CHƯƠNG 2 : LÝ THUYẾT TRẠNG THÁI ỨNG SUẤT pps

z
M(x,y,z)
x
y
dy dy
dx dx
a
b
b
a
Phần tử loại 1
Phần tử loại 2
CHƯƠNG 2 : LÝ THUYẾT TRẠNG THÁI ỨNG SUẤT
§2.1. ĐIỀU KIỆN CÂN BẰNG
2.1.1. Đặt vấn đề :
Trong hệ tọa độ Decartes cho 1 vật thể chịu tác dụng của ngoại lực, bao
gồm:
* Lực thể tích: Là lực phân bố trong không gian của vật thể, được đặc
trưng bởi cường độ f và là lực trong một đơn vị thể tích, có hình chiếu lên 3 trục
tọa độ x, y, z là: f
x
, f
y
, f
z
.
* Lực diện tích (lực bề mặt): Là lực tác dụng trên một phần hay trên toàn
bộ bề mặt giới hạn của vật thể, được đặc trưng bởi cường độ f
*
và là lực trên một
đơn vị diện tích, có hình chiếu lên ba trục tọa độ x, y, z là f

*
x
, f
*
y
, f
*
z
.
Dưới những tác dụng này, vật thể nằm ở trạng thái cân bằng tĩnh hoặc
động nên những phần tử vật chất của vật thể cũng nằm ở trạng thái cân bằng
tương ứng. Tưởng tượng dùng họ những mặt phẳng vuông góc với các trục toạ
độ và cách nhau những đoạn vi phân dx, dy, dz cắt qua vật thể (hình vẽ 2.1) ta sẽ
nhận được :
(Hình 2.1)
* Những phần tử hình hộp có sáu mặt cắt ở bên trong vật thể gọi là phần
tử loại 1.
* Những phần tử có ít nhất một mặt là bề mặt ngoài của vật thể gọi là phần
tử loại 2, trong trường hợp tổng quát, phần tử loại 2 là một khối tứ diện.
Điều kiện cân bằng của vật thể được đảm bảo thông qua điều kiện cân
bằng của tất cả các phần tử loại 1 và loại 2.
2.1.2. Phương trình vi phân cân bằng :
Trước tiên ta khảo sát sự cân bằng của các phần tử loại 1 lấy tại điểm
M(x,y,z)
6
1. Lực tác dụng lên phần tử :
- Ngoại lực là lực thể tích f có hình chiếu lên các trục toạ độ : f
x
, f
y

, f
z
- Nội lực là các ứng suất trên các mặt của phần tử, các ứng suất này là các
hàm số liên tục của tọa độ điểm M(x,y,z).
(Hình 2.2)
• Hai mặt vuông góc với trục x:
+ Mặt đi qua điểm M(x,y,z) có các thành phần ứng suất : σ
x
, τ
xy
, τ
xz
+ Mặt đi qua điểm N(x+dx,y,z): khai triển theo Taylor và bỏ qua các số hạng vô
cùng bé bậc cao có các thành phần ứng suất :
dx
x
;dx
x
;dx
x
xz
xz
xy
xy
x
x
∂
τ∂
+τ
∂

τ∂
+τ
∂
σ∂
+σ

Tương tự:
• Hai mặt vuông góc với trục y:
+ Mặt đi qua điểm M(x,y,z) có ứng suất : σ
y
, τ
yx
, τ
yz
+ Mặt đi qua điểm P(x,y+dy,z) có các ứng suất :
dy
y
;dy
y
;dy
y
yz
yz
yx
yx
y
y
∂
τ∂
+τ

∂
τ∂
+τ
∂
σ∂
+σ
• Hai mặt vuông góc với trục z:
+ Mặt đi qua điểm M(x,y,z) có các ứng suất σ
z
, τ
zx
, τ
zy
+ Mặt đi qua điểm Q(x,y,z+dz) có các ứng suất :
dz
z
;dz
z
;dz
z
zy
zy
zx
zx
z
z
∂
τ∂
+τ
∂

τ∂
+τ
∂
σ∂
+σ
2. Phương trình cân bằng:
Dưới tác dụng của ngoại lực, giả sử phần tử đang xét nằm ở trạng thái cân bằng,
7
z
x
y
dx
dy
P(x,y+dy,z)
N(x+dx,y,z)
Q(x,y,z+dz)
dx
x
x
x
∂
∂
+
σ
σ
dx
x
xy
xy
∂

∂
+
τ
τ
dx
x
xz
xz
∂
∂
+
τ
τ
τ
xy
σ
x
τ
xz
z
y
x
M
Zo
Zo
dy
y
yx
yx
∂

∂
+
τ
τ
dx
x
xy
xy
∂
∂
+
τ
τ
τ
yx
τ
xy
các phương trình cân bằng được thỏa mãn :
0dxdydzfdxdy)dz
z
(
dxdz)dy
y
(dydz)dx
x
(0X
x
zx
zxzx
yx

yxyx
x
xx
=+
∂
τ∂
+τ+τ−+
+
∂
τ∂
+τ+τ−+
∂
σ∂
+σ+σ−⇔=Σ

Sau khi rút gọn và cũng thực hiện tương tự cho các phương trình ∑Y = 0 ; ∑Z=0,
ta sẽ nhận được 3 phương trình vi phân cân bằng như sau :
.)
t
w
(.0f
zyx
;)
t
v
(;0f
zyx
;)
t
u

(;0f
zyx
2
2
z
z
yz
xz
2
2
y
zyyxy
2
2
x
zx
yx
x
∂
∂
ρ=+
∂
σ∂
+
∂
τ∂
+
∂
τ∂
∂

∂
ρ=+
∂
τ∂
+
∂
σ∂
+
∂
τ∂
∂
∂
ρ=+
∂
τ∂
+
∂
τ∂
+
∂
σ∂
(2.1)
Với
ρ
: mật độ khối lượng của vật thể.
+ Trong trường hợp cân bằng tĩnh: vế phải của hệ (2.1) sẽ bằng 0.
+ Trong trường hợp cân bằng động: vế phải của hệ (2.1) sẽ bằng các lượng
trong dấu ngoặc; u, v, w là các thành phần chuyển vị của phần tử vật chất tại
điểm M theo 3 phương x,y,z. Lượng trong dấu ngoặc nếu đổi dấu thì chính là các
lực quán tính của một đơn vị thể tích chiếu lên ba phương của các trục tọa độ.

Hệ phương trình (2.1) được gọi là phương trình cân bằng tĩnh học NAVIER-
CAUCHY.
2.1.3. Định luật đối ứng của ứng suất tiếp :
* Từ phương trình cân bằng môment của phân tử đối với các trục tọa độ ta sẽ
được định luật đối ứng của các ứng suất tiếp.
(Hình.2.3)
Xét phương trình cân bằng ∑Mz = 0
Để đơn giản ta đặt tọa độ ban đầu ở tâm hình lập phương.
Tìm moment tại tâm phần tử đối với trục z
o
z
o
, ta có:
8
z
y
x
f*
x
f*
y
z
f*
σ
y
σ
z
σ
x
τ

xy
τ
xz
τ
zx
τ
yx
τ
yz
τ
zy
0
2
dy
dxdz)dy
y
(
2
dx
dydz)dx
x
(M
yx
yxyx
xy
xyxyzz
00
=
∂
τ∂

+τ+τ−
∂
τ∂
+τ+τ=Σ
Bỏ qua các vô cùng bé bậc 5
2
dy
dydxdz
y
và
2
dx
dxdydz
x
yxxy
∂
τ∂
∂
τ∂
so
với các vô cùng bé bậc 3, rút gọn và chia 2 vế của phương trình cho dxdydz, ta
có :
Chứng minh tương tự ta có:
)2.2(
;0M
;0M
;
zxxzy
zyyzx
yxxy






τ=τ⇔=Σ
τ=τ⇔=Σ
τ=τ
Phát biểu định luật: Ứng suất tiếp trên 2 mặt vuông góc về trị số bằng
nhau nhưng ngược chiều .
(Hình.2.4)
2.1.4. Phương trình điều kiện biên theo ứng suất :
Đây chính là điều kiện cân bằng của các phân tử loại 2.Trong trường hợp
tổng quát, phân tử này là khối tứ diện, có ba mặt vuông góc với các trục tọa độ
và nằm ở bên trong vật thể, có diện tích lần lượt là dS
x
, dS
y
, dS
z
. Mặt còn lại là
mặt ngoài của vật thể có diện tích dS có pháp tuyến
n

với cosin chỉ phương
l,m,n.
(Hình 2.5)
l = cos (
xn


,
) =
dS
dSx
9
a
a
a
a
cóntoVéc

m = cos (
yn

,
) =
dS
dSy
(a)
n = cos (
zn


,
) =
dS
dSz
a. Lực tác dụng lên phân tử:
- Ngoại lực : + Lực thể tích f(f
x

, f
y
,f
z
) của thể tích dV.
+ Lực bề mặt f
*
(f
*
x
, f
*
y
,f
*
z
) trên diện tích dS
- Nội lực :
+ Mặt vuông góc trục x, ký hiệu dS
x
có các ứng suất : σ
x
, τ
xy
, τ
xz.
+ Mặt vuông góc trục y, ký hiệu dS
y
có các ứng suất : σ
y

, τ
yx
, τ
yz
.
+ Mặt vuông góc trục z, ký hiệu dS
z
có các ứng suất : σ
z
, τ
zx
, τ
zy.
b. Phương trình cân bằng :
Phương trình tổng hình chiếu của các lực theo phương X là:
)b(0dVfdSfdSdSdS0X
x
*
xzzxyyxxx
=++τ−τ−σ−⇔=Σ
Bỏ qua vô cùng bé bậc ba fx.dV so với các vô cùng bé bậc hai và chia (b) cho dS
ta có:
)c(0f
dS
dS
dS
dS
dS
dS
*

x
z
zx
y
yx
x
x
=+τ−τ−σ−
Thay (a) vào (c) ta có:
Tương tự:
*
zzyzxz
*
yzyyxy
*
xzxyxx
fnml0Z
)3.2(fnml0Y
fnml
=σ+τ+τ⇔=Σ
=τ+σ+τ⇔=Σ
=τ+τ+σ
Hệ phương trình (2.3) là điều kiện cân bằng của phần tử loại hai, được gọi là hệ
phương trình điều kiện biên theo ứng suất.
2.1.5. Kết luận:
1. Về mặt cơ học: Hệ phương trình (2.1) và (2.3) biểu diễn mối quan hệ
giữa nội lực và ngoại lực là điều kiện cân bằng của toàn bộ vật thể.
2. Về mặt toán học:
Hệ phương trình (2.1) là hệ phương trình vi phân đối với các ẩn số ứng
suất, khi tích phân sẽ có các hằng số tích phân.

Còn hệ phương trình (2.3) là điều kiện để xác định các hằng số tích phân
ấy.
§2.2. ỨNG SUẤT TRÊN MẶT CẮT NGHIÊNG –
TRẠNG THÁI ỨNG SUẤT - TENXƠ ỨNG SUẤT
10
σ
y
σ
z
σ
x
τ
xy
τ
xz
τ
zx
τ
yx
τ
yz
τ
zy
z
y
x
f*
f*
Pny
z

f*
2.2.1. Đặt vấn đề :
Giả sử đã biết các ứng suất trên 3 mặt vuông góc với hệ trục tọa độ đi qua
M(x,y,z), tính ứng suất trên mặt cắt nghiêng bất kỳ có pháp tuyến
n

với các
cosin chỉ phương là (l, m, n) đi qua điểm M(x,y,z) đó.
2.2.2. Ứng suất toàn phần :
Để tìm ứng suất tại điểm M(x,y,z) trên mặt cắt nghiêng có pháp tuyến
n

với các côsin chỉ phương l,m,n. Ta xét cân bằng của phần tử tứ diện lấy tại điểm
M(x,y,z), phần tử có ba mặt vuông góc với các trục tọa độ, trên đó có các ứng
suất
τσ
,
(như H.2.6). Mặt thứ tư của phân tử là mặt nghiêng có ứng suất toàn
phần
n
P
, các hình chiếu của nó lên 3 trục tọa độ x,y,z là P
nx
, P
ny
, P
nz
.
Hình 2.6
Ba hình chiếu này giữ vai trò tương tự như lực bề mặt

*
z
*
y
*
x
f,f,f
khi viết
điều kiện biên (2.3), nên có thể có kết quả tương tự như sau:
)4.2(
n
m
l
x
P
P
P
nmlP
nmlP
nmlP
zyzxz
zyyxy
zxyxx
nz
ny
nx
zyzxznz
zyyxyny
zxyxxnx





















σττ
τστ
ττσ
=











⇔
σ+τ+τ=
τ+σ+τ=
τ+τ+σ=
Giá trị của ứng suất toàn phần Pn được tính theo công thức sau :
)5.2(PPPP
2
nz
2
ny
2
nxn
++=
2.2.3. Ứng suất pháp và ứng suất tiếp :
Ứng suất toàn phần
n
P
có thể biểu diễn qua ứng suất pháp và ứng suất
11
tiếp.
1.Ứng suất pháp: là hình chiếu của ứng suất toàn phần
n
P
trên pháp tuyến
n

, được ký hiệu

n
σ
.
3nz2ny1nxn
e.Pe.Pe.PP


++=
)e.Pe.Pe.P(chPch
3nz2ny1nx
n
n
n
n

++==σ

n.Pm.Pl.P
nznynxn
++=σ
(2.6)
Thay (2.4) vào (2.6) ta có:
)7.2()nl.mn.lm.(2n.m.l.
zxyzxy
2
z
2
y
2
xn

τ+τ+τ+σ+σ+σ=σ
2. Ứng suất tiếp :
Trị số ứng suất tiếp Tnt trên mặt cắt nghiêng được tính theo công thức :
2
n
2222
n
2
nnt
PnzPnyPnxP σ−++=σ−=τ
(2.8)
2.2.4. Trạng thái ứng suất - Tenxơ ứng suất :
* Trạng thái ứng suất tại một điểm là tập hợp các ứng suất trên mọi mặt
cắt có thể đi qua điểm đó.
* Nếu ứng suất thành phần là khái niệm phụ thuộc điểm và pháp tuyến của
mặt cắt [
),( nMP
n


] thì trạng thái ứng suất là khái niệm rộng hơn, chỉ phụ thuộc
vào điểm. Điều đó cho phép ta phân biệt, so sánh được trạng thái nội lực tại các
điểm khác nhau trong vật thể.
Các biểu thức (2.7) và (2.8) cho phép xác định ứng suất pháp và ứng suất
tiếp trên mặt cắt nghiêng bất kỳ đi qua điểm đang xét, điều đó chứng tỏ rằng chín
thành phần ứng suất trên các mặt cắt vuông góc với các trục tọa độ là đủ để xác
định trạng thái ứng suất tại điểm đó.
Kết luận: Trạng thái ứng suất tại một điểm đặc trưng bởi chín thành phần
ứng suất trên các mặt cắt vuông góc với các trục tọa đô đi qua điểm đó. Chín
thành phần này lập thành một đại lượng gọi là tenxơ ứng suất.

Ký hiệu :
σ
T
Và được biểu diễn:










σττ
τστ
ττσ
=
σ
zyzzx
xzyxy
zxyxx
T
Tenxơ ứng suất là một tenxơ hạng 2 đối xứng vì theo định luật đối ứng
của ứng suất tiếp ta có
zxxzzyyzyxxy
;; τ=ττ=ττ=τ
, vậy tenxơ ứng suất có 6
thành phần độc lập.
12

2.2.5. Tenxơ lệch ứng suất và Tenxơ cầu ứng suất :
Tenxơ ứng suất có thể chia thành Tenxơ lệnh ứng suất D
σ
và Tenxơ cầu
ứng suất T
o
σ
σσσ
+=










στ
σ
σ
+











σ−σττ
τσ−στ
ττσ−σ
=










σττ
τστ
ττσ
o
tbyz
tb
tb
tbzyzzx
xztbyxy
zxyxtbx
zyzzx
xzyxy
zxyxx

TDT
0
00
00
a
)(
)(
)(
Với
)(
3
1
zyxtb
σ+σ+σ=σ
: Ứng suất pháp trung bình.
D
σ
: Tenxơ lệch ứng suất, gây ra biến dạng hình dạng của phân tử.
T
o
σ
: Tenxơ cầu ứng suất, gây ra biến dạng thể tích của phân tử.
§2.3. MẶT CHÍNH - PHƯƠNG CHÍNH - ỨNG SUẤT CHÍNH
2.3.1.Khái niệm:
* Mặt chính là mặt trên đó có ứng suất tiếp bằng không;
* Phương chính là phương pháp tuyến của mặt chính.
* Ứng suất chính là ứng suất pháp trên mặt chính . Ký hiệu
n
σ
.

Giả sử có phương chính
n

với l = cos (n, x)
m = cos (n , y)
n = cos (n , z)
Trên mặt chính ứng suất toàn phần
n
P
sẽ có phương vuông góc với mặt
chính và có giá trị
nn
P
σ
=
.
Do đó hình chiếu P
nx
, P
ny
, P
nz
của P
n
lên các trục x, y, z là :
P
nx
= σ
n
.l

P
ny
= σ
n
.m (2.9)
P
nz
= σ
n
.n
Thay (2.4) và (2.9) ta có hệ phương trình:
)10.2(
0n)(ml
0nm)(l
0nml)(
tbzyzzx
xztbyxy
zxyxnx





=σ−σ+τ+τ
=τ+σ−σ+τ
=τ+τ+σ−σ
Hệ (2.10) có nghiệm tầm thường của là l = m = n =0 không thỏa mãn
điều kiện l
2
+ m

2
+ n
2
= 1 (2.11).
Để hệ (2.10) có nghiệm không tầm thường thì định thức của các hệ số phải
bằng không:
13
)12.2(0
)(
)(
)(
Det
nzyzzx
xznyxy
zxyxnx
=










σ−σττ
τσ−στ
ττσ−σ
Khai triển (2.12) ta được phương trình bậc 3 đối với ứng suất chính

n
σ
:

0III
3n2
2
n1
3
n
=−σ+σ−σ
(2.13)
Trong đó:





τσ+τσ+τσ−τττ+σσσ=
τ+τ+τ−σσ+σσ+σσ=
σ+σ+σ=
)(2I
)(I
I
2
xyz
2
zxy
2
yzxzxyzxyzyx3

zxyzxyxzzyyx2
zyx1
(2.14)
Các hệ số I
1
, I
2
, I
3
trong phương trình tìm ứng suất chính là những giá trị
không đổi khi ta xoay trục. Chúng được gọi lần lượt là bất biến thứ nhất, bất
biến thứ hai và bất biến thứ ba của trạng thái ứng suất tại một điểm.
- Giải phương trình bậc 3 (2.13) ta nhận được ba giá trị ứng suất chính,
các giá trị này đều là thực, kí hiệu lần lượt là
321
;;
σσσ
và theo qui ước
321
σσσ
>>
.
- Phương chính : sau khi đã có các ứng suất chính
321
;;
σσσ
ứng với mỗi
i
σ
sử dụng hệ phương trình (2.10) và phương trình (2.11) để tìm cosin chỉ phương

l
i
, m
i
, n
i
của ứng suất chính
i
σ
đó.
Kết quả ta có ba phương chính tương ứng với ba ứng suất chính
321
;;
σσσ
.
Ba phương này trực giao với nhau và lập thành một hệ trục tọa độ, ký hiệu các
trục là 1,2,3.
Tenxơ ứng suất này được viết là :










σ
σ

σ
=
σ
3
2
1
00
00
00
T
Các bất biến của trạng thái ứng suất chính :





σσσ=
σσ+σσ+σσ=
σ+σ+σ=
3213
1332212
3211
I
I
I
Tùy theo giá trị của các ứng suất chính, ta phân loại trạng thái ứng suất
thành trạng thái ứng suất đơn; trạng thái ứng suất phẳng và trạng thái ứng suất
khối.
14