điều kiện có nghiệm của PTB2

ĐIỀU KIỆN CÓ NGHIỆM CỦA
PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI


Dạng 1: Biện luận theo tham số sự có nghiệm
của phương trình

Dạng 2: tìm điều kiện của tham số để phương
trình có nghiệm; có một nghiệm; có hai nghiệm
phân biệt; vô nghiệm

Dạng 3: Tìm điều kiện để phương trình có một
nghiệm x=x1. tìm nghiệm còn lại

Dạng 4: Xác định tham số m để hai phương trình
có ít nhất một nghiệm chung.

Dạng 1:Biện luận theo tham số sự có
nghiệm của phương trình

I.Phương pháp: xét các trường hợp
–
Nếu a=0 phương trình trở thành phương trình bậc nhất bx + c=0
có một nghiệm khi b khác 0
–
Nếu a≠ 0 phương trình là phương trình bậc hai. Ta xét định
thức . Nếu =0 thì phương trình có một nghiệm kép (nghiệm
duy nhất) x= -b/a. Nếu >0 phương trình có 2 nghiệm phân biệt
x1= (-b+ )/2a và x2= (-b- )/2a
∆

∆
∆
∆

II. Ví dụ : Cho phương trình mx2 – (3-m)x-m=0 (1)
Giải phương trình với m =1
Giải và biện luận theo m
Tìm giá trị của m để phương trình đã cho có nghiệm kép.
* Tìm lời giải:
a) Thay m= 1 vào (1) giải phương trình mới tìm được
b) Giải và biện luận theo tham số m: xét các trường hợp:
*m=0 : Ta được phương trình bậc nhất. giải ra ta được nghiệm x1
(2)
*m khác 0 phường trình đã cho là bậc hai. Xét các trường hợp
c) Phương trình đã cho có nghiệm kép khi =0 Và m khác o

* Bài giải:

a) Với m= 1 phương trình trở thành x2 – 2x-1=0 (x-1)2-2=0
(x-1- )(x-1+ )=0. giải ra ta được x=1+ và x=1-

b) Giải và biện luận theo m:

* trường hợp m=0 phương trình trở thành -3x=0 x=0

* trường hợp m khác 0: Phương trình là phương trình bậc hai

Xét = [-(3-m)]2-4m(-m)= (3-m)2+4m2 > 0 với mọi m.
Phương trình có hai nghiệm phân biệt:


X1= ; x2= (với m khác 0)

Vậy: với m=o phương trình có một nghiệm duy nhất bằng 0

Với m khác 0 phương trình có hai nghiệm phân biệt

X1= ; x2=

c) Vì > 0 với mọi m nên không có giá trị nào của m để
phương trình có nghiệm kép.
2 2 2 2
∆
2
(3 ) 5 6 9
2
m m m
m
− − − +
−
2
(3 ) 5 6 9
2
m m m
m
− + − +
−
2
(3 ) 5 6 9
2
m m m

m
− − − +
−
2
(3 ) 5 6 9
2
m m m
m
− + − +
−
∆

Dạng 2: Tìm điều kiện của tham số để
phương trình có nghiệm

I. PHƯƠNG PHÁP ; Dùng điều kiện có nghiệm của
phương trình bậc hai ax
2
+bx +c =0
*Nếu a=0 phương trình trở thành phương trình bậc nhất
bx + c=0 có một nghiệm khi b khác 0
*Nếu a≠ 0 phương trình là phương trình bậc hai. Ta xét
định thức . Nếu =0 thì phương trình có một
nghiệm kép (nghiệm duy nhất) x= -b/a.
*Nếu >0 phương trình có 2 nghiệm phân biệt x1= (-
b+ )/2a và x2= (-b- )/2a
∆
∆
∆
∆ ∆


II. Ví dụ: với giá trị nào của m thì phương trình sau
có nghiệm
9x
2
-6mx-m(m-2) =0
2x
2
-10x –m-1 =0
3x
2
-4x+2m = 0
Tìm lời giải:
Phương trình ax
2
+bx +c =0 có nghiệm  b
2 -
4ac ≥ 0

Dạng 3: Tìm điều kiện tham số m để
phương trình có một nghiệm x=a. Tìm
nghiệm kia

I. Phương pháp giải:
- Thay x=a vào phương trình rồi tìm m
- thay m tìm được vào phương trình đầu bài cho. Giải ra
tìm được nghiệm còn lại của phương trình. Cũng có
thể vận dụng định lý viet để tìm nghiệm còn lại.


II. Ví dụ: Cho phương trình: X
2
-(m+5)x-m+6 = 0
Xác định giá trị của m để phương trình có một nghiệm bằng 2. Tìm
nghiệm còn lại

Hướng dẫn Giải
Vì x= 2 là nghiệm của phương trình ta có: 22-(m+5).2-m+6=0
Giải ra ta được m=0
Với m=0 phương trình đã cho trở thành x
2
-5x+6=0. Theo định lý
viet Tích 2 nghiệm bằng 6, mà một nghiệm bằng 2. suy ra
nghiệm còn lại là 3.

Dạng 4:Xác định tham số m để hai
phương trình có ít nhất một nghiệm
chung

I. phương pháp giải :
- gọi x=a là nghiệm chung của hai phương trình. Thay x
=a vào 2 phương trình đã cho.
-Tìm a theo m( dùng phương pháp thế hoặc cộng đại
số)
- Thay giá trị của a vào một trong hai phương trình. Tìm
giá trị của m
- Thay giá trị của m vào hai phương trình, tìm cặp
nghiệm chung

II. ví dụ: xác định giá trị của m để phương trình
x
2
+mx+8=0 và phương trình x
2
+x+m=0 có ít
nhất một nghiệm chung

Bài giải
Gọi x=a là nghiệm chung của hai phương trình. Ta có:
a
2
+m.a +8 =0 (3)
a
2
+a+m=0 (4)
Trừ từng vế (3) cho (4) ta được
m.a – a +8-a =0 => (m-1).a= m-8
+ Nếu m=1 => 0.a=-7 vô lý
+ nếu m khac 1 thì ta có thay (8) vào (4) ta được m3-
24m+72=0  m=-6
Thay m=-6 vào hai phương trình đã cho ta được:
X
2
+6x+8=0 có 2 nghiệm là -2 và 4
X
2
+x-6=0 có 2 nghiệm là -2 và 3
Vậy m=6 hai phương trình có ít nhất một nghiệm chung.
8

1
m
a
m
−
=
−

* Chú ý: nếu bài cho đơn giản hơn, chỉ
có một phương trình chứa tham số thì
ta giải phương trình không chứa tham
số rồi lấy nghiệm tìm được thay vào
phương trình kia. Tim giá trị của tham
số

CHÚC CÁC EM HỌC GIỎI!!!