Nhị thức Newton ôn thi đại học

 minh tun — thpt mng bi ôn thi i hc

Trang 1





1
11
1/
/ /
/ Hoán v
Hoán vHoán v
Hoán v, chnh hp và t hp:
, chnh hp và t hp:, chnh hp và t hp:
, chnh hp và t hp:



Hoán vị Chỉnh hợp Tổ hợp
!
n
P n
=
, với
*
1
n
n

≥


∈

ℕ

!
( )!
k
n
n
A
n k
=
−
, với
*
1
,
k n
n k
≤ ≤


∈

ℕ

!

!( )!
k
n
n
C
k n k
=
−
, với
0
,
k n
n k
≤ ≤


∈

ℕ

!
k k
n n
A k C
=

! ( 1)( 2) 2.1
! ( 1)!
0! 1
n n n n

n n n
= − −
= −
=

1
1
n
A
=

!
n
n
A n
=

n
n n
P A
=

0
1
1 1
1
n
n n
n k k
n n

k k k
n n n
C C
C C
C C C
−
−
− −
= =
=
+ =

S
ố
cách x
ế
p
n
ph
ầ
n t
ử
vào
n
v
ị

trí
có
th

ứ
t
ự

S
ố
cách ch
ọ
n
k
ph
ầ
n t
ử
trong
n
ph
ầ
n t
ử

có
th
ứ
t
ự

S
ố
cách ch

ọ
n ra t
ậ
p h
ợ
p con g
ồ
m
k
ph
ầ
n t
ử
trong t
ậ
p h
ợ
p g
ồ
m
n

ph
ầ
n t
ử

không
th
ứ

t
ự


2
22
2/
/ /
/ Công th
Công thCông th
Công th

c n
c nc n
c nh
hh
h thc Newton:
 thc Newton: thc Newton:
 thc Newton:


* Công thức:
0 1 1 2 2 2 1 1
0
( )
n
n k n k k n n n n n n n
n n n n n n
k
a b C a b C a C a b C a b C ab C b

− − − − −
=
+ = = + + + + +
∑

* Tính chất:
- Trong khai tri
ể
n
( )
n
a b
+
có
( 1)
n
+
s
ố
h
ạ
ng
- T
ổ
ng s
ố
m
ũ
c
ủ

a
a
và
b
trong m
ỗ
i s
ố
h
ạ
ng b
ằ
ng
n

- S
ố
h
ạ
ng th
ứ

1
k
+
trong khai tri
ể
n nh
ị
th

ứ
c là:
1
k n k k
k n
T C a b
−
+
=
CúNG THỨC NHỊ THỨC NEWTON

 minh tun — thpt mng bi ôn thi i hc

Trang 2





I/ PHNG PHÁP GI
I/ PHNG PHÁP GII/ PHNG PHÁP GI
I/ PHNG PHÁP GII TOÁN
I TOÁNI TOÁN
I TOÁN


- S
ử
d
ụ

ng các công th
ứ
c v
ề
hoán v
ị
, ch
ỉ
nh h
ợ
p và t
ổ
h
ợ
p
- Chú ý cách bi
ế
n
ñổ
i d
ạ
ng:
! ( 1)!
n n n
= −
,
! ( 1)( 2)!
n n n n
= − −
,…

II/ VÍ D
II/ VÍ DII/ VÍ D
II/ VÍ D MINH HA
 MINH HA MINH HA
 MINH HA


VD 1:
Gi
ả
i các ph
ươ
ng trình sau:
a.
4 6 5
2
x x x
C C C
+ = b.
1 2 3 2
6 6 9 14
x x x
C C C x x
+ + = −
Giải
a.
ð
K:
6

x
x
≥


∈

ℕ

PT
! ! !
2.
4!( 4)! 6!( 6)! 5!( 5)!
x x x
x x x
⇔ + =
− − −


( 1)( 2)( 3) ( 4)( 5) 2( 4)
1 0
24 30 5
x x x x x x x
− − − − − −
 
⇔ + − =
 
 

2
7
( 4)( 5) 2( 4)
1 0 21 98 0
14
30 5
x
x x x
x x
x
=

− − −
⇔ + − = ⇔ − + = ⇔

=


K
ế
t h
ợ
p v
ớ
i
ñ
i
ề
u ki
ệ

n, ta có:
7
x
=
ho
ặ
c
14
x
=

b.
ð
K:
3
x
x
≥


∈

ℕ

PT
2 2
! ! !
6. 6. 9 14 3 ( 1) ( 1)( 2) 9 14
1!( 1)! 2!( 2)! 3!( 3)!
x x x

x x x x x x x x x x
x x x
⇔ + + = − ⇔ + − + − − = −
− − −


2 3 2 2 3 2 2
(3 3 ) ( 3 2 ) 9 14 9 14 0 ( 9 14) 0
x x x x x x x x x x x x x x
⇔ + − + − + = − ⇔ − + = ⇔ − + =


2
2
9 14 0
7
x
x x
x
=

⇔ − + = ⇔

=


K
ế
t h
ợ

p v
ớ
i
ñ
i
ề
u ki
ệ
n, ta có:
7
x
=

VD 2:
Gi
ả
i các b
ấ
t ph
ươ
ng trình sau:
a.
3 2
5 21 0
x x
A A x
+ − ≤
b.
2 2 3
2

1 6
10
2
x x x
A A C
x
− ≤ +

Giải
a.
ð
K:
3
x
x
≥


∈

ℕ

BPT
! !
5. 21 0 ( 1)( 2) 5 ( 1) 21 0
( 3)! ( 2)!
x x
x x x x x x x
x x
⇔ + − ≤ ⇔ − − + − − ≤

− −


3 2 2 3 2
( 3 2 ) (5 5 ) 21 0 2 24 0 ( 6)( 4) 0
x x x x x x x x x x x x
⇔ − + + − − ≤ ⇔ + − ≤ ⇔ + − ≤


4
x
⇔ ≤

K
ế
t h
ợ
p v
ớ
i
ñ
i
ề
u ki
ệ
n, ta có:
3
x
=
ho

ặ
c
4
x
=

D
DD
D
NG 1: PH
NG 1: PHNG 1: PH
NG 1: PH
NG TR
NG TRNG TR
NG TR
ÌNH, H
ÌNH, HÌNH, H
ÌNH, H
 P
 P P
 P
HNG TR
HNG TRHNG TR
HNG TR
ÌNH VÀ B
ÌNH VÀ BÌNH VÀ B
ÌNH VÀ B
T PHNG TR
T PHNG TRT PHNG TR
T PHNG TR

ÌNH
ÌNHÌNH
ÌNH




 minh tun — thpt mng bi ôn thi i hc

Trang 3

b.
ð
K:
3
x
x
≥


∈

ℕ

BPT
1 (2 )! ! 6 !
. . 10 (2 1) ( 1) ( 1)( 2) 10
2 (2 2)! ( 2)! 3!( 3)!
x x x
x x x x x x

x x x x
⇔ − ≤ + ⇔ − − − ≤ − − +
− − −


2 2 2
(2 ) ( ) ( 3 2) 10 3 12 0 4
x x x x x x x x
⇔ − − − ≤ − + + ⇔ − + ≥ ⇔ ≤

K
ế
t h
ợ
p v
ớ
i
ñ
i
ề
u ki
ệ
n, ta có:
3
x
=
ho
ặ
c
4

x
=

VD 3:
Gi
ả
i h
ệ
ph
ươ
ng trình:
2 5 90
5 2 80
y y
x x
y y
x x
A C
A C

+ =


− =



Giải
ð
K:

*
,
x y
x y
≥


∈

ℕ

HPT
!
20
2 5 90 2 5 90 20
( )!
!
5 2 80 10 10
10
!( )!
(1)
(2)
y y y y y
x x x x x
y y y y
x x x x
x
A C A C A
x y
x

A C C C
y x y

=

  
+ = + = =
−
   
⇔ ⇔ ⇔ ⇔
   
− = = =
  

  
=

−


Thay (1) vào (2), ta có:
20
10 ! 2 2
!
y y
y
= ⇔ = ⇔ =

Thay vào (1), ta có:
2

4
!
20 ( 1) 20 20 0
5
( 2)!
x
x
x x x x
x
x
= −

= ⇔ − = ⇔ − − = ⇔

=
−


K
ế
t h
ợ
p v
ớ
i
ñ
i
ề
u ki
ệ

n, ta có:
5
x
=
,
2
y
=





I/ PHNG PHÁP GI
I/ PHNG PHÁP GII/ PHNG PHÁP GI
I/ PHNG PHÁP GII TOÁN
I TOÁNI TOÁN
I TOÁN


- N
ế
u trong t
ổ
ng có ch
ứ
a
1
1
k

n
C
k
+
, ta khai tri
ể
n
( )
n
ax b
+
r
ồ
i l
ấ
y tích phân hai v
ế
.
- N
ế
u trong t
ổ
ng có ch
ứ
a
k
n
kC
, ta khai tri
ể

n
( )
n
ax b
+
r
ồ
i l
ấ
y
ñạ
o hàm hai v
ế
.
- N
ế
u trong t
ổ
ng không có ch
ứ
a m
ộ
t trong hai s
ố
h
ạ
ng trên, ta khai tri
ể
n
( )

n
ax b
+
r
ồ
i ch
ọ
n
x
.
- N
ế
u trong t
ổ
ng có ch
ứ
a ch
ỉ
s
ố
không
ñầ
y
ñủ
, ta
ñặ
t t
ổ
ng b
ổ

sung r
ồ
i tính t
ổ
ng, hi
ệ
u.

II/
II/ II/
II/ VÍ D
VÍ DVÍ D
VÍ D MINH HA
 MINH HA MINH HA
 MINH HA


VD 1:
Tính giá tr
ị
c
ủ
a bi
ể
u th
ứ
c
4 3
1
3

( 1)!
n n
A A
M
n
+
+
=
+
, bi
ế
t r
ằ
ng
2 2 2 2
1 2 3 4
2 2 149
n n n n
C C C C
+ + + +
+ + + =

Giải
ð
K:
*
n∈
ℕ

Ta có:

2 2 2 2
1 2 3 4
( 1)! 2( 2)! 2( 3)! ( 4)!
2 2 149 149
2!( 1)! 2! ! 2!( 1)! 2!( 2)!
n n n n
n n n n
C C C C
n n n n
+ + + +
+ + + +
+ + + = ⇔ + + + =
− + +

D
DD
D
NG 2: CHNG MINH NG T
NG 2: CHNG MINH NG TNG 2: CHNG MINH NG T
NG 2: CHNG MINH NG T
H
HH
H
C, TÍNH GIÁ TR CA BIU THC
C, TÍNH GIÁ TR CA BIU THCC, TÍNH GIÁ TR CA BIU THC
C, TÍNH GIÁ TR CA BIU THC

 minh tun — thpt mng bi ôn thi i hc

Trang 4


( 1) ( 4)( 3)
( 2)( 1) ( 3)( 2) 149
2 2
n n n n
n n n n
+ + +
⇔ + + + + + + + =

2 2 2 2
( ) 2( 3 2) 2( 5 6) ( 7 12) 298
n n n n n n n n⇔ + + + + + + + + + + =


2
5
6 24 270 0
9
n
n n
n
=

⇔ + − = ⇔

= −



K
ế
t h
ợ
p v
ớ
i
ñ
i
ề
u ki
ệ
n, ta có:
5
n
=

Do
ñ
ó:
4 3
6 5
3
360 3.60 3
6! 720 4
A A
M
+ +

= = =

VD 2:
Ch
ứ
ng minh r
ằ
ng:
2012
0 2 2 4 4 2012 2012
2012 2012 2012 2012
3 1
2 2 2
2
C C C C
+
+ + + + + =

Giải
Ta có:
2012 0 1 2 2 3 3 2012 2012
2012 2012 2012 2012 2012
(1 )
x C C x C x C x C x
+ = + + + + +

Cho
2
x
=

ta
ñượ
c:
2012 0 1 2 2 3 3 2012 2012
2012 2012 2012 2012 2012
3 2 2 2 2C C C C C= + + + + + (1)
Cho
2
x
= −
ta
ñượ
c:
0 1 2 2 3 3 2012 2012
2012 2012 2012 2012 2012
1 2 2 2 2C C C C C= − + − + + (2)
L
ấ
y (1) c
ộ
ng (2) v
ế
theo v
ế
, ta có:
2012 0 2 2 4 4 2012 2012
2012 2012 2012 2012
3 1 2 2 2 2C C C C
 
+ = + + + + ⇒

 
ñ
pcm
VD 3:
Tính t
ổ
ng
0 1 2 2012
2012 2012 2012 2012
2 3 2013S C C C C= + + + +
Giải
Ta có:
2012 0 1 2 2 3 3 2012 2012
2012 2012 2012 2012 2012
(1 )
x C C x C x C x C x
+ = + + + + +

2012 0 1 2 2 3 3 4 2012 2013
2012 2012 2012 2012 2012
(1 )
x x C x C x C x C x C x
⇒
+ = + + + + +
L
ấ
y
ñạ
o hàm hai v
ế

, ta có:
' '
2012 0 1 2 2 3 3 4 2012 2013
2012 2012 2012 2012 2012
(1 ) x x C x C x C x C x C x
   
+ = + + + + +
   

2012 2011 0 1 2 2 2012 2012
2012 2012 2012 2012
(1 ) 2012 (1 ) 2 3 2013
x x x C C x C x C x
⇒
+ + + = + + + +

Cho
1
x
=
ta
ñượ
c:
2012 2011 0 1 2 2012
2012 2012 2012 2012
2 2012.2 2 3 2013C C C C+ = + + + +

0 1 2 2012 2011
2012 2012 2012 2012
2 3 2013 2014.2

C C C C
⇒
+ + + + =

V
ậ
y:
2011
2014.2
S =

VD 4:
Tính t
ổ
ng
2 2 3 3 1 1
0 1 2
3 2 3 2 3 2

2 3 1
n n
n
n n n n
S C C C C
n
+ +
− − −
= + + + +
+

Giải
Ta có:
0 1 2 2 3 3
(1 )
n n n
n n n n n
x C C x C x C x C x
+ = + + + + +
L
ấ
y tích phân hai v
ế
, ta
ñượ
c:
( )
0 1 2 2 3 3
(1 )
b b
n n n
n n n n n
a a
x dx C C x C x C x C x dx
+ = + + + + +
∫ ∫

1
0 1 2 2 3 1
(1 ) 1 1 1

1 2 3 1
b
b
n
n n
n n n n
a
a
x
C x C x C x C x
n n
+
+
+
 
⇒
= + + + +
 
+ +
 


 minh tun — thpt mng bi ôn thi i hc

Trang 5

Cho
3, 2
b a
= =

ta
ñượ
c:
2 2 3 3 1 1 1 1
0 1 2
3 2 3 2 3 2 4 3

2 3 1 1
n n n n
n
n n n n
C C C C
n n
+ + + +
− − − −
+ + + + =
+ +

V
ậ
y:
1 1
4 3
1
n n
S
n
+ +
−
=

+

VD 5:
Tính t
ổ
ng
0 1 2
1 1 1 1

2 3 4 2
n
n n n n
S C C C C
n
= + + + +
+

Giải
* Ta có:
0 1 2 2 3 3 0 1 2 2 3 3 4 1
(1 ) (1 )
n n n n n n
n n n n n n n n n n
x C C x C x C x C x x x C x C x C x C x C x
+
+ = + + + + +
⇒
+ = + + + + +

L

ấ
y tích phân hai v
ế
, ta
ñượ
c:
( )
1 1
0 1 2 2 3 3 4 1
0 0
(1 )
n n n
n n n n n
x x dx C x C x C x C x C x dx
+
+ = + + + + +
∫ ∫
(1)
* Tính:
1
0
(1 )
n
x x dx
+
∫

ðặ
t
1

t x dt dx
= +
⇒
=
và
0 1
1 2
x t
x t
= =
 
⇒
 
= =
 
. Do
ñ
ó:
2
1 2 2
2 1 1
1
0 1 1
1
.2 1
(1 ) ( 1) ( )
2 1 ( 1)( 2)
n n n
n n n n
t t n

x x dx t t dt t t dt
n n n n
+ + +
+
 
+
+ = − = − = − =
 
+ + + +
 
∫ ∫ ∫

L
ạ
i có:
( )
1
1
0 1 2 2 3 3 4 1 0 2 1 3 2 4 2
0
0
1 1 1 1

2 3 4 2
n n n n
n n n n n n n n n
C x C x C x C x C x dx C x C x C x C x
n
+ +
 

+ + + + + = + + + +
 
+
 
∫


0 1 2
1 1 1 1

2 3 4 2
n
n n n n
C C C C
n
= + + + +
+

* V
ậ
y t
ừ
(1), ta có:
1
0 1 2
1 1 1 1 .2 1

2 3 4 2 ( 1)( 2)
n
n

n n n n
n
S C C C C
n n n
+
+
= + + + + =
+ + +


VD 6:
Ch
ứ
ng minh r
ằ
ng:
2 3 4 2
2.1 3.2 4.3 ( 1) ( 1)2
n n
n n n n
C C C n n C n n
−
+ + + + − = −

Giải
Ta có:
0 1 2 2 3 3
(1 )
n n n
n n n n n

x C C x C x C x C x
+ = + + + + +
L
ấ
y
ñạ
o hàm hai v
ế
, ta
ñượ
c:
1 1 2 3 2 1
(1 ) 2 3
n n n
n n n n
n x C C x C x nC x
− −
+ = + + + +

Ti
ế
p t
ụ
c l
ấ
y
ñạ
o hàm hai v
ế
, ta

ñượ
c:
2 2 3 2
( 1)(1 ) 2.1 3.2 ( 1)
n n n
n n n
n n x C C x n n C x
− −
− + = + + + −

Cho
1
x
=
ta
ñượ
c:
2 3 2
2.1 3.2 ( 1) ( 1)2
n n
n n n
C C n n C n n
−
+ + + − = − (
ñ
pcm)

 minh tun — thpt mng bi ôn thi i hc

Trang 6





I/ PHNG PHÁP GI
I/ PHNG PHÁP GII/ PHNG PHÁP GI
I/ PHNG PHÁP GII TOÁN
I TOÁNI TOÁN
I TOÁN


- S
ử
d
ụ
ng công th

ứ
c khai tri
ể
n nh
ị
th
ứ
c Newton
- S
ố
h
ạ
ng th
ứ

1
k
+
trong khai tri
ể
n nh
ị
th
ứ
c
( )
n
a b
+
là:

1
k n k k
k n
T C a b
−
+
=
- S
ử
d
ụ
ng công th
ứ
c:
0 0 0
( )
n n k
k k k m k m m
n n k
k k m
C a b C C a b
−
= = =
+ =
∑ ∑ ∑

- S
ử
d
ụ

ng tính ch
ấ
t c
ủ
a l
ũ
y th
ừ
a v
ớ
i s
ố
m
ũ
th
ự
c:
1
n
n
m
n m
n
a
a
a a
−
=
=

.
( )
a a a
a
a
a
a a
α β α β
α
α β
β
α β αβ
+
−
=
=
=

. ( )
a b ab
a a
b b
α α α
α
α
α
=
 
=
 

 


II/ VÍ D
II/ VÍ DII/ VÍ D
II/ VÍ D MINH HA
 MINH HA MINH HA
 MINH HA


VD 1: Tìm số hạng không chứa
x
trong khai triển các nhị thức sau:
a.
12
1
x
x
 
+
 
 
với
0
x
>
b.
7
3
4

1
x
x
 
+
 
 
với
0
x
>

Giải
a. Ta có:
( )
12 12
12 12 12
12
12
2 2
12 12 12
0 0 0
1 1
k
k k
k
k
k k k k
k k k
x C x C x x C x

x x
−
− +
−
= = =
   
+ = = =
   
   
∑ ∑ ∑

Do yêu cầu của bài toán, nên ta có:
12 0 3 24 0 8
2
k
k k k
− + = ⇔ − = ⇔ =

Vậy số hạng không chứa
x
là:
8
12
12!
495
8!4!
C = =
b. Ta có:
( )
7

7 7
7 7 7
7
3 3
3 3 4
4
7 7 7
4 4
0 0 0
1 1
k
k k k
k
k
k k k
k k k
x C x C x x C x
x x
− −
−
−
−
= = =
   
+ = = =
   
   
∑ ∑ ∑

Do yêu cầu của bài toán, nên ta có:

7
0 7 28 0 4
3 4
k k
k k
−
− = ⇔ − + = ⇔ =

Vậy số hạng không chứa
x
là:
4
7
7!
35
3!4!
C
= =

VD 2: Tìm hệ số của
7
x
trong khai triển nhị thức
2
(2 3 )
n
x
− , trong ñó
n
là số nguyên dương thỏa mãn

ñẳng thức:
1 3 5 2 1
2 1 2 1 2 1 2 1
1024
n
n n n n
C C C C
+
+ + + +
+ + + + =
Giải
Ta có:
2 1 0 1 1 2 3 3 2 1 2 1
2 1 2 1 2 1 2 1 2 1
(1 )
n n n
n n n n n
x C C x C x C x C x
+ + +
+ + + + +
+ = + + + + +

Cho
1
x
=
ta có:
0 1 1 3 2 1 2 1
2 1 2 1 2 1 2 1 2 1
2

n n
n n n n n
C C C C C
+ +
+ + + + +
+ + + + + = (1)
Cho
1
x
= −
ta có:
0 1 1 3 2 1
2 1 2 1 2 1 2 1 2 1
0
n
n n n n n
C C C C C
+
+ + + + +
− + − + − =
(2)
D
DD
D
NG 3: T
NG 3: TNG 3: T
NG 3: T
ÌM H
ÌM HÌM H
ÌM H

 S CA
 S CA  S CA
 S CA
X
XX
X
k
kk
k
TRONG KHAI TRI
TRONG KHAI TRI TRONG KHAI TRI
TRONG KHAI TRI
N NH THC NEWTON
N NH THC NEWTONN NH THC NEWTON
N NH THC NEWTON




 minh tun — thpt mng bi ôn thi i hc

Trang 7

Lấy (1) trừ (2) vế theo vế, ta ñược:
1 3 5 2 1 2 1
2 1 2 1 2 1 2 1
2 2
n n
n n n n
C C C C

+ +
+ + + +
 
+ + + + =
 


1 3 5 2 1 2
2 1 2 1 2 1 2 1
2
n n
n n n n
C C C C
+
+ + + +
⇒ + + + + =

Do ñó:
2
2 1024 2 10 5
n
n n
= ⇔ = ⇔ =

Vì vậy:
10 10
10 10 10
10 10
0 0
(2 3 ) 2 ( 3 ) 2 ( 3)

k k k k k k k
k k
x C x C x
− −
= =
− = − = −
∑ ∑

Theo yêu cầu của bài toán, ta có:
7
k
=

Hệ số của
7
x
trong khai triển
10
(2 3 )
x
−
là:
7 10 7 7 3 7
10
10!
2 ( 3) .2 .3 2099520
7!3!
C
−
− = − = −

VD 3: Tìm hệ số của
5
x
trong khai triển thành ña thức của biểu thức:
9
2
1 (2 )
P x x
 
= + −
 

Giải
Ta có:
9
9 9
2 3 3
9
0
1 (2 ) 1 (2 ) (2 )
k k
k
P x x x x C x x
=
   
= + − = + − = −
   
∑

9 9
3 2
9 9
0 0 0 0
(2 ) ( ) ( 1) 2
k k
k m k m m k m m k m k m
k k
k m k m
C C x x C C x
− − +
= = = =
= − = −
∑ ∑ ∑ ∑

Theo yêu cầu của bài toán, ta có:
2 5
k m
+ =
, trong ñó: 0 9,0
k m k
≤ ≤ ≤ ≤
. Do ñó:
0, 5
1, 3
m k
m k
= =



= =


Vậy hệ số của
5
x
là:
5 0 0 5 3 1 1 2
9 5 9 3
( 1) 2 ( 1) 2 4032 1008 3024
C C C C− + − = − =

VD 4: Tìm hệ số của
7
x
trong khai triển của biểu thức:
2 7 3 12
(1 2 ) (2 1)
P x x x x= − − +
Giải
Ta có:
7 12 7 12
2 3 12 2 12 3(12 ) 1
7 12 7 12
0 0 0 0
( 2 ) (2 ) ( 2) 2
k k m m k k k m m m
k m k m
P x C x x C x C x C x

− + − − +
= = = =
= − − = − −
∑ ∑ ∑ ∑

Theo yêu cầu của bài toán, ta có:
2 7 5
3(12 ) 1 7 10
k k
m m
+ = =
 
⇔
 
− + = =
 

Vậy, hệ số của
7
x
là:
5 5 10 2
7 12
( 2) 2 408
C C− − = −

VD 5: Tìm hệ số của
8
x
trong khai triển thành ña thức của biểu thức:

2 5 7
( 1) (2 )
P x x
= − +
Giải
Ta có:
5 7
2 5 7 10 2 7
5 7
0 0
( 1) (2 ) ( 1) . 2
k k k m m m
k m
P x x C x C x
− −
= =
= − + = −
∑ ∑

Theo bài ra:
(10 2 ) 8 2 2
k m k m
− + = ⇔ − =
, trong ñó:
0 5,0 7
k m
≤ ≤ ≤ ≤
. Do ñó:
1, 0
2, 2

3, 4
4, 6
k m
k m
k m
k m
= =


= =


= =

= =


Vậy, hệ số của
8
x
là:
1 1 0 7 2 2 2 5 3 3 4 3 4 4 6 1
5 7 5 7 5 7 5 7
( 1) . 2 ( 1) . 2 ( 1) . 2 ( 1) . 2 3350
C C C C C C C C− + − + − + − =

 minh tun — thpt mng bi ôn thi i hc

Trang 8





I/ PHNG PHÁP GI
I/ PHNG PHÁP GII/ PHNG PHÁP GI
I/ PHNG PHÁP GII TOÁN
I TOÁNI TOÁN
I TOÁN


Dạng toán:
Trong một khai triển thành ña thức
2
0 1 2
( )
n
n
P x a a x a x a x
= + + + +
. Hãy tìm hệ số lớn nhất trong
các hệ số
0 1 2
, , , ,
n

a a a a
.
Cách giải:
- Xét bất phương trình:
1
0
k k
a a
+
− <
và nghiệm của bpt này thường có dạng
0
k k
<
. Do
k
∈
ℕ
nên
0
0,1,2, ,
k k
=
.
- Từ ñó suy ra:
1 0
k k
a a k k
+
≥ ⇔ ≥

. ðến ñây, xảy ra hai khả năng:
+ Nếu
1 0
k k
a a k k
+
= ⇔ =
.
Khi ñó, ta có:
0 0 0
0 1 2 1 2

k k k n
a a a a a a a
+ +
< < < < = > > >
.
Lúc này có hai hệ số lớn nhất là:
0
k
a
và
0
1
k
a
+

+ Nếu
1

k k
a a
+
=
vô nghiệm.
Khi ñó, ta có:
0 0 0
0 1 2 1 2

k k k n
a a a a a a a
+ +
< < < < < > > >
.
Lúc này có duy nhất một hệ số lớn nhất là:
0
1
k
a
+


II/ VÍ D
II/ VÍ DII/ VÍ D
II/ VÍ D MINH HA
 MINH HA MINH HA
 MINH HA


VD 1: Xét khai triển:

9 2 9
0 1 2 9
(3 2)
x a a x a x a x
+ = + + + +
. Tìm hệ số lớn nhất trong các hệ số
0 1 2 9
, , , ,
a a a a

Giải
Ta có:
9 9
9 9 9
9 9
0 0
(2 3 ) 2 (3 ) 2 3
k k k k k k k
k k
x C x C x
− −
= =
+ = =
⇒
∑ ∑
9
9
2 3
k k k
k

a C
−
= , trong ñó:
0,1,2, ,9
k
=

Xét bất phương trình:
9 1 8 1
1 9 9
9! 9!
2 3 2 3 2. 3.
!(9 )! ( 1)!(8 )!
k k k k k k
k k
a a C C
k k k k
− + − +
+
< ⇔ < ⇔ <
− + −


2 3
2( 1) 3(9 ) 5 0,1,2,3,4
9 1
k k k k
k k
⇔ < ⇔ + < − ⇔ < ⇔ =
− +

Do ñó:
1
5
k k
a a k
+
= ⇔ =

1
6,7,8,9
k k
a a k
+
> ⇔ =

Vì vậy:
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
a a a a a a a a a a
< < < < < = > > >

Vậy, hệ số lớn nhất là:
5 4 5
5 6 9
2 3 489888
k
a a a C= = = =

VD 2: Tìm hệ số lớn nhất trong các hệ số của các số hạng trong khai triển
30

(1 2 )
x
+
Giải
Ta có:
30
30 30
30 0 1 2 30 30
0
(1 2 ) 2 2
k k k k k
k
k
x C x a a x a x a x a C
=
+ = = + + + +
⇒
=
∑
, trong ñó
0,1,2, ,30
k
=

D
DD
D
NG 4: T
NG 4: TNG 4: T
NG 4: T

ÌM H
ÌM HÌM H
ÌM H
 S LN NHT TRONG MT
 S LN NHT TRONG MT  S LN NHT TRONG MT
 S LN NHT TRONG MT
k
kk
k
HAI TRI
HAI TRIHAI TRI
HAI TRI
N NH THC
N NH THC N NH THC
N NH THC




 minh tun — thpt mng bi ôn thi i hc

Trang 9

Ta có:
1 1
1 30 30
30! 30!
2 2 2.
!(30 )! ( 1)!(29 )!
k k k k

k k
a a C C
k k k k
+ +
+
< ⇔ < ⇔ <
− + −


1 2 59
0,1,2, ,19
30 1 3
k k
k k
⇔ < ⇔ < ⇔ =
− +

Từ ñó, suy ra:
1
20,21, ,30
k k
a a k
+
> ⇔ =

Do ñó:
0 1 19 20 21 30

a a a a a a
< < < < > > >

Vậy, hệ số lớn nhất trong khai triển là:
20 20
20 30
2
a C
=




VD 1: Cho
0 1
(1 )
n n
n
x a a x a x
+ = + + +
. Tìm
k
và
n
, biết rằng
1 1
36 8 3
k k k
a a a
− +
= =

Giải
Ta có:
0 1
0
(1 )
n
n k k n
n n
k
x C x a a x a x
=
+ = = + + +
∑
. Do vậy:
k
k n
a C
=

Do ñó:
1
1 1
1 1
1
36 8
36 8 3 36 8 3
8 3
k k
n n
k k k

k k k n n n
k k
n n
C C
a a a C C C
C C
−
− +
− +
+

=

= = ⇔ = = ⇔

=


(1)
ðK:
*
,
1
n k
n k

∈

≥ +


ℕ

Khi ñó:
! !
9 2
36. 8.
11 2 2 2
( 1)!( 1)! ( )! !
1
(1)
! ! 8 3 11 3 8 10
8. 3.
( )! ! ( 1)!( 1)! 1
n n
k n k
k n k n k k
n k k
n n k n n
n k k k n k n k k


=
=


− = =
− − + −
 
 
− +

⇔ ⇔ ⇔ ⇔
   
− = − =
 
 
= =


− + − − − +



VD 2: Tìm các số hạng nguyên trong khai triển
(
)
9
3
3 2
+

Giải
Ta có:
( )
9
1
1 9
9
9
3
3 3

2 2
9
0
3 2 3 2 3 2
k
k
k
k
C
−
=
 
+ = + =
 
 
∑

Theo bài ra, ta có:
9
3
2
9
3 2
k
k
k
C
−
là s
ố

nguyên
3
3
9 2
9
0 9
k
k
k
k
k

=


⇔ − ⇔


=


≤ ≤

⋮
⋮

V
ậ
y trong khai tri
ể

n trên có hai s
ố
h
ạ
ng nguyên là:
3 3 1
9
3 2 4536
C = và
9 0 3
9
3 2 8
C
=

VD 3:
Tìm s
ố
nguyên d
ươ
ng bé nh
ấ
t
n
sao cho trong khai tri
ể
n
(1 2 )
n
x

+ có hai h
ệ
s
ố
liên ti
ế
p có t
ỉ
s
ố

b
ằ
ng
3
7
.
Giải
Ta có:
0
(1 2 ) 2
n
n k k k
n
k
x C x
=
+ = ⇒
∑
H

ệ
s
ố
c
ủ
a hai s
ố
h
ạ
ng liên ti
ế
p là: 2
k k
k n
a C
= và
1 1
1
2
k k
k n
a C
+ +
+
=
D
DD
D
NG 5: T
NG 5: TNG 5: T

NG 5: T
ÌM H
ÌM HÌM H
ÌM H
 S VÀ CÁC S HNG
 S VÀ CÁC S HNG S VÀ CÁC S HNG
 S VÀ CÁC S HNG
TH
TH TH
TH
A M
A MA M
A M
ÃN
ÃN ÃN
ÃN
I
II
I
U KIN NÀO Ó
U KIN NÀO ÓU KIN NÀO Ó
U KIN NÀO Ó




 minh tun — thpt mng bi ôn thi i hc

Trang 10

Ta có:
1 1
1
2
1 3 1
6 13 7 2 1
2 2( ) 7 6
k k
k n
k k
k n
a C
k k
n k n k
a C n k
+ +
+
+ +
= = = ⇔ = + ⇔ = + +
−

Vì
,n k
∈
ℕ
, do
ñ
ó
n
bé nh

ấ
t
5
1 6
nhoû nhaát
k
k
k

⇔ ⇔ =

+

⋮
. Khi
ñ
ó:
12
n
=

V
ậ
y:
12
n
=

Bài 1:
Ch
ứ
ng minh r
ằ
ng:
a.
1 1
( 1)
n n n
P P n P
− −
− = −
b.
1 2 3 1
1 2 3 ( 1)
n n
P P P n P P
−
+ + + + + − =

Bài 2:
Ch
ứ
ng minh r
ằ
ng v

ớ
i m
ọ
i s
ố
t
ự
nhiên
n
ta
ñề
u có:
1
!
2
n
n
n
+
 
≤
 
 

Bài 3:
Ch
ứ
ng minh r
ằ
ng v

ớ
i m
ọ
i
,n k
∈
ℕ
và
2
k n
≤ <
ta
ñề
u có:
a.
1
1 1
k k k
n n n
A A kA
−
− −
= +
b.
2 1 2
n n n
n k n k n k
A A k A
+ +
+ + +

+ =

Bài 4:
Ch
ứ
ng minh r
ằ
ng v
ớ
i m
ọ
i
n
∈
ℕ
và
2
n
≥
ta
ñề
u có:
2 2 2 2
2 3 4
1 1 1 1 1

n
n
A A A A n
−

+ + + + =

Bài 5:
Cho
,n k
∈
ℕ
và
2
k n
≤ ≤
. Ch
ứ
ng minh r
ằ
ng:
2
2
( 1) ( 1)
k k
n n
k k C n n C
−
−
− = −
Bài 6:
Cho
,n k
∈
ℕ

và
4
k n
≤ ≤
. Ch
ứ
ng minh r
ằ
ng:
1 2 3 4
4
4 6 4
k k k k k k
n n n n n n
C C C C C C
− − − −
+
+ + + + =
Bài 7:
Cho k
∈
ℕ
và
0 2008
k
≤ ≤
. Ch
ứ
ng minh r
ằ

ng:
1 1004 1005
2009 2009 2009 2009
k k
C C C C
+
+ ≤ +
Bài 8:
Cho
,n k
∈
ℕ
và
0
k n
≤ ≤
. Ch
ứ
ng minh r
ằ
ng:
2
2 2 2
( )
n n n
n k n k n
C C C
+ −
≤

Bài 9:
Cho
,m n
∈
ℕ
và
0
m n
< <
. Ch
ứ
ng minh r
ằ
ng:
a.
1
1
m m
n n
mC nC
−
−
= b.
1 1 1 1
1 2 1

m m m m m
n n n m m
C C C C C
− − − −

− − −
= + + + +
Bài 10:
Cho
*
,n k
∈
ℕ
và
k n
≤
. Ch
ứ
ng minh r
ằ
ng:
1
1 1
1 1 1 1
2
k k k
n n n
n
n C C C
+
+ +
 
+
+ =
 

+
 

Bài 11:
Ch
ứ
ng minh r
ằ
ng:
0 2007 1 2006 2007 2007 0 2008
2008 2008 2008 2007 2008 2008 2008 1
1024.2
k k
k
C C C C C C C C
−
−
+ + + + + =
Bài 12:
Cho
n
là s
ố
nguyên d
ươ
ng, ch
ứ
ng ming r
ằ
ng:

2 3
1
1 2 1
( 1)
2. 3. .
2
n
n n n
n
n
n n n
C C C
n n
C n
C C C
−
+
+ + + + =
Bài 13:
Cho
n
là s
ố
nguyên d
ươ
ng, ch
ứ
ng ming r
ằ
ng:

0 1 2
1 2 3 1
2 3 4 2 2
1

2
n
n n n n
n
n n n n
C C C C
C C C C
+
+ + + +
+ + + + =

Bài 14:
Ch
ứ
ng minh r
ằ
ng:
a.
0 1 1 5 5
5 5 5 5

k k k k
n n n n
C C C C C C C
− −

+
+ + + =
, v
ớ
i 5
k n
≤ ≤

b.
0 2 1 2 2 2 2
2
( ) ( ) ( ) ( )
n n
n n n n n
C C C C C
= + + + +
BæI T
ẬP VẬN DỤNG
¼
NH
Ị THỨC NEWTON


 minh tun — thpt mng bi ôn thi i hc

Trang 11

Bài 15:
Tính t
ổ

ng:
2 2 2 2
0 1 2

1 2 3 1
n
n n n n
C C C C
S
n
       
= + + + +
       
+
       

Bài 16:
Ch
ứ
ng minh r
ằ
ng:
1 2 2009 1 2 2008
2009 2009 2009 2008 2008 2008
1 1 1 1005 1 1 1

2009C C C C C C
 
+ + + = + + +
 

 

Bài 17:
Gi
ả
i các ph
ươ
ng trình sau:
a.
3 1
5
n n
C C
= b.
2 1
14 14 14
2
n n n
C C C
+ +
+ =
c.
2 2
1 2
3 4
n n
C nP A
+
+ =
d.

2 2 3 1 2
1 2
4 ( )
n n n
C A n A
+
− − =

e.
! ( 1)! 1
( 1)! 6
x x
x
− −
=
+
f.
2 2
72 6( 2 )
x x x x
P A A P
+ = +

g.
4 5 6
1 1 1
x x x
C C C
− =
h.

1 2 3 2
6 6 9 14
x x x
C C C x
+ + = −

Bài 18:
Gi
ả
i h
ệ
ph
ươ
ng trình:
a.
2 3
3 2
22
66
x y
y x
A C
A C

+ =


+ =



b.
4 3 2
1 1 2
4 3
1 1
5
4
7
15
n n n
n
n n
C C A
C A
− − −
−
+ +

− <




≥



c.
2 5 90
5 2 80

y y
x x
y y
x x
A C
A C

+ =


− =


d.
2 1
1
5 3
y y
x x
y y
x x
C C
C C
− −
−

=


=




Bài 19:
Gi
ả
i b
ấ
t ph
ươ
ng trình:
a.
4
2 1
15
n
n n n
P
P P P
+
+ −
<
b.
3 2
5 21
x x
A A x
+ ≤
c.
3

1
4
1 3
1
14
n
n
n
C
A P
−
−
+
<
d.
2 2 3
2
1 6
10
2
x x x
A A C
x
− ≤ +

Bài 20:
Tính giá tr
ị
c
ủ

a bi
ể
u th
ứ
c
4 3
1
3
( 1)!
n n
A A
M
n
+
+
=
+
, bi
ế
t r
ằ
ng:
2 2 2 2
1 2 3 4
2 2 149
n n n n
C C C C
+ + + +
+ + + =

Bài 21:
Tìm s
ố
nguyên d
ươ
ng
1
n
>
th
ỏ
a mãn:
2 2
2 6 12
n n n n
P A P A
+ − =

Bài 22:
Tìm s
ố

{
}
1;2;3; ;2005
k ∈
sao cho
2005
k
C

ñạ
t giá tr
ị
l
ớ
n nh
ấ
t.
Bài 23:
Tìm h
ệ
s
ố
c
ủ
a
5
x
trong khai tri
ể
n thành
ñ
a th
ứ
c c
ủ
a:
5 2 10
(1 2 ) (1 3 )

x x x x
− + +

Bài 24:
Tìm s
ố
h
ạ
ng
ñộ
c l
ậ
p v
ớ
i
x
trong khai tri
ể
n:
18
4
2
x
x
 
+
 
 

Bài 25:

Tìm h
ệ
s
ố
c
ủ
a
5
x
trong khai tri
ể
n thành
ñ
a th
ứ
c c
ủ
a:
4 5 6 7
(2 1) (2 1) (2 1) (2 1)
x x x x
+ + + + + + +

Bài 26:
Tìm h
ệ
s
ố
c
ủ

a
8
x
trong khai tri
ể
n
5
3
1
n
x
x
 
+
 
 
, bi
ế
t r
ằ
ng:
1
4 3
7( 3)
n n
n n
C C n
+
+ +
− = +

Bài 27:
Tìm s
ố
h
ạ
ng h
ữ
u t
ỷ
trong khai tri
ể
n nh
ị
th
ứ
c:
(
)
7
3
16 3
+

Bài 28:
Trong khai tri
ể
n sau
ñ
ây có bao nhiêu s

ố
h
ạ
ng h
ữ
u t
ỷ
:
(
)
124
4
3 5
−


 minh tun — thpt mng bi ôn thi i hc

Trang 12

Bài 29:
Tìm s
ố
h
ạ
ng không ch
ứ
a
x
trong khai tri

ể
n:
7
3
4
1
x
x
 
+
 
 
, v
ớ
i
0
x
>

Bài 30:
Trong khai tri
ể
n
28
3
15
n
x x x
−
 

+
 
 
hãy tìm s
ố
h
ạ
ng không ph
ụ
thu
ộ
c vào
x
, bi
ế
t r
ằ
ng:
1 2
79
n n n
n n n
C C C
− −
+ + =

Bài 31:
Bi
ế
t r

ằ
ng t
ổ
ng các h
ệ
s
ố
trong khai tri
ể
n
2
( 1)
n
x
+
b
ằ
ng 1024. Hãy tìm h
ệ
s
ố
c
ủ
a
12
x
trong khai
tri
ể
n

ñ
ó.
Bài 32:
Tìm s
ố
nguyên d
ươ
ng
5
n
>
, bi
ế
t r
ằ
ng trong khai tri
ể
n
1
2
n
x
 
+
 
 
thành
ñ
a th
ứ

c
ñố
i v
ớ
i bi
ế
n
x

thì h
ệ
s
ố
c
ủ
a
6
x
b
ằ
ng b
ố
n l
ầ
n h
ệ
s
ố
c
ủ

a
4
x
.
Bài 33:
Cho:
11
1 1 1 1
0 1 1
3 3 3 3
2 2 2 2
2 2 2 2 2 2 2 2
n n n
n n
x x x xx x x x
n n
n n n n
C C C C
−−
− − − −
− − − −
−
       
     
+ = + + + +
       
     
     
       

Bi
ế
t r
ằ
ng
3 1
5
n n
C C
= và s
ố
h
ạ
ng th
ứ
t
ư
b
ằ
ng
20
n
. Tìm
n
và
x
.
Bài 34:
Cho
10

9 10
0 1 9 10
1 2

3 3
x a a x a x a x
 
+ = + + + +
 
 
. Tìm s
ố
h
ạ
ng
k
a
l
ớ
n nh
ấ
t.
Bài 35:
Cho
0 1
(1 2 )
n n
n
x a a x a x
+ = + + +

, trong
ñ
ó
8
n∈
ℕ
và các h
ệ
s
ố

0 1
, , ,
n
a a a
th
ỏ
a mãn
ñẳ
ng
th
ứ
c:
1 2
0
2
4096
2 2 2
n
n

aa a
a + + + + =
. Tìm s
ố
l
ớ
n nh
ấ
t trong các s
ố

0 1
, , ,
n
a a a
.
Bài 36:
Tìm s
ố
h
ạ
ng không ch
ứ
a
x
trong khai tri
ể
n nh
ị
th

ứ
c
18
5
1
2x
x
 
+
 
 
, v
ớ
i
0
x
>

Bài 37:
Tìm h
ệ
s
ố
c
ủ
a s
ố
h
ạ
ng ch

ứ
a
26
x
trong khai tri
ể
n nh
ị
th
ứ
c Newton c
ủ
a
7
4
1
n
x
x
 
+
 
 
, bi
ế
t r
ằ
ng:
1 2 20
2 1 2 1 2 1

2 1
n
n n n
C C C
+ + +
+ + + = −

Bài 38:
Tìm s
ố
h
ạ
ng ch
ứ
a
10
x
trong khai tri
ể
n nh
ị
th
ứ
c Newton c
ủ
a
(2 )
n
x
+

, bi
ế
t r
ằ
ng:
0 1 1 2 2 3 3
3 3 3 3 ( 1) 2048
n n n n n n
n n n n n
C C C C C
− − −
− + − + + − =

Bài 39:
Tìm h
ệ
s
ố
c
ủ
a s
ố
h
ạ
ng ch
ứ
a
7
x
trong khai tri

ể
n thành
ñ
a th
ứ
c c
ủ
a
2
(2 3 )
n
x
− , bi
ế
t r
ằ
ng:
1 3 5 2 1
2 1 2 1 2 1 2 1
1024
n
n n n n
C C C C
+
+ + + +
+ + + + =
Bài 40:
Tìm h
ệ
s

ố
c
ủ
a
8
x
trong khai tri
ể
n thành
ñ
a th
ứ
c c
ủ
a
2
( 2)
n
x + , bi
ế
t r
ằ
ng:
3 2 1
8 49
n n n
A C C
− + =

Bài 41:

Tìm h
ệ
s
ố
c
ủ
a
2
x
trong khai tri
ể
n thành
ñ
a th
ứ
c c
ủ
a
5 4
(2 3 ) (1 )
x x
− +
Bài 42:
Tìm h
ệ
s
ố
c
ủ
a

3
x
trong khai tri
ể
n thành
ñ
a th
ứ
c c
ủ
a
6 12
( 3) (1 )
x x
+ +

Bài 43:
G
ọ
i
3 3
n
a
−
là h
ệ
s
ố
c
ủ

a
3 3
n
x
−
trong khai tri
ể
n thành
ñ
a th
ứ
c c
ủ
a
2
( 1) ( 2)
n n
x x+ +
. Tìm s
ố

nguyên d
ươ
ng
n
sao cho
3 3
26
n
a n

−
=
.
Bài 44:
Tìm h
ạ
ng t
ử
ch
ứ
a
20
x
trong khai tri
ể
n thành
ñ
a th
ứ
c c
ủ
a
3 4 10
(1 )
x x x
+ + +
Bài 45:
Tìm h
ệ
s

ố
c
ủ
a
2
x
trong khai tri
ể
n thành
ñ
a th
ứ
c c
ủ
a
2 6
( 1)
P x x
= + −

Bài 46:
Tìm h
ệ
s
ố
c
ủ
a
4
x

trong khai tri
ể
n thành
ñ
a th
ứ
c c
ủ
a
2 10
(1 3 )
P x x
= + +


 minh tun — thpt mng bi ôn thi i hc

Trang 13

Bài 47:
Tìm h
ệ
s
ố
c
ủ
a
8
x
trong khai tri

ể
n thành
ñ
a th
ứ
c c
ủ
a
(
)
8
2
1 (1 )
x x
+ −
Bài 48:
Tìm h
ạ
ng t
ử
không ch
ứ
a
x
trong khai tri
ể
n
6
1
x

x
 
+ +
 
 

Bài 49:
Tìm s
ố
nguyên d
ươ
ng
n
th
ỏ
a mãn
ñẳ
ng th
ứ
c
1 3 2 1
2 2 2
2048
n
n n n
C C C
−
+ + + =

Bài 50:

Ch
ứ
ng minh r
ằ
ng:
16 0 15 1 14 2 16 16
16 16 16 16
3 3 3 2
C C C C
− + − + =

Bài 51:
Ch
ứ
ng minh r
ằ
ng:
a.
0 1 1 2 2
2 2 2 3
n n n n n
n n n n
C C C C
− −
+ + + + =
b.
0 1 1 2 2
3 3 3 ( 1) 2
n n n n n n
n n n n

C C C C
− −
− + + + − =

Bài 52:
Tính các t
ổ
ng sau
ñ
ây:
a.
0 2 2 4 4 2 2
2 2 2 2
3 3 3
n n
n n n n
S C C C C
= + + + + + b.
0 2 2 4 3 6 2
2 2 2 2 2
3 3 3 ( 3)
n n
n n n n n
C C C C C
− + − + + −
Bài 53:
Tìm s
ố
nguyên d
ươ

ng
n
sao cho:
0 1 2
2 4 2 243
n n
n n n n
C C C C+ + + + =
Bài 54:
Ch
ứ
ng minh r
ằ
ng:
a.
1 2 3 1
2 3 .2
n n
n n n n
C C C nC n
−
+ + + + =
b.
1 2 3 1
2 3 ( 1) 0
n n
n n n n
C C C nC
−
− + − + − =

c.
1 1 2 2 3 1 1
2 2.2 3.2 ( 1)
n n n n n
n n n n
C C C nC n
− − − −
− + − + − =

d.
2 3 4 2
2.1 3.2 4.3 ( 1) ( 1)2
n n
n n n n
C C C n n C n n
−
+ + + + − = −
Bài 55:
Cho
100 2 100
0 1 2 100
( 2)
x a a x a x a x
− = + + + +
. Tính:
a.
97
a
b.

0 1 100

S a a a
= + + +
c.
1 2 3 100
2 3 100
M a a a a
= + + + +

Bài 56:
Ch
ứ
ng minh r
ằ
ng, v
ớ
i n
∈
ℕ
và
2
n
>
ta có:
( )
1 2 3
1
2 3 !
n

n n n n
C C C nC n
n
+ + + + <

Bài 57:
Ch
ứ
ng minh r
ằ
ng:
a.
2 3 2
1.2 2.3 ( 1) ( 1)2
n n
n n n
C C n nC n n
−
+ + + − = −

b.
2 3 2
1.2 2.3 ( 1) ( 1) 0
n n
n n n
C C n nC
−
− + + − − =

c.

1 2 2 3 4 4 2
2 3.2 3.4.2 ( 1) ( 1)3
n n n n n
n n n n
C C C n nC n n
− − − −
+ + + + − = −
d.
1 2 2 3 4 4 2
2 3.2 3.4.2 ( 1) ( 1) ( 1)
n n n n n
n n n n
C C C n nC n n
− − − −
− + − + − − = −

Bài 58:
Ch
ứ
ng minh r
ằ
ng:
a.
0 1 1
3 4 ( 3) 2 (6 )
n n
n n n
C C n C n
−
+ + + + = +

b.
0 1
3 4 ( 1) ( 3) 0
n n
n n n
C C n C
− + + − + =

Bài 59:
Tìm s
ố
nguyên d
ươ
ng
n
sao cho:
1 2 2 3 3 4 2 2 1
2 1 2 1 2 1 2 1 2 1
2.2 3.2 4.2 (2 1).2 2005
n n
n n n n n
C C C C n C
+
+ + + + +
− + − + + + =
Bài 60:
Áp d
ụ
ng khai tri
ể

n nh
ị
th
ứ
c Newton c
ủ
a
2 100
( )
x x
+
, ch
ứ
ng minh r
ằ
ng:
99 100 199
0 1 100
100 100 100
1 1 1
100 101 200 0
2 2 2
C C C
     
− + + =
     
     

Bài 61:
Cho n

∈
ℕ
và
2
n
≥
.
a. Tính tích phân:
1
2 3
0
(1 )
n
I x x dx
= +
∫


 minh tun — thpt mng bi ôn thi i hc

Trang 14

b. Ch
ứ
ng minh r
ằ
ng:
1
0 1 2
1 1 1 1 2 1

3 6 9 3( 1) 3( 1)
n
n
n n n n
C C C C
n n
+
−
+ + + + =
+ +

Bài 62:
Tính t
ổ
ng:
a.
2 3 1
0 1 2
2 1 2 1 2 1

2 3 1
n
n
n n n n
S C C C C
n
+
− − −
= + + + +

+

b.
1 2 3 4 1
2 3 4 ( 1)
n n
n n n n n
S C C C C nC
−
= − + − + + −
Bài 63:
Ch
ứ
ng minh r
ằ
ng:
a.
0 2 1 3 2 1
1 1 ( 1) 1 ( 1)
2 .2 .2 .2
2 3 1 1
n n
n n
n n n n
C C C C
n n
+
− + −
− + − + =
+ +

b.
0 1 1
1 1 ( 1)
( 1) ( 1)
2 1 1
n
n n n
n n n
C C C
n n
+
−
− + − + + =
+ +

c.
0 1 2
1 1 1 1
( 1)
2 3 1 1
n n
n n n n
C C C C
n n
− + − + − =
+ +

Bài 64:
a. Tính tích phân:

1
19
0
(1 )
I x x dx
= −
∫

b. Tính t
ổ
ng:
0 1 2 18 19
19 19 19 19 19
1 1 1 1 1

2 3 4 20 21
S C C C C C
= − + − + −

Bài 65:
a. Tính tích phân:
1
2
0
(1 )
n
I x x dx
= −
∫

b. Tính t
ổ
ng:
0 1 2
1 1 1 ( 1) 1

2 4 6 2 2 2( 1)
n
n
n n n n
S C C C C
n n
−
= − + − + =
+ +

Bài 66:
Ch
ứ
ng minh r
ằ
ng:
a.
1 2
0 1 2
1 1 1 1 2 ( 2) 2

3 4 5 3 ( 1)( 2)( 3)
n
n

n n n n
n n
C C C C
n n n n
+
+ + −
+ + + + =
+ + + +

b.
2
1 3 5 2 1
2 2 2 2
1 1 1 1 2 1

2 4 6 2 2 1
n
n
n n n n
C C C C
n n
−
−
+ + + + =
+

Bài 67:
Trong khai tri
ể
n

ñ
a th
ứ
c:
2 2 1
2 2 1 1 0
(2 1) ( 2)
n n n n
n n
x x a x a x a x a
−
−
+ + = + + + +
. Tìm s
ố
nguyên
d
ươ
ng
n
, bi
ế
t r
ằ
ng:
2 1
160
n
a
−

=
.
Bài 68:
Trong khai tri
ể
n
ñ
a th
ứ
c:
2 3
0 1
1 2(1 ) 3(1 ) (1 )
n n
n
x x x n x a a x a x
− + − + − + + − = + + +
. Tính
h
ệ
s
ố

8
a
, bi
ế
t r
ằ
ng

*
n∈
ℕ
và th
ỏ
a mãn:
2 3
1 7 1
n n
C C n
+ =

Bài 69:
Tìm s
ố
nguyên d
ươ
ng
n
th
ỏ
a mãn:
1 2 2 3 3
3 2.3 3.3 ( 1) . 33792
n n
n n n n
C C C nC− + − + − =
Bài 70:
Tính t
ổ

ng:
1
1 3 5 2 1
2 2 2 2
1
1 1 ( 1)

3 9 3
n
n
n n n n
n
S C C C C
−
−
−
−
= − + − +

Bài 71:
Trong khai tri
ể
n
ñ
a th
ứ
c:
2 3 4 12
0 1 12
(1 )

x x x a a x a x
− + − = + + + . Tính h
ệ
s
ố

7
a
.
Bài 72:
Tìm h
ệ
s
ố
c
ủ
a
10
x
trong khai tri
ể
n thành
ñ
a th
ứ
c c
ủ
a:
10
3

1
1 x
x
 
+ +
 
 
, v
ớ
i
0
x
≠
.

 minh tun — thpt mng bi ôn thi i hc

Trang 15

Bài 73:
Tìm
*
n N
∈
và
x
∈
ℝ
bi
ế

t r
ằ
ng:
1 3 2
2
n n n
C C C
+ = và s
ố
h
ạ
ng th
ứ
t
ư
trong khai tri
ể
n thành
ñ
a
th
ứ
c c
ủ
a
1
3
1
2
2

n
x
x
−
 
+
 
 
b
ằ
ng
2010
n
.
Bài 74:
Tính các t
ổ
ng sau:
a.
2 3 2012
0 1 2 3 2012
2012 2012 2012 2012 2012
1 2 2 2 2

1.2 2.3 3.4 4.5 2013.2014
S C C C C C= − + − + +

b.
2 3 2012
0 1 2 3 2012

2012 2012 2012 2012 2012
2 2 2

3 4 2013
S C C C C C= − + − + +
Bài 75:
Tính t
ổ
ng:
2 2 2
0 1

1 2 1
n
n n n
C C C
S
n
     
= + + +
     
+
     

Bài 76:
Tìm h
ệ
s
ố
c

ủ
a
8
x
trong khai tri
ể
n thành
ñ
a th
ứ
c c
ủ
a:
12
4
1
1 x
x
 
− −
 
 

Bài 77:
Tìm
*
n N
∈
và
x

∈
ℝ
bi
ế
t r
ằ
ng t
ổ
ng c
ủ
a s
ố
h
ạ
ng th
ứ
ba và th
ứ
n
ă
m b
ằ
ng 135, còn t
ổ
ng c
ủ
a ba
h
ệ
s

ố
c
ủ
a ba s
ố
h
ạ
ng cu
ố
i b
ằ
ng 22 trong khai tri
ể
n thành
ñ
a th
ứ
c c
ủ
a
1
2
2 2
n
x
x
−
 
+
 

 

Bài 78:
Tìm h
ệ
s
ố
c
ủ
a
8
x
trong khai tri
ể
n thành
ñ
a th
ứ
c c
ủ
a
2
( 2)
n
x −
, bi
ế
t r
ằ
ng

3 1 2
8 49
n n n
A C C
+ = +

Bài 79:
Tìm h
ệ
s
ố
c
ủ
a
6
x
trong khai tri
ể
n
2
( 1)
n
x x
− −
, bi
ế
t r
ằ
ng:
1 2 20

2 1 2 1 2 1
2 1
n
n n n
C C C
+ + +
+ + + = −

Bài 80:
Tìm h
ệ
s
ố
c
ủ
a
11
x
trong khai tri
ể
n
2 2
( 2) (3 1)
n n
x x
+ +
, bi
ế
t:
2 2 1 2 0

2 2 2
3 3 1024
n n n
n n n
C C C
−
− + + =