detai ptdttnt

Một số PP Phân tích đa thức thành nhân tử Vũ Hùng Tiến
A . Phần mở đầu
I . Lý do chọn đề tài:
Trong lịch sử phát triển của các bộ môn khoa học thì toán học là một trong
những bộ môn khoa học đợc ra đời từ rất sớm. Xuất phát từ những đòi hỏi của
thực tế cuộc sống đã làm nẩy sinh những kiến thức toán học. Toán học đã có
những đóng góp không nhỏ trong việc thúc đẩy sự phát triển của các bộ môn
khoa học tự nhiện và khoa học xã hội. Nh vậy trong thực tế toán học là cơ sở
của nhiều bộ môn khoa học. Chính vì vậy việc nâng cao kiến thức toán cho
học sinh ở trờng phổ thông là rất cần thiết và việc giúp học sinh tự nâng cao
kiến thức toán là việc cần làm đói với ngời giáo viên.
Trong chơng trình toán nói chung và phân môn đại só nói riêng có rất
nhiều dạng bài, trong đó phân tích đa thức thành nhân tử là một dạng bài tập
không thể thiếu đợc đối với học sinh trong việc giải các bài toán đại số.
Theo phân phối chơng trình toán Trung học cơ sở thì lớp tám học sinh
mới đợc học phân tích đa thức thành nhân tử, nhng trong thực tế việc phân tích
đa thức thành nhân tử đã đợc học sinh làm quen từ tiểu học vơí mức độ và yêu
cầu khác nhau để phù hợp với t duy lứa tuổi học sinh.
ở Tiểu học, học sinh đợc thực hiện bài toán này dới dạng tính nhanh giá
trị biểu thức. Chẳng hạn:
Tính nhanh: 15 x 17 +15 x 23 +15 x 60 .
Lên lớp 7 học sinh đợc giải bài tập dới dạng: Tính giá trị biểu thức, viết
tổng thành tích, rút gọn kiến thức này đợc nâng cao ở lớp 8, lớp 9 và phổ
thông Trung học nhằm đáp ứng yêu cầu thực hiện các bài toán: Rút gọn, giải
phơng trình, chứng minh chia hết .
Trong chơng trình Trung học cơ sở, học sinh chỉ đợc học một số phơng
pháp phân tích đa thức đơn giản, khi gặp những đa thức có dạng phức tạp, độc
đáo đòi hỏi vận dụng kiến thức một cách linh hoạt, sáng tạo thì học sinh ít đợc
biết đến, vì vậy khi giải bài tập học sinh còn lúng túng.
II. Mục đích nghiên cứu:
Để góp phần giải quyết những vấn đề khó khăn nêu trên đối với giáo viên

và học sinh tôi mạnh dạn su tầm và tuyển chọn một số bài tập phân tích đa
thức thành nhân tử và các phơng pháp giải ứng với từng dạng bài để viết Tiểu
luân nghiệp vụ :
Một số phơng pháp phân tích đa thức thành nhân tử giúp cho việc dạy
và học đạt kết quả cao.
-1-
Một số PP Phân tích đa thức thành nhân tử Vũ Hùng Tiến
Đề tài này đợc hoàn thành nhờ sự hớng dẫn , giúp đỡ tận tình của tiến sĩ
khoa học Nguyn Vn Tro - Giảng viên trờng đại học s phạm Hà Nội.
III. Nhiệm vụ của đề tài:
- Phải đa ra đợc các phơng pháp phân tích đa thức thành nhân tử, các ph-
ơng pháp suy luận trong quá trình lựa chọn phơng pháp phân tích.
- Với một bài tập có nhiều cách giải cần nêu đợc cách chọn phơng pháp
giải thích hợp, thờng sử dụng
- Bổ xung thêm một số kiến thức cơ bản, cần thiết trong quá trình sử
dụng các phơng pháp phân tích đa thức thành nhân tử.
- Chọn lọc đợc những bài tập tiêu biểu, tổng hợp nhằm rèn luyện kỹ năng
t duy lô gích cho học sinh.
VI. Phạm vi và đối tợng nghiên cứu :
Các phơng pháp phân tích đa thức thành nhân tử.
Nội dung đề tài:
Chơng I : Lý luận chung.
Chơng II : Một số phơng pháp phân tích đa thức thành nhân tử.
Chơng III : Bài tập vận dụng.
Chơng IV :Thực nghiệm s phạm.
V. Phơng pháp nghiên cứu:
-Tìm hiểu qua các tài liệu, các sách tham khảo.
- Trao đổi với đồng nghiệp về nội dung và phơng pháp giảng dạy.
- Nghiên cứu nội dung giảng dạy tại trờng Trung học cơ sở và nội dung
chơng trình cho học sinh chuyên toán.

- Dự giờ, thăm lớp tìm hiểu tình hình học tập của học sinh khi giải bài tập
phân tích đa thức.
- Qua thực tế giảng dạy tại trờng Trung học cơ sở và công tác bồi dỡng
học sinh giỏi.
- Thực nghiệm đánh giá kết quả học tập của học sinh thông qua xử lý số
liệu.
Dự báo kết quả:
Theo tôi nếu các giáo viên đều đầu t nghiên cứu giảng dạy theo hớng tôi
trình bày trong đề tài thì việc dạy và học sẽ đạt kết quả cao hơn.
Cụ thể là:
Nếu giáo viên cứ giảng dạy theo phơng pháp trình bày trong sách giáo
khoa, không phân loại hớng dẫn từng dạng bài thì học sinh chỉ thực hiện đợc
đối với những bài tập đơn giản hoặc vận dụng máy móc, mà cha có phơng
pháp suy luận tìm hớng giải, không phát huy đợc tính chủ động của các em,
kết quả chỉ thu đợc khoảng 50%-55% học sinh nắm đợc bài.
-2-
Một số PP Phân tích đa thức thành nhân tử Vũ Hùng Tiến
Còn nếu chúng ta giảng dạy và hớng dẫn theo cách trình bày trong đề tài
thì kết quả sẽ thu đợc từ 70%- 80% học sinh nắm đợc bài và có hớng giải bài
tập
Tuy nhiên với khả năng và trình độ của bản thân tôi còn hạn chế nên đề tài
khó tránh khỏi những thiếu sót. Rất mong đợc các thầy giáo ,cô giáo và các
bạn đồng nghiệp tham gia đóng góp ý kiến để đề tài đợc hoàn thiện hơn .
Chơng I - Lý luận chung
1.1.Định nghĩa : Phân tích đa thức thành nhân tử (hay thừa số )là biến đổi đa
thức đó thành tích của những đơn thức và đa thức.
Trong chơng trình toán trung học cơ sở chỉ có 6 tiết học phân tích đa thức
thành nhân tử ,nhng trong quá trình giải bài tập toán phân tích đa thức thành
nhân tử nhiều khi là việc làm rất cần thiết .
Chẳng hạn, để giải phơng trình : 2 x- x = 0

Ta có thể viết : 2x- x = x ( 2x +1 )
Do đó x( 2x +1)= 0
Vì tích bằng 0 khi và chỉ khi một trong các nhân tử bằng 0 nên ta
có :
x =0 hoặc 2x -1 = 0 .Suy ra : x = 0 hoặc x =1/2
Hoặc khi tính giá trị biểu thức :
Với x =-3 ,y =1/2
Để tính giá trị biểu thức cho nhanh , ta cần rút gọn biểu thức . Và để rút
gọn biểu thức cần phân tích tử và mẫu thành nhân tử .
Ta có : x
2
y(y-x )-xy
2
(x- y) = x
2
y(y- x )+ xy
2
( y-x )
= xy (y -x) (x+y )
3y
2
-3x
2
= 3 (y
2
-x
2

= 3(x+y) (y- x )
Do đó :

Khi đó việc tính giá trị biểu thức trở nên rất đơn giản .
Với x= -3 ,y=1/2 ta có :
-3-
( ) ( )
22
22
33 xy
yxxyxyyx
A


=
( ) ( )
( ) ( )
( )
3
xy y x y x
A
x y y x
+
=
+
2
1
3
2
1
)3(
3

=

==
xy
A
Một số PP Phân tích đa thức thành nhân tử Vũ Hùng Tiến
1.2Một số sai lầm cơ bản của học sinh khi phân tích đa thức thành nhân
tử và biện pháp khắc phục :
1.2.1. Học sinh cha nắm vững dạng bài dẫn đến việc lựa chọn phơng pháp
phân tích không thích hợp ,từ đó dẫn đến những hớng phân tích sa đà
không đi đến kêt quả .

*Ví dụ 1 : Phân tích đa thức A = x
2
- y
2
+1 - 2x thành nhân tử .
Học sinh nhận xét : x
2
và 2x có nhân tử chung là x và 1-y
2
là hằng đẳng
thức hiệu 2 bình phơng có thể phân tích đợc nên thực hiện nh sau:
A = x
2
- y
2
+1 - 2x = (x
2
- 2x) + ( 1- y

2
) = x (x - 2) +(1- y) (1+ y).
Nh vậy không thể phân tích đợc nữa.

*Ví dụ 2 : Phân tích đa thức B = a
4
+b
4
+ c
4
- 2a
2
b
2
- 2a
2
c
2
- 2b
2
c
2
thành
nhân tử.
Học sinh nhận xét: Đa thức có 6 hạng tử đan dấu nhau nếu nhóm thành 3
nhóm đều có chứa nhân tử chung nên thực hiện nh sau:
B = (a
4
- 2a
2

b
2
) + (b
4
- 2b
2
c
2
) + (c
4
- 2a
2
c
2
)
= a
2
(a
2
- 2b
2
) + b
2
(b
2
- 2c
2
) + c
2
(c

2
- 2a
2
)
Đến đây đa thức không phân tích tiếp đợc thành tích. Nếu học sinh chú ý
nhận xét thấy đa thức có thể thêm bớt đa về dạng hằng đẳng thức thì có thể
phân tích đợc dễ dàng.
B = a
4
+b
4
+c
4
-2a
2
b
2
-2a
2
c
2
+2b
2
c
2
-4b
2
c
2
= (a

2
-b
2
-c
2
)
2
- 4b
2
c
2
.
áp dụng hằng đẳng x
2
-y
2
= (x+y) (x-y) ta có
B = (a
2
-b
2
-c
2
-2bc) ( a
2
-b
2
-c
2
+2bc)

= [a
2
-(b+c)
2
] [a
2
-(b-c)
2
]
= (a-b-c) (a+b+c) (a-b+c) (a+b-c).
Để khắc phục những sai lầm này của học sinh, giáo viên phải chọn phơng
pháp phân tích thích hợp với từng dạng bài và trong quá trình giải, yêu cầu
phải cẩn thận, chính xác.
1.2.2 Một số đa thức có dạng phức tạp học sinh cha phân tích đợc triệt để.
*Ví dụ: Phân tích đa thức C = x
6
- x
4
+ 2x
3
+ 2x
2
thành nhân tử.
Học sinh trình bày lời giải:
C = x
2
(x
4
- x
2

+ 2x + 2)
= x
2
[(x
4
- x
2
) + (2x + 2)]
= x
2
[x
2
(x
2
- 1) +2 (x + 1)]
= x
2
[x
2
(x - 1) (x +1) + 2(x +1)]
= x
2
(x + 1) [x
2
(x - 1) + 2
= x
2
(x + 1) (x
3
- x

2
+ 2)
-4-
Một số PP Phân tích đa thức thành nhân tử Vũ Hùng Tiến
Đa thức C đã đợc phân tích thành nhân tử nhng cha triệt để vì đa thức x
3
-
x
2
+2 có thể phân tích tiếp. Bằng cách tách hạng tử ta có:
x
3
- x
2
+2 = (x
3
+1) - (x
2
-1)
= (x+1) (x
2
- x + 1) - (x +1) (x - 1)
= (x+1) (x
2
- x + 1- x + 1)
= (x+1) (x
2
- 2x + 2)
Vậy C =x
2

(x +1)
2
(x
2
- 2x + 2) là kết quả phân tích triệt để. Vì đa thức
bậc hai:
x
2
- 2x + 2 không có nghiệm.
Để khắc phục sai lầm đó của học sinh, giáo viên cần cung cấp cho học
sinh kiến thức:
* Điều kiện đa thức bất khả quy :
- Đa thức a x+ b (a 0, a,b Z ) bất khả quy khi (a,b =1)
Ví dụ : Đa thức 2x +3 là bất khả quy .
- Đa thức bậc hai a x
2
+bx +c (a 0 ,a ,b ,c Q ) bất khả quy khi b
2
- 4ac < 0.
Ví dụ : đa thức x
2
-3x -1 là đa thức bất khả quy .
- Đa thức bậc cao :
f (x) =a
0
+ a
1
x +a
2
x

2
+ + a
n
x
n
a
i
Z ,a
n
0
là bất khả quy nếu có một số nguyên tố P thoả mãn các điều kiện sau :
1. P không phải là ớc của a
n
2. p là ớc của a
i
; i =0,1,2 ,(n-1)
3. P
2
không là ớc của a
0
(Tiêu chuẩn Aidenxtaine)
*Ví dụ :
f(x) =2x
3
-3x
2
+9x -3 là đa thức bất khả quy .
Vì số nguyên tố P =3 thoả mãn các điều kiện trên
-5-
Một số PP Phân tích đa thức thành nhân tử Vũ Hùng Tiến

Chơng II: một số phơng pháp phân tích đa thức
thành nhân tử
Đ1. Phân tích đa thức thành nhân tử
bằng phơng pháp đặt nhân tử chung
1.1. Nội dung: Nhân tử chung (Nếu có) của một đa thức gồm:
- Hệ số là ớc chung lớn nhất của các hệ số trong mọi hạng tử.
- Các luỹ thừa bằng chữ có mặt trong mọi hạng tử, với số mũ nhỏ nhất
của nó.
1.2. Các ví dụ:
* Ví dụ 1: Phân tích đa thức thành nhân tử
a/ 12x
2
y- 18xy
2
- 30y
3
b/ -17x
3
y- 34x
2
y
2
+ 51xy
3
c/ 16x
2
(x-y)- 10y(y-x)
a/ HD: Cả 3 hạng tử đều chứa y
- UCLN của các hệ số UCLN (12; 18; 30)= 6
- Số mũ nhỏ nhất của y trong các hạng tử là 1

Vậy nhân tử chung là 6y
Giải: 12x
2
y- 18xy
2
- 30y
3
= 6y(2x
2
)- 6y(3xy)- 6y(5y
2
)
= 6y(2x
2
-3xy-5y
2
)
b/ HD. Cả 3 hạng tử đều chứa x và y
- UCLN (17;34;51) = 17
- Số mũ nhỏ nhất của x là 1
Số mũ nhỏ nhất của y là 1
Vậy nhân tử chung là 17 xy
Giải: -17x
3
y- 34x
2
y
2
+51xy
3

= - 17xy(x
2
)- 17xy. (2xy) + 17xy(3y
2
)
= 17xy (-x
2
- 2xy+ 3y
2
)
= 17xy (3y
2
- x
2
+ 2xy)
c/HD. Vì hạng tử thứ nhất chứa nhân tử (x-y) còn hạng tử thứ hai lại chứa
nhân tử (y-x) vậy cần phải đổi dấu để xuất hiện nhân tử chung.
Giải: 16x
2
(x-y)- 10y(y-x)
= 16x
2
(x-y)+ 10y(x-y)
= 2(x-y) (8x
2
+ 5y)
*Ví dụ 2: Giải phơng trình
2x(x-3) + 5x(x-3)=0
Hớng dẫn: Dùng qui tắc nhân đơn thức với đa thức để khai triển vế trái
ta có:

-6-
Một số PP Phân tích đa thức thành nhân tử Vũ Hùng Tiến
VT: 2x (x-3)+ 5x(x-3) = 2x
2
- 6x + 5x
2
- 15x
= 7x
2
- 21x
Dùng tiếp phơng pháp đặt nhân tử chung ta có
7x
2
- 21x = 7x(x - 3)
Phải giải phơng trình 7x (x - 3) = 0
Vế trái của phơng trình gồm tích của 7x và (x - 3) còn vế phải bằng 0.
Giải: 2x(x-3) + 5x(x-3) = 0
2x
2
- 6x + 5x
2
- 15x = 0
7x
2
- 21x = 0
7x(x-3) = 0
7x = 0 hoặc x-3 = 0 suy ra x= 0 hoặc x = 3
Nhận xét : Ta có thể phát hiện ngay nhân tử chung của vế trái là (x-3)
.Do vậy :
2x (x-3 ) +5x (x-3) = (x-3) (2x+7x) = 7x (x-3).

*Ví dụ 3 : Chứng minh rằng 54
5
- 54
4
chia hết cho 53 .
Hớng dẫn : Muốn chứng minh 54
5
- 54
3
chia hết cho 53 hãy chứng tỏ nó
chứa thừa số 53 .
Giải: 54
5
-54
4
= 54. 54
4
-54
4
= 54
4
(54-1)
= 54
4
. 53
Biểu thức đã cho sau khi phân tích thành thừa số có chứa thừa số là 53 .
Vậy 54
5
- 54
4

chia hết cho 53 .x
Đ2 . Phân tích đa thức thành nhân tử
bằng phơng pháp dùng hằng đẳng thức .
2.1. Nội dung -yêu cầu :
Khi gặp đa thức chứa một trong các vế của các hằng đẳng thức đáng nhớ
đã học , ta có thể sử dụng chúng để phân tích đa thức thành nhân tử .
Nhận dạng đợc hằng đẳng thức đáng nhớ trong mỗi bài toán cụ thể : đa
thức gồm 2 hạng tử , 3hạng tử , hay 4 hạng tử Đa thức gồm toàn dấu
+hay đan dấu ,đa thức chứa luỹ thừa bậc cao nhất là bao nhiêu .
Cần chú ý rằng có nhiều đa thức không thể phân tích thành nhân tử nếu
chỉ dùng hằng đẳng thức .
*Ví dụ : phân tích 4x
2
-5x +1 thành nhân tử .
Đa thc có 3 hạng tử và đan dấu ta nghĩ đến hằng đẳng thức bình phơng của
một hiệu (A- B)
2
=A
2
- 2AB + B
2
.
Xét hạng tử thứ nhất 4x
2
có thể nghĩ A =2x vì (2x)
2
= 4x
2
Xét

hạng tử thứ ba :1 ta nghĩ biểu thức thứ hai có thể là 1 vì 1
2
=1 .Suy ra
B = 1.
-7-
Một số PP Phân tích đa thức thành nhân tử Vũ Hùng Tiến
Xét hạng tử thứ hai : -5xliệu có là Trừ hai lần tích của biêu thức thứ
nhât vối biểu thức thứ hai không
- 2AB =- 2. 2x. 1 = -4x -5x.
Vậy không thể phân tích đa thức trên thành nhân tử nếu chỉ bằng một ph-
ơng pháp dùng hằng đảng thức .
2.2. Ví dụ :

*Ví dụ 1: Phân tích đa thức thành nhân tử :
a, x
2
+6x +9
b,1-2y +y
2
c, x
3
-3x
2
+3x -1
d, 27 +x
3
+9x
2
+27x
Hớng dẫn:

a/ Đa thức gồm 3hạng tử ,toàn dấu +,có luỹ thừa bậc cao nhất là 2, vậy
ta có thể sử dụng hằng đẳng thức Bình ph ơng của một tổng :
(A+B)
2
=A
2
+2AB +B
2
.
- Tìm A: xét hạng tử bậc hai x
2
suy ra : A =x vì (x)
2
=x
2
- Tìm B: xéthạng tử bậc hai 9 suy ra B = 3 vì 3
2
= 9
- Tìm 2AB :xét hạng tử 6x ta có 6x =2.x.3
b/ Đa thức gồm 3 hạng tử ,đan dấu ,có luỹ thừa bậc cao nhất là 2 , vậy ta
có thể sử dụng hằng đẳng thức Bình phơng của một hiệu
(A-B)
2
=A
2
-2AB +B
2
- Tìm A: coi 1= 1
2
suy ra A =1

- Tìm B: xét hạng tử y
2
suy ra B =y vì (y)
2
=y
2
- Tìm -2AB : xét hạng tử -2y = -2.1.y
c/ Đa thức gồm 4 hạng tử đan dấu ,có luỹ thừa bậc cao nhất là 3, vậy ta
có thể sử dụng hằng đảng thức : Lập phơng của một hiệu
(A-B)
3
=A
3
-3A
2
B +3AB
2
-B
3
- Tìm A: xét hạng tử bậc ba x
3
suy ra A =x vì (x)
3
=x
3
- Tìm B: xét hạng tử bậc ba 1 suy ra B =1 vì 1
3
=1
- Tìm -3A
2

B:xét hạng tử -3x
2
=-3(x)
2
.1
- Tìm3AB
2
xét hạng tử 3x =3.x .1
2
d/ Đa thức gồm 4 hạng tử , cùng dấu +,có luỹ thừa bậc cao nhất là 3
,vậy ta nghĩ tới hằng đẳng thức Lập phơng của một tổng
(A+B)
3
=A
3
+3A
2
B +3AB
2
+B
3
- Tìm A : xét hạng tử bậc ba 27 =(3)
3
suy ra A =3
- Tìm B:xét hạng tử bậc ba còn lại x
3
suy ra B = x
- Tìm 3A
2
B: xét 27x =3 .(3)

2
x
- Tìm 3AB
2
: xét 9x
2
=3.3.x
2
Giải :
a/ x
2
+6x +9 = (x)
2
+2.x.3 +3
2
=(x+3)
2
b/ 1- 2y+ y
2
=1
2
- 2.1.y +(y)
2
= (1-y)
2

c/ x
3
-3x
2

+3x -1 =(x)
3
-3(x)
2
.1 +3.x.1
2
+1
3
=(x-1)
3
d/ 27+x
3
+9x
2
+27x =x
3
+9x
2
+27x +27
-8-
Một số PP Phân tích đa thức thành nhân tử Vũ Hùng Tiến
= x
3
+3.x
2
.3 +3.x.3
2
+3
3
=(x+3)

3
*Ví dụ 2 :Phân tích đa thức thành nhân tử :
a/ 64x
6
y
4
- 81x
2
y
2
b/ 64x
3
+1/8
c/ 8- 125x
3

d/ 16x
2
-9(x+y)
2
Hớng dẫn :
a/ Đa thức là hiệu hai hạng tử ,ta nghĩ tới hằng đẳng thức hiệu hai bình
phơng và hiệu hai lập phơng .Vì một hạng tử chỉ chứa luỹ thừa bậc hai
nên ta dùng hằng đẳng thức hiệu hai bình phơng : A
2
- B
2
=(A +B)(A - B)
- Tìm A :xét 64x
6

y
4
=(8x
3
y
2
)
2
suy ra A = 8x
3
y
2
- Tìm B : xét 81x
2
y
2
=(9xy)
2
suy ra B = 9xy
b/ Đa thức là hiệu của hai hạng tử ,vì có hạng tử chứa luỹ thừa bậc ba
,vậy ta dùng hằng đẳng thức : Hiệu hai lập phơng :
A
3
-B
3
= (A-B)(A
2
+AB +B
2
)

- Tìm A : xét 8 =2
3
suy ra A = 2
- Tìm B: xét 125x
3
=5
3
.x
3
=(5x)
3
suy ra B = 5x
c/ Tơng tự câu b, dùng hằng đẳng thức Tổng hai lập phơng
- Tìm A: xét 64x
3
=(4x)
3
suy ra A = 4x
-Tìm B : xét 1/8 =(1/2)
3
suy ra B = 1/2
d/ Nên dùng hằng đẳng thức : hiệu hai bình phơng
- Tìm A: xét 16x
2
=(4x)
2
suy ra A = 4x
- Tìm B :xét 9(x+y)
2
= (3 (x+y))

2
suy ra B = 3(x+y)
Giải :
a/ 64x
6
y
4
- 81 x
2
y
2
= (8x
3
y
2
)
2
- (9xy)
2
= (8x
3
y
2
+9xy) (8x
3
y
2
- 9xy)
= xy(8x+9) xy( 8x - 9)
= x

2
y
2
(8x+9) (8x-9)
b/ 8 - 125x
3
= 2
3
- (5x)
3
= (2-5x)(2
2
+2.5x +(5x)
2
)
= (2 - 5x) (4 +10x +25x
2
)
c/ 64x
3
+1/8 = (4x)
3
+ (1/2)
3
= ( 4x + 1/2)(16x
2
- 2x + 1/4)
d/ 16x
2
- 9(x + y)

2
= (4x)
2
- (3 (x+y))
2
= (4x - 3x -3y) (4x +3x+3y)
= ( x-3y) (7x + 3y)
Đ3.Phân tích đa thức thành nhân tử
-9-
Một số PP Phân tích đa thức thành nhân tử Vũ Hùng Tiến
bằng phơng pháp nhóm nhiều hạng tử .
3.1.Nội dung :
- Trong nhiều trờng hợp , nếu chỉ dùng phơng pháp đặt nhân tử chung
hoặc hằng đẳng thức vẫn không phân tích đợc đa thức thành nhân tử, có thể
dùng phơng pháp nhóm nhiều hạng tử .
- Đặc biệt chú ý tới việc nhóm các hạng tử thích hợp ,thông thờng là
nhóm các hạng tử có nhân tử chung ,hoặc các hạng tử lập thành một vế của
hằng đẳng thức .
- Để nhóm đợc các hạng tử thích hợp cần sử dụng thành thạo cả hai
chiều của các hằng đẳng thức để phát hiện đúng các hạng tử cần đâ vào một
nhóm hoặc cần tìm đúng nhân tử chung của một sốhạng tử đã cho.
- Nếu nhóm các hạng tử không thich hợp việc phân tích đa thức thành
nhân tử bị bế tắc .
3.2.Các ví dụ :
*Ví dụ 1: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử
a/ x (x-y) + x - y
b/ 2x + 2y - x (x+ y)
c/ 5x
2
- 5xy -10x +10y

d/ 2x
2
+2y
2
- x
2
z + z - y
2
z - 2
Hớng dẫn :
a/ Vì hạng tử thứ nhất có nhân tử (x-y ) nên nhóm hai hạng tử cuối vào
một nhóm sẽ làm xuất hiện nhân tử chung (x-y).
b/ Hạng tử thứ bacó nhân tử (x+y)nên nhóm hai hạng tử đầu vào một
nhóm sẽ làm xuất hiện nhân tử chung (x+y).
c/ Các hạng tử đều chứa thừa số chung là 5nên ta đặt 5 làm thừa số chung
đợc :
5(x
2
-xy -2x +2y) .Xét x
2
- xy -2x +2y ; Nếu nhóm hai hạng tử đầu x
2
- xy sẽ
làm xuất hiện nhân tử (x-y) .Vậy khi nhóm hai hạng tử sau thành một nhóm
nếu đổi dấu cũng làm xuất hiện nhân tử (x-y).
Hoặc nhóm hạng tử 1và 3 , còn hai hạng tử còn lại vào một nhómcũng
làm xuất hiện nhân tử chung .
d/Vì đa thức đã cho đan dấu ,nếu nhóm 3 hạng tử cùng dấu với nhau vào
một nhóm sẽ bế tắc ,còn nếu nhómhai hạng tử liền nhau vào một nhóm cũng
không làm xuất hiện nhân tử chung đợc . Nếu nhóm hạng tử thứ nhất và thứ ba

vào một nhóm sẽ làm xuất hiện nhân tử (2- z) , do vậy ta nhóm tiếp hạng tử
thứ hai và thứ năm cũng có nhân tử (2-z) . Hạng tử thứ t và thứ sáu cũng đợc
nhóm với nhau .
Giải :
-10-
Một số PP Phân tích đa thức thành nhân tử Vũ Hùng Tiến
a/ x (x - y) + x - y = x (x - y) + (x - y)
= (x - y) (x + 1)
b/ 2x + 2y - x (x + y) = (2x + 2y) - x (x + y)
= 2 (x + y) - x (x + y)
= (x + y) (2 - x)
c/5x
2
- 5xy - 10x - 10y = 5 (x
2
- xy -2x+2y)
= 5 ( (x
2
- xy) - (2x - 2y))
= 5 (x (x - y) - 2 (x - y))
= 5 (x - y) (x - 2)
d/ 2x
2
+ 2y
2
- x
2
z + z -y
2
z-2 = (2x

2
- x
2
z) +(2y
2
- y
2
z) -(2- z)
= x
2
(2- z) + y
2
(2 - z) -(2 - z)
= (2-z) (x
2
+ y
2
-1)
*Ví dụ 2: Giải phơng trình : x (2x - 7) - 4x +14 = 0
Hớng dẫn: Hạng tử thứ nhất chứa nhân tử (2x - 7). Vậy ta nhóm hai hạng tử
cuối sao cho làm xuất hiện nhân tử (2x - 7), muốn vậy trớc khi nhóm ta phải
đổi dấu:
Giải: Biến đổi vế trái :
x (2x - 7) - 4x+14 = x (2x - 7) - (4x - 14)
= x (2x - 7) - 2 (2x - 7)
= (2x - 7) (x- 2)
Phơng trình trở thành:
(2x - 7) (x -2) = 0
Giải phơng trình tích ta đợc x=7/2, x=2
Đ4.Phân tích đa thức thành nhân tử

bằng phơng pháp tách một hạng tử thành nhiều hạng
tử.

4.1 Đa thức bậc hai:
4.1.1 Đa thức bậc hai không chứa nhân tử chung, không là hằng đẳng
thức ta dùng phơng pháp tách hạng tử.
Để phân tích tam thứ bậc hai ax
2
+ bx +c thành nhân tử ta thờng sử dụng một
trong hai phơng pháp sau:
*Phơng pháp 1:
Ta đã biết đa thức bậc hai phân tích đợc thì tích sẽ là hai nhân tử bậc nhất.
Chẳng hạn:
ax
2
+bx +c = (mx + n) (px + q)
= mpx
2
+ (mq + np) x +np
=> a.c = mp.nq = mq.np = b
1
. b
2

b = mq+np = b
1
+b
2
-11-
Một số PP Phân tích đa thức thành nhân tử Vũ Hùng Tiến

Kết luận: Trong thực hành ta làm nh sau:
Bớc 1: Tìm tích ac
Bớc 2: Phân tích ac thành tích của hai thừa số nguyên bằng mọi cách.
Bớc 3: Chọn hai thừa số mà tổng bằng b.
* Phơng pháp 2:
Tách hạng tử thứ nhất hoặc thứ 3 thành hai hạng tử đa đa thức về hằng đẳng
thức: Bình phơng của một tổng, bình phơng một hiệu hoặc hiệu hai bình ph-
ơng.
*Chú ý: Trờng hợp b lẻ hoặc a không là bình phơng cửa một số nguyên ta
dùng phơng pháp 1.

1.2-Ví dụ:
*Ví dụ 1: Phân tích đa thức x
2
+6x+8 thành nhân tử.
Hớng dẫn:
Ta có a =1 b =-6 c =8
a.c =8 =4.2 = (-4) (-2) =1.8 = (-1) (-8)
Hai thừa số có tổng bằng b =-6 là (-4) và (-2)
Giải:
Dùng phơng pháp1: Tách hạng tử thứ hai.
Cách 1: x
2
- 6x + 8 = x
2
-2x -4x +8
=x(2- x) - 4(x -2) = (x -2) (x - 4)
Cách 2: x
2
- 6x +8 = (x

2
-4x +4) - (2x- 4)
= (x - 2) (x- 4)
Dùng phơng pháp 2: Tách hạng tử thứ 3
Cách 3: x
2
- 6x + 8 = (x
2
- 6x + 9) - 1
= (x -3)
2
-1
2
=(x -3 -1) (x- 3 +1)
= (x - 4) (x - 2)
Cách 4: x
2
-6x +8 = (x
2
- 4) - (6x - 12)
= (x - 2) (x + 2) - 6 (x - 2)
= (x - 2) (x+2 - 6)
= (x - 2) (x - 4)
* Ví dụ 2: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử.
a, 9x
2
+ 6x - 8
b, 2x
2
+ 3x - 27

c, 3x
2
- 8x + 4
Hớng dẫn:
a- Tìm tích a.c =9. (-8) = -72
-72 = (-1).72 = (-2).36 = (-3).24 = (-4).18 = (-6).12 =
Hai thừa số có tổng bằng 6 là (-6) + 12 =6
Vậy ta tách 6x = -6x + 12x
-12-
Một số PP Phân tích đa thức thành nhân tử Vũ Hùng Tiến
b- Tơng tự phần a. Ta thấy hai số có tổng bằng 3 tích bằng (-54) là (-6) và 9.
Vậy ta viết 3x = -6x + 9x.
c- Ta có a.c =3.4 =12.
Hai số có tổng bằng -8 và tích bằng 12 là (-6) và (-2)
Ta viết -8x = -6x + (-2x)
Giải:
a> Cách 1: 9x
2
+ 6x -8 = 9x
2
- 6x +12x -8
=3x(3x-2) + 4(3x -2)
= (3x -2) (3x +4)
Cách 2 :9x
2
+ 6x -8 = (9x
2
+ 6x +1)- 9
= (3x + 1)
2

- 3
2
= (3x +1 -3) (3x + 1 +3)
b> 2x
2
+ 3x - 27 = (3x -2) (3x +4)
= 2x
2
-6x + 9x -27
= 2x (x -3) + 9(x -3)
= (x -3) (2x + 9)
c> 3x
2
- 8x + 4 = 3x
2
-6x-2x +4
= 3x(x -2) - 2(x-2)
= (x-2) (3x -2)
Hoặc 3x
2
- 8x + 4 = (4x
2
- 8x + 4) - x
2
= (2x - 2)
2
- x
2
= (2x - 2 - x) (2x -2 + x)
= (x - 2) (3x - 2)

4.2 Đa thức từ bậc 3 trở lên.

4. 2.1 Phơng pháp chung:
Đối với đa thức từ bậc 3 trở lên ta thờng tách hạng tử bằng phơng pháp tìm
nghiệm của đa thức.
* Nghiệm của một đa thức: a là nghiệm của đa thức f(x) nếu f(a) = 0. Vậy
nếu f(x) có nghiệm x = a thì nó chứa thừa số x - a khi phân tích.
* Nếu đa thức với hệ số nguyên có nghiêm nguyên thì nghiệm đó phải là -
ớc của hạng tử tự do.
Thật vậy, giả sử đa thức f(x) = a
0
x
n
+ a
1
x
n-1
+ + a
n
với hệ số nguyên có nghiệm nguyên x = a.
thì f(x) = a
o
x
n
+ a
1
x
n-1
+ + a
n-1

x + a
n
= (x-a) (b
0
x
n-1
+ + b
n-1
)
Trong đó b
0
, b
1
, b
n-1
nguyên.
Vậy a
n
= - a.b
n-1
tức là a là ớc của a
n
.
Chú ý :
- Khi xét nghiệm nguyên của một đa thức ,cần nhớ hai định lý :
Định lý 1: Nếu đa thức f(x) có tổng các hệ số bằng 0 thì 1 là nghiệm của đa
thức,do đó đa thức chứa thừa số (x - 1).
Ví dụ : Đa thức 2x
3
- 5x

2
+ 8x - 5 có tổng các hệ số là 2 - 5 + 8 - 5 = 0.Nên
1 là nghiệm của đa thức .
-13-
Một số PP Phân tích đa thức thành nhân tử Vũ Hùng Tiến
Định lý 2: Nếu đa thứ f(x) có tổng các hệ số của các hạng tử bậc chẵn
bằng tổng các hệ số của các hạng tử bậc lẻ thì đa thức có nghiệm là (-1) , đa
thức chứa thừa số (x+1).
- Để loại trừ các ớc của hạng tử tự do không là nghiệm của đa thức ta có
thể dùng nhận xét :
Nếu a là nghiệm nguyên của f(x)và f(1), f(-1) đều khác 0 thì :
và

đều là số nguyên.
Ví dụ : f(x) =4x
3
- 13x
2
+ 9x -18 .
Các ớc của 18 là
f(1) = 4-13 +9 -18 = -18 0.
f(-1)= -4 -13 -9 -18 = -44 0
Ta thấy
Sau khi loại ta thấy còn lại( -2) và 3.
Thử f(3) = 4.3
3
- 13.3
2
+9.3 - 18 = 0
=> Đa thức có nghiệm x = 3

=> Khi phân tích f(x) có chứa nhân tử (x - 3.)
4x
3
- 13x
2
+ 9x -18 = 4x
3
- 12x
2
- x
2
+ 3x + 6x -18.
= 4x
2
(x - 3) -x(x - 3) + 6(x - 3)
= (x - 3) (4x
2
-x + 6)
Nếu đa thức không có nghiệm nguyên. Đa thức có thể có nghiệm hữu tỉ.
Trong đa thức với hệ số nguyên, nghiệm hữu tỉ (nếu có) phải có dạng p/q
trong đó p là ớc của hạng tử tự do, q là ớc dơng của hạng tử có bậc cao nhất.
4.2.2- Ví dụ:
*Ví dụ 1: Phân tích đa thức x
3
+ 3x
2
- 4 thành nhân tử .
Hớng dẫn :
Nghiệm nguyên nếu có là ớc của -4 .
Các ớc của -4 là 1, 2 , 4.

Kiểm tra ta thấy f(1) =1 + 3 - 4 = 0
Suy ra đa thức có nghiệm x = 1 nên đa thức có chứa nhân tử (x -1).
Do đó ta tách hạng tử làm xuất hiện nhân tử (x - 1).
Giải :
Cách 1: x
3
+3x
2
- 4 = x
3
- x
2
+ 4x
2
+ 4
= x
2
(x -1) +4 (x -1) (x +1)
= (x -1) (x
2
+ 4x + 4)
= (x - 1) (x + 2)
2
Cách 2: x
3
+ 3x
2
- 4 = (x
3
+ 1) +(3x

2
- 3)
-14-
12
44
;
118
18
;
19
18
;
16
18
;
13
18
+









1
)1(
a

f
1
)1(
+

a
f
không nguyên.
Một số PP Phân tích đa thức thành nhân tử Vũ Hùng Tiến
= (x - 1) (x
2
+ x + 1) +3 (x - 1) (x + 1)
= (x - 1) (x
2
+ x + 1 +3x + 3)
= (x - 1) (x + 2)
2
*Ví dụ 2: Phân tích đa thức 2x
3
- 5x
2
+ 8x - 3 thành nhân tử .
Hớng dẫn :
Nghiệm nguyên (nếu có) là ớc của -3
Kiểm tra ta thấy 1, 3 không là nghiệm đa thức.
Xét p = 1, 3 và q = 1, 2
Nghiệm hữu tỷ (nếu có ) dạng p/q : 1/2,3/2 .
Kiểm tra 1/2 là nghiệm của đa thức nên đa thức có chứa nhân tử (2x - 1) .Ta
tách hạng tử làm xuất hiện nhân tứ (2x - 1).
Giải :

2x
3
- 5x
2
+ 8x - 3 = 2x
3
- x
2
- 4x
2
+ 2x + 6x - 3
= x
2
(2x - 1) -2x (2x - 1) + 3 (2x - 1)
= (2x - 1) (x
2
- 2x + 3)
Đ5.Phân tích đa thức thành nhân tử
bằng phơng pháp thêm bớt cùng một hạng tử:
5.1.Thêm và bớt cùng một hạng tử làm xuất hiện hiệu của hai bình ph ơng
:
*Ví dụ : Phân tích đa thức 4x
4
+ 81 thành nhân tử .
Hớng dẫn : Đa thức có dạng tổng của hai bình phơng (2x
2
)
2
+ 9
2

. Nếu ta thêm
và bớt hai lần tích là 36x
2
thì xuất hiện hằng đẳng thức Hiệu hai bình phơng
.
Giải:
4x
4
+ 81 = 4x
4
+36x
2
+ 81 -36x
2
= [(2x
2
)
2
+ 2 .2x
2
.9 + 9
2
] - (6x)
2
= (2x
2
+9)
2
- (6x)
2

` = (2x
2
+ 6x + 9) (2x
2
- 6x - 9)
Nhận xét : Đa thức có dạng A
2
+B
2
ta thêm bớt 2AB đa về dạng hai bình ph-
ơng.
** Chú ý: Hạng tử thêm bớt phải viết đợc dạng bình phơng.
5.2- Thêm và bớt cùng một hạng tử làm xuất hiện thừa số chung.
*Ví dụ 1: Phân tích đa thức: x
7
+x
2
+1 thành nhân tử.
Giải: Thêm và bớt x.
x
7
+ x
2
+ 1 = (x
7
- x) + (x
2
+ x +1)
= x(x
6

- 1) + x
2
+ x +1
= x(x
3
-1) (x
3
+1) + (x
2
+ x +1)
-15-
Một số PP Phân tích đa thức thành nhân tử Vũ Hùng Tiến
= x(x
3
+1) (x-1) (x
2
+ x +1) + (x
2
+ x + 1)
= (x
2
+ x +1) [x (x
3
+1) (x -1) +1]
= (x
2
+ x +1) (x
5
- x
4

+ x
2
- x + 1)
Nhận xét: Các đa thức có dạng x
3m+1
+ x
3n+2
+1 khi phân tích đều chứa thừa số
x
2
+x+1. Có thể phân tích bằng 1 trong 2 cách sau:
- Thêm và bớt cùng một hạng tử làm xuất hiện nhân tử chung là x
2
+ x +1
- Thêm và bớt theo phơng pháp làm giảm dần số mũ của luỹ thừa.
*Ví dụ 2:
x
7
+x
2
+1 = (x
7
+x
6
+x
5
) - (x
6
+x
5

+x
4
) +(x
4
+x
3
+x
2
) -(x
3
+x
2
+x) +(x
2
+x+1)
= x
5
(x
2
+x+1) -x
4
(x
2
+x+1)+x
2
(x
2
+x+1)-x(x
2
+x+1)+(x

2
+x+1)
= (x
2
+x+1) (x
5
-x
4
+x
2
-x+1)

Đ6. Phân tích đa thức thành nhân tử
băng phơng pháp đổi biến
6.1- Ví dụ 1. Phân tích đa thức thành nhân tử.
A = (x
2
+ x)
2
+4x
2
+4x -12.
Hớng dẫn: Ta có thể khai triển đa thức đa về đa thứ bậc cao sau đó dùng ph-
ơng pháp nhẩm tìm nghiệm và tách hạng tử để phân tích.
Song nếu chú ý học sinh phát hiện 4x
2
+4x = 4 (x
2
+ x) thì có thể đổi biến đa về
đa thức đơn giản dễ phân tích bằng cách đặt y = x

2
+ x.
Giải :
A = (x
2
+ x)
2
+4x
2
+ 4x - 12
= (x
2
+ x)
2
+4(x
2
+ x) -12
Đặt y = x
2
+ x đa thức có dạng :
A = y
2
+ 4y - 12 = (y
2
+ 4y - 16) -16
= (y + 2)
2
- 4
2
= (y + 2 + 4) (y + 2 - 4)

=(y + 6) (y - 2)
= (x
2
+ x + 6) (x
2
+ x - 2)
= (x
2
+ x + 6) (x - 1) (x + 2)
Vậy A =(x + 1) (x + 2) (x
2
+x + 6)
Nhận xét :
Trong một số trờng hợp ta có thể sử dụng phơng pháp đổi biến đa về đa thức
có bậc thấp hơn để tiện phân tích .
Đa thức dạng ax
4
+ bx
2
+ c đặt y = x
2
đa về ay
2
+ by + c.
-16-
Một số PP Phân tích đa thức thành nhân tử Vũ Hùng Tiến
6.2.Ví dụ 2: phân tích đa thức thành nhân tử
B = x
4
+ 6x

3
+ 7x
2
- 6x+ 7
Giải:
Đặt
B = x
2
[(y
2
+ 2) + 6y + 7 ]
= x
2
(y
2
+ 6y +9 )
= x
2
(y + 3)
2
= x
2
(x - 1/x + 3)
2
= (x
2
+ 3x - 1)
2
Nhận xét :
Đa thức có dạng a.x

4
+ bx
3
+ cx
2
bx + a khi phân tích ta có thể hạ bậc bằng
cách đặt x
2
làm nhân tử chung .
Sau đó đổi biến bằng cách đặt hoặc
=y
2
-2 hoặc
2
2
1
x
x +
=y
2
+2
đa về đa thức bậc hai biến y để phân tích .

Đ7. Phân tích đa thức thành nhân tử
bằng phơng pháp hệ số bất định
7.1.Ví dụ 1:
Phân tích đa thức C = x
4
-6x
3

+ 12x
2
- 14x + 3 thành nhân tử.
Hớng dẫn :
Nghiệm hữu tỉ (nếu có )của đa thức là 1,3.
Kiểm tra : 1; 3 không là nghiệm đa thức .
Đa thức không có ngiệm hữu tỷ.
Vậy nếu đa thức phân tích đợc thì phải có dạng:
C = (x
2
+ac +b) (x
2
+cx +d)
= x
4
+ (a +c)x
3
+ (ac+b +d)x
2
+(ad +bc)x +bd.
Đồng nhất với đa thức x
4
- 6x
3
+12x
2
-14x +3 ta đợc:
a+c = -6
-17-

+






+






+=
+=
7
1
6
1
)
16
76(
2
2

2
22
x
x
x
xxB
xx
xxxB
2
11
2
2
2
+=+= y
x
xy
x
x
x
x
y +=
1
x
xy
1
=
2
2
1
x

x +
Một số PP Phân tích đa thức thành nhân tử Vũ Hùng Tiến
ac+b+d = 12
ad+bc = -14
bd = 3
b.d =3, b,d z => b,d {1,3}
Với b = 1; d = 3 => a+c = -6 a= - 4
ac = 8 =>
3a+ c = -14 c = -2

Vậy đa thức đã cho phân tích thành:
C = (x
2
- 2x +3) (x
2
- 4x +1).
Giải: C = x
4
- 6x
3
+12x
2
-14x +3.
= (x
4
-4x
3
+x
2
) - 2x

3
+8x
2
- 2x +3x
2
-12x + 3.
= (x
4
-4x
3
+x
2
) - (2x
3
-8x
2
+ 2x) + (3x
2
-12x +3).
= x
2
(x
2
- 4x + 1) - 2x (x
2
- 4x +1) + 3 (x
2
- 4x + 1)
= (x
2

- 4x + 1) (x
2
- 2x + 3 )
Nhận xét :
- Đa thức bậc ba không có nghiêm nguyên khi phân tích đợc thì có dạng :
(a.x + b) (cx
2
+ cx + e)
-Đa thức bậc 4 không có nghiệm hữu tỷ thì đa thức khi phân tích không chứa
nhân tử bậc nhất ,do đó đa thức khi phân tích có dạng :
(a.x
2
+bx +c ) (mx
3
+ nx +p)
- Đa thức bậc năm không có nghiệm hữu tỷ khi phân tích có dạng
(ax
2
+bx +c) (mx
3
+ nx
2
+px +q)
7.2- Ví dụ 2: Phân tích đa thức thành nhân tử.
a- 4x
4
+ 4x
3
+5x
2

+2x +1
b- 3x
2
+ 22xy +11x +37y +7y
2
+10.
H ớng dẫn:
a, Đa thức không có nghiệm nguyên, không có nghiệm hữu tỷ, đa thức có bậc
4 nên khi phân tích có dạng (ax
2
+bx +c) (mx
2
+nx +p)
khai triển đa thức ta đợc:
amx
4
+(an +bm)x
3
+ (ap +bn +cm)x
2
+ (bp +cn)x +cp.
Đồng nhất với đa thức đã cho ta có:
am =4 c = 1
an + bm n = 4 p = 1
ap + bn +cm =5 a = 2
bp +cn =2 m = 2
cp =1 n = 1
b = 1
Vậy đa thức đợc phân tích thành :
(2x

2
+ x + 1) (2x
2
+x +1) = (2x
2
+x + 1)
2
-18-
Một số PP Phân tích đa thức thành nhân tử Vũ Hùng Tiến
b, Tơng tự phần a,.Ta nhận xét đa thức khi phân tích có dạng :
(a.x +by + c) (mx + ny + p)
=a.mx
2
+(an +bm )xy +(ap + cm)x +(bp + cn) y + bny
2
+ pc
Đồng nhất đa thức này với đa thức đã cho ta đợc hệ điều kiện :
a.m = 3
a.n + b.m= 22
a.p +c.m =11
b.p +c.n =37
b.n =7
p.c = 10
Xét a.m = 3 với a,m Z => a{1, 3 }
Với a = 3, m = 1 hệ điều kiện trở thành :
a.n + b = 22
3p + c = 11
bp + cn=37
bn =7
pc = 10

Xét b.n = 7 ,với b = 1, n = 7 ta tìm đợc c = 5 , p = 2 thoả mãn hệ điều kiện .
Vậy đa thức đợc phân tích thành (3x + y +5) (x + 7y + 2)
Giải:
a, 4x
4
+ 4x
3
+ 5x
2
+2x + 1 = (2x
2
)
2
+ (4x
3
+ 4x
2
) +(x
2
+ 2x + 1)
= (2x
2
)
2
+2.2x
2
(x + 1) +(x+ 1)
2
= (2x
2

+ x + 1)
2
b, 3x
2
+ 22xy + 11x + 37y+7y
2
+ 10
= 3x
2
+ xy+ 5x + 21xy +7x
2
+35y+6x+2y +10
=(3x
2
+ xy +5x) +(21xy+7y
2
+35y)+(6x+ 2y+10
=x(3x+ y+ 5) + 7y(3x+ y+ 5)+2 (3x+ y+
= (3x+ y+ 5) (x+7y + 2)
7.3.Ví dụ 3: Hãy xác định các hệ số a,b,c,d sao cho đa thức :
f(x) = x
4
+ax
3
+bx
2
- 8x + 4 là bình phơng đúng của đa thức
g(x)= x
2
+cx+d.

Giải :
Ta có : [g(x)]
2
= (x
2
+ cx + d)
2
= x
4
+2cx
3
+(c
2
+2d) x
2
+2cdx +d
2
Đồng nhất với đa thức f(x) =x
4
+a.x
3
+bx
2
- 8x + 4 ta đợc hệ :
a =2c
b =c
2
+2d
-8 = 2cd
4 = d

2
Vì d
2
= 4 => d = 2.
Với d = 2 ta có : a = 2c a = -4
-19-
Một số PP Phân tích đa thức thành nhân tử Vũ Hùng Tiến
b = c
2
+ 4 => b = 8
-8 =4c c = -2
Với d = -2 ta có :
a = 2c a = 4
b = c
2
- 4 => b = 0
-8= -4c c = 2
Vậy các hệ số a,b,c,d cần tìm là :
a = -4 a = 4
b = 8 hoặc b = 0
c = -2 c = 2
d = 2 d = -2
Đ 8.Phân tích đa thức thành nhân tử
bằng phơng pháp xét giá trị riêng
8.1. Nội dung : Trong phơng pháp này , trớc hết ta xác địnhdạng các thừa số
chứa biến của đa thức , rồi gán cho các biến các giá trị cụ thể để xác định thừa
số còn lại .
8.2.Ví dụ :
*Ví dụ 1: Phân tích thành nhân tử
A = x

2
(y - z) +y
2
(z - x) +z
2
(x - y)
Giải :
Trớc hết ta thử thay x bởi y thì A = y
2
(y - x) +y
2
(z - y) = 0
Nh vậy A chứa thừa số (x - y).
Ta lại thấy nếu thay x bởi y ,thay y bởi z, thay z bởi x thì A không đổi .Ta nói
đa thức A có thể hoán vị vòng quanh x =>y =>z =>x.Do đó nếu A chứa thừa
số (x- y)thì cũng chứa thừa số (y - z) và thừa số (z - x) . Đa thức A có bậc
3đối với tập hợp biến .

Vậy A có dạng : k (x - y) (y - z) (z - x)(k Q)
-20-
Một số PP Phân tích đa thức thành nhân tử Vũ Hùng Tiến
Vì đẳng thức x
2
(y - z) +y
2
(z - x) + z
2
(x - y) = k (x - y) (y - z ) (z - x) đúng với
mọi
x, y , z nên ta gán cho x, y, z các giá trị riêng sao cho A0 .

Chẳng hạn cho x = 2, y =1, z = o ta đợc :
4.1 + 1 (-2) + 0 = k . 1. 1 (-2)
2 = -2k
k = -1
Vậy A = - (x - y) (y - z) (z - x) = (x - y) (y - z) (x - z)
Nhân xét: Để phân tích đa thức thành nhân tử bằng phơng pháp xét giá trị
riêng ta làm theo các bớc sau:
Bớc 1: Xét vai trò của các biến trong đa thức đã cho (các biến có vai trò nh
nhau trong đa thức ).
Bớc 2 : Xác định dạng các thừa số chứa biến trong đa thức .
Bớc 3 : Gán cho các biến các giá trị riêng (làm cho đa thức khác 0) để tìm thừa
số còn lại .
Bớc 4 : Viết kết quả của đa thức .
*Ví dụ 2: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử
a, M=a (b + c- a)
2
+ b (c + a - b)
2
+c (a + b - c)
2
+(a + b - c) (b + c- a) (c+ a-b).
b, N = a (m - a)
2
+ b (m - b)
2
+ c (m - c)
2
- abc với a + b + c = 2m.
Giải:
Nhận xét : Trong 2 đa thức M và N ta thấy các biến a,b,c có vai trò nh nhau .

a, Với a = 0 ta có :
M = b (b - c)
2
+c (b - c)
2
+(b - c) (b + c) (c - b )
M = b (b - c)
2
+c (b - c)
2
- (b + c) (b - c)
2
M = (b - c ) [b + c - (b + c)] = 0
Vậy đa thức M chứa thừa số a.
Do a, b, c có vai trò nh nhau nên M chứa tích a.b.c.
Ta thấy M có bậc 3 đối vơi tập hợp các biến nên thừa số còn lại là hằng số k.
Vậy M có dạng : k.a.b.c
Vì đẳng thức :
M = a (b+c - a)
2
+b(c+a-b)
2
+c (a+b-c)
2
+(a+b-c ) (b+c-a) (c+a-b ) = k .abc luôn
đúng với mọi a, b, c nên cho a = b = c = 1 ta có : k = 4
Vậy M = 4.abc.
b, Với m = a thì a + b+ c = 2a => a = b + c , ta có :
N = b (b - a)
2

+c (a - c )
2
- abc
= b (b+ c - b )
2
+c (b+ c - c)
2
- (b + c) bc
= b.c
2
+c.b
2
- b
2
c - bc
2
= 0
Vậy N chứa thừa số (m - a)
Do a, b, c có vai trò bình đẳng nên N chứa nhân tử (m - a ), (m - b) ,(m - c).
-21-
Một số PP Phân tích đa thức thành nhân tử Vũ Hùng Tiến
Đa thức N có bậc 3 đối với tập hợp biến và tích (m - a)(m - b) (m - c) cũng có
bậc 3 đối với tập hợp biến nên thừa số còn lại là hằng số k.
Vậy N có dạng : k(m - a)(m - b)(m - c).
Đẳng thức : N = a (m - a)
2
+ b (m - b)
2
+c (m - c)
2

- abc = k (m - a) (m -b ) (m
- c) luôn đúng với mọi a, b, c nên với a = 4 , b = 1 , c = 1 => m = 3 ta có :
4.(3 - 4)
2
+ 1.(3 -1)
2
+1.(3 - 1)
2
- 4.1.1 = k (3 - 4) (3-1) (3 - 1)
8 = - 4k
k = -2
Vậy N = - 2 (m - a) (m - b ) (m - c).
* Chú ý : Phơng pháp này chỉ áp dụng đối với đa thức nhiều biến .
Chơng IIi Bài tập vận dụng.
Bài tập 1: Phân tích thành nhân tử.
a, 6x
2
-11x +3.
b, 2x
2
-5xy +3y
2
.
c, x
4
+4x
2
-5.
d, x
3

- 7x -6.
Bài tập 2: Nhẩm nghiệm hữu tỷ và phân tích đa thức.
a, 27x
3
- 27x
2
+18x - 4.
b, 2x
3
-5x
2
+8x - 3.
Bài tập 3: Dùng phơng pháp thêm bớt hạng tử phân tích các đa thức sau
thành nhân tử.
a, 64x
4
+ y
4
b, x
4
+32
4
.
c, x
7
+x
5
+1.
d, x
8

+x
4
+1.
Bài tập 4: Dùng phơng pháp đặt ẩn phụ phân tích các đa thức sau thành nhân
tử.
a, (x
2
+ x)
2
- 2x
2
-2x -15.
b, (x
2
+ x +1) (x
2
+x +2) -12.
c, (x +2) (x+3) (x+4) (x+5) -24.
d, (x+a) (x+2a) (x +3a) (x+4a) +a
4
e, 2 (x
4
+ y
4
+z
4
) - (x
2
+y
2

+z
2
)
2
- 2(x
2
+y
2
+z
2
)( x+ y+ z)+(x+ y+ z)
4
Bài tập 5: Dùng phơng pháp hệ số bất định phân tích các đa thức sau :
a, x
4
- 8x + 63
b,x
4
- 7x
3
+ 14x
2
-7x+1
Bài tập 6: Chứng minh rằng với mọi x, y là số nguyên thì giá trị của đa thức :
P = (x+ y) (x+ 2y) (x+ 3y) (x+ 4y) +y
4

là số chính phơng .
-22-
Một số PP Phân tích đa thức thành nhân tử Vũ Hùng Tiến

Bài tập 7: Chứng minh rằng với mọi số nguyên n thì
A = n
3
(n
2
- 7)
2
- 36n chia hết cho 105.
Hớng dẫn giải .
Bài 1: Đáp số:
a, (2x -3) (3x - 1)
b, (x - y) (2x - 3y )
c, (x + 1) (x - 1) (x
2
+ 5)
d, (x + 1) (x + 2) (x - 3)
Bài 2 :
a,Đa thức không có nghiệm nguyên vì 1, 2, 4 không là nghiệm của đa
thức.
Nhẩm nghiệm hữu tỉ ta có f(1/3) = 0 =>đa thức chứa nhân tử (3x - 1)
Vậy 27x
3
- 27x
2
+18x - 4 = 27x
3
- 9x
2
- 18x
2

+ 6x + 12x - 4
=9x
2
(3x - 1) - 6x (3x - 1) + 4 (3x + 1)
= (3x - 1) (9x
2
- 6x +4)
b, Cách làm tơng tự
Đáp số : (2x - 1) (x
2
- 2x + 3)
Bài 3 : Đáp số
a, (8x
2
- 4xy - y
2
) (8x
2
+ 4xy + y
2
)
b, (x
2
+ 6x + 18 ) (x
2
- 6x + 18)
c, Thêm bớt x
2
+ x .ĐS: (x
2

+ x + 1) (x
5
-x
4
+ x
3
-x
2
+ 1)
d, Thêm bớt x
2
+ x .ĐS: (x
2
+ x + 1)(x
2
- x + 1) (x
4
- x
2
+ 1)
Bài 4:
a, Đặt x
2
+ x = y . ĐS: (x
2
+ x - 5) (x
2
+ x + 3)
b,Đặt x
2

+ x + 1 = y ĐS: (x- 1) (x+ 2) (x
2
+ x + 5)
c, Khai triển ta đợc :
(x
2
+ 7x + 10 ) (x
2
+ 7x + 12) - 24
Đặt x
2
+ 7x + 11 = y ĐS: (x + 1) (x+ 6) (x
2
+ 7x + 16)
d,Tơng tự phần c,
Đặt x
2
+ 5a.x + 5a
2
= y ĐS: (x
2
+ 5a x + 5a
2
)
2
e,Đặt x
2
+ y
2
+ z

2
= a
xy+ xz + yz = b
Thì (x + y + z)
2
= x
2
+y
2
+ z
2
+2 (xy + xz +yz) = a + 2b
ĐS: a (a + 2b) + b
2
= (a+ b)
2
= (x
2
+y
2
+ z
2
+ xy + xz + yz)
2
Bài 5 :
a, (x
2
- 4x + 7) (x
2
+ 4x + 9)

b,(x
2
- 4x + 1) (x
2
- 3x +1)
Bài 6: Biến đổi P về dạng : P = (x
2
+ 5xy + 5y
2
)
2
-23-
Một số PP Phân tích đa thức thành nhân tử Vũ Hùng Tiến
Vì x và y đều là số nguyên nên x
2
+ 5xy + 5y
2
cũng là số nguyên . Vậy P là số
chính phơng .
Bài 7: Ta có : A = n
3
(n
2
- 7)
2
- 36 n
= n
3
(n
4

-14n
2
+ 49) - 36n
= n
7
- 14n
5
+ 49n
3
- 36n
= (n - 3) (n - 2) (n - 1) n (n +1) (n + 2) (n + 3)
Ta đã biết tích của n số nguyên liên tiếp luôn chia hết cho n . Vì thế A chia hết
cho 3,cho 5 và cho 7. Các số này đôi một nguyên tố cùng nhau .Vậy A chia
hêt cho (3.5.7) hay A chia hết cho 105.
Chơng IV Thực nghiệm s phạm
4.1.Mục đích và nội dung thực nghiệm :
4.1.1.Mục đích nhiệm vụ thực nghiệm :
Thực nghiệm là để kiểm tra tính khả thi ,tính hiệu quả khi dạy phân tích
đa thức thành nhân tử theo nội dung đã trình bày ở phần II. Qua đó cung cấp
cho học sinh kiến thức cơ bản về phân tích đa thức thành nhân tử và hiểu rõ
ứng dụng của phân tích đa thức thành nhân tử trong việc giải toán : Giải phơng
trình ,thực hiện các phép tính về phân thức , rút gọn biểu thức , chứng minh
chia hết v v
Ngoài ra , việc thực nghiệm này còn rèn cho học sinh năng lực t duy sáng
tạo khi giải bài tập toán , nâng cao kiến thức toán học cho học sinh .
4.1.2.Nội dung thực nghiệm :
- Thực nghiệm soạn và dạy phân tích đa thức thành nhân tử theo nội dung đề
tài ở lớp 8 Trung học cơ sở .
- Nội dung dạy thực nghiệm đợc soạn theo phân phối chơng trình đại số lớp
8 của bộ giáo dục và phần II của đề tài.

4.2.Tổ chức thực nghiệm :
4.2.1.Chọn lớp thực nghiệm :

-24-
Một số PP Phân tích đa thức thành nhân tử Vũ Hùng Tiến
Đối tợng thực nghiệm là học sinh đại trà, học sinh hai lớp 8A và 8B trờng
Trung học cơ sở Thanh Lu Thanh Liờm - Hà Nam .
Hai lớp có sức học ngang nhau , mỗi lớp có cả học sinh giỏi , khá ,trung
bình , yếu về môn toán với tỉ lệ ngang nhau . Trong đó tôi chọn lớp 8A là lớp
thực nghiệm và lớp 8B là lớp đối chứng .
4.2.2.Tiến trình thực nghiệm :
Trong học kỳ I năm học 2002 - 2003 tôi tiến hành dạy thực nghiệm ở hai
lớp 8A và 8B. Lớp 8A tôi dạy theo sách giáo khoa kết hợp với nội dung và ph-
ơng pháp đã trình bày trong đề tài , còn ở lớp 8B tôi dạy theo phơng pháp trình
bầy trong sách giáo khoa.
Sau đó tôi tiến hành kiểm tra hai lớp theo đề bài sau :
Đề kiểm tra 45 phút .
Đề bài :
Câu 1: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử :
a, 4x
2
- 4x + 3
b, x
3
+ 4x
2
- 7x - 10
c, y
4
+ 64

d, x
7
+ x
5
+ 1
Câu 2 : a, Phân tích đa thức a
3
+ b
3
+ c
3
- 3abc thành nhân tử .
b, Vận dụng kết quả tính nhanh giá trị biểu thức
A = 105
3
+12
3
+ (-117)
3
+315.12.117.
Câu3 : Giải phơng trình:
a, X
3
+2
7
+ (x
3
+3) (x -9) = 0
b, 4 (2x +7)
2

= 9 (x +3)
2
Đáp án :
Câu 1 : (8đ) a, 4x
2
-4x -3 = (4x
2
- 4x +1) - 4
= (2x- 1)
2
-2
2
= (2x -1 -2) (2x -1 +2)
= (2x -3) (2x +1)
b,Lần lợt nhẩm nghiệm x = 1 ; x = 2
ĐS : x
3
+ 4x
2
- 7x - 10 = (x+ 1) (x- 2) (x + 5)
c, ĐS: (y
2
4y + 8) (y
2
+ 4y + 8)
d,ĐS : (x
2
+ x +1) ( x
5
- x

4
+ x
2
- x +1)
Câu 2 : (6đ) a, ĐS : a
3
+b
3
+c
3
-3abc = (a +b+c) (a
2
+b
2
+c
2
- ab - ac - bc)
b, Theo kết quả câu a, ta có :
Nếu a + b + c = 0 thì a
3
+b
3
+c
3
-3abc = 0
Biến đổi biểu thức ta có :
A = 105
3
+ 12
3

+(-117)
3
+315.12.117
= 105
3
+12
3
+(-117)
3
- 3.105.12.(-117)
Đặt a = 105 , b = 12, c = -117 .Ta có a+b+c= 0
-25-