Hướng dẫn học sinh ôn tập về tứ giác nội tiếp

1
Phòng giáo dục Đô Lơng
kinh nghiệm dạy và hớng dẫn học sinh
ôn tập về tứ giác nội tiếp đờng tròn

a/ đặt vấn đề:
1) Cơ sở lý luận:
Các kiến thức hình học nói chung đối với học sinh phổ thông, các
em đều thấy khó khăn, việc vận dụng các kiến thức vào làm các bài tập là
rất khó khăn, riêng phần Tứ giác nội tiếp là khái niệm học sinh THCS
đợc học ở cuối chơng trình hình học phẳng ở lớp 9, một nội dung cần vận
dụng nhiều kiến thức các em đã học ở trớc. Đồng thời nội dung này thờng
đợc đa vào bài tập hình học ở các đề thi cuối cấp THCS.
Vì vậy để học sinh nắm đợc định nghĩa, tính chất, dấu hiệu từ đó
vận dụng kiến thức đợc học vào làm bài tập là một việc làm không đơn
giản.
2) Cơ sở thực tiễn:
Sau nhiều năm dạy toán lớp 9 và ôn tập cho học sinh thi các kỳ thi
cuối cấp THCS , ở phần Tứ giác nội tiếp tôi đã cố gắng sắp xếp dạy cho
các em theo trình tự: Hệ thống lại lý thuyết từ định nghĩa, tính chất, dấu
hiệu nhận biết 1 tứ giác nội tiếp về bài tập chọn các bài tập có nội dung
phù hợp với trình độ học sinh, đi theo mạch từ bài dễ đến bài khó, ở một
số bài có thể phát triển đợc nên định hớng cho các em phát triển ở mỗi bài
tập đều định hớng cho các em từ cách vẽ hình, hớng chứng minh.
b/ nội dung:
I- Phần lý thuyết:
* Thông qua tiết 49 50 phân phối chơng trình toán 9 bài Tứ giác
nội tiếp , Luyện tập giáo viên chốt lại cho học sinh các vấn đề:
Sáng Kiến Kinh Nghiệm Trang Năm học 2008
2
Phòng giáo dục Đô Lơng

1) Định nghĩa tứ giác nội tiếp:
Một tứ giác có 4 đỉnh năm trên 1 đờng tròn đợc gọi là tứ giác nội
tiếp đờng tròn (gọi tắt là tứ giác nội tiếp).
2) Tính chất của t giác nội tiếp:
Trong 1 tứ giác nội tiếp, tổng số đo 2 góc ối diện bằng 180
0
.
3) Dấu hiệu nhận biết:
+ Dấu hiệu 1: (Dựa theo định nghĩa)
4 đỉnh của tứ giác cùng thuộc 1 đờng tròn
+ Dấu hiệu 2: (Dựa theo tính chất).
Tứ giác có tổng 2 góc đối diện bằng 180
0
+ Dấu hiệu 3: (Dựa theo cùng chứa góc)
Tứ giác có 2 đỉnh liên tiếp nhìn đoạn thẳng nối 2 đỉnh còn lại dới 1
góc không đổi.
* Thông qua tiết luyện tập và ôn tập hớng dẫn học sinh giải hết các
bài tập ở SGK.
Qua đó giúp học sinh nắm đợc, khi đã chứng minh đợc 1 tứ giác nội
tiếp thì:
- Tổng 2 góc đối diện của tứ giác đó bằng 180
0
- Có thể vận dụng tính chất của các góc trên đờng tròn đi qua 4 đỉnh
của tứ giác đó để chứng minh các phần tiếp theo.
II- Phần bài tập:
Dạng 1: Vận dụng các dấu hiệu để nhận biết chứng minh tứ giác
nội tiếp.
B i 1 : Cho ABC có 3 góc nhọn, các đờng cao AK , BM , CN cắt
nhau tại H.
a) Kể tên các tứ giác nội tiếp có trong hình vẽ ? Vì sao?

b) Chứng minh H là tâm đờng tròn nội tiếp MNK
Sáng Kiến Kinh Nghiệm Trang Năm học 2008
3
Hinh 1
H
K
M
N
C
B
A
Phòng giáo dục Đô Lơng
Chứng minh:
a) Trên hình vẽ có 6 tứ giác nội tiếp
- Tứ giác AMHN nội tiếp vì:
ã
ã
0 0 0
90 90 180 ( )ANH AMH gt+ = + =
(Theo dấu hiệu 2)
Hoặc:
ã
ã
0
90ANH AMH+ = =>
4 điểm A, M, H, N cùng thuộc đờng tròn
đờng kính AH (theo dấu hiệu 1).
- Tơng tự các tứ giác BNHK và tứ giác CMHK nội tiếp
- Tứ giác ANMC nội tiếp vì:
ã

ã
0
90BNC BMC= =
(theo dấu hiệu 3)
- Tơng tự các tứ giác BKMA và tứ giác CKNA nội tiếp .
b) Theo câu a ta có tứ giác BNHK nội tiếp
=>
ã
ã
NKH NBH=
(1)
Tứ giác BNMC nội tiếp =>
ã
ã
NBM MNN=
Hay
ã
ã
NBH MCN=
(2)
Tứ giác CKHM nội tiếp =>
ã ã
MCH MKH=
(3)
Tứ (1) (2) và (3) =>
ã
ã
NKH MKH=
Hay KH là phân giác
ã

NKM
Chứng minh tơng tự ta có: NH, MH là phân giác
ã
NKM
;
ã
ã
;MNK NMK
Vậy H là giao điểm các đờng phân giác trong của MNK.
Hay H là tâm đờng tròn nội tiếp MNK
Sáng Kiến Kinh Nghiệm Trang Năm học 2008
4
Hinh 2
Q
P
H
C
B
A
Phòng giáo dục Đô Lơng

Bài 2: Cho

ABC, AH là đờng cao, hạ HP, HQ lần lợt vuông góc
với AB, AC.
Chứng minh: Tứ giác
BPQC nội tiếp
Chứng minh: Xét Tứ giác APHQ có:
ã
ã

0
90APH AQH= =
=> Tứ giác APHQ nội tiếp
=>
ã ã
AHP AQP=
(2 góc nội tiếp cùng chắn cung
ả
AP
)
Mà
ã
ã
AHP ABH=
(cùng phụ với
ã
BAH
)
=>
ã
ã
BBH AQP=
Lại có:
ã
ã
0
180AQP PQC+ =
(2 góc kề bù)
=>
ã

ã
0
180ABH PQC+ =
hay
ã
ã
0
180PBC PQC+ =
=> Tứ giác BPQC nội tiếp (theo dấu hiệu 2)

Sau khi chứng minh bài toán, giáo viên đa ra (hoặc có thể gợi ý để
học sinh tự nêu) vấn đề:

Sáng Kiến Kinh Nghiệm Trang Năm học 2008
5
Hinh 3
D
I
K
H
O
C
B
A
A
Phòng giáo dục Đô Lơng
Nếu lấy 1 điểm H

bất kỳ thuộc đờng cao AH

, kể H

P

, H

Q

lần lợt
vuông góc với AB, AC.
Liệu tứ giác BP

Q

C có phải là tứ giác nội tiếp không ?
Giáo viên hớng dẫn học sinh cách chứng minh hoàn toàn tơng tự
trên.
Bài tậi t ơng t về nhà:
Bài 3: Cho Tứ giác ABCD có AC vuông góc BA tại 0. Hạ 0H , 0N
lần lợt vuông góc với AB, AC, CD, DA.
Hãy kể tên và chứng minh các tứ giác nội tiếp tạo ra từ các điểm A,
B, C, D, H, K, M, N, O.
*Có một số bài toán, ở nội dung bài không nói đến tứ giác nội tiếp
nhng khi chứng minh nếu sử dụng kiến thức tứ giác nội tiếp thì sẽ có cách
giải đơn giản hơn.
Dạng 2: Sử dụng kiến thức về tứ giác nội tiếp để chứng minh .
Bài 1: Cho ABC nội tiếp (0) kể các đờng cao BH và CK
Chứng minh rằng 0A vuông góc HK
Chứng minh : Gọi giao điểm KH và AO là I
Ta có:

ã
ã
0
90 ( )BKC BHC gt= =
=>Tứ giác BKHC nội tiếp (Theo dấu hiệu 3)
Sáng Kiến Kinh Nghiệm Trang Năm học 2008
6
Phòng giáo dục Đô Lơng
=>
ã
ã
ACB AKH=
(cùng bù với
ã
BKH
) (1)
Kéo dài AO cắt (O) tại điểm thứ 2 là D
=>
ã
ã
ADB ACB=
(2 góc nội tiếp cùng chắn cung AB) (2)
Từ (1) và (2) suy ra
ã
ã
AKH ADB=
(3)
Lại có: ABD vuông tại B (
à
0

90ABD =
góc nội tiếp chắn nửa đờng
tròn).
=>
ã
ã
0
90ADB DAB+ =
(4)
Từ (3) và(4) =>
ã
ã
0
90AKH DAB+ =
Hay
ã
ã
0
90IKA IAK+ =

=>
ã
0
90AIK =

=>
OA KH


Bài 2: Cho (O) từ điểm A ở ngoài (0) kẻ các tiếp tuyến AB, AC (B,

C là các tiếp điểm) lấy 1 điểm M trên cung nhỏ BC. Kẻ MI, MH , MK lầ l-
ợt vuông góc với BC, CA, AB gọi P là giao điểm BM và IK, Q là giao điểm
CM và IH.
a) Chứng minh MIK và MHI đồng dạng.
b) Chứng minh PQ BC
Sáng Kiến Kinh Nghiệm Trang Năm học 2008
Hinh 4
M
K
O
I
H
C
B
A
7
Phòng giáo dục Đô Lơng
Chứng minh: a) Ta có các tứ giác MKBI , MHCI nội tiếp (theo dấu
hiệu 2).
=>
ả
à
1 1
K B=
(2 góc nội tiếp cùng chắn 1 cung)

à
à
1 1
I C=

(2 góc nội tiếp cùng chắn 1 cung)
Mà
à
à
1 1
B C=
(cùng chắn 1 cung CM của (O))
=>
ả
à
1 1
K I=
(1)
Chứng minh tơng tự ta có:
à
ả
1 1
I H=
(2)
Từ (1) và (2) => MIK MHI (gg)
b) Theo câu a ta có:
à
à
à
1 1 1
I C B= =
Chứng minh tơng tự ta có
à
ả
ả

2 2 2
I C B= =
=>
à
ả
à
à
ã
1 2 1 2
B C I I PIQ+ = + =
Xét tứ giác MPIQ có:
ã
ã
ã
à
ả
0
1 2
180PMQ PIQ BMC B C+ = + + =
(tổng 3 góc trong 1)
Tứ giác MPIQ nội tiếp .

ã
à
2
MQP I=
(2 góc nội tiếp cùng chắn 1 cung)
Mà
à
ả

2 2
I C=
(chứng minh trên)
=>
ã
ả
2
MQP C=
Mặt khác
ã
MQP
và
ả
2
C
ở vị trí đồng vị đối với 2 đờng thẳng PQ và BC.
=> PQ // BC
Lại có: MI BC (gt)
=> MI PQ

Bài tập t ơng tự về nhà
Bài 3: Cho nửa đờng tròn đờng kính AB. Điểm M thuộc nửa đ-
ờng tròn , điểm C thuộc đoạn OA . Trên nửa mặt phẳng bờ AB có chứa M
Sáng Kiến Kinh Nghiệm Trang Năm học 2008
8
Phòng giáo dục Đô Lơng
vẽ tiếp tuyến Ax, By đờng thẳng qua M và vuông góc MC cắt Ax, By tại P
và Q . AM cắt CP tại E, BM cắt CQ tại F.
a) Chứng minh
ã

1PCQ v=
b) Chứng minh EF// AB
Dạng 3: Dạng toán tổng hợp
Đối với các bài toán tổng hợp có nhiều câu, hình vẽ có nhiều đờng
rờm rà , nên hớng dẫn cho học sinh vẽ mỗi câu, mỗi hình, hình vẽ của câu
nào thì chỉ vẽ các đờng cần thiết liên quan đến câu đó mà thôi.
Có thể vẽ (ở nháp) các yếu tố liên quan với nhau, yếu tố cần chứng
minh 1 màu mực. 1 hình có thể vẽ nhiều màu mực để nối rõ yếu tố cần
chứng minh. Từ đó các em sẽ dễ dàng chứng minh hơn.
Bài 1: Cho ABC nhọn, kẻ các đờng cao AA

, BB

, CC

. Gọi E, F
là hình chiếu của A

trên AB, AC.Gọi K, L là hình chiếu của B

trên BC,
BA. Gọi M, N là hình chiếu của C

trên CA , CB .
a) Chứng minh FK//AB
b) Chứng minh tứ giác ALKC nội tiếp
c) Chứng minh tứ giác MLKF nội tiếp
d) Chứng minh 6 điểm M, L, E, N, K, F cùng thuộc 1 đờng tròn.
Chứng minh: a) Chứng minh FK//AB

Ta có tứ giác AB A

B

nội tiếp (vì
ã
ã
' ' 0
90 )AB B AA= =
Sáng Kiến Kinh Nghiệm Trang Năm học 2008
Hinh a
A
B
A'
C
F
B'
K
9
Phòng giáo dục Đô Lơng
=>
ã
ã
' '
ABC CB A=
(cùng bù A B

A

) (1)

Tơng tự ta có tứ giác A

B

FK nội tiếp (dấu hiệu 3)
=>
ã
ã
' '
A B C FKC=
(cùng bù với
ã
'
A KF
) (2)
Từ (1) và (2) =>
ã
ã
ABC FKC=
Mà 2 góc
ã
ã
,ABC FKC
ở vị trí đồng vị đối với 2 đờng thẳng KF và AB.
=> KF // AB
b) Chứng minh tứ giác ALKC nội tiếp
Chứng minh tơng tự bài 2 (dạng 1)
c)Chứng minh tứ giác MLKF nội tiếp
Chứng minh tơng tự câu a ta có: LM // BC
=>

ã
ã
AML ACB=
(1)
Theo câu b:
ã
ã
ACB BLK=
(cùng bù
ã
ALK
) (2)
Theo câu a: KF// AB
Sáng Kiến Kinh Nghiệm Trang Năm học 2008
Hinh b
L
B
K
C
B'
A
Hinh c
L
M
C'
B'
F
A'
K
C

B
A
10
Phòng giáo dục Đô Lơng
=>
ã ã
BLK LKF=
(so le trong) (3)
Kết hợp (1) (2) và (3) suy ra
Lại có:
ã
ã
0
180AML LMF+ =
(2 góc kề bù)
=>
ã
ã
0
180LKF LMF+ =
=> tứ giác MLKF nội tiếp (dấu hiệu 2)
e) Chứng minh 6 điểm M, L, E, N, K, F cùng thuộc 1đờng tròn.
Chứng minh tơng tự câu b ta có tứ giác AMNB nội tiếp .
=>
ã
ã
ABC NMF=
Mà
ã
ã

ABC NMF=
(theo câu a)
=>
ã
ã
NMF FKC=
Lại có:
ã
ã
0
180FKC FKN+ =
(2 góc kề bù)
=>
ã
ã
0
180NMF FKN+ =
=> Tứ giác NMFK nội tiếp (dấu hiệu 2)
=> Điểm N thuộc đờng tròn qua 3 điểm M, K, F (*)
Theo câu c ta có tứ giác MLKF nội tiếp
=> Điểm L thuộc đờng tròn qua 3 điểm M, K, F (**)
Chứng minh tơng tự câu c ta có: tứ giác ENKF nội tiếp
=>Điểm E thuộc đờng qua 3 điểm N, K, F
Kết hợp (*) => điểm E thuộc đờng tròn 3 điểm M, K, F (***)
Từ (*) (**) và (***) suy ra 6 điểm M, L, E, N, K, F cùng thuộc 1 đ-
ờng tròn đi qua 3 điểm M, K, F.
Sáng Kiến Kinh Nghiệm Trang Năm học 2008
Hinh d
E
C'

L
M
B'
F
N
K
A'
C
B
A
Hinh 1-3
L
K
E
C'
M
B'
F
C
A'
N
B
A
11
Phòng giáo dục Đô Lơng
ở bài toán này, nếu giáo viên không hớng dẫn các em tách thành các
hình a, hình b, hình c, hình d để làm các câu tong ứng a, b, c, d mà để các
em vẽ chung trên 1 hình nh ở hình 1 3 thì hình vẽ rất rậm, có nhiều đ-
ờng, các em em rất khó nhìn ra các yếu tố cần để chứng minh. Từ đó việc
chứng minh sẽ khó khăn hơn nhiều.

Khi hớng dẫn các em tách thành các hình nh trên thì mỗi câu trở
thành 1 bài toán nhỏ, hình vẽ đơn giản ít đờng, các em sẽ dễ thấy mỗi liên
hệ giữa các yếu tố từ đó việc chứng minh sẽ dễ dàng hơn.
Bài tập t ơng tự:
Bài 2: (đề thi vào THPT năm 2007 2008- Tỉnh Nghệ An).
Cho nửa đờng tròn tâm O , đờng kính AB, điểm H nằm giữa 2 điểm
A và B (H không trùng với O) đờng thẳng vuông góc với AB tại H, cắt nửa
đờng tròn tạo điểm C. gọi D và E lần lợt là chân các đờng vuôgn góc kẻ từ
H đến AC và BC
a) Tứ giác HDCE là hình gì ? Vì sao
b) Chứng minh tứ giác A D E B nội tiếp.
c) Gọi K là tâm đờng ngoài tiếp tứ giác ADEB
Chứng minh DE = 2KO
c/ kết luận:
Trên đây là một kinh nghiệm nhỏ khi dạy và hớng dẫn học sinh ôn
tập về tứ giác nội tiếp đờng tròn, nhằm giúp các em chuẩn bị tốt các kỳ thi
cuối cấp THCS. Tôi thiết nghĩ khi đã đợc học và hệ thống đầy đủ về lý
Sáng Kiến Kinh Nghiệm Trang Năm học 2008
12
Phòng giáo dục Đô Lơng
thuyết cần có hệ thống bài tập phù hợp với các đối tợng học sinh yếu,
trung bình, khá, giỏi đáp ứng với nhu cầu học tập của các em.
Chẳng hạn ở bài 1 , bài 3 dạng 1 rèn luyện cho học sinh yếu, trung
bình biết cách nhận xét,dự đoán các tứ giác nội tiếp trong hình vẽ từ đó
củng cố các dấu hiệu, kỹ năng chứng minh tứ giác nội tiếp.
ở bài 2 dạng 1, bài 2 dạng 2 nhằm để nâng cao kỹ năng chứng minh
tứ giác nội tiếp từ đó đa ra đợc bài toán tơng tự hay bài toán tổng quát.
ở các bài tập dạng 2, dạng 3 nhằm giúp các em thấy đợc các ứng
dụng của tứ giác nội tiếp, để chứng minh 2 góc bằng nhau , 2 đờng thẳng
song song , 2 đờng thẳng vuông góc, chứng minh 1 tập hợp điểm cùng

thuộc 1 đờng tròn từ đó các em sẽ từng bớc nắm vững các kiến thức, gây
hứng thú học tập trong học toán, nâng cao t duy lô gíc, vận dụng hợp lý
khi giải toán. Với kiến thức có hạn, tôi mạnh dạn đa ra kinh nghiệm nhỏ.
Trên đây nhằm giúp học sinh không còn bớ ngỡ khi gặp các bài toán về tứ
giác nội tiếp hay sử dụng ứng dụng, tứ giác nội tiếp để chứng minh và đã
có kết quả khả quan trong các kỳ thi cuối cấp THCS. Tuy nhiên đây chỉ là
ý kiến mang tính chủ quan của bản thân, nên không thẻ tránh khỏi những
khiếm khuyết , thiết sót. Vì vậy rất mong sự góp ý phê bình của các đồng
nghiệp để tôi có thể rửa đối trong các bài dạy và ôn tập lần sau có hiệu quả
hơn.
d/Kiến nghị đề xuất:
Hàng năm, sau các đợt thi SKKN nên giới thiệu các SKKN hay, có
tính sáng tạo và áp dụng rộng rãi và có hiệu quả và có hiệu quả qu bằng
cách gửi các bản photo đong theo từng môn, để giáo viên toàn huyện có
thể học tập, áp dụng vào các bài dạy của mình./.
Xin cảm ơn nhiều !
Đô Lơng, ngày 2 tháng 4 năm 2008
Sáng Kiến Kinh Nghiệm Trang Năm học 2008
13
Phßng gi¸o dôc §« L¬ng

S¸ng KiÕn Kinh NghiÖm Trang N¨m häc 2008
14
Phßng gi¸o dôc §« L¬ng
S¸ng KiÕn Kinh NghiÖm Trang N¨m häc 2008
15
Phßng gi¸o dôc §« L¬ng
S¸ng KiÕn Kinh NghiÖm Trang N¨m häc 2008
16
Phßng gi¸o dôc §« L¬ng

S¸ng KiÕn Kinh NghiÖm Trang N¨m häc 2008
17
Phßng gi¸o dôc §« L¬ng
S¸ng KiÕn Kinh NghiÖm Trang N¨m häc 2008
18
Phßng gi¸o dôc §« L¬ng
S¸ng KiÕn Kinh NghiÖm Trang N¨m häc 2008