Chuyên đề hàm số tổng hợp

www.VIETMATHS.com
Ch ơng I : ứng dụng đạo hàm để khảo sát hàm số
& vẽ đồ thị của hàm số
@@@@
Chủ đề i : tính đơn điệu của hàm số
0 0
Dạng 2: Tìm điều kiện của tham số để hàm số đơn điệu trong một khoảng
Phơng pháp:
Định lí Viét: Nếu PT bậc hai ax
2
+ bx +c = 0 (a
0
) (

)
có hai nghiệm x
1
, x
2
thì:
1 2 1 2
;
b c
S x x P x x
a a
= + = = =
Hệ quả:
1) PT (*) có hai nghiệm trái dấu x
1
< 0 < x
2

0P
<
.
2) PT (*) có hai ngiệm cùng dấu
( )
1 2 1 2
0
0 0
0
x x x x
P


< <

>

3) PT (*) có hai nghiệm cùng âm
1 2
0
0 0
0
x x S
P



< <

>

4) PT (*) có hai nghiệm cùng dơng
1 2
0
0 0
0
x x S
P



< >


>

Nhận xét: Đặt : f(x) = ax
2
+ bx + c (a
0
)
1) f(x) = 0 có hai nghiệm x
1
, x
2
thoả mãn x
1
<

< x
2
tức là
1 2
0x x

< <
.
Đặt:
t x

=
,
( ) ( )
g t f t

= +
. Dẫn đến
( )
0g t
=
có hai nghiệm trái dấu
0
g
P <
2) f(x) = 0 có hai nghiệm x
1
, x
2

thoả mãn
1 2
x x

<
tức là
( )
1 2
0 0x x g t

< =
có hai nghiệm cùng âm
0
0
0
g
g
g
S
P



<


>

Lê Diễm Hơng Toán Tin Trờng THPT Nga Sơn Thanh Hoá
www.VIETMATHS.com

3)
( )
0f x =
có hai nghiệm x
1
, x
2
thoả mãn
1 2
x x

<
tức là
1 2
0 x x

<

( )
0g t
=
có hai nghiệm cùng dơng
0
0
0
g
g
g
S
P

>


>

Ví dụ 1: Tìm m để hàm số
( )
2
1
1
1
x mx
y
x
+
=

đồng biến trên khoảng
( )
1;
+
Gợi ý: TXĐ :
{ }
\ 1D
=
Ă
Ta có:

( )
2
2
2 1
1
x x m
y
x
+

=

. Đặt :
( )
2
2 1f x x x m
= +
. Hàm số (1) đồng biến trên
( )
1;
+
( ) ( ) ( )
0, 1; 0, 1;y x f x x

+ +
( ) ( )
0
0 *
f
m

f x

= <



=


,(*) có hai
nghiệm thoả mãn
( )
1 2
1 2x x
<
. Đặt : t = x- 1, g(t) = f(t + 1). áp dụng nhận xét 2 ĐK (2)
tơng đơng với
g(t) = t
2
m có hai nghiệm không dơng.
Tức là:
0
0 0 0
0
g
g
g
m
S m
P m

=

= =


=

. Vậy với
]
( ;0m

thì hàm số (1) đồng biến trên
( )
1;
+
.
Dạng 2: Dùng tính đơn điệu để chứng minh Bất đẳng thức
Phơng pháp:
Chọ hàm số f(x) thích hợp (thông thờng đặt bằng hiệu hai vế).
Xét tính đơn điệu của f(x) để suy ra BĐT phải chứng minh.
Ví dụ 1: Chứng minh rằng:
a)
0,sin
6
3
><< xxx
x
x
b) sinx + tanx > 2x ,

)
2
0(

<< x
Gợi ý:
Lê Diễm Hơng Toán Tin Trờng THPT Nga Sơn Thanh Hoá
www.VIETMATHS.com
a)
0,sin
6
3
><< xxx
x
x
(1)





>>+
>>

0,0
6
sin
0,0sin
3
x

x
xx
xxx
Đặt f(x) = x sinx với x > 0 (vì
1cos x
)
Suy ra hàm số đồng biến khi x > 0
Do đó :
( ) ( )
00 => fxf
Suy ra : x sinx > 0 (2),
0
>
x
đợc chứng minh.
Đặt : g(x)=
0,0
6
sin
3
>>+ x
x
xx
. Ta có :
( )
2
1cos
2
x
xxg +=

( )
xxxg +=

sin
0,0)( >>

xxg
do (2)
Suy ra hàm số
)(xg

đồng biến khi x > 0.
Suy ra
0)0()( =

>

gxg

Suy ra g(x) đồng biến khi x > 0
Suy ra g(x) > g(0) = 0
Suy ra :
0,0
6
sin
3
>>+ x
x

xx


(đpcm)
b) sinx + tanx > 2x ,
)
2
0(

<< x
* Đặt : f(x) = sinx + tanx - 2x ,
)
2
0(

<< x
.
Ta có :
2
cos
1
2)(
2
cos
1
.cos22
cos
1
cos)(
22

+=

x
xf
x
x
x
xxf
Mà
)
2
0(

<< x
nên 0 < cosx <1
1
cos
1
>
x
. Suy ra :
0)(022)( >

=>

xfxf
0 < x <

2

với
)
2
0(

<< x

)(xf

đồng biến với
2
0

<< x
Suy ra : f(x) > f(0) = 0
Lê Diễm Hơng Toán Tin Trờng THPT Nga Sơn Thanh Hoá
www.VIETMATHS.com
Do đó : sinx + tanx 2x > 0 với
2
0

<< x
.Ta có đpcm.
Bài 2: Xác định giá trị của m sao cho hàm số : y = x
3
2x
2
+ mx -1

a) Đồng biến trên R
b) Đồng biến trong khoảng (0 ; 1/3).
Gợi ý:
a) D = R.

mamxxy 34;03;43
2
=

>=+=

Hàm số đồng biến trên R
3
4
034 mm
b) Với
3
4
m
thì hàm số đồng biến trên R nên đồng biến trong (0; 1/3)
Với
mm 34;
3
4
=

<
. Để hàm số đồng biến trong (0; 1/3) điều kiện là:
( )
( )

<
<<<
2
3
1
0
1
3
1
0
21
21
xx
xx
( )
1
3
1
3
2
01
3
1
2

0
3
1
3
1





>









>








m

m
S
y
( )
( )





<







<



0
3
2
03
0
2
003
2

m
S
y
vô nghiệm.
Vậy với
1

m
thì hàm số luôn đồng biến trong (0 ; 1/3)
Dạng 3: Sử dụng tính đồng biến, nghịch biến của hàm số để giải phơng trình, bất
phơng trình
Ví dụ 1: Giải phơng trình :
11414
2
=+
xx
(1)
(HVNH_ĐHQG Khối D
-2001)
Gợi ý:
Lê Diễm Hơng Toán Tin Trờng THPT Nga Sơn Thanh Hoá
www.VIETMATHS.com
ĐK :
2
1
014
014
2

x
x
x
Nhận xét rằng số nghiệm của PT (1) là số giao điểm của đồ thị hàm số y =
1414
2
+ xx
và đờng thẳng y = 1
+ Xét hàm số : y =
1414
2
+ xx
D = [
);
2
1
+

2
1
,0
14
4
14
2
2

>

+

=

x
x
x
x
y
. Do đó hàm số luôn luôn đồng biến với
2
1
x
.
Nên PT nếu có nghiệm thì nghiệm đó là duy nhất.
Nhận thấy
2
1
=x
thoả mãn PT.
Vậy PT có nghiệm duy nhất.
Dạng 4: Tìm m để PT
( )
f x m
=
có đúng n nghiệm thực
Phơng pháp:
Khảo sát và lập BBT của hàm số y = f (x) trên TXĐ của nó.

Căn cứ vào BBT, xác định dáng điệu đồ thị hàm số y = f(x) trên TXĐ để suy ra các
giá trị của m cần tìm.
Ví dụ 1: Tìm m để PT sau có đúng 2 nghiệm thực phân biệt

( ) ( )
1 8 1 8 .x x x x m+ + + + =
Gợi ý:
ĐK:
1 8x

. Xét hs:
( ) ( ) ( )
1 8 1 8f x x x x x= + + + +
trên
[ ]
1;8

.
Ta có:
( )
( ) ( ) ( ) ( )
( )
( )
( ) ( )
1 1 7 2 8 1 7 2
2 1 2 8 2 1 . 8
2 1 8 2. 1 8
1 1
7 2
2 1 82 1 . 8 . 1 8

x x x x
f x
x x x x
x x x x
x
x xx x x x
+

= + = +
+ +
+ +

ữ
= +
ữ
+ + + +

Mà
( )
1
2 1 . 8 . 1 8x x x x+ + +
( ) ( )
1
2 1 8x x
+
+
>0 với mọi
( )
1;8x

Do đó, dấu của đạo hàm
( )
f x

chỉ phụ thuộc vào dấu của nhị thức bậc nhất 7 2x.
Lê Diễm Hơng Toán Tin Trờng THPT Nga Sơn Thanh Hoá
www.VIETMATHS.com
Ta có BBT:
x -1
7
2
8
( )
f x

+ 0 -

( )
f x

9
3 2
2
+
3 3
Từ BBT suy ra các giá trị của m cần tìm là
9
3 3 2
2
m +

Chủ đề ii : cực trị của hàm số Soạn : 15/09/09
Dạng 1: Tìm các cực trị của các hàm số
Phơng pháp :
Quy tắc 1: Tìm
)(xf

Tìm các điểm x
i
(i = 1, 2, 3.) tại đó đạo hàm của hàm số bằng 0 hoặc hàm
số liên tục nhng không có đạo hàm.
Xét dấu
)(xf

. Nếu
)(xf

đổi dấu khi x đi qua điểm x
i
thì hsố đạt cực trị
tại x
i
.
Quy tắc 2:
Tìm
)(xf

Tìm các nghiệm x
i
(i = 1, 2, 3.) của phơng trình

0)( =

xf
.
Với mỗi x
i
, tính
)(
i
xf

.
Nếu
)(
i
xf

< 0 thì hàm số đạt cực đại tại x
i
.
Nếu
)(
i
xf

> 0 thì hàm số đạt cực tiểu tại x
i
.
Ví dụ 1: Tìm cực trị của các hàm số sau:
a) y = - x

3
+ 3x
2
1 ; b) y =
3
2
2
4
+ x
x
c)
x
x
y


=
2
3
; d)
2
1
2


=
x
xx
y
Gợi ý:

Dùng quy tắc I
Lê Diễm Hơng Toán Tin Trờng THPT Nga Sơn Thanh Hoá
www.VIETMATHS.com
a) y = - x
3
+ 3x
2
1
x

0 2
+

y

- 0 + 0 -


+
3
y
1

-1
Vậy hàm số đạt
1=
CT
y
, tại x = 0 và y
CĐ

= 3 tại x = 2.

Dạng 2: Định m để hàm số y = f(x) đạt cực trị tại x
0
hay đạt cực trị bằng y
0
.
1. Định m để hàm số y = f(x) đạt cực trị tại x
0
Phơng pháp:
Giải phơng trình
0)(
0
=

xf
để định m.
Thử lại điều kiện đủ bằng cách dùng lại dấu hiệu I hoặc II.
2. Định m để hàm số y = f(x) đạt cực trị bằng y
0
Phơng pháp:
ĐK
( )
( )



=
=

00
0
0
yxf
xf
(x
0
cha biết để định m)
Thử lại đk đủ nh phần 1
Ví dụ 1: Định m để hàm số :
y = f(x) =
3
1
x
3
(m - 1)x
2
+ (m
2
3m +2)x +5 đạt cực đại tại x = 0
Gợi ý:
y = f(x) =
3
1
x
3
(m - 1)x
2
+ (m
2

3m +2)x +5
D = R
( )
xfy

=

=x
2
2(m - 1)x + m
2
3m +2
Hàm số đạt cực đại tại x = 0 nên :

( )



=
=
=+=

2
1
02300
2
m
m
mmf
Thử lại :

+ Dùng dấu hiệu I:
m = 1:
00;
2
==

=

xyxy
BBT : x 0
+
Lê Diễm Hơng Toán Tin Trờng THPT Nga Sơn Thanh Hoá
www.VIETMATHS.com

y

+ 0 +

+


y



Nh thế hàm số không đạt cực đại tại x = 0. Nên loại m = 1.
m = 2:

=
=
=

=

2
0
0;2
2
x
x
yxxy
BBT :
x

0 2
+

y

+ 0 - 0 +

+
CĐ
y



CT

Nh thế hàm số đạt cực đại tại x = 0. Nên nhận m = 2.
Dạng 3: Điều kiện để hàm số y = f(x) có cực đại và cực tiểu.
Phơng pháp:
Tìm TXĐ D
Tính
( )
xfy =

Điều kiện để hàm số có cực đại và cực tiểu là
y

đổi dấu 2 lần

phơng
trình :

0
=

y
có hai nghiệm phân biệt thuộc D
0
>
Ví dụ 1:
Chứng minh rằng hàm số : y =
2
2
2
2
+

++
x
mxx
luôn luôn có một cực đại và một cực tiểu.
Gợi ý:
+ D = R
+
( )
( )
( )
[ ]
( )
( ) ( )
( )
mm
xxxy
x
xxx
x
xmx
y
>+=
=++=

+
++
=
+
++
=

082
*0220
2
222
2
4222
2
2
2
2
2
2
2
2
Chứng tỏ phơng trình (*) luôn có 2 nghiệm phân biệt.
Do đó hàm số đã cho có mọtt cực đại , cực tiểu.
Lê Diễm Hơng Toán Tin Trờng THPT Nga Sơn Thanh Hoá
www.VIETMATHS.com
Ví dụ 2: Cho hàm số :
( )
mx
mxmmx
y

+++
=
11
32
a) CMR : Hàm số luôn có CĐ, CT.

b) Định m để cực y
CĐ
và y
CT
trái dấu.
Gợi ý:
a)
( )
mx
mxmmx
y

+++
=
11
32
+
{ }
( )
( )



+=
=
=+=


+
=

=
1
1
0120
12
\
2
1
22
2
22
mx
mx
mxmmxxy
mx
mmxx
y
mRD
Nh thế phơng trình
0=

y
luôn có 2 nghiệm phân biệt x
1
, x
2
đều khác m. Nên hàm số
luôn có cực đại và cực tiểu.
b) Hai cực trị cho bởi:

( )
( )
( )
( )
( )
( )
12
0
0
0
0
0
+=

== mmx
xv
xu
xv
xu
xy
.
Vì aa

> 0 nên:
y
CĐ
= y(x
1
) = 2(m - 1) m(m + 1) = - m

2
+ m 2
y
CT
= y(x
2
) = 2(m + 1) m(m + 1) = - m
2
+ m + 2
Điều kiện đề bài

y
CĐ
.y
CT
< 0
( )( )
( )
21
,02,02
022
22
22
<<
<+>++
<+++
m
mmmmm
mmmm
Dạng 4: Định m để hàm số y = f(x) đạt cực đại tại 2 điểm x

1
, x
2
( hay có y
CĐ
, y
CT
)thỏa
mãn một điều kiện cho trớc.
Phơng pháp:
Tìm TXĐ D
Tính
( )
xfy =

Định m để phơng trình
0
=

y
có hai nghiệm phân biệt x
1
, x
2
thoả mãn hệ thức cho
trớc:
o Nếu thoả một đẳng thức thì thờng dùng hệ thức Viét
o Nếu thoả mãn BĐT thì thờng dùng cách so sánh 1 số

với các nghiệm

của phơng trình bậc hai.
Lê Diễm Hơng Toán Tin Trờng THPT Nga Sơn Thanh Hoá
www.VIETMATHS.com
Ví dụ1: Định m để hàm số :
( ) ( )
3
1
231
3
1
23
+= xmxmmxy
có hao điểm cực trị x
1
,
x
2
thoả mãn: x
1
+ 3x
2
= 1.
Gợi ý:
( ) ( )
3
1
231
3
1
23

+= xmxmmxy
+ D = R
+
( ) ( )
( ) ( ) ( )
1023120
2312
2
2
==

=

mxmmxy
mxmmxy
Trớc tiên để hàm số có 2 cực trị là pt (1) có hai nghiệm phân biệt x
1
, x
2
.
( ) ( )






<
+>

>+





>+=



2
3
1
2
3
1
0184
0
0231
0
2
2
m
m
mm
m
mmm

m
và
0

m
(2)
Ta có:
( )
( )
( )
( )
( )










==

=+=
=+
c
m
m
xxP

b
m
m
xxS
axx
23
.
12
13
21
21
21
GiảI hệ (a) và (b) ta đợc:
m
m
x
m
m
x
2
2
;
2
65
21
+
=

=
Tahy vào (c):

( )( ) ( )






=
=
=

=
+
7
6
2
01287
23
4
265
2
2
m
m
mm
m
m
m
mm
(đều thoả

(2))
ĐS : m = 2 , m =-6/7.
Bài tập áp dụng:
Bài 1: Tìm các cực trị của các hàm số sau:
a) y = 2x
3
+ 3x
2
36x 10 b) y = x
4
+ 2x
2
3
c) y =
x
x
1
+
d)
1
32
2

+
=
x
xx
y
e) y = x
3

( 1 - x)
2
.
Bài 2: Cho hàm số : y = mx
3
+ 3mx
2
( m - 1)x 4. Tìm m để hàm số không có cực
trị.
Gợi ý:
+ D = R.
Lê Diễm Hơng Toán Tin Trờng THPT Nga Sơn Thanh Hoá
www.VIETMATHS.com
+ Ta có :
( )
163
2
+=

mmxmxy
+ Nếu m = 0 thì
>=

01y
y tăng trên R. Do đó hàm số không có cực trị.
+ Nếu
0m
thì y không có cực trị y đơn điệu trên R

( )

4
1
0
0312
0139
2
2
<

+=


m
mm
mmm
ĐS :
4
1
0 m

Bài 3: Cho hàm số : y = x
3
- 2mx
2
2. Tìm m để hàm số đạt cực tiểu tại x = 1.
Gợi ý:
+ D = R.
+ Ta có:
mxymxxy 46;43
2

=

=

Để y đạt cực tiểu tại x = 1
( )
( )
4
3
2
3
4
3
0461
0431
=







<
=




>=

==

m
m
m
my
my
Bài 4: Cho hàm số : y = 2x
3
+ ax
2
12x 13. Tìm a để hàm số có cực đại, cực tiểu và
hai điểm này cách đều trục tung.
Gợi ý:
+ D = R.
+ Ta có:
2
6 2 12y x x

=
Do
aa >+=

072
2
nên y luôn có 2 điểm cực trị với mọi a.
Gọi x
1
, x

2
là 2 nghiệm phân biệt của pt y

= 0.
Hai điểm cực trị cách đều trục tung
( )
00
6
2
0
21
21
21
21
====+



=
=
=
a
a
Sxx
xx
loaixx
xx
Bài 5: Cho hàm số: y = mx
4
+ ( m

2
- 9)x
2
+ 10. Tìm m để hàm số có 3 cực trị .
Gợi ý:
+ D = R.
+ Ta có:
( )
[ ]
922924
2223
+=+=

mmxxxmmxy
.
Lê Diễm Hơng Toán Tin Trờng THPT Nga Sơn Thanh Hoá

www.VIETMATHS.com
Yêu cầu bài toán
0=

y
có 3 nghiệm phân biệt

( )
092
22
=+= mmxxg
có hai nghiệm phân biệt khác 0.

( )
( )
3
090
0980
0
2
2
<





=
>=

m
mg
mm
m
hoặc 0 < m < 3.
Bài 6: Cho hàm số: y = x
4
- 2mx
2
+ 2m + m
4
. Tìm m để hàm số có 3 cực trị là 3 đỉnh của
một tam giác đều.

Gợi ý:
+ D = R.
+ Ta có:
( )
mxxmxxy ==

2
444
3
Để y có 3 cực trị

m > 0. Lúc đó:



=
=
=

mx
x
y
0
0
Gọi A, B, C là 3 điểm cực trị thì
( )
( ) ( )
mmmmCmmmmAmmB 2;;2;;2;0
24244
+++

Yêu cầu bài toán





=
=

22
22
ACBA
BCBA
( luôn đúng vì trục tung là trục đối xứng)

( )
( )
( )
( )
034
20
34
2
2
2
2
==+
=+
mmmmm
mmm

0= m
( loại do đk m > 0) hoặc m
3
= 3
3
3= m
Bài 7: Xác định m để hàm số :
mx
mxx
y
+
++
=
1
2
đạt cực đại tại x = 2.
ĐS : m = -3
Bài 8: Cho hàm số : y = f(x) = x
3
+ ax
2
+ bx +c có đồ thị (C). Định a, b, c biết rằng (C)
có một điểm cực trị (- 2 ; 0) và đi qua điểm A(1 ; 0)
Gợi ý:
Ta có: y = f(x) = x
3
+ ax
2
+ bx +c

+ D = R.
+
( )
baxxxfy ++=

=

23
2
(C) có một điểm cực trị (-2 ; 0) và qua điểm A(1; 0), nên:

( )
( )
( )





=+++
=++
=+






=
=

=

01
0248
0412
01
02
02
cba
cba
ba
f
f
f
Giải ra ta đợc a = 3 , b = 0 , c = -4.
Lê Diễm Hơng Toán Tin Trờng THPT Nga Sơn Thanh Hoá
www.VIETMATHS.com
Vậy: y = f(x) = x
3
+ 3x
2
4.
Thử lại , ta có:
( ) ( )
66;63
2
+=

=

+=

=

xxfyxxxfy
Suy ra :
( )
=+=

066122f
Hàm số đạt cực trị tại x = -2
ĐS: a = 3, b = 0 , c = -4.
Bài 9: Định m để hàm số :
1
12)1(
2
+
++++
=
x
mxmx
y
đạt cực trị tại 2 điểm x
1
, x
2
sao
cho:
x
1

< x
2
< 2.
Gợi ý: Ta có :
1
12)1(
2
+
++++
=
x
mxmx
y
; D = R \
{ }
1

( )
( )
1,1020;
1
2
2
2
2
=+=

+
+
=

xmxxy
x
mxx
y
.Đặt g (x) =
mxx + 2
2
ĐK bài toán

PT (1) có hai nghiệm phân biệt x
1
, x
2
đều khác -1 sao cho x
1
< x
2
< 2.

( )
( )
81
8
1
021
08
01
01
02

2
02
01
0
<<



<
>








<
>

>+

<
>

>

m
m
m
m
m
m
S
g
g

chủ đề iii: giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số
Soạn : 20/09/09
D ng 1 : Tìm giỏ tr ln nht v giá trị nh nht của hàm số y = f(x) liên tục trên
đoạn [a ; b].
Phơng pháp:
Tính đạo hàm
( )
xfy =

Tìm các điểm x
1
, x
2

, x
i
trên (a ; b) tại đó
( )
xf

.
Tính
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
.,,,
21
bfxfxfxfaf
n

Tìm số lớn nhất M và số nhỏ nhất m trong các số trên.
Lúc đó :
( )
Mxf =max
;
( )
mxf =min
Ví dụ 1: Tìm GTLN, GTNN của các hàm số sau đây:
a) f(x) = x
3
3x
2
- 9x +5 trên các đoạn [-4; 4]; [0; 5].
Lê Diễm Hơng Toán Tin Trờng THPT Nga Sơn Thanh Hoá
www.VIETMATHS.com
b) f(x) = sin2x x trên

2
;
2

.
c) f(x) = 2sinx 4/3 sin
3
x trên [0;

]. (TN THPT 2003 - 2004)
Gợi ý:
a) * f(x) = x
3
3x
2
- 9x +5 trên đoạn [-4; 4].
Hàm số liên tục trên [-4 ; 4] nên đạt GTLN, GTNN trên đoạn ấy. Ta có:



=
=
==

=

3
1
09630)(
963)(
2
2
x
x
xxxf
xxxf
(thoả mãn)
Ta có: f(-4) = -71; f(-1) = 10; f(3) = -22; f(4) = -15.
Vậy : Max f(x) = 10; Min f(x)= -71.
[-4; 4] [-4; 4]
* f(x) = x
3
3x
2
- 9x +5 trên đoạn [0; 5]



=
=
==

=

3
1
09630)(
963)(
2
2
x
x
xxxf
xxxf
(loại)
Ta có: f(0) = 5; f(3) =-22 ; f(5) = 10.
Vậy: Max f(x) = 10; Min f(x)= -22.
[0;5] [0;5]
b)f(x) = sin2x x trên







2
;
2

.
Hàm số f(x) liên tục trên đoạn

2
;
2

.
( )
Zkkxkxxxf
xxf
+=+===

=





6
2
3
2
2
1
2cos0)(
12cos2)(

Vì :
x







2
;
2

, nên chọn
6

=x
.
Ta có:
22
;
62
3
6

=

=






ff
;
22
;
62
3
6

=






+=

ff
Vậy : Max f(x) =
2

; Min f(x) = -
2









2
;
2









2
;

2

Lê Diễm Hơng Toán Tin Trờng THPT Nga Sơn Thanh Hoá
www.VIETMATHS.com
c) f(x) = 2sinx 4/3 sin
3
x trên [0;

].
Đặt : t = sinx. Với x
[ ]

;0
, thì t
[ ]
1;0

, ta đợc :
( )
( )
0,
2
1
2
1
0420
42)(
3
4
2

22
2
3
====

=

=

==
tttty
ttgy
tttgy
Ta có: g(0) = 0;
( )
3
2
1;
3
22
2
1
==






gg

Vậy : Max f(x) =
3
22
; Min f(x) = 0
[0;

] [0;

]
Chú ý : Trên đoạn [a ; b]
Hàm số tăng thì Min y = f(a) ; Max y = f(b)
Hàm số giảm thì Min y = f(b) ; Max y = f(a)
Hàm số có cực trị duy nhất tại điểm x
0
mà cực trị đó là cực đại thì:
( ) ( ){ }
( )



=
=
0
,min
xfyMax
bfafyMin
Hàm số có cực trị duy nhất tại điểm x
0
mà cực trị đó là cực tiểu thì:
( ) ( ){ }

( )



=
=
0
,min
xfyMin
bfafyMax
Dạng 2: Tìm GTLN, GTNN của hàm số bằng phơng pháp khảo sát trực tiếp
Phơng pháp:
Lập bảng biến thiên của hàm số trên D, rồi dựa vào đó kết luận.
Ví dụ 1: Tìm GFTLN, GTNN của các hàm số sau:
a)
x
xy
1
+=
trên
( )
+;0
b) y = 4x
3
3x
4
c)
1
1
2

2
++
+
=
xx
x
y
Gợi ý:
a)
x
xy
1
+=
trên
( )
+;0
Lê Diễm Hơng Toán Tin Trờng THPT Nga Sơn Thanh Hoá
www.VIETMATHS.com

( )
0,20
4
10
4
1
2
2
>=⇔=−⇔=
′
−=

′
xx
x
y
x
y
+ BBT:
x 0 2
∞+

y
′
- 0 +

∞+


∞+
y
2
VËy : Min y = 2 t¹i x = 2, kh«ng cã GTLN.

( )
+∞;0
b) y = 4x
3
– 3x
4
+ D = R
+

( )
( )



=
=
⇔
=−⇔=
′
−=−=
′
1
0
01120
;1121212
2
232
x
x
xxy
xxxxy
+ BBT:
x
∞−
0 1
∞+

y
′

+ 0 + 0 -


y

∞−

∞−

VËy : Max y = 1, kh«ng cã GTNN.
c)
1
1
2
2
++
+
=
xx
x
y
+ D = R.
Lª DiÔm H¬ng – To¸n Tin – Trêng THPT Nga S¬n – Thanh Ho¸
www.VIETMATHS.com
+
1
11
1
1
1

lim
11
1
1
1
limlim
2
2
2
2
2
2
=






++






+
=

++






+
=
+++
xx
x
xx
x
x
x
y
xxx
+
( )
1010;
1
1
2
2
2

2
===

++

=

xxy
xx
x
y
+ BBT :
x

-1 1
+

y

+ 0 - 0 +
2 1


y
1
3
2

Vậy : Max y = 2 tại x = -1. Min y =
3

2
, tại x = 1
Chú ý: Với kết quả trên ta đợc
Rx
xx
x

++
+
,2
1
1
3
2
2
2
Nên ta có thể đổi bài thành dạng:
CMR:
Rx
xx
x

++
+
,2
1
1
3
2
2

2
Dạng 3: Dùng giá trị của hàm số y = f(x)
Phơng pháp:
Gọi T là miền giá trị của hàm số trên, thì
Ty
Phơng trình f(x) = 0 có
nghiệm x.
Viết lại hàm số về dạng phơng trình ẩn x.
Tìm điều kiện để phơng trình ẩn x có nghiệm, từ đó suy ra GTLN, GTNN
của hàm số.
Lê Diễm Hơng Toán Tin Trờng THPT Nga Sơn Thanh Hoá
www.VIETMATHS.com
Ví dụ: Tìm GTLN, GTNN của hàm số:
1
1
2
2
++
+
=
xx
x
y
Gợi ý: Gọi T là miền giá trị của hàm số trên, thì
Ty
Phơng trình
1
1
2
2

++
+
xx
x
= y có
nghiệm
Rx

(1).
Ta có :
( )
( )
( ) ( )
2011
111
2
22
=++
++=+
yỹxy
xxyx
y = 1: (2) trở thành x = 0. Suy ra PT (1) có nghiệm x = 0 . Suy ra : y = 1 (a).

1y
: (2) có nghiệm

( )
( )
byyy
yy

2
3
2
0483
014
2
2
2
+
=


Với (a) và (b) cho
2
3
2
y
. Miền giá trị của hàm số là T=[2/3; 2]
Vậy : Maxy = 2, Min y =2/3 (có thể tính đợc x là nghiệm kép của PT (2) ứng với y = 2;
y = 2/3).

Chủ đề iv: đờng tiệm cận của đồ thị hàm số
Soạn: 25/09/09
Dạng 1: áp dụng định nghĩa tìm tiệm cận
Phơng pháp:
Đờng thẳng y = a đợc gọi là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số nếu:

axf
x
=

+
)(
lim
hoặc
axf
x
=

)(
lim
Đờng thẳng x = x
0
đợc gọi là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số nếu :

+=


)(
lim
0
xf
xx
hoặc
+=
+

)(
lim
0
xf

xx
hoặc
=
+

)(
lim
0
xf
xx
hoặc
=


)(
lim
0
xf
xx
Đờng thẳng y = ax + b , đợc gọi là tiệm cận xiên của đồ thị hàm số nếu:

( ) ( )
[ ]
baxxf
x
+
+
lim
hoặc
( ) ( )

[ ]
baxxf
x
+

lim
. Có thể áp dụng công thức:
a =
( )
[ ]
axxfb
x
xf
xx
=

limlim
;
)(
(nếu a = 0 thì ta có tiệm cận ngang)
Ví dụ 1: Tìm tiệm cận ngang và tiệm cận đứng của các đồ thị hàm số sau:
Lê Diễm Hơng Toán Tin Trờng THPT Nga Sơn Thanh Hoá
www.VIETMATHS.com
a)
2
12
+

=
x

x
y
; b)
x
x
y
1
2
+
=
Gợi ý:
a)
2
12
+

=
x
x
y
+ D = R \ {-2}
+ Vì :
2
lim
=
+
y
x
nên đờng y = 2 là tiệm cận ngang.

=
+

y
x
lim
2
nên đờng thẳng x = -2 là tiệm cận đứng.
b)
x
x
y
1
2
+
=
+ D = R \ {0}
+ Ta có :
1
1
1
1
1
2
2
limlim
lim
=+=
+
=

++
+
x
x
x
x
xx
x
y
Do đó đờng thẳng y = 1 là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số.
+ Tơng tự :
1
1
1
1
1
2
2
limlim
lim
=+=
+
=


x
x
x
x
xx

x
y
, do đó đờng thẳng y = -1 là
tiệm cận ngang của đồ thị hàm số.
+ Vì :
=+=
+

yy
xx
limlim
00
;
, nên đờng thẳng x = 0 là tiệm cận đứng của đồ thị
hàm số.
Ví dụ 2: Tìm tiệm cận xiên của đồ thị hàm số sau:
( )
1
2
3

=
x
x
xf
Gợi ý:
Cách 1:
( )
11
22

3

+=

=
x
x
x
x
x
xf
Đồ thị hàm số có đờng thẳng y = x là tiệm cận xiên vì :
( )
[ ]
0
1
2
limlim
=

=

x
x
xxf
xx
Cách 2: Ta có:
Lê Diễm Hơng Toán Tin Trờng THPT Nga Sơn Thanh Hoá
www.VIETMATHS.com

( )
( )
( )
[ ]
0
11
1
1
22
3
2
3
limlimlim
limlim
=

=










==
=

==
+++
++
x
x
x
x
x
xxfb
xx
x
x
xf
a
xxx
xx
Đờng thẳng y = x là tiệm cận xiên của đồ thị hàm số
Ví dụ 3: Tìm các đờng tiệm cận của đồ thị hàm số sau:
a)
1
12
2
+
+
=
x
x
y
; b)
3

32
4 xxy =
Gợi ý:
a)
1
12
2
+
+
=
x
x
y
+ D = R nên đồ thị không có tiệm cận đứng
+
2
1
1
1
2
1
1
1
2
1
1
12
22
2
2

limlimlimlim
=
+






+
=
+






+
=






+
+
=
++++

x
x
x
x
x
x
x
x
x
y
xxxx
Suy ra đồ thị có tiệm cận ngang về bên phải là đờng thẳng y = 2
+
2
1
1
1
2
1
1
1
2
1
1
12
22
2
2
limlimlimlim
=

+






+
=
+






+
=






+
+
=

x
x

x
x
x
x
x
x
x
y
xxxx
Suy ra đồ thị có tiệm cận ngang về bên trái là đờng thẳng y = - 2
b)
3 32
4 xxy =
+ D = R nên đồt thị hàm số không có tiệm cận đứng.
Ta có:
+
11
44
limlimlim
3
3
32
==

==
+++
x
x
xx
x

y
a
xxx
+
( )
(
)
(
)
3
332
2
3
32
332
3 32
44
4
4
limlimlim
xxxxxx
xxx
xxxaxyb
xxx
+
+
=+==
+++

3

4
11
4
1
4
4
11
4
1
4
4
3
2
3
3
2
3
2
2
limlim
=
+

=








+









=
++
xx
xx
x
x
xx
Lê Diễm Hơng Toán Tin Trờng THPT Nga Sơn Thanh Hoá
www.VIETMATHS.com
Vậy tiệm cận xiên là :

3
4
+= xy
Dạng 2: Biện luận số tiệm cận của đồ thị hàm số tuỳ theo m
Ví dụ 1: Biện luận theo m các đờng tiệm cận của đồ thị hàm số:
2
4
2
+
+
=
x
mxx
y

Gợi ý:
+ D = R \ {-2}
+ Ta có:
2
12
6
2
4
2
+
+
+=
+
+
=

x
m
x
x
mxx
y
Với : m + 12 = 0 hay m = -12. Hàm số có dạng suy biến : y = x 6(
2x
) đồ thị là một đờng thẳng nên không có tiệm cận.

12

m
:
0
2
12
lim
=
+
+
+
x
m
x
nên y = x 6 là tiẹm cận xiên.
Và
+=
+

y
x
lim
2
nên có tiệm cận đứng là x = -2
Ví dụ 2: Tuỳ theo m tìm các đờng tiệm cận của đồ thị hàm số :
mx
mxx
y
+

=
32
2
Gợi ý:
+ D = R \ {-m}
+
mx
mm
mxy
+
+
+=
22
322
2
+ Với :

=
=
1
0
m
m
đồ thị không có tiệm cận
Với :





1
0
m
m
đồ thị có một tiệm cận đứng : x = - m và một tiệm cận xiên : y = 2x
2m -3.
Dạng3: Tìm m để đờng tiệm cận thoả mãn một điều kiện cho trớc
Ví dụ 1: Tìm m để đờng
mx
mxx
y
+
++
=
2
có tiệm cận xiên đi qua điểm A(2; 0)
Gợi ý:

+ D = R \ {-m}
+
mx
m
mxy
+
++=
2
1
có đờng tiệm cận xiên nếu
0m
Lê Diễm Hơng Toán Tin Trờng THPT Nga Sơn Thanh Hoá
www.VIETMATHS.com
Phơng trình đờng tiệm cận xiên là d: y = - x + m +1(
0m
)
d đi qua A(2; 0)
1120
=++=
mm
ĐS : m = 1.
Ví dụ 2: Cho hàm số :
2
1
2


=
x
xx

y
có đồ thị (C).
Tìm điểm A trên (C) sao cho tổng khoảng cách từ A đến 2 đờng tiệm cận của (C) là nhỏ
nhất.
Gợi ý:
2
1
1
2
1
2

++=


=
x
x
x
xx
y
Hàm số có tiệm cận d
1
: x = 2
d
2
: y = x + 1 hay : x y + 1 = 0
Điểm

++
2
1
1;
0
00
x
xxA
( )
C

Khoảng cách từ A đến d
1
là
2
01
=
xh
Khoảng các từ A đến d
2
là
22
1

2
1
0
00
2

=
+
=
x
yx
h
h
1
, h
2
> 0 nên áp dụng BĐT Cô si ta có:
4
4
2121
8
2
2
2
1
2.2 ===+ hhhh
Suy ra : h
1
+ h
2

nhỏ nhất khi h
1
= h
2
=
4
2
1
hay
=
2
0
x
4
2
1
4
4
0
4
0
2
2
1
3;
2
1
2 == yx
*Bài toán1: Tìm điều kiện để đồ thị hàm số cắt trục hoành tại3 điểm phân biệt(hoặc
phơng trình ax

3
+ bx
2
+ cx + d = o có 3 nghiệm pb) , thông thờng ta sử dụng các cách sau
đây:
Cách 1(ph ơng pháp đại số) Hoành độ giao điểm của đồ thị và trục hoành là nghiệm của
phơng trình: ax
3
+ bx
2
+ cx + d = o do đó:
Ta có ax
3
+ bx
2
+ cx + d = o (a
)0
<=> (x-

)( a
)
2
lexx ++
=0
<=>



=++=
=

0)(
2
lexaxxg
x

(*) ycbt <= > pt (*) có 2 nghiệm pb x


Lê Diễm Hơng Toán Tin Trờng THPT Nga Sơn Thanh Hoá
www.VIETMATHS.com
<= >




>
0)(
0
*

g
Chú ý: Khi đó điểm A
)0;(

là mộtđiểm cố định của đồ thị hàm số.
Cách2.Đồ thị hàm số cắt trục hoành tại 3 điểm pb

<=>

<
=
0)().(
0'
21
xyxy
y

* Bài toán2 Đồ thị hàm số cắt trục hoành tại 3 điểm pb có hoành độ dơng( hoặc ph-
ơng trình ax
3
+ bx
2
+ cx + d = o có 3 nghiệm dơng pb)
Cách1(ph ơng pháp đại số) Hoành độ giao điểm của đồ thị và trục hoành là nghiệm của
phơng trình: ax
3
+ bx
2
+ cx + d = o do đó:
Ta có ax
3
+ bx
2
+ cx + d = o (a
)0
<=> (x-

)( a

)
2
lexx ++
=0
<=>



=++=
>=
0)(
0
2
lexaxxg
x

(*) ycbt <= > pt (*) có 2 nghiệm dơng pb
x


<=>








>

>
>
0)(
0.
0
0

g
p
s
g
Cách2.Đồ thị hàm số cắt trục hoành tại 3 điểm pb có hoành độ dơng
<=>





<
<
=
0)(.
0)().(
0'
21
oya
xyxy
y

* Bài toán3 Đồ thị hàm số cắt trục hoành tại 3 điểm pb có hoành độ âm

( Hoặc phơng trình ax
3
+ bx
2
+ cx + d = o có ba nghiệm âm pb)
Cách1(Ph ơng pháp đại số) Hoành độ giao điểm của đồ thị và trục hoành là nghiệm của
phơng trình: ax
3
+ bx
2
+ cx + d = o do đó:
Ta có ax
3
+ bx
2
+ cx + d = o (a
)0
<=> (x-

)( a
)
2
lexx ++
=0
Lê Diễm Hơng Toán Tin Trờng THPT Nga Sơn Thanh Hoá

Có 2 nghiệm pb
21
, xx
2

x
1
x
Có 2 nghiệm pb
0,0
21
>> xx
www.VIETMATHS.com
<=>



=++=
<=
0)(
0
2
lexaxxg
x

(*) ycbt <= > pt (*) có 2 nghiệm âm pb
x


<=>

>
<
>
0)(
0.
0
0

g
p
s
g
Cách2 .Đồ thị hàm số cắt trục hoành tại 3 điểm pb có hoành độ âm
<=>





<
<
=
0)(.
0)().(
0'
21
oya

xyxy
y
Chú ý: Nếu bài toán yêu cầu: Tìm giá trị của tham số để phơng trình ax
3
+ bx
2
+ cx + d
= o (*)
1. Có 3 nghiệm phân biệt
2. Có 3 nghiệm dơng pb
3. Có 3 nghiệm âm pb
Thì ta có thể sử dụng phơng pháp hám số :
- Đa phơng trình (*) về dạng: f(x)= h(m)
- Lập bảng biến thiên của hàm số y=f(x) ( Trên khoảng (
);+
hoặc trên khoảng
);( +o
hoặc trên khoảng
)0;(
) tuỳ theo yêu cầu của bài toán là 1, 2 hay3.
- Từ bảng biến thiên suy ra giá trị cần tìm của tham số.
Bài toán4 Đồ thị hàm số cắt trục hoành tai 3 điểm có hoành độ
321
,, xxx
cách đều
nhau.(Lập thành cấp số cộng)
Cách1. (PP đại số)
*ĐK cần : Hoành độ giao điểm là nghiệm của phơng trình ax
3
+ bx

2
+ cx + d = o (*)
Giả sử pt(*) có 3 nghiêm
321
,, xxx
cách đều nhau ,khi đó ta có





=++
=+
a
b
xxx
xxx
321
231
2
<=>
a
b
x
3
2
=
Thay
a
b

x
3
2
=
vào phơng trình (*) ta tìm đợc tham số?
*ĐK đủ: Thay giá trị của tham số vừa tìm đợc vào phơng trình (*) , giải pt(*) tìm ra
nghiểmồi kết luận.
Cách2: Đồ thị cắt trục hoành tại 3 điểm cáchđều nhau khi và chỉ khi điểm uốn thuộc trục
hoành( Vì điểm uốn là tâm đối xứng của đồ thị)
Lê Diễm Hơng Toán Tin Trờng THPT Nga Sơn Thanh Hoá
Có 2 nghiệm pb
0,0
21
<< xx
www.VIETMATHS.com
ta có x
a
b
3
0
=
là hoành độ điểm uốn
=>y(-
a
b
3
)=0 => Giá trị của tham số
8. Với Đờng thẳng (d) đi qua điểm I(
);
11

yx
và có hệ số góc m tiếp xúc với
đồ thị hàm số y=f(x) = ax
3
+ bx
2
+ cx + d (C)
- lập pt đờng thẳng (d): y=m(x-
11
) yx
+
- Đờng thẳng (d) tiếp xúc với ( C ) <= > hệ pt sau có nghiệm





=++
+=+++
mcbxax
yxxmdcxbxax
23
)(
2
11
23
- Sử dụng pp thế để tìm ra hệ số góc m rồi thay vào phơng trình đờng thẳng(d) ta đợc
đờng thẳng cần tìm.
Chú ý : Đờng thẳng (d) trong trờng hợp này cũng chính là tiếp tuyến của đồ thị hàm
số. Do đó có thể sử dụng pp trên để giải bài toán viết pt tiếp tuyến với ( C) đi qua

điểm I(
);
11
yx
cho trớc.
9. Đồ thị hàm số y=f(x)= ax
3
+ bx
2
+ cx + d (C) tiếp xúc với đờng thẳng y=kx+m
Khi và chỉ khi hệ phơng trình sau có nghiệm:





=++
+=+++
kcbxax
mkxdcxbxax
23
2
23
Đặc biệt, Đồ thị hàm số tiếp xúc với trục hoành có thể sử dụng một trong 2 cách sau
Cách1. Đồ thị ( C ) tiếp xúc với trục hoành khi và chỉ khi hệ phơng trình sau có nghiệm :



=
=

0'
0
y
y
( Vì phơng trình của trục hoành là y=0)
Cách2.( PP đại số) Hoành độ giao điểm là nghiệm của pt: ax
3
+ bx
2
+ cx + d =0
<= >(x-



=++=
=
=++
(*)0)(
0))(
2
2
lexaxxg
x
lexax


Ycbt <=> pt(*)có một nghiêm

=x
hoặc có nghiệm kép x

<= >









=
=
0)(
0
0)(


g
g
g
10. Đồ thị hàm số cắt trục hoành tại một điểm duy nhất ( phơng trình ax
3
+ bx
2
+ cx + d
=0)
Khi và chỉ khi hàm số đồng biến( Nghịch biến) trên

hoặc đồ thị hàm số có hai cực trị
nằm về một phía đối với trục hoành
Lê Diễm Hơng Toán Tin Trờng THPT Nga Sơn Thanh Hoá