Tài liệu Chương 3. Trạng thái ứng suất pdf

18
Chơng 3.
Trạng thái ứng suất

I. Khái niệm về trạng thái ứng suất
Trạng thái ứng suất tại một điểm của vật thể đn hồi chịu
lực l tập hợp tất cả các ứng
suất tác dụng trên tất cả các
mặt vô cùng bé đi qua điểm
đó, đặc trng bởi tenxơ đối
xứng cấp 2 có 6 thnh phần
ứng suất độc lập (hình 3.1):








xxyxz
yx y yz
zx zy z
(3.1)
nh biểu thị trên các mặt của
phân tố toạ độ Cdxdydz.
Qua 1 điểm ta luôn tìm
ba mặt vuông góc với nhau có
ứng suất tiếp bằng 0, các mặt đó l
mặt chính

, pháp tuyến mặt
chính gọi l
phơng chính
, ứng suất pháp trên các mặt chính gọi
l
ứng suất chính

1
,
2
v
3
:

1
>
2
>
3
(3.2)
Căn cứ vo các ứng suất chính ta hân loại trạng thái ứng suất
nh sau:
Trạng thái ứng suất khối
(hình 3.2a),
trạng thái ứng
suất phẳng
(hình 3.2b),
trạng thái ứng suất đơn
(hình 3.2c).

Hình 3.2
Hình 3.1

19
II. Trạng thái ứng suất phẳng
1.
ứ
ng suất trên mặt nghiêng bất kì

Tách một phân tố khỏi vật thể đn hồi chịu lực. Giả thiết
mặt vuông góc với trục z l mặt chính (
z
=
zx
=
zy
= 0), những
mặt còn lại có cả ứng suất pháp v ứng suất tiếp (hình 3.3).

Hình 3.3
Xét sự cân bằng của phân tố hình lăng trụ đáy l tam giác,
mặt bên nghiêng. Phơng trình tổng mômen các lực với O:

= =

Oxy yx
dx dy
Mdydz dzdx0
22

=
xy yx
(3.3)
Đó l
luật

đối ứng của ứng suất tiếp
, phát biểu nh sau:

Nếu trên mặt cắt no đó có ứng suất tiếp thì trên mặt cắt vuông
góc với nó cũng phải có ứng suất tiếp có cùng trị số nhng đối
chiều
.
Lập các phơng trình hình chiếu sau:
= +
+ =

ux xy
yyx
u dzds ( dzdscos )cos ( dzdscos )sin
( dzdssin )sin ( dzdssin )cos 0

= +
+ + =

uv x xy
yyx
v dzds ( dzdscos )sin ( dzdscos )cos
( dzdssin )cos ( dzdssin )sin 0

Sau khi rút gọn, sử dụng định luật đối ứng ứng suất tiếp ta
đợc giá trị của
u
v
uv
:

+
= +
xy xy
uxy
cos2 sin 2
22
(3.4)


= +
xy
uv xy
sin2 cos2
2
(3.5)
Rõ rng l khi = 0 (hoặc /2) thì
u
v
uv
có giá trị bằng
x
,

20

xy
(hoặc
y
,
yx
).
2.
ứ
ng suất chính v phơng chính
Mặt chính đợc xác định thông qua góc nghiêng
0
, sao cho
ứng suất tiếp trên đó bằng 0:


+ = =


xy xy
0xy 0 0
xy
sin2 cos2 0 tg2
2

Đặt

= =

xy
0
xy
tg tg2 tg



= +
0
k.
22
(3.6)
Ta thấy
0
có hai nghiệm l
1
v
2
(ứng với k = 0 v k = 1)
lệch nhau 90
0
ta luôn có hai phơng chính vuông góc với nhau.
Thay
1
v
2
vo (3.4) ta sẽ đợc các ứng suất chính cần tìm, đó l
những ứng suất pháp cực trị, vì d
u

/d = - 2
uv
= 0:
+

= +


2
xy xy
2
max xy
min
22
(3.7)
ứng suất tiếp cực trị xác định bằng d
uv
/d = 0:



==

xy
uv
xy
d
2cos22sin20
d2

=

xy
xy
tg2
2

So sánh với (3.7), ta đợc:

= =

0
0
1
tg2 cotg2
tg2

= +
0
k.
4
(3.8)
Kết luận
: những mặt có ứng suất tiếp cực trị tạo với mặt chính
một góc 45
0
. Thay (3.8) vo (3.5) với
2

1
cos2
1tg2
=
+

, ta đợc:

()
= +
2
2
max x y xy
min
1
4
2
(3.9)
Tính theo ứng suất chính ta có:

21


=
max min
max
min
2
(3.10)
III. Vòng tròn Mo (Mohr) ứng suất

1. Cơ sở của phơng pháp v cách vẽ vòng tròn MO ứng suất
Xét một phân tố với các ứng suất
x
,
y
,
xy
đã cho nh hình
3.4a. Lập hệ toạ độ O (hình 3.4b) theo tỷ lệ nhất định. Trên trục
honh đặt các đoạn OE =
y
v OF =
z
. Từ E dựng đoạn ED =
xy

vuông góc với OE. Vẽ vòng tròn có tâm C l trung điểm của đoạn
yz
EF OC
2
+

=


v bán kính CD (CD = R =
2
yz
2
yz

2


+


), gọi l
vòng tròn Mo ứng suất
(Mohr).

Hình 3.4
Để xác định các ứng suất
u
v
uv
trên mặt xiên có phơng u
lm với trục x một góc cho trớc (hình 3.4a) hãy lấy trên vòng
tròn vừa vẽ một điểm P (thờng gọi l
điểm cực
) có honh độ
y
v

y


y


x

x


xy


yx


xy

uv

x

y

xy


yx


22
tung độ
xy
(hình 3.4b), rồi từ P vẽ tia song song với phơng u cho
cắt vòng tròn tại điểm M. Toạ độ của M chính l các ứng suất

u
v

uv
cần tìm.
2. Xác định ứng suất chính v phơng chính
Các giao điểm A v B của vòng tròn Mo với trục honh O l
những điểm có honh độ lớn nhất v nhỏ nhất, tung độ bằng 0:

+

= +


2
xy xy
2
max xy
min
22
(3.11)
Phơng của các tia PA v PB l các phơng chính cần tìm
của phân tố (hình 3.4a).
Theo hình 3.4b dễ thấy luôn luôn có:

max
+
min
= 2OC =
y

+
z
= hằng (3.12)

Tổng ứng suất pháp trên hai mặt vuông góc với nhau l hằng số
.
Gọi
1
v
2
l góc của phơng chính thứ nhất v phơng
chính thứ hai đối với trục x. Theo hình 3.4b, có:
tg
1
=

=

xy
ymax
FP
FA
; tg
2
=

=

xy
ymin

FP
FB
(3.13)
Trong
trờng hợp kéo (nén)
đúng tâm
ứng suất tiếp lớn nhất:
max min z
1
2
==
(3.14)
đó l hai mặt vuông góc với nhau,
lần lợt lm với trục z một góc 45
o

v 135
o
.
3. Hai trờng hợp đặc biệt
Trạng thái ứng suất phẳng đặc biệt, ví dụ
x
= ,
y
= 0 (hình
3.5).
Trạng thái trợt
thuần tuý: phân tố m
trên các mặt chỉ có
ứng suất tiếp (hình

3.6a).
Lúc ny vòng
tròn Mo có tâm trùng
y




x

H
ình 3.5
H
ình 3.6

xy

23
với gốc toạ độ (hình 3.6b). Các ứng suất chính khác dấu nhau v
có giá trị bằng giá trị của ứng suất tiếp:
1
=
3
=
xy
(3.15)
IV. Liên hệ giữa ứng suất - biến dạng
1. Biến dạng di (định luật Húc tổng quát)
Trớc hết hãy tìm biến dạng di tơng đối
1

theo phơng I
của phân tố.
Biến dạng do
1
sinh ra:
1
11
E

=

Biến dạng do
2
sinh ra:
12
=
2
E



Biến dạng do
3
sinh ra:
13
=
3
E

Biến dạng di (tơng đối) theo
phơng I do các ba ứng suất
1
,
2

v
3
sinh ra:
1
=
11
+


12
+
13
.
Lm tơng tự ta đợc biến dạng
(tơng đối) theo phơng II v
phơng III của phân tố:
()
()
()

= +

= +


= +

1123
2231
3312
1
E
1
E
1
E
hoặc

()
()
()


= +




= +

= +


xxyz
yyzx
zzxy
1
E
1
E
1
E
(3.16)
Các hệ thức bậc nhất (3.16) trên đây giữa biến dạng di v
ứng suất pháp l nội dung của
định
luật Húc tổng quát
đối với vật rắn đn
hồi tuyến tính.
2. Biến dạng góc (Định luật Húc về
trợt)
Xét biến dạng của phân tố. Dới
tác dụng của ứng suất tiếp phân tố bị
biến đổi hình dáng v trở thnh hình

ij


ij

ij

ij

ij

ij
H
ình3.8
Hình 3.
7


24
bình hnh (hình 3-8). Theo định luật Húc, giữa ứng suất tiếp
v góc trợt có liên hệ sau:
ij
= G
ij
( i, j = 1, 2, 3) (3.18)
trong đó G l hệ số tỷ lệ gọi l môđun đn hồi khi trợt [lực/chiều
di
2
], đó l hằng số vật liệu, đợc xác định từ thí nghiệm. Môđun
G liên hệ với E v nh sau:

E
G

2(1 )
=
+
(3.19)
3. Biến dạng thể tích tỷ đối (định luật Húc khối)
Gọi dx, dy v dz l các cạnh của phân tố v V
0
l thể tích
ban đầu của phân tố, ta có: V
0
= dxdydz
Sau khi biến dạng, chiều di các cạnh thay đổi sẽ l (dx +
dx), (dy + dy) v (dz + dz). Thể tích sau khi biến dạng:
V
1
= V
0
+ V = (dx + dx).(dy + dy).(dz + dz)=
= dxdydz
dx d
y
dz
111
dx d
y
dz



+++

= dxdydz
(
)
()
()
xyz
111
+
++

Vì biến dạng l bé nên có thể bỏ qua các đại lợng vô cùng
bé bậc 2 trở lên. Cuối cùng ta đợc: V
1
= V
0
(1 +
x
+
Y
+
z
)
Gọi l biến dạng thể tích tơng đối của phân tố, ta có:

10
0

VV
V

=
=
x
+
Y
+
z

Thay
x
,
Y
v
z
từ (3.16) vo công thức trên ta đợc:
=
x
+
Y
+
z
=
()
xyz
12
E

+ +

Đặt tổng ứng suất pháp l: =
xyz
()

+ +


=

E
12
(3.20)
Công thức trên biểu diễn liên hệ bậc nhất giữa biến dạng thể

25
tích tơng đối v tổng các ứng suất pháp, gọi l
định luật Húc
khối
.
V. Ví dụ áp dụng
Ví dụ 3.1
. ứng suất ton phần trên mặt cắt m-n đi qua một
điểm của một vật thể trong trạng thái ứng suất phẳng P = 3000
N/cm
2
có phơng tạo thnh một góc 60
0

với mặt cắt. Trên mặt
vuông góc với mặt cắt ny chỉ có ứng suất tiếp (hình 3.9).
Tính ứng suất pháp v ứng suất tiếp trên mặt cắt tạo thnh
góc 45
0
với mặt cắt m-n. Tính
ứng suất pháp lớn nhất tại
điểm đó.
Giải
Ta thiết lập hệ trục xy trên
mặt cắt m-n v hệ trục uv
trên mặt cắt nghiêng nh
hình 3.9. Khi đó các thnh
phần ứng suất trên các mặt
của phân tố ở trạng thái ứng
suất phẳng:

= = =
= = =
=
02
x
02
xy
y
p sin 60 3.0,86 2,6kN / cm
p
cos60 5.0,5 1,5kN / cm
0

áp dụng công thức tính ứng suất trên mặt cắt nghiêng với = -
135
0
, ta có:

+
= +
xy xy
2
uxy
cos2 sin 2 2,8kN / cm
22


uv
=

xy
2
sin2 +
xy
cos2 1,3 kN/cm
2

ứng suất pháp lớn nhất tại điểm đó l:
u
v

45
0

p
x
y
60
0

n
m
H
ình 3.9

26

max
=
+

++


2
xy xy
2
xy
22
3,28 kN/cm
2

Ví dụ 3.2

. Tại một điểm trên mặt một vật thể chịu lực ngời ta
đo đợc biến dạng tỷ đối theo các phơng
om, on, ou nh sau:
m
= 2,81.10
-4
;

n
= -2,81.10
-4
;
u
= 1,625.10
-4

Xác định phơng chính v ứng suất
chính tại điểm ấy. Cho biết = 0,3; E =
2.10
4
kN/cm
2
.
Giải
Từ định luật Húc ta rút ra đợc ứng
suất pháp phơng m, n:

()()
()()

= = =
= = =
4
mmn mn
4
4
nnm nm
4
11
0,3 2,81.10
E
2.10
11
0,3 2,81.10
E2.10


m
4,32=
kN/cm
2
;
n
4,32

=
kN/cm
2

Biến dạng theo phơng u:

()
()


= + =


=

uumnu
4
uu
4
1
E
1
= 0,3 4,32 4,32 1,625.10
2.10


m
2,5=
kN/cm
2

ứng suất tiếp
mn
tình từ công thức:

+
= +
mn mn
umn
cos2 sin 2
22


+
=+
00
mn
4,32 4,32 4,32 4,32
2,5 cos 2.45 sin 2.45
22


mn
2,5=
kN/cm
2

Giá trị ứng suất chính tại điểm cho trớc:
()
()
+
= +=

+

2
2
mn
max m n mn
min
2
2
1
4
22
4,32 4,32 1
= 4,32 4,32 4.2,5
22

2
max
2
min
5kN / cm
5kN / cm

=


=



u
n m

O
45
0
Hình 3.10
45
0

27
Ph−¬ng chÝnh:
τ
α=− =
σ−σ +

mn
mn
2
2.2,5 1
tg2
4,32 4,32
3
⇒
0
1
0
2
15
105
⎧
α=
⎪

⎨
α=
⎪
⎩