[Điện Tử] Hệ Thống Đếm Cơ Số, Đại Số Boole phần 1 docx

Chổồng 1. Hóỷ thọỳng sọỳ õóỳm vaỡ khaùi nióỷm vóử maợ Trang 1
Chổồng 1


H THNG S M VAè KHAẽI NIM Vệ MAẻ
1.1. H THNG S M
1.1.1. Hóỷ õóỳm
1.1.1.1. Khaùi nióỷm
Hóỷ õóỳm laỡ tỏỷp hồỹp caùc phổồng phaùp goỹi vaỡ bióứu dióựn caùc con sọỳ
bũng caùc kờ hióỷu coù giaù trở sọỳ lổồỹng xaùc õởnh goỹi laỡ chổợ sọỳ.
1.1.1.2. Phỏn loaỷi
Chia laỡm hai loaỷi:
a. Hóỷ õóỳm theo vở trờ:
Laỡ hóỷ õóỳm maỡ trong õoù giaù trở sọỳ lổồỹng cuớa chổợ sọỳ coỡn phuỷ thuọỹc
vaỡo vở trờ cuớa noù õổùùng trong con sọỳ.
Vờ duỷ: 1991 (Hóỷ thỏỷp phỏn)
1111 (Hóỷ nhở phỏn)
b. Hóỷ õóỳm khọng theo vở trờ:
Laỡ hóỷ õóỳm maỡ trong õoù giaù trở sọỳ lổồỹng cuớa chổợ sọỳ khọng phuỷ thuọỹc
vaỡo vở trờ cuớa noù tổồng ổùng (õổùng) trong con sọỳ.

Vờ duỷ: Hóỷ õóỳm La maợ I, II, III . . . . .
1.1.2. Cồ sọỳ cuớa hóỷ õóỳm
Mọỹt sọỳ A bỏỳt kyỡ coù thóứ bióứu dióựn bũng daợy sau:
A= a
m-1
a
m-2
. . . . .a
0
a

-1
. . . . . . . . .a
-n

Trong õoù: a
i
( 1m
n
i

ữ
=
) laỡ caùc chổợ sọỳ; i: caùc haỡng sọỳ, i nhoớ:
haỡng treớ, i lồùn: haỡng giaỡ.
Giaù trở sọỳ lổồỹng cuớa caùc chổợ sọỳ a
i
seợ nhỏỷn mọỹt giaù trở naỡo õoù cuớa con
sọỳ N sao cho thoớa maợn bỏỳt õúng thổùc sau:
1
N
a0
i


Vaỡ a
i
nguyón, thỗ N õổồỹc goỹi laỡ cồ sọỳ cuớa hóỷ õóỳm.
Baỡi giaớng Kyợ Thuỏỷt Sọỳ Trang 2
Vờ duỷ: N =10 a
i

= 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9.
N =8 a
i
= 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7.
N =16 a
i
= 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C,D, E, F.
N =2 a
i
= 0, 1.
Khi õaợ xuỏỳt hióỷn cồ sọỳ N, ta coù thóứ bióứu dióựn sọỳ A dổồùi daỷng mọỹt õa
thổùc theo cồ sọỳ N, kyù hióỷu laỡ A
(N)
:

A
(N)
= a
m-1
.N
m-1
+ a
m-2
.N
m-2
+. . + a
0
.N
0
+ a

-1
.N
-1
+ . . + a
-n
.N
-n

Hay:


=
=
1m
ni
i
i(N)
NaA


Vồùi N=10:
A
(10)
= a
m-1
.10
m-1
+ a
m-1
.10

m-1
+. . . . .+ a
0
.10
0
+. . .+ a
-n
.10
-n

Vờ duỷ: 1999,999 =1.10
3
+9.10
2
+9.10
1
+9.10
-1
+9.10
-2
+9.10
-3

Vồùi N=2:
A
(2)
=a
m-1
.2
m-1

+ . . .+a
-n
2
-n

Vờ duỷ: 1111.110 = 1.2
3
+1.2
2
+ 1.2
1
+ 1.2
0
+ 1.2
-1
+ 1.2
-2
+ 0.2
-
3

Vồùi N=16:
A
(16)
= a
m-1
.16
m-1
+ a
m-2

16
m-2
+. . .+ a
0
.16
0
+ +a
-1
16
-1
+. . .+ a
-n
16
-n
Vờ duỷ: 3FFH = 3.16
2
+ 15.16
1
+ 15.16
0

1.1.3. ọứi cồ sọỳ
1.1.3.1. ọứi tổỡ cồ sọỳ d sang cồ sọỳ 10
Vóử phổồng phaùp, ngổồỡi ta khai trióứn con sọỳ trong cồ sọỳ d dổồùi daỷng
õa thổùc theo cồ sọỳ cuớa noù.
Vờ duỷ: A
(2)
= 1101, õọứi sang thỏỷp phỏn laỡ:
1101
(2)

= 1.2
3
+ 1.2
2
+ 0.2
1
+ 1.2
0
=13
(10)

1.1.3.2. ọứi cồ sọỳ 10 sang cồ sọỳ d
Vóử nguyón từc, ngổồỡi ta lỏỳy con sọỳ trong cồ sọỳ chia lión tióỳp cho cồ
sọỳ d õóỳn khi thổồng sọỳ bũng khọng thỗ thọi.
Chỉång 1. Hãû thäúng säú âãúm v khại niãûm vãư m Trang 3
Vê dủ:




1
1
13 2
2
1
2
2
3
6
0

15
16
0
16
16
3
63
15
1023

3

0
1

A
(10)
=13 → A
(2)
=1101
A
(10)
=1023 →
A
(16)
=3FFH


Kãút lûn: Gi d
1

, d
2
, . . . . ,d
n
láưn lỉåüt l dỉ säú ca phẹp chia säú tháûp
phán cho cå säú d láưn thỉï 1, 2, 3, 4, . . . . ., n thç kãút qu s l d
n
d
n-1
d
n-2

d
1
, nghéa

l dỉ säú sau cng l bêt cọ trng säú cao nháút (MSB), cn
dỉ säú âáưu tiãn l bêt cọ trng säú nh nháút (LSB).
1.2. HÃÛ ÂÃÚM NHË PHÁN V KHẠI NIÃÛM VÃƯ M
1.2.1. Hãû âãúm nhë phán
1.2.1.1. Khại niãûm
Hãû âãúm nhë phán cn gi l hãû âãúm cå säú 2 l hãû âãúm m trong âọ
ngỉåìi ta chè sỉí dủng hai kê hiãûu 0 v 1 âãø biãøu diãùn táút c cạc säú. Hai
k hiãûu âọ gi chung l bit hồûc digit v nọ âàûc trỉng cho mảch âiãûn
tỉí cọ hai trảng thại äøn âënh hay cn gi l 2 trảng thại bãưn FLIP-
FLOP (k hiãûu l FF).
Mäüt nhọm 4 bêt gi l nibble.
Mäüt nhọm 8 bêt gi l byte.
Nhọm nhiãưu bytes gi l tỉì (word).
Xẹt säú nhë phán 4 bêt: a

3
a
2
a
1
a
0
. Biãøu diãùn dỉåïi dảng âa thỉïc theo cå
säú ca nọ l:
a
3
a
2
a
1
a
0
= a
3
.2
3
+ a
2
. 2
2
+ a
1
.2
1
+ a

0
.2
0
Trong âọ:
- 2
0
, 2
1
, 2
2
, 2
3
(hay 1, 2, 4, 8) âỉåüc gi l cạc trng säú.
- a
0
âỉåüc gi l bit cọ trng säú nh nháút, hay cn gi bit cọ
nghéa nh nháút (LSB: Least Significant Bit) .
Baỡi giaớng Kyợ Thuỏỷt Sọỳ Trang 4
- a
3
õổồỹc goỹi laỡ bit coù troỹng sọỳ lồùn nhỏỳt, hay coỡn goỹi laỡ bờt coù yù
nghộa lồùn nhỏỳt (MSB: Most Significant Bit).

Nhổ vỏỷy, vồùi sọỳ nhở phỏn 4 bit a
3
a
2
a
1
a

0
maỡ trong õoù mọựi chổợ sọỳ a
i

chố nhỏỷn õổồỹc hai giaù trở {0,1}, luùc õoù ta coù 2
4
= 16 tọứ hồỹp nhở phỏn.

Sọỳ thỏỷp phỏn a
3
a
2
a
1
a
0
Sọỳ thỏỷp luỷc phỏn
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12

13
14
15
0000
0001
0010
0011
0100
0101
0110
0111
1000
1001
1010
1011
1100
1101
1110
1111
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
A

B
C
D
E
F

Chuù yù: Khi bióứu dióựn sọỳ nhở phỏn nhióửu bit trón maùy tờnh thỗ thổồỡng
õóứ traùnh sai soùt, ngổồỡi ta thổồỡng bióứu dióựn thọng qua sọỳ thỏỷp phỏn
hoỷc thỏỷp luỷc phỏn, baùt phỏn.
Vờ duỷ:
3
1
3
7 7 6

1 01 1 1 1101111111 0
B E F E


Coù thóứ bióứu dióựn : 137376
( 8 )
hoỷc 0BEFE
(H)
.
Chổồng 1. Hóỷ thọỳng sọỳ õóỳm vaỡ khaùi nióỷm vóử maợ Trang 5
1.2.1.2. Caùc pheùp tờnh trón sọỳ nhở phỏn
a. Pheùp cọỹng
óứ cọỹng hai sọỳ nhở phỏn, ngổồỡi ta dổỷa trón qui từc cọỹng nhổ sau:
0 + 0 = 0 nhồù 0
0 + 1 = 1 nhồù 0

1 + 0 = 1 nhồù 0
1 + 1 = 0 nhồù 1

Vờ duỷ: 3 0011
2
0010
+
+
5
0101
b. Pheùp trổỡ
0 - 0 = 0 mổồỹn 0
0 - 1 = 1 mổồn 1
1 - 0 = 1 mổồỹn 0
1 - 1 = 0 mổồỹn 0
Vờ duỷ: 7 0111
5
0101
-
-
2
0010 = 1.2
2
+ 0.2
1
+ 1.2
0
= 2

c. Pheùp nhỏn

0 . 0 = 0
0 . 1 = 0
1 . 0 = 0
1 . 1 = 1
Vờ duỷ: 7 0111
5
0101
x
x

35 0111
0000
0111
0000
0100011 = 1.2
5
+ 1.2
1
+ 1.2
0
= 35

Baỡi giaớng Kyợ Thuỏỷt Sọỳ Trang 6
d. Pheùp chia
0 : 0 = 0
1 : 1 = 1

Vờ duỷ: 10 5 1010 101
2 101 10 = 2
00

0
ặẽng duỷng thanh ghi dởch thổỷc hióỷn pheùp toaùn nhỏn hai, chia hai:


Dởch traùi (nhỏn hai)
0
0 0 0
0
1 01 1
0
0 0 0
0
0 11
Dởch phaới (chia hai)
dổ
Thanh
g
hi sau khi nhỏn 2
Thanh
g
hi sau khi chia 2
11 1
Thanh
g
hi ban õỏửu
0
0
000
0

1


1.2.2. Khaùi nióỷm vóử maợ
1.2.2.1. aỷi cổồng
Trong õồỡi sọỳng haỡng ngaỡy, con ngổồỡi giao tióỳp vồùi nhau thọng qua
mọỹt hóỷ thọỳng ngọn ngổợ qui ổồùc, nhổng trong maùy tờnh chố xổớ lyù caùc dổợ
lióỷu nhở phỏn. Do õoù, mọỹt vỏỳn õóử õỷt ra laỡ laỡm thóỳ naỡo taỷo ra mọỹt giao
dióỷn dóự daỡng giổợa ngổồỡi vaỡ maùy tờnh, nghộa laỡ maùy tờnh thổỷc hióỷn õổồỹc
nhổợng baỡi toaùn do con ngổồỡi õỷt ra.
óứ thổỷc hióỷn õióửu õoù, ngổồỡi ta õỷt ra vỏỳn õóử vóử maợ hoùa dổợ lióỷu. Nhổ
vỏỷy, maợ hoùa laỡ quaù trỗnh bióỳn õọứi nhổợng kyù hióỷu quen thuọỹc cuớa con
ngổồỡi sang nhổợng kyù hióỷu quen thuọỹc vồùi maùy tờnh.
Caùc lộnh vổỷc maợ hoùa gọửm :
- Sọỳ thỏỷp phỏn
- Kyù tổỷ
- Tỏỷ
p lóỷnh
- Tióỳng noùi
- Hỗnh aớnh
- v v
Chổồng 1. Hóỷ thọỳng sọỳ õóỳm vaỡ khaùi nióỷm vóử maợ Trang 7
1.2.2.2. Maợ hoùa sọỳ thỏỷp phỏn
a. Khaùi nióỷm
Trong thổỷc tóỳ õóứ maợ hoùa sọỳ thỏỷp phỏn, ngổồỡi ta sổớ duỷng caùc sọỳ nhở
phỏn 4 bit.
Vờ duỷ: 0 0000 ; 5 0101
1 0001 ; 6 0110
2 0010 ; 7 0101
3 0011 ; 8 1000

4 0100 ; 9 1001
Vióỷc sổớ duỷng caùc sọỳ nhở phỏn õóứ maợ hoùa caùc sọỳ thỏỷp phỏn goỹi laỡ caùc
sọỳ BCD (
Binary Code Decimal: Sọỳ thỏỷp phỏn õổồỹc maợ hoùa bũỡng sọỳ
nhở phỏn).
b. Phỏn loaỷi
Khi sổớ duỷng sọỳ nhở phỏn 4 bit õóứ maợ hoùa caùc sọỳ thỏỷp phỏn tổồng ổùng
vồùi 2
4
= 16 tọứ hồỹp maợ nhở phỏn phỏn bióỷt.
Do vióỷc choỹn 10 tọứ hồỹp trong 16 tọứ hồỹp õóứ maợ hoùa caùc kyù hióỷu thỏỷp
phỏn tổỡ 0 õóỳn 9 maỡ trong thổỷc tóỳ xuỏỳt hióỷn nhióửu loaỷi maợ BCD khaùc
nhau.
Mỷc duỡ tọửn taỷi nhióửu loaỷi maợ BCD khaùc nhau, nhổng trong thổỷc tóỳ
ngổồỡi ta chia laỡm hai loaỷi chờnh: BCD coù troỹng sọỳ vaỡ BCD khọng coù
troỹng sọỳ.

b1. Maợ BCD coù troỹng sọỳ: gọửm coù maợ BCD tổỷ nhión, maợ BCD sọỳ hoỹc.
Maợ BCD tổỷ nhión õoù laỡ loaỷi maợ maỡ trong õoù caùc troỹng sọỳ thổồỡng
õổồỹc sừp xóỳp theo thổù tổỷ tng dỏửn.
Vờ duỷ: Maợ BCD 8421 , maợ BCD 5421
Maợ BCD sọỳ hoỹc laỡ loaỷi maợ maỡ trong õoù coù tọứng caùc troỹng sọỳ luọn
luọn bũng 9.
Vờ duỷ: Loaỷi maợ: BCD 2421, BCD 5121, BCD 8 4-2-1
Suy ra maợ BCD sọỳ hoỹc coù õỷc trổng: óứ tỗm tổỡ maợ thỏỷp phỏn cuớa
mọỹt sọỳ thỏỷp phỏn naỡo õoù ta lỏỳy buỡ (õaớo) tổỡ maợ nhở phỏn cuớa sọỳ buỡ 9
tổồng ổùng.
Baỡi giaớng Kyợ Thuỏỷt Sọỳ Trang 8
Vờ duỷ: 3 0011
Maỡ sọỳ 6 laỡ buỡ 9 cuớa 3:

6
1100
Lỏỳy nghởch õaớo ta coù: 0011 = 3
Vỏỷy, õỷc trổng cuớa maợ BCD sọỳ hoỹc laỡ coù tờnh chỏỳt õọỳi xổùng qua mọỹt
õổồỡng trung gian.

b2. Maợ BCD khọng coù troỹng sọỳ: laỡ loaỷi maợ khọng cho pheùp phỏn tờch
thaỡnh õa thổùc theo cồ sọỳ cuớa noù.
Vờ duỷ: Maợ Gray, Maợ Gray thổỡa 3.
ỷc trổng cuớa maợ Gray laỡ loaỷi bọỹ maợ maỡ trong õoù hai tổỡ maợ nhở
phỏn õổùng kóỳ tióỳp nhau bao giồỡ cuợng chố khaùc nhau 1 bit.
Vờ duỷ:
Coỡn õọỳi vồùi maợ BCD 8421:
3
0011

4
0100

Maợ Gray: 2 0011
3
0010
4
0110




Caùc baớng dổồùi õỏy trỗnh baỡy mọỹt sọỳ loaỷi maợ thọng duỷng:

Baớng 1: Caùc maợ BCD tổỷ nhión.

BCD 8421 BCD 5421 BCD quaù 3
a
3
a
2
a
1
a
0
b
3
b
2
b
1
b
0
c
3
c
2
c
1
c
0
Sọỳ thỏỷp
phỏn
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 0

0 0 0 1 0 0 0 1 0 1 0 0 1
0 0 1 0 0 0 1 0 0 1 0 1 2
0 0 1 1 0 0 1 1 0 1 1 0 3
0 1 0 0 0 1 0 0 0 1 1 1 4
0 1 0 1 1 0 0 0 1 0 0 0 5
0 1 1 0 1 0 0 1 1 0 0 1 6
0 1 1 1 1 0 1 0 1 0 1 0 7
1 0 0 0 1 0 1 1 1 0 1 1 8
1 0 0 1 1 1 0 0 1 1 0 0 9

Chổồng 1. Hóỷ thọỳng sọỳ õóỳm vaỡ khaùi nióỷm vóử maợ Trang 9
Baớng 2: Caùc maợ BCD sọỳ hoỹc

BCD 2421 BCD 5121 BCD 84-2-1
a
3
a
2
a
1
a
0
b
3
B
2
b
1
b
0

c
3
c
2
c
1
c
0
Sọỳ thỏỷp
phỏn

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 1 0 0 0 1 0 1 1 1 1
0 0 1 0 0 0 1 0 0 1 1 0 2
0 0 1 1 0 0 1 1 0 1 0 1 3
0 1 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 4
1 0 1 1 1 0 0 0 1 0 1 1 5
1 1 0 0 1 1 0 0 1 0 1 0 6
1 1 0 1 1 1 0 1 1 0 0 1 7
1 1 1 0 1 1 1 0 1 0 0 0 8
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 9

Baớng 3: BCD tổỷ nhión vaỡ maợ Gray.

BCD 8421 BCD quaù 3 Maợ Gray Gray quaù 3
a
3
a
2
a

1
a
0
c
3
c
2
c
1
c
0
G
3
G
2
G
1
G
0
g
3
g
2
g
1
g
0
Sọỳ thỏỷp
phỏn

0 0 0 0 0 0 1 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0
0 0 0 1 0 1 0 0 0 0 0 1 0 1 1 0 1
0 0 1 0 0 1 0 1 0 0 1 1 0 1 1 1 2
0 0 1 1 0 1 1 0 0 0 1 0 0 1 0 1 3
0 1 0 0 0 1 1 1 0 1 1 0 0 1 0 0 4
0 1 0 1 1 0 0 0 0 1 1 1 1 1 0 0 5
0 1 1 0 1 0 0 1 0 1 0 1 1 1 0 1 6
0 1 1 1 1 0 1 0 0 1 0 0 1 1 1 1 7
1 0 0 0 1 0 1 1 1 1 0 0 1 1 1 0 8
1 0 0 1 1 1 0 0 1 1 0 1 1 0 1 0 9

Chuù yù: Maợ Gray õổồỹc suy ra tổỡ maợ BCD 8421 bũng caùch: caùc bit 0,1
õổùng sau bit 0 (ồớ maợ BCD 8421) khi chuyóứn sang maợ Gray thỗ õổồỹc
giổợ nguyón, coỡn caùc bit 0,1 õổùng sau bit 1 (ồớ maợ BCD 8421) khi
chuyóứn sang maợ Gray thỗ õổồỹc õọứi ngổồỹc laỷi, nghộa laỡ tổỡ bit 1 thaỡnh
bit 0 vaỡ bit 0 thaỡnh bit 1.
Bi ging K Thût Säú Trang 10
1.2.2.3. Mảch nháûn dảng säú BCD 8421 :




a
3
a
2
a
1
Mảch nháûn
dảng säú BCD

y
+ y = 1 → a
3
a
2
a
1
a
0
khäng phi säú BCD 8421
+ y = 0
a→
3
a
2
a
1
a
0
l säú BCD 8421
Suy ra âãø nháûn dảng mäüt säú nhë phán 4 bit khäng phi l mäüt säú
BCD 8421 thç ng ra y = 1, nghéa l: bit
a
3
ln ln bàòng 1 v bit a
1

hồûc a
2
bàòng 1.

Phỉång trçnh logic : y = a
3
(a
1
+ a
2
) = a
3
a
1
+ a
3
a
2
Så âäư logic:

a
1
y

a
2


a
3

Do viãûc xút hiãûn säú BCD nãn cọ hai cạch nháûp dỉỵ liãûu vo mạy
tênh: nháûp säú nhë phán, nháûp bàòng m BCD.
Âãø nháûp säú BCD tháûp phán hai chỉỵ säú thç mạy tênh chia säú tháûp

phán thnh cạc âãưcạc v mäùi âãưcạc âỉåüc biãøu diãùn bàòng säú BCD
tỉång ỉïng.
Vê dủ: 11 (tháûp phán) cọ thãø âỉåüc nháûp vo mạy tênh theo 2 cạch:
- Säú nhë phán: 1011
- M BCD : 0001 0001

1.2.2.4. Cạc phẹp tênh trãn säú BCD
a. Phẹp cäüng
Säú tháûp phán l 128 thç:
- Säú nhë phán l: 10000000
- Säú BCD l: 0001 0010 1000
Do säú BCD chè cọ tỉì 0 âãún 9 nãn âäúi våïi nhỉỵng säú tháûp phán låïn
hån, nọ chia säú tháûp phán thnh nhiãưu âãưcạc, mäùi âãưcạc âỉåüc biãøu
diãùn bàòng säú BCD tỉång ỉïng.
Chổồng 1. Hóỷ thọỳng sọỳ õóỳm vaỡ khaùi nióỷm vóử maợ Trang 11
5 0101 7 0111 7 0111
3
011 5 0101
3
0011 5 0101

0
+
+ + +
8 1000 12 1100 8 1000 12 1100
0110 0110
Sọỳ hióỷu chốnh
+
0001 0010 0001 0010
1 2 1 2

b. Pheùp trổỡb. Pheùp trổỡ
A - B = A + B
7
0111 0111
5
0101 1010
-
-
+
Buỡ 1 cuớa 5
2 0010 10001
1
+
Buỡ 2 cuớa 5
0010

Buỡ 1 laỡ bit 0 thaỡnh 1, bit 1 thaỡnh 0.
Buỡ 2 laỡ buỡ 1 cọỹng thóm 1.
Xeùt caùc trổồỡng hồỹp mồớ rọỹng:
- Thổỷc hióỷn trổỡ 2 sọỳ BCD 1 õóửcaùc maỡ sọỳ bở trổỡ nhoớ hồn sọỳ trổỡ.
- Mồớ rọỹng cho cọỹng vaỡ trổỡ 2 sọỳ BCD nhióửu õóửcaùc.


Bi ging K Thût Säú Trang 12
Chỉång 2

ÂẢI SÄÚ BOOLE

2.1. CẠC TIÃN ÂÃƯ V ÂËNH L ÂẢI SÄÚ BOOLE
2.1.1. Cạc tiãn âãư

Cho mäüt táûp håüp B hỉỵu hản trong âọ ngỉåìi ta trang bë cạc phẹp toạn
+ (cäüng logic), x (nhán logic), - (b logic ) v hai pháưn tỉí 0 v 1 láûp
thnh mäüt cáúu trục âải säú Boole.

∀x,y ∈ B thç: x + y ∈ B, x*y ∈ B tha mn 5 tiãn âãư sau:

2.1.1.1. Tiãn âãư giao hoạn
∀x,y ∈ B: x + y = y + x
2.1.1.2. Tiãn âãư phäúi håüp

∀x,y,z ∈ B: (x + y) + z = x + ( y + z ) = x + y + z
(x. y).z = x.(y. z) = x.y.z
2.1.1.3. Tiãn âãư phán phäúi
∀x,y, z ∈ B: x.(y + z ) = x.y + x.z
x + (y.z) = (x + y)(x + z)
2.1.1.4. Tiãn âãư vãư pháưn tỉí trung ha
Trong táûp B täưn tải hai pháưn tỉí trung ha âọ l pháưn tỉí âån vë v
pháưn tỉí 0, pháưn tỉí âån vë k hiãûu l 1, pháưn tỉí 0 k hiãûu l 0.
∀x ∈ B: x + 1 = 1
x . 1 = x
x + 0 = x
x . 0 = 0
2.1.1.5. Tiãn âãư vãư pháưn tỉí b
∀x ∈ B, bao giåì cng täưn tải pháưn tỉí b tỉång ỉïng sao cho ln
tha mn:
x +
x
= 0
Chỉång 2. Âải säú BOOLE Trang 13
x.

x
= 0
Nãúu B = B* = {0, 1} v tha mn 5 tiãn âãư trãn thç cng láûp thnh
cáúu trục âải säú Boole nhỉng l cáúu trục âải säú Boole nh nháút.

2.1.2. Cạc âënh l
2.1.2.1 Váún âãư âäúi ngáùu trong âải säú Boole
Hai mãûnh âãư (hai biãøu thỉïc, hai âënh l) âỉåüc gi l âäúi ngáùu våïi
nhau nãúu trong mãûnh âãư ny ngỉåìi ta thay phẹp toạn cäüng thnh phẹp
toạn nhán v ngỉåüc lải,thay 0 bàòng 1 v ngỉåüc lải thç s suy ra âỉåüc
mãûnh âãư kia.
Khi hai mãûnh âãư âäúi ngáùu våïi nhau, nãúu 1 trong 2 mãûnh âãư âỉåüc
chỉïng minh l âụng thç mãûnh âãư cn lải l âụng.

Vê dủ: x.(y + z ) = ( x. y) + ( x. z )
x + (y. z ) = ( x + y )( x + z )
Vê dủ: x +
x
= 1
x.
x = 0
2.1.2.2. Cạc âënh l
a. Âënh l vãư pháưn tỉí b l duy nháút
∀x, y ∈ B:
xy
0 x.y
1yx
=⇒
=
=+

⎭
⎬
⎫

∀x ∈ B:
x + x +. . . . . + x = x
x. x. x. . . . . . x = x
b. Âënh l De Morgan
∀x, y, z ∈ B, ta cọ:
zyx =++ zyx

zyxx.y.z ++=

∀x ∈ B, ta cọ:
x = x
∀x, y, z ∈ B, ta cọ:

Bi ging K Thût Säú Trang 14
x + y + z =
zyx ++
= z.y.x
x. y. z =
x.y.z = zyx ++
∀x, y ∈ B, ta cọ:
x. (
x + y) = x.y
x + (
x . y) = x + y
∀x, y ∈ B, ta cọ:
x + x. y = x

x.(x + y) = x
Våïi 0, 1 ∈ B, ta cọ:
0 = 1 v 1 = 0
2.2. HM BOOLE V CẠC PHỈÅNG PHẠP BIÃØU DIÃÙN
2.2.1. Hm Boole
2.2.1.1. Âënh nghéa
Hm Boole l mäüt ạnh xả Boole tỉì âải säú Boole vo chênh nọ. Tỉïc
l ∀x, y ∈ B âỉåüc gi l biãún Boole thç hm Boole, k hiãûu l f, âỉåüc
hçnh thnh trãn cå såí liãn kãút cạc biãún Boole bàòng cạc phẹp toạn +
(cäüng logic ), x (nhán logic ), hồûc nghëch âo logic (-). Hm Boole
âån gin nháút l hm Boole theo 1 biãún Boole.
K hiãûu: f(x) = x
f(x) =
x
f(x) = α (α: l hàòng säú )
Trong trỉåìng håüp täøng quạt, ta cọ hm Boole theo n biãún Boole
âỉåüc k hiãûu nhỉ sau: f(x
1
, x
2
,. . . . . ., x
n
)
2.2.1.2. Cạc tênh cháút ca hm Boole
Nãúu f(x
1
, x
2
, , x
n

) l mäüt hm Boole thç:
+ α.f(x
1
, x
2
, , x
n
) cng l mäüt hm Boole.
+
f
(x
1
, x
2
, , x
n
) cng l mäüt hm Boole.
Nãúu f
1
(x
1
, x
2
, , x
n
) v f
2
(x
1
, x

2
, , x
n
) l nhỉỵng hm Boole thç:
+ f
1
(x
1
, x
2
, , x
n
) + f
2
(x
1
, x
2
, , x
n
) cng l mäüt hm Boole.
+ f
1
(x
1
, x
2
, , x
n
).f

2
(x
1
, x
2
, , x
n
) cng l mäüt hm Boole.
Chổồng 2. aỷi sọỳ BOOLE Trang 15
Vỏỷy, mọỹt haỡm Boole f cuợng õổồỹc hỗnh thaỡnh trón cồ sồớ lión kóỳt caùc
haỡm Boole bũng caùc pheùp toaùn + (cọỹng logic), x (nhỏn logic) hoỷc
nghởch õaớo logic (-).

2.2.1.3. Giaù trở cuớa haỡm Boole
Goỹi f (x
1
, x
2
, , x
n
) laỡ mọỹt haỡm Boole theo bióỳn Boole.
Trong f ngổồỡi ta thay caùc bióỳn x
i
bũng caùc giaù trở cuỷ thóứ
i
(i = n1, )
thỗ haỡm f (
1
,
2

,
3
, ,
n
) õổồỹc goỹi laỡ giaù trở cuớa haỡm Boole theo n
bióỳn.

Vờ duỷ: Xeùt haỡm f(x
1
, x
2
) = x
1
+ x
2
Xeùt B = B* ={0,1}
x
1
x
2
f(x
1
, x
2
)
0
0
1
1
0

1
0
1
0
1
1
1
Nóỳu x
1
= x
2
=0 f(0,0) = 0

Nóỳu x
1
= 0, x
2
= 1 f(0,1) = 1

Nóỳu x
1
= 1, x
2
= 0 f(1,0) = 1

Nóỳu x
1
= 1, x
2
= 1 f(1,1) = 1

Ta lỏỷp õổồỹc baớng giaù trở cuớa haỡm trón.


Vờ duỷ: f (x
1
, x
2
, x
3
) = x
1
+ x
2
.x
3
Xeùt B = B* = {0,1 }
Baớng giaù trở cuớa haỡm:



x
1
x
2
x
3
f (x
1
, x

2
, x
3
)
0
0
0
0
1
1
1
1
0
0
1
1
0
0
1
1
0
1
0
1
0
1
0
1
0
0

0
1
1
1
1
1
Baỡi giaớng Kyợ Thuỏỷt Sọỳ Trang 16
2.2.2. Caùc phổồng phaùp bióứu dióựn haỡm Boole
2.2.2.1. Phổồng phaùp baớng
Laỡ phổồng phaùp thổồỡng duỡng õóứ bióứu dióựn haỡm sọỳ noùi chung.
Phổồng phaùp naỡy gọửm mọỹt baớng õổồỹc chia laỡm hai phỏửn:
- Mọỹt phỏửn daỡnh cho bióỳn õóứ ghi caùc tọứ hồỹp giaù trở coù thóứ coù cuớa
bióỳn.
- Mọỹt phỏửn daỡnh cho haỡm õóứ ghi caùc giaù trở cuớa haỡm ra tổồng ổùng
vồùi caùc tọứ hồỹp cuớa caùc bióỳn vaỡo.

2.2.2.2. Phổồng phaùp giaới tờch
Laỡ phổồng phaùp bióứu dióựn haỡm Boole dổồùi daỷng tọứng caùc tờch sọỳ,
hoỷc dổồùi daỷng tờch cuớa caùc tọứng sọỳ. Daỷng tọứng cuớa caùc tờch sọỳ goỹi laỡ
daỷng chờnh từc thổù nhỏỳt, coỡn daỷng tờch cuớa caùc tọứng laỡ daỷng chờnh từc
thổù hai
cuớa haỡm Boole, vaỡ hai daỷng chờnh từc naỡy laỡ õọỳi ngỏựu nhau.
a. Daỷng chờnh từc 1(Daỷng tọứng cuớa caùc tờch sọỳ)
Xeùt caùc haỡm Boole õồn giaớn sau õỏy: f(x) = x, f(x) = x , f(x) = .
Xeùt f(x) = x:
Ta coù: x =0.
x + 1. x
mỷt khaùc:
()
()

()



=
=
=
00f
11f
xxf

suy ra f(x) = x coù thóứ bióứứu dióựn:
f(x) = x = f(0).
x + f (1).x
trong õoù: f (0), f (1) õổồỹc goỹi laỡ giaù trở cuớa haỡm Boole theo mọỹt bióỳn.

Xeùt f(x) = x :
Ta coù:
x = 1. x + 0. x
Mỷt khaùc:
()
()
()



=
=
=
10f

01f
xxf

Suy ra: f(x) =
x coù thóứ bióứu dióựn:
f(x) =
x = f(0). x + f(1).x

Chổồng 2. aỷi sọỳ BOOLE Trang 17
Xeùt f(x) = :
Ta coù: = .1 = (x +
x ) = x . + .x
Mỷt khaùc:
()
()
()



=
=
=



0f
1f
xf

Suy ra f(x) = coù thóứ õổồỹc bióứu dióựn:

f(x) = = f(0).
x + f(1).x
Kóỳt luỏỷn:
Duỡ laỡ f(x) = x, f(x) =
x
hay f(x) = , ta õóửu coù daỷng:
f(x) = f(0).
x
+ f(1).x
Vỏỷy f(x) = f(0).
x
+ f(1).x trong õoù f (0), f (1) õổồỹc goỹi laỡ giaù trở cuớa
haỡm Boole theo mọỹt bióỳn, õổồỹc goỹi laỡ
daỷng chờnh từc thổù nhỏỳt (daỷng
tọứng cuớa caùc tờch) theo mọỹt bióỳn.

Trong trổồỡng hồỹp hai bióỳn f(x
1
, x
2
) thỗ caùch bióứu dióựn cuợng hoaỡn
toaỡn dổỷa trón caùch bióứu dióựn cuớa daỷng chờnh từc thổù nhỏỳt theo 1 bióỳn
(trong õoù xem mọỹt bióỳn laỡ hũng sọỳ).
Ta coù:
f(x
1
, x
2
) = f(0, x
2

). x
1
+ f(1,x
2
).x
1
maỡ: f(0, x
2
) = f(0,0 ). x
2
+ f(0,1).x
2
vaỡ: f(1, x
2
) = f(1,0). x
2
+ f(1,1). x
2
Suy ra:
f(x
1
, x
2
) = f(0,0) x
1
x
2
+ f(0, 1) x
1
x

2
+ f(1,0 )x
1
x
2
+ f(1,1)x
1
x
2

Vỏỷy:
2
2
1
1
2
2
1
x)x,(
12
0e
f


),(
21


=
=xxf

trong õoù e laỡ sọỳ thỏỷp phỏn tổồng ổùng vồùi maợ (
1
,
2
) vaỡ:
x
1
nóỳu
1
= 1

x
1
nóỳu
1
= 0
=
1
1
x


x
2
nóỳu
2
= 1

x
2

nóỳu
2
= 0
2
=
2
x

Baỡi giaớng Kyợ Thuỏỷt Sọỳ Trang 18
Tọứng quaùt cho n bióỳn:
f(x
1
, x
2
, , x
n
) =
n
n
2
21
xx)x, ,,f(
n2
1
n
2
0e
1

1



=

trong õoù e laỡ sọỳ thỏỷp phỏn tổồng ổùng vồùi maợ nhở phỏn (
1
,
2
, ,
n
);
vaỡ: x
i
nóỳu
i
= 1

x
i
nóỳu
i
= 0
=
i
x

i

Vờ duỷ:
f(x
1
, x
2
, x
3
) = f (


=
12
0e
3
1
,
2
,
3
). x
1

1
. x
2

2
. x
3

3
f(x
1
, x
2
, x
3
) = f(0,0,0)x
1
x
2
x
3
+ f(0,0,1)x
1
x
2
x
3
+ f(0,1,0)x
1
x
2
x
3

+ f(0,1,1)
x
1

x
2
x
3
+ f(1,0,0) x
1
x
2
x
3
+ f(1,0,1)x
1
x
2
x
3

+ f(1,1,0) x
1
x
2
x
3
+ f(1,1,1) x
1
x
2
x
3

Vỏỷy daỷng chờnh từc thổù nhỏỳt laỡ daỷng tọứng cuớa caùc tờch maỡ trong mọựi
tờch sọỳ chổùa õỏửy õuớ caùc bióỳn Boole dổồùi daỷng thỏỷt hoỷc daỷng buỡ
(nghởch õaớo).


b. Daỷng chờnh từc 2 (tờch cuớa caùc tọứng):
ỏy laỡ daỷng õọỳi ngỏựu cuớa daỷng chờnh từc 1 nón bióứu thổùc tọứng quaùt
cuớa daỷng chờnh từc thổù hai cho n bióỳn laỡ:

f(x
1
, x
2
, , x
n
) = [f(


=
1n
2
0e
1
,
2
,
3
) + x
1

1
+ x
2

2
+ + x
n

n
)]

trong õoù e laỡ sọỳ thỏỷp phỏn tổồng ổùng cuớa maợ nhở phỏn (
1
,
2
, ,
n
);
vaỡ:
x
i
nóỳu
i
= 1
x
i
nóỳu
i
= 0
i

i

=
x

Vờ duỷ:

f(x
1
,x
2
)=[f(0,0)+x
1
+x
2
][f(0,1)+x
1
+x
2
][f(1,0)+x
1
+x
2
][f(1,1)+x
1
+x
2
]