Thiết kế bộ lọc thông thấp IIR, sử dụng bộ lọc ButterWorth và biến đổi song tuyến tính

ĐIăHCăĐÀăNNG
TRNGăĐIăHCăBÁCHăKHOA
KHOA PFIEV

BÁO CÁO TIUăLUN

GVHD : T.S NGỌăVĔNăS
SVTH : MAIăVŨăQUCăBÌNHă
Lpă : 09CLC2

ĐƠăNng,ă2012



Đề tài: Thiết kế bộ lọc thông thấp IIR, sử dụng
bộ lọc ButterWorth và biến đổi song tuyến tính

MC LC
LIăNịIăĐU 1
PHN I: B LC IIR VÀ BÀI TOÁN THIT K 2
I. Gii thiệu chung v b lc IIR: 2
1. Giới thiệu: 2
2. Hai cách tiếp cận: 2
II. Thit k b lc IIR: 3
III. Cácăđặcăđimăsăb: 3
1. Tỉ lệ tuyến tính tương đối: 3
2. Các tính chất của |H
a
(jΩ)|
2

: 4
PHN II: PHNGăPHÁPăTHIT K B LC IIR 5
I. Cácăđặcătrngăcủa các b lcăAnalogăđin hình: 5
1. Bộ lọc thông thấp Butterworth: 5
2. Bộ lọc thông thấp Chebyshev: 8
3. Bộ lọc thông thấp Ellipic: 11
4. Các đáp ứng pha của các bộ lọc điển hình: 12
II. Các phép binăđổi b lcătngătự thành b lc s 12
1. Biến đổi bất biến xung: 13
2. Biến đổi song tuyến tính: 15
III. Binăđổiăbĕngătn: 17
PHN III: CHNGăTRÌNHăTHIT K 20
I. Tính toán thit k: 20
II. Thut toán gii quyt bài toán: 22
III. ChngătrìnhăMatlab: 23
1. Các hàm sử dụng trong chương trình: 23
2. Chương trình: 26
3. Kết quả: 28
4. Mô phỏng bằng simulink: 31
PHNăIV:ăĐÁNH GIÁ KT QU - KT LUN 35
I. Chỉ tiêu k thut: 35
II. Chtălng lc thực t: 35
III. Kt lun: 35
Báo cáo tiểu luận  Xử lý tín hiệu số
εai Vũ Quốc Bình Lớp 09CLC2 Trang 1

LIăNịIăĐU
Xử lý tín hiệu số (Digital Signal Processing – DSP) đã tr thành một môn học cơ s
cho nhiều ngành khoa học, kỹ thuật như: Điện, Điện Tử, Tin học, Viễn thông, Tự động hoá
Xử lý tín hiệu số được ứng dụng rộng rãi trong nhiều lĩnh vực và thiết bị như: CD, VCD,

DVD, camera, scanner, y khoa , trong các hệ thống truyền hình số, thông tin địa lý, bản đồ
số, viễn thông v.v
Phép xử lý cơ bản nhất của DSP là lc, và các hệ thống được đề cập đến nhiều nhất
trong xử lý tín hiệu số là các bộ lọc số (Digital Filter). Nếu xét về đáp ứng xung có thể chia
các bộ lọc số thành 2 loại chính là bộ lọc có đáp ứng xung hữu hạn FIR (Finite Impulse
Response) còn gọi là lọc không đệ quy, và bộ lọc có đáp ứng xung vô hạn IIR (Infinte Impulse
Response) còn gọi là lọc đệ quy. Xét về đáp ứng tần số biên độ có thể chia các bộ lọc, FIR
hay IIR, thành 4 loại cơ bản: thông thấp, thông cao, thông dải và chắn dải. Các bộ lọc này có
thể được thiết kế bằng những phương pháp khác nhau, mỗi phương pháp đều có những ưu
điểm và khuyết điểm riêng.
Trong khuôn khổ của bài tiểu luận môn học này, em xin phép trình bày nội dung đề tài:
Bài toán thiết kế bộ lọc thông thấp IIR, sử dụng bộ lọc ButterWorth và biến đổi song
tuyến tính.
Nội dung tiểu luận được chia thành 4 phần:
- Phần I: Bộ lọc IIR và bài toán thiết kế
- Phần II: Phương pháp thiết kế bộ lọc IIR
- Phần III: Chương trình thiết kế
- Phần IV: Đánh giá kết quả - kết luận
Em xin trân trọng cảm ơn thầy giáo TS.ăNgôăVĕnăS đã tận tình hướng dẫn, truyền đạt
những kiến thức quý giá, cung cấp tài liệu tham khảo và chỉ bảo các phương pháp làm việc
khoa học.
Trong quá trình làm tiểu luận tuy đã hết sức cố gắng song chắc chắn không tránh khỏi
những sai sót. Rất mong nhận được sự góp ý của Thầy để nội dung của tiểu luận được hoàn
chỉnh hơn.
Đà Nẵng, ngày 21 tháng 11 năm 2012
Sinh viên thực hiện



εai Vũ Quốc Bình

Báo cáo tiểu luận  Xử lý tín hiệu số
εai Vũ Quốc Bình Lớp 09CLC2 Trang 2

PHNăI:
BăLCăIIRăVÀăBÀIăTOÁNăTHITăK
I. Gii thiệu chung v b lc IIR:
1. Gii thiệu:
 Bộ lọc IIR có đáp ứng xung vô hạn, vì vậy chúng có thể khớp với các bộ lọc
analog, mà nói chung đều có đáp ứng xung dài vô hạn.
 Kỹ thuật cơ bản để thiết kế lọc IIR là biến đổi các bộ lọc analog điển hình (well-
known) thành các bộ lọc digital sử dụng các ánh xạ giá trị-phức.
 Sự thuận tiện của kỹ thuật này là  chỗ có sẵn các bảng thiết kế lọc analog (AFD)
và các ánh xạ được m rộng trong thư viện.
 Các kỹ thuật cơ bản được gọi là các phép biến đổi lọc A/D.
 Tuy nhiên, các bảng AFD chỉ dùng cho các bộ lọc thông thấp. Trong khi ta cần
thiết kế các bộ lọc chọn tần khác (thông cao, thông dải, chắn dải, v.v…)
 Cần áp dụng các phép biến đổi băng tần đối với các bộ lọc thông thấp. Các phép
biến đổi này cũng được gọi là ánh xạ giá trị-phức, và chúng cũng có sẵn trong thư
viện.
2. Hai cách tip cn:
2.1. Cáchă1,ăđc sử dng trong Matlab

2.2. Cáchă2,ăđc sử dngăđ hc tp, nghiên cứu

Design analog
lowpass filter
Apply filter
transformation
s → z

Apply freq. band
transformation
z → z
Desired
IIR filter

Design analog
lowpass filter
Apply freq. band
transformation
s → s
Apply filter
transformation
s → z

Desired
IIR filter

Báo cáo tiểu luận  Xử lý tín hiệu số
εai Vũ Quốc Bình Lớp 09CLC2 Trang 3

II. Thit k b lc IIR:

 Thiết kế bộ lọc thông thấp analog.
 Nghiên cứu và áp dụng các phép biến đổi bộ lọc để thu được bộ lọc số thông thấp.
 Nghiên cứu và áp dụng các phép biến đổi băng tần để thu được các bộ lọc số khác
từ bộ lọc số thông thấp.
Các vấn đề tồn tại:
 Không điều khiển các đặc tính pha của bộ lọc IIR.

 Các thiết kế lọc IIR chỉ xử lý như các thiết kế về biên độ.
III. Cácăđặcăđimăsăb:
1. Tỉ lệ tuynătínhătngăđi:
 H
a
(jΩ) là đáp ứng tần số của bộ lọc tương tự.
 Các đặc trưng bộ lọc thông thấp trên đáp ứng bình phương biên độ được cho bi:
2
2
2
2
1
( ) 1,
1
1
0 ( ) ,
     

     
ap
as
Hj
Hj
A

Trongăđó:
 ε là thông số gợn sóng dải thông.
 Ω
P
là tần số cắt dải thông (rad/s).

 A là tham số suy hao dải chắn.
 Ω
S
là tần số cắt của dải chắn (rad/s).

Các thông số kỹ thuật của bộ lọc thông tấp Analog
Design analog
lowpass filter
Apply filter
transformation
s → z

Apply freq. band
transformation
z → z
Desired
IIR filter

2
2
1
()
1
    

aP
H j at
2
2
1

()    
aS
H j at
A
Báo cáo tiểu luận  Xử lý tín hiệu số
εai Vũ Quốc Bình Lớp 09CLC2 Trang 4

 Các hệ thức giữa ł, A, Rp, As, Ł
1
và Ł
2

10
10
2
20
10
2
1
1
2
11
21
12
1
10log 10 1
1
1
10log 10
2

1
1
1 1 1
1
1
1
     

   


   
     
  
  
  
p
s
R
p
A
s
R
AA
A
A
A

2. Các tính cht của |H
a

(jΩ)|
2
:
Các đặc trưng của bộ lọc Analog được cho theo các hệ số của đáp ứng bình phương độ
lớn, không bao hàm thông tin về pha. Do đó để đánh giá hàm truyền hệ thống H
a
(s) trong
miền-s ta xét:
( ) ( )


aa
sj
H j H s

Sau đó ta có:
2
*
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

         
a a a a a a a
sj
H j H j H j H j H j H s H s

Hay:
2
/
( ) ( ) ( )


  
a a a
sj
H s H s H j

Vì vậy các điểm cực và điểm không của hàm bình phương biên độ được phân bố theo
đối xứng ảnh-gương xét theo trục jΩ.
Đối với các bộ lọc thực, các điểm cực và điểm không xuất hiện theo cặp liên hợp phức
(hoặc đối xứng ảnh-gương theo trục thực).
Từ các mẫu này chúng ta có thể xây dựng H
a
(s), là hàm truyền hệ thống của bộ lọc
analog.
Ta muốn H
a
(s) để biểu diễn một bộ lọc nhân quả và ổn định. Khi đó tất cả các điểm cực
của H
a
(s) trong nửa mặt phẳng bên trái. Như vậy ta gán tất cả các điểm cực nửa-trái của
H
a
(s)H
a
(-s) lên H
a
(s). Hoặc chúng ta sẽ chọn các điểm không của H
a
(s)H
a
(-s) nằm bên cạnh

hoặc trên trục jΩ như các điểm không của H
a
(s).
Bộ lọc kết quả được gọi là một bộ lọc pha-tối thiểu.

Báo cáo tiểu luận  Xử lý tín hiệu số
εai Vũ Quốc Bình Lớp 09CLC2 Trang 5

PHNăII:
PHNGăPHÁPăTHITăK BăLCăIIR
Như đã nói  phần trước, các kỹ thuật thiết kế lọc IIR dựa trên bộ lọc Analog đã có để
thu được các bộ lọc số. Chúng ta thiết kế các bộ lọc Analog này theo các bộ lọc điển hình.
 phần này, ta sẽ tìm hiểu các phần chính sau:
1. Các đặc trưng và phương pháp thiết kế các bộ lọc thông thấp Analog điển hình.
2. Các phép biến đổi bộ lọc để thu được bộ lọc số thông thấp từ bộ lọc Analog.
3. Các phép biến đổi băng tần để thu được các bộ lọc số khác từ bộ lọc số thông thấp.
I. Cácăđặcătrngăcủa các b lc Analogăđin hình:
Có ba kiểu bộ lọc Analog điển hình được sử dụng rộng rãi trong thực tế:
- Thông thấp Butterworth.
- Thông thấp Chebyshev (Kiểu I và II).
- Thông thấp Elliptic.
1. B lc thông thp Butterworth:
1.1. Cácăđặcătrng:
 Bộ lọc này được đặc trưng bi tính chất đáp ứng biên độ là bằng phẳng trong cả dải
thông và dải chắn.
 Đáp ứng bình phương-biên độ của bộ lọc thông thấp bậc-N:
2
2
1
()

1
a
N
C
Hj






Ω
C
là tần số cắt (rad/s)
 Đồ thị đáp ứng bình phương-biên độ:

2
()
a
Hj

Báo cáo tiểu luận  Xử lý tín hiệu số
εai Vũ Quốc Bình Lớp 09CLC2 Trang 6

 Từ đồ thị trên ta có nhận xét:
 |H
a
(0)|
2
=1 với mọi N.

 |H
a
(jΩ
c
)|
2
=0.5 với mọi N (hệ số suy giảm 3dB  Ω
c
)
 |H
a
(jΩ)|
2
đơn điệu giảm theo Ω
 Tiến đến bộ lọc lý tưng khi N → ∞
 Xác định hàm truyền hệ thống H
a
(s):
22
2
22
22
/
1
( ) ( )
1
( ) ( ) ( )
()
()
1

NN
CC
a a a
NN
NN
sj
C
k
k
C
jj
H s H s H j
sj
s
sp
j



     









Các điểm cực:

1
22
(2 1)
( 1) ( ) , 0,1, ,2 1
NN
j k N
k C C
p j e k N


      

 Nhận xét về các điểm cực của
( ) ( )
aa
H s H s
:
 Có 2N điểm cực được phân bố đều đặn trên đưng tròn bán kính Ω
C
với khoảng
cách góc π / N radians.
 Với N lẻ,
/
, 0,1, ,2 1
jk N
kC
p e k N

   

 Với N chẵn,
2
, 0,1, ,2 1
k
j
NN
kC
p e k N





   

 Đối xứng theo trục ảo.
 Một điểm cực không bao gi rơi vào trục ảo, và rơi vào trục thực chỉ nếu N là lẻ.
 Một bộ lọc ổn định và nhân quả H
a
(s) có thể được xác định bằng cách chọn các
điểm cực trong nửa mặt phẳng trái, và H
a
(s) có thể được viết dưới dạng:
()
()
N
C
a
N
k

LHP poles
Hs
sp





Thi hành trên Matlab:
 Hàm [z,p,k] = buttap(N)
 Để thiết kế một bộ lọc Analog Butterworth chuẩn hoá (Ω
C
= 1) bậc N.
 z: zeros; p: poles; k: gain value.
 Hàm [b,a] = u_buttap(N,Omegac)
 Để thiết kế một bộ lọc Analog Butterworth chưa chuẩn hoá với Ω
C
tùy ý,
bậc N.
 Cung cấp một cấu trúc dạng trực tiếp với: b là tử thức, a là mẫu thức.
 Hàm [C,B,A] = sdir2cas(b,a)
 Chuyển đổi dạng trực tiếp thành dạng ghép tầng.
Báo cáo tiểu luận  Xử lý tín hiệu số
εai Vũ Quốc Bình Lớp 09CLC2 Trang 7

1.2. Cácăphngătrìnhăthit k:
Bộ lọc thông thấp analog được đặc trưng bi các thông số
,,
P P S
R

và
S
A
. Vì vậy ưu
điểm của thiết kế trong trưng hơp bộ lọc Butterworth là thu được bậc N và tần số cắt
C

.
Chúng ta muốn:
 Tại
2
10
, 10log ( )
P a P
H j R     
hay:
10
2
1
10log
1
P
N
P
C
R
















 Tại
2
10
, 10log ( )
S a S
H j A     
hay:
10
2
1
10log
1
S
N
S
C
A
















Giải 2 phương trình trên ta thu được:
 Bậc
 
 
 
10
10
10
10
log 10 1 10 1
2log
S
P
A
R
PS
N











 Tần số cắt
C

:
- Để đáp ứng thông số kỹ thuật tại
P

:
 
10
2
10 1
P
P
C
R
N




- Để đáp ứng thông số kỹ thuật tại
S

:
 
10
2
10 1
S
S
C
A
N




Thi hành trên Matlab:
 Hàm [b,a] = afd_butt(Wp,Ws,Rp,As)
 Để thiết kế bộ lọc thông thấp analog Butterworth, cho bi các chỉ tiêu của nó.
 Hàm [db,mag,pha,w] = freqs_m(b,a,wmax)
 Đáp ứng biên độ tuyệt đối cũng như tương đối theo thang dB và đáp ứng pha.
 Hàm [ha,x,t] = impulse(b,a)
 Đáp ứng xung h
a
(t) của bộ lọc Analog.
Phần tiếp theo sẽ giới thiệu thêm về các bộ lọc thông thấp điển hình khác: Chebyshev,
Ellipic, nhưng do giới hạn yêu cầu của tiểu luận này nên sẽ không đi sâu như đối với bộ lọc
Butterworth.

Báo cáo tiểu luận  Xử lý tín hiệu số
εai Vũ Quốc Bình Lớp 09CLC2 Trang 8

2. B lc thông thp Chebyshev:
- Các bộ lọc Chebyshev-I: Có đáp ứng cân bằng gợn sóng trong dải thông.
- Các bộ lọc Chebyshev-II: Có đáp ứng cân bằng gợn sóng trong dải chắn
- Các bộ lọc Butterworth: Có đáp ứng đơn điệu trong cả hai dải.
- Lưu ý rằng chọn một bộ lọc cân bằng gợn sóng thay vì bộ lọc đơn điệu, ta thu
được một bộ lọc có bậc-thấp.
Vì vậy các bộ lọc Chebyshev cho bậc thấp hơn so với các bộ lọc Buttworth có
cùng chỉ tiêu.
2.1. B lc Chebyshev I:
 Đáp ứng bình phương biên độ:
2
22
1
()
1
a
N
c
Hj
T









Trong đó: N là bậc bộ lọc
ε là hệ số gợn sóng dải thông
 Đa thức Chebyshev bậc N
 
 
1
1
cos cos ( ) , 0 1
()
cosh cosh ( ) , 1
N
C
N x x
T x khi x
xx









  



 Với 0 < x < 1, T
N
(x) dao động giữa –1 và 1
 Với 1 < x < ∞, T
N
(x) tăng đơn điệu đến vô cùng

Hai dạng đồ thị của đáp ứng bình phương-biên độ (N lẻ và N chẵn)
Nhn xét:
 Tại x = 0 (hoặc Ω = 0)
2
2
2
( 0) 1 ( )
1
( 0) ( )
1
a
a
H j N odd
H j N even




Báo cáo tiểu luận  Xử lý tín hiệu số
εai Vũ Quốc Bình Lớp 09CLC2 Trang 9

 Tại x = 1 (hoặc Ω = Ω
C

)
2
2
1
( 1) ( )
1
a
H j all N


 Tại 0 ≤ x ≤ 1 (hoặc 0 ≤ Ω ≤ Ω
C
),
2
()
a
H jx
dao động giữa 1 và
2
1
1

 Tại x > 1 (hoặc Ω > Ω
C
),
2
()
a
H jx
giảm đơn điệu về 0.

 Tại x = Ω
r
,
2
2
1
()
a
H jx
A

.
H
a
(s) nhân qu và ổnăđnh:
Để xác định một hàm Ha(s) nhân quả và ổn định, ta phải tìm các điểm cực của
H
a
(s)H
a
(-s) và chọn các điểm cực nửa mặt phẳng-trái đối với Ha(s).
Các điểm cực H
a
(s)H
a
(-s) thu được bằng cách tìm nghiệm của:
22
1
N
C

s
T
j






Có thể chỉ ra rằng nếu
, 0,1, , 1
k k k
p j k N     
là nghiệm (nửa mặt phẳng trái)
của đa thức trên thì:
(2 1)
( )cos
22
(2 1)
( )sin
22
kC
kC
k
a
N
k
b
N
  


   


  

   



0, , 1kN  

Trong đó:
   
11
1/ , 1/
22
N N N N
ab       

Và
2
11
1   


Các điểm cực rơi trên một ellipse với trục chính bΩc và trục phụ aΩc.
Hàm hệ thống là:
 
()

a
k
K
Hs
s pk




Với K là một hệ số chuẩn hóa được chọn để:
2
1,
( 0)
1
,
1
a
N odd
Hj
N even








Báo cáo tiểu luận  Xử lý tín hiệu số
εai Vũ Quốc Bình Lớp 09CLC2 Trang 10

Thi hành trên Matlab:
 Hàm [z,p,k] = cheb1ap(N,Rp)
 Để thiết kế một bộ lọc analog chuẩn hoá Chebyshev-I analog có bậc N và
gợn sóng dải thông Rp.
 z mảng các điểm không
 p mảng các điểm cực trong p
 Giá trị độ lợi k
 Hàm [b,a] = u_chb1ap(N,Rp,Omegac)
 Trả lại H
a
(s) theo dạng trực tiếp.
Cácăphngătrìnhăthit k:
Cho Ωp, Ωs, Rp và As, ba tham số được yêu cầu để xác định một bộ lọc Chebyshev-I
Ta có:
/20
0.1
22
2
10
2
10
10 1 10
( 1) /
log 1
log 1
S
P
A
R

S
C P r
C
rr
and A
and
gA
gg
N
   

    

  








   




Thi hành trên Matlab dùng hàm [b,a] = afd_chb1(Wp,Ws,Rp,As)
2.2. B lc Chebyshev II:
Liên quan đến bộ lọc Chebyshev-I thông qua một phép biến đổi đơn giản.

Nó có dải thông đơn điệu và dải chắn cân bằng gợn sóng, nghĩa là bộ lọc này có cả các
điểm cực và các điểm không trong mặt phẳng-s.
Vì vậy các đặc trưng trễ nhóm là tốt hơn (và đáp ứng pha tuyến tính hơn) trong dải
thông so với bộ lọc Chebyshev-I prototype.
Đáp ứng bình phương biên độ:
2
1
22
1
()
1
a
C
N
Hj
T


  








Thi hành trên Matlab:
 Function [z,p,k] = cheb2ap(N,As);
 Normalized Chebyshev-II

Báo cáo tiểu luận  Xử lý tín hiệu số
εai Vũ Quốc Bình Lớp 09CLC2 Trang 11

 Function [b,a] = u_chb2ap(N,As,Omegac)
 Unnormalized Chebyshev-II
 Function [b,a] = afd_chb2(Wp,Ws,Rp,As)
3. B lc thông thp Ellipic:
Các bộ lọc này thưng cân bằng gợn sóng  dải thông cũng như dải chắn. Chúng có các
đặc trưng đáp ứng biên độ tương tự như các bộ lọc FIR cân bằng gợn sóng.
Vì vậy các bộ lọc elliptic là các bộ lọc tối ưu trong đó đạt được bậc tối thiểu N đối với
các chỉ tiêu đã cho
Các bộ lọc này, vì nhiều lý do đã xét trước đây, là rất khó để phân tích và thiết kế.
Không thể thiết kế chúng bằng các công cụ đơn giản, và thưng phải dùng các chương
trình hoặc bảng để thiết kế.
Đáp ứng bình phương biên độ:
2
22
1
()
1
a
N
c
Hj
U









 N: bậc
 ε: gợn sóng dải thông
 U
N
() là hàm Jacobian elliptic bậc-N


Hai dạng đồ thị của đáp ứng bình phương-biên độ (N lẻ và N chẵn)

Tính toán cho b lc bc N:
Với




2
1
/2
1
2 2 2
0
2
1
( ) 1
; , ; ( )
1 1 sin
( ) 1

p
s
K k K k
d
N k k K x
Ax
K k K k




   

  




Báo cáo tiểu luận  Xử lý tín hiệu số
εai Vũ Quốc Bình Lớp 09CLC2 Trang 12

Thi hành trên Matlab:
 Hàm [z,p,k]=ellipap(N,Rp,As);
 Normalized elliptic analog prototype
 Hàm [b,a] = u_ellipap(N,Rp,As,Omegac)
 Unnormalized elliptic analog prototype
 Hàm [b,a] = afd_elip(Wp,Ws,Rp,As)
 Analog Lowpass Filter Design: Elliptic
4. Cácăđápăứng pha của các b lc đin hình:
 Bộ lọc Elliptic cho tính năng tối ưu về đáp ứng bình phương-biên độ nhưng có đáp

ứng pha phi tuyn hơn trong dải thông (không thích hợp cho nhiều ứng dụng).
 Ngay cả khi chúng ta quyết định không lo lắng gì đến đáp ứng pha trong thiết kế,
pha vẫn giữ vai trò quan trọng trên toàn hệ thống.
 Đối với các bộ lọc Buttworth , có đáp ứng biên độ bằng phẳng tối đa và đòi hỏi bậc
N cao hơn (nhiều điểm cực hơn) để đạt được cùng một chỉ tiêu dải chắn. Tuy nhiên
chúng có một đáp ứng pha không tuyến tính trong dải thông.
 Các bộ lọc Chebyshev có các đặc tính pha nằm ở giữa.
 Vì vậy trong các ứng dụng thực tế chúng ta xem xét các bộ lọc Butterworth cũng
như Chebyshev, cộng thêm các bộ lọc elliptic.
 Việc lưa chọn phụ thuộc vào cả bậc của bộ lọc (thưng ảnh hưng đến tốc độ xử lý
và độ phức tạp thi hành) và các đặc tính pha (để điều khiển méo).
II. Các phép binăđổi b lcătngătự thành b lc s
 Sau khi khảo sát các tiếp cận khác nhau để thiết kế các bộ lọc tương tự , chúng ta sẵn
sàng biến đổi chúng thành bộ lọc số.
 Các phép biến đổi này đạt được bằng cách bảo toàn các aspects khác nhau của các bộ
lọc tương tự và lọc số.
- Binăđổi bt bin xung
→ Bảo toàn hình dang của đáp ứng xung từ lọc tương tự thành lọc số
- K thut xp xỉ sai phân hữu hn
→ Chuyển đổi biểu diễn một phương trình vi phân thành một phương trình sai
phân tương ứng.
- Bt binăbc nhy
→ Bảo toàn hình dạng của đáp ứng bước nhảy

Báo cáo tiểu luận  Xử lý tín hiệu số
εai Vũ Quốc Bình Lớp 09CLC2 Trang 13

- Binăđổi song tuyn tính
→ Bảo toàn biểu diễn hàm hệ thống từ miền tương tự sang miền số
Trong phần này chỉ đề cập đến biến đổi bất biến xung và biến đổi song tuyến tính.

1. Binăđổi bt bin xung:
Trong phương pháp này chúng ta muốn đáp ứng xung của bộ lọc số trông tương tự như
đáp ứng xung của bộ lọc chọn tần analog.
Lấy mẫu h
a
(t)  các chu kỳ lấy mẫu T ta thu được h(n):
   

a
h n h nT

T được chọn sao hình dạng của h
a
(t) được giữ bi mẫu, lúc này:
j j T
T or e e

   

Do

j
ze


trên đưng tròn đơn vị và
sj
trên trục ảo, ta có phép biến đổi sau đây
từ mặt phẳng-s sang mặt phẳng-z:

sT
ze

Quan hệ giữa hàm hệ thống H(z) và H
a
(s) trong miền tần số:
12
()
a
k
H z H s j k
TT










Ánh xạ mặt phẳng phức trong phép biến đổi bất biến xung
Các tính cht:
 σ = Re(s):
 σ < 0, ánh xạ vào |z| < 1 (bên trong đưng tròn đơn vị)
 σ = 0, ánh xạ vào |z| = 1 (trên đưng tròn đơn vị )
 σ > 0, ánh xạ vào |z| > 1 (bên ngoài đưng tròn đơn vị)
 Ánh xạ nhiều s lên một z : Ánh xạ many-to-one
Báo cáo tiểu luận  Xử lý tín hiệu số

εai Vũ Quốc Bình Lớp 09CLC2 Trang 14

 Mỗi dải bán-vô hạn bên trái (nằm bên mặt phẳng trái) ánh xạ vào bên trong
đưng tròn đơn vị
 Tính nhân quả và ổn định là không thay đổi;
 Aliasing (sai số lấy mẫu) xuất hiện nếu bộ lọc không có băng tần-hữu hạn
Thủ tc thit k:
Với các chỉ tiêu đã cho wp, ws, Rp, As, chúng ta muốn xác định H(z) bằng cách thiết kế
trước tiên một bộ lọc analog tương đương và sau đó ánh xạ chúng thành bộ lọc số mong
muốn. Các bước như sau:
1. Chọn T và xác định các tần số analog:
p
s
PS
and
TT


   

2. Thiết kế một bộ lọc analog H
a
(s) sử dụng các đặc tính của một trong ba bộ lọc
điển hình trong phần trước.
3. Sử dụng phép khai triển riêng phần, khai triển H
a
(s) thành:
1
()
N

k
a
k
k
R
Hs
sp





4. Biến đổi các điểm cực analog
 
k
p
thành các điểm cực số
 
k
pT
e
để thu được bộ
lọc số:
1
1
()
1
k
N
k

pT
k
R
Hz
ez






Thi hành Matlab:
Hàm [b,a] = imp_invr(c,d,T)
 b = các hệ số  tử thức của H(Z)
 a = các hệ số  mãu thức của H(Z)
 c = các hệ số  tử thức của H
a
(S)
 d = các hệ số  mãu thức của H
a
(S)
 T = chu kỳ lấy mẫu
Các thun li và bt li của ánh x bt bin xung:
- Đây là một thiết kế ổn định và các tần số Ω và ω có quan hệ tuyến tính.
- Bất tiện: Gặp phải aliasing (sai số lấy mẫu)  đáp ứng tần số analog, và đôi khi
aliasing này là ko chấp nhận đc.
- Như vậy, phương pháp thiết kế này chỉ tiện sử dụng khi bộ lọc analog có băng
tần-hữu hạn biến đổi thành bộ lọc thông thấp hoặc thông dải không có dao động
trong dải chắn.

Báo cáo tiểu luận  Xử lý tín hiệu số
εai Vũ Quốc Bình Lớp 09CLC2 Trang 15

2. Bin đổi song tuyn tính:
Ánh xạ này là phương pháp biến đổi tốt nhất.
1
1
2 1 1 / 2
1 1 / 2
z sT
sz
T z sT



  


 đây T là một tham số. Một tên gọi khác của phép biển đổi này là Biến đôi phân tuyến
tính (linear fractional) vì ta có:
10
22
TT
sz s z   
là tuyến tính với mỗi biến (s hoặc z) nếu
biến còn lại được cố định, hoặc song tuyến tính với s và z.

Ánh xạ mặt phẳng phức trong phép biến đổi song tuyến tính

Các nhn xét:
 σ < 0, ánh xạ vào |z| < 1 (bên trong đưng tròn đơn vị)
σ = 0, ánh xạ vào |z| = 1 (trên đưng tròn đơn vị )
σ > 0, ánh xạ vào |z| > 1 (bên ngoài đưng tròn đơn vị)
 Toàn bộ mặt phẳng-nửa trái ánh xạ vào bên trong vòng tròn đơn vị. Đây là phép
biến đổi ổn định.
 Trục ảo ánh xạ lên đưng tròn đơn vị là ánh xạ 1-1. Do đó không có aliasing trong
miền tần số.
 Quan hệ của ω theo Ω là phi tuyến
1
2
2tan tan
22
T
T

   
   
  

   



Báo cáo tiểu luận  Xử lý tín hiệu số
εai Vũ Quốc Bình Lớp 09CLC2 Trang 16

Thủ tc thit k:
Với các chỉ tiêu đã cho của bộ lọc số wp, ws, Rp, As, chúng ta cần xác định H(z). Các
bước như sau:

1. Chọn một giá trị T tuỳ ý, và có thể đặt T = 1.
2. Chuyển đổi các tần số cắt ω
p
và ω
s
, nghĩa là tính toán Ωp và Ωs sử dụng:
,
22
tan tan
22
S
P
PS
TT


  








3. Thiết kế một bộ lọc thông thấp H
a
(s) phù hợp các chỉ tiêu này.
4. Cuối cùng lấy:
1

1
21
()
1
a
z
H z H
Tz








. Và nhận được H(z) là một hàm hữu tỉ theo z
-1
Thi hành Matlab:
Hàm [b,a] = bilinear(c,d,Fs)
 b = các hệ số  tử thức của H(Z)
 a = các hệ số  mẫu thức của H(Z)
 c = các hệ số  tử thức của H
a
(S)
 d = các hệ số  mẫu thức của H
a
(S)
 Fs = tần số lấy mẫu
Các thun li của binăđổi song tuyn tính:

- Là một thiết kế ổn định.
- Không bị aliasing (sai số lấy mẫu).
- Không ràng buộc về kiểu bộ lọc có thể biến đổi được.
 So sánh 3 b lc:
Chúng ta thiết kết bộ lọc số sử dụng 3 bộ lọc analog điển hình khác nhau (Butterworth,
Chebyshev, Ellipic). Bây gi chúng ta sẽ so sánh hiệu quả của chúng. Thông số kỹ thuật là:
wp = 0.2π, Rp = 1 dB, ws = 0.3π, As = 15 dB
Prototype
Order N
Stopband Att.
Butterworth
6
15
Chebyshev-I
4
25
Elliptic
3
27

Rõ ràng, bộ lọc Ellipic cho kết quả thiết kế tốt nhất, bậc N nhỏ nhất và min(As) là lớn
nhất. Tuy nhiên nếu chúng ta so sánh đáp ứng pha thì thiết kế theo Ellipic có đáp ứng pha là
phi tuyến nhất trong dải thông.
Báo cáo tiểu luận  Xử lý tín hiệu số
εai Vũ Quốc Bình Lớp 09CLC2 Trang 17

III. Binăđổiăbĕngătn:
Mục đích của phương pháp này là để thiết kế các bộ lọc chọn tần khác nhau:
- Các bộ lọc thông cao
- Các bộ lọc thông dải

- Các bộ lọc chắn dải
Bằng cách sử dụng các kết quả của lọc thông thấp và phép biến đổi băng tần.
Phép binăđổiăbĕngătn:
Gọi H
LP
(Z) là bộ lọc số prototype lowpass đã cho, và gọi H(z) là bộ lọc số chọn tần
được mong muốn . Xác định một ánh xạ theo công thức:
11
()Z G z



11
()
such that ( ) ( ) |
LP
Z G z
H z H Z




Giả sử H
LP
(Z) là một bộ lọc ổn định và nhân quả, ta muốn rằng H(z) cũng ổn định và
nhân quả. Điều này dẫn đến các yêu cầu sau:
1. G(.) phải là một hàm hữu tỉ theo z
-1
sao cho H(z) là thi hành được.
2. Đưng tròn đơn vị của mặt phẳng-Z phải ánh xạ lên đưng tròn đơn vị của mặt

phẳng-z.
3. Để cho các bộ lọc ổn định, bên trong đưng tròn đơn vị của mặt phẳng-Z cũng phải
ánh xạ lên bên trong đưng tròn đơn vị của mặt phẳng-z.

Các thông số kỹ thuật của các bộ lọc chọn tần
Báo cáo tiểu luận  Xử lý tín hiệu số
εai Vũ Quốc Bình Lớp 09CLC2 Trang 18

Đặt ω’ và ω là biến tần số của Z và z,
'j
Ze


và
j
ze


trên đưng tròn đơn vị tương
ứng của chúng. Đáp ứng 2 yêu cầu đầu tiên, tức là:
11
( ) ( ) 1
j
Z G z G e
   
  

Và
' ( )
()

j
j j G e
e G e e

    


Hay
' ( )
j
Ge

 

Công thức tổng quát của hàm G(.) để thoả mãn các yêu cầu trên là một hàm hữu tỉ của
kiểu toàn-thông (all-pass type) được cho bi:
1
11
1
1
( ) , | | 1
1
n
k
k
k
k
z
Z G z
z






    


(để đáp ứng yêu cầu 3)
Bằng cách chọn một xấp xỉ bậc n và các hệ số
 
,
k

chúng ta có thể thu được các ánh
xạ khác nhau. Công thức được sử dụng rộng rãi nhất cho các phép biến đổi này được cho
trong bảng sau:
Biến đổi tần số cho các bộ lọc (bộ lọc thông thấp nguyên mẫu có tần số cắt là ω
c
’)

Báo cáo tiểu luận  Xử lý tín hiệu số
εai Vũ Quốc Bình Lớp 09CLC2 Trang 19

Đúcăkt li cácăbc thit k b lc s chn tn:
1. Các chỉ tiêu bộ lọc số-chọn tần (LP, HP, BP, BS).
2. Chỉ tiêu bộ lọc số thông thấp tính từ các chỉ tiêu  trên.
3. Chỉ tiêu bộ lọc Analog prototype.
4. Tính toán và thiết kế bộ lọc thông thấp Analog prototype (4 kiểu).
5. Dùng các phép biến đổi chuyển thành bộ lọc thông thấp số.

6. Biến đổi băng tần bộ lọc số LP thành bộ lọc số-chọn tần mong muốn.
Báo cáo tiểu luận  Xử lý tín hiệu số
εai Vũ Quốc Bình Lớp 09CLC2 Trang 20

PHNăIII:
CHNGăTRÌNHăTHITăK
Thiết kế dựa vào bộ lọc Butterworth và phép biến đổi song tuyến tính.
Có hai hướng để thiết kế:
- Hướng thứ nhất: sử dụng trực tiếp các thông số kỹ thuật yêu cầu để thiết kế bộ
lọc số thông thấp Analog Butterworth, sau đó biến đổi song tuyến tính để thu
được bộ lọc số thông thấp.
- Hướng thứ 2: Sử dụng một bộ lọc số thông thấp đã thiết kế trước (dùng bộ lọc
Butterworth và biến đổi song tuyến tính), sau đó thực hiện phép chuyển đổi băng
tần để thu được bộ lọc thông thấp số có thông số kỹ thuật theo yêu cầu.
Dưới đây sẽ thiết kế theo hướng thứ nhất, còn hướng thứ hai thực hiện tương tự, sau đó
sử dụng công thức trong phần Phép biến đổi băng tần (cuối Phần II) để chuyển đổi Lowpass
sang Lowpass.
I. Tính toán thit k:
Cho bộ lọc thông thấp có thông số như sau:
0.3 , 0.4 , 50 , 0.5
ps
As dB Rp dB       

- Chọn chu kỳ lấy mẫu T = 1
- Chuyển đổi
,
ps

(tính toán
,

ps

)
2 2 0.3
tan tan 1.019 ( / )
2 1 2
2 2 0.4
tan tan 1.453 ( / )
2 1 2
p
p
s
s
rad s
T
rad s
T


   


   

- Thiết kế bộ lọc H
a
(s) thỏa mãn chỉ tiêu này:
Tính bậc bộ lọc và tần số cắt:
 
 

 
   
 
10
10
0.5 10 50 10
10
10
10 10
log 10 1 10 1
log 10 1 10 1
20
2log 2log 1.019 1.453
S
P
A
R
PS
N






   


  








 
 
0.5 10
10
2*20
2
1.019
1.074 ( / )
10 1
10 1
P
P
C
R
N
rad s

   



Hoặc:
 
 

50 10
10
2*20
2
1.453
1.0896 ( / )
10 1
10 1
S
S
C
A
N
rad s

   



Ta có thể chọn
C

 giữa 2 giá trị trên, chọn
1.08 ( / )
C
rad s

Báo cáo tiểu luận  Xử lý tín hiệu số
εai Vũ Quốc Bình Lớp 09CLC2 Trang 21

Suy ra đáp ứng bình phương biên độ:
2
2 2 20
40
40
1 1 1
()
1
1
1
1
1.08
1.08
a
N
c
Hj

   

   










2
/
40 40
40 40
( ) ( ) ( )
11
11
1 ( / ) 1
1.08 1.08
a a a
sj
H s H s H j
s j s

   




20
11 12 29 30
1.08
( ) ( )
( )( ) ( )( )
aa
H j H s
s s s s s s s s
   
   

Trong đó
11 12 29 30
, ,s s s s
là nghiệm của mẫu thức
( ) ( )
aa
H s H s
nửa mặt phẳng bên trái.
Xác định H(z):
11
11
1
2 1 1
( ) 2
11
aa
T
zz
H z H H
T z z















Như vậy ta đã nhận được H(z) là một hàm hữu tỉ theo z
-1
.
Phần tiếp theo sẽ giới thiệu về thuật toán và chương trình thực hiện.
S
1

S
10

S
20

S
30

S
40

Báo cáo tiểu luận  Xử lý tín hiệu số
εai Vũ Quốc Bình Lớp 09CLC2 Trang 22

II. Thut toán gii quyt bài toán

MỞ RNG
Đưa tín hiệu vào x với
2
S
max
F
f 


Filter

(vừa thiết kế)
Phân tích phổ tín hiệu x
và y dùng biến đổi FFT
V đồ th:
- - Tín hiệu vào theo thi gian
- - Tín hiệu ra theo thi gian
- - Phổ tín hiệu vào
- - Phổ tín hiệu ra

Tín hiệu đầu ra y

Begin
Nhập các chỉ tiêu
ω
p
,ăω
s
, A
s
, R
p

Fs = 1000; T = 1/Fs
2
tan
2
2
tan
2
p

P
s
S
T
T





Tính H
a
(s)
[ , ] _ ( , , , )
P S P S
cs ds afd butt R A  

Binăđổi song tuynătínhăthuăđc H(z)
- Dạng trực tiếp:
[ , ] ( , , )
S
b a bilinear cs ds F

- Dạng ghép tầng:
[ , , ] 2 ( , )C B A dir cas b a


Tính đápăứngăbiênăđ
[ , , , , ] _ ( , )db mag pha grd w freqz m b a

Tính giá trị As
và Rp thực tế
- Vẽ mặt phẳng nghiệm
phức s-plane và z-plane.
- Vẽ đáp ứng biên độ,
pha của bộ lọc thiết kế.
- Vẽ h
a
(t) và h(n)

END
Báo cáo tiểu luận  Xử lý tín hiệu số
εai Vũ Quốc Bình Lớp 09CLC2 Trang 23

III. ChngătrìnhăMatlab:
1. Các hàm sử dngătrongăchngătrình:
Hàm [cs,ds] = afd_butt(OmegaP,OmegaS,Rp,As)
Để thiết kế bộ lọc thông thấp analog Butterworth, cho bi các chỉ tiêu của nó.

Hàm [b,a] = u_buttap(N,Omegac) (sử dụng bên trong hàm afd_butt)
Để thiết kế một bộ lọc Analog Butterworth chưa chuẩn hoá với Ω
C
tùy ý, bậc N.

function [b,a] = u_buttap(N,Omegac);
% Unnormalized Butterworth Analog Lowpass Filter Prototype
%
% [b,a] = u_buttap(N,Omegac);
% b = numerator polynomial coefficients of Ha(s)

% a = denominator polynomial coefficients of Ha(s)
% N = Order of the Butterworth Filter
% Omegac = Cutoff frequency in radians/sec
%
[z,p,k] = buttap(N);
p = p*Omegac;
k = k*Omegac^N;
B = real(poly(z));
b0 = k;
b = k*B;
a = real(poly(p));

function [b,a] = afd_butt(Wp,Ws,Rp,As);
% Analog Lowpass Filter Design: Butterworth
%
% [b,a] = afd_butt(Wp,Ws,Rp,As);
% b = Numerator coefficients of Ha(s)
% a = Denominator coefficients of Ha(s)
% Wp = Passband edge frequency in rad/sec; Wp > 0
% Ws = Stopband edge frequency in rad/sec; Ws > Wp > 0
% Rp = Passband ripple in +dB; (Rp > 0)
% As = Stopband attenuation in +dB; (As > 0)
%
if Wp <= 0
error(
'Passband edge must be larger than 0')
end
if Ws <= Wp
error('Stopband edge must be larger than Passband edge')
end

if (Rp <= 0) | (As < 0)
error(
'PB ripple and/or SB attenuation ust be larger than 0')
end
N = ceil((log10((10^(Rp/10)-1)/(10^(As/10)-1)))/(2*log10(Wp/Ws)));
fprintf('\n*** Butterworth Filter Order = %2.0f \n',N)
OmegaC = Wp/((10^(Rp/10)-1)^(1/(2*N)));
[b,a]=u_buttap(N,OmegaC);