Đại số tổ hợp ôn thi đại học

Đề tài nghiên cứu khoa học: Đại số tổ hợp

Dương Đình Chiến – GV Lạng Sơn
2
MỤC LỤC


Trang
Lời nói đầu
3
Chương I. Khái niệm mở đầu
4
A. Cơ sở lí thuyết
4
B. Phƣơng pháp giải toán
4
Vấn đề 1: Dùng Qui tắc nhân
4
Vấn đề 2: Dùng Qui tắc cộng
4
Chương II. Chỉnh hợp – Hoán vị
6
A. Cơ sở lí thuyết
6
B. Phƣơng pháp giải toán
7
Vấn đề 1: Nhận diện bản chất của vấn đề là chỉnh hợp khi yếu tố thứ tự là cốt lõi
7
Vấn đề 2: Xếp dặt n phần tử của một hoán vị
9
Vấn đề 3: Chứng minh một tính chất liên quan đến A và P

n

10
Chương III. Tổ hợp – Nhị thức Newton
16
A. Cơ sở lí thuyết
16
B. Phƣơng pháp giải toán
17
Vấn đề 1: Nhận diện bản chất vấn đề là tổ hợp khi yếu tố thứ tự không quan hệ
17
Vấn đề 2: Sử đụng quy tắc tƣơng ứng
22
Các sai lầm thƣờng gặp khi giải toán đại số tổ hợp
25
Vấn đề 3: Chứng minh một hệ thức bằng cách nêu ý nghĩa tổ hợp của vấn đề
26
Vấn đề 4: Chứng minh một hệ thức các
28
Vấn đề 5: Chứng minh một hệ thức bậc hai của
30
Vấn đề 6: Phƣơng trình, bất phƣơng trình chứa
32
Vấn đề 7: Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất
34
Vấn đề 8: Tìm hệ số của một luỹ thừa trong một biểu thức khai triển
36
Vấn đề 9: Tính tổng các
39
Vấn đề 10: Tính các tổng bằng phƣơng pháp đạo hàm và tích phân

41












r
n
k
n
C
k
n
C
k
n
C
k
n
C
k
n
C

Đề tài nghiên cứu khoa học: Đại số tổ hợp

Dương Đình Chiến – GV Lạng Sơn
3
LỜI NÓI ĐẦU


1. Lý do chọn đề tài
Toán học là môn khoa học có nhiều lợi thế để phát triển trí tuệ cho học sinh. Trong quá trình
giảng dạy môn toán, việc đƣa ra những phƣơng pháp giải cho từng dạng toán giúp cho việc giải
các bài toán đó trở nên dễ dàng và ngắn gọn hơn. Từ đó tạo sự hứng thú và say mê cho học sinh
khi học tập môn toán. Trong chƣơng trình toán ở trƣờng THPT, đại số tổ hợp là một nội dung
khó đối với học sinh. Các bài toán dễ sai khi xét thiếu tình huống, xét tình huống bị trùng lặp hau
không thấy đƣợc đây là bài toán chỉnh hợp hay tổ hợp … Tuy nhiên, các bài toán dạng này
thƣờng gắn liền với thực tiễn và rất thực tế, nên thƣờng gây đƣợc sự hứng thú trong học tập cho
học sinh. Chính vì vậy, việc hƣớng dẫn và đƣa ra phƣơng pháp giải cho các bài toán đại số tổ
hợp là hết sức cần thiết. Nó đòi hỏi ngƣời giáo viên phải không ngừng nâng cao trình độ và khả
năng sƣ phạm của mình.
Vì những lí do này tôi đã chọn đề tài về các phƣơng pháp giải các bài toán đại số tổ hợp cho
sáng kiến kinh nghiệm của mình. Tôi mong rằng với sáng kiến này sẽ là một tài liệu thiết thực
cho giáo viên và học sinh khi học về đại số tổ hợp, góp phần giúp các em đạt kết quả cao trong
các kì thi Tú tài và tuyển sinh vào các trƣờng Cao đẳng hay Đại học.

2. Mục đích, nhiệm vụ và đối tượng nghiên cứu
2.1 Mục đích nghiên cứu:
Phát hiện và hệ thống hóa những phƣơng pháp để giải các bài toán đại số tổ hợp ở trƣờng
THPT.
2.2 Nhiệm vụ nghiên cứu:
Tìm hiểu và đƣa ra các phƣơng pháp giải các nội dung chính của phần đại số tổ hợp.
2.3 Đối tượng nghiên cứu:

Học sinh lớp 11 và 12 khi học về phần đại số tổ hợp, cách tính đạo hàm và tích phân của
hàm số (tùy mức độ nhận thức của học sinh).

3. Phương pháp nghiên cứu:
Nghiên cứu lý luận: SGK và các tài liệu tham khảo liên quan đến đại số tổ hợp.

4. Cấu trúc của sáng kiến kinh nghiệm:
Mở đầu
Chƣơng I: Khái niệm mở đầu.
Chƣơng II: Chỉnh hợp – hoán vị.
Chƣơng III: Tổ hợp – Nhị thức Newton
Kết luận sáng kiến kinh nghiệm


Đề tài nghiên cứu khoa học: Đại số tổ hợp

Dương Đình Chiến – GV Lạng Sơn
4
Chương I. KHÁI NIỆM MỞ ĐẦU

A. CƠ SỞ LÝ THUYẾT
I. BỘ SẮP THỨ TỰ GỒM n PHẦN TỬ
Một dãy số hữu hạn gồm n phần tử viết dƣới dạng (a
1
, a
2
,…, a
k
,…, a
n

) gọi là một bộ sắp thứ
tự gồm n phần tử hay gọi tắt là bộ n sắp thứ tự
II. QUY TẮC CƠ BẢN CỦA PHÉP ĐẾM
1. Qui tắc nhân của phép đếm
Giả sử một hành động H gồm nhiều giai đoạn liên tiếp A, B, C,…Nếu ta có m cách khác
nhau để thực hiện giai đoạn A, một khi đã thực hiện xong A ta có n cách thực hiện giai đoạn B,
một khi đã thực hiện xong B ta có p cách thực hiện giai đoạn C …thì ta có tất cả cách
chọn để thƣc hiện hành động H.
2. Qui tắc cộng của phép đếm
Nếu r tập hợp A
1
, A
2
,… A
r
đôi một rời nhau lần lƣợt có số phần tử là n
1
, n
2
,… n
r
thì phần
hợp của các tập hợp này có số phần tử là n
1
+ n
2
+… + n
r
.

B. PHƢƠNG PHÁP GIẢI TOÁN

Vấn đề 1:
Dùng Qui tắc nhân
Để tính số cách xảy ra của một hành động phức tạp ta phân tích hành động đó thành các giai
đoạn đơn giản và áp dụng qui tắc nhân của phép đếm.
Ví dụ 1. Trong vòng đấu loại của một cuộc thi cờ vua có 2n ngƣời tham dự. Mỗi ngƣời
chơi đúng một bàn với ngƣời khác. Chứng minh rằng có 1.3.5…(2n -1) cách sắp đặt.
GIẢI
Xét n đấu thủ (cầm quân trắng chẳng hạn)
• Với ngƣời chơi thứ nhất, có 2n – 1 cách chọn đấu thủ của anh. Còn lại 2n – 2 ngƣời chƣa
đấu, nên
• Với ngƣời chơi thứ hai, có 2n – 3 cách chọn đấu thủ của anh. Còn lại 2n – 4 ngƣời chƣa
đấu
• Với ngƣời chơi thứ ba, có 2n – 5 cách chọn đấu thủ của anh
………………
• Với ngƣời thứ n chỉ có 1 cách chọn đối thủ duy nhất còn lại
Vậy có 1.3.5… (2n – 1 ) cách sắp đặt cuộc thi.

Vấn đề 2:
Dùng Qui tắc cộng

Nếu công việc thứ nhất có thể thực hiện theo m cách , công việc thứ hai có thể thực hiẹn theo
n cách và hai công việc này không thể đồng thời thực hiện thỉ có m + n cách để thực hiện một
trong hai công việc.
Ví dụ 1. Nếu thƣ viện có 85 quyển sách Toán và 63 quyển sách Lí thì một học sinh có
85 + 63 = 148
cách để mƣợn một quyển Toán hoặc Lí từ thƣ viện.
m n p
Đề tài nghiên cứu khoa học: Đại số tổ hợp

Dương Đình Chiến – GV Lạng Sơn
5
Ví dụ 2. Trong 2006 năm qua có bao nhiêu năm không phải là năm Tuất ?
GIẢI
Lấy năm Tuất 2006 làm mốc thời gian (t = 0) rồi ngƣợc dòng thời gian trở về quá khứ thì khi
số năm là bội của 12 là năm Tuất . Ta có tất cả = 167 năm Tuất
Còn lại 2006 – 167 = 1839 năm không phải là năm Tuất.

BÀI TẬP

1.1 Có bao nhiêu số chẵn , lớn hơn 5000 , gồm 4 chữ số khác nhau .
HD : Chữ số hàng ngàn 5 và chữ số hàng đơn vị là chẵn.
+ Có 3.5.8.7 = 840 số chẵn bắt đầu bằng chữ số lẻ.
+ Có 2.4.8.7 = 448 số chẵn bắt đầu bằng chữ số chẵn.
Vậy tổng cộng có 1288 số.
1.2 Giả sử là các số nguyên tố khác nhau. Hỏi có bao nhiêu ƣớc số của số
. ĐS: (k
1
+ 1) (k
2
+ 1 )… (k
n
+ 1) .

1.3 Từ các chữ số 1, 2, 3 có thể lập đƣợc bao nhiêu:
a) Số tự nhiên gồm có ba chữ số khác nhau;
b) Số tự nhiên gồm có hai chữ số khác nhau;
c) Số tự nhiên.
ĐS: a) 6 số; b) 6số; c) 15 số.

1.4 Có bao nhiêu số tự nhiên chẵn gồm 2 chữ số khác nhau đƣợc thành lập từ 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6.
Hướng dẫn: Gọi số cần tìm có dạng . Xét các trƣờng hợp của b ta có 13 số.
1. 5 Có tất cả bao nhiêu số có thể thành lập từ các chữ số 2,4,6,8 nếu
a) Số đó nằm từ 200 đến 600
b) Số đó gồm 3 chữ số
c) Số đó gồm 3 chữ số khác nhau.
ĐS : a) 32 b) 64 c) 24.
1.6 Có bao nhiêu số khác nhau nhỏ hơn 2.10 chia hết cho 3 có thể viết bởi các chữ số 0, 1, 2.
ĐS : 4373.












12
2006
n
ppp , ,,
21
12
12
.
n

k
kk
n
q p p p
ab
8
Đề tài nghiên cứu khoa học: Đại số tổ hợp

Dương Đình Chiến – GV Lạng Sơn
6
Chương II. CHỈNH HỢP - HOÁN VỊ

a. CƠ SỞ LÍ THUYẾT

I. KHÁI NIỆM VỀ GIAI THỪA
1. Định nghĩa: Với
Tích của n số tự nhiên liên tiếp từ 1 đến n đƣợc gọi là n - giai thừa. Ký hiệu: n!

* Quy ƣớc: 0! = 1 và 1! = 1

2. Tính chất
* * *
II. CHỈNH HỢP
1. Định nghĩa
Cho một tập A có n phần tử. Một chỉnh hợp n chập r (r n) của n phần tử là một bô sắp thứ
tự gồm r phần tử khác nhau lấy ra từ n phần tử đã cho.
2. Tính chất
Hai chỉnh hợp n chập r của n phần tử là khác nhau nếu
- Hoặc chúng có ít nhất một phần tử khác nhau
- Hoặc chúng gồm r phần tử nhƣ nhau nhƣng sắp xếp theo thứ tự khác nhau

3. Số chỉnh hợp chập r của n phần tử là
A = n(n – 1)(n – 2) (n – r + 1)
bằng tích của r số nguyên dƣơng liên tiếp
III. HOÁN VỊ
1. Định nghĩa
Một hoán vị của n phần tử khác nhau là một cách xếp đặt thứ tự n phần tử đó (nghĩa là một
chỉnh hợp n chập n ).
2. Số cách hoán vị n phần tử là P
n
= n! (nghĩa là bằng tích của n số dƣơng đầu tiên )










,1nn
! 1.2 nn
! ( 1)!.n n n
!
( 1)( 2)
!
( )
n
k k n n k
k

!
( 1)( 2)
( )!
n
n k n k n
nk
r
n
!
( )!
n
nk
Đề tài nghiên cứu khoa học: Đại số tổ hợp

Dương Đình Chiến – GV Lạng Sơn
7
B. PHƢƠNG PHÁP GIẢI TOÁN

Vấn đề 1:
Nhận diện bản chất của vấn đề là chỉnh hợp khi yếu tố thứ tự là cốt lõi
Ví dụ 1. Cho một đa giác lồi có 15 cạnh. Hỏi có bao nhiêu vectơ khác vectơ với điểm
đầu và điểm cuối là các đỉnh của đa giác?
GIẢI
Đa giác lồi có 15 cạnh nên có 15 đỉnh, hai đỉnh thì luôn phân biệt nhau và cứ 3 đỉnh thì
không thẳng hàng. Do đó ta lấy 2 điểm tuỳ ý trong 15 điểm thì số vectơ lập đƣợc là một chỉnh
hợp chập 2 của 15 phần tử. Vậy số vectơ là: (vectơ)
Ví dụ 2. Có thể lập đƣợc bao nhiêu số với ba chữ số khác 0 cho trƣớc.
GIẢI
Mỗi số có r chữ số là một chỉnh hợp chập r của 3 số đã cho (r 3). Vậy có A số với 1 chữ
số , A số với 2 chữ số , A số với 3 chữ số . Tổng cộng có

A + A + A = 3 + 3.2 + 3.2.1 = 15 số .
Ví dụ 3. Trong một trƣờng đại học, ngoài các môn học bắt buộc, có 3 môn tự chọn, sinh
viên phải chọn ra 2 trong 3 môn đó, một môn chính và một môn phụ. Hỏi có mấy cách chọn?
GIẢI
Số cách chọn là chỉnh hợp chập 2 của 3 phần tử.Vậy có :
A = 3.2 = 6 cách chon.
Ví dụ 4. Với các chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5, có thể lập đƣợc bao nhiêu số chẵn, mỗi số gồm 5
chữ số khác nhau.
GIẢI
- Ta sẽ chọn đƣợc một số nhƣ vậy bằng cách chọn một trong 3 chữ số chẵn 0, 2, 4 làm chữ số
hàng đơn vị rổi ghép với một chỉnh hợp chập 4 của 5 chữ số chƣa dùng đến có 3.A số nhƣ
vậy.
- Nhƣng ta phải loại các số bắt đầu bằng 0, số nhƣ vậy đƣợc lập bằng cách chọn một trong hai
số chẵn 2, 4 làm đơn vị rồi ghép thêm một chỉnh hợp chập 3 của 4 số khác 0 chƣa dùng đến, và
cuối cùng đặt số 0 trƣớc 4 số đó có 2.A số nhƣ vậy.
- Vậy có 3.A – 2.A = 5.4.3
2
.2 – 4.3.2
2
= 312 số.
Ví dụ 5. Với các chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 có thể lập đƣợc bao nhiêu số, mỗi số gồm 5 chữ
số khác nhau và trong đó nhất thiết phải có mặt chữ số 5,
GIẢI
- Ta sẽ đƣợc một số nhƣ vậy bằng cách lấy một chỉnh hợp chập 4 của 6 chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 6
rồi thêm chữ số 5 vào một vị trí bất kì Có 5A số nhƣ vậy.
- Nhƣng ta phải loại các số bắt đầu bằng 0, một số nhƣ vậy đƣợc thành lập bằng cách lấy một
chỉnh hợp chập 3 của 5 chữ số 1, 2, 3, 4,6 rổi xen chữ số 5 vào một vị trí bất kì và cuối cùng đặt
chữ số 0 trƣớc 4 chữ số đó Có 4A số nhƣ vậy.
- Vậy ta có 5A – 4A = 6.5
2

.4.3 – 5.4
2
.3 = 1560 số.
0
2
15
15!
15.14 210
(15 2)!
A
1
3
2
3
3
3
1
3
2
3
3
3
2
3
4
5
3
4
4
5

3
4
4
6
3
5
4
6
3
5
Đề tài nghiên cứu khoa học: Đại số tổ hợp

Dương Đình Chiến – GV Lạng Sơn
8
BÀI TẬP

2.1 Từ các chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 có thể lập đƣợc bao nhiêu số có 4 chữ số trong đó
a) Có một chữ số 1.
b) Có chữ số 1 và các chữ số dều khác nhau.
HD & ĐS :
a) Có cả thảy 4.7
3
= 1372 số trong đó có 3.7
2
= 147 số bắt đầu bằng 0. Còn lại
1372 – 147 = 1225 số.
b) Có tất cả 4A = 840 số trong đó có 3A = 90 số bắt đầu bằng 0. Còn lại 840 – 90 = 750 số.
2.2 Có bao nhiêu số có 4 chữ số khác nhau.
HD & ĐS : A – A = 4536.
2.3 Từ sáu chữ số 2, 3, 5, 6, 7, 9

a) Có bao nhiêu gồm 3 chữ số khác nhau có thể tạo ra ?
b) Trong đó có bao nhiêu số nhỏ hơn 400 ?
c) Có bao nhiêu số chẵn ?
d) Có bao nhiêu số lẻ ?
e) Có bao nhiêu số là bội số của 5 ?
ĐS : a) A = 120 b) 2A = 40 c) 2A = 40
d) 120 – 40 = 80 e) 1A = 20
2.4 Tìm tất cả các số nguyên dƣơng có 3 chữ số khác nhau
a) Có bao nhiêu số lớn hơn 700 ?
b) Có bao niêu số lẻ ?
c) Có bao nhiêu số chẵn ?
d) Có bao nhiêu xố chia hết cho 5 ?
ĐS : a) 3.8.9 = 216 b) 8.8.5 = 320
c) 9.8.1 + 8.8.4 = 256 d) 9.8.1 + 8.8.1 = 136.
2.5 Xét các biển số xe là dãy gồm 2 chữ cái đứng đầu và 4 chữ số đứng sau. Các chữ cái đƣợc
lấy từ 26 chữ cái A, B, …, Z. Các chữ số đƣợc lấy từ 0, 1, …, 9.
a) Có bao nhiêu biển số trong đó có ít nhất 1 chữ cái khác chữ O và các chữ số đôi một khác
nhau
b) Có bao nhiêu biển số có 2 chữ cái khác nhau đòng thời có đúng 2 chữ số lẻ và 2 chữ số lẻ
đó khác nhau.
ĐS a) 3 420 000 biển số b) 487 500 biển số.
2.6 Có bao nhiêu số dƣơng bé hơn 1000 mà mỗi số đều có các chữ số đôi một khác nhau.
ĐS : 738 số.
2.7 Từ X = {0, 1, 3, 5, 7} có thể lập đƣợc bao nhiêu số, mỗi số gồm 4 chữ số khác nhau và không
chia hết cho 5
ĐS : 54 số.
2.8 Từ 7 chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 có thể lập đƣợc bao nhiêu số chẵn mỗi số gồm 5 chữ số khác
nhau.
ĐS : 1260 số.

4
10
3
9
3
6
2
5
2
5
2
5
Đề tài nghiên cứu khoa học: Đại số tổ hợp

Dương Đình Chiến – GV Lạng Sơn
9
Vấn đề 2:
Xếp dặt n phần tử của một hoán vị

Ví dụ 1. Từ 3 chữ số 1, 2, 3 có thể tạo dƣợc bao nhiêu số gồm 3 chữ số khác nhau ?
GIẢI
Mỗi số gồm 3 chữ số khác nhau tạo ra từ 1, 2, 3 là một hoán vị của 3 phần tử. Vậy có :
P
3

= 3! = 6 số.
(các số đó là : 123, 132, 213, 231, 312, 321 )
Ví dụ 2. Ngƣời ta cần soạn một đề thi trắc nghiệm gồm 50 câu hỏi, chia thành 5 chủ đề,
mỗi chủ đề gồm 10 câu hỏi. Cần sắp xếp thứ tự 50 câu hỏi sao cho các câu cùng một chủ đề đứng
gần nhau, chủ đề 1 đứng đầu và chủ đề 2, 3 không đứng kề nhau.
Hỏi có bao nhiêu cách sắp xếp?
GIẢI
Chủ đề 2, 3 đứng tuỳ ý : trƣớc tiên, sắp theo chủ đề, đây là hoán vị của 4 chủ đề 2, 3, 4, 5,
có 4! cách . Tiếp theo sắp các câu trong từng chủ đề, mỗi chủ đề có 10! cách. Vậy có :
4!5.10! = 120.10! cách.
Chủ đề 2, 3 đứng kề nhau : Xem chủ đề 2 và 3 là một phần tử, ta có hoán vị của 3 phần tử
(2,3), 4, 5 hay (3, 2), 4.5 có : 2.3! cách. Tiếp theo sắp các câu trong từng chủ đề, có : 5.10! cách.
Nên có :
2.3!.5.10! = 60.10! cách.
Vậy số cách sắp theo yêu cầu là :
120.10! – 60.10! = 60.10! = 217 728 000 cách.
Ví dụ 3. Có 5 bi đỏ và 5 bi trắng có kính thƣớc khác nhau đôi một. Có bao nhiêu cách sắp
các bi này thành một hàng sao cho hai bi cùng mầu không đƣợc nằm kề nhau.
GIẢI
Xét một hộp đựng bi có 10 ô trống thẳng hàng, mỗi ô đƣợc đánh số từ 1 đến 10.
- Lấy 5 bi đỏ vào vị trí ô mang số chẵn 2, 4, 6, 8, 10 ta có5! cách. Sau đó lấy 5 bi trắng bỏ vào
5 vị trí còn lại ta cũng có 5! cách. Vậy trƣờng hợp này có 5!.5! cách
- Lập luận tƣơng tự lấy 5 bi đỏ bỏ vào các ô mang số lẻ, lấy 5 bi trắng bỏ vào ô số chẵn ta cũng
có 5!.5! cách.
Vậy số cách thoả mãn yêu cầu bài toán là :
2.5!.5! = 28 800 cách.
Ví dụ 4. a) Có bao nhiêu cách xếp n đại biểu ngồi quanh một bàn tròn.
b) Một thiếu nữ có n vỏ sò khác nhau. Hỏi có bao nhiêu cách xâu chúng thành một chuỗi.
c) Có bao nhiêu đa giác nhận n điểm phân biệt làm đỉnh.
GIẢI

a) Vị trí tƣơng đối giữa các đại biểu hoàn toàn không đổi nếu ta hoán vị vòng họ theo một
chiều nhất định (nghĩa là trong hoán vị vòng không có phần tử nào là phần tử cuối cùng, hoặc
phần tử đầu tiên). Vậy số cách sắp xếp là = ( – 1)!.
Ta có định lí : ''Số hoán vị vòng của n phần tử là P
n – 1
= ( – 1)! ''.
n
n!
n
n
Đề tài nghiên cứu khoa học: Đại số tổ hợp

Dương Đình Chiến – GV Lạng Sơn
10
b) Với cách xâu nhất định, khi ta lật xâu chuỗi sang bề khác (lật ngửa) ta lại đƣợc một cách
hoán vị khác mỗi cách xâu ứng với hai hoán vị vòng và có tất cả P
n - 1
= cách xâu.
c) Ta có thể hoán vị vòng các đỉnh theo cả hai chiều theo cả 2n cách khác nhau mà đa giác
vẫn không thay đổi số đa giác là .

BÀI TẬP

2.9 Có bao nhiếu số gồm đủ 6 chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5
HD : Có 6! số trong đó 5! số bắt đầu bằng số 0. Vậy có 6! – 5! = 720 số.
2.10 Có bao nhiêu cách xếp 7 học sinh đứng thành hàng ngang để chụp ảnh lƣu niệm, biết rằng
trong đó có 3 em không đứng xa nhau.
HD : Coi 3 bạn không đứng xa nhau lập thành một nhóm thì có 5! cách xếp đặt. Với mỗi cách
trên thì có 3! cách xếp nữa nếu hoán vị 3 bạn đó. Vậy có 5!.3! = 720
2.11 Trong phòng có 2 bàn dài, mỗi bàn có 5 ghế. Ngƣời ta muốn xếp chỗ ngồi cho 10 học sinh

gồm 5 nam và 5 nữ. Hỏi có bao nhiêu cách xếp chỗ ngồi nếu
a) Các học sinh ngồi tuỳ ý.
b) Các học sinh nam ngồi một bàn, học sinh nữ ngồi một bàn.
ĐS : a) 10! = 3 626 800 cách.
b) 2!.5!.5! = 28 800 cách.
2.12 Từ X = {1, 2, 3, 4,5, 6} thiết lập các chữ số khác nhau. Hỏi trong các số lập đƣợc có bao
nhiêu số mà hai chữ số 1 và 6 không đứng cạch nhau
ĐS : 480 số.
2.13 Xét các số gồm chín chữ số trong đó có 5 số 1 và 4 chữ số còn lại là 2, 3, 4, 5. Hỏi có bao
nhiêu số mà
a) Năm chữ số một xếp kề nhau.
b) Các chữ số đƣợc xếp tuỳ ý.
ĐS : a) 120 số b) 3024 sô.
2.14 Trong các chữ số 0, 1, 2, 3, 4 có thể lập đƣợc bao nhiêu số có 7 chữ số trong đó chữ số 4 có
mặt đúng 3 lần còn các chữ số khác có mặt đúng một lần.
ĐS : 720 số.

Vấn đề 3:
Chứng minh một tính chất liên quan đến A và P
n


Ví dụ 1. Tính tổng các số tự nhiên gồm 5 chữ số khác nhau đƣợc lập từ 1, 3, 4, 5, 6, 7, 8.
GIẢI
Gọi n = Số các số n là A = = 720 số.
Xét các chữ số hàng dơn vị, mỗi chữ số 1, 3, 4, 5, 7, 8 xuất hiện = 120 lần.
Vậy tổng các chữ số hàng đơn vị là :
120(1 + 3 + 4 + 5 + 7 + 8) = 120.28 = 3360.
Tƣơng tự, tổng các chữ số hàng chục là: 3360.10
tổng các chữ số hàng trăm là: 3360.10

2

2
1
2
!1n
2
!1n
r
n
54321
aaaaa
5
6
!1
!6
6
720
Đề tài nghiên cứu khoa học: Đại số tổ hợp

Dương Đình Chiến – GV Lạng Sơn
11
tổng các chữ số hàng ngàn là: 3360.10
3

tổng các chữ số hàng vạn là: 3360.10
4
.
Do đó S = 3360(1 + 10 + 10
2

+ 10
3
+ 10
4
) = 3360.11111 = 37 332 960.
Ví dụ 2. Có bao nhiêu số tự nhiên gồm 5 chữ số đều lớn hơn 4 và đôi một khác nhau. Tính
tổng các số trên.
GIẢI
Gọi n = và X = {5, 6, 7, 8, 9}
Số các số n chọn từ X là 5! = 120.
Xét các chữ số hàng đơn vị, do số lần xuất hiện của 5 loại chữ số bằng nhau nên mỗi chữ số
xuất hiện = 24 lần.
Vậy tổng các chữ số hàng đơn vị là :
24(5 + 6 + 7 + 8 + 9) = 24.35 = 840.
Tƣơng tự, tổng các chữ số hàng chục là: 840.10
tổng các chữ số hàng trăm là: 840.10
2

tổng các chữ số hàng ngàn là: 840.10
3

tổng các chữ số hàng vạn là: 840.10
4
.
Do đó S = 840(1 + 10 + 10
2
+ 10
3
+ 10
4

) = 840.11111 = 9 333 240.
Ví dụ 3. Chứng minh rằng tích = (n + 1)(n + 2) …(2n) chia hết cho tích = 1.3.5…(2n
–1). Tính thƣơng số.
GIẢI
Ta có (n!) = (2n)! = [1.3.5…(2n – 1)][2.4…(2n)]
= .2
n
.n! = 2
n
.
Ví dụ 4. GiảI bất phƣơng trình : A + 5A 21x
GIẢI
Điều kiện x N và x 3.
A + 5A 21x
+ 5 21x
x(x -1)(x – 2) + 5x(x – 1) 21x
(x -1)(x – 2) + 5(x – 1) 21 (do x 3 )
x
2
+ 2x – 24 0
–6 x 4.
Do x N và x 3 nên x = 3, x = 4 là nghiệm.
Ví dụ 5. Chứng minh rằng với n N và n 2 thì


54321
aaaaa
5
120
P

P
P
P
'P
P
3
x
2
x
3
x
2
x
!3
!
x
x
!2
!
x
x
2 2 2
23
1 1 1 1
.
n
n
A A A n
Đề tài nghiên cứu khoa học: Đại số tổ hợp

Dương Đình Chiến – GV Lạng Sơn
12
GIẢI
Ta có :
Cộng vế theo vế n – 1 đẳng thức trên ta đƣợc :

Ví dụ 6. Giải phƣơng trình : với x N
*
GIẢI

Vậy nghiện của phƣơng trình là : x = 2 và x = 3.
Ví dụ 7. Giải bất phƣơng trình : ( )
GIẢI
Điều kiện : n N và n 2. Ta có :

Do điều kiện n N và n 2 nên n {3, 4, 5}.
Ví dụ 8. Giải phƣơng trình P .A + 72 = 6(A + P ).
1
2
2
3
2
4
2
11
2
1 1! 1 1 1
2! 3.2 2 3
1 2! 1 1 1
4! 4.3 3 4

2!
1 1 1
.
!1
n
A
A
A
n
A n n n
2 2 2 2
2 3 4
1 1 1 1 1 1 1 1 1
1.
22
n
n
A A A A n n n
! 1 !
1
1 ! 6
xx
x
2
! 1 !
1
6 ! 1 ! 1 !
1 ! 6
6 1 ! 1 ! 1 !
6 1 ! 1 1 1 !

6 1 1
2
5 6 0
3
xx
x x x
x
x x x x
x x x x x
x x x
x
xx
x
1
22
15
.
n
n n n
P
P P P
2
2
4!
15
! 2 ! 1 !
4 3 2 !
15
1 ! 2 ! 1 !
43

15 7 12 15
8 12 0 2 6
n
n n n
n n n
n n n n
nn
n n n
n
n n n
x
2
x
2
x
x
Đề tài nghiên cứu khoa học: Đại số tổ hợp

Dương Đình Chiến – GV Lạng Sơn
13
GIẢI
Điều kiện x N và x 2

Ta có :

P .A + 72 = 6(A + P )
x! + 72 = 6
x!x(x – 2) + 72 = 6[x(x – 1) + 2x!]
(x
2

– x – 12)x! = 6(x
2
– x – 12)
(x
2
– x – 12)(x! – 6) = 0

: loại

Ví dụ 9. Gọi P
n
là số hoán vị của n phần tử. Chứng minh :
a) P
n
– P
n-1
= (n – 1)P
n-1
.
b) 1 + P
1
+ 2P
2
+ 3P
3
+ … + (n – 1)P
n-1
= P
n
.

GIẢI
a) Ta có : P
n
-P
n-1
= n! – ( n– 1)!
= n( n – 1)! – (n – 1)!
= (n – 1).(n – 1)!
= (n – 1).P
n-1
.
c) Từ kết quả trên, ta có :

Vậy : P
n
– P
1
=P
1
+ 2P
2
+ 3P
3
+ … + (n-1)P
n-1
P
n
= 1 + P
1
+ 2P

2
+ 3P
3
+ … + (n-1)P
n-1.




x
2
x
2
x
x
!2
!
x
x
!2
!2
!
x
x
x
06!
012
2
x
xx

3
3
4
x
x
x
3
4
x
x
2 1 1
3 2 2
4 3 3
11
(2 1)
(3 1)
(4 1)
( 1) .
n n n
P P P
P P P
P P P
P P n P
Đề tài nghiên cứu khoa học: Đại số tổ hợp

Dương Đình Chiến – GV Lạng Sơn
14
Ví dụ 10. Tìm các số âm trong dãy số x
1
, x

2
, …, x
n
với x
n
=
với P
n
là số hoán vị của n phần tử
GIẢI
Điều kiện n N \ {0}
Ta có x
n
=
Vậy x
n
< 0 ( do )

Do n = 1, 2, 3, … nên n = 1, n = 2.
Vậy 2 số cần tìm là x
1
=
x
1
=
Ví dụ 11. Chứng minh với mọi n N :
GIẢI
Theo bất đẳng thức Cauchy :
1 + 2 + 3 + … + n
Mà 1, 2, 3, …, n là một cấp số cộng nên

1 + 2 + 3 + … + n .
Do đó :
BÀI TẬP

2.15 Có bao nhiêu số có 3 chữ số khác nhau.Tính tổng của chúng.
ĐS : Có 648 số. Tổng của các số đó là 355 680.
2.16 Tính tổng S của tất cả các hoán vị của số 123456 và phân tích S thành thừa số nguyên tố.
ĐS : Tổng các hoán vị là 777 777 = 2
3
.3
3
.5.7
2
.11.13.37.
2.17 Tính các tổng
a) S = .
b) S’ = .
HD : a) S = [ 1.2 …r + 2.3 …(r +1) + … + ( n + m – r + 1)( n + m – r + 2) … (n + m)]
4
4
2
143
4
n
nn
A
PP
4!
43
143 143

!
2 ! 4 ! ! 4 !
n
nn
n
n n n n
143
4 3 0
4
nn
!0n
2
19 5
4 28 95 0
20 2
n n n
5.4 143 63
1 4 4
6.5 143 143 23
15 .
2 4.2 8 8
1
!.
2
n
n
n
1.2
n
n

1
2
nn
1 1 1
! ! !.
2 2 2
n
nn
n n n n
n n n n
1
r r r
n n n m
A A A
3 3 3
1
1 1 1
n n n m
A A A
Đề tài nghiên cứu khoa học: Đại số tổ hợp

Dương Đình Chiến – GV Lạng Sơn
15
– [ 1.2 …r + 2.3 …(r +1) + … + ( n – r )( n – r + 1) … (n – 1)]
= .
b) Tƣơng tự cho các
Cộng lại ta đƣợc :
S’ =
2.18 Chứng minh rằng :
2.19 Chứng minh :

2.20 Tìm số nguyên dƣơng n thoả mãn hệ thức
a)
b)
c)
d)
2.21 Gọi P
n
là số cách hoán vị n vật khác nhau.
a) Tìm hệ thức giữa P
n
và P
n– 1

b) Tính P
1
và suy ra biểu thức của P
n
c) Chứng minh định lí : "Số song ánh giữa hai tập X, Y cùng có n phần tử là P
n
= n!".
HD : a) P
n
= n P
n– 1
( Có n cách xen một phần tử thứ n vào n – 1 phần tử đã xếp thứ tự sẵn)
b) P
1
= 1, P
n
= n!.

2.22 Đặt

Tính S
n
+ T
n
, S
n

HD : S
n
+ T
n
=
=
= T
n
+ P
n– 1
– P
1



.
2.23 Có thể lập đƣợc bao nhiêu số lớn hơn 2000 với các số 0, 1, 2, 3, 4 mà không số nào lặp lại.
HD : Xét 2 trƣờng hợp
– Các số có 4 chữ số : Có 3 cách chọn chữ số hàng ngàn. Sau đó có cách chọn phần còn
lại có số
– Các số có 5 chữ số : Có 5! số trong đó có 4! số bắt đầu bằng 0 phải loại ra có

số
– Tổng cộng có 72 + 96 = 168 số





11
1
1
1
rr
n m n
AA
r
3
1 1 1 1
.
2 1 2 2
n
A n n n
3
1
nk
A
1 1 1 1 1
.
2 1 1 2n m n m n n
1
11

.
k k k
n n n
A A kA
2 1 2
.
n n n
n k n k n k
A A k A
3
20
n
An
54
2
18
nn
AA
21
3
nn
AA
10 9 8
9.
n n n
A A A
1 2 3
23
nn
S P P P nP

1 2 3nn
T P P P P
1 2 3
2 3 4 1
n
P P P n P
2 3 1nn
P P P P
11
1 ! 1
nn
S P P n
3
4
A
3
4
3. 72A
5! 4! 96
Đề tài nghiên cứu khoa học: Đại số tổ hợp

Dương Đình Chiến – GV Lạng Sơn
16
Chƣơng III. TỔ HỢP – NHỊ THỨC NEWTON

A. CƠ SỞ LÝ THUYẾT

I. TỔ HỢP
1. Định nghĩa
Cho n phần tử khác nhau. Một tổ hợp chập k của n phần tử là một tập con chứa k phần tử.

2. Số tổ hợp n chập k là :

3. Tính chất
a)
b)
c) (Hệ thức Pascal)
d)
e)
II. NHỊ THỨC NEWTON
1. Công thức : (n = 0, 1, 2, …)
Các hệ số của các lũy thừa với n lần lƣợt là 0, 1, 2, … đƣợc sắp thành từng
hàng của tam giác sau đây, gọi là tam giác Pascal :
1
1 1
1 2 1
1 3 3 1
1 4 + 6 4 1
1 5 10

10 5 1
. . . . . . . . . . . . . .
Số hạng thứ k+1 là .
2. Hệ Quả :

1 2 1
!
1.2.3 ! !
k
n
n n n n k
n
C
k k n k
k n k
nn
CC
0 1 1
1,
nn
n n n n
C C C C n
1
11
k k k
n n n
C C C
1
1
kk
nn
nk
CC

k
0 1 2
2
nn
n n n n
C C C C
0 0 1 1 1 0

n
n n n n
n n n
a b C a b C a b C a b
1
n
k n k k
n
k
C a b
k
n
C
n
ab
k n k k
n
C a b
0 1 2 2
1 1
nn
nn

n n n n
x C C x C x C x
Đề tài nghiên cứu khoa học: Đại số tổ hợp

Dương Đình Chiến – GV Lạng Sơn
17
B.PHƢƠNG PHÁP GIẢI TOÁN


Vấn đề 1:

Ví dụ 1. Đề thi trắc nghiệm có 10 câu hỏi, học sinh cần chọn trả lời 8 câu.
a) Hỏi có mấy cách chọn tùy ý ?
b) Hỏi có mấy cách chọn nếu 3 câu đầu là bắt buộc?
c) Hỏi có mấy cách chọn 4 trong 5 câu đầu và 4 trong 5 câu sau?
GIẢI
a) Chọn tùy ý 8 trong 10 câu đầu là tổ hợp chập 8 của 10 phần tử, có :
cách.
b) Vì có 3 câu bắt buộc nên phải chọn thêm 5 câu trong 7 câu còn lại đây là tổ hợp chập 5
của 7 phần tử, có :
cách.
c) Chọn 4 trong 5 câu đầu, có cách. Tiếp theo, Chọn 4 trong 5 câu sau, có cách.Vậy
theo quy tắc nhân có :
cách.
Ví dụ 2. Từ 7 nam và 4 nữ ƣu tú, có bao nhieu cách thành lập một ban cán sự 6 ngƣời trong
đó:
a) Có đúng 2 nữ.
b) Có ít nhất 2 nữ.
c) Bạn A và bạn B không thể rời nhau
d) Bạn X và bạn Y không thể làm việc chung với nhau.

GIẢI
a) Có cách chọn 2 nữ sinh trong số 4 ngƣời, Có cách chọn 4 trong 7 nam sinh
cách chọn ban cán sự.
b) Có cách chọn 2 nữ 4 nam, Có cách chọn 3 nữ 3 nam. Có cách chọn
4 nữ 2 nam cách lập một ban cán sự có it nhất
2 nữ.
c) Có cách chọn ban cán sự chứa cả A và B.
Có cách chọn ban cán sự không chứa cả A và B.
Có cách chọn ban cán sự nếu A và B không chịu rời nhau.
d) Trong cách lập ban cán sự có cách nhận cả X và Y
Còn lại cách lập ban cán sự không đồng thời chứa X và Y
Ví dụ 3. Một đoàn tầu có 3 toa chở khách : toa I, II, III. Trên sân ga có 4 hành khách chuẩn
bị đi tầu. Biết rằng mỗi toa có ít nhất 4 chỗ trống. Hỏi :
a) Có bao nhiêu cách sắp 4 hành khách lên 3 toa.
b) Có bao nhiêu cách sắp 4 hành khách lên tầu để có 1 toa trong đó có 3 trong 4 vị khách.
8
10
10! 10.9
45
8! 10 8 ! 2
C
5
7
7! 7.6
21
5! 7 5 ! 2
C
4
5
C

4
5
C
2
44
55
5!
. 25
4!.1!
CC
2
4
C
4
7
C
24
47
. 6.35 210CC
24
47
.CC
33
47
.CC
42
47
.CC
2 4 3 3 4 2
4 7 4 7 4 7

. . . 6.35 4.35 1.21 371C C C C C C
4
9
C
6
9
C
46
99
126 84 210CC
6
11
C
4
9
C
64
11 9
462 126 336CC
Nhận diện bản chất của vấn đề là tổ hợp khi yếu tố thứ tự không quan hệ
Đề tài nghiên cứu khoa học: Đại số tổ hợp

Dương Đình Chiến – GV Lạng Sơn
18
GIẢI
a) Mỗi khách có 3 cách lên toa I hoặc II hoặc III. Vậy số cách sắp 4 khách lên 3 toa là:
3.3.3.3 = 81 cách
b) Số cách sắp 3 khách lên toa I là : cách.
Số cách sắp 1 khách còn lại lên toa II hoặc III là : 2 cách.
Vậy nếu 3 khách ở toa I thì có : 4.2 = 8 cách.

Lập luận tƣơng tự nếu 3 khách ở toa II hoặc III cũng là 8 cách.
Vậy số cách thoả mãn yêu cầu bài toán là : 8 + 8 + 8 = 24 cách.
Ví dụ 4. Có 30 câu hỏi khác nhau gồm 5 câu khó. 10 câu trung bình và 15 câu dễ. Từ 30
câu đó có thể lập bao nhiêu đề kiểm tra, mỗi đề gồm 5 câu khác nhau, sao cho mỗi đề phải có 3
loại (khó, trung bình, dễ) và số câu dễ không ít hơn 2?
GIẢI
Số đề thi gồm 2 câu dễ 2 câu trung bình và 1 câu khó :

Số đề thi gồm 2 câu dễ 1 câu trung bình và 2 câu khó :

Số đề thi gồm 3 câu dễ 1 câu trung bình và 1 câu khó :

Vì các cách chọn đôi một khác nhau, nên số đề kiểm tra là :
23625 + 10500 + 22750 = 56 875.
Ví dụ 5. Một đội văn nghệ có 10 ngƣời trong đó có 6 nữ và 4 nam . Có bao nhiêu cách chia
đôi văn nghệ :
a) Thành 2 nhóm có số ngƣời bằng nhau và mỗi nhóm có số nữ bằng nhau.
b) Có bao nhiêu cách chọn 5 ngƣời trong đó không quá 1 nam.
GIẢI
a) Do mỗi nhóm có số ngƣời bằng nhau nên mỗi nhóm phai có 5 ngƣời.
Do số nữ bằng nhau nên mỗi nhóm phải có 2 nữ.
Vậy mỗi nhóm phải có 3 nữ 2 nam.
Số cách chọn là :
b) Số cách chọn 5 ngƣời toàn nữ là :
Số cách chọn 5 nữ và 1 nam là :
Vậy số cách chọn 5 ngƣời trong đó không quá 1 nam là : 6 + 60 = 66.
Ví dụ 6. Có 16 học sinh gồm 3 học sinh giỏi, 5 khá, 8 trung bình. Có bao nhiêu cách chia số
học sinh thành 2 tổ, mỗi tổ có 8 ngƣời, đều có 2 học sinh giỏi và ít nhất 2 học sinh khá
GIẢI
Vì mỗi tổ đều có học sinh giỏi nên số học sinh giỏi mỗi tổ là 1 hoặc 2

Vì mỗi tổ đều có ít nhất 2 học sinh khá nên số học sinh khá mỗi tổ là 2 hoặc 3
Do đó nếu xem số học sinh giỏi, khá, trung bình mỗi tổ là toạ độ một véctơ 3 chiều ta có 4
trƣờng hợp đối với tổ 1 là (1, 2, 5), (1, 3, 4), (2, 2, 4), (2, 3, 3).
3
4
4!
4
3!
C
22
15 10
15! 10!
. .5 5 23625.
2!.13!2!.8!
CC
22
15 5
15! 5!
.10. 10 10500.
3!.12!2!.3!
CC
3
15
15!
.10.5 50 22750.
3!.112!
C
32
64
6! 4!

. .5 120.
3!.3!2!.2!
CC
5
6
6C
4
6
6!
4 60
4!2!
C
Đề tài nghiên cứu khoa học: Đại số tổ hợp

Dương Đình Chiến – GV Lạng Sơn
19
Tƣơng ứng 4 trƣờng hợp đó đối với tổ 2 là (2, 3, 3), (2, 2, 4), (1, 3, 3), (1, 2, 5).
Ta tháy 2 trƣờng hợp bị trùng.Vậy chỉ có 2 trƣờng hợp là :
Trường hợp 1 :
Số cách chọn một tổ nào đó có 1 giỏi, 2 khá, 5 trung bình là :
Vậy tổ còn lại có 2 giỏi, 3 khá, 3 trung bình thoả mãn yêu cầu bài toán.
Trường hợp 2 :
Số cách chọn một tổ nào đó có 1 giỏi, 3 khá, 4 trung bình là :
Vậy tổ còn lại có 2 giỏi, 2 khá, 4 trung bình thoả mãn yêu cầu bài toán.
Do đó số cách chia học sinh thành 2 tổ thoả mãn yêu cầu bài toán là :

Ví dụ 7. Có 9 bi xanh, 5 bi đỏ, 4 bi vàng có kích thƣớc đôi một khác nhau. Có bao nhiêu
cách chỏn ra :
a) 6 viên bi trong đó có đúng 2 viên bi đỏ
b) 6 viên bi trong đó số bi xanh bằng số bi đỏ.

GIẢI
a) số cách chọn 2 bi đỏ :
số cách chọn 4 bi xanh hay vàng :
Vậy số cách chọn 6 bi có đúng 2 bi đỏ :

b) Số cách chọn 1 bi xanh, 1 bi đỏ, 4 bi vàng : 9.5.1 = 45.
Số cách chọn 2 bi xanh, 2 bi đỏ, 2 bi vàng :

Số cách chọn 3 bi xanh và 3 bi đỏ:

Vậy số cách chọn 6 viên bi trong đó số bi xanh bằng số bi đỏ :
45 + 2160 + 840 = 3045.
Ví dụ 8. Một hộp đựng 4 bi đỏ, 5 bi trắng và 6 bi vàng. Ngƣời ta chọn 4 bi từ hộp. Hỏi có
bao nhiêu cách chọn để số bi lấy ra không đủ 3 mầu.
GIẢI
Số cách chọn 4 bi bất kì trong 15 bi trên là :
Số cách chọn 2 bi đỏ, 1 bi trắng, 1 bi vàng là :
Số cách chọn 1 bi đỏ, 2 bi trắng, 1 bi vàng là :
Số cách chọn 1 bi đỏ, 1 bi trắng, 2 bi vàng là :
Vậy số cách chọn bi đủ 3 mầu là :


Do đó số cách chọn bi không đủ 3 mầu là :1365 – 720 = 645.

25
58
3. .CC
34
58
3. .CC

2 5 3 4
5 8 5 8
5! 8! 5! 8!
3. . 3. . 3 3780.
2!3!5!3! 3!2!4!4!
C C C C
2
5
C
4
13
C
23
5 13
5! 13!
. 7150.
2!3!4!9!
CC
222
9 5 4
9! 5! 4!
. . 2160.
2!7!2!3!2!2!
CCC
33
95
9! 5!
. 840.
3!6!3!2!
CC

4
15
1365C
2
4
.5.6C
2
5
4. .6C
2
6
4.5.C
2 2 2
4 5 6
4! 5! 6!
30. 24. 20 30 24 20 180 240 300 720
2!2! 2!3! 2!4!
C C C
Đề tài nghiên cứu khoa học: Đại số tổ hợp

Dương Đình Chiến – GV Lạng Sơn
20
BÀI TẬP

3.1 Một tổ có 12 học sinh. Thầy giáo có 3 đề kiểm tra khác nhau. Cần chọn 4 học sinh cho môi
đề kiểm tra. Hỏi có mấy cách chọn?
ĐS : Có cách.
3.2 Một học sinh phải trả lời 10 trong 13 câu hỏi kiểm tra :
a) Có bao nhiêu cách chọn?
b) Có bao nhiêu cách nếu 2 câu đầu là bắt buộc?

c) Có bao nhiêu cách nếu phải trả lời 1 trong hai câu đầu?
d) Có bao nhiêu cách nếu phải trả lời đúng 3 trong 5 câu đầu?
e) Có bao nhiêu cách nếu phải trả lời ít nhất 3 trong 5 câu đầu?
ĐS : a) b) c) d)
e) .
3.3 Có 12 học sinh ƣu tú. Cần chọn ra 4 học sinh để đi dự đại hội học sinh ƣu tú toàn quốc. Có
mấy cách chọn :
a) Tùy ý?
b) Sao cho 2 học sinh A và B không cùng đi?
c) Sao cho 2 học sinh A và B cùng đi hoặc cùng không đi?
ĐS : a) 495 cách b) 450 cách c) 225 cách.
3.4 Có 5 nhà toán học nam, 3 nhà toán học nữ và 4 nhà vật lí nam. Muốn lập 1 đoàn công tác có
3 ngƣời gồm cả nam lẫn nữ, cần có cả nhà toán học lẫn vật lí. Có bao nhiêu cách chọn.
ĐS : 90 cách
3.5 Có 5 tem thƣ khác nhau và 6 bì thƣ cũng khác nhau. Ngƣời ta muốn chọn ra 3 tem thƣ, 3 bì
thƣ và dán 3 tem thƣ đó lên 3 bì thƣ đã chọn. Mỗi bì thƣ chỉ có một tem thƣ. Hỏi có bao nhiêu
cách làm nhƣ vậy. ĐS : 1200 cách.
3.6 Một bộ bài 52 lá ; có 4 loại : cơ, rô, chuồn, bích mỗi loại 13 lá. Muốn lấy ra 8 lá trong đó
phải có đúng 1 lá cơ, đúng 3 lá rô và không quá 2 lá bích. Hỏi có bao cách?
ĐS : 39 102 206 cách.
3.7 Cho tập con gồm 10 phần tử khác nhau. Tìm số tập con khác rỗng chứa 1 số chẵn các phần
tử.
ĐS : 511.
3.8 Một hộp có 6 quả cầu xanh đánh số từ 1 đến 6,
5 quả cầu đỏ đánh số từ 1 đến 5,
4 quả cầu vàng đánh số từ 1 đến 4.
a) Hỏi có bao nhiêu cách lấy 3 quả cầu cùng mầu. 3 quả cầu cùng số.
b) Hỏi có bao nhiêu cách lấy 3 quả cầu khác mầu, 3 quả cầu khác mầu và khác số.
ĐS : a) Có 34 cách lấy 3 quả cầu cùng mầu ; Có 4 cách lấy 3 quả cầu cùng số
b) Có 120 cách lấy 3 quả cầu khác mầu ; Có 64 cách lấy 3 quả cầu khác mầu và khác số.

3.9 Xếp 3 bi đỏ có bán kính khác nhau và 3 bi xanh giống nhau vào một hộc có 7 ô trống.
a) Có bao nhiêu cách xếp khác nhau.
b) Có bao nhiêu cách xếp khác nhau 3 bi đỏ xếp cạnh nhau và 3 bi xanh xếp cạnh nhau.
ĐS :a) 840 cách b) 48 cách.
3.10 Một tập thể có 14 ngƣời gồm 6 nam và 8 nữ trong đó có An và Bình. Ngƣời ta muốn chọn
ra một tổ công tác gồm 6 ngƣời. Tìm số cách chọn trong mõi trƣờng hợp sau :’
a) Trong tổ phải có mặt cả nam lẫn nữ.
b) Trong tổ phải có một tổ trƣởng ,5 tổ viên , hơn nữa An và Bình không đồng thời có mặt
trong tổ ĐS : a) 2974 cách b) 15 048 cách.
44
12 8
34 650CC
10
13
286C
8
11
165C
9
11
2. 110C
37
58
. 80CC
3 7 4 6 5 5
5 8 5 8 5 8
. . . 276C C C C C C
Đề tài nghiên cứu khoa học: Đại số tổ hợp

Dương Đình Chiến – GV Lạng Sơn

21
3.11 Số 210 có bao nhieu ƣớc số.
ĐS : 16 số.
3.12 Một trăm số đƣợc đánh số 1, 2, …, 100 đƣợc bán cho 100 ngƣời. Có 4 giải thƣởng trong đó
có một giải độc đắc
a) Có bao nhiêu cách tặng giải?
b) Có bao nhiêu cách tặng giải nếu vé số 47 trúng giải độc đắc.
c) Có bao nhiêu cách tặng giải nếu vé số 47 là một trong các giải trúng .
d) Có bao nhiêu cách tặng giải nếu vé số 47 không trúng giải .
e) Có bao nhiêu cách tặng giải nếu vé số 47 và 19 đều trúng giải.
f) Nếu các vé số 19, 47 và 73 đều trúng giải.
g) Nếu các vé số 19, 47,73 và 97 đều trúng giải.
h) Nếu các vé số 19, 47,73 và 97 đều không trúng giải.
i) Nếu giải độc đắc rơi vao một trong các vé số 19, 47,73 và 97.
j) Nếu các vé số 19, 47 trúng giải còn các vé số 73 và 97 không trúng giải.
ĐS : a) 94 109 400 b) 941 094 c) 3 764 376 d) 90 345 024 e) 114 072
f) 2384 g) 24 h) 79 727 040 i) 3 764 376 j0 109 440.
3.13 Bảng chữ cái có 26 kí tự trong đó có 5 nguyên âm
a) Có bao nhiêu chữ gồm 5 kí tự trong đó có 3 phụ âm khác nhau và 2 nguyên âm khác nhau?
ĐS : 1 596 000
b) Trong đó có bao nhiêu chữ chƣá b? ĐS: 228 000
c) Trong đó có bao nhiêu chữ chƣá b và c? ĐS: 22 800
d) Trong đó có bao nhiêu chữ bắt đầu bằng b và chứa c? ĐS: 4560
e) Trong đó có bao nhiêu chữ bắt đầu bằng b và kết thúc bằng c? ĐS: 1140
f) Trong đó có bao nhiêu chữ bắt đầu bằng b và chứa a? ĐS: 18 240
g) Trong đó có bao nhiêu chữ chƣá a, b, c? ĐS: 9120
3.14 Cho A = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8}.
a) Có bao nhiêu tập con của A chứa 1 mà không chứa 2.
b) Có bao nhiêu số tự nhiên chẵn gồm 5 chữ số khác nhau mà không bắt đầu bởi 123 lập từ A
ĐS : a) 64 b) 3348 số.

3.15 Có 4 ngƣời Việt, 4 ngƣời Thái, 4 ngƣời Trung Quốc và 4 ngƣời Triều Tiên. Cần chọn 6
ngƣời đi dự hội nghị. Hỏi có mấy cách chọn sao cho :
a) Mỗi nƣớc đều có đại biểu?
b) Không có nƣớc nào có hơn 2 đại biểu?
ĐS : a) 4480 cách b) 4320 cách.
3.16 a) Có bao nhiêu số chẵn gồm 6 chƣ số khác nhau đôi một trong đó chữ số đầu tiên là chữ số
lẻ
b) Có bao nhiêu số gồm 6 chƣ số khác nhau đôi một trong đó có dúng 3 chữ số lẻ và 3 chữ
số chẵn
ĐS : a) 42 000 số b) 64 800 số.
3.17 Có bao nhiêu số tự nhiên gồm 7 chƣ số biết rằng chũ số 2 có mặt đúng 2 lần, chữ số 3 có
mặt đúng 3 lần còn các chữ số khác có mặt không quá một lần.
ĐS : 11 340 số.





Đề tài nghiên cứu khoa học: Đại số tổ hợp

Dương Đình Chiến – GV Lạng Sơn
22
Vấn đề 2:
Sử đụng quy tắc tƣơng ứng
Ví dụ 1. Cho n điểm trong mặt phẳng A
1
, A
2
, …, A
n

sao cho không có 3 điểm nào thẳng
hàng và nối tất cả tất cả các điểm đó lại với nhau từng cặp
a) Tính số N các đoạn thẳng có dƣợc.
b) Giả sử không có 2 đƣờng thẳng nào trong đó song song. Tính số giao điểm P khác với n
điểm trên.
c) Giả sử không có 3 đƣờng thẳng nào trong đó đồng qui tại một điểm khác với các điểm A
i
.
Tính số T các tam giác xác định bởi n đƣờng thẳng đó.
GIẢI
a) Mỗi cặp điểm không kể thứ tự trong n điểm A
i
xác định một đƣờng thẳng có N =
đƣờng thẳng.
b) Mỗi tổ hợp nối lại cho ta 3 giao điểm mới
có N =
Giao điểm khác với n điểm A
i
.
Cách 2: N = đƣờng thẳng cho giao điẻm. Nhƣng mỗi điểm A
i
có n – 1 đƣờng thẳng
đi qua nên có giao điểm trùng với A
i
Có giao điểm trùng với A
1
, A
2
, …, A
n

. Vậy
số giao điểm khác với n điểm là


c) Cứ 3 đƣờng thẳng xác định một tam giác Có tam giác. Nhƣng vì qua mỗi đỉnh A
i
có
n – 1 đƣờng thẳng nên có tam giác suy biến thành điểm A
i
Có tam giác suy biến
thành n điểm A
1
, A
2
, …, A
n
.
Vậy có tam giác xác định bởi n đƣờng thẳng đó
Ví dụ 2. Cho đa giác đều H có 20 cạnh. Xét các tam giác có 3 đỉnh lấy từ 3 đỉnh của H.
a) Có bao nhiêu tam giác nhƣ vậy? Có bao nhiêu tam giác có đúng 2 cạnh là 2 cạnh của H.
b) Có bao nhiêu tam giác có đúng 1 cạnh là cạnh của H? Có bao nhiêu tam giác không có
cạnh nào là cạnh của H
GIẢI
a) Số tam giác có 3 đỉnh lấy tử 3 đỉnh của H là :
A
4
A
3

Cứ mỗi đỉnh của H cùng với 2 đỉnh kề bên tạo

thành một tam giác có 2 cạnh là 2 cạnh của H. Các A
1
A
2
tam giác này không trùng nhau và không có cách
nào khác để tạo tam giác có 2 cạnh là cạnh của H.
Mà H có 20 đỉnh nên có đúng 20 tam giác tam giác có 2 cạnh là 2 cạnh của H
b) Xét các tam giác mà một đỉnh là A
1
. Để có đúng một cạnh là cạnh của H ta bỏ đi 4 cạnh A
1
A
2
,
A
2
A
3
, A
1
A
20
, A
20
A
19
. Vậy có đúng 16 tam giác mà đỉnh là A
1
và có đúng 1 cạnh là cạnh của H.
Mà H có 20 đỉnh, vậy số tam giác có đúng 1 cạnh là cạnh của H là : 20.16 = 320.

Do đó số tam giác không có cạnh nào là cạnh của H là : 1140 – (20 + 320) = 800

2
n
C
4
1 2 3
3
8
n
n n n n
C
2
n
C
2
N
C
2
1n
C
2
1n
nC
3
N
C
3
1n
C

3
1n
nC
3 3 3
N1
1
1 2 13 20
48
n
C nC n n n n n
3
20
20!
1140
3!17!
C
22
N1
1 2 3
8
n
n n n n
C nC
Đề tài nghiên cứu khoa học: Đại số tổ hợp

Dương Đình Chiến – GV Lạng Sơn
23
Ví dụ 3. Cho 5 điểm đồng phẳng sao cho các đƣờng thẳng nối các cặp điểm trong 5 điểm đó
không có 2 đƣờng thẳng nào song song, vuông góc, hay trùng nhau. Qua mỗi điểm ta vẽ các
đƣờng thẳng vuông góc với tất cả các đƣờng thẳng không đi qua nó. Không kể 5 điểm đã cho, số

giao điểm của các đƣờng thẳng vuông góc đó là bao nhiêu.
GIẢI
Gọi 5 điểm đó là A, B, C, D, E. Có đƣờng thẳng không đi qua A nên từ A vẽ đƣợc 6
đƣờng thẳng vuông góc với các đƣờng thẳng không đi qua A ; tƣơng tự từ B cũng vẽ đƣợc 6
đƣờng thẳng vuông góc với các đƣờng thẳng không đi qua B. Đáng nhẽ 2 nhóm đƣờng thẳng này
cắt nhau tại
6.6 = 36 điểm (không kể A và B), nhƣng vì có đƣờng thẳng không đi qua 2 điểm A, B
nên 3 đƣờng thẳng vuông góc với chúng vẽ từ A và 3 đƣờng thẳng vuông góc với chúng vẽ từ B
đôi một song song số giao điểm của 2 nhóm đƣờng thẳng trên chỉ còn 36 – 3 = 33 điểm. Có
cách chọn các cặp điểm nhƣ A, B Có 33.10 = 330 giao điểm của các đƣờng thẳng
vuông góc. Thế nhƣng cứ mỗi 3 điểm nhƣ A, B, C thì 3 đƣờng cao của tam giác ABC đồng qui
tại một điểm thay vì cắt nhau tại 3 điểm nên số giao điểm giảm đi 2. Vì có tam giác nhƣ
ABC nên số giao điểm giảm đi 10.2 = 20
Vậy số giao điểm của các đƣờng vuông góc đó là : 330 – 20 = 310.


BÀI TẬP
A
4
A
3

3.18 Trong một n giác lồi có
a) Bao nhiêu đƣờng chéo
b) Bao nhiêu giao điểm của các đƣờng chéo A
1
ĐS : a) b) A
2

3.19 Trong mặt phẳng cho 1 thập giác lồi. Xét các tam giác mà 3 đỉnh của nó là 3 đỉnh của thập
giác. Hỏi trong số các tam giác đó có bao nhiêu tam giác mà 3 cạnh của nó dều không phải là 3
cạnh của thập giác
ĐS : 50

3.20 Có p điểm trong mặt phẳng trong đó có q điểm thẳng hàng, số còn lại không có 3 điểm nào
thẳng hàng. Nối p điển đó lại với nhau. Hỏi :
a) Có bao nhiêu đƣờng thẳng?
b) Chúng tạo ra bao nhiêu tam giác.
ĐS : a)
b)
3.21 Cho p điểm trong không gian trong đó có q điểm đồng phẳng số còn lại không có 4 điểm
nào đồng phẳng. Dựng tất cả các mặt phẳng chứa 3 trong p điểm đó. Hỏi :
a) Có bao nhiêu mặt phẳng khác nhau
b) chúng tạo ra bao nhiêu tứ diện
ĐS : a) b)
3.22 Trong mặt phẳng cho n đƣờng thẳng đôi một cắt nhau và không có 3 đƣờng chéo nào đồng
qui. Hỏi chúng tạo thành :
2
4
6C
2
3
3C
2
5
10C
3
5
10C

3
2
nn
4
n
C
22
1 2 2
1
2
pq
p p q q
CC
33
1 2 2 2
6
pq
p p p q q q
CC
33
1
pq
CC
44
pq
CC
Đề tài nghiên cứu khoa học: Đại số tổ hợp

Dương Đình Chiến – GV Lạng Sơn
24

a) Bao nhiêu tam giác; b) Bao nhiêu n giác; c) Bao nhiêu tứ giác
ĐS : a) b) c)
3.23 Cho một n giác lồi P sao cho không có 2 đƣờng chéo nào sông song và không có 3 đƣờng
chéo nào không xuất phát từ cùng một đỉnh lại đồng qui. Gọi P
n
là tổng số các giao điểm của các
đƣờng chéo khác với các đỉnh, P
i
là số giao điểm đó ở bên trong đa giác và P
e
là số giao điểm đó
ở bên ngoài đa giác. Tính P
n
, P
i
, P
e
theo n.
HD : a) Tính P
n
. Có N = đƣờng chéo Có giao điểm. Trong đó mỗi đỉnh có n – 3
đƣờng chéo Có giao điểm trùng với các đỉnh. Còn lại :
P
n
= giao điểm.
b) Cứ mỗi đỉnh thì có 2 đƣờng chéo cắt nhau tại một điểm bên trong đa giác Có :
P
i
= giao đỉêm bên trong đa giác.
c) P

e
= P
n
– P
i
= .
3.24 Có 2 đƣờng thẳng song song (d
1
) và (d
2
). Trên (d
1
) lấy 15 điểm phân biệt. Trên (d
2
) lấy 15
điểm phân biệt. Hỏi có bao nhiêu tam giác có 3 đỉnh là các điểm đã lấy.
ĐS : 1485
3.25 Cho đa giác đều A
1
A
2
…A
2n
(n nguyên,n 2) nội tiếp trong đƣờng tròn (O). Biết rằng số
tam giác có đỉnh là 3 trong 2n đỉnh A
i
nhiều gấp 20 lần số hình chữ nhật có đỉnh là 4 trong 2n
đỉnhA
i
. Tìm n.

ĐS : n = 8.
3.26 Cho một tập hợp E có n phần tử và một tập hợp F có m phần tử. Có bao tổ hợp chập k .
a) Chứa duy nhất một phần tử của F
b) Chứa ít nhất một phần tử của F
ĐS : a) m b)
3.27 Cho n số khác nhau Gọi E
p
là tổ hợp chập p của n số này.
a) có bao nhiêu tổ hợp chập p chứa phần tử a
i
cho sẵn
b) Tính tổng S
p
của tất cả các số a
i
có trong các tổ hợp của E
p
(i = 1, 2, …, n)
c) Tính S = .
ĐS ; a) b) S
p
=
c) S =
3.28 Có bao nhiêu cách để chọn từ n số 1, 2, …, n ra m số sao cho trong đó có 2 số liên tiếp.
HD & ĐS : Ta tìm số cách chọn m số sao cho trong đó không có 2 số liên tiếp.
Xét song ánh f xác định bởi
nghĩa là .
Ta có và m số không chứa 2 số liên tiếp m số
khác nhau.
Có cách chọn m số b

i
từ các số 1, 2, …, n + 1 – m
Có cách chọn m số trong đó có 2 số lien tiếp.

3
n
C
1
1!
2
n
4
3
n
C
3
2
nn
2
N
C
2
3n
nC
2 2 2
N3
1
3 7 14
8
n

C nC n n n n
4
1 2 3
24
n
n n n n
C
1
345
12
n n n n
1k
nm
C
rr
n n m
CC
1 2 n
a ,a , ,a .
1 2 n
S S S
1
1
p
n
C
1
1 2 1
a a a
p

nn
C
1
12
a a a 2
n
n
1 2 n
a a a
i i i
b a a 1 if
1 1 2 2 3 3 m m
b a , b a 1, b a 2, , b a 1 m
mm
a n b n +1 m
1 2 n
a , a , , a
1 2 m
b , b , , b
m
n 1 m
C
mm
n n + 1 m
CC
Đề tài nghiên cứu khoa học: Đại số tổ hợp

Dương Đình Chiến – GV Lạng Sơn
25
CÁC SAI LẦM THƢỜNG GẶP KHI

GIẢI TOÁN ĐẠI SỐ TỔ HỢP

1. Không hiểu các từ dùng trong đề bài
Ví dụ ; Trong bài 3.10 có câu An và Bình không đồng thời có mặt nghĩa là loại bỏ trƣờng hợp
có An và có Bình, ta còn lại 3 trƣờng hợp : Có An không có Bình, có Bình không có An, không
có An không có Bình. Nếu đọc không kĩ, câu văn trên dễ hiểu thành "không có An không có
Bình" tức là "An và Bình đồng thời không có mặt".
2. Có những trường hợp bị trùng lặp, bị đếm 2 lần mà không biết
Ví dụ : Một lớp học có 20 học sinh gồm 14 nam, 6 nữ. Hỏi có bao nhiêu cách thành lập một
đội gồm 4 học sinh trong đó có ít nhất một nữ?
GIẢI
Chọn một nữ trong 6 nữ, có cách
Chọn thêm 3 học sinh trong số 19 học sinh còn lại, có cách.
Vậy có : cách.
Cách giải này sai ở chỗ giữa 2 lần chọn "1 nữ rồi 3 học sinh còn lại" có thể bị trùng lặp, bị
đếm 2 lần. Ví dụ : "chọn nữ A rồi 3 học sinh B, C, D" và "chọn nữ B rồi 3 học sinh A, C, D".
3. Có những trường hợp không liệt kê đủ, đếm thiếu mà không biết
Ví dụ : 5 nam sinh và 3 nữ sinh xếp vào 8 chỗ ngổi. Có bao nhiêu cách xếp sao cho không có
2 nữ sinh ngồi cạnh nhau?
GIẢI
Ta đánh số các chỗ ngồi từ 1 đến 8. Các trƣờng hợp có 2 nữ ngồi cạnh nhau ở các ghế số :
123, 234, 345, 456, 567, 678 : có 6 trƣờng hợp.
Chọn 3 ghế tuỳ ý cho 3 nữ là tổ hợp chập 3 của 8 phần tử, có cách.
Trừ các trƣờng hợp nêu trên ta còn : - 6 cách.
Xếp 3 nữ vào các ghế đã chọn, có : 3! cách.
Xếp 3 nam vào các ghế còn lại, có : 5! cách.
Vậy có : 5!3!( - 6) cách.
Cách giải này sai ở chỗ đếm thiếu các trƣờng hợp khi 2 nữ ngồi kế nhau khi 3 nữ ngồi ở các
ghế số 123, 124, 125, 126, 127, 128, 234, 235, 236, 237, 238, 345, 346, 347, 348, 456, 457, 458,
567, 568. 678 : có 21 trƣờng hợp

4. Không thấy rõ chỉnh hợp là "tổ hợp rồi hoán vị"
Ví dụ : Một cuộc khiêu vũ có 10 nam và 6 nữ, chọn có thứ tự 3 nam và 3 nữ để ghép thành 3
cặp. Hỏi có mấy cách chọn?
GIẢI
Chọn có thứ tự 3 nam trong 10 nam, có cách
Chọn có thứ tự 3 nữ trong 10 nữ, có cách
Vậy có cách
Cách giải trên sai ở chỗ không thấy đƣợc việc ghép thành cặp là một hoán vị và hàm ý "có
thữ tự" trong việc chọn đã bị tính đến 2 lần mà thực ra chỉ có một lần khi ghép cặp.
5. Xét phần bù sai
Với các bài toán tìm số cách chọn "thoả tính chất p"mà số cách chọn "không thoả tính chất p"
ít trƣờng hợp hơn ta thƣờng làm nhƣ sau;
Số cách chọn thoả p = số cách chọn tùy ý – số cách chọn không thoả p
1
6
C
3
19
C
13
6 19
.CC
3
8
C
3
8
C
3
8

C
3
10
A
3
6
A
33
10 6
AA
Đề tài nghiên cứu khoa học: Đại số tổ hợp

Dương Đình Chiến – GV Lạng Sơn
26
Khi làm cách này, sai sót dễ mắc phải là phát biểu mệnh đề không thoả tính chất p thiếu
chính xác.
Ví dụ : Một thầy giáo có 12 cuốn sách đôi một khác nhau, trong đó có 4 cuốn văn, 4 cuốn
nhạc, 5 cuốn hoá. Thầy muốn chọn ra 6 cuốn tặng cho 6 học sinh sao cho tặng xong mỗi thể loại
còn ít nhất 1 cuốn. Hỏi có mấy cách?
Trong ví dụ này, tính chất p là "mỗi thể loại đều còn" và không thoả tích chất p là "có ít nhất
một thể loại không còn".(Ta dễ hiểu sai thành "mỗi thể loại đều không còn").





Vấn đề 3

Ví dụ 1. a) Nêu ý nghĩa tổ hợp của hệ thức
b) Từ đó suy ra biểu thức của

GIẢI
a) Xét X = {1, 2, …, n}. Số tập con k phần tử chứa 1 là số tập con k phần tử chứa 2
(hoặc 3, hoặc 4, …, hoặc n) đều là . Nếu đếm kiểu này ta đƣợc tập con p phần tử của
X, nhƣng thực ra mỗi tập đã đƣợc đếm k lần chẳng hạn tập con (a
1
, a
2
, …, a
k
) đã đƣợc đếm khi
xét các tập con chứa a
1
, lại đƣợc đếm khi xét các tập chứa a
2
, … Vậy số gấp k lần con số
thực sự là các tập con k phần tử của X. Do đó
b) Từ trên ta có . Tƣơng tự ;

Nhân vế với vế rồi rút gọn ta đƣợc
Ví dụ 2. Chứng minh rằng:
GIẢI
Cách 1: Ta có

Đồng nhất hệ số của x
n – 1
ta đƣợc
1
1
kk
nn

kC nC
k
n
C
1
1
k
n
C
1
1
k
n
C
1
1
k
n
nC
1
1
k
n
nC
k
n
C
1
1
kk

nn
kC nC
1
1
kk
nn
n
CC
k
1
1
12
12
0
1
0
1
1
. . . . . . . . . .
1
1
1

kk
nn
kk
nn
k
n p n k
nk

n
CC
k
n
CC
k
nk
CC
C
1 1
!
k
n
n n n k
C
k
2
1
21
1
n
kn
nn
k
k C nC
21
1 2 1
1
21
1 1 1

1 1 1 =n
n n n
n n n
k k k n k k k
n n n
k k k
kC x C x n x x n x C x
2
1
21
1
n
kn
nn
k
k C nC
Chứng minh một hệ thức bằng cách nêu ý nghĩa tổ hợp của vấn đề