Lý thuyết và bài tập toạ độ không gian

GV: Trần Điện Hồng – Giảng viên ĐHCN.Tp HCM - Đc:435/18/6- Lê Văn Thọ - Gò Vấp- ĐT: 0942.667.889
Chun dạy LTĐH mơn TỐN – Nhận HS đầu tháng .

1
O
y
z
x
j
k
i
CHỦ ĐỀ : TỌA ĐỘ KHÔNG GIAN
A. PHẦN LÍ THUYẾT :

I. HỆ TRỤC TỌA ĐỘ, TỌA ĐỘ VECTƠ, TỌA ĐỘ ĐIỂM
1. Hệ trục tọa độ Đêcac vuông góc trong không gian
Hệ 3 trục x’Ox, y’0y, z’Oz đôi một vuông góc, trên đó lần lượt
có các vectơ đơn vò
k,j,i
, gọi là hệ trục tọa độ Đềcác vuông
góc trong không gian.
+. 3 trục x’Ox, y’0y, z’Oz lần lượt được gọi là trục hoành,
trục tung , trục cao .
+. Điểm O gọi là gốc tọa độ
+. Không gian chứa hệ trục tọa độ như thế gọi là không gian tọa độ,
kí hiệu là kg Oxyz
+. Các mặt phẳng : Oxy, Oyz, Oxz gọi là các mặt phẳng tọa độ
2. Toạ độ của vectơ:
a. Đònh nghóa :
kajaiaa
321





)a,a,a(a
321


Chú ý: Tọa độ của các vectơ đơn vò:
i (1, 0, 0)


;
j (0, 1, 0)


;
)1 ,0 ,0(k 
và
0 (0, 0, 0)



b. Tính chất : Cho
)a,a,a(a
321

;
)b,b,b(b
321


và số thực k thì :

)bba,aba(ba
322311

;
)ka,ka,ka(a.k
321

;









33
22
11
ba
ba
ba
ba

Chú ý : +.
a

cùng phương
b
nếu cùng nằm trên một đường thẳng hoặc giá của
chúng song song nhau
+. Biểu thức tọa độ :

a
cùng phương
b


tồn tại số k để cho:
a
=
b.k



3
3
2
2
1
1
b
a
b
a
b
a



3. Tọa độ của điểm :
a. Đònh nghóa : kzjyixOM
MMM


M ( x
M
, y
M
, z
M
)
b. Đònh lí : Cho A(x
A
,y
A
, z
A
) và B(x
B
,y
B
,z
B
) thì :
)zz,yy,xx(AB
ABABAB


c. Chú ý : +. Điểm M

Ox

M(x,0,0 ) ; Điểm M

Oy

M(0,y,0)
Điểm M

Oz

M(0,0,z) ; Gốc tọa độ O(0,0,0)
+. M là trung điểm của đoạn AB thì :
A B A B A B
M M M
x x y y z z
x ; y ; z
2 2 2
  
  

+ G là trọng tâm của đoạn

ABC thì :

A B C A B C A B C
M M M

x x x y y y z z z
x ; y ; z
3 3 3
     
  

4. Biểu thức toạ độ của tích vô hướng:
Đ/lí : Cho hai vectơ
)a,a,a(a
321

;
)b,b,b(b
321

thì :
332211
bababab.a 

Các hệ quả:
+.
2
2 2 2 2 2 2
1 1 3 1 2 3
a a a a a a a a
      
 
+.
0babababa
332211




+.
1 1 2 2 3 3
2 2 2 2 2 3
1 2 3 1 2 3
a b a b a b
cos (a,b)
a a a b b b
 

   
 
+.
2 2 2
B A B A B A
AB (x x ) (y y ) (z z )
     

GV: Trần Điện Hồng – Giảng viên ĐHCN.Tp HCM - Đc:435/18/6- Lê Văn Thọ - Gò Vấp- ĐT: 0942.667.889
Chun dạy LTĐH mơn TỐN – Nhận HS đầu tháng .

2
5. Chú ý : +. Điểm M(x, y ,z) có hình chiếu vuông góc lên các mặt phẳng tọa độ Oxy,
Oxz, Oyz lần lượt là : (x, y , o) ; (x, o, z) ; (o, y ,z).
+. Điểm M(x, y ,z) có hình chiếu vuông góc lên các trục tọa độ Ox, Oy, Oz
lần lượt là : (x, o , o) ; (o, y,o) ; (o, o ,z).
+. Điểm đối xứng với M(x, y ,z) qua các mặt phẳng tọa độ Oxy, Oxz, Oyz
lần lượt là : (x, y, -z) ; (x, -y, z) ; (-x, y ,z).

+. Điểm đối xứng với M(x, y ,z) qua các trục tọa độ Ox, Oy, Oz lần lượt
là : (x, -y,-z) ; (-x, y, z) ; (-x, -y ,z).
+. Điểm đối xứng với M(x, y ,z) qua gốc tọa độ O là (-x, -y,-z)
6. Tích có hướng hai vectơ :
a. Đònh nghó a : Cho 2 vectơ
)a,a,a(a
321

;
)b,b,b(b
321

.
Tích có hướng của hai vectơ đó là một vectơ , kí hiệu là


b,a
với



b,a
=
2 3 3 1 1 2
2 3 3 1 1 2
a a a a a a
; ;
b b b b b b
 
 

 
= ( a
2
b
3
– b
2
a
3
, a
3
b
1
– b
3
a
1
, a
1
b
2
– b
1
a
2
)
b. Tính chất :
c
a
và

c
b
thì
c
=


b,a

c. Các ứng dụng của TCH của 2 vectơ :
+. 3 điểm A,B, C là 3 đỉnh của tam giác


AB, AC
 
 
 

0
3 điểm A,B, C là thẳng hàng


AB, AC
 
 
 

0
+. 4 điểm A, B, C , D là 4 đỉnh của tứ diện


AB,AC . AD 0
 

 
  

4 điểm A, B, C , D đồng phẳng

AB,AC . AD 0
 

 
  

+. Diện tích tam giác ABC là: S =
1
AB, AC
2
 
 
 
=
1
BA, BC
2
 
 
 
=
1

CA, CB
2
 
 
 

Nói là : Diện tích tam giác bằng một phần hai độ dài TCH của hai vectơ chung gốc.
+. Thể tích khối hộp ABCD.A’B’C’D’ là : V =
AB, AD . AA'
 
 
  

Nói là : Thêû tích khối hộp bằng giá trò tuyệt đối của tích hổn tạp của ba vectơ chung gốc
+. Thể tích khối tứ diện ABCD là : V =
1
AB, AC . AD
6
 
 
  

Nói là : Thêû tích khối tứ diện bằng một phần sáu giá trò tuyệt đối của tích hổn tạp của ba vectơ
chung gốc
Bài 1 : Trong không gian Oxyz cho 4 điểm A(1,1,1) , B(1,- 6, 0) , C(0,-2,2) , D(-2,0,0).
a. Chứng minh 3 điểm B, C, D là 3 đỉnh của tam giác, Tính diện tích của
BCD

, Từ đó tính
độ dài đường cao của

BCD

kẻ từ D.
b. Chứng minh 4 điểm A,B,C, D là 4 đỉnh của tứ diện. Tính thể tích của tứ diện này, Từ đó
tính độ dài đường cao của tứ diện ABCD kẻ từ đỉnh A.
c. Tìm tọa độ điểm E để BCDE là hình bình hành . Tính diện tích hình bình hành nàyvà tính
thể tích khối chóp A.BCDE.
d. Tính góc

ACD
và góc giữa các cặp cạnh đối diện của tứ diện ABCD
Bài 2 : Trong kg cho 2 điểm A(6,-2,3) ; D(4,1,0) và
OC 2i j
 
  
; ;
OB j 6k
 
  

1. Tính : a.


2
AB.BC .CA CD .AB


   
; b.
2

AB,DC .CB AD
 

 
   

2. Chứng minh A,B,C,D là 4 đỉnh của tứ diện
3. Tính d/ tích

ABC, thể tích tứ diện ABCD. Từ đó tính độ dài c/cao của t/ diệnABCD kẻ từ
D.
4. Tính cosin của góc A của

ABC
GV: Trần Điện Hồng – Giảng viên ĐHCN.Tp HCM - Đc:435/18/6- Lê Văn Thọ - Gò Vấp- ĐT: 0942.667.889
Chun dạy LTĐH mơn TỐN – Nhận HS đầu tháng .

3
n

M
5. Tìm toạ độ điểm E để cho ABCD là hình bình hành . Tính diện tích hình bình hành này.
Bài 3: Cho h×nh hép ABCD.A'B'C'D' Víi A(2,0,2), B(4,2,4), D(2,-2, 2) vµ C'(8,10,-10).
a. T×m to¹ ®é c¸c ®Ønh cßn l¹i cđa h×nh hép ABCD.A'B'C'D'.
b. TÝnh thĨ tÝch cđa h×nh hép nãi trªn.

II. PHƯƠNG TRÌNH MẶT PHẲNG
A. LÍ THUYẾT:
1. M/phẳng (


)đi qua điểm M(x
0
,y
0
,z
0
) và có PVT
)C,B,A(n 
thì
phương trình (

) :






0zz.Cyy.Bxx.A
000


2. Mặt phẳng (

) đi qua


A a,0,0 Ox

;



B 0,b,0 Oy

;


C 0,0,c Ox

thì p/trình mặt phẳng (

) :
x y z
1
a b c
  

( Gọi là mặt phẳng phương trình theo đoạn chắn)
Chú ý :


+. Hai vectơ
a
,
b
là cặp VTCP của (

) trong các trường hợp sau:
*

a
,
b
không cùng phương và cùng nằm trên (

)
* a ,b không cùng phương. a nằm trên (

) còn a nằm trên đường thẳng // (

)
* a ,b không cùng phương , cả a và b đều nằm trên 2 đường thẳng // với (

)
+. Hai mặt phẳng // nhau thì PVT của mặt phẳng này cũng là PVT của mặt phẳng kia.
+. Hai mặt phẳng v/ góc nhau thì PVT của mặt phẳng này là một trong hai VTCP của
mặt phẳng kia
3. Các p/pháp xác đònh PVT :
C
1
: Tìm VT vuông góc với mặt phẳng (

).

C
2
: Tìm cặp VTCP a , b





b,a n 
.
C
3
: Mặt phẳng (

) đi qua ba điểm A,B,C thì PVT


AC,AB n 
.
B. BÀI TẬP :
Bài 1 : Trong không gian Oxyz cho điểm A(1,0,1) ; B(3,4,-1) và
k2jOC 
;
AD
= (1,2,-4)
a. Tìm tọa độ các điểm C và D
b. Viết phương trình mặt phẳng (ABC). Từ đó c/m 4 điểm A, B, C, D là 4 đỉnh của tứ diện.
c. Viết phương trình mặt phẳng qua D và song song mặt phẳng (ABC)
d. Viết phương trình mặt phẳng vuông góc với AB tại B.
e. Viết phương trình mặt phẳng trung trực của đoạn BC.
f. Viết phương trình mặt phẳng chứa AB và song song với CD
g. Viết phương trình mặt phẳng qua trung điểm của AB và song song với các đường thẳng AD
và CB
h. Viết phương trình mặt phẳng qua A và vuông góc với đường thẳng BD
i. Viết phương trình mặt phẳng qua các hình chiếu vuông góc của B lên các trục tọa độ
j. Viết phương trình mặt phẳng qua các hình chiếu vuông góc của A lên các mp tọa độ
k. Viết phương trình mặt phẳng qua các điểm đối xứng với A, B, C qua gốc toạ độä

l. Viết phương trình mặt phẳng qua các điểm đối xứng với A, B, C qua các mặt phẳng tọa độ
Bài 2 : Viết phương trình mặt phẳng trong các trường hợp sau :
A
B
C
a
b
a
a
b
b

n

n

n

n
GV: Trần Điện Hồng – Giảng viên ĐHCN.Tp HCM - Đc:435/18/6- Lê Văn Thọ - Gò Vấp- ĐT: 0942.667.889
Chun dạy LTĐH mơn TỐN – Nhận HS đầu tháng .

4
a. Qua điểm M(2,-1,2) và // mp Oxy
b. Qua điểm N(5,1,-2) ; // Oz ; vuông góc với mặt phẳng 3x + 2y + z + 2013 = 0
c. Qua điểm P(-4,0,1) ; // đường thẳng AB với A(2,0,0), B(3,2,-6) và v.góc với mp(P): 5x-z-2 =
0
d. Qua 2 điểm H(3,-2,0), K(2, 5,1) và vuông góc với mặt phẳng –3x + 2z – 7 = 0

III. PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG

1. Các dạng phương trình đường thẳng :
a. Đường thẳng d đi qua M(x
0
, y
0
, z
0
) và có VTCP
)a,a,a(a
321

thì :

0 1
0 2
0 3
x x a t
Ptts d : y y a t
z z a t
 


 


 

( t )R

và

0 0 0
1 2 3
x x y y z z
Ptct d :
a a a
  
 


b. Đường thẳng d đi qua 2 điểm




A A A B B B
A x ,y ,z và A x ,y ,z
có phương trình :

A A A
B A B A B A
x x y y z z
AB:
x x y y z z
  
 
  
( với
B A
x x


,
B A
y y

,
B A
z z

)
2. Các chú ý :
* Để tìm toạ đôï một điểm thuộc đường thẳng cho bởi ptts ta cho t một giá trò tuỳ ý thay vào
ptts tìm x, y, z . Đó là tọa độ của điểm thuộc d
* Để tìm toạ đôï một điểm thuộc đường thẳng là giao tuyến của 2 mặt phẳng,
ta cho x một giá trò tuỳ ý thay vào hệ tìm y, z ( hoặc cho y tìm x, z ; hoặc cho z tìm x, y )
* Đường thẳng d là giao tuyến của 2 mặt phẳng, có VTCP là









22
11
22
11
22
11

BA
BA
,
AC
AC
,
CB
CB
a

Trong đó
1
1 1 1
n (A ,B ,C )


và
2
2 2 2
n (A ,B ,C )


lần lượt là VTPT của 2 mặt phẳng .
BÀI TẬP :
1. Cho đường thẳng d có ptts là
x 2 t
y 1 2t
z 3t
 



  




.
a. Tìm 2 điểm thuộc d ; b. Tìm VTCP của d ; c. Viết pttq và ptct của d .
2. Cho đường thẳng d có ptct là
x 2 3 y z
1 2 3
 
 


a. Tìm hai điểm thuộc d ; b. Tìm VTCP của d ; c. Viết ptts và pttq của d
3. Cho đường thẳng d có pttq là :
2x y z 2 0
y z 4 0
   


   

.
a. Tìm 2 điểm thuộc d ; b. Tìm VTCP của d ; c. Viết ptts và ptct của d
4. Viết phương trình đường thẳng d trong các trường hợp sau :
a. Đi qua điểm M(2,-1,5) và có VTCP là
a ( 2,1, 1)
  


.
b. Là giao tuyến của 2 mặt phẳng : x + y + 2z – 5 = 0 và 3x – y + 3z + 3 = 0
c. Đi qua điểm M(2,3,-1) và vuông góc với mặt phẳng : x + 2y –3z + 1 = 0 .
d. Đi qua 2 điểm A(-2,1,2) và B(0,3,-4) .
GV: Trần Điện Hồng – Giảng viên ĐHCN.Tp HCM - Đc:435/18/6- Lê Văn Thọ - Gò Vấp- ĐT: 0942.667.889
Chun dạy LTĐH mơn TỐN – Nhận HS đầu tháng .

5
e. Đi qua điểm M(0,-2,1) và song song với đường thẳng
x y z 3 0
y z 0
   


 


f. Đi qua điểm N(3,0,0) và song song với đường thẳng :
x 2 3t
y t
z 3
 





 


5. Viết phương trình mặt phẳng trong các trường hợp sau :
a. Đi qua điểm M(4,1,2) và vuông góc với đường thẳng d :
x 1 y 1 3 z
2 1 3
  
 


b. Chứa điểm A(-4,0,-2) và đường thẳng d :
x 2y z 3 0
2y z 1 0
   


   


c. Đi qua điểm B(1,1,1) và song song với các đường thẳng:
d
1
:
2x y z 3 0
x y z 1 0
   


    

; d

2
:
x 1 y 2 z
3 1 3
 
 
 

IV. MẶT CẦU
1. Phương trình mặt cầu :
* Mặt cầu có tâm I(a,b,c) và bán kính R

phương trình mặt cầu là :
(S) : (x - a)
2
+ (y - b)
2
+ (z - c)
2
= R
2

* Phương trình (S) : x
2
+ y
2
+ z
2
– 2 ax – 2 by – 2 cz + d = 0 ( với a
2

+ b
2
+ c
2
– d > 0 )
là phương trình mặt cầu có tâm I(a,b,c) và bán kính R =
d -c b a
222


* Mặt cầu có tâm O(o,o,o) ; bán kính R có phương trình (S) : x
2
+ y
2
+ z
2

= R
2


2. Tương giao giữa mặt cầu và mặt phẳng: Cho m/cầu (S) có tâm I b/kính R và m/phẳng
)
(

.
Gọi H là hình chiếu vuông góc của I lên
)
(


, thì IH = d(I,
)
(

) .
* d(I, )(

) > R

(S) và
)
(

không có điểm chung
* d(I, )(

) = R

(S) và
)
(

tiếp xúc nhau tại H. ( H gọi là tiếp điểm ;
)
(

gọi là tiếp diện
)
* d(I,
)(


) < R

(S) và
)
(

cắt nhau theo giao tuyên là đường tròn (C).
tâm là H; bk R’=
22
IHR  )








BÀI TẬP :
1. Viết phương trình mặt cầu (S) trong các trường hợp sau:
a. Có tâm I(1,2,-3) và bán kính R = 4.
b. Có tâm I(2,-2,0) và đi qua điểm M(1,4,-4)
c. Đi qua ba điểm A(1,2,-4) ; B(1,-3,1) ; C(2,2,3) và có tâm trên mặt phẳng Oxy.
d. Tâm I(1,2,3) và tiếp xúc mp )(

: x - y - 4z - 5 = 0 . Tìm toạ độ tiếp điểm của (S) và )(

.
e. Có tâm trên trục Oz, đi qua A(2,3,4) và tiếp xúc mặt phẳng 2x + 3y + z - 17 = 0

f. Có tâm trên trục Oy và tiếp xúc với 2 mp : x + y - z + 1 = 0 ; x - y + z - 5 = 0
2. Cho 3 điểm A(2,0,0); B(0,1,0); C(0,0,-3)
a. Viết phương trình mặt cầu(S) ngoại tiếp tứ diện OABC với O là gốc tọa độ. Khi đó tìm tâm
H
H
I
H
I
I



)S(
)S(
)S(
)
C
(
GV: Trần Điện Hồng – Giảng viên ĐHCN.Tp HCM - Đc:435/18/6- Lê Văn Thọ - Gò Vấp- ĐT: 0942.667.889
Chun dạy LTĐH mơn TỐN – Nhận HS đầu tháng .

6
và b. kính của (S)
b. Viết phương trình tiếp diện với (S) tại A.
c. Viết phương trình đường tròn (C
1
) ngoại tiếp tam giác ABC. Tìm tâm và bán kính của (C
1
)
d. Viết phương trình đường tròn (C

2
) ngoại tiếp tam giác OAB. Tìm tâm và bán kính của (C
2
)
3. Cho mặt cầu (S) : x
2
+ y
2
+ z
2
– 2x + 4z = 0
a. Tìm tâm và bán kính của (S) .
b. Chứng minh điểm A(3,1,-2) thuộc (S). Viết phương trình tiếp diện với (S) tại A.
c. Viết p/t tiếp diện với (S) , biết tiếp diện đó // với mặt phẳng x+ y + 2z – 1 = 0
d. Viết p/t tiếp diện với (S) , biết tiếp diện đó v/góc với đường thẳng :





03zy2
02yx

e. Tìm giao điểm của (S) với đường thẳng x = 1+ 2t ; y = 1 ; z = - 2t .
f. Viết phương trình đường kính qua A . Tìm giao điểm còn lại của đường kính này với (S).
g. Biện luận theo k vò trí tương đối của (S) và mặt phẳng
)
(

: 2x + y – 2z + k = 0

4. Viết phương trình mặt cầu (S) trong các trường hợp sau:
a. Ngoại tiếp tứ diện ABCD với A(6,-2,3) ; B(0,1,6) ; C(2,0,-1) ; D(4,1,0) . Khi đó viết phương
trình đường tròn (C) ngoại tiếp

ABC, tìm tâm và bán kính đường tròn này
b. Ngoại tiếp tứ diện OABC với A(1,0,0) ; B(0,2,0) ; C(0,0,-3) . Tìm tâm và b/kính .
c. Tâm I(1,2,3) và tiếp xúc m/ hẳng )(

: x – y - 4z - 5 = 0 . Tìm toạ độ t/điểm của (S) và )(

.
d. Đi qua ba điểm A(1,2,-4) ; B(1,-3,1) ; C(2,2,3) và có tâm trên mặt phẳng Oxy.
5. Cho mặt cầu (S) : x
2
+ y
2
+ z
2
– 12x + 4y – 6z + 24 = 0 .
a. Tìm tâm và bán kính của (S).
b. Chứng minh mặt cầu (S) cắt mặt phẳng )(

: 2x + 2y + z +1= 0 . Hãy viết phương trình
đường
tròn giao tuyến của (S) và )(

, tìm tâm và bán kính đường tròn này.
c. Chứng minh điểm A(2,1,3) thuộc mặt cầu (S) .Viết phương trình tiếp diện của (S) tại A.
d. Tìm các giao điểm của của (S) và đường thẳng d:









t43z
t2y
t33x

e. Viết p/t các tiếp diện của (S) biết tiếp diện đó s.song với m/p )(

: 2x – 2y + z + 7 = 0
f. Viết p/t các tiếp diện của (S) biết tiếp diện đó v/góc với đg/thẳng d’:
2
1z
2
1y
1
x 





g. Viết p/t các tiếp diện của (S) biết tiếp diện đó song song với trục Ox và đường thẳng
d:
2
1z

2
1y
1
x 





h. Biện luận theo k vò trí tương đối của (S) và mặt phẳng )(

: 2x + y – 2z + k = 0
V. GÓC:
+. 2 đường thẳng d
1
, d
2
có VTCP lần lượt là
1 2 3
a (a ,a ,a )


,
1 2 3
b (b ,b ,b )


.
Gọi


là góc giữa d
1
và d
2
thì :
1 1 2 2 3 3
2 2 2 2 2 2
1 3 3 1 3 3
a b a b a b
cos
a a a . b b b
 
 
   

+. 2 mặt phẳng (

1
), (

2
) có VTPT lần lượt là )C,B,A(n);C,B,A(n
222
2
111
1

Gọi

là góc giữa 2 mặt phẳng thì:

2
2
2
2
2
2
2
1
2
1
2
1
212121
CBA.CBA
CCBBAA
cos




GV: Trần Điện Hồng – Giảng viên ĐHCN.Tp HCM - Đc:435/18/6- Lê Văn Thọ - Gò Vấp- ĐT: 0942.667.889
Chun dạy LTĐH mơn TỐN – Nhận HS đầu tháng .

7
a
a

a
a
b

b
b
b
d
d
d
'
d
d
'
d
'
d
'
d
M
M'
M
M'
M
M'
M '
M
+. Đường thẳng d có VTCP
)a,a,a(a
321

, Mặt phẳng (P) có VTPT
)C,B,A(n 
.

Gọi

là góc giữa d và (P) thì :
2
3
2
2
2
1
222
321
aaa.CBA
a.Ca.Ba.A
sin




Hệ quả: * d
1


d
2


332211
bababa  = 0
* (


1
)

(

2
)


212121
CCBBAA 
= 0
* d

(

)


a


cùng

phương
n

VI. KHOẢNG CÁCH
+ . Kh.cách từ M(x
0

,y
0
, z
0
) đến mp (

): Ax + By + Cz + D = 0 là :

 
.CBA
Dz.Cy.Bx.A
)(,Md
222
000



+. Kh.cách từ điểm M đến đường thẳng

(đi qua điểm A, VTCP a ) là:
 


 
a
AM,a
,Md 

+. Kh.cách giữa 2 đường thẳng
1

 và
2
 là:
 


 
b,a
AB.b,a
,d
21


(
1
 đi qua A, có VTCP là a .
2
 đi qua B, có VTCP b )

VII. VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG
1. Vị trí tương đối 2 mặt phẳng :


Cho hai mặt phẳng :
(
1

) : A
1
x + B

1
y + C
1
z + D
1
= 0 có VTVT là 

1 1 1 1
n A B C
( , , )

(
2
 ) : A
2
x + B
2
y + C
2
z + D
2
= 0 có VTVT là
)C,B,A(n
2222


TH1:
21
nvàn
không cùng phương



)
(
1
 cắt
)
(
2

TH2:



   


 
1 2
1 2
n n cùng phương
Điểm M ( ) và M ( )
;


(
1

) // (
2


)
TH3:



   


 
1 2
1 2
n n cùng phương
Điểm M ( ) và M ( )
;


(
1

)

(
2

)
2. Vị trí tương đối 2 đường thẳng:

Cách 1:
1

2
n

2


1
n

2
n
2


1
n
2

1


2
n
2



1
n
M
M
GV: Trần Điện Hồng – Giảng viên ĐHCN.Tp HCM - Đc:435/18/6- Lê Văn Thọ - Gò Vấp- ĐT: 0942.667.889
Chun dạy LTĐH mơn TỐN – Nhận HS đầu tháng .

8
TH1:





 
 
a và b cùng phương
MM không cùng phương a
'


d // d’ ; TH2:





 

 
a và b cùng phương
MM cùng phương a
'


d

d’

TH3:

 

 



  
 
a b . MM' = 0
a và b không cùng phương
,

d cắt d’ ; TH4:
 

 
  
a b . MM' 0

,

d chéo d’
Cách 2: Cho 2 đường thẳng d:








tazz
tayy
taxx
30
20
10
có vtcp )a,a,a(a
321
 và qua điểm M(x
0
, y
0
, z
0
)
và d’:









'tbzz
'tbyy
'tbxx
3
'
0
2
'
0
1
'
0
có vtcp
)b,b,b(b
321


TH1: 'd//d
d'M
phươngcùngb,a








; TH2:


 




 
a b cùng phương
d d
M d'
,
'


TH3:

  


   


  



0 1 0 1
0 2 0 2
0 3 0 3
x a t x b t
HệPT y a t y b t cónghiệm duy nhất d cắt d
z a t z b t
'
'
'
'
: ' '
'

Chú ý: Giả sử (t
0
,
'
0
t ) là nghiệm của HPT. Để tìm giao điểm M
0
của 2 đường thẳng thì
thay t
0
vào phương trình d. Bộ 3 số đó là tọa độ giao điểm
TH4:

  


   



  


 
0 1 0 1
0 2 0 2
0 3 0 3
x a t x b t
a b không cùng phương và HPT y a t y b t vôngh
iệm d chéo d
z a t z b t
'
'
'
'
, : ' '
'


3. Vò trí tương đối của của đường thẳng và mp:






)
//(

d


)
(

cắt
d

)
(
d



Cách 1:
TH1:



 

  


 
n a cùng phương
d ( )
M d , M ( )
/ /

; TH2:



  

  


 
n a cùng phương
d ( )
M d , M ( )

TH3:
   
   
n không vuông góc a n a 0 d cắt
( )
.

Cách 2: Cho đường thẳng d :









tazz
tayy
taxx
30
20
10
và mp
)
(

: Ax + By + Cz + D = 0.
Để xét vò trí tương đối của d và
)
(

, ta thay x, y, z từ phương trình d vào phương trình
)
(

,
được phương trình: A(x
0
+ a
1
t ) +B(y
0
+ a
2
t ) + C(z
0

+ a
3
t ) + D = 0 (1) ( có ẩn t )

M


d
d
d
n
a
n
a
M
M
n
a
GV: Trần Điện Hồng – Giảng viên ĐHCN.Tp HCM - Đc:435/18/6- Lê Văn Thọ - Gò Vấp- ĐT: 0942.667.889
Chun dạy LTĐH mơn TỐN – Nhận HS đầu tháng .

9
TH1: Phương trình (1) vô nghiệm

d //
)
(


TH2: Phương trình (1) có vô số nghiệm


d


)
(


TH3: Phương trình (1) có nghiệm duy nhất

d cắt
)
(


Nếu t = t
0
là nghiệm, để tìm giao điểm của d và
)
(

ta thay t
0
vào phương trình d.
Bộ 3 số đó là tọa độ giao điểm

B. BÀI TẬP LUYỆN THI
Viết phương trình đường thẳng , mặt phẳng .
1. LËp ph¬ng tr×nh ®êng th¼ng d qua ®iĨm M(- 4,-5, 3) vµ c¾t hai ®êng th¼ng:
(d

1
):
1
2z
2
3y
3
1x







(d
2
):
5
1z
3
1y
2
2x







.
2. LËp ph¬ng tr×nh ®êng th¼ng qua ®iĨm A(0; 1; 1) vu«ng gãc víi ®êng th¼ng:
(d
1
):
1
z
1
2y
3
1x




vµ c¾t ®êng th¼ng (d
2
):
x 1
y t
z 1 t
 





 


3. Cho mỈt ph¼ng (P) vµ ®êng th¼ng (d) cã ph¬ng tr×nh: (P): 2x + y + z - 1 = 0,
(d):
3
2z
1
y
2
1x




. ViÕt ph¬ng tr×nh cđa ®êng th¼ng qua giao ®iĨm cđa (P) vµ (d), vu«ng gãc
víi (d) vµ n»m trong (P).
4. Cho ®iĨm A(- 4,-2, 4) vµ ®.th¼ng d:
x 3 2t
y 1 t
z 1 4t
  


 


  

(t  R). ViÕt ph¬ng tr×nh ®êng th¼ng  ®i qua
®iĨm A, c¾t vµ vu«ng gãc víi ®êng th¼ng d.
5. Cho hai ®iĨm A(1, 4, 2 ), B(-1, 2,4) vµ ®êng th¼ng :
2

z
1
2y
1
1x





. ViÕt ph¬ng tr×nh ®êng
th¼ng d ®i qua träng t©m G cđa tam gi¸c OAB vµ vu«ng gãc víi mỈt ph¼ng (OAB), với O là gốc
tọa đơ
6. Cho hai đường thẳng d
1
:
1
1z
1
1y
2
1x 





, d
2
:

2
1z
1
2y
1
1x 




và mp(P): x - y - 2z + 3 = 0.
Viết phương trình chính tắc của đường thẳng , biết  nằm trên mặt phẳng (P) và  cắt hai đường
thẳng d
1
, d
2
.
7. A2007. Cho hai đường thẳng d
1
:
x y 1 z 2
2 1 1
 
 

d
2
:
x 1 2t
y 1 t

z 3
  


 




. Viết phương trình đường
thẳng d vng góc với (P): 7x + y – 4z = 0 và cắt hai đường thẳng d
1
và d
2
.
8. Cho bốn điểm A(4,5,6); B(0,0,1); C(0,2,0); D(3,0,0). Viết phương trình đường thẳng d vng góc
với mặt phẳng (Oxy) và cắt được các đường thẳng AB, CD.
9. Cho ba mặt phẳng: (P): 2x – y + z + 1 = 0, (Q): x – y + 2z + 3 = 0, (R): x + 2y – 3z + 1 = 0
và đường thẳng
1

:
2
2x


=
1
1y 
=

3
z
. Gọi
2

là giao tuyến của (P) và (Q).
Viết phương trình đường thẳng (d) vng góc với (R) và cắt cả hai đường thẳng
1
 ,
2
 .

10. Cho hai đường thẳng d
1
:








tz
3y
t22x
d
2
:
2

z
1
y1
1
2x




. Viết phương trình đường thẳng d song
song với Oz cắt cả d
1
và d
2
.
GV: Trần Điện Hoàng – Giảng viên ĐHCN.Tp HCM - Đc:435/18/6- Lê Văn Thọ - Gò Vấp- ĐT: 0942.667.889
Chuyên dạy LTĐH môn TOÁN – Nhận HS đầu tháng .

10
11. Viết p.trình đường vuông góc chung của 2 đường thẳng sau:
1
2z
1
1y
2
x
:d
1















3z
t1y
t21x
:d
2

12. Cho đường thẳng d
1:








t21z
t21y

t1x
, đường thẳng d
2
là giao tuyến của hai mặt phẳng (P): 2x – y – 1 =
0 và (Q): 2x + y + 2z – 5 = 0. Gọi I là giao điểm của d
1
và d
2
. Viết phương trình đường thẳng d
3

qua A(2, 3, 1), đồng thời cắt hai đường thẳng d
1
và d
2
lần lượt tại B và C sao cho tam giác BIC cân
đỉnh I.
13. Cho tam giác ABC có A(1,-,2, 3), B(2,1, 0), C(0, -1, -2). Viết phương trình tham số đường cao
tương ứng với đỉnh A của tam giác ABC.
14. Cho các điểm A(2,0,0); B(0,4,0); C(2,4,6) và đường thẳng d:
6x 3y 2z 0
6x 3y 2z 24 0
  


   

. Viết phương
trình đ.thẳng  // (d) và cắt các đường thẳng AB, OC.
15. Cho điểm M(0,1,1) và 2 đường thẳng (d

1
), (d
2
) với (d
1
):
x 1 y 2 z
3 2 1
 
 
; (d
2
) là giao tuyến của 2
mặt phẳng (P):
x 1 0
 
và (Q):
x y z 2 0
   
. Viết phương trình đường thẳng (d) qua M vuông
góc (d
1
) và cắt (d
2
).
16. Cho hình chóp A.OBC, trong đó A(1,2,4), B thuộc trục Ox và có hoành độ dương, C thuộc Oy và
có tung độ dương. Mặt phẳng (ABC) vuông góc với mặt phẳng (OBC), 2OBCtan

. Viết phương
trình tham số của đường thẳng BC.

17. Cho đường thẳng
x 1 y 2 z 2
:
3 2 2
  
  

và mặt phẳng (P): x + 3y + 2z + 2 = 0. Lập phương trình
đường thẳng song song với mặt phẳng (P), đi qua M(2,2,4) và cắt đường thẳng ().
18. Cho hai mặt phẳng và hai đường thẳng có phương trình (P):
3x 12y 3z 5 0
   
và
(Q):
3x 4y 9z 7 0
   
(d
1
):
x 5 y 3 z 1
2 4 3
  
 

, (d
2
):
x 3 y 1 z 2
2 3 4
  

 

. Viết ph.trình đường
thẳng () song song với hai mặt phẳng (P), (Q) và cắt (d
1
), (d
2
).
19. Cho đường thẳng
x y 1 z 2
d:
1 2 1
 
  và mặt phẳng (P): x + 3y + 2z + 2 = 0. Lập phương trình
đường thẳng d đi qua điểm M(2,2,4), song song với mặt phẳng (P) và cắt đường thẳng d.

20. Cho hai điểm A(0,0,–3), B(2,0,–1) và mặt phẳng (P) có phương trình:
3x 8y 7z 1 0
   
. Viết
phương trình chính tắc đường thẳng d nằm trên mặt phẳng (P) và d vuông góc với AB tại giao điểm
của đường thẳng AB với (P).
21. Cho mp(P): x – 2y + z – 2 = 0 và hai đường thẳng : d:
x 1 3 y z 2
1 1 2
  
 

và d’:
x 1 2t

y 2 t
z 1 t
 


 


 


Viết phương trình tham số của đường thẳng (

) nằm trong mặt phẳng (P) và cắt cả hai đường thẳng
(d) và (d’). CMR (d) và (d’) chéo nhau và tính khoảng cách giữa chúng .
22. Cho điểm A(1,0,1), B(2,1,2) và mặt phẳng (Q): x + 2y + 3z + 3 = 0. Lập phương trình mặt phẳng
(P) đi qua A, B và vuông góc với (Q).
23. A.2012. NC. Cho đường thẳng d:
x 1 y z 2
2 1 1
 
 
và mặt phẳng
(P):x y 2z 5 0
   
và điểm
A(1,-1,2). Viết phương trình đường thẳng

cắt d và (P) lần lượt tại M và N sao cho A là trung điểm
của đoạn thẳng MN.

GV: Trn in Hong Ging viờn HCN.Tp HCM - c:435/18/6- Lờ Vn Th - Gũ Vp- T: 0942.667.889
Chuyờn dy LTH mụn TON Nhn HS u thỏng .

11
24. Cho (P): x + 2y + 3z - 3 = 0, ng thng d:








0z
ty
1x
v im M(8,7,4).
a. Chng minh (d) ct (P). Tính khang cách t M n (P).
b. Viết phơng trình đờng thẳng đi qua điểm M song song vi mt phng (P) v cắt đ.thẳng d.
25. Cho mặt phẳng (P): x - 4y - 2z = 0 v 2 đờng thẳng
1
:
2
1z
1
2y
3
1x

và
2
:
x 2 3t
y 2t
z 4 2t








.
a. Chng minh
1
chéo
2
.
b. Vit phng trình ng thng (d) nm trong mt phng (P) ct
1
v vuông góc vi
2



26. Cho điểm A(0,1,2) và hai đờng thẳng : d

1
:
1
1z
1
1y
2
x





d
2
:
x 1 t
y 1 2t
z 2 t









a. Viết phơng trình mặt phẳng (P) qua A, đồng thời song song với d
1

và d
2
.
b. Tìm toạ độ các điểm M d
1
, N d
2
sao cho ba điểm A, M, N thẳng hàng.
27. Cho 2 đờng thẳng:
1
:
2
z
1
2y
1
1x





và
2
:

2z
t1y
t1x

Viết phơng trình mặt phẳng (P) chứa đờng thẳng
1
và song song với đờng thẳng
2
.
28. Cho 3 điểm A(0,1,2), B(2,- 2,1), C(- 2,0,1)
a. Viết phơng trình mặt phẳng đi qua 3 điểm A, B, C.
b. Tìm M thuộc (P): 2x + 2y + z - 3 = 0 sao cho MA = MB = MC.
29. Cho im M(1,-1,1) v hai ng thng
3
z
2
1y
1
x
:d
1





v

5
4z
2
1y
1
x
:d
2




. Chng
minh: im M, (d
1
), (d
2
) cựng nm trờn mt mt phng. Vit phng trỡnh mt phng ú.
30. B.2012.Nc. Cho A(0,0,3), M(1,2,0). Vit phng trỡnh mt phng (P) qua A v ct cỏc trc Ox, Oy
ln lt ti B,C sao cho tam giỏc ABC cú trng tõm thuc ng thng AM.
31. Cho im I(1,5,0) v hai ng thng
1
x t
: y 4 t
z 1 2t

;
2
x y 2 z
:
1 3 3



.
a. Vit ph.trỡnh tham s ca ng thng d i qua im I v ct c hai ng thng
1

v
2


b. Vit phng trỡnh mt phng(

) qua im I, song song vi
1

v
2

.
32. Cho im A(4,5,6). Vit phng trỡnh mt phng (P) qua A; ct cỏc trc ta ln lt ti I; J; K
m A l trc tõm ca tam giỏc IJK.

33. Cho hai im A(1,2,3) v B(3,4,1). Tỡm to im M thuc mt phng (P):
x y z 1 0


MAB l tam giỏc u.
34. D.2012.NC Cho ng thng d:
x 1 y 1 z
2 1 1



v hai im A(1,-1,2) , B(2,-1,0). Xỏc nh ta
im M thuc d sao cho tam giỏc AMB vuụng ti M .
35. Cho hai đờng thẳng (d
1
) và (d
2
) lần lợt có phơng trình: (d
1
):





01zyx
0z2yx
(d
2
):

t2z
t5y
t22x

a. Chng hai đờng thẳng d
1
và d
2
chéo nhau.
b. Viết phơng trình mặt phẳng () chứa d
2
và song song với d
1
.

GV: Trn in Hong Ging viờn HCN.Tp HCM - c:435/18/6- Lờ Vn Th - Gũ Vp- T: 0942.667.889
Chuyờn dy LTH mụn TON Nhn HS u thỏng .

12
36. Cho hai đờng thẳng: (D
1
):

tz
ty
t1x
và (D
2
):








'tz
't1y
't2x
(t, t' R)
a. Viết phơng trình các mặt phẳng (P) và (Q) song song với nhau và lần lợt đi qua (D
1
) và (D
2

).
b. Viết phơng trình đờng thẳng (D) song song với trục Oz và cắt cả hai đờng thẳng (D
1
), (D
2
)

37. Cho im M(1,2,3). Vit phng trỡnh mt phng (P) i qua 3 im A, B, C vi A l hỡnh chiu
vuụng gúc ca M lờn mt phng Oyz, B l hỡnh chiu vuụng gúc ca M lờn trc Ox, C l im i
xng ca M qua gc ta O.
38. Cho hai đờng thẳng d
1
:
2
1z
1
2y
3
1x






và d
2
:
x y z 2 0
x 3y 12 0

Mặt phẳng toạ độ Oxz cắt hai đờng thẳng d
1
, d
2
lần lợt tại các điểm A, B. Tính diện tích OAB
(O là gốc toạ độ).
39. Cho ba im A(1,0,0), B(0,2,0), C(0,0,3). Tỡm to trc tõm ca tam giỏc ABC.
40. B2011C. Cho ng thng
x 2 y 1 z
:
1 2 1



v mt phng (P): x + y + z -3 = 0. Gi I l giao
im ca

v (P). Tỡm ta im M thuc (P) sao cho MI vuụng gúc

v MI =
4 14
.
41. B2011Nc. Cho ng thng
x 2 y 1 z 5

:
1 3 2



v 2 im A(-2,1,1) , B(-3,-1,2). Tỡm ta
im M thuc

sao cho tam giỏc MAB cú din tớch bng
3 5
.
42. A2011Nc. Cho hai im A(2,0,1), B(0,-2,3) v mt phng (P): 2x y z + 4 = 0. Tỡm ta im M
thuc (P) sao cho MA = MB = 3

Cỏc bi toỏn liờn quan gúc
43. Cho đờng thẳng (d):
2
3z
2
1y
1
1x






và mặt phẳng (P): 2x - 2y + z - 3 = 0
Tìm toạ độ giao điểm A của đờng thẳng (d) với mặt phẳng (P). Tính góc giữa đờng thẳng (d) và

mặt phẳng (P).
44. Cho hai ng thng
1
:
x y z
1 2 1


,
2
:
x 1 y 1 z 1
1 1 3




a. Chng minh hai ng thng
1
v
2
chộo nhau.
b. Vit phng trỡnh mt phng (P) cha ng thng
2
v to vi g thng
1
mt gúc 30
0
.
45. Cho mt phng (P):

2x y 5z 1 0

. Lp phng trỡnh mt phng (Q) cha trc Oz v to vi
mt phng (P) mt gúc 60
0

46. Cho đờng thẳng
x 1 y 4 z 1
d :
1 2 1



và mặt phẳng
(P) : 2x 4y z 4 0.

Tìm tọa độ điểm
M trên đờng thẳng d sao cho khoảng cách từ M đến O bằng khoảng cách từ M đến giao điểm A của
d và (P). Viết phơng trình đờng thẳng

nằm trong mặt phẳng (P), đi qua A và tạo với d một góc
60
0
.
47. A2006. Cho hỡnh lp phng ABCD.ABCD cú A(0,0,0) B(1,0,0), D(0,1,0), A(0,0,1). Gi M, N
ln lt l trung im ca AB v CD. Vit phng trỡnh mt phng cha AC v to vi mt phng
Oxy mt gúc

, bit
1

cos
6

48. Cho t din ABCD bit A(0,0,2), B(-2,2,0), C(2,0,2),
DH (ABC)

v DH = 3 vi H l trc tõm
tam giỏc ABC. Tớnh gúc gia (DAB) v (ABC).
49. Cho cỏc im
B( 1, 3,0), C(1, 3,0), M(0,0,a)

vi a > 0. Trờn trc Oz ly im N sao cho mt
phng (NBC) vuụng gúc vi mt phng (MBC).
a. Cho
a 3

. Tỡm gúc gia mt phng (NBC) v mt phng (OBC).
b. Tỡm a th tớch ca khi chúp BCMN nh nht .
GV: Trn in Hong Ging viờn HCN.Tp HCM - c:435/18/6- Lờ Vn Th - Gũ Vp- T: 0942.667.889
Chuyờn dy LTH mụn TON Nhn HS u thỏng .

13
50. Cho ba im A (6,-2,3); B (2,-1,3); C (4,0,-1).
a. Chng minh rng: A, B, C l ba nh ca mt tam giỏc. Tỡm di ng cao ca tam giỏc ABC
k t nh A.
b. Tỡm m v n im M (m + 2, 1, 2n + 3) thng hng vi A v C.

Cỏc bi toỏn liờn quan khong cỏch
51. A2005. Cho ng thng d:
x 1 y 3 z 3

1 2 1



v mt phng (P): 2x + y - 2z + 9 = 0.
a. Tỡm ta im I thuc d sao cho khong cỏch t I n (P) bng 2.
b. Tỡm ta giao im A ca d v (P). Vit ptts ng thng

nm trong (P), i qua A v vuụng
gúc d.
52. Tỡm trờn Ox im A cỏch u ng thng (d):
x 1 y z 2
1 2 2


v mt phng (P) : 2x y 2z = 0
53. Vit phng trỡnh mt phng (P) qua O, vuụng gúc vi mt phng (Q):
x y z 0

v cỏch im
M(1,2,
1

) mt khong bng
2
.
54. Cho mt phng (P): x 2y + 2z -1 = 0 v cỏc ng thng
2
z
3

3y
2
1x
:d
1






2
x 5 y z 5
d :
6 4 5



. Tỡm cỏc im
1 2
M d , N d

sao cho MN // (P) v cỏch (P) mt khong l 2.
55. Cho mt phng (P):
x y z 1 0

, ng thng d:
3
1z
1

1y
1
2x







. Gi I l giao im ca d
v (P). Vit phng trỡnh ca ng thng

nm trong (P), vuụng gúc vi d v cỏch I mt
khong bng
2
3
.
56. Cho ng thng (d):
x 2 4t
y 3 2t
z 3 t

v mt phng (P):
x y 2z 5 0

. Vit phng trỡnh ng
thng () nm trong (P), song song vi (d) v cỏch (d) mt khong l
14
.
57. A2010C. Cho ng thng
x 1 y z 2
:
2 1 1



v mt phng (P): x 2y + z = 0. Gi C l giao im
ca

vi (P), M l im thuc

. Tớnh khong cỏch t M n (P), bit MC =
6

58. A2009Nc. Cho mặt phẳng (P): x - 2y + 2z - 1 = 0 v 2 đờng thẳng:

1
:
6
9z
1
y

1
1x



và
2
:
2
1z
1
3y
2
1x






. Xác định ta im M thuc
1
sao cho khong
cách t M n ng thng
2
v khong cách t M n (P) bng nhau.
59. Cho din ABCD có A(1,2,1); B(-2,1,3); C(2,-1,1), D(0,1,3). Vit phng trình mt phng (P) i qua
A v B sao cho khong cách t C n (P) bng khong cách t D n (P) .
60. Cho A(a,0,0), B(0,b,0), C(0,0,c) với a, b, c > 0.
a. Tính khoảng cách từ O đến mp (ABC).

b. Tính thể tích khối đa diện OIBC trong đó I là chân đờng cao kẻ từ C của ABC

.
61. Cho ng thng (D) cú phng trỡnh:
x 2 t
: y 2t
z 2 2t








.Gi

l ng thng qua im A(4,0,-1)
song song vi (D) v I(-2,0,2) l hỡnh chiu vuụng gúc ca A trờn (D). Trong cỏc mt phng qua

, hóy vit phng trỡnh ca mt phng cú khong cỏch n (D) l ln nht.
62. Cho hai ng thng chộo nhau :
1
x 1 t
d : y 2t
z 2 t

v
1
1z
3
1y
1
x
:d
2





. Lp ph.trỡnh mt
phng song song v cỏch u hai ng thng d
1
v d
2
.
GV: Trn in Hong Ging viờn HCN.Tp HCM - c:435/18/6- Lờ Vn Th - Gũ Vp- T: 0942.667.889
Chuyờn dy LTH mụn TON Nhn HS u thỏng .

14
63. Cho mt phng (P):
x 2y 2z 1 0

v cỏc ng thng
1 2
x 1 y 3 z x 5 y z 5
d : ; d :
2 3 2 6 4 5



. Tỡm cỏc im
1 2
M d , N d

sao cho MN // (P)
v cỏch (P) mt khong bng 2.
64. Cho mặt phẳng (P): 2x - y + 2z - 3 = 0 v 2 đờng thẳng:
1
:
1
z
2
1y
2
4x





và

2
:
2
7z
3
5y
2
3x






.
a. Chng t
1
// (P) v
2
ct

(P).
b. Tính khong cách gia hai ng thng
1
v
2
.
c. Vit phng trình ng thng (d) // (P) ct
1

v
2
ln lt ti M, N sao cho MN = 3.
65. Cho mt phng (): 3x + 2y z + 4 = 0 v hai im A(4,0,0) , B(0,4,0) .Gi I l trung im ca
on thng AB. Xỏc nh ta im K sao cho KI vuụng gúc vi mt phng (), ng thi K cỏch
u gc ta O v ().
66. A.2004. Trong khụng gian Oxyz cho hỡnh chúp S.ABCD cú ỏy ABCD l hỡnh thoi, AC ct BD ti
gc ta O. Bit A(2,0,0), B(0,1,0) , S(0,0,
2
). Gi M l trung im cnh SC.
a. Tớnh gúc v khong cỏch gia 2 ng thng SA, BM.
b. Gi s mt phng (ABM ) ct SD ti im N. Tớnh th tớch khi chúp S.ABMN.
67. Cho hai im A (4,0,0), B (0,4,0) v mt phng (P): 3x + 2y - z + 4 = 0. Gọi I là trung điểm AB.
a. Tìm tọa độ giao điểm của AB với (P).
b. Xác định tọa độ điểm K, biết KI

(P) và OK = d(K, (P)).
68. Cho đờng thẳng d:
2
5z
1
1y
2
3x





, mặt phẳng (P): x + y - z - 1 = 0 v im A(2,1,-3).

a. Viết ph.trình đờng thẳng đi qua A song song vi mt phng (P) v vuông góc vi đ.thẳng d
b. Tìm im M thuc (d) sao cho khong cách t M n (P) bng 3.
69. B2010C. Cho cỏc im A(1,0,0), B(0,b,0), C(0,0,c) trong ú b, c dng v mp(P): y z + 1 = 0. Xỏc
nh b v c, bit mt phng(ABC) vuụng gúc vi (P) v khong cỏch t O n mt phng(ABC)
bng 1/3 .
70. B2010Nc. Cho ng thng
x y 1 z
:
2 1 2


. Xỏc nh ta im M trờn trc honh sao cho
khong cỏch t M n

bng OM.

Cỏc bi toỏn liờn quan hỡnh chiu
71. Cho mt phng
( )

:
2x y z 5 0

v im
A(2;3; 1)

.
a. Tỡm to im H l hỡnh chiu vuụng gúc ca A lờn
( )

.
b. Tỡm to im B i xng vi A qua mt phng
( )

.
72. Cho im M(2,1,0) v ng thng d:
x 1 2t
y 1 t
z t








.
a. Tỡm ta im H l hỡnh chiu vuụng gúc ca M lờn ng thng d.
b. Tỡm to im M i xng vi M qua ng thng d.
c. Vit phng trỡnh tham s ca ng thng i qua im M, ct v vuụng gúc vi ng thng d.
73. Cho 4 im : A(1,2,2) B(-1,2,-1) C(1,6,-1) D(-1,6,2). Tỡm ta hỡnh chiu vuụng gúc ca im A
trờn mt phng (BCD)
74. Cho đờng thẳng (d):
2
3z
2
1y
1
1x

và mặt phẳng (P): 2x - 2y + z - 3 = 0
Chng minh d ct (P), tỡm giao im. Viết phơng trình hình chiếu vuông góc (d') của đờng thẳng
(d) trên mặt phẳng (P).
GV: Trn in Hong Ging viờn HCN.Tp HCM - c:435/18/6- Lờ Vn Th - Gũ Vp- T: 0942.667.889
Chuyờn dy LTH mụn TON Nhn HS u thỏng .

15
75. Cho đờng thẳng (d):
2
3z
2
1y
1
1x






và mặt phẳng (P): 2x + 2y + 3z - 3 = 0
Chng minh d //(P). Viết phơng trình hình chiếu vuông góc (d') của đờng thẳng (d) trên mặt
phẳng (P).
76. Cho hai điểm A(0,0,4), B(2,0,0) và mặt phẳng (P): 2x + y - z + 5 = 0. Viết phơng trình hình chiếu

vuông góc của AB lên mặt phẳng (P).
77. Cho đờng thẳng d:
4
z
1
3y
2
5x





và mặt phẳng (P): 2x - y + z - 3 = 0.
a. Xét vị trí tơng đối giữa (P) v (d ).
b. Viết phơng trình d hình chiếu vuông góc của d lên (P).
78. Cho 2 ng thng
1
x t
d : y 4 t
z 6 2t








v

2
x t'
d : y 3t' 6
z t' 1








. Gi K l hỡnh chiu vuụng gúc ca im
I(1,1,1) trờn (d
2
). Tỡm phng trỡnh tham s ca ng thng i qua K vuụng gúc vi (d
1
) v ct
(d
1
).
Cỏc bi toỏn v giỏ tr ln nht nh nht
79. Cho đờng thẳng và :

2z
t1y
t1x
v điểm M( 2,1,4). Tìm toạ độ điểm H thuộc đờng thẳng
sao cho đoạn thẳng MH có độ dài nhỏ nhất.
80. Cho 2 đờng thẳng
1
:
1
3z
2
3y
1
1x






và
2
:

t21z
t2y
t1x
. Xác định tọa độ các điểm A, B lần
lợt thuộc đờng thẳng
1 ,

2
sao cho đoạn thẳng AB có độ dài nhỏ nhất.
81. Cho hai điểm A(1, 2,-1), B(7, -2, 3) và đờng thẳng (d) có phơng trình:
(d) :
x 1 y 2 z 2
3 2 2




a. Chứng minh rằng đờng thẳng (d) và đờng thẳng AB cùng nằm trong một mặt phẳng.
b. Tìm điểm I (d) sao cho AI + BI nhỏ nhất.
82. Cho hai ng thng: d
1
:
x 2 y z 1
4 6 8



v d

2
:
x 7 y 2 z
6 9 12



. Xột v trớ tng i ca d
1
v
d
2
. Cho hai im A(1,-1,2) v B(3,- 4,-2). Tỡm ta im I trờn ng thng d
1
sao cho IA + IB
t giỏ tr nh nht.
83. Cho tứ diện ABCD với A(2,3,2), B(6, -1, -2), C(-1,-4, 3), D(1, 6,-5). Tìm toạ độ điểm M thuộc
đờng thẳng CD sao cho ABM có chu vi nhỏ nhất.
84. Cho hai im A (-1,3,-2), B (-3,7,-18) v mt phng (P): 2x - y + z + 1 = 0
a. Vit phng trình mt phng cha AB v vuông góc vi mp (P).
b. Tim ta im M (P) sao cho MA + MB nh nht.
85. Cho hai điểm A(1,4,2 ), B(-1,2,4) và đờng thẳng :
2
z
1
2y
1
1x

. Tìm toạ độ điểm M thuộc
đờng thẳng sao cho MA
2
+ MB
2
nhỏ nhất.
86. Cho M(1,2,3). Lp phng trỡnh mt phng i qua M ct ba tia Ox ti A, Oy ti B, Oz ti C sao cho
th tớch t din OABC nh nht.
87. Cho điểm A(1,2,-1) , B(7, -2,3) và đờng thẳng d l giao tuyn ca 2 mp : 2x + 3y - 4 = 0 ;
y + z - 4 = 0
1. Chứng minh rằng hai đờng thẳng d và AB ồng phẳng.
2. Tìm toạ độ giao điểm của đờng thẳng d với mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng AB.
3. Trên d, tìm điểm I sao cho độ dài đờng gấp khúc IAB ngắn nhất.
GV: Trn in Hong Ging viờn HCN.Tp HCM - c:435/18/6- Lờ Vn Th - Gũ Vp- T: 0942.667.889
Chuyờn dy LTH mụn TON Nhn HS u thỏng .

16
88. Cho hai im A(1,- 2,3), B(2,- 1,2) v ng thng:
x y 1 z 6
d :
1 2 3



Tỡm ta ca im M trờn d sao cho din tớch tam giỏc MAB nh nht.
89. Cho im A(2,5,3) v ng thng
x 1 y z 2

d : .
2 1 2


Vit phng trỡnh mt phng



cha d
sao cho khong cỏch t
A
n



ln nht.
90. Cho điểm A(10, 2,-1) và đờng thẳng d có phơng trình
3
1z
1
y
2
1x


. Lập phơng trình mặt
phẳng (P) đi qua A, song song với d và khoảng cách từ d tới (P) là lớn nhất.
91. Cho đờng thẳng (d) l giao tuyn ca 2 mt phng (P): x + y z = 0. (Q): 2z y = 0 và 3 điểm
A(2,0,0), B(2,-1,0), C(1,0,1). Tìm trên đờng thẳng (d) điểm S sao cho: SA + SB + SC đạt giá trị nhỏ
nhất.

92. Cho im A(-3,0,1); B(1,-1,3) v mt phng
(P):x 2y 2z 5 0

. Trong các ng thng i qua A
v song song vi (P). Vit phng trình ng thng m khong cách t B n ng thng đó nh
nht.
93. Cho mt phng (P) v ng thng (d) ln lt cú phng trỡnh: (P): 2x y 2z 2 = 0;
(d):
x y 1 z 2
1 2 1



. Vit phng trỡnh mt phng (Q) cha ng thng (d) v to vi mt
phng (P) mt gúc nh nht.

Cỏc bi toỏn vit phng trỡnh mt cu:
94. Viết phơng trình mặt cầu (S ) có tâm nằm trên ờng thẳng d:
x 1 t
y 2
z 1 t








và tiếp xúc với hai mặt

phẳng (P): x + 2y- 2z - 2 = 0 ; (Q): x + 2y- 2z + 4 = 0
95. Cho 3 điểm A(2,0,1) B(1,0,0) C(1,1,1) và mặt phẳng (P): x + y + x - 2 = 0. Viết phơng trình mặt
cầu đi qua 3 điểm A, B, C và có tâm thuộc mặt phẳng (P).
96. Lập phơng trình mặt cầu tâm I (2; 3;-1) cắt đờng thẳng d:
5x 4y 3z 20 0
3x 4y z 8 0





hai điểm A, B
sao cho AB = 16 .
97. Cho tứ diện OABC có O là gốc tọa độ, A Ox, B Oy, C Oz và mặt phẳng (ABC) có phơng
trình: 6x + 3y + 2z - 6 = 0.
a. Tính thể tích khối tứ diện OABC.
b. Xác định toạ độ tâm và tính bán kính của mặt cầu ngoại tiếp khối tứ diện OABC
98. Cho các đờng thẳng:
1
x 1
(d ): y 4 2t
z 3 t

và (d
2
):
x 3t'
y 3 2t '
z 2








(t, t' R)
a. Chứng minh rằng (d
1
) và (d
2
) chéo nhau.
b. Viết phơng trình mặt cầu (S) có đờng kính là đoạn vuông góc chung của (d
1
) và (d
2
).
99. Cho ba điểm A(1,1,0), B(0,2,0), C(0,0,2).
a. Viết phơng trình mặt phẳng (P) đi qua gốc tọa độ và vuông góc với BC. Tìm tọa độ giao điểm
của AC với (P).
b. Chứng minh tam giác ABC vuông. Viết phơng trình mặt cầu ngoại tiếp tứ diện OABC.
100. Cho hai điểm A(0,0,4), B(2,0,0) và mặt phẳng (P): 2x + y - z + 5 = 0. Lập phơng trình mặt cầu đi

qua O,A.B và tiếp xúc với (P).
101. Cho bốn điểm A(3,3,0), B(3,0,3), C(0,3,3), D(3,3,3).
a. Lập phơng trình mặt cầu đi qua bốn điểm A.B , C, D.
b. Tìm tọa độ tâm đờng tròn ngoại tiếp tam giác ABC.
102. Cho lăng trụ đứng OAB.O
1
A
1
B
1
với A(2,0,0), B(0,4,0), O
1
(0,0,4). Tìm tọa độ A
1
, B
1
và viết phơng
trình mặt cầu đi qua bốn điểm O, A, B , O
1
.
GV: Trn in Hong Ging viờn HCN.Tp HCM - c:435/18/6- Lờ Vn Th - Gũ Vp- T: 0942.667.889
Chuyờn dy LTH mụn TON Nhn HS u thỏng .

17
103. Cho lăng trụ đứng ABC.A
1
B
1
C
1

với A(0,-3,0), B(4,0,0), C(0,3,0) , B
1
(4,0,4).
a. Tìm tọa độ A
1
, C
1
và viết phơng trình mặt cầu tâm A tiếp xúc với mặt phẳng (BC C
1
B
1
).
b. Gọi M là trung điểm của A
1
B
1
. Viết phơng trình mặt phẳng (P) đI qua hai điểm A, M và song
song với BC
1
. Mặt phẳng (P) cắt A C
1
tại N. Tính độ dài MN.
104. Cho 3 điểm A(4,0,3), B(-1,-1,3), C(3,2,6), mặt phẳng (P): 2x + 3y - 3 z + 1 = 0 và đờng thẳng
d:
x 3 y z 5
2 9 1


.
a. Viết phơng trình mặt cầu (S) đi qua 3 điểm A, B, C và có tâm thuộc mặt phẳng (P).

b. Viết phơng trình mp(Q) chứa đờng thẳng d và cắt mặt cầu (S) theo một đờng tròn có bán kính
lớn nhất.
105. Cho điểm I(1,1,1) và đg thẳng (D) có ph.trình:








t2z
ty
t1x

a. Xác định toạ độ hình chiếu vuông góc H của I lên đờng thẳng (D).
b. Viết phơng trình mặt cầu (C) có tâm tại I và cắt đ.thẳng (D) tại hai điểm A, B sao cho AB = 16.
106. A2010Nc. Cho im A(0,0,-2) v ng thng
x 2 y 2 z 3
:
2 3 2


. Tớnh khong cỏch t A n

. Vit phng trỡnh mt cu tõm A, ct

ti 2 im B, C sao cho BC = 8.
107. B.2012. C Cho ng thng d:
x 1 y z

2 1 2



v hai im A(2,1,0), B(-2,3,2). Vit phng trỡnh
mt cu (S) i qua A, B v cú tõm thuc ng thng d.
108. A.2012.C. Cho ng thng d:
x 1 y z 2
1 2 1


v im I(0,0,3). Vit phng trỡnh mt cu (S) cú
tõm I v ct d ti 2 im A, B sao cho tam giỏc IAB vuụng ti I.
109. Cho hai mặt phẳng (P): x - y + z + 5 = 0 và (Q): 2x + y + 2z + 1 = 0. Viết phơng trình mặt cầu có
tâm thuộc mặt phẳng (P) và tiếp xúc với mặt phẳng (Q) tại M(1,-1,-1).
110. Cho hai ng thng:

2
5z
1
1y
3
4x
:d
1

v
2
x 2 t
(d ): y 3 3t
z t









Vit phng trỡnh mt cu cú bỏn kớnh nh nht tip xỳc vi c hai ng thng d
1
v d
2
.
111. Cho ba im A(2,0,0), C(0,4,0), S(0,0,4).Tỡm ta im B trong mp(Oxy) sao cho t giỏc OABC
l hỡnh ch nht. Vit phng trỡnh mt cu i qua bn im O, B, C, S.
112. Cho hỡnh hp ch nht ABCD.ABCD cú A

O, B(3,0,0), D(0,2,0), A(0,0,1). Vit phng trỡnh
mt cu tõm C tip xỳc vi AB.
113. Cho mt phng (P) cú phng trỡnh:
x y 1 0

. Lp phng trỡnh mt cu (S) i qua ba im






A 2,1, 1 , B 0,2, 2 , C 1,3,0

v tip xỳc vi mt phng (P)
114. Cho ng thng d:
2
1z
1
1y
2
x



v hai mt phng
( ):x y 2z 5 0, ( ):2x y z 2 0

. Lp phng trỡnh mt cu (S) cú tõm trờn d v tip
xỳc vi hai mt phng ó cho.
115. Cho hai mt phng

P : x 2y 2z + 5 = 0; Q : x 2y 2z -13 = 0.

Vit phng trỡnh ca mt
cu (S) i qua gc ta O, qua im A(5, 2, 1) v tip xỳc vi c hai mt phng (P) v (Q).
116. A2011Nc. Cho mt cu (S): x
2
+ y
2
+ z
2
- 4x - 4y - 4z = 0 v im A(4,4,0). Vit phng trỡnh mt
phng (OAB), bit im B thuc (S) v tam giỏc OAB u.

Cỏc bi toỏn v ng trũn giao tuyn ca mt cu v mt phng
117. A2009C. Cho mt phng (P): 2x 2y z 4 = 0 v mt cu (S): x
2
+ y
2
+ z
2
- 2x - 4y - 6z - 11 = 0.
Chng minh (P) ct (S) theo mt ng trũn. Xỏc nh ta tõm v tớnh bỏn kớnh ng trũn ú.
118. Cho mt cu
2 2 2
(S): (x 1) (y 2) (z 3) 64

v mt phng
(P): 2x y 2z 13 0

ct nhau

theo giao tuyn l ng trũn (C). Xỏc nh tõm v bỏn kớnh ca ng trũn ú.
GV: Trn in Hong Ging viờn HCN.Tp HCM - c:435/18/6- Lờ Vn Th - Gũ Vp- T: 0942.667.889
Chuyờn dy LTH mụn TON Nhn HS u thỏng .

18
119. Cho ba điểm I(0,1,2), A(1,2,3), B(0,1,3).
a. Viết phơng trình mặt cầu (S) tâm I qua điểm A. Viết phơng trình của mặt phẳng (P) qua điểm
B
có vectơ pháp tuyến
n
= (1,1,1)
b. Chứng minh rằng mặt phẳng (P) cắt mặt cầu theo một đờng tròn (C).
c. Tìm tâm và bán kính của (C).
120. Cho mặt cầu (S): x
2
+ y
2
+ z
2
- 4x + 6y + 6z + 17 = 0 và mặt phẳng (P): x - 2y + 2z +1 = 0 .
a. Chứng minh rằng mặt phẳng (P) cắt mặt cầu theo một đờng tròn (C), tìm tâm và bán kính của
đờng tròn .
b. Lập phơng trình mặt cầu chứa đờng tròn (C) và có tâm thuộc mặt phẳng x + y + z + 3 = 0
121. Cho 4 im A(1,1,2), B(1,3,2), C( 4,3,2), D(4,1,2) v mt phng (P) cú phng
trỡnh:
x y z 2 0

. Gi A l hỡnh chiu ca A lờn mt phng Oxy. Gi (S) l mt cu i qua 4
im A, B, C, D. Xỏc nh to tõm v bỏn kớnh ca ng trũn (C) l giao ca (P) v (S).
122. Cho mặt cầu

2 2 2
(S): x y z 2x 4y 2z 3 0

và mặt phẳng
(P):2x y 2z 14 0


a. Viết phơng trình mặt phẳng (Q) chứa trục Ox và cắt (S) theo một ờng tròn có bán kính bằng 3.
b. Tìm M thuộc mặt cầu (S) sao cho khoảng cách từ M ến mp(P) là lớn nhất.
123. Cho mt phng (P) v ng thng (d) ln lt cú phng trỡnh: (P): 2x y 2z 2 = 0;
(d):
x y 1 z 2
1 2 1



. Vit phng trỡnh mt cu cú tõm thuc ng thng (d), cỏch mt phng
(P) mt khong bng 2 v ct mt phng (P) theo giao tuyn l ng trũn cú bỏn kớnh bng 3.
124. Cho mt cu (S) cú phng trỡnh
2 2 2
x y z 2x 4y 6z 11 0

v mt phng () cú phng
trỡnh 2x + 2y z + 17 = 0. Vit phng trỡnh mt phng () song song vi () v ct (S) theo giao
tuyn l ng trũn cú chu vi bng 6.
125. Cho mt cu (S):

2 2
2
x 1 y z 2 9

. Lp phng trỡnh mt phng (P) vuụng gúc vi
ng thng d :
x y 1 z
1 2 2



v ct mt cu (S) theo ng trũn cú bỏn kớnh bng 2 .
126. D.2012.C Cho mt phng (P): 2x y - 2z + 10 = 0 v im I(2,1,3). Vit phng trỡnh mt cu tõm I
v ct (P) theo mt ng trũn cú bỏn kớnh bng 4.
127. Cho ba đờng thẳng d
1
:

x t
y 2 t
z 6 2t








,
2
x 4 y 2 z 1
d :

1 2 1


,
3
x 5 y 1 z 2
d :
2 1 1



và mặt cầu
(S): x
2
+ y
2
+ z
2
+ 2x - 2y + 2z -1 = 0.
a. Chứng tỏ d
1
chéo d
2
. Viết phơng trình ờng thẳng (D) cắt d
1
, d
2
và song song với d
3
.

b. Viết phơng trình mặt phẳng (P) chứa d
1
sao cho giao tuyến của (P) và (S) là ờng tròn có bán
kính bằng 1.
128. Hóy xỏc nh to tõm v bỏn kớnh ng trũn ngoi tip tam giỏc ABC, bit A(-1, 0, 1),
B(1, 2,-1), C(-1, 2, 3).

Cỏc bi toỏn v tip din, tip tuyn ca mt cu
129. Cho mặt phẳng (P): 2x + 2y + z - m
2
- 3m = 0 (m là tham số) và mặt cầu (S):

2 2 2
x 1 y 1 z 1 9

. Tìm m để mặt phẳng (P) tiếp xúc với mặt cầu (S). Với m tìm đợc,
hãy xác định toạ độ tiếp điểm của mặt phẳng (P) và mặt cầu (S).
130. Cho A(1, 1, 1), B(1, 2, 0) và mặt cầu (S): x
2
+ y
2
+ z
2
- 6x - 4y - 4z + 13 = 0. Viết phơng trình mặt
phẳng chứa đờng thẳng AB và tiếp xúc với (S).
131. Cho mặt cầu
2 2 2
(S):x y z 2x 2y 9 0

và hai đờng thẳng: (d

1
):
x y 1 z 1
1 1 2


và
(d
2
):
x 1 y z
1 2 1


.
a. Lập phơng trình mặt phẳng tiếp xúc với mặt cầu (S) song song với hai đờng thẳng(d
1
) và (d
2
).
b. Viết phơng trình chính tắc của đờng thẳng d đi qua tâm mặt cầu (S) và cắt (d
1
) và (d
2
).
GV: Trn in Hong Ging viờn HCN.Tp HCM - c:435/18/6- Lờ Vn Th - Gũ Vp- T: 0942.667.889
Chuyờn dy LTH mụn TON Nhn HS u thỏng .

19
132. Cho cac im A(2,0,0); M(0,- 3,6)

a. Chng minh rng mt phng (P): x + 2y - 9 = 0 tip xúc vi mt cu tâm M, bán kính MO. Tìm
ta độ tip im.
b. Vit phng trình mp(Q) cha A, M v ct các trc Oy, Oz ti các im tng ng B, C sao cho
V
OABC
= 3.
133. Cho mt phng (P): x + y - 2z + 4 = 0 v mt cu (S):
2 2 2
x y z 2x 4y 2z 3 0

. Vit
phng trỡnh tham s ng thng (d) tip xỳc vi (S) ti A(3;-1;1) v song song vi mt phng
(P).
134. Cho mt cu
2 2 2
(S): x y z 2x 6y 4z 2 0

. Vit phng trỡnh mt phng (P) song song
vi giỏ ca vộc t
)2,6,1(v
, vuụng gúc vi mp
( ): x 4y z 11 0

v tip xỳc vi (S).
135. Cho đờng thẳng d:
x 1 t
y t
z t

và mặt cầu (S): x
2
+ y
2
+ z
2
+ 4x - 6y + m = 0. Tìm m để đờng
thẳng d cắt mặt cầu (S) tại hai điểm M, N sao cho khoảng cách giữa hai điểm đó bằng 9.