SKKN: Phát hiện và biện pháp khắc phục sai lầm trong khi giải toán

GV: Võ Kim Oánh-Trường THCS Lý Tự Trọng Trang
1






SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM


Phát hiện và biện pháp khắc phục sai
lầm trong khi giải toán



GV: Võ Kim Oánh-Trường THCS Lý Tự Trọng Trang
2

PHẦN I:MỞ ĐẦU

I. Lý do chọn đề tài
Toán học là một trong những môn khoa học cơ bản mang tính trừu tượng, nhưng
mô hình ứng dụng của nó rất rộng rãi và gần gũi trong mọi lĩnh vực của đời sống xã hội,
trong khoa học lí thuyết và khoa học ứng dụng. Toán học là một môn học giữ một vai
trò quan trọng trong suốt bậc học phổ thông. Tuy nhiên, nó là một môn học khó, khô
khan và đòi hỏi ở mỗi học sinh phải có một sự nỗ lực rất lớn để chiếm lĩnh những tri
thức cho mình. Chính vì vậy, đối với mỗi giáo viên dạy toán việc tìm hiểu cấu trúc của

chương trình, nội dung của sách giáo khoa, nắm vững phương pháp dạy học. Để từ đó
tìm ra những biện pháp dạy học có hiệu quả trong việc truyền thụ các kiến thức Toán
học cho học sinh là công việc cần phải làm thường xuyên.
Dạy học sinh học Toán không chỉ là cung cấp những kiến thức cơ bản, dạy học
sinh giải bài tập sách giáo khoa, sách tham khảo mà điều quan trọng là hình thành cho
học sinh phương pháp chung để giải các dạng toán, từ đó giúp các em tích cực hoạt
động, độc lập sáng tạo để dần hoàn thiện kĩ năng, kĩ xảo, hoàn thiện nhân cách
Giải toán là một trong những vấn đề trung tâm của phương pháp giảng dạy, bởi lẽ
việc giải toán là một việc mà người học lẫn người dạy thường xuyên phải làm, đặc biệt
là đối với những học sinh bậc THCS thì việc giải toán là hình thức chủ yếu của việc học
toán
Khi giải toán, chắc các bạn đã không ít lần mắc phải những sai lầm đáng tiếc.
Trong chuyên mục “Sai ở đâu ? Sửa cho đúng”, các bạn đã chứng kiến rất nhiều lời giải
sai lầm. Nhà sư phạm toán nổi tiếng G. Polya đã nói : “Con người phải biết học ở những
sai lầm và những thiếu sót của mình”. A.A. Stoliar còn nhấn mạnh : “Không được tiếc
thời gian để phân tích trên giờ học các sai lầm của học sinh”.
Trong chương trình bồi dưỡng học sinh giỏi THCS Phần Đại số là một phần kiến
thức khá quan trọng. Các phép biến đổi, biến đổi tương đương và bất đẳng thức có nhiều
ứng dụng trong các phần kiến thức của môn Toán như: Chứng minh bất đẳng thức, tìm
giá trị lớn nhất, nhỏ nhất, giải phương trình, giải bất phương trình, hệ phương trình…
Qua quá trình giảng dạy và đặc biệt là bồi dưỡng học sinh khá giỏi thì tôi thấy
học sinh trong quá trình vận dụng Các phép biến đổi, biến đổi tương đương và bất đẳng
thức có nhiều ứng dụng trong các phần kiến thức của môn Toán như: Chứng minh bất



GV: Võ Kim Oánh-Trường THCS Lý Tự Trọng Trang
3
đẳng thức, tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất, giải phương trình, giải bất phương trình, hệ
phương trình…thường gặp những sai lầm trong đó nghiêm trọng có thể làm sai đi bản

chất của vấn đề.
Vì vậy tôi viết sáng kiến này cùng trao đổi thêm về cách dạy, cách học sao cho có
hiệu quả nhất nhằm khắc phục những sai lầm hay mắc phải cũng như định hướng để giải
quyết một số bài toán theo hướng tư duy và suy luận lôgic.

II. Mục đích của đề tài
Trên cơ sở những kinh nghiệm giảng dạy và thực tiễn học tập của học sinh, tìm ra
những phương pháp giải các bài toán một cách ưu việt. đặt biệt là tránh nhưng sai
sót và ngộ nhân khi giải các bài toán.

III. Phạm vi nghiên cứu
Để thực hiện đề tài này, tôi thực hiện nghiên cứu tại đơn vị công tác là Trường
THCS Lý Tự Trọng. Cụ thể là các khối lớp 8, 9 và những học sinh tham gia đội
tuyển học sinh giỏi Toán của trường, của Huyện trong 8 năm qua.

IV. Cơ sở nghiên cứu
Để thực hiện đề tài này, tôi dựa trên cơ sở các kiến thức đã học ở Trường Đại học
Quy Nhơn, Trường CĐSP Thừa Thiên Huế, các tài liệu về phương pháp giảng dạy,
các tài liệu bồi dưỡng thường xuyên, sách giáo khoa, sách bài tập, sách tham khảo
của bộ môn Toán bậc trung học cơ sở và cả trên mang Internet.

V. Phương pháp nghiên cứu
Thực hiện đề tài này, tôi sử dụng các phương pháp sau đây:
– Phương pháp nghiên cứu lý luận.
– Phương pháp khảo sát thực tiễn.
– Phương pháp phân tích.
– Phương pháp tổng hợp.
– Phương pháp khái quát hóa.
– Phương pháp quan sát.
– Phương pháp kiểm tra.

– Phương pháp tổng kết kinh nghiệm.




GV: Võ Kim Oánh-Trường THCS Lý Tự Trọng Trang
4
VI. Thời gian nghiên cứu
Đề tài được thực hiện từ ngày 10/6/2010 đến ngày 28/11/2010

VII. Giới hạn của đề tài
Đề tài được sử dụng trong việc dạy các tiết luyện tập, phụ đạo và bồi dưỡng đội
tuyển học sinh giỏi các cấp, với đối tượng là những học sinh trung bình, khá, giỏi bộ
môn Toán.

PHẦN II: NỘI DUNG

I. CÁC BÀI TOÁN BIẾN ĐỔI ĐƠN GIẢN VỀ CĂN THỨC
1. Muỗi nặng bằng voi!
Ví dụ 1: Hãy tìm chỗ sai trong phép chứng minh “Con muỗi nặng bằng con voi”
dưới đây:
Gọi khối lượng con muỗi là: m (kg) m > 0
Gọi khối lượng con voi là: v (kg) v > 0
Đặt
m v
c


2

m c v
  
2
(1)

c m v
  
2
(2)
Nhân 2 vế của (1) với (2) ta được:

m( c m ) v( c v )
mc m vc v
m mc c v vc c
( m c ) (v c )
m c v c
m v
  
   
     
   
   
 
2 2
2 2 2 2
2 2
2 2
2 2
2 2

GV: Võ Kim Oánh-Trường THCS Lý Tự Trọng Trang
5
Vậy con muỗi nặng bằng con voi (!).
Vậy sai lầm ở đâu? Phải chăng học sinh thường mắc phải trong suy luận:
A
2
= B
2
 A = B Sửa lại cho đúng
A B A B
  
2 2

Đây là bài toán trong sách Để học tốt Toán 8 của GS Hoàng Chúng, giới thiệu cho
các em học sinh lớp 8 tham khảo, rút ra kinh nghiệm khi làm toán về hằng đẳng
thức.
Ví dụ 2: (Bài 16 SGK Toán 9 trang 12) Hãy tìm chỗ sai trong phép chứng minh
“Con muỗi nặng bằng con voi” dưới đây.
Giả sử khối lượng con muỗi m(g) và khối lượng con voi V(g)
Ta có:
  
     
   
2 2 2 2
2 2 2 2
2 2

2 2
m V V m
m m V V V m V m
( m V ) ( V m )

   
   
 
 
2 2
2 2
( m V ) (V m )
m V V m
m V
m V

Vậy con muỗi nặng bằng con voi (!).
Ghi chú: Bài toán này cho các em thấy nếu quên kí hiệu giá trị tuyệt đối trong
hằng đẳng thức:
A A
 thì có lúc nào đó con muỗi sẽ nặng bằng con voi.
2. Sai lầm khi học sinh không chú ý đến điều kiện để một biểu thức có căn
bậc hai,
A
có nghĩa; các quy tắc nhân các căn bậc hai, chia căn bậc hai.

Ví dụ 1: Có học sinh viết:
+Vì
( ).( )
   

4 25 100 10
và
. ( ).( )
      
4 25 4 25 100 10




GV: Võ Kim Oánh-Trường THCS Lý Tự Trọng Trang
6
nên
( ).( ) .
    
4 25 4 25
(!)
+ Vì
 
  


147 147
49 7
3
3
và

 

147

49 7
3
nên
 



147 147
3
3
(!)

Ví dụ 2: Giải bài tập sau: Tính

2 2010 2011

+ Cách giải sai:

 
( )
( ) ( ) !
        
 
       
 
2
2 2010 2011 2010 2 2010 1 2010 2 2010 1
2010 1 2010 1 2010 1

 Nguyên nhân:
- Khi làm bài học sinh chưa nắm vững và cũng không chú ý điều kiện để
A
tồn
tại.
- Học sinh chưa nắm rõ các quy tắc nhân các căn bậc hai,chia hai căn bậc hai.
 Biện pháp khắc phục:
- Khi dạy phần này giáo viên cần khắc sâu cho học sinh điều kiện để một biểu
thức có căn bậc hai, điều kiện để
A
xác định, điều kiện để có:
.
a b ab

;
a a
b
b

.

3. Sai lầm khi học sinh chưa hiểu đúng về định nghĩa giá trị tuyệt đối của một số.
Ví dụ 1: Rút gọn biểu thức sau: A =
2
2 5
a a

( Với a < 0 )
+ Cách giải sai:
A =

2
2 5
a a

=
2 5 2 5 3
a a a a a
    
( với a < 0 ) (!)
+ Cách giải đúng là:
A =
2
2 5
a a

=
2 5 2 5 7
a a a a a
     
( với a < 0 )
Ví dụ 2: Tìm x, biết : 
2
4(1 )
x
- 6 = 0
+ Cách giải sai :

2
4(1 )
x

- 6 = 0
  
2
2 (1 ) 6
x

2(1 - x) = 6

1- x = 3

x = - 2.



GV: Võ Kim Oánh-Trường THCS Lý Tự Trọng Trang
7
Như thế theo lời giải trên sẽ bị mất nghiệm.
+ Cách giải đúng:

2
4(1 )
x
- 6 = 0
  
2
2 (1 ) 6
x

1
x


= 3.
Ta phải đi giải hai phương trình sau :
1) 1- x = 3

x = -2
2) 1- x = -3

x = 4.
Vậy ta tìm được hai giá trị của x là x = -2 và x = 4.
+ Nguyên nhân:
Học sinh chưa hiểu rõ về số âm và số đối của một số mà học sinh chỉ hiểu
a<0 thì
a a


+ Biện pháp khắc phục:
+ Khi dạy phần này giáo viên nên củng cố lại về số âm và số đối của một số.
+ Củng cố lại khái niệm giá trị tuyệt đối:




 

, neáu 0
, neáu 0
a a
a
a a

4. Sai lầm khi học sinh chưa nắm vững hằng đẳng thức:
2
A A



Ví dụ: Bài tập 9d (sgk toán 9 - tập 1- trang 11)
Tìm x, biết:
2
9 12
x
 


+ Cách giải sai:

2
9 12
x
 



2
9 12
x


Vì
2 2
9 (3 ) 3
x x x
 
nên ta có: 3x = 12

x = 4.

+ Cách giải đúng:
Vì
2 2
9 (3 ) 3
x x x
  nên ta có:
3 12
x
 




GV: Võ Kim Oánh-Trường THCS Lý Tự Trọng Trang
8


3x = 12 hoặc 3x = -12 . Vậy x = 4 hoặc x = -4

Ví dụ 2: Bài tập 14c (sgk toán 9 - tập 1 – trang 5)

Rút gọn biểu thức:
2
(4 17)



+ Cách giải sai:
Học sinh A:
2
(4 17) 4 17 4 17
    


Học sinh B:
2
(4 17) 4 17
  


+ Cách giải đúng:

2
(4 17) 4 17 17 4
    

+ Nguyên nhân: Học sinh chưa nắm vững hằng đẳng thức
2
A A

, giá

trị tuyệt đối của một số âm.

Ví dụ 3: Khi so sánh hai số a và b. Một học sinh phát biểu như sau: “Bất kì hai số nào
cũng bằng nhau ” và thực hiện như sau:
Ta lấy hai số a và b tùy ý. Gỉa sử a > b .
Ta có :
2 2 2 2
a 2 2
ab b b ab a
    
hay




2 2
a b b a
   (1)
Lấy căn bậc hai hai vế ta được:
   
2 2
a b b a
  
Do đó:
a b b a
  

Từ đó :
2 2
a b



a b
 

Vậy bất kì hai số nào cũng bằng nhau.
Học sinh này sai lầm ở chỗ : Sau khi lấy căn bậc hai hai vế của đẳng thức (1)
phải được kết quả:
a b b a
  
chứ không thể có a - b = b- a.
+ Nguyên nhân: Học sinh chưa nắm vững hằng đẳng thức
2
A A

, giá
trị tuyệt đối của một số âm.
Ví dụ 4: Tìm x sao cho B có giá trị là 16.
B =
1616 x
-
99 x
+
44 x
+
1x
với x

-1

GV: Võ Kim Oánh-Trường THCS Lý Tự Trọng Trang
9
+ Cách giải sai :
B = 4
1x
-3
1x
+ 2
1x
+
1x

B = 4 1x
16 = 4 1x

4 = 1x

4
2
= ( 1x )
2
hay 16 =
2
)1( x

16 = | x+ 1|
Nên ta phải đi giải hai phương trình sau : 1) 16 = x + 1


x = 15
2) 16 = -(x+1)

x = - 17.
+ Cách giải đúng:
B = 4
1x
-3
1x
+ 2
1x
+
1x
(x

-1)
B = 4 1x
16 = 4 1x

4 = 1x (do x

-1)

16 = x + 1. Suy ra x = 15.
+ Nguyên nhân : Với cách giải trên ta được hai giá trị của x là x = 15 và x =-
17 nhưng chỉ có giá trị x = 15 là thoả mãn, còn giá trị x = -17 không đúng. Đâu là
nguyên nhân của sự sai lầm đó ? Chính là sự áp dụng quá rập khuôn vào công thức mà
không để ý đến điều kiện đã cho của bài toán, với x

-1 thì các biểu thức trong căn

luôn tồn tại nên không cần đưa ra biểu thức chứa dấu giá trị tuyệt đối nữa.!
+ Biện pháp khắc phục: Qua các bài tập đơn giản bằng số cụ thể giúp cho học
sinh nắm vững được chú ý sau : Một cách tổng quát, với A là một biểu thức ta có
2
A
= | A|, có nghĩa là :
2
A
= A nếu A

0 ( tức là A lấy giá trị không âm );
2
A
= -A nếu A < 0 ( tức là A lấy giá trị âm ).




GV: Võ Kim Oánh-Trường THCS Lý Tự Trọng Trang
10
5. Sai lầm kỹ năng khi giải bài toán rút gọn.
Ví dụ 1: Bài 47 SGK Đại số 9 tập 1 trang 27
Rút gọn:
( x y )
x y


2
2 2
2 3

2
với
x , y ,x y.
  
0 0

Một học sinh A làm như sau:

( x y ) . ( x y ) ( x y )
x y
x y ( x y ) ( x y ) ( x y )
  
  

   
2 2 2 2
2 2 2 2 2 2 2
2 3 3 2 6 6
2
2

Một học sinh B làm như sau:

. x y
( x y )
.
( x y )( x y ) x y
x y



 
  

2
2 2
3
2 3 2 6
2
2

(vì
x , y , x y
  
0 0
)
Vậy em học sinh nào làm sai? Em học sinh nào làm đúng?
Dễ thấy em học sinh A làm sai!
Ví dụ 2: Giải bài tập 58c ( SGK toán 9 - tập1 – trang 32 )
Rút gọn biểu thức sau:
20 45 3 18 72
  

+Cách giải sai:

20 45 3 18 72 4.5 9.5 3 2.9 36.2
2 5 3 5 9 2 6 2 5 15 2 14 7
      
       

+ Cách giải đúng là:

20 45 3 18 72 4.5 9.5 3 2.9 36.2
2 5 3 5 9 2 6 2 15 2 5
      
     

+ Nguyên nhân:
Sai lầm ở chỗ học sinh chưa nắm vững công thức biến đổi:



x A y B z A m x z A y B m
      
( A,B

Q
+
; x,y,z,m

R )
- Biện pháp khắc phục:
Khi dạy phần tổng các căn thức đồng dạng, giáo viên nhấn mạnh để học sinh
khắc sâu và tránh những sai sót.



GV: Võ Kim Oánh-Trường THCS Lý Tự Trọng Trang
11

Ví dụ 3: Bài tập

Rút gọn:
 
2
2
3 5 4
A x x x
    ( với
0
x

)
+Cách giải sai :

 
2
2
3 5 4 3 5 2 4
A x x x x x x x
        
+ Cách giải đúng là :
Với
0
x

. Ta có:

 
2
2
3 5 4

3 5 2 3 5 2 6
A x x x
x x x x x x x
   
       


Ví dụ 4: Bài 3b ( SBT toán 9 – trang 27 )
Rút gọn biểu thức:
3
2 48
M x x
x

  

+Cách giải sai :

2
3 3
2 48 2 4 3
2 3 4 3 6 3 (!)
x
M x x x
x x
x x x
 
     
     

+ Cách giải đúng:

3
2 48
M x x
x

  
. Điều kiện để M xác định là: x < 0.
Khi đó:
 
 
2
3
2 16. 3 2 3 4 3 2 3
x
M x x x x
x
 
          


Ví dụ 5: Giải tập sau:
Rút gọn biểu thức:
2
y xy
x
M
y y


 


+ Cách giải sai:


2 2
.
1 1 (!)
y x y
y xy xy y
x x x
M
y y y y y
y y
x y
x x x
y
y y y

 
     


      




GV: Võ Kim Oánh-Trường THCS Lý Tự Trọng Trang

12

+ Cách giải đúng :
Đk để M xác định:
0
xy

;
0
y

. Ta xét hai trường hợp:
*
0
x

; y < 0 .

2 2
2
1 1 2
y xy y xy
x x
M
y y y
y
x x x
y y y
 
   


    

*
0
x

; y>0.



2
.
1 1
y y x
y xy
x x
M
y y y
y y
y x
x x x
y
y y y


   




       


Vậy: nếu
0
x

; y<0 thì
1 2
x
M
y
 
và nếu
0
x

; y>0 thì
1
M
 

+ Nguyên nhân: Học sinh nắm chưa vững quy tắc
2
A B A B
 với
0
B

, điều

kiện để một thừa số đưa được vào trong dấu căn bậc hai, điều kiện để
A
tồn tại, định
nghĩa căn bậc hai số học, quy tắc khai phương một thương.

+ Biện pháp khắc phục: Khi dạy giáo viên cần cho học sinh nắm vững:
+
2
A B A B

với
0
B


+
2 '
2 '
voi 0; 0
voi 0; 0
A B A B
A B
A B A B

 



  




+
A
tồn tại khi
0
A


+
0
a

,
 
2
2
0x
a x
x a a



 

 



+ Nếu

0
A

, B > 0 thì
A A
B
B


6. Khi trục căn thức ở mẩu, khai phương một tích, khai phương một thương học
sinh thường mắc phải một số sai lầm:

Ví dụ 1: Bài tập 32b ( SGK toán 9 - tập 1 – trang 19 )



GV: Võ Kim Oánh-Trường THCS Lý Tự Trọng Trang
13
Tính
1,44.1,21 1,44.0,4



+ Cách giải sai:

1,44.1,21 1,44.0,4 1,44.1,21 1,44.0,4
1,2.1,1 1,2.0,2 1,32 0,24 1,08 (!)
   
    

+ Cách giải đúng:



1,44.1,21 1,44.0,4 1,44 1,21 0,4 1,44.0,81 1,2
.0,9 1,08
     


Ví dụ 2: Giải các bài tập sau:
Tính: a.
81.256
; b.
625
16

+ Cách giải sai:
a.
81.256 9. 16 3. 4 12
  
(!)
b.
625 25 5 5
16 2
4 2
  
(!)
+ Cách giải đúng:
a.

81.256 81. 256 9.16 144
  

b.
625 625 25
16 4
16
 


Vi dụ 3: Khi giải bài toán về trục căn thức ở mẫu
+ Cách giải sai :
a.
 
2
5 2 3. 5 2 15 2
3
3
3
  
 
b.


 


2
2 5 1 2 5 1
2 5 1

5 1 2
5 1
5 1
 

  




hoặc


  


2 5 1 2 5 1
2 5 1
5 1 3
5 1
5 1 5 1
 

  


 

GV: Võ Kim Oánh-Trường THCS Lý Tự Trọng Trang
14
hoặc


  


 


2
2 5 1 2 5 1 2 5 1
2 5 1
25 1 12
5 1
5 1 5 1
5 1
  

   


 


hoặc



 


 
2 5 1 2 5 1
2
2 5 1
1
5 1
5 1 5 1
 
    


 

hoặc


  


2 5 1 2 5 1
2 5 1
5 1 2
5 1
5 1 5 1
 

  



 

c.
5 5 7 5 7 5 7
2.7 3 17
2 7 3 2 7. 7 3
  

 

hoặc



   


 




5 7 3 5 7 3 5 7 3 5 7 3
5
2. 7 9 4 4
2 7 3
2 7 3 . 7 3
    

   
 

 

d.
2 1
3
2 3
a
a



hoặc
  
 
2
2
2 2 2 2
2 9
2 3
2 3 2 3
2 3
a a a a
a
a
a a
a
  



 


- Cách giải đúng:
a.


b.


  


2 5 1 2 5 1
2 5 1
5 1 2
5 1
5 1 5 1
 

  


 





   


 
 
2
2
5 2 7 3 5 2 7 3
5
.
2 7 3
2 7 3 . 2 7 3
2 7 3
5 2 7 3
10 7 15

28 9 19
c
 
 

 



 






  


 
 
2
2
2 2 3 2 2 3
2
.
2 3
2 3 2 3
2 3
2 2 3
4 6

4 9 4 9
a a a a
a
a
a a
a
a a
a a
a a
d
 
 


 



 
 

(với
0
a

và
9
4
a

)


 
2
3. 5 2
5 2 15 2 3
3
3
3

 
 

GV: Võ Kim Oánh-Trường THCS Lý Tự Trọng Trang
15
- Nguyên nhân:
+ Học sinh chưa biết biến đổi biểu thức dưới dấu căn bậc hai thành dạng
tích để khai phương mà ngộ nhận sử dụng “
A B A B
   ” tương tự như
. .
A B A B

( với
0
A

và
0
B

) để tính .
+ Học sinh hiểu mơ hồ về quy tắc khai phương một tích, khai phương một
thương.
+ Học sinh mất kiến thức căn bản ở lớp dưới nhất là các hằng đẳng thức
và tính chất cơ bản của phân thức.
+ Học sinh chưa hiểu rõ quy tắc trục căn thức bậc hai ở mẫu và như thế
nào là hai biểu thức liên hợp của nhau, hai biểu thức này liên quan đến hằng đẳng thức:





2 2
A
B A B A B
   

- Biện pháp khắc phục:
+ Giáo viên cần hết sức nhấn mạnh và làm rõ quy tắc khai phương một
tích , khai phương một thương và lưu ý học sinh không được ngộ nhận sử dụng
A B A B
   tương tự như
. .
A B A B
 ( với
0
A

và
0
B

) .
+ Khi cần thiết giáo viên cũng cố lại kiến thức có liên quan. Chẳng hạn
như hằng đẳng thức, tính chất cơ bản của phân thức.
+ Nhấn mạnh thế nào là hai biểu thức liên hợp của nhau.
+ Cần khắc sâu các công thức:

A A B
B
B

 , với B > 0



2
C A B
C
A B
A B




, với
0
A

và
2
A B





C A B
C
A B
A B





, với
0, 0
A B
 
và
A B



7. Lạm dụng định nghĩa căn bậc hai số học của một số
0
a

khi giải các bài toán
về căn bậc ba :

Ví dụ 1: Giải bài tập 3c (SBT ĐS9 – trang 19)
Giải phương trình:
3
1 1
x x
  
(2)



GV: Võ Kim Oánh-Trường THCS Lý Tự Trọng Trang

16
+ Cách gải sai:

 
 
 
  
3 3
3
2
1 1 1 1
1
1 0
1 2 0
1 1
1
1
0( )
1 2 0 1
2
x x x x
x
x
x x x
x x
x
x
x loai
x x x x
x

      

 


 
 
 
  
  











 
 
 

   











Vậy phương trình (2) có 2 nghiệm x
1
=1; x
2
=2. (!)
+ Cách giải đúng:



     
 
  
3
3 3
3
2
1 1 1 1 1 1
1 1 0 1 2 0 1 2 0
x x x x x x
x x x x x x x x
          
            

0
x
 
hoặc x = 1 hoặc x = 2.
Vậy phương trình đã cho có 3 nghiệm:
1 2 3
0; 1; 2
x x x
  

- Nguyên nhân:
+ Học sinh quá lạm dụng định nghĩa căn bậc hai số học của một số
0
a



 
2
2
0x
a x
x a a



 

 




+ HS chưa nắm vững định nghĩa căn bậc ba của một số a.
- Biện pháp khắc phục:
Khi giảng phần này giáo viên cần cho học sinh nắm định căn bậc ba của một số
a, đồng thời lưu ý học sinh hiểu rõ giữa căn bậc hai của một số
0
a

; căn bậc hai số
học của một số
0
a

và căn bậc ba của một số a.

8. Sai lầm trong kĩ năng biến đổi :
Trong khi học sinh thực hiện phép tính các em có đôi khi bỏ qua các dấu của số
hoặc chiều của bất đẳng thức dẫn đến giải bài toán bị sai.
Ví dụ 1 : Tìm x, biết :
(4-
)174(32).17 x
.
- Cách giải sai :



GV: Võ Kim Oánh-Trường THCS Lý Tự Trọng Trang
17
(4-

)174(32).17 x


2x < 3 ( chia cả hai vế cho 4- 17 )

x <
2
3
.
- Cách giải đúng : Vì 4 =
16
<
17
nên 4 -
17
< 0, do đó ta có:
(4-
)174(32).17 x


2x > 3

x >
2
3
.
- Nguyên nhân: Nhìn qua thì thấy học sinh giải đúng và không có vấn đề gì. Học
sinh khi nhìn thấy bài toán này thấy bài toán không khó nên đã chủ quan không để ý đến
dấu của bất đẳng thức : “Khi nhân hoặc chia cả hai vế của bất đẳng thức với cùng một
số âm thì bất đẳng thức đổi chiều”.

- Biện pháp khắc phục: Chỉ ra sai ở chỗ học sinh đã bỏ qua việc so sánh 4 và
17 cho nên mới bỏ qua biểu thức 4 - 17 là số âm, dẫn tới lời giải sai.

Ví dụ 2: Rút gọn biểu thức :
3
3
2


x
x

- Cách giải sai :
3
3
2


x
x
=
3
)3)(3(


x
xx
= x - 3 .
- Cách giải đúng : Biểu thức đó là một phân thức, để phân thức tồn tại thì cần
phải có x + 3


0 hay x

- 3 . Khi đó ta có
3
3
2


x
x
=
3
)3)(3(


x
xx
= x - 3 (với x

- 3 ).
- Nguyên nhân: Rõ ràng nếu x =- 3 thì x + 3 = 0, khi đó biểu thức
3
3
2


x
x
sẽ

không tồn tại. Mặc dù kết quả giải được của học sinh đó không sai, nhưng sai trong lúc
giải vì không có căn cứ lập luận, vì vậy biểu thức trên có thể không tồn tại thì làm sao
có thể có kết quả được.

II/ NHỮNG SAI LẦM KHI GIẢI PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỈ.
Ví dụ 1: Giải PT:
( x ) x
  
2011 2010 0
(*)



GV: Võ Kim Oánh-Trường THCS Lý Tự Trọng Trang
18
+ Lơì giải sai:
Ta có :


x x
  
2 0 11 20 1 0 0


x
x x
x x
x
 


   
 
  

 
  
 
 

2 0 11 0
20 11 2 01 1
2 01 0 0 20 1 0
20 10 0

+ Nhận xét : Rõ ràng x = -2011 không phải là nghiệm của phương trình
+ Lời giải đúng:
Điều kiện:
x x
   
2010 2011 0

Do đó:


x x x
     
2011 2010 0 2010 0
(Vì: x + 2011 > 0)
 x x
   

2010 0 2010

Vậy: x = 2010 là nghiệm của phương trình (*).
Ví dụ 2:
Giải pt: x x x
    
1 5 1 3 2
(1)
+ Lời giải sai:
(1)  x x x
    
1 5 1 3 2

(Bình phương hai vế )
(4)
(5)






   

 



 



 



11 2 2 0
2
11 2 0
11
2 0
2
x x
x
x
x
x

+ Phân tích sai lầm: Không chú ý đến điều kiện căn thức có nghĩa
x

1
xác định khi x

1
.Do đó x 
2
11
Không phải là nghiệm
 
        

    
     
   
2
2
2 2
2
1 5 1 3 2 2 15 13 2
2 7 2 15 13 2
4 14 49 4 15 13 2
11 24 4 0
x x x x x
x x x
x x x x
x x



GV: Võ Kim Oánh-Trường THCS Lý Tự Trọng Trang
19
Sai lầm thứ hai là (4) và (5) Không tương đương
Mà (4)
x
( x ) ( x x )
 



   


2 2
2 7 0
2 7 4 15 13 2

Phương trình (5) là phương trình hệ quả của phương trình (4), nó chỉ tương đương với
phương trình (4) với điều kiện:
x x
   
2
2 7 0
7
. Do đó x = 2 cũng không phải là
nghiệm của (1).
+ Cách giải đúng:
Cách 1: Giải xong thử lại
Cách 2: Đặt điều kiện căn thức xác định x
 
2
1
7
. Do đó khi giải xong kết luận phương
trình vô nghiệm.
Cách 3: Chứng minh: Vế trái số âm .Còn vế phải không âm. Kết luận phương trình vô
nghiệm.
Ví du 3: Giải phương trình: x x
  
4 2

+ Lời giải sai:
x

x x x x x x( x )
x


           

 

2
0
4 2 4 4 4 3 0
3

Nhận xét: Rõ ràng x= -3 không phải là nghiệm của phương trình.
+ Cách giải đúng:
 
x
x
x
x x x
x
x x
x x x
x
 

 
  

 

       


  
 
   





 


2
2
2
2 0
4 2 0
0
3 0
4 4 4
3

Ghi nhớ :
B
A B
A B



 



2
0


Ví dụ 4:Giải phương trình:
x
x



2 5
1
2




GV: Võ Kim Oánh-Trường THCS Lý Tự Trọng Trang
20
+ Lời giải sai:
Điều kiện: x > 2
x x
x x x
x x
 
         

 
2 5 2 5
1 1 2 5 2 7
2 2
(loại)
Vậy phương trình trên vô nghiệm.
Nhận xét : Phương trình đã cho có nghiệm x= -7?
Ghi nhớ : Như vậy lời giải trên đã bỏ sót một trường hợp khi: A  0; B < 0
Nên mất một nghiệm x= -7
+ Lời giải đúng:
Điều kiện: x > 2 hoặc x  -2,5
x x
x x
 
  
 
2 5 2 5
1 1
2 2
(với x > 2 hoặc x  -2,5)

x x x
      
2 5 2 7
(Thỏa mãn điều kiện)
Vậy phương trình có nghiệm x = -7

Ví dụ 5:
Giải phương trình:
x x x

    
3 3 3
2 1 4 1 6 1
(1)
+ Lời giải sai:

x x x
    
3 3 3
2 1 4 1 6 1







   
   
x x x x x x
x x x
x x x
x x
x x
         
    
    
  
  
3 3

3
3
3 2
3 2
6 2 3 2 1 4 1 2 1 4 1 6 1
2 1 4 1 6 1 1
2 1 4 1 6 1 1
48 28 0
12 7 0




GV: Võ Kim Oánh-Trường THCS Lý Tự Trọng Trang
21

x
 
0
hoặc
x 
7
12

Nhận xét: Dễ thấy ngay là x = 0 không phải là nghiệm của (1)
Ghi nhớ: Phép biến đổi thứ 2 từ trên xuống là phép biến đổi hệ quả (suy ra) nên tập
nghiệm cuối của phương trình bao giờ cũng nhiều nghiệm hơn ban đầu…
Do đó khi giải phương trình bằng biến đổi hệ quả bao giờ cũng phải thử lại
Còn bài này chỉ sai có mỗi một cái dấu  ở dòng thứ 2 phải là  mới đúng!

III/ NHỮNG SAI LẦM KHI GIẢI BẤT PHƯƠNG TRÌNH.
Ví dụ 1: Giải bất phương trình:
x x x .
   
2
16 60 6


+Lời giải sai: Bình phương hai vế :
x x x x
x
x
    
 
 
2 2
16 60 12 36
24 4
6


+ Phân tích sai lầm: Sai lầm ở hai chỗ:
- Chưa đặt điều kiện để căn thức có nghĩa.
- Chưa đặt điều kiện để
x
 
6 0
trước khi bình phương hai vế.
+ Lời giải đúng: Bổ sung thêm hai điều kiện:
2

1 6 x 6 0 0 (1 )
6 0 ( 2 )
x
x

  

 


Điều kiện (1) cho
  
6
x – 6 x – 10 0
10
x
x


 




Điều kiện (2) cho
6.
x


Kết hợp các điều kiện:

GV: Võ Kim Oánh-Trường THCS Lý Tự Trọng Trang
22
6
1 0
6 1 0
6
x
x
x x
x
 







  







Nghiệm của bất phương trình đã cho:

x 10

.

Ví dụ 2: Tìm x để biểu thức có nghĩa:
1
A
2x 1
x

 

+ Lời giải sai: Điều kiện của x:
2 x 1 0 (1 )
2 x 1 ( 2 )
x
 



 



Giải (1) ta được:
1
2
x
 

Giải (2) ta được:
2 2
1 2
x 2x 1 2x-1>0
1 2
x
x
x

 
    

 



Kết luận:
1
1 2
2
1 2
x
x

   


 



+ Phân tích sai lầm: Sai lầm khi giải bất phương trình (2): Khi bình phương
hai vế của (2) chưa đặt điều kiện x > 0.
+ Lời giải đúng:
Điều kiện của x:
2 x 1 0 (1 )
2 x 1 ( 2 )
x
 



 



Giải (1) ta được:
1
2
x
 




GV: Võ Kim Oánh-Trường THCS Lý Tự Trọng Trang
23
Giải (2):
2
0

0
(2)
1 2
2x 1
1 2
x
x
x
x
x






   
 
 



 




Vậy biểu thức A có nghĩa khi:
1 2
x  

Ví dụ 3 : Tìm x sao cho:
2 2
3 3
x x
  


+ Lời giải sai: Điều kiện:
2
3
x


2 2 2 2
2 2
2 2
2
3 3 3 3 (1 )
3 ( 3 ) 0
3 (1 3 ) 0 ( 2 )
(1 3 ) 0 ( 3 )
x x x x
x x
x x
x
      
    
    
   

2
2
2
3 1 ( 4 )
3 1 ( 5 )
4 ( 6 )
2 ( 7 )
x
x
x
x
  
  
 
 

+ Phân tích sai lầm: Sai lầm khi biến đổi (2) tương đương với (3).
Đúng ra phải là:
2
2
3 0
(2)
1 3 0
x
x

 



  


, (Vì:
2
x 3

)

+ Lời giải đúng:
Điều kiện:
2
3
3 3
3
x
x x
x


   

 




2 2 2 2
2 2
2 2

3 3 3 3
3 ( 3) 0
3 (1 3 ) 0
x x x x
x x
x x
      
    
    




GV: Võ Kim Oánh-Trường THCS Lý Tự Trọng Trang
24

2
2
3 0
(1 3) 0
x
x

 


  


(Vì:

2
x – 3 0

)

2
2
3
3 1
3
3 1
x
x
x
x

 



 


 


 



2
3
4
3
3
2
2
2
x
x
x
x
x
x
x

 






 

 

  







 


Vậy:
x 3; 2; 2.
x x
    

Ghi chú: Hãy chú ý đến dấu “=” khi giải bất phương trình.

IV/ NHỮNG SAI LẦM KHI GIẢI BÀI TOÁN TÌM CỰC TRỊ

Ví dụ 1: Cho A = x
2
- 3x +5. Tìm Min A với x  2?
+ Lời giải sai:
A x ; x R.
 
     
 
 
2
3 11 11
2 4 4

Vậy Min A =
11
4


+ Nguyên nhân sai: hiểu chưa đúng khái niệm.

+ Lời giải đúng:



GV: Võ Kim Oánh-Trường THCS Lý Tự Trọng Trang
25
Ta có:
A x
 
  
 
 
2
3 11
2 4

Với x  2 thì x A
 
     
 
 
3 1 1 11
3

2 2 4 4

Vậy Min A= 3 khi x = 2
Ví dụ 2: Tìm giá trị nhỏ nhất của
x y z
A
y z x
  
với x, y, z > 0

+ Lời giải sai: Giả sử x  y  z > 0.
Ta suy ra: x - z > 0  y(x - z)  z(x - z)
 xy - yz + z
2
 xz
Chia hai vế cho xz:
y y z
z x x
  
1
(1)
Mặt khác, ta có
x y
y x
 
2
(2)
Cộng (1) và (2):
x y z
y z x

  
3

Min A

= 3  x = y =z.

+ Phân tích sai lầm: Khi hoán vị vòng quanh
x y z
 
thì biểu thức A
trở thành
y z x
,
z x y
 
tức là biểu thức không đổi. Điều đó cho phép ta giả sử x là số
lớn nhất (hoặc số nhỏ nhất), nhưng không cho phép giả sử x  y  z. Thật vậy sau khi
chọn x là số lớn nhất (x  y, x z) thì vai trò của y và z không bình đẳng: giữ nguyên
x, thay y bởi z, thay z bởi y ta được:
x z y
,
z y x
 
không bằng biểu thức A.

+ Cách giải đúng:
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho ba số dương x, y, z:
x y z x y z
A . . .

y z x y z x
    
3
3 3

Do đó Min A = 3 khi và chỉ khi
x y z
,
y z x
 
tức là x = y = z.