Bài Giảng Công Nghệ Xử Liý Ảnh Số - Mai Cường Thọ phần 5 pdf

Bài giảng Xử lý ảnh số
29

GV. Mai Cường Thọ

Hay ta có công thức:



Trong đó:



Kết luận: với hình ảnh cơ sở
k
a
∗
là cột k của ma trân A
*T
, ta tách
S
r
thành các hình
ảnh cơ sở thông qua các hệ số của
V
r

3 Phép biến đổi Unitar 2 chiều
Cho ma trận Unitar A
NxN
, với ảnh s(m, n) ta có công thức biến đổi Unitar
của ảnh S như sau:
Cặp biến đổi Unitar 2 chiều:









)()()(
1
*
1
kvkvns
N
k
kn
N

k
nk
ab
∑∑
==
==

bbb
bbb
bbb
A
T
333231
232221
131211
*
=

k
n
b
a
nkkn
=
*

)1( )1()0(
*
1
*

1
*
0
−+++=
→
−
→→
→
NVvvS
a
a
a
N

Các hinh
ảnh cơ sở
hệ số phân tích
V = ASA
T
(Xác định hệ số phân tích)
S= A
*T
VA
*
(Xác định ảnh cơ sở)

Hay S=
∑∑
−
=

−
=
1
0
1
0
,
*
),(
N
k
N
l
lk
lkVA
, với
A
lk
*
,
: là hình ảnh cơ sở
aa
A
T
lk
lk
**
*
,
=

Trong đó :
a
k
*
và
a
l
*
là các cột thứ k và l của A
*T
Bài giảng Xử lý ảnh số
30

GV. Mai Cường Thọ

Ví dụ: Cho ma trận Unitar A và ảnh S, hãy xác định các ảnh cơ sở của S qua phép
biến đổi



Giải:
* Xác định hệ cơ sở:

V= ASA
T
=


A
*T

=

* Xác định các
aa
A
T
lk
lk
**
*
,
=

Ta có :
1
1
2
1
*
0
=
a
và
1
1
2
1
*
1
−

=
a


11
11
2
1
11
1
1
2
1
*
0
*
0
*
00
===
aa
A
T
,
11
11
2
1
11
1

1
2
1
*
0
*
1
*
10
−−
=
−
==
aa
A
T


11
11
2
1
11
1
1
2
1
*
1
*

0
*
01
−
−
=−==
aa
A
T
,
11
11
2
1
11
1
1
2
1
*
1
*
1
*
11
−
−
=−
−
==

aa
A
T


* Như vậy S có thể biểu diễn qua các hình ảnh cơ sở như sau:

11
11
0
11
11
11
11
2
1
11
11
2
5
43
21
−
−
+
−−
−
−
−
−==S

11
11
2
1
−
=A
và
43
21
=S

04
210
2
1
11
11
22
64
2
1
11
11

43
21
11
11
2
1
−
−
=
−−−
=
−−

11
11
2
1
−

Hình ảnh cơ sở
Bài giảng Xử lý ảnh số
31

GV. Mai Cường Thọ

Ví dụ 2:
Cho ma trận Unitar A và ảnh S, hãy xác định V và
A
lk
*

,

1
1
2
1
j
j
A =
và
43
21
=S

Giải:
* V= ASA
T
=
jj
jj
j
j
jj
jj
j
j
j
j
5351
5153

2
1
1
1
243
4231
2
1
1
1
43
21
1
1
2
1
++
+−+−
=
++
++
=


* A
*T
=
1
1
2

1
j
j
−
−

* Tính
aa
A
T
lk
lk
**
*
,
=
với
j
a
−
=
1
2
1
*
0
và
1
2
1

*
1
j
a
−
=


1
1
2
1
1
1
2
1
*
0
*
0
*
00
−−
−
=−
−
==
j
j
j

j
aa
A
T


j
j
j
j
aa
A
T
−
−
=−
−
==
1
1
2
1
1
1
2
1
*
1
*
0

*
01


j
j
j
j
aa
A
T
−
−−
=−
−
==
1
1
2
1
1
1
2
1
*
0
*
1
*
10

1
1
2
1
1
1
2
1
*
1
*
1
*
11
j
j
j
j
aa
A
T
−
−−
=−
−
==

II. Biến đổi Fourier
1. Biến đổi Fourier 1 chiều
Cho f(x) là hàm liên tục với biến thực x. Biến đổi Fourier của f(x) là
ℑ
(
)
{
}
xf
:
ℑ
(
)
{
}
xf
= F(u) =
dxxf
e
uxj π2
)(
−
∞
∞−
∫

Trong đó j=
1−

Cho F(u), f(x) có thể nhận được bằng cách biến đổi Fourier ngược (IFT):
ℑ
-1
(
)
{
}
uF
= f(x) =
duuF
e
uxj
∫
∞
∞−
π2
)(

Bài giảng Xử lý ảnh số
32

GV. Mai Cường Thọ

Công thức trên là cặp biến đổi Fourier tồn tại nếu f(x) liên tục và có thể tích phân
được, và F(u) cũng có thể tích phân được. Trong thực tế các điều kiện trên luôn thoả
mãn.
Với f(x) là hàm thực, biến đổi Fourier của hàm thực nói chung là số phức:
F(u) = R(u) + j I(u)
Trong đó R(u) và I(u) là thành phần thực và thành phần ảo của F(u). Ta thường biểu
diễn dưới dạng hàm mũ

F(u)=
e
uj
uF
)(
)(
φ

Trong đó:
)()()(
22
uIuRuF +=
và






=
)(
)(
tanarg)(
uR
uI
u
φ

-
F(u)

được gọi là phổ biên độ Fourier của f(x), và
)(u
φ
gọi là góc pha.
- Biến u thường được gọi là biến tần số (phần biểu diễn hàm mũ) =
e
uxj
π
2
−
, theo công
thức Euler:
e
uxj
π
2
−
= cos(2πux) – jsin(2πux)
Vậy ta có thể nói rằng, biến đổi Fourier tạo ra một cách biểu diễn khác của tín
hiệu dưới dạng tổng có trọng số các hàm sin và cosin (2 hàm trực giao)

Ví dụ:
Ta có hàm f(x) như sau:



F(u) =
dxxf
e
uxj

∫
∞
∞−
− π2
)(
=
dxA
X
uxj
e
∫
−
0
2π
=
[
]
e
uxj
uj
A
X
π
π
2
2
0
−
−
=

[
]
1
2
2
−
−
−
e
uxj
uxj
A
π
π

=
[
]
eeee
uxjuxjuxjuxj
ux
u
A
uj
A
ππππ
π
ππ
−−−
=− )sin(

2
22

Đó là một hàm phức, phổ Fourier:
)(
)sin(
)sin()(
ux
ux
Axnux
u
A
uF
e
uxj
π
π
π
π
==
−




A
f(x)
X
x
Bài giảng Xử lý ảnh số

33

GV. Mai Cường Thọ

2. Biến đổi Fourier 2 chiều
Biến đổi Fourier có thể mở rộng cho hàm f(x, y) với 2 biến. Nếu f(x, y) là
hàm liên tục và tích phân được và F(u, v) cũng tích phân được, thì cặp biến đổi
Fourier 2 chiều sẽ là : ℑ
{ }
∫ ∫
+−
∞
∞−
== dxdyyxfvuFyxf
e
vyuxj
)(2
),(),(),(
π

ℑ
-1

{ }
∫ ∫
∞
∞−
+
== dudvvuFyxfvuf
e

vyuxj
)(2
),(),(),(
π

Trong đó u, v là biến tần số.
Cũng như biến đổi Fourier 1 chiều, ta có phổ biên độ, phổ pha, cho trường hợp 2
chiều:
),(),(),(
22
vuIvuRvuF +=
và






=
),(
),(
tanarg),(
vuR
vuI
vu
φ

Ví dụ: xác định biến đổi Fourier của hàm trên hình sau:

F(u, v)=
Y
vyj
X
X Y
uxj
vyjuxjvyuxj
vyjuxj
AdydxAdxdyyxf
ee
eee
0
2
0
0 0
2
22)(2
22
),(









−








−
==
−−
−−+−
∞
∞−
∫ ∫ ∫∫
ππ
ππ
πππ


=
[ ] [ ]

















=−
−
−
−
−−
−−
vY
vY
uX
uX
AXY
vjuj
A
ee
ee
vYjuXj
YjuXj
π
π

π
π
ππ
ππ
ππ
)sin()sin(
1
2
1
1
2
22


Phổ công suất của nó:
vY)(
vY)sin(

uX)(
)Xusin(
XY),(
2
π
π
π
π
AvuF
=

 Các tính chất của biến đổi Fourier

A
X
Y
F(x,y)
x
y
Bài giảng Xử lý ảnh số
34

GV. Mai Cường Thọ

3. Biến đổi Fourier rời rạc (DFT)
Giả thiết cho hàm liên tục f(x), được rời rạc hoá thành chuổi:
{
}
{
}
{
}
[
]
{
}
{
}
xNxfxxfxxfxf ∆−+∆+∆+ 1,2,,
0000

Trong đó: N- số mẫu, ∆x bước rời rạc ( chu kỳ lấy mẫu). Ta dùng biến x vừa là biến
liên tục vừa là biến rời rạc.
Ta định nghĩa : f(x)= f(x
0
+ x∆x)
x: - là các giá trị rời rạc 0, 1, 2,…, N-1.
Chuỗi
{
}
)1( ),2(),1(),0( −Nffff
là các mẫu đều bất kì được lấy mẫu đều từ một
hàm liên tục. Cặp biến đổi Fourier cho các hàm lấy mẫu:
F(u)=
∑
−
=
−
1
0
2
)(
1
N
x
N
uxj
e
xf
N

π
với u= 0, 1, 2, …N-1
Và f(x) =
∑
−
=
1
0
2
)(
N
x
N
uxj
e
uF
π
với x= 0, 1, 2, …N-1
Trường hợp DFT 2 chiều:

F(u, v) =
∑ ∑
−
=
−
=
+−
1
0
1

0
)(2
),(
1
M
x
N
y
N
vy
M
ux
j
e
yxf
MN
π


f(x,y)=
∑ ∑
−
=
−
=
+
1
0
1
0

)(2
),(
M
u
N
v
N
vy
M
ux
j
e
vuF
π


với u=
1,0 −M
, v=
1,0 −N
và x=
1,0 −M
, y=
1,0 −N

Nếu M=N (lấy mẫu vuông ):
Ta có:

∑∑
−

=
−
=
+
−
=
1
0
1
0
)(2
),(
1
),(
N
x
N
y
N
vyux
j
e
yxf
N
vuF
π


∑∑
−

=
−
=
+
=
1
0
1
0
)(2
),(
1
),(
N
u
N
v
N
vyux
j
e
vuF
N
yxf
π

với x, y=0, 1, 2,…N-1

Bài giảng Xử lý ảnh số
35

GV. Mai Cường Thọ
Chương V
Xử lý và nâng cao chất lượng ảnh

Nâng cao chất lượng ảnh là một bước quan trọng tạo tiền đề cho xử lý ảnh.
 Mục đích: làm nổi bật một số đặc tính của ảnh: Thay đổi độ tương phản, lọc
nhiễu, nổi biên, làm trơn biên, khuếch đại ảnh…
- Tăng cường ảnh: Nhằm hoàn thiện trạng thái quan sát của một ảnh. Bao gồm
điều khiển mức xám, thay đổi độ tương phản, giảm nhiễu, làm trơn, nội
suy…
- Khôi phục ảnh: Nhằm khôi phục ảnh gần với trạng thái thực nhất trước khi
biến dạng, tùy theo nguyên nhân gây ra biến dạng.
 Các phương pháp thực hiện:
- Thực hiện trên miền không gian
+ Toán tử điểm (Point Operations): giá trị 1 điểm ảnh đầu ra phụ thuộc duy
nhất vào 1 giá trị đầu vào tại vị trí tương ứng trên ảnh vào.
+ Toán tử cục bộ (Local Operations): giá trị một điểm ảnh đầu ra phụ thuộc
vào giá trị của chính nó và các lân cận của nó trong ảnh vào.
- Thực hiện trên miền tần số
+ Toán tử tổng thể (Global Operations): giá trị của 1 điểm ảnh đầu ra phụ
thuộc vào tất cả giá trị các điểm ảnh trong ảnh vào
I. Tăng cường ảnh
I.1. Các thao tác trên miền không gian (Spatial Operations)
- Là hàm thao tác trực tiếp trên tập các điểm ảnh.
- Biểu diễn công thức tổng quát như sau:
)],([),( nmSnmV
T
=

- Một láng giềng (Neighborhood) của (m,n) được định nghĩa bởi việc sử dụng một

ảnh con (subimage) hình vuông, hình chữ nhật hoặc bát giác, có tâm điểm tại (m,n).

Hình 5.1. Một số dạng lân cận
- Khi láng giềng là 1x1, thì hàm
T
trở thành hàm biến đổi hay ánh xạ mức xám
(gray level transformation function).
v =
T
[s]
s, v là các mức xám của S(m,n) và V(m,n).