Giới hạn dãy số + hàm số ( tong hop)

CHƯƠNG IV : GIỚI HẠN ( colect + edited by namkep )

A: Giới hạn dãy số: Kiến thức cần nhớ:
Định lý1: Nếu một dãy số có giới hạn thì nó bị chặn.
Định lý2:Nếu một dãy số có giới hạn thì giới hạn đó là duy nhất.
Định lý3: (Điều kiện đủ để dãy số có giới hạn) (Định lý Vaiơstrat).
Một dãy số tăng và bị chặn trên thì có giới hạn.
Một dãy số giảm và bị chặn dưới thì có giới hạn.
Định lý4: (Giới hạn của một dãy số kẹp giữa hai dãy số dần tới cùng một
giới hạn). Cho ba dãy số (u
n
), (v
n
), (w
n
).
Nếu
*
n N∀ ∈
ta có
n n n
v u w≤ ≤
và lim v
n
= lim w
n
= A thì lim u
n
= A.
Định lý5: (Các phép toán trên các giới hạn của dãy số).
Nếu hai dãy số

( ),( )
n n
u v
có giới thì ta có:
*
lim( ) lim lim ; lim( . ) lim .lim
lim
lim (lim 0) ; lim lim ( 0, )
lim
n n n n n n n n
n n
n n n n
n n
u v u v u v u v
u u
v u u u n N
v v
± = ± =
= ≠ = ≥ ∀ ∈

Định lý6: Nếu
1`q thì<
lim 0
n
q =
Tổng của cấp số nhân vô hạn có công bội q với
1q <
là:
S=u
1

+u
2
+...+u
n
+...=
1
1
u
q−

( 1)q <
.Số e:
1
lim 1 2,71828
n
e
n
 
+ = ≈
 ÷
 
Định lý7: Nếu
*
lim 0( 0, )
n n
u u n N= ≠ ∀ ∈
thì
1
lim .
n

u
= ∞
Ngược lại, nếu
lim
n
u = ∞
thì
1
lim 0.
n
u
=
+ Bài tập giới hạn dãy sô :
Bài 1: Tìm các giới hạn :
2
1 2 5
1) lim sin 2) lim cos
3 4 1
n
n n n
+
− +
Giải : 1) Ta có
1 1
1) lim 0 lim sin sin0 0
n n
= ⇒ = =
2
2 2
2

2 5
2 5 2 5
2) lim cos lim 0 lim cos os0 1
4 1
3 4 1 3 4 1
3
n n
n n
c
n n n n
n n
+
+ +
= = ⇒ = =
− + − +
− +
Bài 2 : ( Sử dụng nguyên lí kẹp định lí 4 ) Tính các giới hạn :
2
1 5
1) lim sin(2 1) 2) lim os( 2 1)
2 3
n c n n
n n
+ + −
+
Giải :
1 1 1
1) sin(2 1) 1 0 sin(2 1) 0 lim sin(2 1) 0n n n
n n n
+ ≤ ⇒ ≤ + ≤ → ⇒ + =

2 2
2
5 5
2) os( 2 1) 1 0 os( 2 1) 0
2 3 2 3
5
lim os( 2 1) 0.
2 3
c n n c n n
n n
c n n
n
+ − ≤ ⇒ ≤ + − ≤ →
+ +
⇒ + − =
+
Bài 3 : Tính các giới hạn :
3 2 2 3 2
3 2 3 2 2
2 3 5 1 4 5 1 7 3 5 1
1)lim ; 2)lim ; 3)lim
3 2 4 3 5 2 4 1 2 4 3
n n n n n n n n
n n n n n n n n
− + − + − − + −
+ − + + + + − +
Giải : Chia cả tử và mẫu cho bậc cao nhất là n
3
ta được :

3 2
2 3
3 2
2 3
3 5 1
2
2 3 5 1 2
1)lim lim lim
2 4 3
3 2 4 3 3
3
n n n
n n n
n n n
n n n
− + −
− + −
= =
+ − +
+ − +
2
2 3
3 2
2 3
4 5 1
4 5 1 0
2)lim lim lim lim0
2 4 1
5 2 4 1 5
5

n n
n n n
n n n
n n n
+ −
+ −
= = =
+ + +
+ + +
3 2
2 3
2
2 3
3 5 1
7
7 3 5 1
3)lim lim
2 4 3
2 4 3
n n n
n n n
n n
n n n
− + −
− + −
= = ∞
− +
− +
.Tự rút ra nhận xét (hehe
Bài 4 : Tính các giới hạn : ( giới hạn có dấu căn )

2
2 2
4 5 3
1) lim 2) lim 3 3 3) lim 4 5 3 2
3 2
n n
n n n n n n
n
+ +
+ + − + + −
+
Giải :
2
2
2
5 3
4 5 3
4
4 5 3 2
1) lim lim lim
3 2 2
3 2 3
3
n n
n n
n n
n
n
n
n n

+ +
+ +
+ +
= = =
+
+
+
2 2
2
2
2
2
( 3 3 )( 3 3 )
2) lim 3 3 lim
( 3 3 )
3
3
3 3 3
lim lim lim
2
3 3
3 3
1 1
n n n n n n
n n n
n n n
n
n
n n n
n n

+ + − + + +
+ + − = =
+ + +
+
+
= = =
+ + +
+ + +
2 2
2
2
2
( 4 5 3 2 )( 4 5 3 2 )
3) lim 4 5 3 2 lim
4 5 3 2
3 3 3
lim lim
4
4 5 3 2
n n n n n n
n n n
n n n
n
n n n
+ + − + + +
+ + − =
+ + +
+
= =
+ + +

Bài 5 :Giới hạn trong CSC : Cho cấp số cộng : 1, 4, 7, 10…Tính
2
n
S
n
Giải : Với csc 1, 4, 7, 10… ta có u
1
=1 ; d=3  u
n
= 1 + 3(n-1)=3n-2
2 2
(1 3 2) (3 1) (3 1) 3 1 3
lim lim lim lim
2 2 2 2 2
n
n
n n n n S n n n
S
n n n
+ − − − −
= = ⇒ = = =
Bài 6 : Cho dãy số 2, 3, 5, 8, 12, 17 .... Tính lim u
n
/ n
2
( ĐS : ½)
Bài 7 : CSN lùi vô hạn) Tính
1 1 1
1 ....
3 9 27

S = − + − +
( ĐS : ¾ )
Bài 8: Tính tổng S=1.1 + 2x + 3x
2
+ 4x
3
+..... asb(x)<1
Bài 9:Giải pt: sinx – sin
2
x + sinx
3
– sin
4
x+.... =1/3
sin 1x <
. (ĐS sinx=1/2
Các bài tập không đáp án :
Bài tập 1: Tính các giới hạn:
2 1
1/ lim
2
n
n
+
+

2
2
3 1
2 / lim

4
n
n
+
+

5 1
3 / lim
3 2
n
n
−
+

2
2
2 3
4 / lim
2
n n
n n n
+ +
+ −
2
2 3
5.lim
1
n n
n n
+

+ +

( 1)(2 1)
6.lim
(3 2)( 3)
n n
n n
+ −
+ +

(2 )(3 )
9.lim
( 1)( 2)
n n n
n n
+
+ +
Bài tập 2: Tính các giới hạn:
2
2
2 1
1/ lim
1
n
n
−
+

2
2 5

2 / lim
2
n
n n
+
− +

3
2
2
3 / lim
3 2
n n
n n
−
+ −
( )
2 33
4 / lim n n n− +

2
3
2 1
5 / lim
3 2
n n
n
+ +
−

( )
3 23
6 / lim 2n n n− −
Bài tập 3: Tính các giới hạn:
2
2
1
1/ lim
2 3
n
n n
+
−

2 3
4
( 1) ( 2)
2 / lim
( 1)
n n
n n
+ +
−

( )
2 2
3 / lim 1n n n+ − +
2 33
4 / lim( 3n n n+ −
)

3
2
2 11 1
5 / lim
2
n n
n
− +
−

2 2
1
6 / lim
2 4n n+ − +
B. GIỚI HẠN CỦA HÀM SỐ : I/ KIẾN THỨC CƠ BẢN.
1.Giới hạn hữu hạn.
Giả sử (a;b) là một khoảng chứa điểm
0
x
và f là một hàm số xác định trên
khoảng (a;b) \x
0
. Khi đó
→
=
0
0
x x
lim f(x ) L
nếu

∀
n
d·y sè (x )
trong tập hợp
0
(a;b) \ x
mà
=
n 0
lim x x
,ta đều có
=
n
lim f(x ) L
.
b.Giới hạn vô cực.
( )
→ →
= +∞ = −∞
0 0
x x x x
lim f(x) hay lim f(x)
nếu

∀
dãy
∈
n
x
0

(a;b) \ x
mà
=
n 0
lim x x
, ta đều có
= +∞
n
lim f(x )
( )
= −∞
n
hay lim f(x )
.
2. Giới hạn hàm số tại vô cực.
+/ Giả sử ta có hàm số f xác định trên
+∞(a; )
. Ta nói rằng hàm số f có giới
hạn là số thực L khi x dần đến
+∞
nếu với mọi dãy
n
(x )
trong khoảng
+∞(a; )
mà
= +∞
n
lim x
,ta đều có

=
n
lim f(x ) L
.Ta viết
→+∞
=
x
lim f(x) L
.
3 .Một số định lý về giới hạn.
Định lý 1: Giả sử
→∞ →
= =
0
x x x
lim f(x) L vµ lim g(x) M
. Khi đó:
a/
[ ]
→
+ = +
0
x x
lim f(x) g(x) L M.
b/
[ ]
→
− = −
0
x x

lim f(x) g(x) L M.
c/
[ ]
( )
→ →
= =
0 0
x x x x
lim f(x).g(x) L.M ®Æc biÖt lim cf(x) cL.
d/
→
 
= ≠
 
 
0
x x
f(x) L
lim ,M 0
g(x) M
.
Định lý 2: Giả sử
→
=
0
0
x x
lim f(x ) L
, khi đó:
a/

→
=
0
x x
lim f(x) L
. b/
→
=
0
3
3
0
x x
lim f(x ) L
.
c/ Nếu
≥ ∀ ∈
0
f(x) 0 x J \ {x }
,trong đó J là một khoảng nào đó chứa điểm x
0

thì
→
≥ =
0
0
x x
L 0 vµ lim f(x ) L
.

4. Giới hạn một bên. +/ Giả sử hàm số f xác định trên khoảng
0
(x ;b)
.Ta
nói hàm số f có giới hạn bên phải là L khi x dần đến
0
x
(hoặc tại điểm
0
x
),nếu với mỗi dãy
n
(x )
trong khoảng
0
(x ;b)
mà
=
n 0
lim x x
,ta đều có
=
n
lim f(x ) L
. +/ Định nghĩa tương tự cho
−
→
=
0
x x

lim f(x) L
.
+/ Hàm số có giới hạn tại
0
x
và
→
=
0
x x
lim f(x) L
tồn tại
+
→
0
x x
lim f(x)
,
−
→
0
x x
lim f(x)
và
+ −
→ →
= =
0 0
x x x x
lim f(x) lim L

.
5. Một vài quy tắc tìm giới hạn vô cực.
+/ Nếu
→
= +∞
0
x x
lim f(x)
thì
→
=
0
x x
1
lim 0
f(x)
.
+/ Quy tắc 1. Nếu
→ →
= ±∞ = ≠
0 0
x x x x
lim f(x) vµ lim g(x) L 0
,thì
[ ]
→
0
x x
lim f(x).g(x)

cho bởi bảng sau:
→
0
x x
lim f(x)
Dấu
của L
[ ]
→
0
x x
lim f(x).g(x)
+∞
+
+∞
+∞
-
−∞
−∞
+
−∞
−∞
-
+∞
Quy tắc 2:
→
= ≠
0
x x
lim f(x) L 0

và
→
= ≥ ≤
0
x x
lim g(x) 0 vµ g(x) 0 hoÆc g(x) 0
∀ ∈
0
x J \ {x }
, trong đó J làmộy khoảng nào đó chứa điểm
0
x
,thì
→
0
x x
f(x)
lim
g(x)
cho bởi bảng sau:
Dấu của L Dấu của f(x)
→
0
x x
f(x)
lim
g(x)
+ +
+∞
+ -

−∞
- +
−∞
- -
+∞
6. Một số dạng vô định
+ Dạng
0
0
: Cách khử : +/ Phân tích tử và mẫu thành tích để giải ước nhân tử
chung. +/ Nếu u(x) hay v(x) có chứa biến số dưới dấu căn thì có thể nhân cả
tử và mẫu với biểu thức liên hợp.
+Dạng
∞
∞
: + Chia cả tử và mẫu cho
k
x
,với k là số mũ cao nhất của biến số
x.(Hay phân tích tử và mẫu thành tích chứa nhân tử
n
x
rồi giản ước).
+/ Nếu u(x) và v(x) có chứa biến x tr dấu căn, thì đưa
k
x
ra ngoài (k là bậc
cao nhất của x trong căn) trước khi chia cả tử và mẫu cho lũy thừa của x.
+ Dạng
∞ − ∞

và dạng
∞0.
: +/ Nhân và chia với biểu thức liên hợp,nếu có
biểu thức chứa biến x dưới dấu căn hoặc quy đồng mẫu để đưa về cùng một
phân thức.
BÀI TẬP GIỚI HẠN HÀM SỐ
- Dạng 0/0 :
Bài 1 : Tính giới hạn :
2 3 2
2
1 1
2 2 3 2
1) lim 2)lim
1
3 2
x x
x x x x x
x
x x
→− →
− − − + −
+
− +
Giải : Ta có :
2
1 1 1
2 ( 1)( 2)
1) lim lim lim ( 2) 3
1 1
x x x

x x x x
x
x x
→− →− →−
− − + −
= = − = −
+ +
3 2 2 2
2
1 1 1
2 3 2 ( 1)( 2) 2
2)lim lim lim 2
( 1)( 2) 2
3 2
x x x
x x x x x x x x
x x x
x x
→ → →
− + − − − + − +
= = = −
− − −
− +
Bài 2:
2
1 2
3 1 2 5 1 3
1)lim 2) lim
1
3 2

x x
x x
x
x x
→ →
+ − − −
−
− +
Giải :
1 1 1
1
3 1 2 ( 3 1 2)( 3 1 2) 3( 1)
1)lim lim lim
1
( 1)( 3 1 2) ( 1)( 3 1 2)
3 3
lim
4
( 3 1 2)
x x x
x
x x x x
x
x x x x
x
→ → →
→
+ − + − + + −
= =
−

− + + − + +
= =
+ +
2
2
2 2
2 2
5 1 3 ( 5 1 3)( 5 1 3)
2) lim lim
3 2
( 3 2)( 5 1 3)
5( 2) 5 5
lim lim
6
( 1)( 2)( 5 1 3) ( 1)( 5 1 3)
x x
x x
x x x
x x
x x x
x
x x x x x
→ →
→ →
− − − − − +
=
− +
− + − +
−
= = =

− − − + − − +
Bài 3: Tính
3 3
1 2
2 1 1 2 5 2
1)lim 2)lim
1 2
x x
x x x
x x
→ →
− − − +
− −
Giải :
(
)
3
2
3
3
3
2 2
1 1
3 3
2 2 2 2
1 1
3 3 3 3
2 1 1
(2 1) 2 1 1
1

2 1 1
1)lim lim
1
( 1)( (2 1) (2 1) 1)
2( 1) 2 2
lim lim
3
( 1)( (2 1) (2 1) 1) (2 1) (2 1) 1
x x
x x
x
x x
x
x
x
x x x
x
x x x x x
→ →
→ →
 
− −
− + − +
 ÷
 ÷
−
− −
 
=
−

− − + − +
−
= = =
− − + − + − + − +
2) Tự giải ghi mỏi tay quá. Gợi ý nhân chia cho
2
3
3
(2 5) 2 2 5 4x x− − − +
Đáp số : -5/12.
- Dạng
∞ − ∞
:
Bài 4:
2 2
1) lim ( 2 3 ) 2) lim ( 4 2 2 2 )
x x
x x x x x x
→+∞ →+∞
+ + − + − −
Giải :
2 2
2
2
2
2
( 2 3 )( 2 3 )
1) lim ( 2 3 ) lim
( 2 3 )
3

2
2 3
lim lim 1
2 3
( 2 3 )
( 1 1)
x x
x x
x x x x x x
x x x
x x x
x
x
x x x
x
x
→+∞ →+∞
→+∞ →+∞
+ + − + + +
+ + − =
+ + +
+
+
= = =
+ + +
+ + +
2) Làm gần giống như trên. ĐS ½.
Bài 5 :
3
3 2 2 2

3
2 3 2
3
1
2 2
2 2
2
1/ lim ( ) ; 2 / lim(2 1 4 4 3) ; 3 / lim( )
1 3
4 / lim ; 5 / lim( 3 ) ; 6 / lim ( 1)
1
1
1 1
7 / lim ( 1 1) ; 8 / lim
3 2 5 6
x x x
x x x
x x
x x x x x x x x x
x x x x x
x
x
x x x x
x x x x
→+∞ →∞ ¬ ∞
→ →∞ →+∞
→−∞ →
+ − − − − − + −
 
− + − − +

 ÷
−
−
 
 
− + − + + +
 ÷
− + − +
 
Đáp số :
1 1
1/ ; 2 / ; 3 / ; 4 / 1 ; 5 /1 ; 6 / 0; 7 / 1 ; 8 / 2 ;
0
3 2
−∞

− −


- Dạng
∞
∞
:
Bài 5 : Tính các giới hạn :
2 3 5 2
2 3
2
2 3
1 1 2 1
1/ lim ; 2 / lim ; 3 / lim ;

2 3
2 1
2 3 1 ( 2)(2 1)(1 4 )
4 / lim ; 5 / lim
3 5 (3 4)
x x x
x x
x x x x x
x
x x
x x x x x
x x x
→−∞ →+∞ →∞
→∞ →∞
+ − + + + +
+
− +
+ + − + −
− + +
2 3 2
4 2
3
3
2 2
3
3 8 4 3 7 2 3
6 / lim ; 7 / lim ; 8 / lim ;
6 1 3 5
1
4 1 2 3

9 / lim ; 10 / lim
3 1
2 1
x x x
x x
x x x x x x
x x x x
x x
x x
x
x x
→∞ →∞ →∞
→∞ →∞
+ − + − + +
− + − +
− +
+ +
−
− +

1 2 8 2
1: ; 2 : ; 3 : ; 4 : ; 5: ; 6 : 0 ; 7 : ; 8 : 1;9 / ; 10 / 0
2 3 27 3
− ∞ +∞ − ∞ ± ±

Bài 6 : Tính các giới hạn :
2
2
2 3 1 4
1/ lim

4 1 2
x
x x x
x x
→∞
+ + + +
+ + −

2 2
9 1 4 2 1
2 / lim
1
x
x x x x
x
→∞
+ + − + +
−

Đáp sô : 1: -1 và 5 2: 1 và -1
or
To be continue on part 2. Gift for B1 ( happy wm VN )