Một số dạng toán thường kèm theo bài toán rút gọn

Một số dạng toán thường kèm theo bài toán rút gọn
Dạng I . Tính giá trị biểu thức tại giá trị cho trước của biến:
Phương pháp:
- Để tính giá trị của biểu thức P(x), biết x=a, ta cần:
+Rút gọn biểu thức P(x).
+ Thay x=a vào biểu thức vừa rút gọn*
Chú ý: Nếu x = b không thuộc ĐKXĐ của biểu thức thì KL: Tại x = b biểu thức P(x)
không xác định.
Dạng II . Tìm giá trị của biến (ẩn) khi biết giá trị của biểu thức:
Phương pháp:
Để tìm giá trị của x khi biết giá trị của P(x) =a , ta cần :
+ Rút gọn biểu thức P(x)
+ Giải phương trình P(x) = a.
+ Đối chiếu kết quả tìm được của ẩn với ĐKXĐ của biểu thức rồi KL.
Bài 6. Cho biểu thức:








−−+
−
−









+
+=
1
2
1
1
:
1
1
xxxx
x
x
x
x
C
a) Rút gọn biểu thức C. b)Tính GT của C khi x=
324 +
c) Tìm giá trị của x để C > 1.
ĐS: ĐKXĐ:
0, 1x x≥ ≠
, a)
1 6 3 3
; ) ; ) 1
1 3
x x
C b C c x
x

+ + +
= = >
−
Dạng III . Tìm giá trị của biến x để P(x) nhận giá trị nguyên.
Phương pháp:
Trước hết hãy rút gọn giá trị của biểu thức, sau đó đưa biểu thức rút gọn về
dạng : R(x)= f(x)+
( )
a
g x
(với f(x),g(x) là đa thức a là số nguyên) sau đó lập
luận:
( ) ( ) g(x) R x Z a g x hay∈ ⇔ M
là ước của a từ đó tìm x .Cuối cùng đối chiếu
các giá trị tìm được của x với ĐKXĐ rồi kết luận.
2 4
1
2 2
x
E
x x
−
= = −
+ +

4 2
1
2 2
x
B

x x
−
= = −
− −

5 3 4
3
3 3
x
A
x x
−
= = − −
− −
Bài 13. Cho biểu thức:
2
2
:
11
−
+








+

+
−
−
−
=
a
a
aa
aa
aa
aa
C
a) Rút gọn biểu thức C.
b) Tìm giá trị nguyên của x để C nhận giá trị nguyên.
ĐS: ĐKXĐ:
0, 1, 2a a a> ≠ ≠
, a)
2 4 8
2
2 2
a
C
a a
−
= = −
+ +
, b) a=2 (loại), a = 6 (t/m).
Bài 14. Cho biểu thức:
11
1

1
1
3
−
−
+
+−
+
−−
=
x
xx
xxxx
D
a) Rút gọn biểu thức D.
b) Tìm giá trị nguyên của x để D nhận giá trị nguyên.
ĐS: ĐKXĐ:
1x >
, a)
( )
2
1 1D x= − +
; b) x=a
2
+ 1 ( với a nguyên).
Dạng IV. Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của biểu thức.
Bài 16. Cho biểu thức:
3
1 2
x

P
x
−
=
+ −
a. Rút gọn P.
b. Tính giá trị của P khi
x 4(2 3)= −
.
c. Tìm giá trị nhỏ nhất của P.
ĐS: ĐKXĐ:
1, 3x x≥ − ≠
, a)
1 2A x= + +
, c)
2, min 2 1A A x≥ = ⇔ = −
Bài 17. Cho biểu thức:
1
2 2
1
x x
A x
x x
+
= + +
− +
.
a. Rút gọn A.
b. Tìm x để A = 2.
c. Tìm giá trị nhỏ nhất của A.

ĐS: ĐKXĐ:
0x >
, a)
3 3A x= +
; c)
3,min 3 0A A x≥ = ⇔ =
Bài 18. Cho biểu thức:
( )
2
1
2 2
.
1 2
2 1
x
x x
A
x
x x
 
−
− +
= −
 ÷
 ÷
−
+ +
 
a. Rút gọn A.
b. Chứng minh rằng nếu 0 < x < 1 thì A > 0.

c. Tìm giá trị lớn nhất của A.
ĐS: ĐKXĐ:
0, 1x x≥ ≠
, a)
( 2)
2
x x
A
− + −
=
, c)
1 9
( )
9
4 4
2 8
x x
A
− + + +
= ≤
Bài 19. Cho biểu thức:
x1
1
x1
1
x1
1
:
x1
1

x1
1
A
−
+






+
−
−






−
+
−
=
a. Rút gọn A.
b. Với giá trị nào của x thì A nhỏ nhất.
ĐS: ĐKXĐ:
0, 1x x> ≠
, a)
( )

x1x
1
−
; b) A nhỏ nhất khi
( )
x1x −
lớn nhất.
Bài 20. Cho biểu thức:
3
32
1
23
32
1115
+
+
−
−
−
+
−+
−
=
x
x
x
x
xx
x
M

a, Rút gọn.
b, Tìm giá trị lớn nhất của M và giá trị tương ứng của x.
ĐS: ĐKXĐ:
0, 1x x≥ ≠
, a)
2 5
3
x
M
x
−
=
+
2 5 2 5( 3) 15 17 5( 3) 17 17 2
5 5
3 3
3 3 3 3
x x x
M
x x x x
− − + + − +
= = = = − ≤ − =
+ + + +
maxM =
2
3
⇔
x= 0
Dạng V. Chứng minh bất đẳng thức.
1.

2 1P x x= − −
với x > 1. Chứng minh P
≥
0
2.
1
1
M
x
=
−
với -1 < x < 1 ; x
≠
0. Chứng minh
1
2
M >
.
3.
1
2
x
M
x
+
=
với x < 0. So sánh M với
1
2