Phương pháp giải PT vô tỷ

đề tài nghiệp vụ s phạm Ngời thục hiện:
Phần I: Những vấn đề chung
I. Lí do chọn đề tài
1. Cơ sở lí luận:
Thế hệ trẻ Việt Nam nói chung, giới học sinh nói riêng có may mắn là đợc
sinh ra và lớn lên trong thời đại mà các cuộc cách mạng khoa học kĩ thuật công nghệ
đang trào dâng nh vũ bão, thông tin bùng nổ từng phút từng giờ, cái mới này cha kịp
đăng quang đã phải nhờng chỗ cho cái mới khác đến thay thế. Vậy thì mỗi thầy cô
giáo, mỗi học sinh phải hành động nh thế nào?
Việc học tập hiện nay đang có xu hớng đi vào chiều sâu học phải đi đôi với
hành, do vậy phải có những phơng pháp dạy và học có hiệu quả tối u nhất nhằm tìm
ra những con đờng ngắn nhất, hay nhất trong việc học tập để giúp chúng ta nắm
vững đợc kiến thức và đi đào sâu lợng kiến thức đã học. Để đạt đợc điều đó thì mỗi
ngời giáo viên, mỗi học sinh phải trau dồi kiến thức, su tầm và hệ thống cho chính
mình những phơng pháp học tập và nghiên cứu riêng.
Trong quá trình học tập và nghiên cứu, việc đi phân loại các phơng pháp giải
một dạng toán hay bất kì một lĩnh vực nào, nó giúp chúng ta có nhiều cách nhìn,
cách lý giải cho cùng một vấn đề, nó giúp chúng ta nhìn nhận, xem xét một cách kĩ
lỡng hơn, dới nhiều góc độ, để chúng ta tìm đợc cách giải quyết cho nhanh nhất,
hiệu quả nhất.
2. Cơ sở thực tiễn:
Hiện nay, trong các trờng THCS và ngay cả bậc phổ thông việc giải một ph-
ơng trình vô tỉ vẫn là một vấn đề cần bàn, đa số các giáo viên đã truyền đạt hết cho
học sinh những kiến thức, những phơng pháp giải nhng cha có tính hệ thống cao, cha
đi sâu vào phân tích những u điểm, những tồn tại và khả năng ứng dụng của từng ph-
ơng pháp chính, bởi lẽ đó mà những phơng pháp giảng giải của giáo viên thờng hay
chồng chéo lên nhau khiến cho việc tiếp thu của học sinh thờng bị động và cha có
tính quyết toán trong việc tìm cho mình một phơng pháp tối u nhất khi đứng trớc
một bài toán giải phơng trình vô tỉ.
Mặt khác, đa số các em học sinh không có khả năng hệ thống cho mình
những phơng pháp giải loại phơng trình này, hay còn phần lớn các em không biết

cách giải thế nào cho đúng, cho hay, nhất là với học sinh bậc THCS. Các em thờng
1
đề tài nghiệp vụ s phạm Ngời thục hiện:
giải theo phơng pháp lũy thừa và chọn ẩn nhng đa số các em không phán đoán đợc
phơng trình sau có tơng đơng với phơng trình đã cho hay không?
Chính bởi những lí do trên mà tôi chọn đề tài này để phần nào tháo gỡ những vớng
mắc trên, giúp cho quá trình dạy và học đợc tốt hơn và đạt hiệu quả mong muốn.
II. Mục đích nghiên cứu đề tài:
Một là, giúp học sinh nắm đợc các phơng pháp giải một bài giải phơng trình
vô tỉ. Trên cơ sở đó, tìm đợc những vớng mắc, khó khăn mà các em thờng gặp phải
trong quá trình giải loại bài tập này.
Hai là, hệ thống đợc các phơng pháp giải phơng trình vô tỉ, trên cơ sở đó phân
tích những u việt hay hạn chế của từng phơng pháp.
Ba là, thông qua hệ thống ví dụ, giúp các em thấy đợc cách lựa chọn một hoặc
nhiều phơng pháp khác nhau để giải một bài toán sao cho nhanh và đạt hiệu quả tối -
u nhất.
III. Đối tợng và khách thể nghiên cứu:
1. Đối t ợng nghiên cứu:
Nghiên cứu những phơng pháp giải phơng trình vô tỉ.
Đánh giá tính u việt, hạn chế và khả năng ứng dụng của từng phơng pháp giải.
2. Khách thể nghiên cứu :
Tập trung nghiên cứu trong chơng trình đại số lớp 8, lớp 9 và trong chơng trình toán
phổ thông.
3. Phạm vi nghiên cứu:
Do yêu cầu của đề tài nên chỉ tập trung nghiên cứu phần đại số ở lớp 8 và lớp
9 còn lại là trong chơng trình toán cấp III.
IV. Nhiệm vụ nghiên cứu của đề tài:
Phải hệ thống đợc cách giải một phơng trình vô tỉ.
Phải phân tích đợc những u việt và hạn chế của từng phơng pháp, từ đó đa ra khả
năng ứng dụng của từng phơng pháp đối với một bài giải phơng trình vô tỉ.

Phải phân tích và tìm ra từng chỗ thiếu sót, chỗ sai mà học sinh thờng hay mắc phải
và đa ra cho học sinh những cách khắc phục.
2
đề tài nghiệp vụ s phạm Ngời thục hiện:
V. Phơng pháp nghiên cứu đề tài:
1 - Phơng pháp đọc và phân tích tài liệu.
2 - Phơng pháp tổng hợp những kinh nghiệm sáng kiến của những giáo
viên dạy giỏi.
3 - Phơng pháp khảo sát thực tế.
Phần II: Nội dung chính của đề tài
Chơng I: Những kiến thức cơ bản
I. Những vấn đề chung của phơng trình:
1. Tập xác định của ph ơng trình:
a. Định nghĩa: Tập xác định của một phơng trình là tập hợp các giá trị của
một ẩn làm cho mọi biểu thức trong phơng trình có nghĩa. Tập xác định đợc viết tắt
là TXĐ.
Ví dụ :
a. Phơng trình x
2
7x + 1 = 6x
2
+ 2 Có tập xác định là D = R
b. Phơng trình
có tập xác định là: D = { x R/x + 4 0} = R - {- 4}
c. có tập xác định là: D = { x R/x - 2 0} = R [- 4]
2. Hai ph ơng trình t ơng đ ơng:
2.1. Định nghĩa :
Hai phơng trình đợc gọi là tơng đơng nếu chúng có cùng chung một tập nghiệm
trong cùng một tập số.
2.2. Ví dụ :

a. Cho hai phơng trình :
x
2
- 7x + 6 = 0 và 2x
2
14x + 12 = 0 là hai phơng trình tơng đơng vì chúng
có cùng tập nghiệm S = {1; 6}.
b. Hai phơng trình:
x + 1 = 0 và (x + 7).(x - 5) = 0 là hai phơng trình không tơng đơng vì tập
nghiệm của phơng trình thứ nhất là S = {- 1} còn của phơng trình thứ hai là S = {-
1; 5}.
c. Hai phơng trình:
x
2
+ 1 = 0 và x
2
+ x + 6 = 0 là hai phơng trình tơng đơng vì chúng có cùng chung
một tập nghiệm là S = .
3. Nghiệm của ph ơng trình:
3
1
6
2
=
+

4x
x x
22
2

+=
xx
đề tài nghiệp vụ s phạm Ngời thục hiện:
Cho phơng trình f(x) = g(x). Nghiệm của phơng trình xét trên tập A là số A sao
cho f() = g().
II. Cách giải các bất phơng trình, phơng trình cơ bản:
1. Ph ơng trình và bất ph ơng trình bậc nhất:
- ax + b = 0 (với a 0)
- ax + b > 0 (với a > 0)
(với a < 0)
2. Bất ph ơng trình bậc hai:
a. Phơng trình bậc hai có:
= b
2
4ac


= b
2
ac.
< 0 phơng trình vô nghiệm.
= 0 phơng trình có nghiệm kép.
> 0 phơng trình có hai nghiệm phân biệt.
b. Quy tắc xét dấu tam thức bậc hai:
Cho f(x) = ax
2
+ bx + c (a 0)
* 0 thì f(x) cùng dấu với hệ số a.
* 0 thì f(x) = 0 có hai nghiệm phân biệt x
1

; x
2
.
Nếu f(x) cùng dấu với hệ số a khi với x (x
1
; x
2
);
f(x) khác dấu với hệ số a với x (x
1
; x
2
);
3. Ph ơng trình và bất ph ơng trình tích:
f(x).g(x) = 0 f(x) = 0 hoặc g(x) = 0
f(x). g(x) > 0 f(x) > 0 hoặc f(x) < 0
g(x) > 0 g(x) < 0
4. Các phép biến đổi t ơng đ ơng:
a. f(x) = g(x) + h(x) f(x) g(x) = h(x)
b. f(x) = g(x) f(x) c = g(x) c (với c R)
c. f(x) = g(x) k.f(x) = k.g(x) (với k R
*
)
d. f(x) = g(x) (f(x))
2k + 1
= (g(x))
2k + 1
(với k N).
e. f(x) = g(x) (với f(x) 0; g(x) 0) [f(x)]
2k

= [g(x)]
2k
(với k N)
III. Phơng trình vô tỉ:
1. Định nghĩa:
4
a
b
x
=
a
b
x
>
a
b
<
x
)(
2
b
'
b
=
2a
b
x
=
2a
b -

x

=
k
g(x)
k
f(x)
=
đề tài nghiệp vụ s phạm Ngời thục hiện:
Phơng trình vô tỷ là phơng trình có chứa dấu căn thức
2. Cách giải chung:
Bớc 1: tìm tập xác định của phơng trình.
Bớc 2: tìm cách khử căn thức và tìm nghiệm.
Bớc 3 : so sánh với tập xác định và kết luận nghiệm của phơng trình.
3.Ví dụ :
Giải phơng trình :
(1)
Điều kiện để căn thức có nghĩa 2x + 3 0 (2)
với điều kiện x 0 (3)
phơng trình (1) (2x + 3) = x
2
(4)
x
2
2x 3 = 0.
Vì a b + c = 0 nên (4) có nghiệm là: x
1
= - 1; x
2
= 3

x
1
= - 1 không thoả mãn điều kiện (3)
x
2
= 3 thoả mãn các điều kiện (2) và (3)
Vậy nghiệm duy nhất của phơng trình là x = 3.
4. Một số kiến thức cần nhớ:
4.1. Điều kiện tồn tại một căn thức:
tồn tại khi A 0 (k N)
tồn tại khi A R (k N)
= A = A khi A 0
- A khi A 0
4.2. Một số bất đẳng thức quan trọng:
a. Bất đẳng thức Côsi:
Nếu a
1
, a
2
..... a
n
là các số không âm ta có:
đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a
1
= a
2
=.... = a
n
.
b. Bất đẳng thức Bunhiacopxki:

Nếu a
1
, a
2
..... a
n
và b
1
, b
2
..... b
n
là các số tuỳ ý ta có:
(a
1
2
+ a
2
2
+..........+ a
n
2
).(b
1
2
+ b
2
2
+........+ b
n

2
) (a
1
b
1
+ a
2
b
2
+ ........ + a
n
b
n
)
2
.
5
x32x
=+
2
3

x
k
A
2
12
+
k
A

2
A
n
n21
n21
...a.aa
n
.........aaa

++
đề tài nghiệp vụ s phạm Ngời thục hiện:
đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi:
c. Bất đẳng thức Trêbsep.
Nếu a
1
a
2
..... a
n
và b
1
b
2
...... b
n
, ta có:
(a
1
+ a
2

+ ........ + a
n
).(b
1
+ b
2
+ .......... + b
n
) n.(a
1
b
1
+ a
2
b
2
+.......+ a
n
b
n
).
đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a
1
= a
2
= ...... = a
n
hoặc b
1
= b

2
= ....... = b
n
.
d. Lợc đồ Hoocle.
Cho đa thức f(x) = a
n
x
n
+ a
n-1
x
n-1
+ ...... + a
1
x + a
0
(với x = ), ta có:
a
n
a
n-1
..... a
1
a
0
+ +
x a
n
a

n
+ a
n-1
. + a
1
f()
Chơng II: Phơng pháp biến đổi tơng đơng
I. Phơng pháp nâng lũy thừa:
1. Các dạng phơng trình vô tỉ cơ bản:
a. = A 0 hay B 0
A = B
b. = B B 0
A = B
2
c. = B A = B
3
d + = A 0 A + B + = C
B 0
Lu ý: Với phơng pháp lũy thừa hai vế. Muốn nâng hai vế phơng trình lên lũy thừa
bậc chẵn, ta phải biết chắc chắn hai vế cùng dấu, tốt nhất là cùng dơng.
Để nắm đợc phơng pháp này, chúng ta cùng tìm hiểu một số ví dụ cụ thể:
2. Ví dụ:
Ví dụ 1: Giải phơng trình
(1)
Giải:
Điều kiện để căn thức có nghĩa x 5 0 x 5 (2)
Với điều kiện x 7 0 x 7 (3)
phơng trình (1) tơng đơng với: x 5 = (x 7)
2
x

2
15x + 54 = 0 (4)
6
n
n
2
2
2
b
a
b
a
b
a
==
1
A
B
2
=
xt
3
A
2
=
xt
CB
AB2
75
=

xx
đề tài nghiệp vụ s phạm Ngời thục hiện:
Giải phơng trình (4) ta đợc:
x
1
= 6 không thỏa mãn điều kiện (3)
x
2
= 9 thỏa mãn các điều kiện (2) và (3)
Vậy phơng trình (1) có nghiệm duy nhất là x = 9.
Nhận xét: Trong cách giải trên, ta đặt điều kiện (2) vì lý do s phạm. Thực ra
không cần điều kiện này. Thật vậy, khi bình phơng hai vế của (1), biểu thức x 5
bằng một bình phơng, đơng nhiên không âm, do đó các giá trị của x thỏa mãn (3)
cũng sẽ thỏa mãn điều kiện (2).
Ví dụ 2: Giải phơng trình

Giải:
Chuyển vế phơng trình đã cho, ta có:
(1)
phơng trình (1) có nghĩa khi và chỉ khi: 2x + 3 0 (2)
x + 2 0 x - 2

với điều kiện (2) thì phơng trình (1) tơng đơng với:
2x + 3 = (x + 2)
2
x
2
+ 2x + 1 = 0 (3)
Giải phơng trình (3) ta đợc nghiệm duy nhất là: x = - 1.
Vậy phơng trình đã cho có nghiệm duy nhất là x = - 1.

Lu ý: Nhiều em khi gặp bài này thờng giải theo cách quen thuộc:


x + 2 0

x - 2.
2x + 3 = (x + 2)
2


(x + 1)
2
= 0
và cũng tìm đợc nghiệm x = - 1 thoả mãn (x - 2).
Nhng với điều kiện (- 2 ) thì lại không tồn tại vì 2x + 3 < 0.
Ví dụ 3: Giải phơng trình
(1)
Giải:
Điều kiện để căn thức có nghĩa: 1 x 0 x 1
1 2x 0 (2)

x + 4 0 x - 4
Với điều kiện (2) phơng trình (1) tơng đơng với:


1 x + 1 2x +
7
0322
=++
xx

232
+=+
xx
2
3

x
232
+=+
xx
2
3

x
32
+
x
4211
+=+
xxx
2
1

x
2
1
4

x
4)21).(1(2

+=
xxx
22
)4()211(
+=+
xxx
đề tài nghiệp vụ s phạm Ngời thục hiện:


(3)
với điều kiện 2x + 1 0 (4) thì phơng trình (3) tơng đơng với:
2x
2
3x + 1 = 4x
2
+ 4x + 1
2x
2
+ 7x = 0 (5)
Giải phơng trình (5) ta đợc x = 0 (thỏa mãn điều kiện (2) và (4))

không thỏa mãn điều kiện (4)
Vậy phơng trình (1) có nghiệm duy nhất là x = 2.
Lu ý: Với điều kiện (2) ta chỉ cần
2
1

x
thì phơng trình (1) đã tơng đơng với ph-
ơng trình (3) vì khi bình phơng thì (x + 4) bằng một bình phơng, đơng nhiên là d-

ơng.
Với , điều này chỉ đúng khi a 0 ; b 0 và trong trờng hợp
a 0; b 0 thì .
Ví dụ 4: Giải phơng trình
3
33
5x1x1x
=++
(1)
Giải:
Lập phơng hai vế phơng trình ta đợc:

33
)()(
3
33
5x1x1x
=++

5x)1x1)x.(1) - 1).(x(x3.1x1x
333
=++++++

x5x.1x
3
3
2
=
(2)
5x.(x

2
1) = x
3
x.[5.(x
2
1) x
2
] x = 0 x = 0

4x
2
5 = 0


Vậy phơng trình (1) có 3 nghiệm phân biệt x
1
= 0;
2
5
3,2
=
x
.
Thay lại vào phơng trình (1) ta thấy với x = 0 hoặc đúng là nghiệm của
phơng trình (1).
Lu ý:
8
24)21).(1(2
+=
xxx

12)21).(1(
+=
xxx
2
1

x
( )
2
2
)12()21).(1(
+=
xxx
2
7
=
x
2
5
=
x
2
5
=
x
baab
=
.
baab .
=

2
5
=
x
đề tài nghiệp vụ s phạm Ngời thục hiện:
- Do từ (1) suy ra (2), ta thực hiện phép biến đổi không tơng đơng nên phơng trình
(2) tìm đợc nói chung có nhiều nghiệm hơn phơng trình ban đầu, vì thế việc thay
lại nghiệm của (2) vào (1) là cần thiết nếu không ta sẽ gặp nghiệm ngoại lai.
- Với dạng bài này, chúng ta không thay thế thì chắc chắn
lời giải sẽ phức tạp hơn rất nhiều.
II. Phơng pháp đa về hằng đẳng thức quen thuộc.
Với phơng pháp này chúng ta thờng phân tích, thêm bớt để đa về dạng:
A = B A = B
A = - B (với B 0)
Ví dụ 1: Giải phơng trình sau:



Điều kiện để căn thức có nghĩa x 2 0 x 2


x 2 0 x 3
x 2 1
Vậy khi x 3
khi 2 x < 3
Tóm lại phơng trình sau tơng đơng với:
khi x 3
khi 2 x < 3
- 1 = 0 (vô lí)
khi 2 x < 3

thỏa mãn 2 x < 3.
Vậy phơng trình có nghiệm duy nhất là:
9
12x22x12x2 2 - x
=+++
1
12x21x1x2x2
=+
NnvớiBAB)(A
2n
2n
=
NnvớiBAB)(A
12n
12n
+=
+
+
( ) ( )
11
22
=+
2x12x
11
=+
2x12x
)(11
+=+
2x12x
12x12x12x

+=++
1
01

2x
1

2x
=
12x
2
1
=
2x
1
+
2x
111
+=+
2x2x
111
+=+
2x2x
4
1
2
=
x
4
9

=
x
4
9
=
x
3
33
5x1x1x
=++
1
+
2x
đề tài nghiệp vụ s phạm Ngời thục hiện:
Lu ý:
Đối với phơng pháp này ta phải thật khéo léo khi xử lý quá trình:
Nhiều bạn rất hay làm thiếu trờng hợp (- A).
Ví dụ 2: Giải phơng trình sau:
(1)
(2)
Điều kiện để căn thức tồn tại x 3 0 x 3 (3)
với điều kiện (3) phơng trình (2) tơng đơng với:

thỏa mãn điều kiện (3)
Vậy phơng trình (1) có hai nghiệm là x
1
= 3; x
2
= 7.
Lu ý:

Ta có thể dùng

A = B
A = - B (với B 0)
thì việc giải sẽ nhanh hơn.
Ví dụ 4: Giải phơng trình sau:
(1)
Lời giải:
Điều kiện để căn thức có nghĩa:
x 1 0 x 1
x 0 x 0 x 1 (*)
x
2
x 0 x 0 hoặc x 1
10
13x22x
=
13x23x
=+
1
( )
13x
=+
2
1
13x
=+
1
13x
=

1
13x
=
1
23x
=
03x
=
4
=
3x
0
=
3x
7
=
x
3
=
x
==
AA
2
BA
=
0xxx1).(x1x2x
2
=+
( )
0xxx1).(x1x2x1

=++
1.11
( ) ( )
0x1)x.(x.1x
=
11.1
2
( )
[ ]
0.1)x.(xx1x
=
111
( )
[ ]
0.1)x.(xx1x
=
111
( )
( )
=
2011x
111
==
x1x
( )
311
+=
xx1x

<

==
0
0
AkhiA
AkhiA
AA
2
đề tài nghiệp vụ s phạm Ngời thục hiện:
x = 2 thoả mãn (*) hoặc
với điều kiện x 1 thì hai vế của (3) đều dơng, bình phơng hai vế ta đợc:

- (x 1)
2
1 < 0 với x 1 suy ra phơng trình (3) vô nghiệm.
Vậy phơng trình (1) có nghiệm duy nhất là x = 2.
III. Phơng pháp dùng miền xác định.
Khi sử dụng phơng pháp này ta thờng chia nhỏ TXĐ của phơng trình và kết hợp với
các điều kiện ràng buộc ta sẽ có nghiệm của phơng trình.
Ví dụ 1: Giải phơng trình
(1)
Lời giải:
Điều kiện để phơng trình có nghĩa là:
x(x 1) 0 x 0 hoặc x 1 x 1
x(x + 2) 0 x - 2 hoặc x 0 x - 2
- Với x - 2 ta có phơng trình tơng đơng với:

Vì x - 2 nên hai vế đều dơng, ta bình phơng hai vế:
4x
2

+ 4x 8 = 1 4x + 4x
2
8x = 9
- Với x 1, ta có:
(1)
Bình phơng hai vế ta đợc :


8x = 9
Vậy phơng trình có nghiệm duy nhất là :
Chú ý : Khi sử dụng phơng pháp này, chúng ta phải xác định TXĐ của phơng trình
một cách chính xác và kết hợp với các điều kiện để tìm ra nghiệm.
Ví dụ 2 : Giải phơng trình
11
11)x.(x1)x.(x21x
++=
11)(x1)x.(x2
2
=
2
x22)x(x1)x(x
=++
x.x22xx1x.x
=+
x22xx1

=+
4x2) 1).(x(x2 2 - x - x1
=++
2x2) xx2
2
=+
1
2
8
9
vi(loại)
8
9
x
=
x.x22xx1x.x
=++
4x2) xx2 2 x 1 - x
2
=++++
2x2) xx
2
+=+
1
mãn)(thỏa
8
9
x
=
8

9
x
=
đề tài nghiệp vụ s phạm Ngời thục hiện:
(1)
Lời giải:
Điều kiện để phơng trình có nghĩa là:
x + 1 0 x - 1
4x + 13 0 x - 1
3x + 12 0 x - 4
Bình phơng hai vế phơng trình (1) ta đợc:
(1)
(3)
Để phơng trình (3) tồn tại - x 1 0 x - 1 (4)
Kết hợp (2) với (4) ta đợc x = - 1 và thỏa mãn (1)
Vậy phơng trình có nghiệm duy nhất là: x = - 1.
Ví dụ 3:
Giải phơng trình
(1)
Lời giải:
Phơng trình đã cho tơng đơng với phơng trình sau:
(2)
* Với 0 x 1 0
x 1 1 x 2
Thì (2)
* Với
Thì (2) luôn đúng với x [1;2]
Vậy nghiệm của phơng trình đã cho là: 1 x 2.
IV. Phơng pháp dùng lợng liên hợp:
- Đối với phơng pháp này, chúng ta rất dễ áp dụng nhng nó thờng phải áp dụng kết

hợp với các phơng pháp khác thì mới có hiệu quả.
- Khi sử dụng chúng ta thờng áp dụng công thức sau:

Ví dụ 1:
12
12 3x13)4x1x
+=+++
4
13
x

12 3x1)13).(x(4x134x1x
+=++++++
2
1 x1)13).(x(4x
=++
2
=++
1x2.x1x2.x
( ) ( )
211
22
=++
1x1x
211
=++
1x1x
1

1x

mãn)Thoả2x1x1x1x (1211
===++
2x1
11x
01x
1x
<



<

<
1
221x1x
==++
211
( )( )
BABABA
=+
.
( )
( )
BABABA.BA
3 233 233
=+
đề tài nghiệp vụ s phạm Ngời thục hiện:
Giải phơng trình
(1)
Lời giải:

Điều kiện để phơng trình có nghĩa là:
x + 1 0 x - 1
4x + 13 0 x - 1
3x + 12 0 x - 4
Ta nhận thấy rằng:
Vậy từ (1) ta có : (2)
Kết hợp (1) và (2) ta đợc :
x + 1 = 0 x = - 1 (thỏa mãn điều kiện *)
Vậy phơng trình có nghiệm duy nhất là : x = - 1.
Lu ý : Khi khai căn của một đa thức, chúng ta phải chú ý điều kiện để đa thức d-
ơng và phải chọn lợng liên hợp để rút ngắn lời giải.
Ví dụ 2 :
Giải phơng trình :
(1)
Lời giải:
Điều kiện để phơng trình có nghĩa
x
2
+ x 0 x - 1 (*)
x 0 x > 0
x
2
+ x 0
x 0
Phơng trình (1) tơng đơng với:


13
12 3x13)4x1x
+=+++

4
13
x

( )( )
12311341134.1134
+=+=+++++
xxxxxxx
1231
+=++
xx13 4x
11341
++=+++
xxx13 4x
0
=+
1x
x
3
xxx
1
xxx
4
22
=
+

++
0
++

xx
2
x
0
+
xx
2
x
( )
( ) ( )
( )
( ) ( )
x
3
xxx.xxx
xxx
xxx.xxx
xxx4
22
2
22
2
=
+++
++

+++
+
( ) ( )
x

3
x
xxx
x-
xxx4
22
=
++

+
33.5
=+
xxx
2
đề tài nghiệp vụ s phạm Ngời thục hiện:

x - 1 x - 1
25(x
2
+ x) = (3x + 3)
2
16x
2
+ 7x 9 = 0
Ta thấy 16 7 9 = 0, vậy phơng trình có nghiệm là:
x
1
= - 1 (thỏa mãn)
(thỏa mãn)
Vậy phơng trình đã cho có hai nghiệm : x

1
= - 1;

Ví dụ 3: Giải phơng trình
(1)
Lời giải: Điều kiện để phơng trình có nghĩa là:
0 x 0
2 + x 0 x - 2 (*)
phơng trình (1) tơng đơng với:




x = - 2 x = - 2
x > 0 x > 0
8(2 + x) = x
2
- x
2
+ 8x + 16 = 0
x = -2
x> 0

(loại)
Vậy nghiệm của phơng trình (1) là:
x
1
= - 2 (thỏa mãn (*)
(thỏa mãn (*)
14

)0(1
2
3
=+
=
zzx
yx
16
9
=
2
x
16
9
x
=
2
22
=
+

++
+
x22
x - 2
x22
x 2
( )
( )
( )( )

( )
( )
( ) ( )
22
.
.
=
+++
++
+
+++
++
x22x22
x22x - 2
x22x22
x22x 2
x22
++
22
x
2x.x2x.22.x22.x2x.2x.x22.22.
=

+++++++
xx2x2 .2.2..4
=+
022.(
=++
xx2x2
0.)2(.2

=++
x2xx2
0
=+
x2
xx2
=+
22
244
1
+=
x
244
2
=
x
244
2
+=
x
đề tài nghiệp vụ s phạm Ngời thục hiện:
Tóm lại: S =
Ví dụ 4: Giải phơng trình
(1)
Lời giải:
Gọi miền D là miền xác định của phơng trình tức là D đợc xác định bởi hệ sau:
3x
2
7x + 3 0
x

2
2 0
3x
2
5x 1 0
x
2
3x + 4 0
bằng cách nhân liên hợp của (1) về dạng sau:



(5)
Ta thấy rằng với x > 2 thì chắc chắn không phải là nghiệm của (5) vì với mỗi x > 2,
x D thì:
* 4 2x < 0
* 3x 6 > 0
15
{ }
244;2
+
4315337
22
+=+
xxxx2xx3x
22
43215337
222
+=+
xxxxxx3x

2
( )( )
=
++
+++
1 - x3x3x
1 - x3x3x1 - x3x3x
22
2222
537
537.537
x
xx
( ) ( )
4 xxx
4 xxx4 xxx
22
2222
++
+++
=
32
32.32
4 xxx1 - x3x3x
2222
++

=
++

32
63
537
24 x
x
x
0
537
24

++

1 - x3x3x
22
x
x
0
32
63

++

4 xxx
x
22
đề tài nghiệp vụ s phạm Ngời thục hiện:
Tơng tự nh vậy với x < 2, x D thì:
* 4 2x < 0
* 3x 6 > 0
rõ ràng x = 2 D thỏa mãn (5) vì:

Vậy phơng trình (1) có nghiệm duy nhất là: x = 2.
Bài tập chơng II
Bài 1: Giải các phơng trình vô tỉ sau:
16
0
32
63

++

4 xxx
22
x
0
537
24

++

1 - x3x3x
22
x
x
00
32
62.3
532.7
2.24
=
++

=
++

4 .2221 - .23.23.2
2222
4)x:S(Đ1xx - 251.
2
==
3)x:S(Đ2xx 32.
2
==+
19x
2) -x:S(Đx 3.
2
==
xx 242
)
2
1
- x 3;x:S(Đ3x 4.
2
===+
219 xx
8) x:S(Đ5.
==


4
72

2
x
x
x
1) -x:S(Đ6 6.
=+=+
44
2
xxx
( ) ( )
( )
:2
00941
24.424
0114
1168
1015510
235
6315
6
1
219
2.7
22
Bài
x:SĐxxxx 15.
2
1
x:SĐxxxx2 . 14
xx6-5x 13.

10)x5:S(Đxx1-x4-3x 12.
1)x:S(Đxx5-5x 11.
4)x:S(Đxx 10.
-1)x:S(Đxx9.
nghiệm)(Vô
x
x20
x
x20
8.
5)x:S(Đ
x
x
x
1
==++++






=+=+
=+
=+++
==+
==+
==+
=

+
==

+
đề tài nghiệp vụ s phạm Ngời thục hiện:

Giải các phơng trình sau:
Giải phơng trình sau :

Chơng III :
Giải phơng trình vô tỉ bằng phơng pháp đặt ẩn phụ
- Để khử căn thức, ngời ta có thể đa thêm một hoặc nhiều ẩn phụ. Tuỳ theo dạng của
phơng trình mà các bạn lựa chọn cho thích hợp.
- Đây là một công cụ tơng đối mạnh và đạt hiệu quả cao trong việc khử căn thức
song nó cũng có nhiều chỗ làm cho các bạn nhầm giữa ẩn đã cho với ẩn mới.
I. Đặt ẩn phụ để chuyển về phơng trình hữu tỉ :
- Ta thờng đặt một ẩn mới thay ẩn của phơng trình song chúng ta phải chú tới điều
kiện liên quan giữa ẩn cũ và ẩn mới.
Ví dụ 1:
Giải phơng trình:
Lời giải :
Điều kiện để phơng trình có nghĩa là : x 3 0 x 3 (2)
17
{ }( )
( )
62223
:3
2,2/3,13221.3
1232.2

21412.1
3
33
3
3
3
33
++=+
==+
+=++
=+
xxx
Bài
Sxxx
xxx
xx
( )
1232
=
xx
đề tài nghiệp vụ s phạm Ngời thục hiện:
Đặt
Thay vào (1) ta đợc phơnh trình mới tơng đơng với phơng trình (1)

Với
Vậy phơng trình có nghiệm duy nhất x = 4
Chú ý :
- Khi đặt ẩn phụ ví dụ thì cha chắc t 0 mà còn phải tuỳ thuộc vào tập xác
định của A mà 0 t (

R
+
) chúng ta phải hết sức chú ý điều này, tránh tr-
ờng hợp thiếu hoặc thừa nghiệm nh trong ví dụ sau đây:
Ví dụ 1 : Giải phơng trình sau :
(1)
Lời giải :
Đặt thì Y
2
= (x - 3)(x + 1) nên phơng trình (1) đa về
dạng :
Y
2
+ 4Y + 3 = 0 ta có 1 4 + 3 = 0 nên phơng trình có hai nghiệm phân biệt
Y = -1 và Y = - 3
+ Với Y = 1

Để (*) có nghĩa thì x 3 < 0 x < 3 (**).
Bình phơng hai vế ta đợc 1 = (x - 3)(x + 1) x
2
2x - 4 = 0
Ta có = 1 + 4 = 5 > 0 Phơng trình có hai nghiệm phân biệt.
+ Với Y = - 3
Với điều kiện (**) phơng trình (***) tơng đơng với
9 = (x - 3)(x + 1) x
2
2x 12 = 0
Có

= 1 + 12 = 13 > 0. Phơng trình có hai nghiệm:

Tóm lại: Phơng trình (1) có hai nghiệm:
Chú ý: Rất nhiều bạn khi gặp bài này thờng đặt ẩn phụ là: ,
điều này cha đúng khi x 3 > 0, do đó ta phải đặt nh trên.
18
21303
22
=+==
xtxtxt
( ) ( )
( ) ( )
2/413311
/10101212
2
22
MTxxxt
MTtttttt
====
===++=
( )( ) ( )
3
3
1
.3413
=

+
++
x
x
xxx

( )
3
1
.3

+
=
x
x
xY
( ) ( )
*
3
1
.31

+
=
x
x
x
( )
( )( )
**mãnThoả x
mãnthoả Khôngx
351
351
2
1
<=

>+=
( ) ( )
***
3
1
.33

+
=
x
x
x
( )
( )( )
**mãnThoả x
(**) mãnthoả Khôngx
131
131
2
1
=
+=
131;51
21
==
xx
)1).(3(
+=
xxt
At

=
đề tài nghiệp vụ s phạm Ngời thục hiện:
Ví dụ 2: Giải phơng trình
(1)
Lời giải:
Điều kiện để phơng trình có nghĩa là: x 1 0 x 1.
Đặt t
3
= 2 x x 1 = 1 t
3
vì x 1 > 0 1 t
3
0 t
3
1 t 1, phơng trình (1) trở thành:
1 t = 0
1 + t + t
2
= 1 - t
t = 1
t = 1 t = 0 đều thỏa mãn t 1
t
2
+ 2t = 0 t = -2
* Với t = 1 1 = 2 x x = 1.
* Với t = 0 0 = 2 x x = 2.
* Với t = - 2 - 8 = 2 x x = 10.
Vậy phơng trình (1) có ba nghiệm phân biệt : x
1
= 1 ; x

2
= 2 ; x
3
= 10.
Chú ý :
Với điều kiện x 1 ta suy ra t 1, việc này sẽ giúp chúng ta giải đợc một cách
nhanh chóng khi ta tìm đợc những nghiệm t không thỏa mãn, tránh đợc quá trình
giải lan man với những nghiệm t không cần thiết.
Ví dụ 4 : Giải phơng trình
(1)
Lời giải:
Điều kiện để phơng trình có nghĩa là:
3 + x 0 x 3
6 x 0 x 6 - 3 x 6 (*)
(3 + x).(6 x) 0 - 3 x 6
Đặt X = với X 0
Ta có X
2
=
19
112
3
=
xx
3
2 xt
=
011.111
23
=+++=

tttttt
( )
011.1
2
=++
tttt
01
=
t
ttt
=++
11
2
3
21 x
=
3
20 x
=
3
22 x
=
3)6).(3(63
=++++
xxxx
xx
+++
63
( )
2

63 xx
+++
)6).(3(
2
9
2
xx
X
+=

đề tài nghiệp vụ s phạm Ngời thục hiện:
áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki, ta có :
X
2
(1
2
+ 1
2
).(3 + x + 6 x) = 18
X 0
Phơng trình (1) trở thành : X
2
2X 3 = 0
Phơng trình có 1 + 2 + 3 = 0, nên phơng trình có nghiệm là:
X
1
= - 1 Không thỏa mãn với điều kiện (**)
X
2
= 3Thỏa mãn điều kiện (**)

Với X = 3
x + 3 = 0 x = - 3
6 x = 0 x = 6
Thỏa mãn điều kiện (*)
Vậy phơng trình (1) có hai nghiệm: x
1
= -3; x
2
= 6.
Ví dụ 5: Giải phơng trình
(1)
Lời giải:
(1)
Điều kiện để phơng trình có nghĩa là: x
2
+ 3 0 x - 3 (2)
x 0
Đặt t
2
= x
2
+ 3x.
Phơng trình (1) trở thành: t
2
+ 3t 10 = 0
= 9 4.1.(-10) = 49
Phơng trình có hai nghiệm phân biệt:
Với t = 2
Vì hai vế đều dơng, bình phơng hai vế ta đợc:
4 = x

2
+ 3x x
2
+ 3x 4 = 0
Phơng trình có a + b + c = 0 (1 + 3 4 = 0) nên phơng trình có hai nghiệm phân
biệt: x
1
= 1; x
2
= - 4.
Vậy phơng trình (1) có hai nghiệm phân biệt: x
1
= 1; x
2
= 4.
Ví dụ 6: Giải phơng trình
20
( )

2.302.3 XX
3
2
9
2
=


X
X
xx

+++=
633
0)6).(3(
=+
xx
3.3)2).(5(
2
+=+
xxx
3x3.10 3)(x
22
+=++
( )
+=
03
2
xt
749
=
2
2
73
1
=
+
=
t
(loại)5
2
73

t
2
=

=
xx 32
2
+=
)1(.4
2
47
2
x
x
xx
=
+
++
đề tài nghiệp vụ s phạm Ngời thục hiện:
Lời giải:
Điều kiện để phơng trình có nghĩa: x 0
Đặt
Phơng trình đã cho trở thành:
Ta thấy t = 1 là nghiệm của phơng trình (2) vì: 1 4 + 7 8 + 4 = 0
áp dụng lợc đồ Hoocle ta có:
1 - 4 7 - 8 4
1 1 - 3 4 - 4 0
2 1 - 1 2 0
Vậy phơng trình (2) trở thành : (t 1).(t 2).(t
2

t + 2) = 0 (3)
Vì
Nên phơng trình (3) (t 1).(t 2) = 0 thỏa mãn t 0
Với t = 1 thì (thỏa mãn)
Với t = 2 thì (thỏa mãn)
Vậy phơng trình đã cho có hai nghiệm phân biệt là: x = 1; x = 4.
Chú ý: Việc áp dụng lợc đồ Hoocle giúp ta tách đợc đa thức bậc cao về
tích các đa thức bậc nhất một cách dễ dàng hơn.
Ví dụ 7: Giải phơng trình
Lời giải:
Điều kiện để phơng trình có nghĩa là: x + 1 0 x - 1 (2)
Đặt
Phơng trình (1) trở thành:
21
xtxt
==
2
0
)2(04873
4
2
47
234
2
24
=++
=
+
++
tttt

t
t
tt
)2(04873
4
2
47
234
2
24
=++
=
+
++
tttt
t
t
tt
0
4
7
2
1
-t 2 t t
2
2
>+

=++



=
=
2
1
t
t
42
11x
==
==
xx
x
)1(1
11
2
2
=
++
+
+
x
x
x

x
xtxt
=+=
101
2
341210
2111
1
1
1
12
1
1
12
1
2
1
11
1
1
2
1
2
1
22
2
2
2
2
2

==+=+=
===
+

=
+

=
+

+

=
+

+

+

xxxtVới
tt
t
t
t
t
t
t
t
tvới
t

t
t
t
đề tài nghiệp vụ s phạm Ngời thục hiện:
Vậy phơng trình có nghiệm duy nhất x = 3.
II. Đặt ẩn phụ, quy phơng trình vô tỉ về hệ phơng trình.
Ngoài việc đặt ẩn phụ để đa phơng trình vô tỉ về phơng trình hữu tỉ, chúng ta còn
đặt ẩn phụ để đa phơng trình vô tỉ về hệ phơng trình. Đây là cách giải rất thích hợp
cho các phơng trình vô tỉ.
Ví dụ 1: Giải phơng trình sau
Lời giải:
Đặt
Khi đó phơng trình đã cho dẫn về hệ phơng trình sau:
Trừ hai vế hai phơng trình của hệ ta đợc:
x
3
y
3
= - 2(y x) (y x).(x
2
+ xy + y
2
) + 2(x y) = 0
(x y).( x
2
+ xy + y
2
+ 2) = 0 (2)
Do
Nên phơng trình (3) x y = 0 x = y (4)

Thay (4) vào (1) ta đợc :
x
3
+ 1 = 2x x
3
2x + 1 = 0 x
3
x (x 1) = 0
x.(x
2
1) (x 1) = 0
(x 1).(x
2
x 1) = 0
Vậy nghiệm của phơng trình (1) là :
Ví dụ 2 : Giải phơng trình sau :
(1)
Đặt
22
)1(12.21
3
3
=+
xx
xyxy 2112
3
3
=+=

=+
=+
21
21
3
3
y
yx
Ryxvới
yy
x
>++






+=+++
),(02
4
.3
2
2 y xy x
2
2
22

=
+
=
=




=
=
2
51
2
51
1
01
01
2

x
x
x
xx
x
2
51
;
2
51
;1
321

=
+
==
xxx
3
3
3
1232
+=++
xxx



=
+=+

=
+=+

+=+===
5
5
12
33;22
33
3
33
33
33
3
3
3
3
vu
vuvu
vu
xvu
xvxvxuxu
đề tài nghiệp vụ s phạm Ngời thục hiện:
Khi đó phơng trình đã cho trở thành hệ sau:
(I)
Lập phơng hai vế phơng trình thứ nhất của hệ (I) ta có :
(u + v)
3
= u

3
+ v
3
u
3
+ v
3
+ 3uv(u + v) = u
3
+ v
3
3uv(u + v) = 0
u = 0
v = 0
u = - v
- Với u = 0 thì - v
3
= - 5
- Với v = 0 thì u
3
= - 5
- Với u = - v thì u
3
(- u
3
)= - 5 2u
3
= - 5
Vậy hệ phơng trình (I) có 4 nghiệm :

23
3
3
5
5
=
=
u
v
33
2
5
;
2
5
==
uv
( ) ( )

3333
33
2
5
;
2
5
;
2
5
;
2
5
;0;5;5;0
nghiệmvô
x
x
x
x
x
x
v
u
Với

x
x
x
x
x
v
u
Với
x
x
x
x
x
v
u
Với
x
x
x
x
x
v
u
Với

=
=








+=
=








+=
=

=
=
=







+=
=









+=
=

=
=
=



=
=




+=
=




=
=
=



=
=

+=
=




=
=
2
11
2
9
3
2
5
2
2
5
3
2
5
2
2
5
2
5
2

5
2
1
3
2
5
2
2
5
3
2
5
2
2
5
2
5
2
5
3
3
3
30
25
0
5
2
2
2
35

20
5
0
3
3
3
3
3
3
3
3
3
3
3
3
3
3
3
3
33
3
3
đề tài nghiệp vụ s phạm Ngời thục hiện:
Vậy phơng trình (1) có ba nghiệm phân biệt:
Ví dụ 3: Giải phơng trình
Lời giải:
Điều kiện để phơng trình có nghĩa là:
Đặt u = 0; v =
Khi đó phơng trình đã cho trở thành hệ phơng trình sau:
Từ phơng trình thứ nhất của hệ (I) ta có u = 3 v (2)

Thế (2) vào phơng trình thứ hai của hệ (I) ta đợc:
(3 v)
4
+ v
4
= 17
81 108v + 54v
2
12v
3
+ 2v
4
= 17
v
4
6v
3
+ 27v
2
54v + 32 = 0 (3)
Ta thấy v = 1 và v = 2 là nghiệm của phơng trình vì:
1 6 + 27 54 + 32 = 0
16 48 + 109 108 + 32 = 0
áp dụng lợc đồ Hoocle ta có:
1 - 6 27 - 54 32
1 1 - 5 22 - 32 0
2 1 - 3 16 0
Vậy phơng trình (3) đợc phân tích thành các phơng trình sau:
(v 1).(v 2).(v
2

3v + 16) = 0 (4)
Vì
Nên phơng trình (4) tơng đơng với:
(v 1).(v 2) = 0
Với v = 1 thì u = 2
24
2;
2
1
;3
===
xxx
)1(317
4
4
=+
xx
170
017
0






x
x
x
4

17 x

4
x
17
17
44
4
4
=+



=
=
vu
xv
xu
)(
17
3
44
I
vu
vu



=+
=+

0
4
55
2
3
163
2
2
+






=+
vvv



=
=
2
1
v
v
đề tài nghiệp vụ s phạm Ngời thục hiện:
Với v = 2 thì u = 1
Vậy phơng trình (1) có hai nghiệm: (1;1)(1;2).

Vậy phơng trình (1) có hai nghiệm phân biệt: x
1
= 1; x
2
= 16.
Ví dụ 4: Giải phơng trình
Lời giải
Điều kiện để phơng trình có nghĩa là x + 1 0 x - 1
Đặt :
Phơng trình đã cho trở thành phơng trình sau
Từ (2) ta có v = 3 u (4)
Thế (4) vào (3) ta có u
3
(3 -u)
2
= - 3 u
3
u
2
+ 6u 6 = 0 (5)
Phơng trình (5) có u = 1 là nghiệm vì 1- 1 + 6 6 = 0
Theo lợc đồ Hoocle ta có :
1 -1 6 - 6
1 1 0 6 0
Vậy (5) đợc phân tích thành :
(u - 1)(u
2
- 6) = 0 u 1 = 0 u = 1
Với u = 1 thế vào (4) ta đợc v = 3 1
Vậy hệ phơng trình có nghiệm duy nhất (1 ; 2)

Vậy phơng trình (1) có nghiệm duy nhất x = 3.
Ví dụ 5 : Giải phơng trình
Lời giải:
Đặt
Phơng trình (1) tơng đơng với phơng trình sau:
25
mãnthỏax
x
x
x
x
v
u
Với 1
1
1
172
1
1
2
1
4
4
=



=
=

=
=
=



=
=
( )
1312
3
=++
xx
3
2
2
2
01
23
3
2
3
=



=

+=




=
+=
vu
xu
xv
xu
xv
( )
( )



=
=+
33
23
23
vu
vu
( )
13)2)(7()7()2(
2
3
2
=+++

xxxx
)2(9
7
2
7
2
33
3
3
3
3
=+



+=
=




+=
=
vu
xv
xu
xv
xu
)(
9))((

3
9
3
22
22
33
22
I
vuvuvu
vuvu
vu
vuvu



=++
+=+




=+
=+