BÀI TOÁN PHẲNG TRONG TỌA ĐỘ CỰC pot

y
x
z
r
dr
1
o
θ
θ
d
o
y
x
θ
r
θ
θ
σ
σ
θ
θ
d
∂
∂
+
dr
r
r
r
∂
∂

+
σ
σ
θ
θ
τ
τ
θ
θ
d
r
r
∂
∂
+
r
f
dr
r
r
r
∂
∂
+
θ
θ
τ
τ
θ
σ

θ
τ
r
R
θ
τ
r
σ
θ
f
CHƯƠNG 7 : BÀI TOÁN PHẲNG TRONG TỌA ĐỘ CỰC
Khi giải bài toán phẳng lý thuyết đàn hồi, trong một số trường hợp dùng
tọa độ độc cực sẽ tiện lợi hơn tọa độ Descartes, ví dụ khi nghiên cứu trạng thái
ứng suất, biến dạng trong các ống dày, các đĩa quay, thanh cong, tại những
miền cạnh lỗ tròn của tấm…
Trong tọa độ cực, vị trí một điểm được xác định góc cực θ và vectơ bán
kính r.
7.1. CÁC PHƯƠNG TRÌNH CƠ BẢN
1. Các phương trình vi phân cân bằng :
Giả sử có vật thể chịu lực song song với mặt phẳng. Tại điểm A(r,θ,z), ta
cắt ra 1 phân tố giới hạn bằng 6 mặt.
- 2 mặt trụ đồng trục cách nhau một khoảng dr.
- 2 mặt phẳng chứa trục z và tạo với nhau một góc dθ.
- 2 mặt phẳng song song mặt phẳng oxy cách nhau 1 đơn vị
Hình 7.1
+ Ký hiệu: r là trục theo hướng bán kính, θ là trục đi qua điểm đang xét
A(r,θ,z) và vuông góc với r, ứng suất trên các mặt sẽ được ký hiệu như sau:
- Các mặt nhận r làm pháp tuyến:
+ Trên mặt đi qua điểm A(r,θ,z) có các thành phần ứng suất: σ
r

, T
r
θ
.
+ Trên mặt đi qua điểm A(r,θ + dθ,z), khai triển theo Taylor có các thành
phần ứng suấ:
θ
σ
σ
θ
d
r
r
∂
∂
+
,
θ
θ
θ
θ
d
r
T
r
∂
∂
+
- f
r

, f
θ
: Lực thể tích hướng tâm và tiếp tuyến tác dụng lên một đơn vị tiếp
tuyến.
Xét cân bằng của phân tố chịu lực như hình 7.1 :
53
o x
y
A
B
D
C
A1
C1
D1
B1
V
U
0
2
cos.1.)(
2
cos.1
2
sin.1.).(
2
sin.1 ).)((1 0
=+
∂
∂

++
−
∂
∂
+−−+
∂
∂
++−⇔=Σ
drdrf
d
drd
d
dr
d
drd
d
drddrrdr
r
drr
r
r
rr
r
rr
θ
θ
θ
θ
τ
τ

θ
τ
θ
θ
θ
σ
σ
θ
σθ
σ
σθσ
θ
θθ
θ
θθ
Vì biến dạng bé nên
22
sin
θθ
dd
≈

1
2
cos ≈
θ
d

Sau khi bỏ qua các nguyên lượng vô cùng bé và chia cho r.dr.dθ ta được:
0

1
=+
−
+
∂
∂
+
∂
∂
x
r
f
r
r
T
rr
r
θ
θ
θ
σσ
σ
(7.1)
Tương tự chiếu các lực lên phương θ ta được

02
1
=++
∂
∂

+
∂
∂
θ
θ
θ
θ
θ
σ
f
T
r
T
r
r
r
r
(7.2)
+ Định luật đối ứng của ứng suất tiếp : T
r
θ
= T
θ
r
(7.3)
2. Các phương trình hình học :
Chuyển vị của điểm A(r,θ) theo phương r, θ là u,v
Chuyển vị của điểm B(r+dr, θ) theo 2 phương r, θ là :

dr

r
u
u
∂
∂
+
và
dr
r
v
v
∂
∂
+
Chuyển vị của điểm C(r,θ+dθ) theo 2 phương r, θ là :

θ
θ
d
u
u
∂
∂
+
và
θ
θ
d
v
v

∂
∂
+
Biến dạng tương đối theo phương r, θ là ε
r
, ε
θ
Hình 7.2
*Trước tiên chỉ xét biến dạng do u gây ra khi giữ nguyên góc θ.
Sau biến dạng ABCD → A’B’C’D’ :
+ Các biến dạng dài :
54
o
C
A
B
D
x
y
A
'
B
'
D
'
C
'
E
'
U

dr
r
u
u
∂
∂
+
θ
θ
d
u
u
∂
∂
+
1
γ
σr =
r
u
dr
udr
r
u
u
AB
ABBA
∂
∂
=

−
∂
∂
+
=
−
)(
''
;
2. Các phương trình hình học:
Chuyển vị của điểm A(r, θ) theo phương r, θ là u, v.
Chuyển vị của điểm B(r+dr, θ) theo 2 phương là:

dr
r
u
u
∂
∂
+
và
dr
r
v
u
∂
∂
+
Chuyển vị của điểm C(r, θ+dθ) theo 2 phương là:
θ

θ
d
u
u
∂
∂
+
và
dv
v
v
θ
∂
∂
+
Biến dạng dài tương đối theo phương r, θ là: ε
r
, ε
θ
* Trước tiên chỉ xét biến dạng do u gây ra khi giữ nguyên góc θ. Sau biến
dạng ABCD trở thành A’B’C’D’:
Hình 7.3
+Các biến dạng dài tương đối:
r
u
dr
drdru)dr
r
u
u(

AB
AB'B'A
r
∂
∂
=
−+−
∂
∂
+
=
−
=ε
;
r
u
rd
rdd)ur(
AB
AC'C'A
=
θ
θ−θ+
=
−
=ε
θ
;
+Biến dạng góc: (a)
θ∂

∂
=
θ
−θ
θ∂
∂
+
==γ
u
r
1
rd
u)d
u
u(
EAC
'''
1

* Xét biến dạng do chuyển vị v gây ra khi giữ nguyên dr. Sau biến dạng
ABCD trở thành A’’B’’C’’D’’:
55
D
C
''
A
C
o
D
''

B
''
B
A
''
x
y
M
N
v
dr
r
v
v
∂
∂
+
2
γ
(Hình 5.4)
+ Biến dạng dài:
θθ
θθθ
θ
ε
θ
∂
∂
=
−+−

∂
∂
+
=
−
=
u
rrd
ddvd
v
v
AB
ACCA 1
)(
''''
=
+ Biến dạng góc:
γ
2
= (B’’A’’M – NA’’M) (b)
=
r
v
r
v
r
v
dr
vdr
r

v
v
−
∂
∂
=−
−
∂
∂
+ )(

Có số hạng (NA”M) =
r
v
trong γ
2
là do sự quay toàn phân tố ABCD đối
với điểm 0.
Cộng (a) và (b) ta có được các quan hệ giữa biến dạng và chuyển vị trong
tọa độ cực:
r
v
r
vu
r
1
v
r
1
r

u
r
u
21
r
−
∂
∂
+
θ∂
∂
=γ+γ
θ∂
∂
+=ε
∂
∂
=ε
θ
(7.4)
3. Các phương trình vật lý:
Trong tọa độ cực, có thể có được các phương trình của định luật Hooke
trong tọa độ Descartes bằng cách thay x, y bằng r, θ:
a. Biểu thức biến dạng qua ứng xuất:
ε
r
=
E
1
(σ

r
– μσ
θ
)
ε
θ
=
E
1
(σ
θ
– μσ
r
) (7.5a)
γ
rθ
=
G
1
T
rθ
=
E
)1(2
µ
+
T
rθ
56
b. Biểu thức ứng suất qua biến dạng:

σ
r
=
2
1
µ
−
E
(ε
r
– με
θ
)
σ
θ
=
2
1
µ
−
E
(ε
θ
– με
r
) (7.5b)
T
rθ
= G.γ
rθ

Ở bài toán biến dạng phẳng thay E, μ bằng E
1
, μ
1
theo cách đặt:
2
1
1
µ
−
=
E
E
;
µ
µ
µ
−
=
1
1
$7.2. GIẢI BÀI TOÁN PHẲNG THEO ỨNG SUẤT:
- Phương trình LeVy
∇
2
(σ
x
+ σ
y
) = 0 là phương trình giải bài toán phằng

theo ứng suất trong hệ tọa độ Descartes.
Ta hãy biểu diễn phương trình đó trong hệ tọa độ cực:
∇
2
(σ
x
+ σ
y
) = 0
σ
x
+ σ
y
= σ
r
+ σ
θ
= S
⇒
∇
2
(σ
r
+ σ
θ
) = 0
* Liên hệ giữa các thành phần tọa độ Descartes và tọa độ cực:
r
2
= x

2
+ y
2
(a)
tgθ =
x
y
(b)
(a)
⇒

x
r
∂
∂
)(
2
= 2r
x
r
∂
∂
= 2x
⇒

x
r
∂
∂
=

r
x
= cosθ
y
r
∂
∂ )(
2
= 2r
y
r
∂
∂
= 2y
⇒

y
r
∂
∂
=
r
y
= sinθ
(b)
⇒

2
)(
x

y
x
x
y
−
=
∂
∂
=
θ
2
cos
1
.
x∂
∂
θ

→
x∂
∂
θ
= -
2
x
y
( )
r
x
2

= -
r
1
.
r
y
= -
r
θ
sin
(c)
y
x
y
∂
∂ )(
=
x
1
=
θ
2
cos
1
.
y∂
∂
θ

⇒

y∂
∂
θ
=
x
1
( )
r
x
2
=
r
1
.
r
x
=
r
θ
cos
* Như vậy, đối với hàm f(x,y) bất kỳ, trong tọa độ cực:
x
f
∂
∂
=
r
f
∂

∂
.
x
r
∂
∂
+
θ
∂
∂f
.
r∂
∂
θ
=
r
f
∂
∂
.cosθ -
θ
∂
∂f
.
r
θ
sin
y
f
∂

∂
=
r
f
∂
∂
.
y
r
∂
∂
+
θ
∂
∂f
.
y∂
∂
θ
=
r
f
∂
∂
.sinθ -
θ
∂
∂f
.
r

θ
cos
⇒
2
2
x
f
∂
∂
=
r∂
∂






∂
∂
−
∂
∂
r
f
r
f
θ
θ
θ

sin
.cos.
cosθ -
θ
∂
∂






∂
∂
−
∂
∂
r
f
r
f
θ
θ
θ
sin
.cos.
.
r
θ
sin

57
2
2
y
f
∂
∂
=
r∂
∂






∂
∂
−
∂
∂
r
f
r
f
θ
θ
θ
cos
.sin.

sinθ -
θ
∂
∂






∂
∂
−
∂
∂
r
f
r
f
θ
θ
θ
cos
.sin.
.
r
θ
cos
Sau biến đổi ta nhận được:
2

2
x
f
∂
∂
=
2
2
r
f
∂
∂
cos
2
θ -
θ
∂∂
∂
r
f
2
.
r
θ
2sin
+
θ
∂
∂f
2

2sin
r
θ
+
r
f
∂
∂
r
θ
2
sin
+
2
2
θ
∂
∂ f
2
2
sin
r
θ
2
2
y
f
∂
∂
=

2
2
r
f
∂
∂
sin
2
θ -
θ
∂∂
∂
r
f
2
.
r
θ
2sin
+
θ
∂
∂f
2
2sin
r
θ
+
r
f

∂
∂
r
θ
2
cos
+
2
2
θ
∂
∂ f
2
2
cos
r
θ
Lấy tổng hai biể thức ta được:
∇
2
f =
2
2
x
f
∂
∂
+
2
2

y
f
∂
∂
=
2
2
r
f
∂
∂
+
r
1
r
f
∂
∂
+
2
1
r
2
2
θ
∂
∂ f
⇒
∇
2

=
2
2
r∂
∂
+
r
1
r∂
∂
+
r
1
2
2
θ
∂
∂
(7.7)
Thay (7.7) vào (7.6)
0)(
11
2
2
2
2
=+









∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
θ
σσ
θ
r
rrr
r
(7.8)
Cũng tương tự như trong hệ tọa độ Descartes trong trường hợp lực thể
tích bằng 0, lấy các ứng suất thỏa mãn phương trình cân bằng (7.1), (7.2):
r
r
1
=
σ
2
2
2

1
θ
ϕϕ
∂
∂
+
∂
∂
r
r
2
2
γ
ϕ
σ
θ
∂
∂
=
(7.9)
2
1
r
T
r
=
θ
θ
ϕϕ
∂∂

∂
−
∂
∂
rrr
2
1

Trong đó: φ(r, θ): Là hàm ứng suất trong tọa độ cực
Thay (7.9) vào (7.8) ta có:








∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
2
2
22
2

11
θ
r
rr
r








∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
2
2
22
2
11
θ
ϕϕϕ
r
rr

r
= 0
⇔
∇
2
(
∇
2
φ) = 0 (7.10)
(7.10): Phương trình trùng điều hòa của bài toán phẳng trong tọa độ cực.
$7.3. TÍNH TÁC DỤNG CỦA MỘT LỰC TẬP TRUNG VÀO BIÊN CỦA
MỘT TẤM BÁN VÔ HẠN ĐÀN HỒI (Bài toán PhơLamăng)
Giả sử có một môi trường đàn hồi được giới hạn bằng một mặt phẳng gọi
là không gian bán vô hạn đàn hồi. Trên mặt phẳng chịu tác dụng của tải trọng
phân bố đều theo một đường thẳng. Để giải bài toán ta cắt ra một phân tố giới
hạn bởi hai mặt phẳng song song và vuông góc với đường tải trọng và cách
nhau một đơn vị. (H7.4)
58
1
1
Hình 7.4
Như vậy ta đã đưa bài toán không gian thành bài toán phẳng.
Trong trường hợp không gian bán vô hạn giới hạn bởi 2 mặt phẳng song
song gần nhau thì được xem là bản vô hạn đàn hồi.
Nếu bản mỏng ta coi bài toán này như bài toán trạng thái ứng suất phẳng.
Xét bản mỏng vô hạn đàn hồi chịu lực tập trung tác dụng ở biên. Do tính
đối xứng qua trục x nên hàm ứng suất φ(r, θ) là 1 hàm chẵn đối với θ nên σ
r
, σ
θ

là hàm chẵn đối với θ.
Chọn φ(r, θ) = C.r.θsinθ (7.11)
C là hằng số phải xác định sao cho hàm φ(r, θ) thỏa mãn
phương trình trùng điều hòa và điều kiện biên:
Theo (7.9) ta có:
r
r
1
=
σ
θ
θ
ϕϕ
cos2
1
2
2
2
r
C
r
r
=
∂
∂
+
∂
∂
0
2

2
=
∂
∂
=
r
ϕ
σ
θ
(7.12)
Trθ = 0
Qua (7.12) cho thấy trên mặt phẳng vuông góc với bán kính r chỉ có ứng suất
pháp σr.
σθ = Trθ = 0. Mặt vuông góc với này cũng không có ứng suất.
Xác định hằng số C bằng cách tính tổng hình chiếu lên trục các lực pháp
tuyến tác dụng lên nửa vòng tròn tâm 0.
Σx = 0
0cos).(
2
2
=+⇔
∫
−
π
π
θσ
rdFP
với dF = r.dθ.1 (1 là bề
dày của tấm)
∫

−
−=⇔
2
2
cos
π
π
θθσ
rdrP
59
x
y
r
d
P
o
P
P
∫
−
−=
2
2
.cos cos
2
π
π
θθθ
dr
r

C
∫∫
−−
+
−=−=
2
2
2
2
2
2
2cos1
2cos2
π
π
π
π
θ
θ
θ
dCdC

2
2C
−=
πθθ
π
π
C−=







+
−
2
2
2sin
2
1
π
P
C −=⇒
(7.13)
Thay (7.13) vào (7.12) ta có:
θ
π
σ
cos
2
r
P
r
−=
σ
θ
= 0 (7.14)
T

rθ
= 0
Từ (7.14) cho thấy:
Tại điểm đặt lực P: r = 0 thì σ
r
= ∞. Thực tế khi chịu lực tập trung ở
điểm đặt lực có ứng suất cục bộ rất lớn làm cho khu vực tại những điểm xung
quanh điểm đặt lực bị chảy dẻo.
Ở đây ta không xét khu vực đó mà chỉ áp dụng nghiệm đã rút ra ở ngoài
khu vực nói trên.
+ Tính chất nghiệm của σ
r
:
d.cosθ = r
rd
θ
cos1
=⇔
(a)
Từ (7.14)
⇒
d
P
r
P
r
π
θ
π
σ

2
cos
2
−=−=

⇒
d
P
r
π
σ
2
−=
(7.15)
Công thức (7.15) cho thấy ứng suất σ
r
của tất cả các điểm cùng một vòng
tròn đều như nhau. Vòng tròn đó gọi là đường đẳng suất.
Hình 7.15 Ví dụ: cấu kiện chịu nén đúng tâm
60
Tính bản trong hệ tọa độ Descartes:
Ta có:
f
x
*

= σ
r
.cos(n, x) = σ
r

.l
f
y
*
= σ
r
.m
Mà:
f
x
*
= σ
x
.l + T
yx
.m = σ
x
.l Nhân 2 vế của phương trình cho l
f
y
*

= T
yx
.l + σ
y
.m = σ
r
.m Nhân 2 vế của phương trình cho m
⇒

σ
x
.l
2
– σ
y
.m
2
= σ
r
.l
2
– σ
r
.m
2
σ
x
+ σ
y
= σ
r
+ σ
θ
Ta có:
l
2
+ m
2
= 1

σ
θ
= 0
⇒
σ
y
= σ
r
- σ
x.
⇒
σ
x
.l
2
– (σ
r
- σ
x
)m
2
= σ
r
.l
2
– σ
r
.m
2
⇔

σ
x
.l
2
– σ
r.
m
2
– σ
x.
m
2
= σ
r
.l
2
– σ
r
.m
2
⇔
σ
x
(l
2
+ m
2
) = σ
r
.l

2
⇒
σ
x
= σ
r
.l
2
σ
y
= σ
r
.(1 - l
2
) = σ
r
m
2
T
xy
= σ
r
.l.m.
Mà l = cosθ =
r
x
=
22
yx
x

+
m = cosβ = sinθ =
22
yx
y
+
⇒
σ
x
= σ
r
cos
2
θ = σ
r
.
22
2
yx
x
+
σ
y
= σ
r
sin
2
θ = σ
r
.

22
2
yx
y
+
(7.16)
T
xy
= σ
r
sinθcosθ = σ
r
.
22
yx
xy
+
Thay σ
r
= -
r
P
π
2
cosθ từ (7.14) vào (7.16) ta có:
61
θ
yx
τ
x

σ
y
σ
xy
τ
r
σ
β
y
x
n
f*y
f*x
y
x
x
y
r
P
o
r
σ
r
σ
r
σ
x
σ
r
σ

xy
τ
yx
τ
θ
x
o
P
y
x
max
σ
1
θ
2
θ
P1
y
P2 Pn
y
σ
xy
τ
yx
τ
1
y
n
θ
2

y
3
y
x
σ
1
y
σ
x
= -
r
P
π
2
cos
3
θ = -
π
P2
.
( )
2
22
3
yx
x
+
σ
y
= -

r
P
π
2
sin
2
θcosθ = -
π
P2
.
( )
2
22
2
yx
xy
+
(7.17)
T
xy
= -
r
P
π
2
sinθcos
2
θ = -
π
P2

.
( )
2
22
2
yx
yx
+
Tính chất nghiệm của (7.17):



=
=
xx
y 0
⇒
x
P
x
π
σ
2
max
−=
* Trong trường hợp có nhiều lực tập trung như hình vẽ, để tính ứng suất
tại 1 điểm ta có thể áp dụng nguyên lý cộng tác dụng để tính.
π
σ
2

−=
x
∑∑
==
+
−=
n
i
ii
i
n
i
i
i
yx
x
Pi
r
Pi
1
2
22
3
1
3
)(
2
cos
π
θ

π
σ
2
−=
y
∑∑
==
+
−=
n
i
ii
ii
n
i
i
ii
yx
yx
Pi
r
Pi
1
2
22
2
1
2
)(

2
cossin
π
θθ
(7.18)
π
2
−=
xy
T
∑
=
n
i
i
ii
r
Pi
1
2
cossin
θθ
π
2
−=
ac
yx
yx
Pi
n

i
ii
ii
∑
=
+
1
2
22
2
)(

62