
a b ab a b
  
−
 ÷ ÷
  
2) Rút gọn và tính giá trị biểu thức:
( ) ( )
12
3 4 5 , 4, 5
5
Q x x y y y x cho x y= − − − = = −
3) Tìm x, biết : 2x
3
(2x – 3) – x
2
(4x
2
– 6x + 2) = 0
4) Chứng minh biểu thức sau không phụ thuộc vào x và y:
M = 3x(x – 5y) + (y – 5x)(- 3y) – 3(x
2
– y
2

) – 1.
5) Cho S = 1 + x + x
2
+ x
3
+ x
4
+ x
5
.Cm : xS – S = x
6
- 1
Bài 3:
1. Tính (3a
3
– 4ab + 5c
2
)(- 5bc).
2. Rút gọn và tính giá trị biểu thức:
A = 4a
2
( 5a – 3b) – 5a
2
(4a + b),với a = -2,b = -3.
3. Chứng tỏ biểu thức sau không phụ thuộc vào x:
B = x(x
2
+ x + 1) – x
2
( x + 1) – x +5.

4. Tìm x,biết : x(x – 1) – x
2
+ 2x = 5
5. Tìm m,biết: ( x
2
– x + 1)x – ( x + 1)x
2
+ m = - 2x
2
+ x + 5.
Bài 4:
1. Rút gọn: 9y
3
– y(1 – y + y
2
) – y
2
+ y
2. Tìm hệ số của x
2
trong đa thức:
3.
2 2 2 2
5 ( ) 3( ) 2 2 4( 2 )Q x a x a a x ax ax a ax
     
= − + − − + + − +
     
4. Tìm m, biết: 2 – x
2
(x

2
+ x + 1) = - x
4
– x
3
– x
2
+ m.
5. Chứng minh : khi a = 10, b = -5 giá trị biểu thức :
A = a( 2b + 1) – b(2a – 1) bằng 5.
6. Tìm x,biết: 10( 3x – 2) – 3(5x + 2) + 5( 11 – 4x) = 25.
Bài 5:
1. Tính : ( -a
4
x
5
)(- a
6
x + 2a
3
x
2
– 11ax
5
).
2. Tính biểu thức : A = mx( x – y) + y
3
(x + y) tại x = -1,y = 1
3. Tìm x, biết: 8(x – 2) – 2(3x – 4) = 2.
4. Tìm hệ số của x

2
trong đa thức :
Q = 5x( 3x
2
– x + 2) – 2x
2
( x – 2) + 15(x – 1).
1
A(B + C) = AB + AC
A. KIEÁN THÖÙC CÔ BAÛN
B. BÀI TẬP
Bài 1:
1. Tính : ( 2a – b)(4a
2
+ 2ab + b
2
).
2. Rút gọn và tính giá trị biểu thức:

( )
3
4 ( 2) ( 1)( 3), 1
4
Q x x x x cho x= − − − − − =
3. Tìm x, biết : (3x + 2)(x – 1) – 3(x + 1)(x – 2) = 4
4. Tìm hệ số của x
4
trong đa thức: P = ( x
3
- 2x

2
+x – 1)( 5x
3
– x).
Bài 2:
1. Chứng minh: với a = - 3,5 giá trị biểu thức
( ) ( ) ( )
3 9 8 2 (9 1)A a a a a= + − − + −
bằng – 29.
2. Chứng minh rằng biểu thức sau không phụ thuộc vào x:
( ) ( ) ( ) ( )
3 5 2 11 2 3 3 7Q x x x x= − + − + +
3. Biết (x – 3)(2x
2
+ ax + b) = 2x
3
– 8x
2
+ 9x – 9 .Tìm a,b.
Bài 3:
1. Tính :
a./ (2 + x)(2 – x)(4 + x
2
) b./ ( x
2
– 2xy + 2y
2
)(x – y)(x + y)
2. Tìm x,biết : x(x – 4) – ( x
2

- 8) = 0
3. Tìm m sao cho: 2x
3
– 3x
2
+ x + m = (x + 2)(2x
2
– 7x + 15).
Bài 4:
1. Rút gọn :
A = ( 5x – 1)(x + 3) – ( x – 2)(5x – 4)
B = (3a – 2b)( 9a
2
+ 6ab + 4b
2
).
2. Chứng minh biểu thức : n( 2n – 3) – 2n( n + 2)
luôn chia hết cho 7,với mọi số nguyên n.
3. Biết : x
4
– 3x +2 = ( x – 1)(x
3
+ bx
2
+ ax – 2).
Bài 5:
1. Tìm m,biết : x
4
– x
3

+ 6x – x + m = (x
2
– x + 5)(x
2
+ 1).
2. Rút gọn : ( 2x – 1)(3x + 2)(3 – x).
3. Chứng minh: ( x – y)(x
4
+ x
3
y + x
2
y
2
+ xy
3
+ y
4
) = x
5
– y
5
.
A. KIEÁN THÖÙC CÔ BAÛN
2
BAØI 2: NHÂN ĐA THỨC VỚI ĐA THỨC
( ) ( )
A B C D AC AD BC BD+ + = + + +
BAØI 3+4+5: NHỮNG HẰNG ĐẲNG THỨC ĐÁNG NHỚ
( )

( )
( ) ( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
2
2 2
2
2 2
2 2
3
3 2 2 3
3
3 2 2 3
3 3 2 2
3 3 2 2
2
2
3 3
3 3
A B A AB B
A B A AB B
A B A B A B
A B A A B AB B
A B A A B AB B
A B A B A AB B
A B A B A AB B

• + = + +
• − = − +
• − = − +
• + = + + +
• − = − + −
• + = + − +
• − = − + +
B. BÀI TẬP
Bài 1:
1. Chứng minh : ( a + b)
2
– (a – b)
2
= 4ab
2. Rút gọn: ( a +2)
2
– ( a + 2)(a – 2)
3. Tìm x,biết : ( 2x + 3)
2
– 4(x – 1)(x + 1) = 49
4. Tìm giá trị biểu thức:
( ) ( )
2
1
3 3 ( 3) 2( 2)( 4),
2
Q x x x x x cho x= + + + − − + − =
Bài 2:
1. Rút gọn biểu thức :
2 2

(4 )(2 )(2 )A x y x y x y= + + −
2. Chứng minh: (7x + 1)
2
– (x + 7)
2
= 48(x
2
– 1)
3. Tìm x,biết : 16x
2
- (4x – 5)
2
= 15
4. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức : A = x
2
+ 2x + 3
Bài 3:
1. Chứng minh rằng biểu thức sau không phụ thuộc vào m:
2 2
(2 5) (2 5) 40A m m= − − + +
2. Chứng minh rằng hiệu của hai số nguyên liên tiếp là một số lẻ
3. Rút gọn biểu thức : P = (3x +4)
2
– 10x – (x – 4)(x +4).
4. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: Q = x
2
– 4x +5.
Bài 4:
1. Chứng minh rằng: (x – y)
2

– (x + y)
2
= - 4xy
2. Chứng minh: (7n – 2)
2
– (2n – 7)
2
luôn luôn chia hết cho 9,
với mọi n là giá trị nguyên
3. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: Q = - x
2
+ 6x +1.
4. Chứng minh rằng nếu (a
2
+ b
2
)(x
2
+ y
2
) = (ax + by)
2

thì ay – bx = 0
Bài 5:
1. CMR: nếu a + b + c = 2p thì b
2
+ c
2
+ 2bc – a

2
= 4p(p – a).
2. CMR nếu a
2
+ b
2
+ c
2
= ab +bc + ca thì a = b = c.
3. Tìm x,y biết : x
2
+ y
2
– 2x + 4y + 5 = 0.
Bài 6:
1. Chứng minh : (a + b)
3
– 3ab(a +b) = a
3
+ b
3
2. Tính x
3
+ y
3
,biết x + y = 3 và xy = 2
3. Cho a + b = 1.Chứng minh : a
3
+ b
3

= 1 – 3ab.
Bài 7:
1. Chứng minh : (a – b)
3
+ 3ab(a - b) = a
3
+ b
3
2. Rút gọn: (x – 3)
3
– (x + 3)
3
.
3. Cho a - b = 1.Chứng minh : a
3
- b
3
= 1 + 3ab.
Bài 8 :
3
1. Rút gọn :
3 3
1 1
2 2
a b a b
   
+ + −
 ÷  ÷
   
.

2. Tìm x,biết : x
3
– 3x
2
+ 3x – 1 = 0.
3. Chứng minh rằng biểu thức sau không phụ thuộc vào x:
( ) ( )
( )
3
2
4 1 4 3 16 3x x x− − − +
Bài 9 :
1. Rút gọn biểu thức : (x + 5)
3
– x
3
– 125.
2. Tìm x, biết : (x – 2)
3
+ 6(x + 1)
2
- x
3
+ 12 = 0
3. Chứng minh rằng biểu thức sau không phụ thuộc vào x:
( )
3
3 2
1 3 3 1x x x x− − + − −
Bài 10:

1. Tìm x,biết : x
3
+ 6x
2
+ 12x +8 = 0
2. Cho a +b +c = 0.Chứng minh : a
3
+ b
3
+ c
3
= 3abc.
3. Chứng minh rằng: (a + 2)
3
– (a +6)(a
2
+12) + 64 = 0,với mọi a.
Bài 11 :
1. Rút gọn biểu thức :
A = (m – n)(m
2
+ mn + n
2
) - (m + n)(m
2
- mn + n
2
)
2. Chứng minh: (a – 1)(a – 2)(1 + a + a
2

)(4 + 2a + a
2
) = a
6
– 9a
3
+ 8
3. Tìm x, biết : (x +2 )(x
2
– 2x + 4) – x(x -3)(x + 3) = 26.
Bài 12 :
1. Tính giá trị biểu thức:
A = x(x – 2)(x + 2) – (x – 3)(x
2
+ 3x +9),với
1
4
x =
2. Tìm x,biết ( 4x + 1)(16x
2
– 4x +1) – 16x(4x
2
– 5) = 17.
3. Rút gọn : Q = (a
2
– 1)(a
2
– a +1)(a
2
+a +1).

Bài 13:
1. Tính giá trị biểu thức :
Q = (2x – 1)(4x
2
+ 2x +1) – 4x(2x
2
– 3),với x =
1
2
2. Tìm x, biết : (x – 3)(x
2
+ 3x +9) – (3x – 17) = x
3
– 12.
3. Cho x + y = 1 và xy = -1.Tính x
3
+ y
3
.
Bài 14 :
1. Chứng tỏ biểu thức sau không phụ thuộc vào x.

( )
( )
( )
( )
2 2
1 1 1 1A x x x x x x= + − + − − + +
2. Tìm x,biết: 5x – (4 – 2x + x
2

)(x + 2) + x(x – 1)(x + 1) = 0.
3. Cho x + y = 1.Tính giá trị biểu thức:Q = 2(x
3
+ y
3
) – 3(x
2
+ y
2
).
Bài 15 :
1. Rút gọn biểu thức : A = (2x + 3y)(4x
2
– 6xy + 9y
2
)
2. Tìm x, biết: (4x
2
+ 2x + 1)(2x – 1) – 4x(2x
2
– 3) = 23.
3. Cho a – b = 1 và ab = 6.Tính a
3
– b
3
.
Bài 16: Ruùt goïn:
a)
( ) ( )( )
1332252 −−++ mmmm

b)
( )( ) ( )
2
143842 +−−+ xxx
c)
( ) ( )( )
171727
2
−+−− yyy
4
d)
( ) ( )
23
3.2 −−+ aaa
Bài 17: CM các biểu thức sau không phụ thuộc vào biến x, y:
a)
( )( ) ( )
xxxx 12325252
2
−−−+−
b)
( ) ( ) ( )
22632.212
23
−−−−− yyyyy
c)
( )
( ) ( )
32
20933 xxxx +−+−+

d)
( ) ( )
( )
( )
2
2
2
161391323.3 −−−++−−−− yyyyyy
Bài 18: Tìm x:
a)
( )( ) ( )
16347252
2
=−−−−+ xxx
b)
( )( ) ( )
22183838
2
222
=−−−+ xxx
c)
011449
2
=++ xx
d)
( ) ( ) ( )
022.1
23
=−−−−− xxxx

Bài 19:Chứng minh biểu thức luôn dương:
a) A=
3816
2
++ xx
b)
85
2
+−= yyB
c)
222
2
+−= xxC
d)
4102569
22
+++−= yyxxD
Bài 20: Tìm Min hoặc Max của các biểu thức sau:
a)
16
2
−+= xxM
b)
3510
2
−−= yyN
Bài 21:Thu gọn:
a)
( )
( )( )

121212
42
+++
. . . . .
( )
6432
212 −+
b)
( )
( )( )
4422
353535 +++
. . . . .
( )
2
35
35
128128
6464
−
++
ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n tư.
(Thùc hiƯn trong 6 tiÕt)
A. ThÕ nµo lµ ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n tư ?
Ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n tư lµ biÕn ®ỉi ®a thøc ®ã thµnh mét tÝch cđa nh÷ng ®¬n
thøc vµ ®a thøc kh¸c.
Bµi to¸n 1.
Trong c¸c c¸ch biÕn ®ỉi ®a thøc sau ®©y, c¸ch nµo lµ ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n
tư ?T¹i sao nh÷ng c¸ch biÕn ®ỉi cßn l¹i kh«ng ph¶i lµ ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n
tư ?

2x
2
+ 5x – 3 = x(2x + 5) - 3 (1)
2x
2
+ 5x – 3 = x(2x + 5 -
x
3
) (2)
2x
2
+ 5x – 3 = 2(x
2
+
2
5
x -
2
3
) (3)
2x
2
+ 5x – 3 = (2x - 1)(x - 3) (4)
2x
2
+ 5x – 3 = 2(x -
2
1
)(x + 3) (5)
B. Nh÷ng ph¬ng ph¸p nµo thêng dïng ®Ĩ ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n tư?

- Ph¬ng ph¸p ®Ỉt nh©n tư chung.
5
- Phơng pháp dùng hằng đẳng thức.
- Phơng pháp nhóm nhiều hạng tử.
Một số phơng pháp khác nh :
- Phơng pháp tách một hạng tử thành nhiều hạng tử.
- Phơng pháp thêm bớt cùng một hạng tử.
- Phơng pháp giảm dần luỹ thừa của số hạng có bậc cao nhất.
- Phơng pháp đặt ẩn phụ(đổi biến).
- Phơng pháp hệ số bất định.
- Phơng pháp xét giá trị riêng.
- Phơng pháp tìm nghiệm của đa thức.
Phơng pháp 1: Đặt nhân tử chung
Nội dung cơ bản của phơng pháp đặt nhân tử chung là gì ? Phơng pháp này
dựa trên tính chất nào của các phép toán về đa thức? Có thể nêu ra một công
thức đơn giản cho phơng pháp này không ?
Nếu tất cả các hạng tử của đa thức có một nhân tử chung thì đa thức đó biểu
diễn đợc thành một tích của nhân tử chung đó với một đa thức khác.
Phơng pháp này dựa trên tính chất phân phối của phép nhân đối với phép cộng
các đa thức.
Công thức : AB + AC + + AF = A(B + C + + F)
Phơng pháp: Tìm nhân tử chung.
- Lấy ƯCLN của các hệ số.
- Lấy các biến chung có mật trong tất cả các hạng tử.
- Đặt nhân tử chung ra ngoài ngoặc theo công thức
AB + AC + + AF = A(B + C + + F)
Chú ý:
- Phơng pháp này áp dụng khi các hạng tử của đa thức có nhân tử chung.
- Nhiều khi muốn có nhân tử chung ta phải đổi dấu các số hạng bằng cách đa số
hạng vào trong ngoặc hoặc đa vào trong ngoặc đằng trớc có dấu cộng hoặc trừ.

Ví dụ 1. Phân tích đa thức thành nhân tử.
a) 3x
2
+ 12xy.
b) 5x(y + 1) - 2(y + 1).
c) 14x
2
(3y - 2) + 35x(3y - 2) + 28y(2 - 3y).
Giải
a) 3x
2
+ 12xy = 3x(x + 4y).
b) 5x(y + 1) 2(y + 1) = (y + 1)(5x - 2).
c) 14x
2
(3y - 2) + 35x(3y - 2) + 28y(2 3y)
= 14x
2
(3y - 2) + 35x(3y - 2) - 28y(3y - 2)
= (3y - 2) (14x
2
+ 35x - 28y).
Phơng pháp 2: Dùng hằng đẳng thức
Nội dung cơ bản của phơng pháp dùng hằng đẳng thức là gì ?
Nếu đa thức là một vế của hằng đẳng thức đáng nhớ nào đó thì có thể dùng hằng
đẳng thức đó để biểu diễn đa thức này thành một tích các đa thức.
Phơng pháp dùng hằng đẳng thức:
- Nhận dạng các hằng đẳng thức.
- Kiểm tra xem có phải đúng là hằng đẳng thức không.
Chú ý: Nhiều khi phải đổi dấu mới áp dụng đợc hằng đẳng thức.

Ví dụ 1. Phân tích đa thức thành nhân tử.
6
a) x
2
4x + 4. b) 8x
3
+ 27y
3
. c) 9x
2
- (x - y)
2
.
Giải
a) x
2
4x + 4 = (x - 2)
2
b) 8x
3
+ 27y
3
= (2x + 3y)(4x
2
6xy + 9y
2
)
c) 9x
2
(x - y)

2
= [3x (x y)][3x + (x - y)] = (3x x +y)(3x + x - y)
= (2x + y)(4x - y).
Ví dụ 2
a, (x y)
3
+ (y z)
3
+ (z x)
3
HD: nhóm 2 hạng tử đầu a
3
+ b
3
= 3(x z)(x- y)(z y)
b, (x
2
+y
2
)
3
+ (z
2
- x
2
) (y
2
+ z
2
)

3
= 3(x
2
+ y
2
)(y
2
+ z
2
)(x z)(x + z)
c, a
3
+ b
3
+ c
3
3abc
= (a + b)
3
+ c
3
3ab(a +b + c)
= (a + b + c) (a
2
+ b
2
+ c
2
ab ac bc)
d, x

3
+ y
3
z
3
+ 3xyz
= (x + y)
3
z
3
3xy( x + y z) =
Phơng pháp 3: Nhóm nhiều hạng tử
Nội dung cơ bản của phơng pháp nhóm nhiều hạng tử là gì ?
Nhóm nhiều hạng tử của một đa thức một cách hợp lí để có thể đặt đợc nhân tử
chung hoặc dùng đợc hằng đẳng thức đáng nhớ.
Chú ý:
- Một đa thức có thể có nhiều cách nhóm
- Sau khi nhóm ta có thể áp dụng phơng pháp đặt nhân tử chung, phơng pháp dùng
hằng đẳng thức để xuất hiện nhân tử chung mới hoặc hằng đẳng thức mới.
Ví dụ 1. Phân tích đa thức thành nhân tử.
a) x
2
- 2xy + 5x - 10y. b) x(2x -3y) - 6y
2
+ 4xy. c) 8x
3
+ 4x
2
- y
3

- y
2
Giải
a) x
2
2xy + 5x 10y = ( x
2
2xy) + ( 5x 10y)
= x(x 2 y) + 5 (x 2y) = (x 2 y)(x + 5)
b) x(2x 3y) 6y
2
+ 4xy = x(2x 3y) + (4xy - 6y
2

= x(2x 3y) + 2y(2x - 3y)
= (2x 3y)(x + 2y)
c) 8x
3
+ 4x
2
y
3
y
2
= (8x
3
- y
3
) + (4x
2

y
2
)
= (2x -y)( x
2
+ xy + y
2
) + (2x

y)( 2x +y)
= (2x -y)( x
2
+ xy + y
2
+ 2x +y).
Phơng pháp 4: Phối hợp nhiều phơng pháp
Khi cần phân tích một đa thức thành nhân tử, chỉ đợc dùng riêng rẽ từng
phơng pháp hay có thể dùng phối hợp các phơng pháp đó ?
Có thể dùng phối hợp các phơng pháp đã biết.
Ví dụ 1. Phân tích đa thức thành nhân tử.
a) a
3
- a
2
b - ab
2
+ b
3
b) ab
2

c
3
+ 64ab
2
c) 27x
3
y - a
3
b
3
y.
Giải
a) a
3
a
2
b ab
2
+ b
3
= a
2
(a b) b
2
(a - b) = (a - b)(a
2
- b
2
) = (a - b)
2

(a +
b).
b) ab
2
c
3
+ 64ab
2
= ab
2
(c
3
+64) = ab
2
(c
3
+ 4
3
) = ab
2
(c

+ 4)(c
2
4c + 16).
c) 27x
3
y a
3
b

3
y = y(27x
3
a
3
b
3
) = y(3 - ab) (9x
2
3ab + a
2
b
2
).
7
Kiến thức Nâng cao.
Phơng pháp 5: Phơng pháp tách
Khi phân tích đa thức : ax
2
+ bx + c thành nhân tử
Cách 1: Tách ax
2
+ bx + c = a x
2
+ b
1
x + b
2
x + c
Với b = b

1
+ b
2
và b
1
.b
2
= a.c
Cách 2: Tách ax
2
+ bx + c = X
2
- B
2
Ví dụ 1: Phân tích đa thức thành nhân tử.
a) 2x
2
- 3x + 1.
b) 6x
2
+ x - 2
c) x
2
- 2x - 3
Giải
a) 2x
2
3x + 1 = 2x
2
2x x + 1 = 2x(x 1) (x 1)

= (x 1)(2x 1).
b) 6x
2
+ x 2 = 6x
2
+ 4x 3x 2 = 2x(3x + 2) (3x + 2)
= (3x + 2) (2x 1)
c) x
2
2x - 3 = x
2
+ x 3x 3 =
Ví dụ 2: Phân tích đa thức thành nhân tử.
a) x
2
2x 3
b) x
2
- 10x + 16
Giải
a)x
2
2x 3 = x
2
2x + 1 4 = (x- 1)
2
2
2
= (x 3)(x+1)
b)x

2
10x + 16 = x
2
10x + 25 9 = (x 5)
2
3
2
= (x 8)(x 2)
Phơng pháp 6: Phơng pháp thêm bớt
Ví dụ 1: Phân tích đa thức thành nhân tử.
a) y
4
+ 64.
b) x(y
2
- z
2
) + y(z
2
- x
2
) + z(x
2
- y
2
)
c) a
2
b
2

(b -a) + b
2
c
2
(c - b) - a
2
c
2
( c - a)
Giải
a) y
4
+ 64 = y
4
+16y
2
+ 64 - 16y
2
= (y
2
+ 8)
2
- (4y)
2

= (y
2
+ 8 - 4y)

(y

2
+ 8

+ 4y).

b) x(y
2
z
2
) + y(z
2
x
2
) + z(x
2
y
2
) = x( y
2
x
2
+ x
2
z
2
) + y(z
2
x
2
) + z(x

2

y
2
)
= x( y
2
x
2
) + x(x
2
z
2
) - y(x
2
-z
2
) - z( y
2
x
2
)
= (y
2
- x
2
) ( x z) + (x
2
z
2

)(x y)
= (y x)( x z) (y +x x z)
c) a
2
b
2
(b a) + b
2
c
2
(c b) a
2
c
2
( c a)
= a
2
b
2
(b- c + c a) + b
2
c
2
(c b) a
2
c
2
( c a)
=
= (b c) (a c)(b- a) (ab + bc + ca)

Phơng pháp 7: Đặt biến phụ
Trong đa thức có biểu thức xuất hiện nhiều lần ta đặt biểu thức đó làm biến phụ
đa về đa thức đơn giản. Sau khi phân tích đa thức này ra nhân tử rồi lại thay
biến cũ vào và tiếp tục phân tích
Ví dụ 1:
A , (x
2
+ 4x + 8)
2
+ 3x( x
2
+ 4x + 8) + 2x
2
8
B , (x
2
+ 3x + 1)(x
2
+ 3x - 3) -5
C , ( x
2
- 2x + 2)
4
- 20x
2
(x
2
- 2x + 2)
2
+ 64 x

4
D , (x +1)(x + 3)(x + 5) (x + 7) + 15
E , (x
2
+ x)
2
+ 4x
2
+ 4x - 12
F , (x
2
+ x)(x
2
+ x + 1) - 2.
Giải
A.Đặt y = x
2
+ 4x + 8 rồi dùng phơng pháp tách phân tích
Kết quả: A = (x
2
+ 5x + 8) ( x + 2) ( x+ 4)
B. đặt y = x
2
+ 3x +1
B = (x +1)(x + 2)(x - 1)(x + 4)
C.Đặt y = x
2
2x + 2
C = (x
2

+ 2)(x
2
4x + 2)(x
2
6x + 2)(x
2
+ 2x + 2)
D = (x
2
+ 8x + 7)( x
2
+ 8x + 15) + 15
= (x
2
+ 8x + 10)(x + 2)(x + 6)
F. (x
2
+ x)(x
2
+ x + 1) 2. (*)
Đặt(x
2
+ x) = y Thì (*) trở thành: y(y + 1) 2 = y
2
+ y - 1 1
= (y
2
- 1) + (y 1)
= (y

+ 1)(y 1) + (y 1)
= (y 1)(y

+ 2). (**)
Thay trở lại vào (**) ta có : (x
2
+ x - 1) )(x
2
+ x + 2).
Vậy(x
2
+ x)(x
2
+ x + 1) 2 = (x
2
+ x - 1) )(x
2
+ x + 2).
Ví dụ 2:
a. (x + 1)(x+2)(x+3)(x+4) - 24
b. 4(x
2
+ 15x + 50)(x
2
+ 18x + 72) - 3x
2
c. 4x(x+y)(x+y+z)(x+z)+ y
2
z
2

HD:
c. 4x(x+y)(x+y+z)(x+z)+ y
2
z
2
= 4x (x+y+z) (x+y) (x+z)+ y
2
z
2
= 4 (x
2
+xy+xz)(x
2
+xy +xz +yz)+ y
2
z
2
(Đặt t = x
2
+xy+xz)
= 4t (t + yz) + y
2
z
2
= (2t + yz)
2
Ví dụ 3: Giải phơng trình
a. (2x
2
+ x)

2
- 4(2x
2
+ x) + 3 = 0
b. (x + 1)(x+2)(x+3)(x+4) - 24 = 0
HD: Phân tích vế trái thành nhân tử, đa Pt về dạng PT tích
a. (t - 1)(t- 3) = 0
*. t = 1 2x
2
+ x = 1 (x +1)(2x-1)= 0
*. t = 3 2x
2
+ x = 3 (x -1)(2x+ 3)= 0
Phơng pháp 8: Phơng pháp xét giá trị riêng
Kiến thức:
1. x = a là nghiệm của đa thức f(x) f(a) = 0
2. x = a là nghiệm của đa thức f(x) =>
f (x) (x a)M
Lợc đồ Hoor ne
. Sơ đồ Hoóc - ne
Nếu đa thức bị chia là a
0
x
3
+ a
1
x
2
+ a
2

x + a
3
, đa thứ chia là x - a ta đợc thơng là
b
0
x
2
+ b
1
x + b
2
. Theo sơ đồ Hoóc - ne ta có:
a
0
a
1
a
2
a
3
a b
0
= a
0
b
1
= ab
0
+ a
1

b
2
= ab
1
+ a
2
r = ab
2
+ a
3
9
Điều kiện để tam thức bậc hai phân tích đợc thành nhân tử.
Đối với tam thức bậc hai dạng ax
2
+ bx + c, muốn xét xem đa thức này có phân tích
đợc thành nhân tử hay không thờng dùng phơng pháp sau:
- Tính = b
2
4ac.
- Nếu 0 thì phân tích đợc.
- Nếu < 0 thì không phân tích đợc.
Ví dụ 1: f(x) = x
3
-x
2
- 4
Lần lợt kiểm tra với ớc của 4 là 1, - 1, 2, - 2, - 4, 4.
f(-1) = (-1)
3
- (-1)

2
- 4 = - 4 => x= -1 không phải là nghiệm.

f(1) = (1)
3
- (1)
2
- 4 = - 4 => x = 1 không phải là nghiệm.
f(2) = 2
3
- 2
2
- 4 = 0.
f(-2) = -16 => x = - 2 không phải là nghiệm.
f(4) = 44 => x = 4 không phải là nghiệm.
f(- 4) = - 48 => x = - 4 không phải là nghiệm.
Đa thức có nghiệm x = 2 do đó đa thức chứa thừa số (x 2).
Sử dụng lợc đồ Hoor ne ta có: f(x) = (x 2)(x
2
x + 2).
Ví dụ 2:
Phân tích f(x) = x
3
- 2x - 4
Giải
Ta có f(2) = 0 => x = 2 là nghiệm của đa thức f(x)
=>
f (x) (x 2)M
=> f(x) = (x - 2)(x
2

+ 2x + 2)
Ví dụ 3: g(x) = 4x
3
- 7x
2
-x - 2
= (x - 2)(4x
2
+ x +1)
Ví dụ 4 : H(x) = x
3
- x
2
- 14x + 24
= (x-2)(x - 3)(x + 4)
Ví dụ 5
P = x
2
(y - z) + y
2
( z - x) + z
2
(x - y).
P = x
2
(y - z) + y
2
( z - x) + z
2
(x - y).

Ta thấy nếu thay x bởi y, y bởi z, z bởi x thì đa thức P không thay đổi.
Do đó đa thức P có dạng: P = k(x - y)(y - z)( z - x). (k là hằng số).
=> P = x
2
(y - z) + y
2
( z - x) + z
2
(x - y) = k(x - y)(y - z)( z - x). Đúng với mọi x, y, z,
nên ta cho các biến x, y, z giá trị riêng,
chẳng hạn x = 2, y = 1, z = 0 (giá trị riêng của các biến x, y, z tuỳ chọn
sao cho (x - y)(y - z)( z - x) 0). Ta đợc: k = -1
Vậy P = x
2
(y - z) + y
2
( z - x) + z
2
(x - y) = - (x - y)(y - z)( z - x)
= (y - x)(y - z)( z - x).
Ví dụ 6
A = x(y
2
- z
2
) + y(z
2
- x
2
) + z(x

2
- y
2
)
Giải
+.Nếu x = y => A = 0 => A
M
(x - y)
+.Vì vai trò của x,y,z nh nhau
=>A
M
(y-z); (z-x)
=>A
M
(x - y)(y-z)(z-x)
nhân
cộng
a
10
+.Vì có bậc cao nhất là 3 còn bậc của (x - y)(y-z)(z-x) là 3
=> A = k (x - y)(y-z)(z-x) đúng với mọi x, y, z
Cho x = 0; y = 1; z = 2 thay vào => k = 1
Vậy A = (x - y)(y-z)(z-x)
Ví dụ 7
P = ab(a - b) + bc(b-c) + ca(c - a)
HD: làm tơng tự nh VD6, thay a = 2; b = 1; c = o tìm đợc k = -1
Phơng pháp 9: Phơng pháp hệ số bất định
Ví dụ 1: Phân tích : x
3
15x 18 thành đa thức bậc nhất và bậc hai

Giải
Giả sử đa thức trên đợc phân tích thì
x
3
15x 18 = (x+ a)(x
2
+ bx + c)
x
3
15x 18 = x
3
+ (a+b)x
2
+ (ab+ c)x + ac
Đồng nhất 2 đa thức ở 2 vế ta đợc:
a b 0(1)
ab c 15(2)
ac 18(3)
+ =


+ =


=

Từ (3)chọn a = 3; thì c = -6; b = -3 thoả mãn (2)
Vậy: x
3
15x 18 = (x + 3) (x

2
3x 6)
Ví dụ 2
Phân tích : x
3
19x - 30 thành đa thức bậc nhất và bậc hai
Giải
Giả sử đa thức trên đợc phân tích thì
x
3
19x - 30 = (x + a) (x
2
+ bx + c)
x
3
19x - 30 = x
3
+ (a + b)x
2
+ (ab+ c)x + ac
Đồng nhất 2 đa thức ta có
a b 0(1)
ab c 19(2)
ac 30(3)
+ =


+ =

=

Từ (3) chọn a = 2 thì c =- 15; b = -2 thoả mãn (2)
Vậy x
3
19x - 30 = (x +2)(x
2
2x - 15)
Ví dụ 3
x
4
6x
3
+ 12x
2
14x + 3.
Giải
Ta thấy
x 1; 3=
không là nghiệm của đa thức
đa thức không có nghiệm nguyên, không có nghiệm hữu tỉ,
nên đa thức có dạng
Để phân tích đa thức này thành thừa số thì phải có dạng:
(x
2
+ ax + b)(x
2
+ cx + d) = x
4
+(a+c)x

3
+ (ac + b +d)x
2
+(ad + bc)x + bd.
Đồng nhất đa thức này với đa thức đã cho, ta đợc hệ điều kiện:







=
=+
=++
=+
3
14
12
6
bd
bcad
dbac
ca

143
8
6
=+
=

=+





ca
ac
ca








=
=
=
=
1
4
3
2
d
c
b
a
Vậy đa thức x

4
6x
3
+ 12x
2
14x + 3 = (x
2
- 4x + 1)(x
2
- 2x + 3).
Cách 2
x
4
6x
3
+ 12x
2
14x + 3
11
= x
4
4x
3
2x
3
+ x
2
+ 8x
2
+ 3x

2
2x - 12x + 3
= x
2
(x
2
- 4x + 1) - 2x(x
2
- 4x + 1) + 3(x
2
- 4x + 1)
= (x
2
- 4x + 1)(x
2
- 2x + 3).
Ví dụ 4
a. x
3
+ 4x
2
+ 5x +2
b. 2x
4
- 3x
3
-7x
2
+ 6x + 8
Giải

a.ta có x = - 1; x = -2 là nghiệm của đa thức
=> x
3
+ 4x
2
+ 5x +2
M
(x+1);(x+2)
=> x
3
+ 4x
2
+ 5x +2 = (x+1)(x+2)(x+b)
b = 1
b.Ta có x = 2; x = -1 là nghiệ của đa thức
=> 2x
4
3x
3
7x
2
+ 6x + 8
M
(x+1);(x-2)
=> 2x
4
3x
3
7x
2

+ 6x + 8= (x+1)(x-2)(2x
2
+ a x+ b)
Đồng nhất 2 đa thức ta có a = -1; b =- 4
Phơng pháp 10: Phơng pháp hạ bậc
Ví dụ 1:
a) a
5
+ a +1.
Giải
a) a
5
+ a +1= a
5
+ a
4
a
4
+ a
3
a
3
+ a
2
a
2
+ a + 1
= (a
5
+ a

4
+ a
3
) ( a
4
+a
3
+ a
2
) + ( a
2
+ a + 1)
= a
3
( a
2
+ a + 1) a
2
( a
2
+ a + 1) + ( a
2
+ a + 1)
= ( a
2
+ a + 1) (a
3
a
2
+ 1).

C. ứng dụng
Việc phân tích đa thức thành nhân tử có thể có ích cho việc giải các bài toán về
tìm nghiệm của đa thức, chia đa thức, rút gọn đa thức.
I. Tìm x
Ví dụ 1. Giải các phơng trình sau:
a) 2(x + 3) - x(x + 3) = 0 b) x
3
+ 27 + (x + 3)(x - 9) = 0
c) x
2
+ 5x = 6.
Giải
a) 2(x + 3) x(x + 3) = 0 (x + 3)(2 x) = 0

[
02
03
=
=+
x
x

[
2
3
=
=
x
x

S ={-3; 2}.
b) x
3
+ 27 + (x + 3)(x 9) = 0 (x + 3)(x
2
- 3x + 9) + (x + 3)(x 9) = 0
(x + 3)(x
2
- 3x + 9) + (x + 3)(x 9) = 0
(x + 3)(x
2
- 3x + 9 + x 9) = 0
(x + 3)(x
2
- 2x) = 0
x(x + 3)(x - 2) = 0

02
03
0
=
=+
=



x
x
x

2
3
0
=
=
=



x
x
x
S ={-3; 0; 2}.
c) x
2
+ 5x = 6 x
2
+ 5x 6 = 0
x
2
- x + 6x 6 = 0
(x
2
- x) + (6x 6) = 0
12
x (x - 1) + 6(x 1) = 0
(x + 6)( x 1) = 0
[
01
06

=
=+
x
x

[
1
6
=
=
x
x
S = {-6; 1}.
Ví dụ 2. Giải các phơng trình sau
a. (x
2
+ 2x)
2
- x
2
- 2x - 2 = 0
b. x
4
- x
3
- x
2
- x - 2 = 0 [ (x+1)(x-2)(x
2
+1)= 0]

c. x
3
- 2x
2
- 9x +18 = 0 [(x-3)(x+3)(x-2) = 0 ]
Ví dụ 3. Tìm các cặp số (x; y) thoả mãn
a. x
2
+ y
2
= 0
b. (x-1)
2
+ (y+2)
2
= 0
c. 4x
2
+ y
2
- 2(2x+y - 1) = 0
d. x
2
+ 2y
2
+ 2y(1-x) = -1
e. 2x
2
(1 - y) + y(y + xy -2x) = 0
HD:

Đa về dạng A
2
+ B
2
= 0
A 0
B 0
=



=

e.(x -y)
2
+ x
2
(y +1)
2
= 0
2
x y 0
x 0
=



=

hoặc

x y 0
y 1 0
=


+ =

Ví dụ 4. Tìm nghiệm nguyên của phơng trình
a.x+ xy + y + 2 = 0
b. x + y = xy
c. x
2
+ 21 = y
2
HD: Biến đổi về dạng X.Y = a (const)
=> X, Y

Ư(a)
Ví dụ 5. Tìm nghiệm nguyên dơng của phơng trình
a. x
2
+ 21 = y
2
b.(x + 1)y - 2x = 8
HD: a. (y- x)(y+ x) = 21 > 0
y +x > y x > 0

y x 7
y x 3
+ =

=

hoặc
y x 21
y x 1
+ =


=

II.Tính giá trị biểu thức
Phơng pháp : Thu gọn biểu thức
Tìm giá trị của biến thay vào
Ví dụ 1: Tính giá trị biểu thức
A = (x
2
+ 2)
2
(x+ 2)(x - 2)(x
2
+ 4) với x = -1/2
+. Rút gọn A = 4x
2
+ 20
+.Thay A = 21
Ví dụ 2. Tính giá trị biểu thức.
a) A = 9x
2

+42x + 49 với x = 1
b) B =
2 2
1
5x - 2xy + y
25
với x=
1
5

: y = - 5


c) C =
3 2 2 3
x x y xy y
+ + +
8 4 6 27
với x = - 8; y = 6
d) D =
3 2
x + 15x + 75x + 125
với x = - 10
e) E =
3 2
x - 9x + 27x - 27
với x = 13
13
g) G =
( ) ( ) ( ) ( )

( )
3
3
x -1 - 4x x -1 x +1 + 3 x -1 x + x +1
với x = - 2

h) H =
( ) ( )
( ) ( )
2 2
x -1 x - 2 x + x +1 4 + 2x + x
với x = 1

Ví dụ 3 : Cho x - y = 7 . Tính
A = x(x + 2) + y(y - 2)- 2xy + 37
B = x
2
(x + 1) - y
2
(y - 1) + xy - 3xy(x - y + 1) - 95
( = (x-y)
3
+ (x -y)
2
- 95 = 297 )
Ví dụ 4:
a) Cho x + y = 7, tính giá trị của biểu thức.
M = (x + y)
3
+ 2x

2
+ 4xy + 2y
2
M = (x + y)
3
+ 2(x + y)
2
= 441.
b) Cho x - y = - 5, tính giá trị của biểu thức.
N = (x - y)
3
- x
2
+ 2xy - y
2
N = (x - y)
3
- (x - y)
2
= - 150
Ví dụ 5
Chứng minh giá trị của các biểu thức sau không phụ thuộc vào giá trị của biến.
a) P = (x + 2)
3
+ (x - 2)
3
- 2x(x + 12) P = 0
b) Q = (x - 1)
3
- (x + 1)

3
+ 6x(x + 1)(x - 1) Q = - 8
c) A = y(x
2
- y
2
)(x
2
+ y
2
) - y(x
4
- y
4
) A = 0
d) B = (x - 1)
3
- (x - 1)(x
2
+x + 1) - 3(1 - x)x B = 2
e) M =
2 3
1 2 1 1
+ 2x 4x - x 8x
3 3 9 27

+
ữ ữ ữ

M =

2
27
D. Bài tập áp dụng
Bài 1. Phân tích đa thức thành nhân tử. a) (3x - 1)
2
- (5x + 3)
2

b) (2x + y - 4z)
2
- (x + y - z)
2
c) ( x
2
+ xy)
2
- (x
2
- xy - 2y
2
)
2

d) x
4
- x
2
-2x-1
Bài 2. Tính giá trị biểu thức sau: a) A = 2x
2

+ 4x + xy + 2y. với x=88 và y=-76
b) B = x
2
+ xy -7 x - 7y. với x=
4
3
7
và y=
5
2
2

Bài 3. Phân tích đa thức thành nhân tử. a) x
2
- (a + b)xy + aby
2
ROI
b) ab(x
2
+ y
2
) + xy(a
2
+ b
2
)
c) (xy + ab)
2
+ (ay - bx)
2

d) a
2
(b - c) + b
2
(c - a) + c
2
(a - b)
Bài 4. Phân tích đa thức thành nhân tử.
a) - 6x
2
- 5y + 3xy + 10x b) x
2
+ y
2
- 2xy - x + y ROI
c) (x - z)
2
- y
2
+ 2y - 1 d) x
3
+ y
3
+ 3y
2
+ 3y + 1
Bài 5. Tính giá trị biểu thức sau: ROI
A = x
2

- 5x - 2xy + 5x + y
2
+ 4, biết x - y = 1
B = x
2
(x + 1) - y
2
(y - 1) + xy - 3xy(x - y + 1), biết x - y = 7.
Bài 6. Phân tích đa thức thành nhân tử.
a) (1 + x
2
)
2
- 4x(1 - x + x
2
) b) x
2
- y
2
- 2yz - z
2
c) 3a
2
- 6ab + 3b
2
- 12c
2
d) x
2
- 2xy + y

2
- m
2
+ 2mn - n
2
Bài 7. Phân tích đa thức thành nhân tử.
a) a
2
- 10a + 25 - y
2
- 4yz - 4z
2
b) x
4
- 2x
3
+ 2x - 1 ROI
c) x
4
+ 2x
3
+ 2x
2
+ 2x + 1 d) x
3
+ 4x
2
+ 5x + 2
Bài 8. Tính giá trị biểu thức sau:
14

a) A = x
2
- 5x - 2xy + 5y + y
2
+ 4, biết x - y=1 ROI
b) B = x
2
(x +1) - y
2
(y - 1) + xy - 3xy(x - y +1), biết x - y=7
Bài 9. Cho x = y = z = 0. Chứng minh rằng x
3
+ x
2
y - y
2
x - xyz + y
3
= 0
Bài 10. Chứng minh rằng nếu a, b, c là ba cạnh của một tam giác thì.
2a
2
b
2
+ 2b
2
c
2
+ 2c
2

a
2
- a
4
- b
4
- c
4
> 0.
Bài 11. Phân tích đa thức thành nhân tử. a) 2x
4
- 3x
3
- 7x
2
+ 6x + 8
b) 5x
4
+ 9x
3
- 2x
2
- 4x - 8
Bài 12. Tìm các hệ số a,b,c,d sao cho đa thức:
f(x) = x
4
+ ax
3
+ bx
2

- 8x + 4 là bình phơng đúng của
đa thức g(x) = x
2
+ cx + d
Bài 13. Phân tích đa thức thành nhân tử. a) (x
2
- 8)
2
+ 36.
b) 81x
4
+ 4. c) x
5
+ x + 1
Bài 14. Phân tích đa thức thành nhân tử.
A = (x
2
+ 2x)
2
+ 9x
2
+18 + 20
B = x
2
- 4xy + 4y
2
- 2x + 4y - 35
C = (x + 2)(x + 4)(x + 6)(x + 8) + 16
D = (x
2

+ 4x + 8)
2
+ 3x( x
2
+ 4x + 8) + 2x
2
Bài 15. Phân tích đa thức thành nhân tử.
a) (x
2
+ x +1)(x
2
+ x + 2) - 12
b) (x +1)(x + 2)(x + 3)(x + 4) - 24
Bài 16. Tìm giá trị của x để phân thức sau bằng 0.
a)
273
253
2
2
+
+
xx
xx
b)
24
22
)3()4(
)127(

+

xx
xx
Bài 17. Cho biểu thức: A=










+

+







+
2
4
.
4
32
42

2
.
4
4
2
32
2
2
x
x
xx
x
x
x
x
x
x
a) Tìm điều kiện của biến x để giá trị của biểu thức đợc xác định.
b) Tính giá trị của A biết
312 =x
Bài 18 a) Tìm x để
0
4
12102
3
2
=

++
xx

xx
.
b) Tìm các số nguyên x để
161684
16
234
4
++

xxxx
x
có giá trị nguyên.
Bài 19. Phân tích đa thức thành nhân tử. a) x
2
+ 25 +10x - y
2
- 2y 1
b) x
2
+ 4y
2
- 4xy - z
2
+ 6z - 9
Bài 20. Chứng minh rằng giá trị của biểu thức sau không phụ thuộc vào giá trị của các
biến: (x + y z - t)
2
- (z + t x - y)
2
.

Chuyên đề: một số phơng pháp phân tích đa thức
một biến thành nhân tử.
Các ph ơng pháp:
- Tách một hạng tử thành nhiều hạng tử.
- Thêm, bớt cùng một hạng tử.
- Đổi biến số.
- Hệ số bất định.
- Xét giá trị riêng (Đối với một số đa thức nhiều biến).
I) Phơng pháp tách một hạng tử thành nhiều hạng tử:
Đối với các đa thức mà các hạng tử không có nhân tử chung, khi phân tích ra nhân tử
ta thờng phải tách một hạng tử nào đó ra thành nhiều hạng tử khác để nhóm với các
hạng tử đã có trong đa thức để cho trong các nhóm có nhân tử chung, từ đó giữa các
nhóm có nhân tử chung mới hoặc xuất hiện các hằng đẳng thức quen thuộc.
Ví dụ 1: Phân tích đa thức sau thành nhân tử:
15
f(x) = 2x
2
- 3x + 1.
Giải:
Cách 1: Tách hạng tử thứ hai: -3x = -2x - x.
Ta có f(x) = (2x
2
- 2x) - (x - 1) = 2x(x - 1) - (x - 1) = (x - 1)(2x - 1).
Cách 2:
Ta có f(x) = (x
2
- 2x + 1) + (x
2
- x) = (x - 1)
2

+ x(x - 1) = (x - 1)[(x - 1) + x]
= (x - 1)(2x - 1).
Tổng quát: Để phân tích tam thức bậc hai f(x) = ax
2
+ bx + c ra nhân tử, ta tách hạng
tử bx thành b
1
x + b
2
x sao cho b
1
b
2
= ac
Bài tập 1: Phân tích các đa thức sau ra nhân tử:
a) 4x
2
- 4x - 3;
b) 2x
2
- 5x - 3;
c) 3x
2
- 5x - 2;
d) 2x
2
+ 5x + 2.
Ví dụ 2: Phân tích đa thức sau thành nhân tử:
f(x) = x
3

- x
2
- 4.
Giải:
Ta lần lợt kiểm tra với x = 1; 2; 4 ta thấy f(2) = 0.
Đa thức f(x) có nghiệm x = 2, do đó khi phân tích ra nhân tử, f(x) chứa nhân tử x - 2.
Từ đó: f(x) = x
3
- x
2
- 4 = (x
3
- 2x
2
) + (x
2
- 2x) + (2x - 4)
= x
2
(x - 2) + x (x - 2) + 2 (x - 2)
= (x - 2)(x
2
+ x + 2).
Tổng quát: Nếu đa thức f(x) = a
n
x
n
+ a
n-1
x

n-1
+ + a
1
x + a
0
có nghiệm nguyên là
x = x
0
thì x
0
là một ớc của hệ số tự do a
0
, khi phân tích f(x) ra nhân tử thì f(x) có
chứa nhân tử x - x
0
. Vì vậy đối với những đa thức một biến bậc cao, ta nên tìm lấy
một nghiệm của nó để định hớng việc phân tích ra nhân tử.
Bài tập 2: Phân tích các đa thức sau ra nhân tử:
a) x
3
+ 2x - 3;
b) x
3
- 7x + 6;
c) x
3
- 7x - 6; (Nhiều cách)
d) x
3
+ 5x

2
+ 8x + 4;
e) x
3
- 9x
2
+ 6x + 16;
f) x
3
- x
2
- x - 2;
g) x
3
+ x
2
- x + 2;
h) x
3
- 6x
2
- x + 30.
Ví dụ 3: Phân tích đa thức sau thành nhân tử:
f(x) = 3x
3
- 7x
2
+ 17x - 5.
Giải:
Theo ví dụ 2, ta thấy các số 1; 5 không là nghiệm của đa thức. Nh vậy đa thức

không có nghiệm nguyên, tuy vậy đa thức có thể có nghiệm hữu tỉ khác.
Ta chứng minh đợc điều sau đây:
Tổng quát: Nếu đa thức f(x) = a
n
x
n
+ a
n-1
x
n-1
+ + a
1
x + a
0
có nghiệm hữu tỉ là
x =
q
p
(dạng tối giản) thì p là một ớc của hệ số tự do a
0
còn q là ớc dơng của
hệ số cao nhất a
n
. Khi phân tích f(x) ra nhân tử thì f(x) có chứa nhân tử qx - p.
Trở về ví dụ 3: Xét các số
3
5
;
3
1

, ta thấy
3
1
là nghiệm của đa thức, do đó khi phân tích
ra nhân tử, đa thức chứa nhân tử 3x - 1.
Từ đó: f(x) = 3x
3
- 7x
2
+ 17x - 5 = (3x
3
- x
2
) - (6x
2
- 2x) + (15x - 5)
= x
2
(3x - 1) - 2x(3x - 1) + 5(3x - 1)
= (3x - 1)(x
2
- 2x + 5).
Bài tập 3: Phân tích các đa thức sau ra nhân tử:
a) 6x
2
- x - 1;
b) 6x
2
- 6x - 3;

c) 15x
2
- 2x - 1;
d) 2x
3
- x
2
+ 5x + 3;
e) 2x
3
- 5x
2
+ 5x - 3
f) 2x
3
+ 3x
2
+ 3x + 1;
g) 3x
3
- 2x
2
+ 5x + 2;
h) 27x
3
- 27x
2
+ 18x - 4;
Đáp số:
16

a) (2x - 1)(3x + 1);
b) (2x + 3)(3x - 1);
c) (3x + 1)(5x - 1);
d) (2x + 1)(x
2
- x + 3);
e) (2x - 3)(x
2
- x + 1);
f) (2x + 1)(x
2
+ x + 1);
g) (3x + 1)(x
2
- x +2);
h) (3x - 1)(9x
2
- 6x + 4);
II) Phơng pháp thêm bớt cùng một hạng tử:
Mục đích: Thêm, bớt cùng một hạng tử để nhóm với các hạng tử đã có trong đa thức
nhằm xuất hiện nhân tử chung mới hoặc xuất hiện hằng đẳng thức, đặc biệt là xuất
hiện hiệu của hai bình phơng.
III) Phơng pháp đổi biến:
Một số đa thức có bậc cao, nhờ đặt biến phụ đa về đa thức có bậc thấp hơn để thuận
tiện cho việc phân tích ra nhân tử, sau khi phân tich ra nhân tử đối với đa thức mới,
thay trở lại biến cũ để đợc đa thức với biến cũ.
Ví dụ 4: Phân tích đa thức sau thành nhân tử:
f(x) = x(x + 4)(x + 6)(x + 10) + 128.
Giải:
Ta có: f(x) = (x

2
+ 10x)(x
2
+ 10x + 24) + 128.
Đặt x
2
+ 10x + 12 = y, đa thức trở thành:
f(y) = (y - 12)(y + 12) + 128 = y
2
- 16 = (y - 4)(y + 4)
= (x
2
+ 10x + 8)( x
2
+ 10x + 16) = (x + 2)(x + 8)( x
2
+ 10x + 8).
Ví dụ 4: Phân tích đa thức sau thành nhân tử:
f(x) = x
4
+ 6x
3
+ 7x
2
- 6x + 1.
Giải:
Cách 1: f(x) = x
4
+ (6x
3

- 2x
2
) + (9x
2
- 6x + 1) = x
4
+ 2x
2
(3x - 1) + (3x - 1)
2
.
= (x
2
+ 3x - 1)
2
.
Cách 2: Giả sử x 0; Ta có:
f(x) = x
2
(x
2
+ 6x + 7 -
2
16
x
x
+
) = x
2
[(x

2
+
2
1
x
) + 6(x -
x
1
) + 7].
Đặt x -
x
1
= y, suy ra: x
2
+
2
1
x
= y
2
+ 2. Do đó đa thức trở thành:
f(x; y) = x
2
(y
2
+ 2 + 6y + 7) = x
2
(y + 3)
2
= (xy + 3x)

2
= [x(x -
x
1
) + 3x]
2
= (x
2
+ 3x - 1)
2
.
Bài tập 4: Phân tích các đa thức sau ra nhân tử:
a) (x
2
+ x)
2
- 2(x
2
+ x) - 15;
b) (x
2
+ x + 1)( x
2
+ x + 2) - 12;
c) (x + 2)(x + 3)(x + 4)(x + 5) - 24;
d) x
2
+ 2xy + y
2
- x - y - 12;

e) (x + a)(x + 2a)(x + 3a)(x + 4a) + a
4
;
f) (x
2
+y
2
+z
2
)(x+y+z)
2
+ (xy+yz+zx)
2
;
g) A = 2(x
4
+ y
4
+ z
4
) - (x
2
+ y
2
+ z
2
)
2
- 2(x
2

+ y
2
+ z
2
)(x + y + z)
2
+ (x + y + z)
4
.
Đáp số:
a) Đặt x
2
+ x = y. Ta phân tích đợc thành: (x
2
+ x - 5)(x
2
+ x + 3).
b) Đặt x
2
+ x + 1 = y. Đáp số: (x
2
+ x + 5)(x+2)(x-1).
c) Biến đổi thành: (x
2
+ 7x + 10)( x
2
+ 7x + 12) - 24;
Đặt x
2
+ 7x + 11 = y. Đáp số: (x

2
+ 7x + 16)(x + 1)(x + 6).
d) Đặt x + y = z. Đáp số: (x + y + 3)(x + y -4)
e) Đặt x
2
+ 5ax + 5a
2
= y. Đáp số: (x
2
+ 5ax +5a
2
)
2
.
f) Đặt x
2
+y
2
+z
2
= a; xy + yz + zx = b. Ta đợc: a(a + 2b) + b
2
= (a + b)
2
=
g) Đặt các biểu thức đối xứng: x
4
+ y
4
+ z

4
= a; x
2
+ y
2
+ z
2
= b; x + y + z = c.
Ta có: A = 2a - b
2
-2bc
2
+ c
4
= (2a - 2b
2
) + (b
2
- 2bc
2
+ c
4
) = 2(a - b
2
) + (b - c
2
)
2
.
Thay a - b

2
= -2(x
2
y
2
+ x
2
z
2
+ y
2
z
2
); b - c
2
= -2(xy + xz + yz).
Ta đợc M = -4(x
2
y
2
+ x
2
z
2
+ y
2
z
2
) + 4(xy + xz + yz)
2

= 8x
2
yz + 8xy
2
z + 8xyz
2
= 8xyz(x + y + z).
17
IV) Phơng pháp hệ số bất định:
Ví dụ 5: Phân tích đa thức sau thành nhân tử:
f(x) = x
4
- 6x
3
+ 12x
2
- 14x + 3.
Giải:
Nhận xét: Các số 1; 3 không phải là nghiệm của đa thức f(x) nên đa thức không
có nghiệm nguyên, cũng không có nghiệm hữu tỉ. Nh vậy nếu f(x) phân tích đợc
thành nhân tử thì phải có dạng: (x
2
+ ax + b)( x
2
+ cx + d), với a, b, c, d Z.
Khai triển dạng này ra ta đợc đa thức: x
4
+ (a+c)x
3
+ (ac+b+d)x

2
+ (ad+bc)x + bd.
Đồng nhất đa thức này với f(x) ta đợc hệ điều kiện:







=
=+
=++
=+
.3
14
12
6
bd
bcad
dbac
ca
Xét bd = 3, với b, d Z, b {1; 3}. Với b = 3 thì d = 1, hệ điều kiện trở thành:





=+
=

=+
.143
8
6
ca
ac
ca
Từ đó tìm đợc: a = -2; c = -4. Vậy f(x) = (x
2
- 2x + 3)( x
2
- 4x + 1).
Ta trình bày lời giải nh sau:
f(x) = x
4
- 6x
3
+ 12x
2
- 14x + 3 = (x
4
- 4x
3
+ x
2
) - (2x
3
+ 8x
2
- 2x) + (3x

2
-12x +3)
= x
2
(x
2
- 4x + 1) - 2x(x
2
- 4x + 1) + 3(x
2
- 4x + 1)
= (x
2
- 4x + 1)(x
2
- 2x +3).
Bài tập 5: Phân tích các đa thức sau ra nhân tử, dùng phơng pháp hệ số bất định:
a) 4x
4
+ 4x
3
+ 5x
2
+ 2x + 1;
b) x
4
- 7x
3
+ 14x
2

- 7x + 1;
c) x
4
- 8x + 63;
d) (x+1)
4
+ (x
2
+ x +1)
2
.
Đáp số:
a) (2x
2
+ x + 1)
2
. Có thể dùng phơng pháp tách: 5x
2
= 4x
2
+ x
2
.
b) (x
2
- 3x + 1)(x
2
- 4x + 1).
c) (x
2

- 4x + 7)(x
2
+ 4x + 9).
d) (x
2
+ 2x + 2)(2x
2
+ 2x +1).
Cách khác: (x+1)
4
+ (x
2
+ x +1)
2
= (x+1)
4
+ x
2
(x +1)
2
+ 2x(x + 1) + 1
= (x + 1)
2
[(x + 1)
2
+ x
2
] + (2x
2
+ 2x + 1)

= (x
2
+ 2x + 1)(2x
2
+ 2x + 1) + (2x
2
+ 2x + 1)
= (2x
2
+ 2x + 1)(x
2
+ 2x +2).
V) Phơng pháp xét giá trị riêng:
(Đối với một số đa thức nhiều biến, có thể hoán vị vòng quanh)
Ví dụ 6: Phân tích đa thức sau thành nhân tử:
P = x
2
(y - z) + y
2
(z - x) + z
2
(x - y).
Giải:
Nhận xét: Nếu thay x bởi y thì P = 0, nên P chia hết cho x - y
Hơn nữa nếu thay x bởi y, y bởi z, z bởi x thì P không thay đổi (Ta nói đa thức P có
thể hoán vị vòng quanh). Do đó: P chia hết cho x - y thì P cũng chia hết cho
y - z và z - x.
Từ đó: P = a(x - y)(y - z)(z - x); trong đó a là hằng số, không chứa biến vì P có bậc 3
đối với tập hợp các biến, còn tích (x - y)(y - z)(z - x) cũng có bậc 3 đối với tập hợp
các biến.

18
Ta có: P = x
2
(y - z) + y
2
(z - x) + z
2
(x - y) = a(x - y)(y - z)(z - x) (*) đúng với mọi x,
y, z R nên ta chọn các giá trị riêng cho x, y, z để tìm hằng số a là xong.
Chú ý: Các giá trị của x, y, z ta có thể chọn tuỳ ý, chỉ cần chúng đôi một khác
nhau để tránh P = 0 là đợc.
Chẳng hạn: Chọn x = 2; y = 1; z = 0 thay vào đẳng thức (*), ta tìm đợc a = - 1
Vậy: P = x
2
(y - z) + y
2
(z - x) + z
2
(x - y) = -(x - y)(y - z)(z - x) = (x - y)(y - z)(x - z).
Bài tập 6: Phân tích các đa thức sau ra nhân tử:
Q = a(b + c - a)
2
+ b(c + a - b)
2
+ c(a + b - c)
2
+ (a + b - c)( b + c - a)( c + a - b).
Giải:
Nhận xét: với a = 0 thì Q = 0, cho nên a là một nhân tử của Q. Do vai trò bình đẳng
của a, b, c nên b và c cũng là nhân tử của Q, mà Q có bậc 3 đối với tập hợp các biến

nên Q = k.abc.
Chọn a = b = c = 1 đợc k = 4. Vậy Q = 4abc.
Bài tập tự luyện:
Bài tập 1: Phân tích các đa thức sau ra nhân tử (173):
a) 4x
4
- 32x
2
+ 1;
b) x
6
+ 27;
c) 3(x
4
+ x
2
+ 1) - (x
2
+ x + 1)
2
;
d) (2x
2
- 4)
2
+ 9;
Bài tập 2: Phân tích các đa thức sau ra nhân tử (174):
a) 4x
4
+ 1; b) 4x

4
+ y
4
; c) x
4
+ 324.
Bài tập 3: Phân tích các đa thức sau ra nhân tử (175):
a) x
5
+ x
4
+ 1;
b) x
5
+ x + 1;
c) x
8
+ x
7
+ 1;
d) x
5
- x
4
- 1;
e) x
7
+ x
5
+ 1; ROI

f) x
8
+ x
4
+ 1;
Bài tập 4: Phân tích các đa thức sau ra nhân tử (176):
a) a
6
+ a
4
+ a
2
b
2
+ b
4
- b
6
; b) * x
3
+ 3xy + y
3
- 1.
Bài tập 5: Phân tích các đa thức sau ra nhân tử (172):
A = (a + b + c)
3
- 4(a
3
+ b
3

+ c
3
) - 12abc bằng cách đổi biến: đặt a + b = m, a - b = n.
Bài tập 6**: Phân tích các đa thức sau ra nhân tử (178):
a) x
8
+ 14x
4
+ 1; b) x
8
+ 98x
4
+ 1.
Bài tập 7: Chứng minh rằng tích của 4 số tự nhiên liên tiếp cộng thêm 1 là một số chính
phơng. (180)
Bài tập 8*: Chứng minh rằng: số A = (n + 1)
4
+ n
4
+ 1 chia hết cho một số chính phơng
khác 1 với mọi số n nguyên dơng. (181)
Bài tập 9: Tìm các số nguyên a, b, c sao cho khi phân tích đa thức (x + a)(x - 4) - 7 ra
nhân tử ta đợc (x + b)(x + c). <182>
Bài tập 10: Tìm các số hữu tỉ a, b, c sao cho khi phân tích đa thức x
3
+ ax
2
+ bx
2
+ c thành

nhân tử ta đợc (x + a)(x + b)(x + c). <183>
Bài tập 11:(184)Số tự nhiên n có thể nhận bao nhiêu giá trị, biết rằng khi phân tích đa thức
x
2
+ x - n ra nhân tử ta đợc (x - a)(x + b) với a, b là các số tự nhiên và 1 < n < 100 ?
Bài tập 12: (185)Cho A = a
2
+ b
2
+ c
2
, trong đó a và b là hai số tự nhiên liên tiếp và c = ab.
CMR:
A
là một số tự nhiên lẻ.
Chủ đề 1: Tính chia hết trong tập hợp số nguyên
A. Kiến thức cơ bản
- Nắm đợc tính chất chia hết trong tập hợp số nguyên
- Vận dụng tốt tích chất để làm các bài tập
B. Phơng pháp chung
I. Chứng minh tính chia hết trong tập hợp số nguyên
Gọi A(n) là một biểu thức phụ thuộc vào n (n N hoặc n Z)
19
Để chứng minh A(n) chia hết cho một số m, ta thờng phân tích A(n) thành thừa số,
trong đó có một thừa số là m. Nừu m là một hợp số ta phân tích m thành tích các thừa
số đôi một nguyên tố cùng nhau, rồi chứng minh A(n) chia hết cho tất cả các số đó
Nhận xét: Trong k số nguyên liên tiếp bao giờ cũng tồn tại một bội của k
Ví dụ 1: Chứng minh rằng:
A = n
3

(n
2
- 7)
2
- 36n chí hết cho 5040 với mọi số tự nhiên n
Giải:
Phân tích ra thừa số: 5040 = 2
4
.3
2
.5.7
Ta có:
A = n[n
2
(n
2
- 7)
2
- 36]
= n[(n
3
- 7n)
2
- 6
2
]
= n(n
3
- 7n - 6)(n
3

- 7n + 6)
Ta lại có:
n
3
- 7n - 6 = (n + 1)(n + 2)(n - 3)
n
3
- 7n + 6 = (n - 1)(n - 2)(n + 3)
Do đó: A = (n - 3)(n - 2)(n - 1)n(n + 1)(n + 2)(n - 3)
Đây chính là tích của bảy số nguyên liên tiếp. Trong bảy số nguyên liên tiếp
- Tồn tại một bội của 5 nên A chia hết cho 5
- Tồn tại một bội của 7 nên A chia hết cho 7
- Tồn tại hai bội của 3 nên A chia hết cho 9
- Tồn tại ba bội của 2, trong đó có một bội của 4 nên A chia hết cho 16
A chia hết cho các số 5, 7,9,16 đôi một nguyên tố cùng nhau nên A chia hết cho
5.7.9.16 = 5040
áp dụng:
Chứng minh rằng với mọi số nguyên a thì
a) a
2
- a chia hết cho 2
b) a
3
- a chia hết cho 3
c) a
5
- a chia hết cho 5
d) a
7
- a chia hết cho 7

Gợi ý: Phân tích thành tích của các số nguyên liên tiếp, khi đó tồn tại các số là bội
của 2, 3, 5, 7
Ví dụ 2: Số chính phơng
a) Chứng minh rằng một số chính phơng chia cho 3 chỉ có thể có số d bằng 0 hoặc
1
20
b) Chứng minh rằng một số chính phơng chia cho 4 chỉ có thể có số d bằng 0 hoặc
1
Giải:
Gọi A là số chính phơng A = n
2
(n N)
a) Xét các trờng hợp:
n = 3k (k N) A = 9k
2
chia hết cho 3
n = 3k 1 (k N) A = 9k
2
6k +1 chia cho 3 d 1
Vậy số chính phơng chi cho 3 chỉ có thể có số d bằng 0 hoặc 1
b) Xét các trờng hợp
n = 2k (k N) ) A = 4k
2
chia hết cho 4
n = 2k + 1 (k N) A = 4k
2
+ 4k +1 = 4k(k + 1) + 1 chia cho 4 d 1
Vậy số chính phơng chi cho 4 chỉ có thể có số d bằng 0 hoặc 1
áp dụng:
Trong các số sau có số nào là số chính phơng không?

M = 1992
2
+ 1993
2
+ 1994
2
N = 1992
2
+ 1993
2
+ 1994
2
+ 1995
2
P = 1 + 9
100
+ 94
100
+ 1994
100
Lu ý: Các hằng đẳng thức hay dùng để chứng minh tính chia hết của một luỹ thừa.
a
n
- b
n
= (a - b)(a
n-1
+ a
n-2
.b + a

n-3
.b
2
+ + a.b
n-2
+ b
n-1
) với n N
*
a
n
+ b
n
= (a + b)(a
n-1
- a
n-2
.b + a
n-3
.b
2
- - a.b
n-2
+ b
n-1
) với mọi n lẻ Công thức Niu-tơn
(a + b)
n
= a
n

+ c
1
a
n-1
b + c
2
a
n-2
b
2
+ + c
n-1
ab
n-1
+ b
n
Các hệ số c
i
đợc xác định bởi tam giác Pa-xcan
áp dụng vào tính chất chia hết ta có:
a
n
- b
n
Chia hết cho a - b (a b)
a
2n+1
+ b
2n+1
Chia hết cho a + b (a - b)

(a + b)
n
= BS a + b
n
(BS a là bội số của a)
Ví dụ:
Bài tập áp dụng:
1/ Cho A = 11
100
-1
Chứng minh rằng A chia hết cho 10, chia hết cho 1000
2/ Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên n, biểu thức 16
n
- 1 chia hết cho 17 khi và chỉ
khi n là số chẵn
21
3/ Chứng minh rằng với n N:
a) 11
n+1
+ 12
2n+1
chia hết cho 133
b) 3
4n+2
+ 2.4
3n+1
chia hết cho 17
c) 3.5
2n+1
+ 2

3n+1
chia hết cho 17
II. Tìm số d
Ví dụ: Tìm số d khi chia 2
100
a) Cho 9
b) Cho 25
c) Cho 125
Giải:
a) Luỹ thừa của 2 sát với bội của 9 là 2
3
= 8 = 9 - 1
Ta có: 2
100
= 2.(2
3
)
33
= 2.(9 - 1)
33
= 2.(BS 9 - 1) = BS 9 - 2 = BS 9 + 7
Số d khi chia 2
100
cho 9 là 7
b) Luỹ thừa của 2 sát với một bội số của 25 là 2
10
= 1024 = BS 25 - 1
Ta có: 2
100
= (2

10
)
10
= (BS 25 - 1)
10
= BS 25 + 1
Vậy số d khi chia 2
100
cho 25 là 1
c) Dùng công thức Niu-tơn:
2
100
= (5 - 1)
50
= 5
50
- 50.5
49
+ +
50.49
2
.5
2
- 50.5 + 1
Ta thấy 48 số hạng đầu tiên chứa luỹ thừa của 5 với số mũ lớn hơn 3 nên chia hết cho
125. hai số hạng tiếp theo cũng chia hết cho 125, số hạng cuối cùng là 1
Vậy số d khi chia 2
100
cho 125 là 1
Bài tập áp dụng:

a) Tìm số d của phép chia S
n
= 1
n
+ 2
n
+ 3
n
+ 4
n
cho 4
b) Chứng minh rằng:
5
2n
+ 5
n
+ 1 chia hết cho 31 với mọi n không chia hết cho 3
III. Tìm chữ số cuối cùng trong biểu diễn thập phân của một số
Phơng pháp:
Xét số tự nhiên A = n
k
với n, k N
Cách 1:
Muốn tìm chữ số cuối cùng của A ta chỉ cần biểu diễn A dới dạng:
A = 10a + b =
ab
Thì b là chữ số cuối cùng của A
Ta viết A = n
k
= (10q + r)

k
= 10t + r
k
22
Thì chữ số cuối cùng của A cũng chính là chữ số của cùng của r
k
- Nếu A = 100b +
ab
=
abc
thì
bc
là hai chữ số cuối cùng của A
-
Cách 2:
Khi lấy k lần lợt những giá trị tự nhiên khác nhau thì trong biểu diễn thập phân
của số A = n
k
chữ số cuối cùng hoặc một chữ số cuối cùng xuất hiện tuần hoàn. Ta chỉ
cần tìm chu kì của hiện tợng này và A ở trờng hợp nào với giá trị k đã cho
Cách 3: Dùng phép chia có d
Ví dụ: Tìm 3 chữ số tận cùng của 2
100
khi viết trong hệ thập phân
Giải:
Ba chữ số tập cùng của 2
100
là số d của phép chia 2
100
cho 1000

Theo ví dụ trên ta có 2
100
= BS 125 + 1, mà 2
100
là số chẵn, nên ba chữ số tân cùng của
nó chỉ có thể là 126, 376, 626 hoặc 876
Mà 2
100
chia hết cho 8 nên ba chữ số tận cùng của nó cũng phải chia hết cho 8. Trong
bốn số trên chỉ có 376 thoả mãn điều kiện
Vậy ba chữ số tận cùng của 2
100
là 376
Bài tập:
1) Tìm 4 chữ số tận cùng của 5
1994
khi viết trong hệ thập phân.
2) Tìm chữ số hàng đơn vị của số 17
1983
+ 11
1983
- 7
1983
3) Tìm ba chữ số cuối cùng của số A = m
100
trong đó m là một số tự nhiên
khác 0
IV. Tìm điều kiện chia hết
Ví dụ: Tìm số nguyên n để giá trị của biểu thức A chia hết cho giá trị của biểu thức B
A = n

3
+ 2n
2
- 3n + 2
B = n
2
- n
Biến đổi
n
3
+ 2n
2
- 3n + 2 = (n
2
- n)(n + 3) + 2
Muốn A chia hết cho B thì 2 phải chia hết cho n
2
- n hay n(n - 1) do đó 2 phải
chia hết cho n
n 1 -1 2 -2
n-1 0 -2 1 -3
n(n - 1) 0 2 2 6
Loại Loại
Vậy n = -1 ; n = 2
Bài tập:
1) Tìm số nguyên dơng n để n
5
+ 1 chia hết cho n
3
+ 1

23
2) Tìm số tự nhiên n sao cho
a) 2
n
- 1 chia hết cho 7
b) 2
n
- 1 chia hết cho 7
c) n
2
- 3n + 6 chia hết cho 5
d) n
3
- n + 1 Chia hết cho 7
e) 2.3
n
+ 3 chia hết cho 11
f) 10
n
- 1 chia hết cho 81
g) 10
n
- 1 chia hết cho 11
h) 10
n
-1 chia hết cho 121
V. Tính chia hết đối với đa thức
1. Tìm số d của phép chia mà không thực hiện phép chia
Phơng pháp:
* Đa thức chia có dạng x - a với a là hằng số

Số d của phép chia đa thức f(x) cho x - a bằng giá trị của đa thức f(x) tại x = a
* Đa thức có bậc từ bậc hai trở lên
Cách 1: Tách đa thức bị chia thành những đa thức chia hết cho đa thức chia
Cách 2: Xét các giá trị riêng
Chú ý:
a
n
- b
n
Chia hết cho a - b (a b)
a
2n+1
+ b
2n+1
Chia hết cho a + b (a - b)
Ví dụ 1:
Chứng minh rằng nếu đa thức f(x) có tổng các hệ số bằng 0 thì đa thức ấy chia
hết cho x - 1
Giải:
Gọi f(x) = a
0
x
n
+ a
1
x
n-1
+ + a
n-1
x + a

n
Theo giả thiết: a
0
+ a
1
+ + a
n-1
+ a
n
= 0
Số d của phép chia f(x) cho x - 1 là
r = f(1) = a
0
+ a
1
+ + a
n-1
+ a
n
= 0
Vậy f(x) chia hết cho x - 1
Ví dụ 2:
Chứng minh rằng nếu đa thức f(x) có tổng các hệ số luỹ thừa bậc chẵn bằng tổng
các hệ số luỹ thừa bậc lẻ thì f(x) chia hết cho x + 1
2. Tìm thơng và số d của phép chia các đa thức
Phơng pháp:
- Đặt phép chia
24
- Dùng sơ đồ Hoóc-ne
Đa thức bị chia

1 2
0 1 2 1

n n n
n
a x a x a x a x x


+ + + + +
Đa thức chia là x - a thơng là
1 2
0 1 2 1

n n
n n
b x b x b x b


+ + + +
số d r
Với
b
0
= a
0
b
1
= a.b
0
+ a

1
b
2
= a.b
1
+ a
2

b
n-1
= a.b
n-2
+ a
n-1
r = ab
n-1
+ a
n
3. Chứng minh một đa thức chia hết cho một đa thức
Phơng pháp:
* Phân tích đa thức bị chi thành nhân tử, trong đó có một nhân tử là đa thức chia
Ví dụ 1:
Chứng minh rằng x
8n
+ x
4n
+ 1 chia hết cho x
2n
+ x
n

+ 1 với mọi một số tự nhiên
n.
Giải:
x
8n
+ x
4n
+ 1 = x
8n
+ 2x
4n
+ 1 - x
4n
= (x
4n
+ 1)
2
- (x
2n
)
2
= (x
4n
+ x
2n
+1) (x
4n
- x
2n
+1)

x
4n
+ x
2n
+1 = x
4n
+ 2x
2n
+1- x
2n
= (x
2n
+ 1)
2
- (x
n
)
2
= (x
2n
+ x
n
+1) (x
2n
- x
n
+1)
Vậy x
8n
+ x

4n
+ 1 chia hết cho x
2n
+ x
n
+ 1
* Biến đổi các đa thức chia thành một tổng các đa thức chia hết cho đa thức chia
Ví dụ 2:
Chứng minh rằng x
3m+1
+ x
3n+2
+ 1 chia hết cho đa thức x
2
+ x + 1 với mọi số tự nhiên
m, n
Giải:
x
3m+1
+ x
3n+2
+ 1 = x
3m+1
- x + x
3n+2
+ 1 - x
2
+ x
2
+ x + 1

= x(x
3m
- 1) + x
2
(x
3n
- 1) + x
2
+ x + 1
Ta thấy x
3m
- 1 và x
3n
- 1 chia hết cho x
3
- 1
Do đó x
3m
- 1 và x
3n
- 1 chia hết cho x
2
+ x + 1
25