Phương trình đường Elíp (hot)

SỞ GIÁO DỤC ĐÀO TẠO TIỀN GIANG
TRƯỜNG THPT TRẦN VĂN HOÀI
BỘ MÔN TOÁN
PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG
ELÍP

Giáo viên: Phạm Ngọc Tài
Lớp: 10A5
BAØI 2:

Một số
hình ảnh
về Elíp
BAØI 2: PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG
ELÍP
I. Định nghĩa
đường Elíp
II. Phương trình
chính tắc
của Elíp
III. Hình dạng
của Elíp
IV. Liên hệ giữa
đường tròn
và Elíp
Một số hình ảnh minh họa về đường Elíp

Một số
hình ảnh
về Elíp

BAØI 2: PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG
ELÍP
I. Định nghĩa
đường Elíp
II. Phương trình
chính tắc
của Elíp
III. Hình dạng
của Elíp
IV. Liên hệ giữa
đường tròn
và Elíp
Các bước vẽ một đường Elíp

Một số
hình ảnh
về Elíp
BAØI 2: PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG
ELÍP
I. Định nghĩa
đường Elíp
II. Phương trình
chính tắc
của Elíp
III. Hình dạng
của Elíp
IV. Liên hệ giữa
đường tròn
và Elíp
Định nghĩa:

Elíp là tập hợp các điểm M trong mặt phẳng sao cho:
1 2
FM+F M = 2a
Các điểm
,
1 2
F F
gọi là các tiêu điểm của elíp.
vàCho hai điểm cố định

,
1 2
F F
một độ dài không đổi
2a
1 2
FF
không lớn hơn
Độ dài
1 2
FF = 2c
gọi là tiêu cự của elíp
.
.
1
F
2
F
M
.

Nhận xét:
c > 0;a > c > 0

Một số
hình ảnh
về Elíp
BAØI 2: PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG
ELÍP
I. Định nghĩa
đường Elíp
II. Phương trình
chính tắc
của Elíp
III. Hình dạng
của Elíp
IV. Liên hệ giữa
đường tròn
và Elíp
Phương trình chính tắc của Elíp
Cho elíp (E) như hình vẽ
Với cách chọn hệ trục toạ độ như vậy và
ta có toạ độ hai tiêu cự là:
1 2
FF = 2c
( ) ( )
;
1 2
F -c;0 F c;0
. Trục Oy là đường trung
Chọn hệ trục tọa độ Oxy với gốc toạ độ là trong

điểm của đoạn thẳng
1 2
FF
trực của và nằm trên tia Ox.
1 2
FF
1
F

Một số
hình ảnh
về Elíp
BAØI 2: PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG
ELÍP
I. Định nghĩa
đường Elíp
II. Phương trình
chính tắc
của Elíp
III. Hình dạng
của Elíp
IV. Liên hệ giữa
đường tròn
và Elíp
Phương trình chính tắc của Elíp
Cho elíp (E) như hình vẽ
Ta nói: Phương trình (1) là phương trình chính tắc
của Elíp
Khi đó người ta chứng minh được rằng:
( ) ( ) ( )

∈ ⇔ +
2 2
2 2
x y
M x;y E =1 1
a b
= −
2 2 2
b a c
trong đó:
?
Vì sao ta luôn đặt được
= −
2 2 2
b a c
?

Một số
hình ảnh
về Elíp
BAØI 2: PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG
ELÍP
I. Định nghĩa
đường Elíp
II. Phương trình
chính tắc
của Elíp
III. Hình dạng
của Elíp
IV. Liên hệ giữa

đường tròn
và Elíp
Phương trình chính tắc của Elíp
Ví dụ 1: Xác định tiêu điểm và tiêu cự của elíp (E):
( )
:
2 2
1
x y
E + =1
9 1
Bài làm
( )
:
2 2
1
x y
E +
9 1
=1
2
a = 9
2
b =1
Gọi
( ) ( )
;
1 2
F -c;0 F c;0
là hai tiêu điểm của (E

1
)
Ta có:
= − ⇔ = − =
2 2 2 2 2 2
b a c c a b 9 -1= 8
Suy ra:

± ±

⇒



c = 8 = 2 2
c = 2 2
c > 0
Vậy:
( ) ( )
; ;
1 2
F -2 2;0 F 2 2;0
=
1 2
FF 2c = 2.2 2 = 4 2

Một số
hình ảnh
về Elíp
BAØI 2: PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG

ELÍP
I. Định nghĩa
đường Elíp
II. Phương trình
chính tắc
của Elíp
III. Hình dạng
của Elíp
IV. Liên hệ giữa
đường tròn
và Elíp
Phương trình chính tắc của Elíp
Ví dụ 2: Xác định tiêu điểm và tiêu cự của elíp (E):
( )
:
2 2
2
x y
E + =1
25 9
Bài làm
( )
:
2 2
1
25
x y
E +
9
=1

2
a = 25
2
b = 9
Gọi
( ) ( )
;
1 2
F -c;0 F c;0
là hai tiêu điểm của (E
2
)
Ta có:
= − ⇔ = − =
2 2 2 2 2 2
b a c c a b 25 - 9 =16
Suy ra:

± ±

⇒



c = 16 = 4
c = 4
c > 0
Vậy:
( ) ( )
; ;

1 2
F -4;0 F 4;0
=
1 2
FF 2c = 2.4 =8

Một số
hình ảnh
về Elíp
BAØI 2: PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG
ELÍP
I. Định nghĩa
đường Elíp
II. Phương trình
chính tắc
của Elíp
III. Hình dạng
của Elíp
IV. Liên hệ giữa
đường tròn
và Elíp
a. Tính đối xứng của Elíp:
( )
:
2 2
2 2
x y
E + =1
a b
Cho

Nếu M(x
0
, y
0
) thuộc (E) thì các điểm M
1
(-x
0
, y
0
),
M
2
(x
0
;-y
0
), M
3
(-x
0
;-y
0
) cũng thuộc (E).
Elíp nhận trục hoành Ox và trục tung Oy làm hai
trục đối xứng; nhận gốc tọa độ O làm tâm đối xứng.
3
M
.

M
.
0
x
0
y
2
M
.
0
-y
.
1
M
0
-x
1
F
2
F
. .
O
x
y

Một số
hình ảnh
về Elíp
BAØI 2: PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG
ELÍP

I. Định nghĩa
đường Elíp
II. Phương trình
chính tắc
của Elíp
III. Hình dạng
của Elíp
IV. Liên hệ giữa
đường tròn
và Elíp
a. Tính đối xứng của Elíp:
( ) ( )
:
2 2
2 2
x y
E + =1 1
a b
Cho

* Giao điểm của (E) và
Ox:
1
F
2
F
. .
O
x
y

b. Hình dạng của Elíp:
1
A
2
A
.
.
1
B
2
B
.
.
Thay y = 0 vào (1) ta được:
x = ±a
nên (E) cắt Ox tại A
1
(-a;0) và A
2
(a;0)
* Giao điểm của (E) và
Oy:
Thay x = 0 vào (1) ta được:
y = ±b
nên (E) cắt Oy tại B
1
(0;-b) và B
2
(0;b)
Các điểm A

1
, A
2
,

B
1
, B
2
gọi là các đỉnh của Elíp
Trục lớn A
1
A
2
= 2a
Trục nhỏ B
1
B
2
= 2b

Một số
hình ảnh
về Elíp
BAØI 2: PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG
ELÍP
I. Định nghĩa
đường Elíp
II. Phương trình
chính tắc

của Elíp
III. Hình dạng
của Elíp
IV. Liên hệ giữa
đường tròn
và Elíp
a. Tính đối xứng của Elíp:
b. Hình dạng của Elíp:
( )
:
2 2
x y
E + =1
25 9
Xác định tọa độ đỉnh, độ dài trục lớn,
độ dài trục nhỏ và tiêu cự của:
c. Ví dụ:
Bài làm
( )
:
2 2
x y
E + =1
25 9
Gọi A
1
(-a;0); A
2
(a;0); B
1

(0;-b); B
2
(0;b) là các đỉnh của Elip
Ta có:
±

⇒ ⇒


2
a = 5
a = 25 a = 5
a > 0
nên A
1
(-5;0); A
2
(5;0);
A
1
A
2
= 2a = 2.5 = 10
Ta có:
±

⇒ ⇒


2

b = 3
b = 9 b = 3
b > 0
nên B
1
(0;-3); B
2
(0;3)
B
1
B
2
= 2b = 2.3 = 6

⇒ ⇒


2 2 2
c = ±4
c = a -b = 25 - 9 =16 c = 4
c > 0
Và:
2
b = 9
2
a = 25
nên F
1
F
2

= 2c = 2.4 = 8

Một số
hình ảnh
về Elíp
BAØI 2: PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG
ELÍP
I. Định nghĩa
đường Elíp
II. Phương trình
chính tắc
của Elíp
III. Hình dạng
của Elíp
IV. Liên hệ giữa
đường tròn
và Elíp
Quan sát hình vẽ sau:

Một số
hình ảnh
về Elíp
BAØI 2: PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG
ELÍP
I. Định nghĩa
đường Elíp
II. Phương trình
chính tắc
của Elíp
III. Hình dạng

của Elíp
IV. Liên hệ giữa
đường tròn
và Elíp
′ ′
+ =
2 2
2 2
x y
1
a b
Đặt b = ka, ta được:
Thiết lập mối quan hệ giữa đường tròn và
đường elíp
( )
1+ =
2 2 2
x y a
Trong mặt phẳng Oxy cho đường tròn (C) có
phương trình:
Thay
′


′



x = x
y

y =
k
vào (1) ta được:
( )
′
′
 
′ ′
+ = ⇔ + =
 ÷
 
′ ′ ′ ′
⇔ + = ⇔ + =
2
2
2 2 2 2
2
2 2 2 2 2
2
2 2 2 2 2
y y
x a x a
k k
x y a x y
1
a k a a a
ka
Đây là phương trình chính tắc của một Elíp
Khi đó ta nói: Đường tròn (C) được co thành Elíp

Một số
hình ảnh
về Elíp
BAØI 2: PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG
ELÍP
I. Định nghĩa
đường Elíp
II. Phương trình
chính tắc
của Elíp
III. Hình dạng
của Elíp
IV. Liên hệ giữa
đường tròn
và Elíp
CUÛNG COÁ
Câu 1 Câu 2 Câu 3
+ =
2 2
x
1
6 2
y
Đường elíp có tiêu cự bằng:
a.4
c.2
b 4
d 2
Rất tiếc…sai rồi!!!Xin chúc mừng…đúng rồi!!!

Một số
hình ảnh
về Elíp
BAØI 2: PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG
ELÍP
I. Định nghĩa
đường Elíp
II. Phương trình
chính tắc
của Elíp
III. Hình dạng
của Elíp
IV. Liên hệ giữa
đường tròn
và Elíp
CUÛNG COÁ
Câu 1 Câu 2
;= =
1 2 1 2
a.A A 16 B B 12
Rất tiếc…sai rồi!!!
Xin chúc mừng…đúng rồi!!!
+ =
2 2
x
1
100 36
y
Đường elíp độ dài trục lớn và
trục nhỏ lần lượt là:

;= =
1 2 1 2
b.A A 20 B B 16
;= =
1 2 1 2
c.A A 20 B B 12 ;= = −
1 2 1 2
d.A A 20 B B 12

NHIỆM VỤ VỀ NHÀ
Ôn tập lý thuyết đã học.
Làm các bài tập 1, 2, 3, 4/162 - 163 SGK