Chuyên đề: Thể tích khối đa diện docx

Chun đề:Thể tích vật trong khơng gian

Lê Hồng Thật

CHUN ĐỀ: THỂ TÍCH KHỐI ĐA DIỆN
CHUYÊN ĐỀ: THỂ TÍCH KHỐI ĐA DIỆN
PHẦN 1. KIẾN THỨC CƠ BẢN HÌNH HỌC LỚP
10
PHẦN 1. KIẾN THỨC CƠ BẢN HÌNH HỌC LỚP 99--10
1. Hệ thức lượng trong tam giác vuông : cho ∆ABC vuông ở A ta có :
a) Định lý Pitago : BC 2 = AB 2 + AC 2

A
_

b) BA2 = BH .BC ; CA2 = CH .CB
c) AB. AC = BC. AH
d)

b
_

c
_

1
1
1
=
+
2

2
AH
AB
AC 2

e)
f)

BM = AM = MC
Sin lấy Đối chia Huyền
Cosin 2 cạnh Kề Huyền chia nhau
Tan thì để đó tính sau
Đối trên Kề dưới chia nhau được.
2.Hệ thức lượng trong tam giác thường:
* Định lý hàm số Côsin:
a2 = b2 + c2 - 2bc.cosA

B
_

H M
_ _
a
_

C
_

a
b

c
=
=
= 2R
sin A sin B sin C

* Định lý hàm số Sin:

3. Các cơng thức tính diện tích.
a/ Cơng thức tính diện tích tam giác:

S=

1
1
a.b.c
= p.r =
a.ha = a.b sin C =
2
2
4R

p.( p − a )( p − b)( p − c) với p =

a+b+c
2

1
2

Đặc biệt :* ∆ABC vuông ở A : S = AB. AC
a2 3
* ∆ABC đều cạnh a: S =
4

b/ Diện tích hình vng : S = cạnh * cạnh
c/ Diện tích hình chữ nhật : S = dài * rộng
d/ Diên tích hình thoi : S =

1
(chéo dài * chéo ngắn)
2

1
(đáy lớn + đáy nhỏ) * chiều cao
2
e/ Diện tích hình bình hành : S = đáy * chiều cao

d/ Diện tích hình thang : S =



0977.991.861

1


Chun đề:Thể tích vật trong khơng gian

Lê Hồng Thật

PHẦN KIẾN THỨC CƠ BẢN HÌNH HỌC LỚP 11
PHẦN 22 KIẾN THỨC CƠ BẢN HÌNH HỌC LỚP 11
A.QUAN HỆ SONG SONG
§1.ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG SONG SONG
ĐL1:Nếu đường thẳng d
không nằm trên mp(P) và song
song với đường thẳng a nằm
trên mp(P) thì đường thẳng d
song song với mp(P)
ĐL2: Nếu đường thẳng a song
song với mp(P) thì mọi mp(Q)
chứa a mà cắt mp(P) thì cắt
theo giao tuyến song song với
a.
ĐL3: Nếu hai mặt phẳng cắt
nhau cùng song song với một
đường thẳng thì giao tuyến
của chúng song song với
đường thẳng đó.

 d ⊄ (P)

 d / /a ⇒ d / /(P)
 a ⊂ (P)


 a / /(P)

⇒ d / /a

 a ⊂ (Q)
 (P) ∩ (Q) = d


 (P) ∩ (Q) = d

⇒ d / /a
 (P) / /a
 (Q) / /a


d

a
(P)

(Q)

a
d

(P)

d
a
Q

P

§2.HAI MẶT PHẲNG SONG SONG

ĐL1: Nếu mp(P) chứa hai
đường thẳng a, b cắt nhau và
cùng song song với mặt
phẳng (Q) thì (P) và (Q)
song song với nhau.
ĐL2: Nếu một đường thẳng
nằm một trong hai mặt phẳng
song song thì song song với
mặt phẳng kia.
ĐL3: Nếu hai mặt phẳng (P)
và (Q) song song thì mọi mặt
phẳng (R) đã cắt (P) thì phải
cắt (Q) và các giao tuyến của
chúng song song.



 a,b ⊂ (P)

⇒ (P) / /(Q)
a ∩ b = I
 a / /(Q),b / /(Q)

(P) / /(Q)
⇒ a / /(Q)

a ⊂ (P)

P

a
b I

Q
a
P
Q
R

(P) / /(Q)

(R) ∩ (P) = a ⇒ a / / b
(R) ∩ (Q) = b


0977.991.861

P
Q

a
b

2


Chun đề:Thể tích vật trong khơng gian

Lê Hồng Thật

B.QUAN HỆ VNG GĨC
§1.ĐƯỜNG THẲNG VNG GĨC VỚI MẶT PHẲNG
ĐL1: Nếu đường thẳng d
vng góc với hai đường
thẳng cắt nhau a và b cùng
nằm trong mp(P) thì đường
thẳng d vng góc với mp(P).
ĐL2: (Ba đường vng góc)
Cho đường thẳng a khơng
vng góc với mp(P) và
đường thẳng b nằm trong (P).
Khi đó, điều kiện cần và đủ để
b vng góc với a là b vng
góc với hình chiếu a’ của a
trên (P).

d

 d ⊥ a ,d ⊥ b

 a ,b ⊂ mp(P) ⇒ d ⊥ mp(P)
 a,b caét nhau


b

a

P

a

a ⊥ mp(P),b ⊂ mp(P)
b ⊥ a ⇔ b ⊥ a'

b

a'

P

§2.HAI MẶT PHẲNG VNG GĨC
ĐL1:Nếu một mặt phẳng
chứa một đường thẳng
vng góc với một mặt
phẳng khác thì hai mặt
phẳng đó vng góc với
nhau.
ĐL2:Nếu hai mặt phẳng (P)
và (Q) vng góc với nhau
thì bất cứ đường thẳng a nào
nằm trong (P), vng góc
với giao tuyến của (P) và (Q)
đều vng góc với mặt
phẳng (Q).
ĐL3: Nếu hai mặt phẳng (P)
và (Q) vng góc với nhau
và A là một điểm trong (P)
thì đường thẳng a đi qua
điểm A và vng góc với

(Q) sẽ nằm trong (P)
ĐL4: Nếu hai mặt phẳng cắt
nhau và cùng vng góc với
mặt phẳng thứ ba thì giao
tuyến của chúng vng góc
với mặt phẳng thứ ba.



Q

 a ⊥ mp(P)
⇒ mp(Q) ⊥ mp(P)

a ⊂ mp(Q)


 (P) ⊥ (Q)

 (P) ∩ (Q) = d ⇒ a ⊥ (Q)
 a ⊂ (P),a ⊥ d


(P) ⊥ (Q)

A ∈ (P)
⇒ a ⊂ (P)

A∈a


a ⊥ (Q)


 (P) ∩ (Q) = a

⇒ a ⊥ (R)
 (P) ⊥ (R)
 (Q) ⊥ (R)

0977.991.861

a

P

P
a

Q

d
P
a
A

Q

P

a

Q

R

3


Chun đề:Thể tích vật trong khơng gian

Lê Hồng Thật

§3.KHOẢNG CÁCH
1. Khoảng cách từ 1 điểm tới 1 đường thẳng
, đến 1 mặt phẳng:
Khoảng cách từ điểm M đến đường thẳng a
(hoặc đến mặt phẳng (P)) là khoảng cách giữa
hai điểm M và H, trong đó H là hình chiếu của
điểm M trên đường thẳng a ( hoặc trên mp(P))

O

O
H

a

d(O; a) = OH; d(O; (P)) = OH
2. Khoảng cách giữa đường thẳng và mặt
phẳng song song:

Khoảng cách giữa đường thẳng a và mp(P)
song song với a là khoảng cách từ một điểm
nào đó của a đến mp(P).
d(a;(P)) = OH
3. Khoảng cách giữa hai mặt phẳng song
song:
là khoảng cách từ một điểm bất kỳ trên mặt
phẳng này đến mặt phẳng kia.
d((P);(Q)) = OH

O

a

H

P

O

P

H

Q

4.Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo
nhau:
là độ dài đoạn vng góc chung của hai đường
thẳng đó.

d(a;b) = AB

H

P

a

b

A

B

§4.GĨC
1. Góc giữa hai đường thẳng a và b
là góc giữa hai đường thẳng a’ và b’ cùng đi
qua một điểm và lần lượt cùng phương với a và
b.
2. Góc giữa đường thẳng a khơng vng góc
với mặt phẳng (P)
là góc giữa a và hình chiếu a’ của nó trên
mp(P).
Đặc biệt: Nếu a vng góc với mặt phẳng (P)
thì ta nói rằng góc giữa đường thẳng a và
mp(P) là 900.



0977.991.861

a

a'

b'

b

a

P

a'

4


Chun đề:Thể tích vật trong khơng gian
3. Góc giữa hai mặt phẳng
là góc giữa hai đường thẳng lần lượt vng góc
với hai mặt phẳng đó.
Hoặc là góc giữa 2 đường thẳng nằm trong 2
mặt phẳng cùng vng góc với giao tuyến tại 1
điểm

Lê Hồng Thật

b

a

a

Q

P

4. Diện tích hình chiếu: Gọi S là diện tích của
đa giác (H) trong mp(P) và S’ là diện tích hình
chiếu (H’) của (H) trên mp(P’) thì

b

Q

P

S

S' = Scos ϕ

trong đó ϕ là góc giữa hai mặt phẳng (P),(P’).
A

C

ϕ
B

PHẦN KIẾN THỨC CƠ BẢN HÌNH HỌC LỚP 12
PHẦN 33 KIẾN THỨC CƠ BẢN HÌNH HỌC LỚP 12
A. THỂ TÍCH KHỐI ĐA DIỆN
I/ Các cơng thức thể tích của khối đa diện:

h
B



0977.991.861

5


Chun đề:Thể tích vật trong khơng gian

Lê Hồng Thật
S

1. THỂ TÍCH KHỐI LĂNG TRỤ:
V= B.h

C'

B : diện tích đáy
với 
h : chiều cao

A'

A

B'
C

a) Thể tích khối hộp chữ nhật:
V = a.b.c
với a,b,c là ba kích thước

B

a

b) Thể tích khối lập phương:
V = a3
với a là độ dài cạnh
2. THỂ TÍCH KHỐI CHĨP:
V=

c
b

a

a

a

1

Bh
3

h

 B : diện tích đáy
với 
 h : chiều cao
3. TỈ SỐ THỂ TÍCH TỨ DIỆN:
Cho khối tứ diện SABC và A’, B’, C’ là các
điểm tùy ý lần lượt thuộc SA, SB, SC ta có:
VSABC

VSA ' B' C '

=

B

SA SB SC
SA ' SB' SC '

4. THỂ TÍCH KHỐI CHĨP CỤT:
V=

(

h
B + B'+ BB'
3

)

A'

B'
C'

 B, B' : diện tích hai đáy

với 

A

 h : chiều cao

B

 Chú ý:

C

1/ Đường chéo của hình vng cạnh a là d = a 2 ,
Đường chéo của hình lập phương cạnh a là d = a 3 ,
Đường chéo của hình hộp chữ nhật có 3 kích thước a, b, c là d =
2/ Đường cao của tam giác đều cạnh a là h =

a 2 + b2 + c 2 ,

a 3

2

3/ Hình chóp đều là hình chóp có đáy là đa giác đều và các cạnh bên đều bằng
nhau ( hoặc có đáy là đa giác đều, hình chiếu của đỉnh trùng với tâm của đáy).
4/ Lăng trụ đều là lăng trụ đứng có đáy là đa giác đều.

PHẦN BÀI TẬP
PHẦN 44 BÀI TẬP


LOẠI 1: THỂ TÍCH KHỐI CHĨP
THỂ
LOẠI 1:0977.991.861 TÍCH KHỐI CHĨP

6


Chun đề:Thể tích vật trong khơng gian

Lê Hồng Thật

DẠNG 1: KHỐI CHĨP CĨ CẠNH BÊN VNG GĨC VỚI ĐÁY.
Ví dụ 1: Cho hình chóp SABC có SB = SC = BC = CA = a . Hai mặt (ABC)
và (ASC) cùng vng góc với (SBC). Tính thể tích hình chóp .
Ví dụ 2: Cho hình chóp SABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại B với
AC = a biết SA vng góc với đáy ABC và SB hợp với đáy một góc 60o.
1) Chứng minh các mặt bên là tam giác vng .
2)Tính thể tích hình chóp .
Ví dụ 3: Cho hình chóp SABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh a biết SA
vng góc với đáy ABC và (SBC) hợp với đáy (ABC) một góc 60o.

Tính thể tích hình chóp .
Ví dụ 4: Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD là hình vng có cạnh a và SA
vng góc đáy ABCD và mặt bên (SCD) hợp với đáy một góc 60o.
1) Tính thể tích hình chóp SABCD.
2) Tính khoảng cách từ A đến mặt phẳng (SCD)

Bài tập tương tự:
Bài 1: Cho hình chóp SABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại B với AB=BC=a biết SA vng góc
3
Đs: V = a 2

với đáy ABC và SB hợp với (ABC) một góc 30o. Tính thể tích hình chóp .

6

Bài 2: Cho hình chóp SABC có SA vng góc với đáy (ABC) và SA = h ,biết rằng tam giác ABC đều
3
Đs: V = h 3

và mặt (SBC) hợp với đáy ABC một góc 30o .Tính thể tích khối chóp SABC .

3

Bài 3: CĐáy ABC của hình chóp SABC là tam giác vng cân (BA=BC). Cạnh bên SA vng góc với
mặt phẳng đáy và có độ dài là a 3 . Cạnh bên SB tạo với một góc 60 0 . Tính diện tích tồn phần của
hình chóp
a 5
·
Bài 4:Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thoi cạnh a, BAD = 600 , SA = SC =
, SB = SD.Tính

2
thể tích khối chóp S.ABCD.
Bài 5:Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vng cân tại đỉnh B, AC = a 2 và SB = a 3 .
Đường thẳng SA vng góc với mặt phẳng (ABC). Tính theo a thể tích khối chóp S.ABC.
Bài 5: Cho tứ diện ABCD có AD ⊥ (ABC) biết AC = AD = 4 cm,AB = 3 cm, BC = 5 cm.
1) Tính thể tích ABCD.
Đs: V = 8 cm3
12

2) Tính khoảng cách từ A đến mặt phẳng (BCD).

Đs: d = 34
Bài 6: Cho khối chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác cân tại A với BC = 2a , góc A=1200, biết
3
SA ⊥ (ABC) và mặt (SBC) hợp với đáy một góc 45o . Tính thể tích khối chóp SABC. Đs: V = a
9
Bài 7: Cho khối chóp SABCD có đáy ABCD là hình vng biết SA ⊥ (ABCD),SC = a và SC hợp với
a3 3
đáy một góc 60o Tính thể tích khối chóp.
Đs: V =
48
Bài 8: Cho khối chóp SABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật biết rằng
SA ⊥ (ABCD) , SC hợp với đáy một góc 45o và AB = 3a , BC = 4a
Tính thể tích khối chóp.
Đs: V = 20a3
Bài 9: Cho khối chóp SABCD có đáy ABCD là hình thoi cạnh a và góc nhọn A
bằng 60o và SA ⊥ (ABCD) ,biết rằng khoảng cách từ A đến cạnh SC = a.
3
Đs: V = a 2

Tính thể tích khối chóp SABCD.


4

0977.991.861

7


Chun đề:Thể tích vật trong khơng gian

Lê Hồng Thật

Bài 10: Cho khối chóp SABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại A và B
biết AB = BC = a , AD = 2a , SA ⊥ (ABCD) và (SCD) hợp với đáy một góc 60o
a3 6
Tính thể thích khối chóp SABCD.
Đs: V =
2

DẠNG 2 : KHỐI CHĨP CĨ MẶT BÊN VNG GĨC VỚI ĐÁY.
Ví dụ 1: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vng có cạnh a
Mặt bên SAB là tam giác đều nằm trong mặt phẳng vng góc với đáyABCD,
1) Chứng minh rằng chân đường cao khối chóp trùng với trung điểm cạnh AB.
2) Tính thể tích khối chóp SABCD.
Ví dụ 2: Cho tứ diện ABCD có ABC là tam giác đều ,BCD là tam giác vuông cân tại D ,
(ABC) ⊥ (BCD) và AD hợp với (BCD) một góc 60o .
Tính thể tích tứ diện ABCD.
Ví dụ 3: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vng cân tại B, có BC = a. Mặt bên

SAC vng góc với đáy, các mặt bên cịn lại đều tạo với mặt đáy một góc 450.
a)
Chứng minh rằng chân đường cao khối chóp trùng với trung điểm cạnh AC.
b)
Tính thể tích khối chóp SABC.

Bài tập tương tự:
Bài 1: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC đều cạnh a, tam giác SBC cân tại S và nằm trong mặt phẳng
vng góc với (ABC).
1) Chứng minh chân đường cao của chóp là trung điểm của BC.
3
Đs: V = a 3

2) Tính thể tích khối chóp SABC.

24

Bài 2: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC vng cân tại A với AB = AC = a biết tam giác SAB cân tại
S và nằm trong mặt phẳng vng góc với (ABC) ,mặt phẳng (SAC) hợp với (ABC) một góc 45o. Tính

a
Đs: V = 12
Bài 3: Cho hình chóp S.ABC cógóc A=90o, góc B=30o; SBC là tam giác đều cạnh a và (SAB) ⊥ (ABC).
2
Tính thể tích khối chóp SABC.
Đs: V = a 2
24
Bài 4: Cho hình chóp SABC có đáy ABC là tam giác đều;tam giác SBC có đường cao SH = h và (SBC)
⊥ (ABC). Cho biết SB hợp với mặt (ABC) một góc 30o .Tính thể tích hình chóp SABC.
3

thể tích của SABC.

3
Đs: V = 4h 3

9

Bài 5: Tứ diện ABCD có ABC và BCD là hai tam giác đều lần lượt nằm trong hai mặt phẳng vuông góc
với nhau biết AD = a.Tính thể tích tứ diện.

3
Đs: V = a 6

36

Bài 6 : Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vng . Mặt bên SAB là tam giác đều có đường
cao SH = h ,nằm trong mặt phẳng vng góc với ABCD,
1) Chứng minh rằng chân đường cao khối chóp trùng với trung điểm cạnh AB.
2) Tính thể tích khối chóp SABCD .

4h
Đs: V =

3

9

Bài 7: Cho hình chóp S.ABCD có ABCD là hình chữ nhật , tam giác SAB đều cạnh a nằm trong mặt
phẳng vng góc với (ABCD) biết (SAC) hợp với (ABCD) một góc 30o .Tính thể tích hình chóp

3
SABCD.
Đs: V = a 3
4
Bài 8: Cho hình chóp S.ABCD có ABCD là hình chữ nhật có AB = 2a , BC = 4a, (SAB) ⊥ (ABCD) ,
hai mặt bên (SBC) và (SAD) cùng hợp với đáy ABCD một góc 30o .Tính thể tích hình chóp SABCD.
3
Đs: V = 8a 3
9


0977.991.861

8


Chun đề:Thể tích vật trong khơng gian

Lê Hồng Thật

Bài 9: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi với AC = 2BD = 2a và tam giác SAD vng
3
cân tại S , nằm trong mặt phẳng vng góc với ABCD. Tính thể tích hình chóp SABCD. Đs: V = a 5

12

Bài 10: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang vng tại A và D; AD = CD = a ; AB = 2a
biết tam giác SAB đều nằm trong mặt phẳng vng góc với (ABCD). Tính thể tích khối chóp SABCD .
3
Đs: V = a 3

2

DẠNG 3 : KHỐI CHĨP ĐỀU
Ví dụ 1: Cho chóp tam giác đều SABC cạnh đáy bằng a và cạnh bên bằng 2a.
Chứng minh rằng chân đường cao kẻ từ S của hình chóp là tâm của tam giác
đều ABC.Tính thể tích chóp đều SABC .
Ví dụ 3: Cho khối tứ diện đều ABCD cạnh bằng a, M là trung điểm DC.
a) Tính thể tích khối tứ diện đều ABCD.
b)Tính khoảng cách từ M đến mp(ABC).Suy ra thể tích hình chóp MABC.
Ví dụ 2:Cho khối chóp tứ giác SABCD có tất cả các cạnh có độ dài bằng a .
1) Chứng minh rằng SABCD là chóp tứ giác đều.
2) Tính thể tích khối chóp SABCD.

Bài tập tương tự:

Bài 1: Cho hình chóp đều SABC có cạnh bên bằng a hợp với đáy ABC một góc 60o . Tính thể tích
hình chóp.

3a
Đs: V =

3

16

Bài 2: Cho hình chóp tam giác đều SABC có cạnh bên a, góc ở đáy của mặt bên
là 45o.
1) Tính độ dài chiều cao SH của chóp SABC .
2) Tính thể tích hình chóp SABC.

a
3
a3
Đs: V =
6

Đs: SH =

Bài 3: Cho hình chóp tam giác đều SABC có cạnh đáy a và mặt bên hợp với đáy
3
một góc 60o. Tính thể tích hình chóp SABC.
Đs: V = a 3
24
Bài 4 : Cho chóp tam giác đều có đường cao h hợp với một mặt bên một góc 30o .
Tính thể tích hình chóp.

3
Đs: V = h 3

3

Bài 5 : Cho hình chóp tam giác đều có đường cao h và mặt bên có góc ở đỉnh
3
bằng 60o. Tính thể tích hình chóp.
Đs: V = h 3
8
ˆB = 600 .
Bài 6 : Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh đáy a và AS
1) Tính tổng diện tích các mặt bên của hình chóp đều.

2) Tính thể tích hình chóp.

2
Đs: S = a 3

3
a3 2
Đs: V =
6

Bài 7 : Cho hình chóp tứ giác đều SABCD có chiều cao h ,góc ở đỉnh của mặt bên
bằng 60o. Tính thể tích hình chóp.

2h
Đs: V =

3

3

Bài 8: Cho hình chóp tứ giác đều có mặt bên hợp với đáy một góc 45o và khoảng
cách từ chân đường cao của chóp đến mặt bên bằng a.
Tính thể tích hình chóp .

Đs: V =

8a3 3
3

Bài 9: Cho hình chóp tứ giác đều có cạnh bên bằng a hợp với đáy một góc 60o.

3
Tính thề tích hình chóp.
Đs: V = a 3
12
Bài 10: Cho hình chóp SABCD có tất cả các cạnh bằng nhau. Chứng minh rằng

0977.991.861

9


Chun đề:Thể tích vật trong khơng gian

Lê Hồng Thật

SABCD là chóp tứ giác đều.Tính cạnh của hình chóp này khi thể tích của
3
nó bằng V = 9a 2 .
Đs: AB = 3a
2

DẠNG 4 :

TỶ SỐ THỂ TÍCH

Ví dụ 1: Cho hình chóp S.ABC có tam giác ABC vng cân ở B,

AC = a 2

,

SA vng góc với đáy ABC , SA = a
1) Tính thể tích của khối chóp S.ABC.
2) Gọi G là trọng tâm tam giác ABC, mặt phẳng ( α ) qua AG và song song
với BC cắt SC, SB lần lượt tại M, N. Tính thể tích của khối chóp S.AMN
Ví dụ 2: Cho tam giác ABC vuông cân ở A và AB = a . Trên đường thẳng qua C và vng góc với mặt
phẳng (ABC) lấy điểm D sao cho CD =
tại E.
a) Tính thể tích khối tứ diện ABCD.
b) Chứng minh CE ⊥ ( ABD )

a . Mặt phẳng qua C vng góc với BD, cắt BD tại F và cắt AD
c) Tính thể tích khối tứ diện CDEF.

Ví dụ 3: Cho khối chóp tứ giác đều SABCD. Một mặt phẳng (α ) qua A, B và trung điểm M của
SC . Tính tỉ số thể tích của hai phần khối chóp bị phân chia bởi mặt phẳng đó.
Ví dụ 4: Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD, đáy là hình vng cạnh a, cạnh bên tạo với đáy góc
60ο . Gọi M là trung điểm SC. Mặt phẳng đi qua AM và song song với BD, cắt SB tại E và cắt SD
tại F.
d) Hảy xác định mp(AEMF)
e) Tính thể tích khối chóp S.ABCD
f) Tính thể tích khối chóp S.AEMF
Ví dụ 5: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vng cạnh a, SA vng góc đáy,
SA = a 2 . Gọi B’, D’ là hình chiếu của A lần lượt lên SB, SD. Mặt phẳng (AB’D’) cắt SC tại C’.
d) Tính thể tích khối chóp S.ABCD.
e) Chứng minh SC ⊥ ( AB ' D ')
f) Tính thể tích khối chóp S.AB’C’D’

Bài tập tương tự:
Bài 1: Cho tứ diên ABCD. Gọi B' và C' lần lượt là trung điểm của AB và AC. Tính tỉ số thể tích của

khối tứ diện AB'C'D và khối tứ diên ABCD.

1
Đs: k =

4

Bài 2: Cho tứ diên ABCD có thể tích 9m3 ,trên AB,AC,AD lần lượt lấy các điểm B',C',D' sao cho AB =
Ví dụ 3: 3AD' ;AD = 3AD'. Tính tể SABCD. Một mặt phẳng (α ) qua A, B và trung điểm M của
2AB' ;2AC = Cho khối chóp tứ giác đều tích tứ diện AB'C'D'.
Đs:SC = Tính tỉ số thể tích của hai phần khối chóp bị phân chia bởi mặt phẳng đó.
V . 2 m3
Ví dụ 4: Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD, đáy là hình vng cạnh a, cạnh bên tạo a đáy 2a
với
góc
Bài 3: Cho tứ diên đều ABCD có cạnh a. Lấy các điểm B';C' trên AB và AC sao cho AB = ;AC' = .
ο
2 và cắt 3
SD
60 . Gọi M là trung điểm SC. Mặt phẳng đi qua AM và song song với BD, cắt SB tại E
a3 2
tại F.
Tính thể tích tứ diên AB'C'D .
Đs: V =
36
a) Hảy xác định mp(AEMF)
Bài 4: b) Tính diênABCD có thể tích 12 m3 .Gọi M,P là trung điểm của AB và CD và lấy N trên AD sao
Cho tứ thể tích khối chóp S.ABCD
3
cho DA = Tính thể tích khối chóp S.AEMF

c) 3NA. Tính thể tích tứ diên BMNP. Đs: V = 1 m
Ví dụ 5: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vng cạnh a, SA vng góc đáy,
SA = a 2 . Gọi B’, D’ là hình chiếu của A lần lượt lên SB, SD. Mặt phẳng (AB’D’) cắt SC tại C’.
a) Tính thể tích khối chóp S.ABCD.
b) Chứng minh
SC ⊥ ( AB ' D ')
0977.991.861
10
c) Tính thể tích khối chóp S.AB’C’D’


Chun đề:Thể tích vật trong khơng gian

Lê Hồng Thật

Bài 5: Cho hình chóp SABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh a 3 ,đường cao SA = a.Mặt phẳng qua
A và vng góc với SB tại H và cắt SC tại K. Tính thể tích hình chóp SAHK.
3
Đs: V = a 3

40

Bài 6: Cho hình chóp SABCD có thể tích bằng 27m3 .Lấy A'trên SA sao cho
SA = 3SA'. Mặt phẳng qua A' và song song với đáy hình chóp cắt SB,SC,SD lần lượt tại B',C',D' .Tính
thể tích hình chóp SA'B'C'D'.
Đs: V = 1 m3
Bài 7: Cho hình chóp SABCD có thể tích bằng 9m3, ABCD là hình bình hành , lấy M trên SA sao cho
2SA = 3SM. Mặt phẳng (MBC) cắt SD tại N.Tính thể tích khối đa diên ABCDMN .
Đs: V = 4m3
Bài 8: Cho hình chóp SABCD có đáy là hình vng cạnh a, chiều cao SA = h. Gọi N là trung điểm SC.

Mặt phẳng chứa AN và song song với BD lần lượt cắt SB,SDF tại M và P. Tính thể tích khối chóp
a2 h
SAMNP.
Đs: V =
9
Bài 9 : Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD là hình bình hành và I là trung điểm của SC.Mặt phẳng
1
qua AI và song song với BD chia hình chóp thành 2 phần.Tính tỉ số thể tích 2 phần này. Đs: k =
2

Bài 10: Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD là hình bình hành và lấy M trên SA sao cho

SM
=x
SA

Tìm

Đs: x = 5 − 1

x để mặt phẳng (MBC) chia hình chóp thành 2 phần có thể tích bằng nhau.

2

DẠNG 5 : KHỐI CHĨP VÀ LĂNG TRỤ
Ví dụ 1: Cho hình chóp S.ABCD có ABCD là hình vng cạnh 2a, SA vng
góc đáy. Góc giữa SC và đáy bằng 60ο và M là trung điểm của SB.
1) Tính thể tích của khối chóp S.ABCD.
2) Tính thể tích của khối chóp MBCD.
Ví dụ 2: Cho hình chóp tam giác S.ABC có AB = 5a, BC = 6a, CA = 7a. Các mặt

bên SAB, SBC, SCA tạo với đáy một góc 60o .Tính thể tích khối chóp.
Ví dụ 3: Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A’B’C’D’ có AB = a 3 , AD = a,
AA’ = a, O là giao điểm của AC và BD.
a) Tính thể tích khối hộp chữ nhật, khối chóp OA’B’C’D’
b) Tính thể tích khối OBB’C’.
c) Tính độ dài đường cao đỉnh C’ của tứ diện OBB’C’.
Ví dụ 4: Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’có cạnh bằng a. Tính thể tích khối tứ diện ACB’D’.
Ví dụ 5: Cho hình lăng trụ đứng tam giác có các cạnh bằng a.
a) Tính thể tích khối tứ diện A’B’ BC.
b) E là trung điểm cạnh AC, mp(A’B’E) cắt BC tại F. Tính thể tích khối CA’B’FE.

Bài tập tương tự:
Bài 1: Cho lăng trụ đứng ABCA1B1C1 có ABC vuông. AB = AC = a; AA1 = a 2 . M là trung điểm AA1.
Tính thể tích lăng trụ MA1BC1

3
Đs:V = a 2

12

ˆ
Bài 2: Hình chóp SABCD có ∆ABC vuông tại B, SA ⊥ (ABC). ACB = 60o,
BC = a, SA = a

3 ,M là trung điểm SB.Tính thể tích MABC .

Đs: VMABC =

1
4

a3

ˆ
Bài 3: SABCD có đáy ABCD là hình thang với đáy lớn AB = 2, ACB = 90o. ∆SAC và ∆SBD là các tam
giác đều có cạnh bằng

3 . Tính thể tích khối chóp SABCD.

6
Đ s: VSABCD = 4

Bài 4: Tính thể tích hình chóp tam giác đều SABC trong các trường hợp sau:
a) Cạnh đáy bằng 1, góc ABC = 60o .


0977.991.861

Đs: V = 2
12

11


Chun đề:Thể tích vật trong khơng gian

Lê Hồng Thật

b) AB = 1, SA = 2 .

11
12

Đs: V =

Bài 5. Cho lăng trụ ABCA’B’C’ có độ dài cạnh bên = 2a, ∆ABC vuông tại A,
AB = a, AC = a 3 . Hình chiếu vng góc của A’ trên (ABC) là trung điểm BC.
a3

Tính VA’ABC theo a?

Đs: V = 2
Bài 6: Cho hình chóp SABC có đáy ABCD là hình bình hành và SABCD = 3 và góc giữa 2 đường chéo
Đs: V = 3

bằng 60o, các cạnh bên nghiêng đều với đáy 1 góc 45o. Tính VSABCD .

3

Bài 7: Cho hình chóp SABC có SA = SB = SC = a. góc ASB = 60o, góc BSC = 90o,
a 2
CSA = 120o.Chứng minh rằng ∆ABC vng .Tính VSABC .
Đs: V =
12
Bài 8: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vng cạnh 2a, SA = a ,SB= a 3 và mặt phẳng
(SAB) vng góc mặt phẳng đáy. Gọi M,N lần lượt là trung điểm của các cạnh AB.BC.Tính theo a thể
tích khối chóp S.BMDN

Đs: vS .BMDN =

a3 3
3

Bài 9: Cho lăng trụ đứng tam giác đều ABCA’B’C’ có cạnh đáy và cạnh bên đều bằng a. M, N, E lần
lượt là trung điểm của BC, CC’, C’A’. Tính tỉ số thể tích hai phần lăng trụ do (MNE) tạo ra. ( Đs: k = 1)
Bài 10: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vng cạnh a,mặt bên SAD là tam giác đều và nằm
trong mặt phẳng vng góc với đáy .Gọi M,N lần lượt là trung điểm của các cạnh SB,BC,CD.Chứng
minh AM vng góc với BP và tính thể tích của khối tứ diện CMNP.

LOẠI 2:
LOẠI 2:

Đs : vM .CNP =

a3 3
96

THỂ TÍCH LĂNG TRỤ
THỂ TÍCH LĂNG TRỤ

DẠNG 1: LĂNG TRỤ ĐỨNG BIẾT CHIÊU CAO HAY CẠNH ĐÁY .
Ví dụ 1: Đáy của lăng trụ đứng tam giác ABC.A’B’C’ là tam giác ABC vng cân tại A có
cạnh BC = a 2 và biết A'B = 3a. Tính thể tích khối lăng trụ.
Ví dụ 2: Cho lăng trụ tứ giác đều ABCD.A’B’C’D' có cạnh bên bằng 4a và đường chéo 5a.
Tính thể tích khối lăng trụ này.
Ví dụ 3: Đáy của lăng trụ đứng tam giác ABC.A’B’C’ là tam giác đều cạnh a = 4 và biết
diện tích tam giác A’BC bằng 8. Tính thể tích khối lăng trụ.
Ví dụ 4: Một tấm bìa hình vng có cạnh 44 cm, người ta cắt bỏ đi ở mỗi góc
tấm bìa một hình vng cạnh 12 cm rồi gấp lại thành một cái hộp chữ nhật
khơng có nắp. Tính thể tích cái hộp này.

Ví dụ 5: Cho hình hộp đứng có đáy là hình thoi cạnh a và có góc nhọn bằng
600 Đường chéo lớn của đáy bằng đường chéo nhỏ của lăng trụ.
Tính thể tích hình hộp .

Bài tập tương tự:
Bài 1: Cho lăng trụ đứng có đáy là tam giác đều biết rằng tất cả các cạnh của lăng trụ bằng a. Tính
thể tích và tổng diện tích các mặt bên của lăng trụ.

ĐS:

V=

a3 3
4

; S = 3a2

Bài 2: Cho lăng trụ đứng ABCD.A'B'C'D' có đáy là tứ giác đều cạnh a biết rằng BD' = a 6 . Tính
thể tích của lăng trụ.
Đs: V = 2a3
Bài 3: Cho lăng trụ đứng tứ giác có đáy là hình thoi mà các đường chéo là 6cm và 8cm biết rằng chu
vi đáy bằng 2 lần chiều cao lăng trụ.Tính thể tích và tổng diện tích các mặt của lăng trụ.


0977.991.861

12


Chun đề:Thể tích vật trong khơng gian

Lê Hồng Thật

Đs: V = 240cm3 và S = 248cm2
Bài 4: Cho lăng trụ đứng tam giác có độ dài các cạnh đáy là 37cm ; 13cm ;30cm và biết tổng diện
tích các mặt bên là 480 cm2 . Tính thể tích lăng trụ .
Đs: V = 1080 cm3
Bài 5: Cho lăng trụ đứng tam giác ABC A'B'C' có đáy ABC là tam giác vuông cân tại A ,biết rằng
chiều cao lăng trụ là 3a và mặt bên AA'B'B có đường chéo là 5a. Tính V lăng trụ.(Đs: V = 24a3).
Bài 6: Cho lăng trụ đứng tứ giác đều có tất cả các cạnh bằng nhau và biết tổng diện tích các mặt của
lăng trụ bằng 96 cm2 .Tính thể tích lăng trụ.
Đs: V = 64 cm3
Bài 7: Cho lăng trụ đứng tam giác có các cạnh đáy là 19,20,37 và chiều cao của khối lăng trụ bằng
trung bình cộng các cạnh đáy. Tính thể tích của lăng trụ.
Đs: V = 2888
Bài 8: Cho khối lập phương có tổng diện tích các mặt bằng 24 m 2 . Tính thể tích khối lập phương
Đs: V = 8 m3
Bài 9: Cho hình hộp chữ nhật có 3 kích thước tỉ lệ thuận với 3,4,5 biết rằng độ dài một đường chéo
của hình hộp là 1 m.Tính thể tích khối hộp chữ nhật.
Đs: V = 0,4 m3
Bài 10: Cho hình hộp chữ nhật biết rằng các đường chéo của các mặt lần lượt là 5; 10; 13 . Tính
thể tích khối hộp này .
Đs: V = 6

DẠNG 2: LĂNG TRỤ ĐỨNG CÓ GÓC GIỮA ĐT VÀ MP .
Ví dụ 1: Cho lăng trụ đứng tam giác ABC A'B'C' có đáy ABC là tam giác vng cân tại B
với BA = BC = a ,biết A'B hợp với đáy ABC một góc 600 . Tính thể tích lăng trụ.
Ví dụ 2: Cho lăng trụ đứng tam giác ABC A'B'C' có đáy ABC là tam giác vng tại A với
ˆ
AC = a , ACB = 60 o biết BC' hợp với (AA'C'C) một góc 300. Tính AC' và thể tích lăng trụ.

Ví dụ 3: Cho lăng trụ đứng ABCD A'B'C'D' có đáy ABCD là hình vng cạnh a và đường
chéo BD' của lăng trụ hợp với đáy ABCD một góc 300.
Tính thể tích và tổng diên tích của các mặt bên của lăng trụ .
Ví dụ 4: Cho hình hộp đứng ABCD A'B'C'D' có đáy ABCD là hình thoi cạnh a
ˆ
và BAD = 60o biết AB' hợp với đáy (ABCD) một góc 30o .Tính thể tích của hình hộp.

Bài tập tương tự:
Bài 1: Cho lăng trụ đứng ABC A'B'C' có đáy ABC vng cân tại B biết
a3 2
ĐS: V =

A'C = a và A'C hợp với mặt bên (AA'B'B) một góc 30o . Tính thể tích lăng trụ

16

Bài 2: Cho lăng trụ đứng ABC A'B'C' có đáy ABC vuông tại B biết
a3 3
ĐS: V =

BB' = AB = a và B'C hợp với đáy (ABC) một góc 30o . Tính thể tích lăng trụ.
Bài 3: Cho lăng trụ đứng ABC A'B'C' có đáy ABC là tam giác đều cạnh a
bên (BCC'B') một góc 30o . Tính độ dài AB' và thể tích lăng trụ .

2

biết AB' hợp với mặt
a3 3

ĐS: AB' = a 3 ; V =

2

Bài 4: Cho lăng trụ đứng ABC A'B'C' có đáy ABC vng tại A biết
ˆ
AC = a và ACB = 600 , biết BC' hợp với mặt bên (AA'C'C) một góc 30o .
Tính thể tích lăng trụ và diện tích tam giác ABC'.

ĐS: V = a 3 6 , S =

3a 2 3
2

Bài 5: Cho lăng trụ tam giác đều ABC A'B'C' có khoảng cách từ A đến mặt phẳng (A'BC) bằng a và
AA' hợp với mặt phẳng (A'BC) một góc 300 . Tính thể tích lăng trụ

ĐS:

V=

32a 3
9

Bài 6: Cho hình hộp chữ nhật ABCD A'B'C'D' có đường chéo A'C = a và biết rằng A'C hợp với
(ABCD) một góc 30o và hợp với (ABB'A') một góc 45o .
a3 2
Tính thể tích của khối hộp chữ nhật.
Đs: V =
8

0977.991.861

13


Chun đề:Thể tích vật trong khơng gian

Lê Hồng Thật

Bài 7: Cho hình hộp đứng ABCD A'B'C'D' có đáy ABCD là hình vng . Gọi O là tâm của ABCD
và OA' = a .Tính thể tích của khối hộp khi:
1) ABCD A'B'C'D' là khối lập phương .
2) OA' hợp với đáy ABCD một góc 60o .
3) A'B hợp với (AA'CC') một góc 30o.

Đs:1) V =

2a 3 6
a3 3
;2) V =
9
4

;3) V =

4a 3 3
9

Bài 8: Cho lăng trụ đứng ABCD A'B'C'D' có đáy ABCD là hình vng và
BD' = a . Tính thể tích lăng trụ trong các trường hợp sau đây:

1) BD' hợp với đáy ABCD một góc 60o .
2) BD' hợp với mặt bên (AA'D'D) một góc 30o .

Đs: 1)V =

a3 3
a3 2
2)V =
8
16

Bài 9: Chiều cao của lăng trụ tứ giác đều bằng a và góc của 2 đường chéo phát xuất từ một đỉnh của 2
mặt bên kề nhau là 60o.Tính thể tích lăng trụ và tổng diện tích các mặt của lăng trụ .
Đs: V = a3 và S = 6a2

DẠNG 3: LĂNG TRỤ ĐỨNG CÓ GĨC GIỮA 2 MP .
Ví dụ 1: Cho lăng trụ đứng tam giác ABC A'B'C' có đáy ABC là tam giác vuông cân tại B với BA
= BC = a ,biết (A'BC) hợp với đáy (ABC) một góc 600 .Tính thể tích lăng trụ.
Ví dụ 2: Đáy của lăng trụ đứng tam giác ABC.A’B’C’ là tam giác đều . Mặt
(A’BC) tạo với đáy một góc 300 và diện tích tam giác A’BC bằng 8. Tính thể tích khối lăng trụ.
Ví dụ 3: Cho lăng trụ tứ giác đều ABCD A'B'C'D' có cạnh đáy a và mặt phẳng
(BDC') hợp với đáy (ABCD) một góc 60o.Tính thể tích khối hộp chữ nhật.

Bài tập tương tự:
Bài 1: Cho hộp chữ nhật ABCD A'B'C'D' có AA' = a biết đường chéo A'C hợp với đáy ABCD một
góc 30o và mặt (A'BC) hợp với đáy ABCD một góc 600 . Tính thể tích hộp chữ nhật.

2a 3 2
Đs: V =
3

Bài 2: Cho lăng trụ đứng ABCD A'B'C'D' có đáy ABCD là hình vng và cạnh bên bằng a biết rằng
mặt (ABC'D') hợp với đáy một góc 30o.Tính thể tích khối lăng trụ.
Đs: V = 3a3
Bài 3: Cho lăng trụ đứng ABCA'B'C' có đáy ABC là tam giác vuông cân tại B và AC = 2a biết rằng
o
ˆ
BAC = 120 0 , (A'BC) hợp với đáy ABC một góc 45 . Tính thể tích lăng trụ. Đs: V = a 3 2
Bài 4: Cho lăng trụ đứng ABCA'B'C' có đáy ABC là tam giác cân tại A với AB = AC = a và biết
a3 3
rằng (A'BC) hợp với đáy ABC một góc 45o. Tính thể tích lăng trụ.
Đs: V =
8
Bài 5: : Cho lăng trụ đứng ABCA'B'C' có đáy ABC là tam giác vng tại B và BB' = AB = h biết
rằng (B'AC) hợp với đáy ABC một góc 60o. Tính thể tích lăng trụ.

Đs: V =

Bài 6: Cho lăng trụ đứng ABC A'B'C' có đáy ABC đều biết cạnh bên AA' = a
Tính thể tích lăng trụ trong các trường hợp sau đây:
1) Mặt phẳng (A'BC) hợp với đáy ABC một góc 60o .
2) A'B hợp với đáy ABC một góc 45o.
3) Chiều cao kẻ từ A' của tam giác A'BC bằng độ dài cạnh đáy của lăng trụ.
Đs: 1) V = a 3 3 ; 2) V =

a3 3
; V = a3 3
4

Bài 7: Cho lăng trụ tứ giác đều ABCD A'B'C'D' có cạnh bên AA' = 2a .Tính

thể tích lăng trụ trong các trường hợp sau đây:


0977.991.861

14

h3 2
4


Chun đề:Thể tích vật trong khơng gian

Lê Hồng Thật

1) Mặt (ACD') hợp với đáy ABCD một góc 45o .
2) BD' hợp với đáy ABCD một góc 600 .
3) Khoảng cách từ D đến mặt (ACD') bằng a .

Đs: 1) V = 16a3 . 2) V = 12a3 .3) V =

16a 3
3

Bài 8: Cho lăng trụ đứng ABCD A'B'C'D' có đáy ABCD là hình vng cạnh a
Tính thể tích lăng trụ trong các trường hợp sau đây:
1)Mặt phẳng (BDC') hợp với đáy ABCD một góc 60o .
2)Tam giác BDC' là tam giác đều.
Đs: 1) V =

3)AC' hợp với đáy ABCD một góc 450

a3 6
; 2) V =
2

a3 ; V = a3 2

Bài 9: Cho lăng trụ đứng ABCD A'B'C'D' có đáy ABCD là hình thoi cạnh a và góc nhọn A = 60o
.Tính thể tích lăng trụ trong các trường hợp sau đây:
1)Mặt phẳng (BDC') hợp với đáy ABCD một góc 60o .
a

2)Khoảng cách từ C đến (BDC') bằng 2
3)AC' hợp với đáy ABCD một góc 450

3a 3 2
3a 3
3a 3 3
Đs: 1) V =
; 2) V =
;V=
4
2
8

Bài 10: Cho hình hộp chữ nhật ABCD A'B'C'D' có BD' = 5a ,BD = 3a
Tính thể tích khối hộp trong các trường hợp sau đây:
1) AB = a
2) BD' hợp với AA'D'D một góc 30o

3) (ABD') hợp với đáy ABCD một góc 300
Đs: 1) V = 8a 3 2 ; 2) V = 5a 3

11

; V = 16a3

DẠNG 4: LĂNG TRỤ XIÊN .
Ví dụ 1: Cho lăng trụ xiên tam giác ABC A'B'C' có đáy ABC là tam giác đều cạnh a , biết
cạnh bên là a 3 và hợp với đáy ABC một góc 60o .Tính thể tích lăng trụ.
Ví dụ 2: Cho lăng trụ xiên tam giác ABC A'B'C' có đáy ABC là tam giác đều cạnh a . Hình
chiếu của A' xuống (ABC) là tâm O đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC biết AA' hợp với
đáy ABC một góc 60 .
1) Chứng minh rằng BB'C'C là hình chữ nhật.
2) Tính thể tích lăng trụ .

Bài tập tương tự:
Bài 1: Cho lăng trụ ABC A'B'C'có các cạnh đáy là 13;14;15và biết cạnh bên bằng 2a hợp với đáy
ABCD một góc 45o . Tính thể tích lăng trụ.
Đs: V = a 3 2
Bài 2: Cho lăng trụ ABCD A'B'C'D'có đáy ABCD là hình vng cạnh a và biết cạnh bên bằng 8 hợp
với đáy ABC một góc 30o.Tính thể tích lăng trụ.
Đs: V =336
ˆ
Bài 3: Cho hình hộp ABCD A'B'C'D'có AB =a;AD =b;AA' = c và BAD = 30 Ovà biết cạnh bên AA'
abc 3
hợp với đáy ABC một góc 60o.Tính thể tích lăng trụ.
Đs: V =
4
Bài 4 : Cho lăng trụ tam giác ABC A'B'C' có đáy ABC là tam giác đều cạnh a và điểm A' cách đều

2a 3
a3 3
A,B,C biết AA' =
.Tính thể tích lăng trụ.
Đs: V =
4
3
Bài 5: Cho lăng trụ ABC A'B'C' có đáy ABC là tam giác đều cạnh a , đỉnh A' có
hình chiếu trên (ABC) nằm trên đường cao AH của tam giác ABC biết mặt bêb


0977.991.861

15


Chun đề:Thể tích vật trong khơng gian

Lê Hồng Thật

BB'C'C hợp vớio đáy ABC một góc 60o .
1) Chứng minh rằng BB'C'C là hình chữ nhật.

3a 3 3
8
Bài 6: Cho lăng trụ ABC A'B'C' có đáy ABC là tam giác đều với tâm O. Cạnh b CC' = a hợp với đáy
ABC 1 góc 60o và C' có hình chiếu trên ABC trùng với O .
1) Chứng minh rằng AA'B'B là hình chữ nhật. Tính diện tích AA'B'B.
3a 3 3
a2 3

2) Tính thể tích lăng trụ ABCA'B'C'.
Đs: 1) S =
2) V =
2
8
Bài 7: Cho lăng trụ ABC A'B'C' có đáy ABC là tam giác đều cạnh a biết chân đường vuông góc hạ từ
A' trên ABC trùng với trung điểm của BC và AA' = a.
1) Tìm góc hợp bởi cạnh bên với đáy lăng trụ.
2) Tính thể tích lăng trụ ABC A'B'C'.

Đs: V =

a3 3
8
Bài 8: Cho lăng trụ xiên ABC A'B'C' có đáy ABC là tam giác đều với tâm O. Hình chiếu của C' trên
(ABC) là O.Tính thể tích của lăng trụ biết rằng khoảng cách từ O đến CC' là a và 2 mặt bên AA'C'Cvà

Đs: 1) 30o 2) V =

2) Tính thể tích lăng trụ.

27a
Đs: V =

BB'C'C hợp với nhau một góc 90o

3

4 2

PHẦN 3. BÀI TẬP TỔNG HỢP & CÁC ĐỀ THI
PHẦN 3. BÀI TẬP TỔNG HỢP & CÁC ĐỀ THI
Bài 1 (HKI-08) Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD co chiều cao h, góc giữa chạnh bên và đáy là a.
1. Tính VS.ABCD = ?
2. Định tâm và bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp. Với giá trị nào của a thì tam mặt cầu
nằm ngồi hình chóp.
Bài 2 (HKI-09) Cho hình chóp S.ABC đáy là tam giác đều cạnh a, cạnh bên SA hợp với đáy góc 600 .
Hình chiếu của S lên mp (ABC) trùng với trung điểm của cạnh BC.
1. CMR: BC vng góc SA.
2. Tính theo a thể tích khối chóp S.ABC.
Bài 3 (HKII-09) Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác vuông tại B, SA là đường cao. Biết SB=a 2
ˆ
ˆ
.ASB = BSC = 45 0
1. Tính thể tích khối chóp S.ABC.
2. Xác định tâm và bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC.
Bài 4 (TN-10) Cho hình chóp S.ABC có đáy ABCD là hình vng cạnh a, cạnh bên SA vng góc với
mặt đáy, góc giữa mp (SBD) và mặt đáy bằng 600. Tính thể tích khối chóp S.ABCD theo a.
Bài 5 (ĐH-A-10)

V=

5a 3 3
2a 3
..d =
24
19

Bài 6 (ĐH-B-10)Cho hình lăng trụ tam giác đều ABC.A’B’C’ có AB = a, góc giữa hai mặt
phẳng(A’BC) và (ABC) bằng 600. Gọi G là trọng tâm tam giác A’BC. Tính thể tích khối lăng trụ đã cho

và tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện GABC theo a.
Bài 7 (ĐH-D-10)Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, cạnh bên SA = a; hình
AC
chiếu vuông góc của đỉnh S trên mặt phẳng (ABCD) là điểm H thuộc đoạn AC, AH =
. Gọi CM là
4
đường cao của tam giác SAC. Chứng minh M là trung điểm của SA và tính thể tích khối tứ diện SMBC
theo a.


0977.991.861

16


Chun đề:Thể tích vật trong khơng gian

Lê Hồng Thật

Bài 8 (ĐH-A-09) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại A và D; AB = AD =
2a, CD = a; góc giữa hai mặt phẳng (SBC) và (ABCD) bằng 60 0. Gọi I là trung điểm của cạnh AD. Biết
hai mặt phẳng (SBI) và (SCI) cùng vuông góc với mặt phẳng (ABCD), tính thể tích khối chóp S.ABCD
theo a.
§ Đáp số :
V=3a3√ 15/5
Bài 9 (ĐH-A-09) Cho hình lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có đáy ABC là tam giác vuông tại B, AB = a,
AA’ = 2a, A’C = 3a. Gọi M là trung điểm của đoạn thẳng A’C’, I là giao điểm của AM và A’C. Tính
theo a thể tích khối tứ diện IABC và d(A , (IBC)).§ Đáp số V = 4a3/9. d= 2a√ 5/5
Bài 10
CĐ - 09

ĐA =

a3 6
48

Bài 11
CĐ- 10

a3 5
6

Bài 12 (TNPT 2009) Cho hình chóp S.ABC có mặt bên SBC là tam giác đều cạnh a, cạnh bên SA
vng góc với mặt phẳng đáy. Biết góc BAC = 1200, tính thể tích của khối chóp S.ABC theo a.
Bài 13)
Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có AB = a, SA = a 2 . Gọi M, N và P lần lượt là
trung điểm của các cạnh SA, SB và CD. Chứng minh rằng đường thẳng MN vng góc với đường thẳng
(a 3 6 ) : 48
SP. Tính theo a thể tích của khối tứ diện AMNP.
Bài 14)
Cho khối chóp SABC có đường cao SA = 2a, tam giác ABC vng ở C có AB=2a,
o
·
CAB = 30 . Gọi H,K lần lượt là hình chiếu của A trên SC, và SB.
a. Tính VH.ABC (a 3 3 ) : 7
Bài 15)

b. Chứng minh AH ┴ SB và SB ┴ (AHK).c. Tính VS.AHK (2a 3 3 ) : 21

Cho hình chóp S.ABCD;ABCD là hình thoi cạnh a, tâmO,gócABC=60 0 ;SO ⊥ (ABCD)và

SO=a 3

.Gọi M là trung điểm của AD,mặt phẳng( α ) đi qua BM, song song với SA cắt SC tại K.Tính
2
thể tích hình chóp K.BCDM.
Bài 16)
Cho hình chóp tam giác đều S.ABC có cạnh AB bằng a. Các cạnh bên SA,SB,SC tạo với
đáy góc 600. Gọi D là giao điểm SA với mặt phẳng qua BC và v ng góc SA.Tính VS.DBC (a 3 5 3 ) : 96
Bài 17)
Cho hình chóp SABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại B với AC = a biết SA
vng góc với đáy ABC và SB hợp với đáy một góc 60o.
a) Chứng minh các mặt bên là tam giác vng .
b)Tính thể tích hình chóp .
Bài 18)
Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD là hình vng có cạnh a và SA vng góc đáy
ABCD và mặt bên (SCD) hợp với đáy một góc 60o.
a) Tính thể tích hình chóp SABCD.
b) Tính khoảng cách từ A đến mặt phẳng (SCD).
Bài 19)
Cho lăng trụ tứ giác đều ABCD A'B'C'D' có cạnh đáy a và mặt phẳng (BDC') hợp với
đáy (ABCD) một góc 60o.Tính thể tích khối lăng trụ .
Bài 20)
Cho hình chóp S.ABC có tam giác ABC vuông cân ở B, AC = a 2 , SA vng góc với
đáy ABC , SA = a
a) Tính thể tích của khối chóp S.ABC.
b) Gọi G là trọng tâm tam giác ABC, mặt phẳng ( α ) qua AG và song song với BC cắt SC, SB
lần lượt tại M, N. Tính thể tích của khối chóp S.AMN .
Bài 21)
Cho tam giác ABC vuông cân ở A và AB = a . Trên đường thẳng qua C và vng góc

với mặt phẳng (ABC) lấy điểm D sao cho CD = a . Mặt phẳng qua C vng góc với BD, cắt BD tại F
và cắt AD tại E.
a) Tính thể tích khối tứ diện ABCD.

0977.991.861
17


Chun đề:Thể tích vật trong khơng gian

Lê Hồng Thật

b) Chứng minh CE ⊥ ( ABD ) . Tính thể tích khối tứ diện CDEF.
Bài 22)
Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD, đáy là hình vng cạnh a, cạnh bên tạo với đáy góc
ο
60 . Gọi M là trung điểm SC. Mặt phẳng đi qua AM và song song với BD, cắt SB tại E và cắt SD tại F.
a) Hảy xác định mp(AEMF)
b) Tính thể tích khối chóp S.ABCD
c) Tính thể tích khối chóp S.AEMF
Bài 23)
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vng cạnh a, SA vng góc đáy,
SA = a 2 . Gọi B’, D’ là hình chiếu của A lần lượt lên SB, SD. Mặt phẳng (AB’D’) cắt SC tại C’.

a) V S.ABCD = ? b) Chứng minh SC ⊥ ( AB ' D ') c) VS.AB’C’D’
Bài 24)
Cho lăng trụ tam giác ABC.A1B1C1 có đáy là tam giác đều cạnh a, góc tạo bới cạnh bên
và mặt phẳng đáy là 600. Hình chiếu vng góc của A trên mặt phẳng (A 1B1C1) là trung điểm H của
B1C1.
a. Tính khoảng cách giữa hai đáy

b. Tính góc giữa hai đường thẳng BC và AC1
c. Tính góc giữa hai mặt phẳng (ABB1A1) và đáy
d. Tính thể tích lăng trụ.
ˆ
Bài 25)
Cho lăng trụ đứng ABC.A1B1C1 có đáy ABC là tam giác vuông tại A và AC = b, ACB =
0
0
60 . Đường chéo BC1 của mặt bên BB1C1C tạo với mặt phẳng (AA 1C1C) một góc 30 . Tính AC và thể
tích lăng trụ.
Cho lăng trụ ABC.A1B1C1 vá đáy là tam giác đều cạnh a. Hình chiếu vng góc của A 1 lên mặt phẳng
ˆ =
(ABC) trùng với tâm O của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC. Cho BAA1 45 0. Tính thể tích và diện
tích xung quanh của lăng trụ.
Bài 26)
Cho lăng trụ ABC.A1B1C1 có đáy là tam giác đều cạnh a. Góc giữa cạnh bên và đáy bằng
0
60 và A1 cách đều A, B, C. Tính thể tích và diện tích xung quanh cảu lăng trụ.
ˆ
Bài 27)
Cho hình hộp ABCD.A1B1C1D1 có đáy là hình thoi cạnh a và BAD = 60 0. Hình chiếu
vng góc của B1 lên mặt phẳng (ABCD) trùng với giao điểm hai đường chéo của đáy. Cho BB1 = a.
a. Tính góc giữa cạnh bên và đáy
b. Tính thể tích và diện tích xung quanh của lăng trụ.
Bài 28)
Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD là hình vng cạnh a. SA vng góc với đáy và
SA = a√2. α là mặt phẳng qua A và vng góc với SC, α cắt SB, SC, SD lần lượt tại H, I, K. CM: AH ⊥
SB, AK ⊥ SD. Tính thể tích khối chóp AHIKBCD.
Bài 29)
Cho khối chóp SABCD có đáy ABCD là hình bình hành. B’, D’ lần lượt là trung điểm

SB, SD. Mặt phẳng (AB’D’) cắt SC tại C’.
a. CM: SC = 3SC’
b. Gọi V là thể tích khối chóp SABCD. Tính thể tích khối chóp SAB’C’D’ theo V.
Bài 30)
Cho khối chóp SABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh a. SA = 2a và SA vng góc với
đáy. Gọi M, N lần lượt là hình chiếu của A trên SB. SC. Tính thể tích khối chóp ABCNM.
Trên các cạnh SA và SB của tứ diện SABC lấy các điểm N, M sao cho MA = 2SM, SN = 2NB. α là mặt
phẳng qua M, N và song song với SC. α chia khối chóp làm hai phần. Tính tỉ số thể tích của hai phần đó.
Bài 31)
Cho khối chóp SABCD có đáy ABCD là hình vng cạnh 2a, SA = a, SB = a √3, mặt
phẳng (SAB) vng góc với đáy. M, N lần lượt là trung điểm AB, BC. Tính thể tích khối chóp SBMDN
và cos (SM,DN).
Bài 32)
Cho khối chóp SABC có SA, SB, SC vng góc với nhau từng đơi một và SA = SB =
SC = a. Gọi M, N, E lần lượt là trung điểm của AB, AC, BC. D là điểm đối xứng của S qua E, I là giao
điểm của AD và mặt phẳng (SMN). CM: AD ⊥ SI. Tính thể tích hình chóp MSBI.
Bài 33)
Cho khối chóp SABCD có đáy là hình thang vng tại A và B với AB = BC = a AD = 2a.
SA vng góc với đáy và SA = a√2. Giáo viênọi H là hình chiếu vng góc của A trên SB. Tính khoảng
cách từ H đến (SCD).
Bài 34)
Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A’B’C’D’ có AB = a, AD = 2a, AA’ = a.
a. Tính khoảng cách AD’ và B’C’
b. Tính thể tích hình chóp AB’C’D’.

CHUN ĐỀ: MẶT NĨN MẶT TRỤ MẶTCẦU
0977.991.861
CHUYÊN ĐỀ: MẶT NÓN ––MẶT TRỤ --MẶT18 CẦU

Chun đề:Thể tích vật trong khơng gian

Lê Hồng Thật

PHẦN KIẾN THỨC CƠ BẢN CẦN BIẾT
PHẦN II. .KIẾN THỨC CƠ BẢN CẦN BIẾT
Diện tích hình trịn : S = π .R 2
Diện tích xq của hình nón trịn xoay: Sxq = πRl (R: bk đường trịn; l: đường sinh)

1
Bh (diện tích đáy là đường trịn)
3
Diện tích xq của hình trụ trịn xoay: Sxq = 2 πRl (R: bk đường tròn; l: đường sinh)
Thể tích của khối trụ trịn xoay: V = Bh = πR 2 h ( h: chiều cao khối trụ)
Diện tích của mặt cầu: S = 4 πR 2 (R: bk mặt cầu )
4 3
Thể tích của khối nón trịn xoay: V = πR (R: bán kính mặt cầu)
3
Thể tích của khối nón trịn xoay:

V=

S
B
O
A





a

h

R=OA
A

45
M

B

O

A'

O'

B'

C

PHẦN II BÀI TẬP
PHẦN II . .BÀI TẬP
MẶT NĨN
Bài 1: Trong khơng gian cho tam giác vng OAB tại O có OA = 4, OB = 3. Khi quay tam giác vng
OAB quanh cạnh góc vng OA thì đường gấp khúc OAB tạo thành một hình nón trịn xoay.

a) Tính diện tích xung quanh và diện tích tồn phần của hình nón
b) Tính thể tích của khối nón
Bài 2: Một hình nón có thiết diện qua trục là một tam giác đều cạnh 2a.
a) Tính diện tích xung quanh và diện tích tồn phần của hình nón
b) Tính thể tích của khối nón
Bài 3: Một hình nón có chiều cao bằng a và thiết diện qua trục là tam giác vng.
a) Tính diện tích xung quanh và diện tích tồn phần của hình nón
b) Tính thể tích của khối nón
Bài 4: Một hình nón có đường sinh bằng l và thiết diện qua trục là tam giác vng.
a) Tính diện tích xung quanh và diện tích tồn phần của hình nón
b) Tính thể tích của khối nón


0977.991.861

19


Chun đề:Thể tích vật trong khơng gian

Lê Hồng Thật

Bài 5: Một hình nón có đường cao bằng a, thiết diện qua trục có góc ở đỉnh bằng 1200.
a) Tính diện tích xung quanh và diện tích tồn phần của hình nón
b) Tính thể tích của khối nón
Bài 6: Một hình nón có độ dài đường sinh bằng l và góc giữa đường sinh và mặt đáy bằng α .
a) Tính diện tích xung quanh và diện tích tồn phần của hình nón
b) Tính thể tích của khối nón
Bài 7: Một hình nón có đường sinh bằng 2a và diện tích xung quanh của mặt nón bằng 2 π a2.
Tính thể tích của hình nón

Bài 8: Một hình nón có góc ở đỉnh bằng 600 và diện tích đáy bằng 9 π . Tính thể tích của hình nón
Bài 9: Thiết diện qua trục của một hình nón là một tam giác vng có cạnh góc vng bằng a.
a) Tính diện tích xung quanh và diện tích tồn phần của hình nón
b) Tính thể tích của khối nó
c) Một thiết diện qua đỉnh tạo với đáy một góc 600. Tính diện tích của thiết diện này
Bài 10: Cho hình nón trịn xoay có đướng cao h = 20cm, bán kính đáy r = 25cm.
a) Tính diện tích xung quanh và diện tích tồn phần của hình nón
b) Tính thể tích của khối nón
c) Một thiết diện đi qua đỉnh của hình nón có khoảng cách từ tâm của đáy đến mặt phẳng chứa thiết
diện là 12cm. Tính diện tích của thiết diện đó
Bài 11: Cắt hình nón đỉnh S bởi mặt phẳng đi qua trục ta được một tam giác vuông cân có cạnh huyền
bằng a 2
a) Tính diện tích xung quanh và diện tích tồn phần của hình nón
b) Tính thể tích của khối nón
c) Cho dây cung BC của đường trịn đáy hình nón sao cho mặt phẳng (SBC) tạo với mặt phẳng
chứa đáy hình nón một góc 600. Tính diện tích tam giác SBC

MẶT TRỤ
Bài 1: Một hình trụ có bán kính đáy bằng R và thiết diện qua trục là một hình vng.
a) Tính diện tích xung quanh và diện tích tồn phần của hình trụ
b) Tính thể tích của khối trụ
Bài 2: Một hình trụ có bán kính đáy r = 5cm và khoảng cách giữa hai đáy bằng 7cm.
a) Tính diện tích xung quanh và diện tích tồn phần của hình trụ
b) Tính thể tích của khối trụ
c) Cắt khối trụ bởi một mặt phẳng song song với trục và cách trụ 3cm. Hãy tính diện tích của thiết
diện được tạo nên
Bài 3: Một hình trụ có bán kính r và chiều cao h = r 3
a) Tính diện tích xung quanh và diện tích tồn phần của hình trụ
b) Tính thể tích của khối trụ tạo nên bởi hình trụ đã cho
c) Cho hai điểm A và B lần lượt nằm trên hai đường trịn đáy sao cho góc giữa đường thẳng AB và

trục của hình trụ bằng 300. Tính khoảng cách giữa đường thẳng AB và trục của hình trụ
Bài 4: Cho một hình trụ có hai đáy là hai đường trịn tâm O và O’, bán kính R, chiều cao hình trụ là R
2.
a) Tính diện tích xung quanh và diện tích tồn phần của hình trụ
b) Tính thể tích của khối trụ
Bài 5: Một hình trụ có bán kính đáy bằng 50cm và có chiều cao h = 50cm.
a) Tính diện tích xung quanh và diện tích tồn phần của hình trụ
b) Tính thể tích của khối trụ tạo nên bởi hình trụ đã cho
c) Một đoạn thẳng có chiều dài 100cm và có hai đầu mút nằm trên hai đường trịn đáy. Tính khoảng
cách từ đoạn thẳng đó đến trục hình trụ

MẶT CẦU

Bài 1: Cho tứ diện ABCD có DA = 5a và vng góc với mp(ABC), ∆ ABC vng tại B và
AB = 3a, BC = 4a. a) Xác định mặt cầu đi qua 4 điểm A, B, C, D

0977.991.861
20


Chun đề:Thể tích vật trong khơng gian

Lê Hồng Thật

b) Tính bán kính của mặt cầu nói trên. Tính diện tích và thể tích của mặt cầu
Bài 2: Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có tất cả các cạnh đều bằng a.
a) Xác định mặt cầu đi qua 5 điểm A, B, C, D, S
b) Tính bán kính của mặt cầu nói trên. Tính diện tích và thể tích của mặt cầu
Bài 3: Cho hình chóp S. ABCD có đáy ABCD là hính vng cạnh bằng a. SA = 2a và vng góc với
mp(ABCD). a) Xác định mặt cầu đi qua 5 điểm A, B, C, D, S

b) Tính bán kính của mặt cầu nói trên. Tính diện tích và thể tích của mặt
Bài 4: Cho hình chóp S.ABC có 4 đỉnh đều nằm trên một mặt cầu, SA = a, SB = b, SC = c và ba cạnh
SA, SB, SC đơi một vng góc. Tính diện tích mặt cầu và thể tích khối cầu được tạo nên bởi mặt cầu đó.



0977.991.861

21