pt vo ty

PHƯƠNG PHÁP GIẢI MỘT SỐ PHƯƠNG TRÌNH
VÔ TỶ
1. Phương trình dạng
(a, b, c, d, e là các hằng số, c > 0; d ≠ 0)
Điều kiện (a+cx)(b-cx) ≥ 0 và a + b ≥ 0
Đặt t = ; t ≥ 0 ⇒ (2)
*) xét điều kiện đối với t
Từ (2) ⇒ t ≥
Do t
2
- a - b = ≤ (a + cx) + (b - cx)
= a + b
⇒ t
2
≤ 2(a + b) ⇒ t ≤
Vậy ≤ t ≤
*) Khi đó phương trình (1) trở thành
2t + d(t
2
– a - b) = 2e.
)1( e)cxb)(cxa(dcxbcxa
=−++−++
cxbcxa
−++
bat)cxb)(cxa(2
2
−−=−+
ba
+

)cxb)(cxa(2 −+
)ba(2 +
ba
+
)ba(2 +

Ví dụ 1: Cho phương trình
a. Giải phương trình với m = 2.
b. Tìm các giá trị của m để phương trình có nghiệm
Lời giải:
Điều kiện ⇔ -1 ≤ x ≤ 3
Đặt t = , 2 ≤ t ≤ (4)
⇒ hay
a. Với m = 2 phương trình (3) trở thành 2t – (t
2
– 4) = 4
⇔ t
2
– 2t = 0 ⇔

+) t = 0 không thoả mãn điều kiện (4)
+) t = 2 ⇔ = 2
⇔(x + 1)(3 – x) = 4
⇔ thoả mãn điền kiện
Vậy với m = 2 phương trình (3) có hai nghiệm x = -1 và x =3.
)3( m)x3)(1x(x31x
=−+−−++




≥−
≥+
0x3
01x
x31x
−++
)x3)(1x(24t
2
−++=
4t)x3)(1x(2
2
−=−+



=
=
2t
0t
)x3)(1x(
−+
22

b. phương trình (3) trở thành
2t – (t
2
- 4) = 2m
⇔ t
2
– 2t +2m - 4 = 0

phương trình có ∆ = 5 - 2m ≥ 0 thì phương trình có hai
nghiệm
t
1
=
t
2
= (không thoả mãn điều kiện (4))
Để phương trình (3) có nghiệm thì
⇔

Vậy với thì phương trình (3) có nghiệm.
m251
−+
m251
−−



≤−+≤
≥−
22m2512
0m25
2m222
≤≤−
2m222 ≤≤−

2. Phương trình dạng
(a, b, c, d là hằng số, a ≠ 0)
Điều kiện x ≥ b

Đặt t = , t ≥ 0 ⇒ x = t
2
+ b
Phương trình (5) trở thành
⇔ (6).
Xét hai trường hợp:
+) t ≥ a thì phương trình (6) trở thành
2t = ct
2
+bc + d ⇔ ct
2
- 2t +bc + d = 0
+) 0 ≤ t < a thì phương trình (6) trở thành
2a = ct
2
+bc + d ⇔ ct
2
- 2a +bc + d = 0.
)5( dcxbxa2baxbxa2bax
22
+=−−−++−+−+
bx
−
)5( d)bt(cat2atat2at
22222
++=−++++
d)bt(catat
2
++=−++

Ví dụ 2: Cho phương trình
a. Giải phương trình với m = 23.
b. Tìm các giá trị của m để phương trình có nghiệm
Lời giải:
Điều kiện x - 9 ≥ 0 ⇔ x ≥ 9.
đặt t = thì x = t
2
+ 9
phương trình (7) trở thành
⇔
⇔
⇔
)7(
6
mx
9x6x9x6x
+
=−−+−+
9x
−
m9t))3t()3t((6
222
++=−++
m9t)3t3t(6
2
++=−++



<≤=+−

≥=++−
3 t 0 khi 0m27t
3 t khi 0m9t12t
2
2

a. Khi m = 23 phương trình (7) trở thành
⇔ ⇔ ⇔
vậy với m = 23 phương trình (7) có 3 nghiệm x = 73; x = 25;
x = 13.
b.Với t ≥ 3 thì phương trình t
2
-12t + 9 + m = 0
có ∆ = 27 – m
để phương trình có nghiệm ⇔ ∆ ≥ 0 ⇔ m ≤ 27.
Với 0 ≤ t < 3 thì phương trình t
2
-27+ m = 0
để phương trình có nghiệm ⇔ 27 - m ≥ 0
⇔ m ≤ 27.
Vậy với m ≤ 27 thì phương trình (7) có nghiệm



<≤=−
≥=+−
3 t 0 khi 04t
3 t khi 032t12t
2
2






=
=
=
2t
4t
8t





=
=
=
13x
25x
73x

3.Phương trình dạng
(a, c ≠ 0)
Lời giải:
(1) ⇔
⇔
0)dcxbax()dcx)(b(ax
3 3

3
=+++++
(1) dbx)ca(dcxbxa
3
33
+++=+++









+=+
−=
−=
⇔





=+++
=+
=+
d)-(cxbxa
c
d

x
a
b
x
0dcxbxa
0dcx
0bxa
33

Ví dụ 1: Giải phương trình
Lời giải :
(2) ⇔
⇔

⇔ ⇔
Vậy phương trình có tập nghiệm là

(2) 1x21x2x
333
−=++−
1x2)1x2x()1x)(2x(31x2
33
3
−=++−+−+−
0)1x2x()1x)(2x(
33
3
=++−+−






=++−
=+
=−
01x2x
01x
02x
33







=
−=
=
2
1
x
1x
2x







−
2 ;
2
1
;1

Ví dụ 2: Giải phương trình
Lời giải:
(3) ⇔
⇔
Mà theo (3) thì phương trình (4) trở thành
⇔
⇔

⇔
Vậy phương trình có tập nghiệm là
x5)1x1x()1x)(1x(3x2
33
3
=−++−++
(3) x51x1x
3
33
=−++
(4) x)1x1x()1x)(1x(
33
3
=−++−+
xx5.1x

3
3
2
=−
3
3
3
3
2
xx.)1x(5 =−
0)x)1x(5(x
3
2
3
2
3
=−−





±=
=
⇔



=−
=

2
5
x
0x
x)1x(5
0x
22






−
2
5
;
2
5
;0

4.Các phương trình khác
Ví dụ 1: Giải phương trình
Lời giải : ĐK x ≥ -3
Nhận thấy x=-3 không phải nghiệm của phương trình nên
(1) ⇔
Nhân hai vế phương trình (1’) với ta được
Nhận thấy x=0 là một nghiệm của phương trình (1)
Với x ≠ 0 chia hai vế cho x
2

ta được
Vậy phương trình (1) có nghiệm x=0 và
(1) 3xx1x2)3x(
22
++=++
)'1(
3x
x
11x2
3x
3xx
1x2
2
2
2
2
+
=−+⇔
+
++
=+
11x2
2
++
)11x2(
3x
x
x2
2
2

2
++
+
=
012x10x1x25x211x2)3x(2
222
=++⇒+=+⇔++=+
135 x va)loai(135x +−=−−=⇒
135x +−=

Ví dụ 2: Giải phương trình
Lời giải : ĐK
(2) ⇔
⇔
Nhân hai vế phương trình (2’) với ta được
Vậy phương trình (2) có một nghiệm x =1
)2(
1x3
3x2x3
3x
2
2
+
++
=+
3
1
x −>
x2
1x3

3x2x3
x23x
2
2
−
+
++
=−+
)'2(
1x3
3x3
x23x
2
2
+
+−
=−+
x23x
2
++
)x23x(
1x3
3x3
3x3
2
2
2
++
+
+−

=+−
0)1
1x3
x23x
)(3x3(
2
2
=−
+
++
+−⇔



−=
=
⇔




+=++
=+−
⇔
) loai(1x
1x
1x3x23x
03x3
2
2

Ví dụ 3: Giải phương trình
Lời giải: Đk x ≥ -3 và x ≠ 0
(3) ⇔
Nhân hai vế phương trình với ta được pt
Phương trình(3’’) có nghiệm x = 1
pt(3’’’) ⇔ ⇔
vônghiệm
Vậy phương trình (3) có một nghiệm x = 1
)'3( )
x
7
1)(1x(
2
1
23x
+−=−+
)3( 5
x2
7
x
2
1
3x +−=+
23x ++
02-2)3x)(
x
7
(11)-(x)23x)(
x

7
1)(1x(
2
1
1x
=






+++⇔+++−=−




=+++
=−
⇔
)''(3' 2)23x)(
x
7
1(
)'(3' 01x
)23x)(7x(x2 +++=
143x)7x( −=++

Ví dụ 4: Giải phương trình
Lời giải: ĐK x ≥ -3

Nhận thấy x = -3 không phải là nghiệm của phương trình (4)
(4) ⇔
Nhân 2 vế của phương trình (4’) với ta có
(4’) ⇔

⇔
⇔
Vậy phương trình có 2 nghệm x = 1 và x = -2
(4) 4x3x2xx)3x(
22
++=+++
)(4'
3x
2xx
22xx
3x
4x3x
2xx
2
2
2
2
+
−+
=−++⇔
+
++
=++
22xx
2

+++
)22xx(
3x
2xx
2xx
2
2
2
+++
+
−+
=−+
0)1
3x
22xx
)(2xx(
2
2
=−
+
+++
−+



−=
=
⇔





+=+++
=−+
2x
1x
3x22xx
02xx
2
2

Ví dụ 5: Giải phương trình
Lời giải: Đk
(5) ⇒
Kết hợp với đk thì phương trình (5) có 3 nghiệm
(5)
3x2
1x
1x3x2
2
2
−
−
=+−
03-2x ;0
3x2
1x
;01x3x2
2
2

≠≥
−
−
≥+−
3x2
1x3x
x1x3x2
1x3x

3x2
1x3x
x1x3x2
2
2
22
2
−
−+−
=
++−
+−
⇒
−
−+−
=−+−



=+−
=+−

⇒




−=++−
=+−
⇒
=
−
+
++−
+−⇒
08x15x7
01x3x
x23x1x3x2
01x3x
0)
3x2
1
x1x3x2
1
)(1x3x(
2
2
2
2
2
2
7

8
x ;1x ;
2
53
x ==
±
=⇒
1x ;
2
53
x
=
±
=

Ví dụ 6: Giải phương trình
Lời giải: vì x = -1 không là nghiệm của phương trình (6) nên
(6)
Phương trình (6’) có nghiệm , phương trình (6’’)
vô nghiệm
Vậy phương trình (6) có 2 nghiệm
(6) 1x3x2x)1x(
22
+=+−+
1x
1x2x
23x2x
1x
1x
3x2x

2
2
2
2
+
−−
=−+−⇔
+
+
=+−⇔




+=++−
=−−
=
+
−
++−
+−⇔
+
−−
=
++−
−−
⇔
)'(6' 1x23x2x
)(6' 01x2x
0)

1x
1
23x2x
1
)(1x2x(
1x
1x2x
23x2x
1x2x
2
2
2
2
2
2
2

21x
±=
21x
±=

Ví dụ 7: Giải phương trình sau:
Lời giải: điều kiện x ≥ -1

(7) 1x5)2x(2
32
+=+
)1xx)(1x(5)2x(2)7(
22

+−+=+⇔
1x
)1xx()1x(
5)2x(2
22
2
+
+−+
=+⇔
2
1x
1xx
)(1x(
3x5x
)1x(5
6x10x2
2-
1x
1xx
2
)1x(5
)2x(2

1x
1xx
)1x(5
)2x(2
2
22
2222

+
+
+−
+
−−
=
+
−−
⇔
+
+−
=−
+
+
⇔
+
+−
=
+
+
⇔
0)
2
1x
1xx
1
5
2
(
1x

3x5x

2
2
=
+
+
+−
−
+
−−
⇔


Phương trình (7’) có nghiệm
Phương trình (7’’)
(vô nghiệm)
Vậy phương trình (7) có 2 nghiệm
2
375
x
±
=
03x34x
1x
1xx
2
1
2
2

=++⇔
+
+−
=⇔
2
375
x
±
=





+
+
+−
=
=−−
⇔
)'(7' 2
1x
1xx
2
5
)(7' 03x5x
2
2

BÀI TẬP :

Bài 1: Giải các phương trình sau
a.
b.
c.
Bài 2:Tìm các giá trị của m để các phương trình sau có nghiệm
a.
b.
c.
Bài 3 : Giải các phương trình sau
a.
b.
c.
21x2x1x2x =−−+−+
163x5x22x31x3x2
2
−+++=+++
x1xxx
3
2
1
2
−+=−+
m)x8)(x1(x8x1
=−++−++
m4x4x4x23x
=−−+−−−
m4xx4x4x =−++−+
4xx8x)1x(
2
++=++

x3
20
3
4
x3x −−=−
8x)8x(2
32
+=+