DAY THEM TOAN 9 CI (HAY NÈ)

Chuyên đề 1
: căn bậc hai
A. kiến thức cần nắm vững
1. Định nghĩa CBHSH:
( )
2
2
0x
x a
x a a



=

= =


2.
A
tồn tại ( xác định, có nghĩa) khi A 0
Chú ý:
A
0 với mọi A 0
3.
2
. . 0
. . 0
A khi A
A A
A khi A

= =

<

4.
. .A B A B
=
( ĐK: A 0; B 0 )
5.
A A
B
B
=
( ĐK: A 0; B > 0 )
6.
2
. .A B A B
=
(ĐK: B 0 )
7.
2
1A AB
AB
B B B
= =
(ĐK: AB 0; B 0 )
8.
A A B

B
B
=
(ĐK: B > 0 )

.( )
C C
A B
A B
A B
=


m
(ĐK: A 0; B 0 ; AB)
B. Một số dạng bài tập
Loại I: Tìm TXĐ của biểu thức
1. Tìm x để biểu thức sau có nghĩa
a)
32 + x
b)
2
2
x
c)
3
4
+x
d)
6

5
2
+

x

2. Biểu thức sau đây xác định với giá trị nào của x?
a)
)3)(1( xx
b)
4
2
x
c)
3
2
+

x
x
d)
x
x

+
5
2

e)
224

2
+ xx
f)
933
2
++ xx

g)
1++ xx
h)
14 ++ xx
Loại II: Thực hiện phép tính
1. Thc hin cỏc phộp tớnh sau:
)3 2 4 18 2 32 50 )5 48 4 27 2 75 108
)2 24 2 54 3 6 150 )3 8 4 18 5 32 50
) 125 2 20 3 80 4 45 )2 28 2 63 3 175 112
1
)3 2 8 50 32 )3 50 2 12 18 75 8
2
)2 75 3 12 27 ) 27 12 75 147
8 32 18 16 1 4
)6 5 14 )2 3 6
9 25 49 3 27 75
a b
c d
e f
g h
i k
l m
+ +

+ +
+ + +
+ + +
+ + +
+
2. Thc hin cỏc phộp tớnh sau:
3 4 1 1 5 3 5 3
) ) )
6 3 7 3 4 3 2 4 3 2 5 3 5 3
5 3 5 3 5 1 1 6
) ; ) )
5 3 5 3 5 1 2 3 5 2 3 3
2 3 2 30 31 1
) ) ) )
2 3 5 5 6 7 2 2 5 2 3 6
3 2 2 3 2 2
)
3 2 2 3 2 2
a b c
d e f
g h i k
h
+
+ +
+ + +
+ +
+
+ + +
+ + + + + + +
+ +

+
3. Thc hin cỏc phộp tớnh sau:
. 12 2 35 , 5 2 6 , 16 6 7 , 8 28, 7 24 , 4 2 3, 18 2 65
27 10 2 , 14 6 5 , 17 12 2 , 7 4 3, 2 3, 2 3, 9 4 5
. 5 2 6 5 2 6 , 17 12 2 24 8 8 , 17 3 32 17 3 32
15 6 6 33 12 6 , 8 2 15 23 4 15 , 31 8 15 24 6 15
49 5 96 49 5 96 , 3 2 2 5 2 6 , 17 4 9 4 5
. 13 30 2 9 4 2
a
b
c
+ + + +
+ + +
+ + +
+ +
+ + + +
+ + +
( ) ( )
, . 4 5 3 5 48 10 7 4 3
9 4 5. 21 8 5
. 4 8 . 2 2 2 . 2 2 2 , .
4 5 5 2
3 2 2 3 2 2 2 3 2 3
. , . ,
2 3 2 3
17 12 2 17 12 2
d
e f
g h
+ + +

+
+ + + +
+
+ +
+
+
+
1
3. Loại III: Chứng minh đẳng thức:
1)
22
2222
1
1
1
1
1
:)
2
57
1
:
31
515
21
714
)
5,1
6
1

.
3
216
8
6
)
2
=









+









+
+

=


+



+
=



















+
+

+
=

+
=











+


=

ba
ba
ab
ba
bbaa
f
ba
b
ab
b
ba
ba
ba
b
a
a
aa
ba
baab
abba
c
b
a
a
e)
1) a vaứ 0 a (vụựi
a
aa
1 d)
b)a vaứ dửụng ba, (vụựi

32

4. Loại V: Bài toán rút gọn tổng hợp
Bài1: Cho biểu thức
xxxxx
A

+








+










+
+

=
1
1
1
1
1
1
:
1
1
1
1
1
a) Rút gọn biểu thức A
1
b) Tính giá trị của biểu thức A
1
khi
347 +=x
Bài 2: Cho biểu thức
22
2
1
)2()12(
4)1(
++

=
xx
x

A
a) Hỏi rằng khi nào A
2
xác định ? b) Rút gọn biểu thức A
2
c) Tìm giá trị của x khi A
2
= 5 d) Tìm giá trị của x để A
2
> 0
Bài 3: Cho biểu thức






+
+









+

+
=
1
1
1
1
2
:
1
1
1
1
2
3
xx
x
x
x
x
x
x
A
a) Rút gọn biểu thức A
3
b) Tính giá trị của A
3
khi x =
83

+
d) Tìm giá trị của x khi
5
3
=A

Bài 4: Cho biểu thức
2
2
:
11
4

+








+
+



=
a
a

aa
aa
aa
aa
A
a) Với những giá trị nào của a thì A
4
không xác định ?
b) Rút gọn biểu thức A
4
c) Với những giá trị nguyên nào của a thì A
4
có giá trị nguyên?
d) Tìm x để A
4
> 1
Bài 5: Cho biểu thức
2
5
6
10
3
1
2
5

+

+
+

+
=
x
xx
x
x
A
a) Tìm điều kiện của x để A
5
xác định ?
b) Rút gọn biểu thức A
5
c) Tìm giá trị của x để A
5
> 0
d) Tìm giá trị nguyên của x để A
5
có giá trị nguyên
Bài 6: Cho biểu thức
xx
xx
x
x
B




=
2

1
1
a) Rút gọn biểu thức B
1
b) Tính giá trị của biểu thức B
1
khi
83 +=x
c) Hỏi rằng với giá trị nào của x thì B
1
> 0? B
1
< 0? B
1
=0?
Bài 7: Cho biểu thức
62
3
62
3
2
+



+
=
a
a
a

a
B
a) Tìm điều kiện đối với a để B
2
xác định ?
b) Rút gọn biểu thức B
2
c) Hỏi rằng với giá trị nào của a thì B
2
> 1? B
2
< 1
d) Tìm các giá trị của a để B
2
= 4
Bài 8: Cho biểu thức








+

+
+=
1
2
1
1
:
1
1
3
xxxx
x
x
x
x
B
a) Rút gọn biểu thức B
3
b) Tính giá trị của biểu thức B
3
khi
3819;324 =+= xx
c) Tìm giá trị của x sao cho B
3
> 1? B

3
> 3?
d) Tìm giá trị của x khi B
3
= 7
Bài 9: Cho biểu thức









+
+











=
1

2
1
1
:
1
1
4
x
xxxx
x
B
a) Rút gọn biểu thức B
4
b) Tính giá trị của biểu thức B
4
khi
223 +=x
c) Giải phơng trình
5
4
=B
Bài 10: Cho biểu thức
11
1
1
1
3
5

+
+
+

=
x
xx
xxxx
B
2
a) Tìm điều kiện đối với x để B
5
xác định ?
b) Rút gọn biểu thức B
5
c) Tính giá trị của biểu thức B
5
khi
729
53

=x
d) Tìm giá trị của x khi B
5
= 4? B
5
= 16?
e) Tìm giá trị nhỏ nhất của B
5

f) Tìm các giá trị nguyên dơng của x để B
5
có giá trị nguyên
Bài 11: Cho biểu thức









+

+

+

+

=
2
22
1
4
4
2
2
2

2
3
2
a
a
a
a
a
a
a
aa
C
a) Tìm điều kiện đối với a để biểu thức C
1
xác định?
b) Rút gọn biểu thức C
1
c) Tìm giá trị của a để C
1
= 1
d) Khi nào C
1
có giá trị dơng? giá trị âm?
Bài 12: Cho biểu thức

++

+









+
+
=
abba
aa
ba
a
ab
a
ba
a
C
2
:
2
a) hỏi rằng khi nào thì biểu thức C

2
xác định?
b) Rút gọn biểu thức C
2
c) Biết rằng khi
4
1
=
b
a
thì C
2
= 1. Hãy tìm các giá trị của a và b
Bài 13: Cho biểu thức
a
a
a
aa
a
aa
C
+

+
+
+
=
1
1
:
1
1.1
1
3
a) Rút gọn biểu thức C
3
b) Tính giá trị của biểu thức C
3
khi
21027 +=a
Bài 14: Cho biểu thức

3223
3223
4
babbaa
babbaa
C
+
+
=
a) Rút gọn biểu thức C
4
b) Tính giá trị của biểu thức C
4
khi
2;3 == ba
c) Với giá trị nào của a và b thì C
4
= 1
d) Tìm giá trị của tỉ số giữa a và b để sao cho
2
1
4
=C
Bài 15: Cho biểu thức
x
x
x
x
x
xC

2
:
1
1
1:
1
1
3
5
+















+=
a) Tìm điều kiện đối với x để biểu thức C
5
xác định?
b) Rút gọn biểu thức C

5
c) Tính giá trị của biểu thức C
5
khi
206 +=x
d) Tìm các giá trị nguyên của x để C
5
có giá trị nguyên
Bài 16: Cho biểu thức
x
xx
x
x
B

+
+

+
+
=
2
1
6
5
3
2
2
a) Rút gọn biểu thức B
b) Tính giá trị của biểu thức B biết

32
2
+
=x
c) Tìm các giá trị nguyên của x để B có giá trị nguyên
Bài 17: Cho biểu thức















+
+

+


+

= x
x
x
x
x
x
x
xx
C
1
1
.
1
1
:
1
)1(
33
2
22
a) Rút gọn biểu thức C
b) Tính giá trị của biểu thức C khi
223 +=x
c) Tìm giá trị của x để 3C = 1

d) Tìm các số m thoả mãn: Có số x < 0 sao cho C = m
Bài 18: Cho biểu thức
32
2
2
2
2
3
:
2
2
4
4
2
2
xx
xx
x
x
x
x
x
x
D

+





+
=
a) Rút gọn biểu thức D
b) Tính giá trị của biểu thức D khi |x -5| = 2
Bài 19: Cho biểu thức
49
)1)(12(14
2
2

++
=
x
xxx
E
a) Rút gọn biểu thức E
b) Tìm x để E > 0
Bài 20: Cho biểu thức
96
)3)(24(9

2
2
+

=
xx
xxx
F
a) Rút gọn biểu thức F
b) Tìm các giá trị nguyên của x sao cho F là một số nguyên
Bài 21: Cho biểu thức







+


+






+

+
=
1
2
11
1
:
1
1
1
1
2
x
x
x
xx
x
x
x
G
a) Rút gọn biểu thức G
b) Tính giá trị của biểu thức G khi
324 +=x
c) Tìm giá trị của x để G = -3
Bài 22: Cho biểu thức

+






+

+

+
=
b
a
ba
ba
b
a
ba
ba
ba
ba
L .:
2
22
22
3
a) Rút gọn biểu thức L
b) Tính giá trị của biểu thức L khi
2=
b
a
Bài 23: Cho biểu thức

++

+









+
+
=
abba
a
ba
a
ab
a
ba
a
M
2
:
22
32
22

2
a) Rút gọn biểu thức M
b) Tính giá trị của biểu thức M khi
21;21 =+= ba
c) Tìm giá trị của a và b trong trờng hợp
2
1
=
b
a
thì M = 1
Bài 24: Cho biểu thức
ab
ba
aab
b
bab
a
N
+


+
+
=
a) Rút gọn biểu thức N
b) Tính giá trị của biểu thức N khi
324;324 =+= ba
c) CMR: nếu
5

1
+
+
=
b
a
b
a
thì N có giá trị không đổi
Bài 25: Cho biểu thức
)3()1(
)32(4)1)(32(
2
2
+

xx
xxx
a) Rút gọn biểu thức P
b) Tính giá trị của biểu thức P khi
223 +=x
c) Tìm giá trị của x để P > 1
Bài 26: Cho biểu thức

+











+
+



=
13
23
1:
19
8
13
1
13
1
x
x

x
x
xx
x
Q
a) Rút gọn biểu thức Q
b) Tính giá trị của biểu thức Q khi
526 +=x
c) Tìm x khi
5
6
=Q
Bài 27: Cho biểu thức:
632
6
632
32
+++


+
+
=
baab
ab
baab
ba
R
a) Rút gọn biểu thức R
b) Cho

10
10

+
=
b
b
R
. CMR:
10
9
=
b
a
c) CMR nếu
81
81

+
=
b
b
R
thì khi đó
b
a
là một số nguyên chia hết cho 3
Bài 28: Cho biểu thức

+=
1
1
1:
1
1
3
x
x
x
xS
a) Rút gọn biểu thức S
b) Tìm giá trị của x để S > 5
c) Tính giá trị của biểu thức S khi
14012 +
Bài 29: Cho biểu thức

+

++
+
+

+
=
1
1
1
1
1
2
:1
x
x
xx
x
xx
x
T

a) Rút gọn biểu thức
b) CMR: T > 3 với mọi giá trị x > 0 và x 1
Bài 30: Cho biểu thức
3
32
1
23
32
1115
+
+



+
+

=
x
x
x
x
xx
x
U
a) Rút gọn biểu thức U
b) Tìm giá trị của x khi
2
1
=U

c) Tìm giá trị lớn nhất của U và giá trị tơng ứng của x
Bài 31: Cho biểu thức








+
+
+

+
+

+








+

65
2

3
2
2
3
:
1
1
xx
x
x
x
x
x
x
x
a) Rút gọn biểu thức V
b) Tìm x để V < 0
Bài 32: Cho biểu thức
1
1
1
1
1
1
:
1
1
1
1
+

+






+








+
+

=
xxxxx
Y
a) Rút gọn biểu thức Y
b) Tính giá trị của biểu thức Y khi
21+=x
c) Tìm giá trị của x để
2
3
=Y
Bài 33: Cho biểu thức

2
12
1
2
1
2
2
+








++
+



=
xx
xx
x
x
x
M
a) Xác định x để M tồn tại
b) Rút gọn biểu thức M

c) CMR: Nếu 0 < x < 1 thì M > 0
d) Tìm giá trị lớn nhất của M
e) Tìm x thuộc Z để M là số nguyên
4
Bài 34: Cho biểu thức
yx
xyyx
xy
yx
yx
yx
Q
+
+










+


=
233
)(

:
a) Xác định x, y để Q tồn tại
b) Rút gọn biểu thức Q
c) Tìm giá trị nhỏ nhất của Q
d) So sánh Q với 1
e) So sánh Q và
Q
Bài 35: Cho biểu thức
2
1
:
1
1
11
2









+
++
+

+
=

x
xxx
x
xx
x
P
a) Rút gọn biểu thức P
b) CMR: P > 0 với mọi
1;0 xx
Bài 36: Cho biểu thức








++

+
=
1
2
1:
1
1
1
12
2
2
3
2
xx
x
x
x
x
A
a) Rút gọn biểu thức A
b) Tính giá trị của biểu thức A, biết
35
8
+
=x
c) Tìm giá trị nguyên của x để A nguyên
Bài 37: Cho biểu thức

+








+
=
xx
xx
x
A
1
2
3:
32
5
352
2
2
a) Rút gọn biểu thức A

b) Tìm x để A > 0
c) Tìm x để
2
6
1
x
A

=
Bài 38: Cho biểu thức








+

+

+
+

+
+
+
+
= 1
11
1
:1
11
1
ab
aab
ab
a
ab
aab
ab
a
P
a) Rút gọn biểu thức P
b) Tính giá trị của biểu thức P nếu
31
13
;32
+

== ba
c) Tìm giá trị nhỏ nhất của P nếu
4=+ ba
Bài 39: Cho biểu thức










+


+
+
+
=
xx
x
xx
x
xx
xx
A
2
2

2
2
2
1
11
:
12
a) Rút gọn biểu thức A
b) Tìm x để A > 1
c) Tìm giá trị nhỏ nhất của
A
Bài 40: Cho biểu thức








+

+

+

+
+
+

+
=
1
1
1
1
:
1
11
1
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
P
a) Rút gọn biểu thức P

b) Tính giá trị của biểu thức P, khi
2
32
=x
c) So sánh P với
2
1
Bài 41: Cho biểu thức
x
x
x
x
xx
x
P

+


+

+

=
3
12
2
3
65
92

a) Rút gọn biểu thức P
b) Tìm giá trị của x để P < 1
c) Tìm các giá trị nguyên của x để P có giá trị nguyên
Bài 42: Cho biểu thức:









+
+








+
+
+



=

1
2
1
3
.
111
a
a
a
a
a
a
aa
aa
aa
aa
P
a) Rút gọn biểu thức P
b) Với giá trị nào của a thì
7+= aP
c) CMR: với mọi giá trị của a (thoả mãn đk thích hợp) ta đều có P > 6
Bài 43: Cho biểu thức

+


+








+



+
=
1
2
11
1
:
1
1
1
1
x
x

x
xx
x
x
x
P
a) Rút gọn biểu thức P
b) Tính giá trị của biểu thức P, khi
2
347
=x
c) Tìm giá trị của x để
2
1
=P
Bài 44: Cho biểu thức









+
+

++


+
= a
a
a
aa
a
a
a
P
1
1
.
1
1
12
3
3
a) Rút gọn biểu thức P
b) Xét dấu của biểu thức
aP 1.
5
Bài 45: Cho biểu thức

+
+








+

+

= x
x
xx
x
x
xx
x
xx
P
1
1
.
1
1
:
1
)1(
2
a) Rút gọn biểu thức P
b) Xác định các giá trị của x để: (x+1)P = x-1
Bài 46: Cho biểu thức

+





+












=
3
2
2
3
6
9
:1
9
3

x
x
x
x
xx
x
x
xx
P
a) Rút gọn biểu thức P
b) Tìm giá trị của x để P < 0
Bài 47: Cho biểu thức

+


+
+
= 1
3
22
:
9
33
33
2
x
x
x
x
x
x
x
x
P
a) Rút gọn biểu thức P
b) Tìm x để
2
1
<P
c) Tìm giá trị nhỏ nhất của P

Bài 48: Cho biểu thức
yx
yx
yx
yx
yx
xy
P

+
+

+
+
+

=
2222
a) Rút gọn biểu thức P
b) Tìm các giá trị của x, y thoả mãn P > 1
Bài 49: Cho biểu thức

+
+
+

+
+
= 1
1
12
2
1
2
393
xx
x
x
x
xx
xx
P
a) Rút gọn biểu thức P
b) Tìm các giá trị nguyên của x để P nguyên
c) Tìm giá trị của x để
xP =
Bài 50: Cho biểu thức
2
2
1 1 1

.
1 1 1
x
K
x x x x


=
ữ
+ +

a) Tìm điều kiện của x để biểu thức K xác định.
b) Rút gọn biểu thức K
c) Tìm giá trị của x để K đạt giá trị lớn nhất
Bài 51: Cho biểu thức
2
2
1 1 4 1 2003
.
1 1 1
x x x x x
K
x x x x

+ +
= +
ữ
+

a) Tìm điều kiện đối với x để K xác định

b) Rút gọn K
c) Với những giá trị nguyên nào của x thì biểu thức K có giá trị nguyên?
Bài 52: Cho biểu thức
3
2 2( 1) 10 3
1 1
1
x x x
M
x x x
x
+ +
= + +
+ +

a) Với giá trị nào của x thì biểu thức có nghĩa
b) Rút gọn biểu thức
a) Tìm x để biểu thức có giá trị lớn nhất
Bài 53: Cho biểu thức A =
a
a
a
a
aa
aa

+

+
+

+
+
+
4
2
2
4
28
)12(
a) Rút gọn A
b) Tìm a để A nhận giá trị nguyên (dùng PP BĐT)
Bài 54: Cho biểu thức:
2 10 2 1
6 3 2
x x x
Q
x x x x
+
=

Với x 0 và x 1
a) Rút gọn biểu thức Q
b) Tìm giá trị của x để
1
3
Q =
Bài 55: Cho biểu thức

3 2 1 1
:

1
( 2)( 1) 1 1
a a a a
P
a
a a a a

+ + +

= +

ữ

+ +


a) Rút gọn biểu thức P
b) Tìm a để
1 1
1
8
a
P
+

6