elip 10 co ban day du

TOÁN LỚP 10

A. KHỞI ĐỘNG
•
Cho một sợi dây không co dãn có độ dài là 2a, (a > 0) có hai
đầu được cột chặt vào hai cây đinh nhỏ.
•
Trên bảng con của mỗi nhóm đều có 2 lỗ tròn nhỏ F
1
và F
2
.
Khoảng cách F
1
F
2
= 2c, (c > 0).
•
Đặt hai cây đinh vào hai lỗ tròn F
1
và F
2
, giữ chặt. Dùng viết
lông kéo căng sợi dây để vạch lên đường cong (E) trên bảng
con.
•
Hãy cho biết tính chất của điểm M bất kỳ trên đường cong
(E) đối với hai điểm F
1
và F

2
?
•
Hãy nhận xét về độ lớn giữa c và a ? Tính tỉ số
•
Hãy so sánh độ “gầy”, “mập” của đường cong của nhóm
mình với các nhóm khác . Tìm cho nhóm mình một cách giải
thích về độ “gầy”, “mập” trên.
•
Hãy nhận xét về tính đối xứng của đường cong (E).
c
e
a
=

B. Nhận xét về đường cong (E)
•
Tổng khoảng cách từ điểm M bất kỳ trên
(E) đến F
1
và F
2
luôn bằng chiều dài sợi dây
là 2a (không đổi).
F
1
M + F
2
M = 2a
•

Độ lớn c luôn nhỏ hơn a.
•
Nếu c ≥ a thì không vẽ được (E).
•
Nếu c càng nhỏ so với a thì (E) càng “mập”
•
Nếu c càng lớn so với a thì (E) càng “gầy”
•
Như vậy, độ “mập”, “gầy” của (E) phụ
thuộc vào độ lớn của tỉ số e = c / a
0 < e < 1
•
e càng nhỏ thì (E) càng “mập” .
•
e càng lớn thì (E) càng “ gầy” .
•
(E) nhận đường thẳng chứa F
1
F
2
và đường
trung trực của F
1
F
2
làm trục đối xứng
•
(E) nhận trung điểm của F
1
F

2
làm tâm đối
xứng.
(E)
F
1
F
2
O
M
Ta gọi các đường
cong (E) nói trên
là các đường
elip. Vậy đường
elip là gì ?

Những hình ảnh về đường Elip trong
khoa học và đời sống


(E)
I . CÁC ĐỊNH NGHĨA
Cho hai điểm cố định F
1
, F
2
với F
1
F
2

= 2c (c > 0)
•
Đường Elip là tập hợp các điểm M sao cho F
1
M + F
2
M = 2a
Trong đó a là hằng số cho trước lớn hơn c
•
Hai điểm F
1
và F
2
gọi là các tiêu điểm của elip.
•
Khoảng cách F
1
F
2
= 2c gọi là tiêu cự của elip.
•
Tỉ số gọi là tâm sai của elip.
c
e
a
=
M ∈ (E ) ⇔ F
1
M + F
2

M = 2a , (a > c > 0 )
° °
F
1
F
2
2c

M

II . Phương trình chính tắc của elip
y
x
O
°
(- c ; 0 ) ( c ; 0 )
( x ; y )
Chọn hệ trục tọa độ Oxy có
gốc O là trung điểm của F
1
F
2
,
trục Oy là trung trực của
F
1
F
2
như hình vẽ.
Khi đó ta có tọa độ F

1
, F
2
là
Cho elip (E) có các tiêu điểm
F
1
, F
2
. Tiêu cự F
1
F
2
= 2c như
hình vẽ.
M ∈ (E) ⇔ F
1
M + F
2
M = 2a
với a > c > 0
F
1
( - c ; 0) F
2
( c ; 0)và
M
•
°
°

F
1
F
2

°
(E)
2c

x
y
F
1
F
2
O
-c
c
 
M
( x ; y )
(E)
°
Ta có
°
M(x ; y) ∈ (E) ⇔ F
1
M + F
2
M = 2a (1)

F
1
( - c ; 0) F
2
( c ; 0)
F
1
M
2

=
( x + c )
2
+ y
2
F
2
M
2

=
( x - c )
2
+ y
2
⇒ F
1
M
2
- F

2
M
2
=
và F
1
M
2
+ F
2
M
2
=
4cx (*)
2x
2
+ 2y
2
+ 2c
2
(**)
(*) ⇒ F
1
M

- F
2
M =
1 2
(2)

4 4 2
2
cx cx cx
F M F M a a
= =
+
(1) và (2) ⇒ F
1
M =

và F
2
M =

c
a x
a
+
c
a x
a
−
(3)

Các đoạn thẳng F
1
M và F
2
M được gọi là các bán kính qua tiêu của điểm M
Độ lớn các bán kính qua tiêu của điểm M được tính theo công thức (3)

Thay (3) vào (**) và rút gọn ta thu được phương trình :

(a
2
- c
2
)x
2
+ a
2
y
2
= a
2
(a
2
- c
2
) (4)
Vì a > c > 0 nên a
2
> c
2
. Đặt b
2
= a
2
- c
2

(b > 0), ta có
( )
2 2
2 2
1 0b
x y
a b
a+ > >=
(5)
là phương trình chính tắc của elip đã cho.
( )
2 2 2 2 2 2
2 2
2 2
1
4 b x a y a b
x y
a b
⇔ + =
⇔ + =
Ta gọi phương trình :

GHI NHỚ
Định nghĩa : M ∈ (E ) ⇔ F
1
M + F
2
M = 2a , (a > c > 0 )
Trong đó F
1

, F
2
là hai tiêu điểm cố định, F
1
F
2
= 2c là tiêu cự
y
Phương trình chính tắc của elip :
2 2
2 2
1
x y
a b
+ =
Trong đó a > b > 0, c
2
= a
2
– b
2


x
F
1
F
2
O
-c

c
 
M
(E)
°
°
Tiêu điểm F
1
( - c ; 0) F
2
( c ; 0) tâm sai
Bán kính qua tiêu F
1
M = a + ex , F
2
M = a - ex
c
e
a
=

Ví dụ 1: Các nhóm viết ph.trình chính tắc của elip của mình ?
NHÓM I: Có a = 6, c = 2
⇒ b
2
= a
2
– c
2
= 36 – 4 = 32. Do đó pt (E

1
) là:
2 2
1
36 32
x y
+ =
NHÓM II: Có a = 7, c = 4
⇒ b
2
= a
2
– c
2
= 49 – 16 = 33. Do đó pt (E
2
) là:
2 2
1
49 33
x y
+ =
NHÓM III: Có a = 7, c = 6
⇒ b
2
= a
2
– c
2
= 49 – 36 = 13. Do đó pt (E

3
) là:
2 2
1
49 13
x y
+ =
NHÓM IV: Có a = 7, c = 13/5
⇒ b
2
= a
2
– c
2
= 1056/25. Do đó pt (E
4
) là:
2 2
1
1056
49
25
x y
+ =

E. (E) đi qua một trong các điểm N
1
( 6 ; 1) , N
2
( 8 ; – 5) và N

3
( – 1 ; 6)
Ví dụ 2: Cho (E):
2 2
1
25 16
x y
+ =
. Hãy chọn mệnh đề SAI :
A. Tiêu cự là 6 và hai tiêu điểm F
1
( – 3 ; 0) , F
2
( 3 ; 0)
B. Tiêu cự là 6 và tâm sai e = 0,6
C. (E) qua các điểm A
1
(– 5 ; 0) , A
2
(5 ; 0) , B
1
( 0 ; – 4) và B
2
(0 ; 4)

Ví dụ 3: Cho (E):
2 2
2 2
1 ( 0)
x y

a b
a b
+ = > >
và điểm M (x
0
; y
0
) ∈ (E ). Hãy chọn mệnh đề ĐÚNG NHẤT:
D. (E) đi qua M
1
( 3 ; 16/5) , M
2
( – 3 ; 16/5) , M
3
( 3 ; – 16/5 ) và M
4
(– 3 ; – 16/5)
A. Các điểm M
1
( – x
0
; y
0
) , M
2
( x
0
; – y
0
) , M

3
(– x
0
; – y
0
) cũng thuộc (E)
C. – a ≤ x
0
≤ a và – b ≤ y
0
≤ b

B. (E) cắt các trục tọa độ tại A
1
(– a ; 0) , A
2
( a ; 0) , B
1
(0 ; – b) , B
2
(0 ; b)
D. Tất cả đều đúng

III.Nhận xét về hình dạng
của elip
x
F
1
F
2

O
– c c
M
( x
0
; y
0
)
°
°
°
°
M
2
( x
0
; – y
0
)
M
1
M
3
(– x
0
; – y
0
)
(x
0

; – y
0
)
A
1
A
2
y
B
1
B
2


°
°
°
°°
a
– a
– b
b
1.Tính đối xứng
Xét elip (E) có pt chính tắc:
2 2
2 2
1 ( 0)
x y
a b
a b

+ = > >
Đường elip (E) nhận các trục tọa độ làm các trục đối xứng và gốc tọa độ làm
tâm đối xứng
 (E) cắt trục hoành tại A
1
(– a ; 0) và A
2
( a ; 0). Ta có A
1
A
2
= 2a
 (E) cắt trục tung tại B
1
(0 ; – b) và B
2
( 0 ; b). Ta có B
1
B
2
= 2b
2. Hình chữ nhật cơ sở
Ta gọi A
1
, A
2
, B
1
, B
2

là 4 đỉnh của elip (E).
 Trục Ox gọi là trục lớn của (E), ta cũng gọi đoạn A
1
A
2
là trục lớn của (E )
 Trục Oy gọi là trục nhỏ của (E), ta cũng gọi đoạn B
1
B
2
là trục nhỏ của (E )
°
°
°
°
P Q
RS
( a ; b )
( a ; – b )
(– a ; b )
(– a ; – b )
 Hình chữ nhật PQRS có các cạnh tiếp xúc với (E) tại 4 đỉnh của (E) như hình
vẽ gọi là hình chữ nhật cơ sở của (E)

2. Tâm sai của elip
Ta đã định nghĩa tâm sai của elip là :
c
e
a
=

Tâm sai của elip là tỉ số giữa tiêu cự và trục lớn của elip
Ta có 0 < c < a nên tâm sai của elip luôn nhỏ hơn 1 :
2 2
2 2
2
1 1
c a b b b
e e
a a a a
−
   
= = = − ⇒ = −
 ÷  ÷
   
0 < e < 1
Do đó :
2
1
b
e
a
= −
Từ đó suy ra
hay
2
. 1b a e= −
Nếu e càng nhỏ thì b càng gần bằng a ⇒ (E) càng “mập”
Nếu e càng lớn thì b càng nhỏ so với a
⇒
(E) càng “gầy”

Ví dụ 3: Hãy vẽ hình chữ nhật cơ sở của elip của nhóm. Tính độ
dài trục lớn , trục nhỏ và tọa độ các đỉnh của hình chữ nhật cơ sở.
Ví dụ 4: Cho (E): x
2
+ 4y
2
= 4. Hãy chọn mệnh đề đúng:
A. Độ dài trục lớn là 4, độ dài trục nhỏ là 2, tâm sai e = 2
B. Tọa độ các đỉnh của h.c.n cơ sở là (2;1), (2; -1), (-2 ; 1), (-2 ; -1)
C. Tiêu điểm F
1
(-3;0)
,
F
2
(3 ; 0), đỉnh A
1
(-2 ; 0), A
2
(2 ;0)
D. Tiêu điểm F
1 ,
F
2
, đỉnh B
1
(-1 ; 0), B
2
(1 ;0)

( 3;0)−
( 3;0)

Ví dụ 5: Pt chính tắc của (E) có độ dài trục bé là 8, tiêu cự
là 4 là:
2 2
) 1
80 64
x y
A
+ =
2 2
) 1
16 20
x y
B + =
2 2
) 1
64 16
x y
C
+ =
2 2
) 1
20 16
x y
D + =


VÍ DỤ 6: Trong mặt phẳng Oxy cho Elip (E) có tâm sai e = 1/2 và độ

dài trục lớn là 12 . Viết phương trình chính tắc của (E).
Tìm điểm M ∈ (E) biết tung độ M nhỏ hơn 0 và F
2
M = 4.
Hướng dẫn giải
Ta có 2a = 12 ⇒ a = 6
Lại có e = c/a ⇒ c = ae = 3
b
2
= a
2
- c
2
= 36 – 9 = 27
Vậy pt chính tắc của (E) là :
2 2
1
36 27
x y
+ =
Ta có F
2
M = 4 ⇔ a - ex
M
= 4 ⇒ x
M
= 4 (thay a = 6, e = 0.5)
Vì M∈ (E) nên
2 2
1

36 27
M M
x y
+ =
2
2
4 20
1
27 36 36
M
y
⇒ = − =
15 ( 0)
M M
y do y
⇒ =− <
Vậy
( )
4; 15M

Ví dụ 7: Tìm tâm sai của elíp biết độ dài trục lớn bằng
ba lần độ dài trục nhỏ .
Theo giả thiết suy ra : a = 3b
Hướng dẫn giải
Mà a
2
= b
2
+ c
2

⇒ 9b
2
= b
2
+ c
2
⇒
8c b
=
Ta có
8 8
3 3
c b
e
a b
= = =

Tổng kết
y
Phương trình chính tắc của elip :
2 2
2 2
1
x y
a b
+ =
Trong đó a > b > 0, a > c> 0 , c
2
= a
2

– b
2


x
F
1
F
2
O
-c
c
 
M
(E)
°
°
Tiêu điểm F
1
( - c ; 0) , F
2
( c ; 0)

Tiêu điểm F
1
( - c ; 0) , F
2
( c ; 0)

c

e
a
=
Tâm sai


Tâm sai


Tọa độ các đỉnh A
1
(– a ; 0) , A
2
( a ; 0) , B
1
(0 ; – b) , B
2
(0 ; b)
Trục lớn A
1
A
2
= 2a
Trục nhỏ B
1
B
2
= 2b
Các trục đối xứng : x’Ox , y’Oy

Các trục đối xứng : x’Ox , y’Oy

Tâm đối xứng : gốc tọa độ O

Tâm đối xứng : gốc tọa độ O

F
1
M = a + ex
F
2
M = a – ex
F
1
M = a + ex
F
2
M = a – ex


2 2
2 2 2
2 2
2 2 2 2 2 2 2
2 2
2 2 2
2 2
2 2 2
c c
a x a x x y c

a a
ac c ac c
a x x a x x x y c
a a a a
   
+ + − = + +
 ÷  ÷
   
⇔ + + + − + = + +
( ) ( )
( )
2
2 2 2 2 2
2
4 2 2 2 2 2 2 2 2
2 2 2 2 2 2 2 2
4
c
a x x y c
a
a c x a x a y a c
a c x a y a a c
⇔ + = + +
⇔ + = + +
⇔ − + = −
( )
( )
2 2 2 2 2 2
2 2
2 2

4
1 0
b x a y a b
x y
a b
a b
⇔ + =
⇔ + = > >
Vì a > c nên a
2
- c
2
> 0, đặt b
2
= a
2
- c
2
, ta có
(**) ⇔