Chuong Vi Cong thuc luong giac

0 0
( ; )M x y
⇔
x












Câu 1: Tìm biểu thức sai trong các biểu thức sau
Giải
. sin( ) cos[ ( )]
2
B a b a b
π
− = − −
.cos( ) cosC b b
− =
Kiểm tra bài cũ
Câu 2: Tính cosa biết
Câu 2
A. Sin(-b)= -sinb

.cos( ) cosD b b
− = −
2 2
sin
3
a
=
3
( )
2
a
π
π
< <
2 2
cos 1 sina a
= −
Ta có
2
2 2
)
2
1 (
= −
1
9
=
1
cos
3

1
cos
3
a
a









=
⇒
=−
Vì
3
2
a
π
π
< <
nên
1
cos
3
a
=−

Nếu cho một giá trị lượng giác bất kì của cung a.
Ta tính được các giá trị lượng giác còn lại của cung a
Nếu cho một giá trị lượng giác bất kì của cung a.
Ta tính được các giá trị lượng giác của cung 2a?

I – CÔNG THỨC CỘNG
cos( ) cos cos sin sina b a b a b
− = +
Công thức cộng là những công thức biểu thị cos(a±b), sin(a±b),
tan(a±b), cot(a±b) qua các giá trị lượng giác của các góc a và b
Ta có
cos( ) cos cos sin sina b a b a b
+ = −
sin( ) sin cos cos sina b a b a b
− = −
sin( ) sin cos cos sina b a b a b
+ = +
tan tan
1 tan tan
( )
a b
a b
tan a b
−
+
− =
tan tan
1 tan tan
( )
a b

a b
tan a b
+
−
+ =
Với điều kiện là các biểu thức điều có nghĩa

I – CÔNG THỨC CỘNG
Phiếu học tập 1
(1)
cos( ) cos cos sin sina b a b a b
− = +
cos( ) cos cos sin sina b a b a b
+ = −
sin( ) sin cos cos sina b a b a b
− = −
sin( ) sin cos cos sina b a b a b
+ = +
tan tan
1 tan tan
( )
a b
a b
tan a b
−
+
− =
tan tan
1 tan tan
( )

a b
a b
tan a b
+
−
+ =
(2)
(3)
(4)
(5)
(6)
Ta thừa nhận công thức (1)
a/ Chứng minh công thức (2)
b/ Chứng minh công thức (3)

a/ Nhóm 1,2,3,4

b/ Nhóm 5,6,7,8

I – CÔNG THỨC CỘNG
Ta thừa nhận công thức cos(a-b)=cosa cosb+sina sinb
Ta có
cos( ) cos[ ( )]a b a b
+ = − −
Mà
cos cos( ) sin sin( )a b a b
= − + −
cos( ) cosb b
− =
sin( ) sinb b

− =−
Cần chứng minh cos(a+b)=cosa cosb-sina sinb
Giải
Vậy cos(a+b)=cosacosb-sinasinb

I – CÔNG THỨC CỘNG
Ta thừa nhận công thức cos(a+b)=cosa cosb-sina sinb
b/ Ta có
2
sin( ) cos[ ( )]a b a b
π
− = − −
Mà
) ]
2
cos[(
a b
π
− +
=
) sin
2
cos(
a a
π
− =
2
sin( ) cos
a
a

π
−
=
Cần chứng minh sin(a-b)=sina cosb-cosa sinb
Giải
Vậy sin(a-b)=sina cosb-cosa sinb
)cos sin( )sin
2 2
cos(
a b a b
π π
− − −
=

I – CÔNG THỨC CỘNG
(1)
cos( ) cos cos sin sina b a b a b
− = +
cos( ) cos cos sin sina b a b a b
+ = −
sin( ) sin cos cos sina b a b a b
− = −
sin( ) sin cos cos sina b a b a b
+ = +
tan tan
1 tan tan
( )
a b
a b
tan a b

−
+
− =
tan tan
1 tan tan
( )
a b
a b
tan a b
+
−
+ =
(2)
(3)
(4)
(5)
(6)

a/ Nhóm 1,2,3,4

b/ Nhóm 5,6,7,8
Ví dụ 1
a/ Tính
7
12
Sin
π
b/ Chứng minh
sin( ) tan tan
sin( ) tan tan

a b a b
a b a b
+ +
=
− −
Giải
a/ Ta có
7
sin( )
12 4 3
Sin
π π π
= +
4 3 4 3
sin cos cos sin
π π π π
= +
2 1 2 3
. .
2 2 2 2
= +
2 6
4
+
=

I – CÔNG THỨC CỘNG
(1)
cos( ) cos cos sin sina b a b a b
− = +

cos( ) cos cos sin sina b a b a b
+ = −
sin( ) sin cos cos sina b a b a b
− = −
sin( ) sin cos cos sina b a b a b
+ = +
tan tan
1 tan tan
( )
a b
a b
tan a b
−
+
− =
tan tan
1 tan tan
( )
a b
a b
tan a b
+
−
+ =
(2)
(3)
(4)
(5)
(6)
Ví dụ 1

a/ Tính
7
12
Sin
π
b/ Chứng minh
sin( ) tan tan
sin( ) tan tan
a b a b
a b a b
+ +
=
− −
Giải
b/ Ta có
sin( ) sin cos cos sina b a b a b
+ = +
sin( ) sin cos cos sina b a b a b
− = −
Vậy
sin( ) sin cos cos sin
sin( ) sin cos cos sin
a b a b a b
a b a b a b
+ +
=
− −
sin cos cos sin
cos cos
sin cos cos sin

cos cos
a b a b
a b
a b a b
a b
+
=
−
sin cos cos sin
cos cos cos cos
sin cos cos sin
cos cos cos cos
a b a b
a b a b
a b a b
a b a b
+
=
−
tan tan
tan tan
a b
a b
+
=
−

I – CÔNG THỨC CỘNG
(1)
cos( ) cos cos sin sina b a b a b− = +

cos( ) cos cos sin sina b a b a b
+ = −
sin( ) sin cos cos sina b a b a b− = −
sin( ) sin cos cos sina b a b a b+ = +
tan tan
( )
1 tan tan
a b
tan a b
a b
−
− =
+
tan tan
( )
1 tan tan
a b
tan a b
a b
+
+ =
−

a/ Nhóm 1,2

b/ Nhóm 3,4

c/ Nhóm 5,6

d/ Nhóm 7,8

Phiếu học tập 2
a/Từ (1) hãy chứng minh sin2a=2sina cosa
2tan
tan2
2
1 tan
a
a
a
=
−
II – CÔNG THỨC NHÂN ĐÔI
(2)
(3)
(4)
(5)
(6)
b/Từ (2) hãy chứng minh cos2a=cos
2
a–sin
2
a
=2cos
2
a–1
c/Từ (2) hãy chứng minh cos2a=cos
2
a–sin
2
a

=1-2sin
2
a
d/Từ (6) hãy chứng minh
*sin2a=2sina cosa
*cos2a=cos
2
a–sin
2
a=2cos
2
a-1
=1-2sin
2
a
2tan
*tan2
2
1 tan
a
a
a
=
−

I – CÔNG THỨC CỘNG
(1)
cos( ) cos cos sin sina b a b a b− = +
cos( ) cos cos sin sina b a b a b
+ = −

sin( ) sin cos cos sina b a b a b− = −
sin( ) sin cos cos sina b a b a b+ = +
tan tan
( )
1 tan tan
a b
tan a b
a b
−
− =
+
tan tan
( )
1 tan tan
a b
tan a b
a b
+
+ =
−
2
2cos ?a
⇒ =
II – CÔNG THỨC NHÂN ĐÔI
(2)
(3)
(4)
(5)
(6)
Ta có cos2a= 2cos

2
a–1
*sin2a=2sina cosa
*cos2a=cos
2
a–sin
2
a=2cos
2
a-1
=1-2sin
2
a
2tan
*tan2
2
1 tan
a
a
a
=
−

CÔNG THỨC HẠ BẬC
2
2cos 1 cos2a a
⇒ = +
1 cos2
2
2

cos
a
a
+
⇒ =
2
cos ?a
⇒ =
2
2sin ?a
⇒ =
Ta có cos2a= 1-2sin
2
a
2
2sin 1 cos2a a
⇒ = −
1 cos2
2
2
sin
a
a
−
⇒ =
2
sin ?a
⇒ =
1 cos2
2

2
*cos
a
a
+
=
1 cos2
2
2
*sin
a
a
−
=
2
2
sin
?
cos
2
tan
a
a
a
=
=
Ta có
2
2
1 cos2

sin
2
tan
1 cos2
cos
2
2
a
a
a
a
a
−
=
+
=
1 cos2
1 cos2
a
a
−
+
=
1 cos2 2
.
2 1 cos2
a
a
−
+

=
1 cos2
1 cos2
2
*tan
a
a
a
−
+
=

I – CÔNG THỨC CỘNG
(1)
cos( ) cos cos sin sina b a b a b− = +
cos( ) cos cos sin sina b a b a b
+ = −
sin( ) sin cos cos sina b a b a b− = −
sin( ) sin cos cos sina b a b a b+ = +
tan tan
( )
1 tan tan
a b
tan a b
a b
−
− =
+
tan tan
( )

1 tan tan
a b
tan a b
a b
+
+ =
−
II – CÔNG THỨC NHÂN ĐÔI
(2)
(3)
(4)
(5)
(6)
Ví dụ 2
*sin2a=2sina cosa
*cos2a=cos
2
a–sin
2
a=2cos
2
a-1
=1-2sin
2
a
2tan
*tan2
2
1 tan
a

a
a
=
−

CÔNG THỨC HẠ BẬC
1 cos2
2
*cos
2
a
a
+
=
1 cos2
2
*sin
2
a
a
−
=
1 cos2
2
*tan
1 cos2
a
a
a
−

=
+
1
sin cos
2
a a
+ =
a/ Cho
Tính sin2a
1
sin2
2
a
=−
b/ Cho
Tính cosa biết rằng
2
a
π
π
<
<

a/ Nhóm 1,2,3,4

b/ Nhóm 5,6,7,8
Giải
1
/sin cos
2

a a a
+ =
2 2
)
1
(sin cos ) (
2
a a
⇒ + =
2 2
1
sin cos 2sin cos
4
a a a a
⇒ + + =
1
1 2sin cos
4
a a
⇒ + =
1
1 sin2
4
a
⇒ + =
1
1
sin2
4
a

−
⇒ =
3
sin2
4
a
⇒ =−

I – CÔNG THỨC CỘNG
(1)
cos( ) cos cos sin sina b a b a b− = +
cos( ) cos cos sin sina b a b a b
+ = −
sin( ) sin cos cos sina b a b a b− = −
sin( ) sin cos cos sina b a b a b+ = +
tan tan
( )
1 tan tan
a b
tan a b
a b
−
− =
+
tan tan
( )
1 tan tan
a b
tan a b
a b

+
+ =
−
II – CÔNG THỨC NHÂN ĐÔI
(2)
(3)
(4)
(5)
(6)
Ví dụ 2
*sin2a=2sina cosa
*cos2a=cos
2
a–sin
2
a=2cos
2
a-1
=1-2sin
2
a
2tan
*tan2
2
1 tan
a
a
a
=
−


CÔNG THỨC HẠ BẬC
1 cos2
2
*cos
2
a
a
+
=
1 cos2
2
*sin
2
a
a
−
=
1 cos2
2
*tan
1 cos2
a
a
a
−
=
+
1
sin cos

2
a a
+ =
a/ Cho
Tính sin2a
1
cos2
2
a
=
b/ Cho
Tính sina biết rằng
2
a
π
π
<
<
Giải
2
1 cos2
/sin
2
a
b a
−
=
2
1
2

1
sin
2
a
−
⇒ =
2
1
sin
4
a
⇒ =
1
sin
2
1
sin
2
a
a

=



=−


⇒
Vì

2
a
π
π
<
<
1
sin
2
a
=
nên

1/ Hãy ghép cột (1) với cột (2) để được đẳng thức
đúng
Nội dung 1 Nội dung 2
1/ cos(a-b) a/ cosacosb-sinasinb
2/ sinacosb+cosasinb b/sin(a-b)
3/ tan(a+b) c/ cosa cosb+sina
sinb
4/ sinacosb-cosasinb d/ sin(a+b)
5/ cos(a+b)
tan tan
/
1 tan tan
a b
e
a b
+
−

2/ Hãy ghép cột (1) với cột (2) để được đẳng thức
đúng
Nội dung 1 Nội dung 2
1/ sin2a a/ cos
2
a-sin
2
a =2cos
2
a -1 = 1-2sin
2
a
2/ cos2a
3/ cos
2
a c/ 2sinacosa
4/ sin
2
a
5/ tan2a
1 cos2
/
2
a
e
+
1 cos2
/
2

a
b
−
2
2tan
/
1 tan
a
d
a−

Bài 4: Chứng minh bất đẳng thức
cos( ) cot cot 1
/
cos( ) cot cot 1
a b a b
a
a b b
− +
=
+ −
cos( ) cos cos sin sin
cos( ) cos cos sin sin
a b a b a b
a b a b a b
− +
=
+ −
cos cos sin sin
sin sin

cos cos sin sin
sin sin
a b a b
a b
a b a b
a b
+
=
−
cot cot 1
cot cot 1
a b
a b
+
=
−
2 2 2 2
/ sin( )sin( ) sin sin cos cosb a b a b a b b a+ − = − = −
sin( )sin( ) (sin cos cos sin )(sin cos cos sin )a b a b a b a b a b a b+ − = + −
2 2 2 2 2 2
sin cos os sin sin sina b c a b a b= − = −
2 2 2 2
(1 os ) (1 os ) cos cosc a c b b a= − − − = −
2 2 2 2
/ cos( )cos( ) cos sin cos sinc a b a b a b b a+ − = − = −
cos( )cos( ) (cos cos sin sin )(cos cos sin sin )a b a b a b a b a b a b+ − = − +
2 2 2 2 2 2
cos cos sin sin cos sina b a b a b= − = −
2 2 2 2
(1 sin ) (1 cos ) cos sina b b a= − − − = −

Bài 5: Tính sin2a, cos2a, tan2a, biết

Cosa= -0,8 do
?sin2a= 2sinacosa
a/ sina= -0,6 và
3
2
a
π
π
< <
sin 2 0,96;cos 2 0,28; tan 2 3,43a a a
⇒ = = ≈
2
a
π
π
< <
b/ cosa = và
5
13
−
3
2
a
π
π
< <
2

a
π
π
< <
vì
12
sin
13
a⇒ =
120 119 120
sin 2 ;cos2 ;tan 2
169 169 119
a a a
⇒ = − = − =
3
4
a
π
π
< <
1
/ sin cos
2
c a a+ =
và
3 7 3
sin 2 ;cos2 ;tan 2
4 4
7
a a a

⇒ = − = = −

Ý đồ bài dạy:
*Kiểm tra bài, sử dụng kiến thức KTBC dùng cho bài mới, giới thiệu bài mới
*Công nhận công thức (1), chứng minh, khám phá công thức (2), (3) VD minh họa
* Ví dụ ứng dụng của công thức cộng
* Khám phá kiến thức mới: CM công thức nhân đôi, hạ bậc
* Bài tập vận dụng công thức nhân đôi, hạ bậc
* Cũng cố bài (công thức lý thuyết). Quí Thầy Cô có thể soạn bài tập TN vận dụng các CT…
* Hướng dẫn bài tập về nhà