Chuyên đề: Hình học giải tích trong không gian pps

Chuyên đề
HÌNH HỌC GIẢI TÍCH TRONG KHÔNG GIAN
A. LÝ THUYẾT
I. TỌA ĐỘ CỦA ĐIỂM VÀ VECTƠ
A. Hệ trục toạ độ Oxyz gồm ba trục Ox, Oy, Oz đôi một vuông góc với nhau với ba vectơ đơn vị
, ,i j k
r ur ur
( )
1i j k
= = =
r r ur
.
B.
( )
1 2 3 1 2 3
; ;
a
a a a a a i a j a k
=
⇔ + +
uur
uur ur ur uur
; M(x;y;z)⇔
OM xi y j zk
= + +
uur
uuuuur
ur uur
C. Tọa độ của vectơ: cho
( ; ; ), ( '; '; ')u x y z v x y z
r r

1.
'; '; 'u v x x y y z z= ⇔ = = =
r r
2.
( )
'; '; 'u v x x y y z z
± = ± ± ±
r r
3.
( ; ; )ku kx ky kz=
r
4.
. ' ' 'u v xx yy zz
= + +
ur r
5.
' ' ' 0u v xx yy zz⊥ ⇔ + + =
r r
6.
2 2 2
u x y z
= + +
r
7.
( )
' ' ; ' ' ; ' '; ;
' ' ' ' ' '
yz y z zx z x xy x y
y z z x x y
u v

y z z x x y
 
= − − −
 ÷
 ÷
 
∧ =
r r
8.
,u v
ur r
cùng phương⇔
[ , ] 0=
r r
r
u v
9.
( )
cos ,
.
.
u v
u v
u v
=
ur r
r r
r r
.
D. Tọa độ của điểm: cho A(x

A
;y
A
;z
A
), B(x
B
;y
B
;z
B
)
1.
( ; ; )= − − −
uuur
B A B A B A
AB x x y y z z
2.
2 2 2
( ) ( ) ( )= − + − + −
B A B A B A
AB x x y y z z
3.G là trọng tâm tam giác ABC ta có:
x
G
=
3
A B C
x x x+ +
;y

G
=
3
A B C
y y y+ +
; z
G
=
3
A B C
z z z+ +
4. M chia AB theo tỉ số k:
; ; ;
1 1 1
− − −
= = =
− − −
A B A B A B
M M M
x kx y ky z kz
x y z
k k k
Đặc biệt: M là trung điểm của AB:
; ; .
2 2 2
A B A B A B
M M M
x x y y z z
x zy
+ + +

= = =
5. ABC là một tam giác⇔
AB AC∧
uuur uuur
≠
0
r
khi đó S=
1
2
AB AC∧
uuur uuur
6. ABCD là một tứ diện⇔
AB AC∧
uuur uuur
.
AD
uuur
≠0, V
ABCD
=
( )
1
,
6
AB AC AD∧
uuur uuur uuur
, V
ABCD
=

1
.
3
BCD
S h
(h là đường cao
của tứ diện hạ từ đỉnh A)
II. PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG & MẶT
I. Mặtphẳng
Mặt phẳng
α
được xác định bởi: {M(x
0
;y
0
;z
0
),
( ; ; )n A B C=
r
}. Phương trình tổng quát của mặt
phẳng
α
: Ax+By+Cz+D=0, tìm D từ Ax
0
+By
0
+Cz
0
+D=0

hay A(x-x
0
)+B(y-y
0
)+C(z-z
0
)=0⇔ Ax+By+Cz+D=0.
 một số mặt phẳng thường gặp:
a/ Mặt phẳng (Oxy): z=0; mặt phẳng (Oxz): y=0; mặt phẳng (Oyz): x=0.
b/ Mặt phẳng đi qua ba điểm A,B,C: có
( )
[ , ]
ABC
n AB AC=
r uuur uuur
c/
α
//
β
⇒
n n
α β
=
uur uur
d/
α
⊥
β
⇒
n u

α β
=
uur uur
và ngược lại e/
α
//d⇒
d
u u
α
=
uur uur
f/
α
⊥d⇒
d
n u
α
=
uur uur
.
Nguyễn Văn Thân
1
( )
1;0;0i
r
( )
0;1;0j
r
( )
0;0;1k

r
O
z
x
y
II. Đường thẳngIV.Đường cong
Đường thẳng ∆ được xác định bởi: {M(x
0
;y
0
;z
0
),
u
∆
uur
=(a;b;c)}
i.Phương trình tham số:
0
0
0
x x at
y y bt
z z ct
= +


= +



= +

;
ii.Phương trình chính tắc:
0 0 0
x x y y z z
a b c
− − −
= =

iii.Đường thẳng qua giao tuyến hai mặt phẳng:
1 1 1 1
2 2 2 2
0
0
A x B y C z D
A x B y C z D
+ + + =


+ + + =

trong đó
1 1 1 1
( ; ; )n A B C=
uur
,
2 2 2 2
( ; ; )n A B C=
uur

là hai VTPT và VTCP
1 2
[ ]u n n
∆
=
uur uuruur
.
†Chú ý: a/ Đường thẳng Ox:
0
0
y
z
=


=

; Oy:
0
0
x
z
=
=



; Oz:
0
0

x
y
=


=


b/ (AB):
AB
u AB=
r uuur
; c/ ∆
1
//∆
2
⇒
1 2
u u
∆ ∆
=
uur uur
; d/ ∆
1
⊥∆
2
⇒
1 2
u n
∆ ∆

=
uur uur
.
III. Góc- Kh/C
Góc giữa hai đường thẳng
*cos(∆,∆’)=cos
ϕ
=
. '
. '
u u
u u
ur uur
r uur
;
Góc giữa hai mp
*cos(
α
,
α
’)=cosϕ=
. '
. '
n n
n n
ur uur
r uur
;
Góc giữa đường thẳng và mp
*sin(∆,

α
)=sinψ=
.
.
n u
n u
ur r
r r
.
KHOẢNG CÁCH
Cho M (x
M
;y
M
;z
M
),
α
:Ax+By+Cz+D=0,∆:{M
0
(x
0
;y
0
;z
0
),
u
∆
r

},
∆’ {M’
0
(x
0
';y
0
';z
0
'),
'u
∆
uur
}
* Khoảng cách từ M đến mặt phẳng α: d(M,
α
)=
2 2 2
M M M
Ax By CZ D
A B C
+ + +
+ +
* Khoảng cách từ M đến đường thẳng ∆: d(M,∆)=
1
[ , ]MM u
u
uuuuur r
r
* Khoảng cách giữa hai đường thẳng: d(∆,∆’)=

0 0
[ , ']. '
[ , ']
u u M M
u u
r uur uuuuuuuur
uur uur
III. PHƯƠNG TRÌNH MẶT CẦU
Mặt cầu (S){I(a;b;c),bán kính R}
Dạng 1: (x-a)
2
+(y-b)
2
+(z-c)
2
=R
2
(S)
Dạng 2: x
2
+y
2
+z
2
-2ax-2by-2cz+d=0 khi đó R=
2 2 2
a b c d
+ + −
1. d(I,
α

)>R:
α
∩
(S)=∅
2. d(I,
α
)=R:
α
∩
(S)=M (M gọi là tiếp điểm)
*Điều kiện để mặt phẳng
α
tiếp xúc mặt cầu (S): d(I, α)=R (mặt phẳng
α
là tiếp diện của mặt cầu (S) tại M
khi đó
n
α
uur
=
IM
uuur
)
3. Nếu d(I,
α
)<R thì
α
sẽ cắt mc(S) theo đường tròn (C) có phương trình là giao của
α
và (S). Để tìm tâm H

và bán kính r của (C) ta làm như sau:
a. Tìm r =
2 2
- ( , )R d I
α
b. Tìm H: +Viết phương trình đường thẳng ∆ qua I, vuông góc với
α
+H=∆
∩
α
(toạ độ điểm H là nghiệm của hệ phương trình ∆ với
α
)
Nguyễn Văn Thân
2
B. BÀI TẬP
1. (Khối D_2009)
Chuẩn
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho các điểm A(2;1;0), B(1;2;2), C(1;1;0) và mặt phẳng (P):x+y+z−20=0.
Xác định tọa độ điểm D thuộc đường thẳng AB sao cho đường thẳng CD song song với mặt phẳng (P).
Nâng cao
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng
22
:
1 1 1
yx z−+
∆ = =
−
vặt phẳng (P):x+2y−3z+4=0. Viết
phương trình đường thẳng d nằm trong (P) sao cho d cắt và vuông góc với đường thẳng ∆.

ĐS: Chuẩn
5 1
; ; 1
2 2
D
 
−
 ÷
 
, Nâng cao
3
1 2
1
x t
d y t
z t
= − +


= −


= −

2. (Khối D_2008)
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho bốn điểm A(3;3;0), B(3;0;3), C(0;3;3), D(3;3;3).
a. Viết phương trình mặt cầu đi qua bốn điểm A, B, C, D.
b. Tìm tọa độ tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.
Nguyễn Văn Thân
3

ĐS: a. x
2
+y
2
+z
2
−3x−3y−3z=0, b. H(2;2;2).
3. (Khối D_2007)
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm A(1;4;2), B(−1;2;4) và đường thẳng
21
:
1 1 2
yx z+−
∆ = =
−
.
a. Viết phương trình đường thẳng d đi qua trọng tâm G của tam giác OAB và vuông góc với mặt phẳng
(OAB).
b. Tìm tọa độ điểm M thuộc đường thẳng ∆ sao cho MA
2
+MB
2
nhỏ nhất.
Nguyễn Văn Thân
4
ĐS: a.
2 2
:
2 1 1
yx z

d
− −
= =
−
, b. M(−1;0;4).
4. (Khối D_2006)
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm A(1;2;3) và hai đường thẳng
1
22 3
:
2 1 1
yx z
d
+− −
= =
−
,
1
11 1
:
1 2 1
yx z
d
−− +
= =
−
.
a. Tìm tọa độ điểm A’ đối xưmgs với điểm A qua đường thẳng d
1
.

b. Viết phương trình đường thẳng ∆ đi qua A, vuông góc với d
1
và cắt d
2
.
ĐS:
a. A’(−1;−4;1), b.
21 3
:
1 3 5
yx z−− −
∆ = =
− −
.
5. (Khối D_2005)
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho hai đường thẳng
1
21 1
:
3 1 2
yx z
d
+− +
= =
−
và
2
12 3
:
10 2

x t
d y t
z t
= −


=


= −

.
a. Chứng minh d
1
và d
2
song song với nhau. Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa cả hai đường thẳng d
1
và
d
2
.
b. Mặt phẳng tọa độ Oxz cắt hai đường thẳng d
1
, d
2
lần lượt tại các điểm A, B. Tính diện tích tam giác OAB (O
là gốc tọa độ).
Nguyễn Văn Thân
5

ĐS: a. 15x+11y−17z−10=0, b.
5
OAB
S
∆
=
.
6. (Khối D_2004)
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho ba điểm A(2;0;1), B(1;0;0), C(1;1;1) và mặt phẳng (P):x+y+z−2=0. Viết
phương trình mặt cầu đi qua ba điểm A, B, C và có tâm thuộc mặt phẳng (P).
ĐS:
( ) ( )
2 2
2
1 1 1x y z− + + − =
.
7. (Khối D_2003)
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz gian cho đường thẳng d
k
là giao tuyến của hai mặt phẳng (
α
): x+3ky−z+2=0,
(
β
): kx−y+z+1=0. Tìm k để đường thẳng d
k
Vuông góc với mặt phẳng (P):x−y−2z+5=0.
Nguyễn Văn Thân
6
ĐS: k=1.

8. (Khối D_2002)
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz gian cho mặt phẳng (P): 2x−y+2=0 và đường thẳng d
m
là giao tuyến của hai
mặt phẳng (
α
): (2m+1)x+(1−m)y+m−1=0, (
β
): mx+(2m+1)z+4m+2=0. Tìm m để đường thẳng d
m
song song với mặt
phẳng (P).
ĐS:
1
2
m = −
.
Nguyễn Văn Thân
7
9. (Khối B_2009)
Chuẩn
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho tứ diệm ABCD có các đỉnh A(1;2;1), B(−2;1;3), C(2;−1;1) và D(0;3;1).
Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua A, B sao cho khoảng cách từ C đến (P) bằng khoảng cách từ D đến (P).
Nâng cao
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (P): x−2y+2z−5=0 và hai điểm A(−3;0;1), B(1;−1;3). Trong
các đường thẳng đi qua A và song song với (P), hãy viết phương trình đường thẳng mà khoảng cách từ B đến
đường thẳng đó là nhỏ nhất.
Nguyễn Văn Thân
8
ĐS: Chuẩn (P): 2x+3z−5=0, Nâng cao

3 1
:
26 11 2
yx z+ −
∆ = =
−
.
10. (Khối B_2008)
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho ba điểm A(0;1;2), B(2;−2;1), C(−2;0;1).
a. Viết phương trình mặt phẳng đi qua ba điểm A, B, C.
b. Tìm tọa độ của điểm M thuộc mặt phẳng 2x+2y+z−3=0 sao cho MA=MB=MC.
ĐS:
Nguyễn Văn Thân
9
a. x+2y−4z+6=0, b. M(2;3;−7).
11. (Khối B_2007)
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt cầu (S): x
2
+y
2
+z
2
−2x+4y+2z−3=0 và mặt phẳng (P): 2x−y+2z−14=0.
a. Viết phương trình mặt phẳng (Q) chứa trục Ox và cắt (S) theo một đường tròn có bán kính bằng 3.
b. Tìm tọa độ điểm M thuộc mặt cầu (S) sao cho khoảng cách từ M dến mặt phẳng (P) lớn nhất.
ĐS: a. y−2z=0, b. M(−1;−1;−3).
12. (Khối B_2006)
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm A(0;1;2) và hai đường thẳng
1
1 1

:
2 1 1
yx z
d
− +
= =
−
,
2
1
: 1 2
2
x t
d y t
z t
= +


= − −


= +

.
a. Viết phương trình mặt phẳng (P) qua A, đồng thời song song với d
1
, d
2
.
b. Tìm tọa độ điểm M thuộc d

1
, N thuộc d
2
sao cho A, M, N thẳng hàng.
Nguyễn Văn Thân
10
ĐS: a. (P): x+3y+5z−13=0, b. M(0;1;−1), N(0;1;1).
13. (Khối B_2005)
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho hình lăng trụ đứng ABC.A
1
B
1
C
1
với A(0;−3;0), B(4;0;0), C(0;3;0),
B(4;0;4).
a. Tìm tọa độ các đỉnh A
1
, C
1
. Viết phương trình mặt cầu tâm A và tiếp xúc với mặt phẳng (BCB
1
C
1
).
b. Gọi M là trung điểm của A
1
B
1
. Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua hai điểm A

,
M và song song với
BC
1
. Mặt phẳng (P) cắt đường thẳng A
1
C
1
tại điểm N. Tính độ dài đoạn MN.
ĐS:
17
2
MN =
14. (Khối B_2004)
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho điểm A(−4;−2;4) và đường thẳng
3 2
: 1
1 4
x t
d y t
z t
= − +


= −


= − +

. Viết phương trình

đường thẳng ∆ đi qua điểm A, cắt và vuông góc với đường thẳng d.
Nguyễn Văn Thân
11
ĐS:
24 4
:
3 2 1
yx z++ −
∆ = =
−

15. (Khối B_2003)
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho hai điểm A(2;0;0), B(0;0;8) và điểm C sao cho
( )
0;6;0AC =
uuur
. Tính
khoảng cách từ trung điểm I của BC đến đường thẳng OA.
ĐS: Khoảng cách bằng 5
16. (Khối A_2009)
Chuẩn
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (P): 2x−2y−z−4=0 và mặt cầu (S): x
2
+y
2
+z
2
−2x−4y−6z−11=0.
Chứng minh rằng (P) cắt mặt cầu (S) theo một đường tròn. Xác định tọa độ tâm và bán kính của đường tròn đó.
Nâng cao

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (P): x−2y+2z−1=0 và hai đường thẳng
1
1 9
:
1 1 6
yx z+ +
∆ = =
,
2
31 1
:
2 1 2
yx z−− +
∆ = =
−
. Xác định tọa độ điểm M thuộc đường thẳng ∆
1
sao cho khoảng cách từ M đến đường
thẳng ∆
2
và khoảng cách từ M đến mặt phẳng (P) bằng nhau.
ĐS: Chuẩn H(3;0;2), r=4. Nâng cao M
1
(0;1;−3),
2
18 53 3
; ;
35 35 35
M
 

 ÷
 
.
Nguyễn Văn Thân
12
17. (Khối A_2008)
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm A(2;5;3) và đường thẳng
1 2
:
2 1 2
x y z
d
− −
= =
.
a. Tìm tọa độ hình chiếu vuông góc của điểm A lên đường thẳng d.
b. Viết phương trình mặt phẳng (
α
) chứa d sao cho khoảng cáh từ A đến (
α
) lớn nhất.
ĐS: a. H(3;1;4), (
α
): x−4y+z−3=0.
18. (Khối A_2007)
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai đường thẳng
1
1 2
:
2 1 1

yx z
d
− +
= =
−
và
2
1 2
: 1
3
x t
d y t
z
= − +


= +


=

.
a. Chứng minh rằng d
1
và d
2
chéo nhau.
b. Viết phương trình đường thẳng d vuông góc với mặt phẳng (P): 7x+y−4z=0 và cắt cả hai đường thẳng d
1
,

d
2
.
Nguyễn Văn Thân
13
ĐS:
2 1
:
7 1 4
yx z
d
− +
= =
−
19. (Khối A_2006)
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ với A(0;0;0), B(1;0;0), D(0;1;0),
A’(0;01). Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AB và CD.
a. Tính khoảng cách giữa đường thẳng A’C và MN.
b. Viết phương trình mặt phẳng chứa A’C và tạo với mặt phẳng Oxy một góc
α
biết
1
cos
6
α
=
Nguyễn Văn Thân
14
ĐS: a.
( )

1
' ,
2 2
d A C MN =
, (Q
1
): 2x−y+z−1=0, (Q
2
): x−2y−z+1=0.
20. (Khối A_2005)
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho đường thẳng d:
1 3 3
1 2 1
x y z− + −
= =
−
và mặt phẳng (P): 2x+y−2z+9=0.
a. Tìm tọa độ điểm I thuộc d sao cho khoảng cách từ I đến mặt phẳng (P) bằng 2.
b. Tìm tọa độ giao điểm A của đường thẳng d và mặt phẳng (P). Viết phương trình tham số của đường thẳng
∆ nằm trong mặt phẳng (P), biết ∆ đi qua A và vuông góc với d.
ĐS: a. I
1
(−3;5;7), I
2
(3;−7;1)
Nguyễn Văn Thân
15
21. (Khối A_2004)
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi, AC cắt BD tại gốc tọa độ
O. Biết A(2;0;0), B(0;1;0),

( )
0;0;2 2S
. Gọi M là trung điểm của cạnh SC.
a. Tính góc và khoảng cách giữa hai đường thẳng SA, BM.
b. Giả sử mặt phẳng (ABM) cắt đường thẳng SD tại điểm N. Tính thể tích khối chóp S.ABMN.
Nguyễn Văn Thân
16
ĐS: a.
( )
2 6
,
3
d SA BM =
, b.
.
2
S AMN
V =
.
22. (Khối A_2002)
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho hai đường thẳng:
1
2
:
2 3 4
yx z+
∆ = =
và
2
1

: 2
1 2
x t
y t
z t
= +


∆ = +


= +

a. Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa đường thẳng ∆
1
và song song với đường thẳng ∆
2
.
b. Cho điểm M(2;1;4). Tìm tọa độ điểm H thuộc đường thẳng ∆
2
sao cho đoạn thẳng MH có độ dài nhỏ
nhất.
Nguyễn Văn Thân
17
ĐS: a. 2x−z=0, b. H(2;3;4)
23. (CĐ_Khối A_2009)
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho các mặt phẳng (P
1
): x+2y+3z+4=0 và (P
2

): 3x+2y−z+1−0. Viết phương
trình mặt phẳng (P) đi qua điểm A(1;1;1), vuông góc với hai mặt phẳng (P
1
) và (P
2
).
ĐS: (P): 4x−5y+2z−1−0
24. (CĐ_Khối A_2008)
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm A(1;1;3) và đường thẳng d có phương trình
1
1 1 2
yx z −
= =
−
.
a. Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua A và vuông góc với đường thẳng d.
b. Tìm tọa độ điểm M thuộc đường thẳng d sao cho tam giác MOA cân tại đỉnh O.
ĐS: a. x−y+2z−6=0
b.
( )
1 2
5 5 7
1; 1;3 , ; ;
3 3 3
M M
 
− − −
 ÷
 
Nguyễn Văn Thân

18