Chuyên đề hay (Tìm sai lầm trong lời giải một số BT đại số 9)

Nhiệt liệt chào mừng
các thầy cô giáo về dự hội thảo
Môn toán lớp 9
9B
Ngờithựchiện:NguyễnThịNgọcHơng
TrờngTHCSQuangTrung
KHTN
Nhiệt liệt chào mừng
các thầy cô giáo về dự giờ
CHUYÊN Đề Môn Toán 9
GVThựcHiện:KimĐìnhThái
TrờngTHCSPhạmCôngBình


Chuyờn tỡm sai lm trong li gii
Gv thc hin: Kim ỡnh Thỏi THCS Phm Cụng Bỡnh
I/Căncứđểxâydựngchuyênđề:
- Trong rất nhiều đề thi GVG có câu Đ/c hãy tìm sai lầm trong lời
giải bài toán sau và sửa lại cho đúng, hoặc lời giải bài toán sau đã
đúng ch a? Nếu sai hãy sửa lại cho đúng.
- Trong thực tế giảng dạy ở trên lớp cũng nh bồi d ỡng HSG, rất
nhiều khi Hs giải rất nhanh một bài toán, nh ng thực tế lời giải bài
toán đó lại sai, do học sinh đó không nắm chắc ph ơng pháp giải,
hoặc nắm ch a sâu kiến thức

Chuyờn tỡm sai lm trong li gii
Gv thc hin: Kim ỡnh Thỏi THCS Phm Cụng Bỡnh
II/Phạmvivàmụcđíchcủachuyếnđề:
1/Phạmvi:
Do thời gian có hạn, nên chuyên đề chỉ đề cập đến

một số sai lầm khi giải một số dạng bài tập phần Đại số
trong ch ơng trình môn Toán lớp 9.
2/Mụcđích:
Giúp các đồng chí Giáo viên hiểu sâu hơn kiến thức,
nắm chắc hơn một số ph ơng pháp khi giải Toán. Để các Đ/c
chủ động hơn trong quá trình giảng dạy cũng nh bồi d ỡng
HSG.
Giúp các em Hs nhận ra một số sai lầm hay mắc
phải khi giải một số dạng toán trong ch ơng trình lớp 9, để từ
đó các em biết cách khắc phục các sai lầm đó khi giải toán,
đặc biệt là trong các kỳ thi.

Chuyờn tỡm sai lm trong li gii
Gv thc hin: Kim ỡnh Thỏi THCS Phm Cụng Bỡnh
III/Nộidungcủachuyênđề:
1/Bàitoán1: Tìm tất cả các giá trị của tham số m để hai hệ Pt sau
t ơng đ ơng
( ) ( )
( )
2
9 2 5
3 4 11
4 3 2
1 8
x y
x y
I II
x y
m x m y m
+ =

=



+ =
+ = +



Một học sinh đã giải nh sau:
Giải hệ (I) ta đ ợc nghiệm duy nhất là (x;y) = (1 ; -2)
Nghiệm trên thoả mãn PT: 9x +2y = 5
Do đó hệ (I) t ơng đ ơng với hệ (II) khi và chỉ khi cặp số (1 ; -2) thoả
mãn Pt còn lại của hệ (II). Tức là:
( ) { }
2 2
2 1 8 6 0 2; 3m m m m m m+ + = + + =
Vậy với thì hai hệ Pt trên là t ơng đ ơng
{ }
2; 3m
Theo cỏc /c li gii trờn cú ỳng khụng?

Chuyờn tỡm sai lm trong li gii
Gv thc hin: Kim ỡnh Thỏi THCS Phm Cụng Bỡnh
Đápán
Lờigiảisaiởchỗlàchalàmphầnngợclại:Nghiệmcủa(II)
cũnglànghiệmcủa(I)
Lờigiảibổsung:
+ Với m = 2 thì

( )
9 2 5 1
4 3 10 2
x y x
II
x y y
+ = =



= =

Do đó hai hệ Pt đã cho t ơng đ ơng
+ Với m = -3 thì
( )
9 2 5
5 9
9 2 5
2
x R
x y
II
x
x y
y


+ =

+ =
=



Tức là hệ (II) có vô số nghiệm.
Do đó hai hệ Pt đã cho không t ơng đ ơng
Vậy m = 2 thì hai hệ Pt đã cho t ơng đ ơng

Chuyờn tỡm sai lm trong li gii
Gv thc hin: Kim ỡnh Thỏi THCS Phm Cụng Bỡnh
2
3 5 0x x m + =
1 2
;x x
2/Bàitoán2:Tìm các giá trị của m để PT
Có hai nghiệm Thoả mãn
1 2
6 0x x+ =
Một học sinh đã giải nh sau:
Ta có
25 12m =
Điều kiện để PT có nghiệm là
25
0
12
m

Khi đó
1 2
5 25 12 5 25 12
;
6 6
m m
x x
+
= =
Thế thi:
1 2
5 25 12 5 25 12
6 0 6. 0 25 12 7;
6 6
m m
x x m

+
+ = + = =
ữ
ữ

Vậy không tồn tại m thoả mãn điều kiện bài toán
vô nghiệm
*Các Đ/c có ý kiến gì khác không?

Chuyờn tỡm sai lm trong li gii
Gv thc hin: Kim ỡnh Thỏi THCS Phm Cụng Bỡnh
1 2
5 25 12 5 25 12

;
6 6
m m
x x
+
= =
Đápán
Lờigiảiđãnêuxétthiếutrờnghợp
Thế thì:
1 2
5 25 12 5 25 12
6 0 6. 0 25 12 7 2
6 6
m m
x x m m

+
+ = + = = =
ữ
ữ

Vậy m = -2 thoả mãn điều kiện bài toán.

Cách khác:
Ta có:
25 12m =
Điều kiện để PT có nghiệm là
25
0
12

m
Theo Vi ét ta có
1 2
1 2
5
3
.
3
x x
m
x x

+ =




=


Vì
1 2
6 0x x+ =
V
1 2 1 1 2
5 5 1
5 0 2
3 3 3
x x x x x+ = + = = =
1 2

1
. .2 2
3 3 3
m m
x x m= = =
Vậy m = -2 thoả mãn điều kiện bài toán.

Chuyờn tỡm sai lm trong li gii
Gv thc hin: Kim ỡnh Thỏi THCS Phm Cụng Bỡnh
3/Bàitoán3: Cho PT
2
2 3 0x x m + =
Tìm m để Pt chỉ có 1 nghiệm d ơng. Một học sinh đã giải nh sau:
Pt đã cho chỉ có 1 nghiệm d ơng khi và chỉ khi nó có một nghiệm d
ơng và một nghiệm âm. Tức là
. 0 3 0 3a c m m< < <
*Theo các Đ/c lời giải trên có ổn không?

Chuyờn tỡm sai lm trong li gii
Gv thc hin: Kim ỡnh Thỏi THCS Phm Cụng Bỡnh
Đápán
-
Lờigiảiđãxétthiếutrờnghợp
-
Lờigiảiđúnglà
+ Pt có một nghiệm d ơng và một nghiệm âm (Đã xét)
Pt đã cho có đúng một nghiệm d ơng khi và chỉ khi xảy ra một trong ba tr
ờng hợp sau
+ Pt có nghiệm kép d ơng
Ta có

'
0 4 0 4m m = = =
Khi đó nghiệm kép của PT là x = 1 (t/m)
+ Ph ơng trình có một nghiệm bằng 0 và một nghiệm d ơng
Ph ơng trình có một nghiệm bằng 0 khi
3 0 3m m = =

Khi đó Pt có một nghiệm nữa x = 2 (t/m)
Vậy m = 4 hoặc
3m
thì Pt đã cho có một nghiệm d ơng

Chuyờn tỡm sai lm trong li gii
Gv thc hin: Kim ỡnh Thỏi THCS Phm Cụng Bỡnh
4/Bàitoán4: Tìm m để Pt sau có 4 nghiệm phân biệt
( )
( ) ( )
2 2 2
2 2 1 2 0; 1x x x m x m

+ + =

Một học sinh đã giải nh sau:
( )
( )
( ) ( )
2
2 2
2 0; 2
1

2 1 2 0; 3
x x
x m x m

+ =


+ =


Ta thấy Pt (2) có hai nghiệm là 1và -2
Vì vậy để Pt (1) có 4 nghiệm phân biệt thì Pt (3) cũng phải có 2
nghiệm phân biệt, nghĩa là
' 0, x >
Ta có
( )
2
2
3
' 1 2 2 3 ' 0 2 3 0
2
m m m m m = + = + > + > <
Vậy với
3
2
m <
thì Pt đã cho có 4 nghiệm phân biệt
*Theo các Đ/c kết luận trên có đúng không?

Chuyờn tỡm sai lm trong li gii

Gv thc hin: Kim ỡnh Thỏi THCS Phm Cụng Bỡnh
Đápán
-
Kết luận của lời giải này rõ ràng là vội vàng. Vì Pt (3) có thể có một
nghiệm trùng với một nghiệm của Pt (2), khi đó Pt (1) không thể có
4 nghiệm
Lời giải đúng
( )
( )
( ) ( )
2
2 2
2 0; 2
1
2 1 2 0; 3
x x
x m x m

+ =


+ =


Ta thấy Pt (2) có hai nghiệm là: 1 và -2
Vì vậy để Pt (1) có 4 nghiệm phân biệt thì Pt (3) cũng phải có 2 nghiệm
phân biệt khác 1 và -2. Tức là:
( )
( )
( )

( )
( )
( )
2
2
2 2
1
2
2
2
3
' 1 2 0
2 3 0
2
1 2. 1 2 0 2 1 0 1
4 2 0
2 6
4 4 1 2 0
m
m m
m
f m m m m m
m m
m
f m m


<
= >

+ >





= + +


+

= + +




Vậy Pt đã cho có 4 nghiệm phân biệt khi và chỉ khi
3
2
1
2 6
m
m
m

<

Chuyờn tỡm sai lm trong li gii
Gv thc hin: Kim ỡnh Thỏi THCS Phm Cụng Bỡnh
5/Bàitoán5: Tìm GTLN của biểu thức
2
5 2 3F x x x= + + +
Một học sinh đã giải nh sau:
Điều kiện
1 3x
Theo BĐT Cô si ta có
( )
2
2
2
1 2 3
5 2 3 5 7 7
2 2
x x
x
F x x x x
+ + +
= + + + + =
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi x = 0 (thoả mãn điều kiện)
Vậy GTLN của F bằng 7 tại x = 0
*Các Đ/c có bằng lòng với lời giải trên không?

Chuyờn tỡm sai lm trong li gii
Gv thc hin: Kim ỡnh Thỏi THCS Phm Cụng Bỡnh
Đápán
Lờigiảimắcsailầmởchỗkhôngxétđiềukiệnxảyrađồngthờicác
dấu=trongcácBĐT.Cụthểlà:khix=0thìdấu=trong
BĐTCôsikhôngxảyra.
Lờigiảiđúng:
Điều kiện
1 3x
áp dụng BĐT Bunhiacôpxki, ta có:
( )
(
)
( )
( )
( )
( )
2
2 2 2 2
4 1. 1 1. 2 3 4 1 1 1 2 3 4 2 2F x x x x x x= + + + + + + + + + = +
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi
2
2
2 1 0
1 2 3 1 2
1 1
x x
x x x x
x

=
= + + =



Vậy GTLN của F bằng
4 2 2+
tại
1 2x =

Chuyờn tỡm sai lm trong li gii
Gv thc hin: Kim ỡnh Thỏi THCS Phm Cụng Bỡnh
6/Bàitoán6: Cho x>0, y>0 thoả mãn
4x y+
Tìm GTNN của biểu thức:
6 10
2 3A x y
x y
= + + +
Một học sinh đã giải nh sau:
áp dụng BĐT Côsi cho hai số d ơng ta có:
6 6
2 2. 2 . 4 3
10 10
3 2. 3 . 2 30
x x
x x
y y
y y
+ =

+ =
Cộng theo vế hai BĐT trên ta đ ợc
4 3 2 30A +
Vậy GTNN của A là
4 3 2 30+
đạt đ ợc khi và chỉ khi
10
3;
3
x y= =
* Các Đ/c có đồng ý với lời giải trên không?

Chuyờn tỡm sai lm trong li gii
Gv thc hin: Kim ỡnh Thỏi THCS Phm Cụng Bỡnh
Đápán
LờigiảisaiởchỗĐKxảyradấu=,đólàkhi
10
3;
3
x y= =
thì
10
3 2 2 4
3
x y+ = + < + =
khôngthoảmãnĐKđầubàilàx+y=4
Lờigiảiđúnglà
Ta có:
6 10
2 3

3 6 5 10 3 6 5 10
2 . 2 . 2 6 10 2 18
2 2 2 2 2
A x y
x y
x y x y x y
x y x y
= + + +

+

= + + + + + + = + + =
ữ
ữ


Dấu = xảy ra khi
3 6
2
5 10
2
2
4
x
x
y
x y
y
x y

=



= = =



+ =


Vậy MinA = 18 khi x = y = 2

Chuyờn tỡm sai lm trong li gii
Gv thc hin: Kim ỡnh Thỏi THCS Phm Cụng Bỡnh
7/Bàitoán7: Giải PT
( )
3 3 3
3 1 1 2 1x x x + + =
Một học sinh đã giải nh sau
( )
( )
[
( )
( )
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
3 3 3 3
3 3 3 3

3 3 3 3
3 3 3
3
2
2
2 2
2
1 3 1 1 3 3 1. 1 3 1 1 2
3. 3 1 . 1. 3 1 1 6
3 1. 1. 3 1 1 2
3 1. 1. 2 2
2 3 1 1 8
3 1 1 4 0
0
0
3 1 1 4 0
3 2 1 4 0
0
2 1 0
x x x x x x x
x x x x x
x x x x x
x x x x
x x x x
x x x x
x
x
x x x
x x x
x

x
x x
+ + + + + + =
+ + + =
+ + + =
+ =
+ =

+ =

=
=





+ =
+ =


=



+ =

( )
2
0

0
1
1 0
x
x
x
=

=




=
=



* CácĐ/c có bằng lòng với lời giải trên không?

Chuyờn tỡm sai lm trong li gii
Gv thc hin: Kim ỡnh Thỏi THCS Phm Cụng Bỡnh
Đápán
Sailầmtronglờigiảilàởphépbiếnđổiphơngtrình:
( )
( )
( )
3 3 3 3
3 3 3
3 1. 1. 3 1 1 2 ; 2

3 1. 1. 2 2 ; 3
x x x x x
x x x x
+ + + =
+ =
Thực chất phép biến đổi (2) sang (3) là phép biến đổi hệ quả chứ không
phải là phép biến đổi t ơng đ ơng. Vì ta đã sử dụng điều kiện của chính đề
bài, điều này ch a chắc đã đúng với mọi x
Khắc phục điều này sau khi ta tìm đ ợc nghiệm của (3) là 0 và 1, ta thử
trực tiếp vào (1) để loại tr ờng hợp x = 1 và kết luận (1) có nghiệm duy
nhất x = 0

Chuyờn tỡm sai lm trong li gii
Gv thc hin: Kim ỡnh Thỏi THCS Phm Cụng Bỡnh
Có thể giải PT(1) bằng cách khác nh sau:
Gọi vế trái, vế phải của (1) lần l ợt là P và Q
Với x = 0 thì P = Q = 0
Với x>0 thì P>0 còn Q<0, suy ra P>Q
Với x<0 thì P<0 còn Q>0, suy ra P<Q
Vậy PT(1) có nghiệm duy nhất x = 0
( )
3 3 3
3 1 1 2 1x x x + + =

Chuyờn tỡm sai lm trong li gii
Gv thc hin: Kim ỡnh Thỏi THCS Phm Cụng Bỡnh
IV/Kếtluận:
Trên đây chỉ là một số sai lầm tr ờng gặp khi giải một số dạng toán trong
ch ơng trình toán 9 mà bản thân tôi đã s u tầm cũng nh thực tế thấy học
sinh mắc phải khi bồi d ỡng học sinh giỏi.

Rất mong các đồng chí đóng góp, bổ sung để chuyên đề đ ợc hoàn thiện
hơn.

Xin chân thành cảm ơn các đồng chí