Tiet 58 cong thuc luong giac hay tuyet

Câu hỏi:
1.Có mấy giá trị lượng giác của một
cung α ? Là những giá trị nào?
Có 4 giá trị lượng giác của một cung α
Sinα; Cosα; Tanα; Cotα
TL:
Câu hỏi:
2.Có mấy công thức lượng giác cơ
bản? Là những công thức nào?
2 2
2
2
1) sin 1
1
2) 1 tan , ,
2
cos
k k Z
cos
α α
π
α α π
α
+ =
+ = ≠ + ∈
TL:
2
2
1
3) 1 cot , ,

sin
4) tan .cot =1, ,
2
k k Z
k k Z
α α π
α
π
α α α
+ = ≠ ∈
≠ ∈
Có 4 công thức lượng giác cơ bản
Câu hỏi:
3. Hãy nêu giá trị lượng giác của các
cung có liên quan đặc biệt.
TL:
Cung đối nhau
cos( ) cos
sin( ) sin
tan( ) tan
cot( ) cot
α α
α α
α α
α α
− =
− = −
− = −
− = −
Cung bù nhau

sin( ) sin
cos( ) cos
tan( ) tan
cot( ) cot
π α α
π α α
π α α
π α α
− =
− = −
− = −
− = −
sin( )
2
cos( ) sin
2
tan( ) t
2
cot( ) tan
2
cos
co
π
α α
π
α α
π
α α
π
α α

− =
− =
− =
− =
Cung phụ nhau
Cung hơn kém π
sin( ) sin
cos( ) cos
tan( ) tan
cot( ) cot
α π α
α π α
α π α
α π α
+ = −
+ = −
+ =
+ =
Tính:
0 0
sin 60 ; ;sin 75
3
cos
π
0
3
sin 60
2
=
1

3 2
cos
π
=
0
sin 75 ?
=
I – CÔNG THỨC CỘNG
Công thức cộng là những công thức biểu
thị cos(a±b), sin(a±b), tan(a±b), cot(a±b)
qua các giá trị lượng giác của các góc a và
b
Cho hai góc a và b ta
có
TIẾT 58
I – CÔNG THỨC CỘNG
(1)
cos( ) cos cos sin sina b a b a b
− = +
cos( ) cos cos sin sina b a b a b
+ = −
sin( ) sin cos cos sina b a b a b
− = −
sin( ) sin cos cos sina b a b a b
+ = +
tan tan
1 tan tan
( )
a b
a b

tan a b
−
+
− =
tan tan
1 tan tan
( )
a b
a b
tan a b
+
−
+ =
(2)
(3)
(4)
(5)
(6)
;
2 2
;
2 2
a k b k
a b k a b k
π π
π π
π π
π π
≠ + ≠ +
− ≠ + + ≠ +

ĐK của (5), (6)
Tại sao
không thấy
công thức
cộng của
Côtang nhỉ?
I – CÔNG THỨC CỘNG
(1)
cos( ) cos cos sin sina b a b a b
− = +
cos( ) cos cos sin sina b a b a b
+ = −
sin( ) sin cos cos sina b a b a b
− = −
sin( ) sin cos cos sina b a b a b
+ = +
tan tan
1 tan tan
( )
a b
a b
tan a b
−
+
− =
tan tan
1 tan tan
( )
a b
a b

tan a b
+
−
+ =
(2)
(3)
(4)
(5)
(6)
Chứng minh công thức (4)
HD CM công thức (5),(6)
( )tan a b
− =
sin( )

( )
a b
cos a b
−
=
−
( )tan a b
+ =
( )

a b
tan
− −
 
 

=
Ta thừa nhận công thức (1)
CM công thức (2) và (3)-SGK
sin( )a b
+ =
( )sin a b
− −
 
 
sin cos( ) cos sin( )a b a b
= − − −
sin cos cos sina b a b
= +
;
2 2
;
2 2
a k b k
a b k a b k
π π
π π
π π
π π
≠ + ≠ +
− ≠ + + ≠ +
ĐK của (5), (6)
I – CÔNG THỨC CỘNG
(1)
cos( ) cos cos sin sina b a b a b
− = +

cos( ) cos cos sin sina b a b a b
+ = −
sin( ) sin cos cos sina b a b a b
− = −
sin( ) sin cos cos sina b a b a b
+ = +
tan tan
1 tan tan
( )
a b
a b
tan a b
−
+
− =
tan tan
1 tan tan
( )
a b
a b
tan a b
+
−
+ =
(2)
(3)
(4)
(5)
(6)
sin75

0
=?
0
sin 75
=
0 0
sin(45 30 )
+
0 0 0 0
sin 45 30 45 sin 30cos cos
= +
2 3 2 1
. .
2 2 2 2
= +
6 2
4
+
=
I – CÔNG THỨC CỘNG
(1)
cos( ) cos cos sin sina b a b a b
− = +
cos( ) cos cos sin sina b a b a b
+ = −
sin( ) sin cos cos sina b a b a b
− = −
sin( ) sin cos cos sina b a b a b
+ = +
tan tan

1 tan tan
( )
a b
a b
tan a b
−
+
− =
tan tan
1 tan tan
( )
a b
a b
tan a b
+
−
+ =
(2)
(3)
(4)
(5)
(6)
Ví dụ 1
a/ Tính
( )
12
cos
π
−
Giải

a/ Ta có
( )
12
cos
π
− =
4 3 4 3
s cos sin sinco
π π π π
= +
2 1 2 3
. .
2 2 2 2
= +
2 6
4
+
=
1 tan
4 1 tan
/ CMR: ( )
a
a
a
b tan
π
−
−
+
=

s( )
4 3
co
π π
−
I – CÔNG THỨC CỘNG
(1)
cos( ) cos cos sin sina b a b a b
− = +
cos( ) cos cos sin sina b a b a b
+ = −
sin( ) sin cos cos sina b a b a b
− = −
sin( ) sin cos cos sina b a b a b
+ = +
tan tan
1 tan tan
( )
a b
a b
tan a b
−
+
− =
tan tan
1 tan tan
( )
a b
a b
tan a b

+
−
+ =
(2)
(3)
(4)
(5)
(6)
Ví dụ 1
Giải
1 tan
4 1 tan
/ ( )
a
a
a
b tan
π
−
−
+
=
4
/ ( )
a
b tan
π
−
=
tan tan

4
1 tan .tan
4
a
a
π
π
−
+
=
1 tan
1 tan
a
a
−
+
=
a/ Tính
( )
12
cos
π
−
I – CÔNG THỨC CỘNG
(1)
cos( ) cos cos sin sina b a b a b− = +
cos( ) cos cos sin sina b a b a b
+ = −
sin( ) sin cos cos sina b a b a b− = −
sin( ) sin cos cos sina b a b a b+ = +

tan tan
( )
1 tan tan
a b
tan a b
a b
−
− =
+
tan tan
( )
1 tan tan
a b
tan a b
a b
+
+ =
−
(2)
(3)
(4)
(5)
(6)
Nếu a=b thì
sao ?
I – CÔNG THỨC CỘNG
(1)
cos( ) cos cos sin sina b a b a b− = +
cos( ) cos cos sin sina b a b a b
+ = −

sin( ) sin cos cos sina b a b a b− = −
sin( ) sin cos cos sina b a b a b+ = +
tan tan
( )
1 tan tan
a b
tan a b
a b
−
− =
+
tan tan
( )
1 tan tan
a b
tan a b
a b
+
+ =
−
II – CÔNG THỨC NHÂN ĐÔI
(2)
(3)
(4)
(5)
(6)
2tan
*tan2
2
1 tan

a
a
a
=
−
2 2
cos0 1 cos sina a⇔ = = +
(2) cos( ) cos cos sin sina a a a a a
+ = −
(3) sin( ) sin cos cos sina a a a a a− = −
(4)sin( ) sin cos cos sina a a a a a+ = +
tan tan
(5) ( )
1 tan tan
a a
tan a a
a a
−
− =
+
tan tan
(6) ( )
1 tan tan
a a
tan a a
a a
+
+ =
−
(1) cos( ) cos cos sin sina a a a a a

− = +
2 2
cos2 cos sina a a
⇔ = −
sin0 sin cos cos sina a a a⇔ = −
sin0 0⇔ =
sin2 2sin cosa a a⇔ =
0 0tan⇔ =
2
2tan
2
1 tan
a
tan a
a
⇔ =
−
2 2
cos2 cos sina a a
⇔ = −
sin2 2sin cosa a a⇔ =
2
2tan
2
1 tan
a
tan a
a
⇔ =
−

*sin2 2sin cosa a a
=
2 2
* s2 cos sinco a a a
= −
I – CÔNG THỨC CỘNG
(1)
cos( ) cos cos sin sina b a b a b− = +
cos( ) cos cos sin sina b a b a b
+ = −
sin( ) sin cos cos sina b a b a b− = −
sin( ) sin cos cos sina b a b a b+ = +
tan tan
( )
1 tan tan
a b
tan a b
a b
−
− =
+
tan tan
( )
1 tan tan
a b
tan a b
a b
+
+ =
−

II – CÔNG THỨC NHÂN ĐÔI
(2)
(3)
(4)
(5)
(6)
2tan
*tan2
2
1 tan
a
a
a
=
−
2 2
cos2 cos sina a a
= −
2 2
cos2 s (1 s )a co a co a
⇒ = − −
2
2 s 1co a
= −
Biến đổi sin
2
a theo cos
2
a
*sin2 2sin cosa a a

=
2 2
* s2 cos sinco a a a
= −
2
* s2 2cos 1co a a
= −
I – CÔNG THỨC CỘNG
(1)
cos( ) cos cos sin sina b a b a b− = +
cos( ) cos cos sin sina b a b a b
+ = −
sin( ) sin cos cos sina b a b a b− = −
sin( ) sin cos cos sina b a b a b+ = +
tan tan
( )
1 tan tan
a b
tan a b
a b
−
− =
+
tan tan
( )
1 tan tan
a b
tan a b
a b
+

+ =
−
II – CÔNG THỨC NHÂN ĐÔI
(2)
(3)
(4)
(5)
(6)
2 2
cos2 cos sina a a
= −
2
1 2sin a
= −
2 2
cos2 1 sin sina a a
⇒ = − −
Biến đổi cos
2
a theo sin
2
a
2tan
*tan2
2
1 tan
a
a
a
=

−
*sin2 2sin cosa a a
=
2 2
* s2 cos sinco a a a
= −
2
* s2 2cos 1co a a
= −
2
* s2 1 2sinco a a
= −
I – CÔNG THỨC CỘNG
(1)
cos( ) cos cos sin sina b a b a b− = +
cos( ) cos cos sin sina b a b a b
+ = −
sin( ) sin cos cos sina b a b a b− = −
sin( ) sin cos cos sina b a b a b+ = +
tan tan
( )
1 tan tan
a b
tan a b
a b
−
− =
+
tan tan
( )

1 tan tan
a b
tan a b
a b
+
+ =
−
II – CÔNG THỨC NHÂN ĐÔI
(2)
(3)
(4)
(5)
(6)
Ta có cos2a= 2cos
2
a–1
*sin2a=2sina cosa
*cos2a=cos
2
a–sin
2
a=2cos
2
a-1
=1-2sin
2
a
2tan
*tan2
2

1 tan
a
a
a
=
−

CÔNG THỨC HẠ BẬC
1 cos2
2
2
cos
a
a
+
⇒ =
2
cos ?a
⇒ =
Ta có cos2a= 1-2sin
2
a
1 cos2
2
2
sin
a
a
−
⇒ =

2
sin ?a
⇒ =
1 cos2
2
2
*cos
a
a
+
=
1 cos2
2
2
*sin
a
a
−
=
2
?
tan a
=
Ta có
1 cos2
2
1 cos2
2
a
a

−
+
1 cos2
1 cos2
a
a
−
+
=
1 cos2 2
.
2 1 cos2
a
a
−
+
=
1 cos2
1 cos2
2
*tan
a
a
a
−
+
=
2
2
sin

?
cos
a
a
=
2
tan a
=
2
2
sin
cos
a
a
=
I – CÔNG THỨC CỘNG
(1)
cos( ) cos cos sin sina b a b a b− = +
cos( ) cos cos sin sina b a b a b
+ = −
sin( ) sin cos cos sina b a b a b− = −
sin( ) sin cos cos sina b a b a b+ = +
tan tan
( )
1 tan tan
a b
tan a b
a b
−
− =

+
tan tan
( )
1 tan tan
a b
tan a b
a b
+
+ =
−
II – CÔNG THỨC NHÂN ĐÔI
(2)
(3)
(4)
(5)
(6)
Ví dụ 2
*sin2a=2sina cosa
*cos2a=cos
2
a–sin
2
a=2cos
2
a-1
=1-2sin
2
a
2tan
*tan2

2
1 tan
a
a
a
=
−

CÔNG THỨC HẠ BẬC
1 cos2
2
*cos
2
a
a
+
=
1 cos2
2
*sin
2
a
a
−
=
1 cos2
2
*tan
1 cos2
a

a
a
−
=
+
3
2
sin 0,6 ; a a
π
π
=− < <
3
. cos 0
2
a a a
π
π
< < ⇒ <
Giải
a. Tính sin2a, cos2a , tan2a biết
sin 2 2sin cosa a a
=
Vậy:
2 2
2 cos sin 0,28cos a a a
= − =
sin 2
tan 2 3,43
2
a

a
cos a
= ≈
2.( 0,6).( 0,8) 0,96
= − − =
1
cos2
2
a
=
b/ Cho
Tính sina biết rằng
2
a
π
π
<
<
2 2 2
sin cos 1a a cos a
+ = ⇒ =
cos 0,8a
⇒ = −
2
1 sin a
−
2
=1 ( 0,6) 0,64
− − =
Bậc giảm xuống

nhưng số đo
góc( cung) lại
tăng lên.
I – CÔNG THỨC CỘNG
(1)
cos( ) cos cos sin sina b a b a b− = +
cos( ) cos cos sin sina b a b a b
+ = −
sin( ) sin cos cos sina b a b a b− = −
sin( ) sin cos cos sina b a b a b+ = +
tan tan
( )
1 tan tan
a b
tan a b
a b
−
− =
+
tan tan
( )
1 tan tan
a b
tan a b
a b
+
+ =
−
II – CÔNG THỨC NHÂN ĐÔI
(2)

(3)
(4)
(5)
(6)
Ví dụ 2
*sin2a=2sina cosa
*cos2a=cos
2
a–sin
2
a=2cos
2
a-1
=1-2sin
2
a
2tan
*tan2
2
1 tan
a
a
a
=
−

CÔNG THỨC HẠ BẬC
1 cos2
2
*cos

2
a
a
+
=
1 cos2
2
*sin
2
a
a
−
=
1 cos2
2
*tan
1 cos2
a
a
a
−
=
+
1
sin cos
2
a a
+ =
a/ Cho
Tính sin2a

1
cos2
2
a
=
b/ Cho
Tính sina biết rằng
2
a
π
π
<
<
Giải
2
/sinb a
=
2
1
1
2
4
1
sin
2
a
=
−
⇒ =
1

sin
2
1
sin
2
a
a

=



=−


⇒
Vì
2
a
π
π
<
<
1
sin
2
a
=
nên
1 cos2

2
a
−
I – CÔNG THỨC CỘNG
(1)
cos( ) cos cos sin sina b a b a b
− = +
cos( ) cos cos sin sina b a b a b
+ = −
sin( ) sin cos cos sina b a b a b
− = −
sin( ) sin cos cos sina b a b a b
+ = +
tan tan
1 tan tan
( )
a b
a b
tan a b
−
+
− =
tan tan
1 tan tan
( )
a b
a b
tan a b
+
−

+ =
(2)
(3)
(4)
(5)
(6)
Cốt thì cốt cốt sin sin
Sin thì sin cốt cốt sin đó mà
Sin thì cùng dấu bài ra
Cốt thì trái dấu đó mà bạn ơi
Tang một hiệu hai tầng cao rộng
Trên thượng tầng tang lại trừ tang
Dưới hạ tầng số 1 ngang tàng
Dám cộng một vế tang tang oai hùng
Tang một tổng hai tầng cao rộng
Trên thượng tầng tang cộng cùng tang
Dưới hạ tầng số 1 ngang tàng
Dám trừ một vế tang tang oai hùng
Cách nhớ
I – CÔNG THỨC CỘNG
(1)
cos( ) cos cos sin sina b a b a b− = +
cos( ) cos cos sin sina b a b a b
+ = −
sin( ) sin cos cos sina b a b a b− = −
sin( ) sin cos cos sina b a b a b+ = +
tan tan
( )
1 tan tan
a b

tan a b
a b
−
− =
+
tan tan
( )
1 tan tan
a b
tan a b
a b
+
+ =
−
II – CÔNG THỨC NHÂN ĐÔI
(2)
(3)
(4)
(5)
(6)
=1-2sin
2
a
*sin2a=2sina cosa
*cos2a=cos
2
a–sin
2
a=2cos
2

a-1
2tan
*tan2
2
1 tan
a
a
a
=
−
Tang đôi ta lấy đôi tang
Chia 1 trừ lại bình tang, ra liền.
Sin hai lần hai lần sin cốt
Cốt hai lần, bình cốt trừ bình sin


Sin2a=sin(a+a)=
Cos2a=cos(a+a)=
Về nhà tìm công thức
tính
Sin3a, cos3a
Còn gọi là công thức
nhân ba
I – CÔNG THỨC CỘNG
(1)
cos( ) cos cos sin sina b a b a b− = +
cos( ) cos cos sin sina b a b a b
+ = −
sin( ) sin cos cos sina b a b a b− = −
sin( ) sin cos cos sina b a b a b+ = +

tan tan
( )
1 tan tan
a b
tan a b
a b
−
− =
+
tan tan
( )
1 tan tan
a b
tan a b
a b
+
+ =
−
II – CÔNG THỨC NHÂN ĐÔI
(2)
(3)
(4)
(5)
(6)
*sin2a=2sina cosa
*cos2a=cos
2
a–sin
2
a=2cos

2
a-1
=1-2sin
2
a
2tan
*tan2
2
1 tan
a
a
a
=
−

CÔNG THỨC HẠ BẬC
1 cos2
2
*cos
2
a
a
+
=
1 cos2
2
*sin
2
a
a

−
=
1 cos2
2
*tan
1 cos2
a
a
a
−
=
+
Bài 1( Tr.153)
Tính
0 0 0 0
. 225 ,sin 240 ,cot( 15 ),tan 75
7 13
. sin , ( ),tan
12 12 12
a cos
b cos
π π π
−
−
Công thức hạ bậc
suy ra từ công thức
nhân đôi
I – CÔNG THỨC CỘNG
(1)
cos( ) cos cos sin sina b a b a b− = +

cos( ) cos cos sin sina b a b a b
+ = −
sin( ) sin cos cos sina b a b a b− = −
sin( ) sin cos cos sina b a b a b+ = +
tan tan
( )
1 tan tan
a b
tan a b
a b
−
− =
+
tan tan
( )
1 tan tan
a b
tan a b
a b
+
+ =
−
II – CÔNG THỨC NHÂN ĐÔI
(2)
(3)
(4)
(5)
(6)
*sin2a=2sina cosa
*cos2a=cos

2
a–sin
2
a=2cos
2
a-1
=1-2sin
2
a
2tan
*tan2
2
1 tan
a
a
a
=
−

CÔNG THỨC HẠ BẬC
1 cos2
2
*cos
2
a
a
+
=
1 cos2
2

*sin
2
a
a
−
=
1 cos2
2
*tan
1 cos2
a
a
a
−
=
+
Bài 2( Tr.154)
Tính
0 0
0 0
1
. ( ),sin ,0
3 2
3
1
. tan( ),cos ,
4 3 2
. cos( ),sin( - )
4
sin ,0 90

5
2
sin ,90 180
3
a cos
b
c a b a b
a a
b b
π π
α α α
π π
α α α π
+ = < <
− = − < <
+
= < <
= < <
I – CÔNG THỨC CỘNG
(1)
cos( ) cos cos sin sina b a b a b− = +
cos( ) cos cos sin sina b a b a b
+ = −
sin( ) sin cos cos sina b a b a b− = −
sin( ) sin cos cos sina b a b a b+ = +
tan tan
( )
1 tan tan
a b
tan a b

a b
−
− =
+
tan tan
( )
1 tan tan
a b
tan a b
a b
+
+ =
−
II – CÔNG THỨC NHÂN ĐÔI
(2)
(3)
(4)
(5)
(6)
*sin2a=2sina cosa
*cos2a=cos
2
a–sin
2
a=2cos
2
a-1
=1-2sin
2
a

2tan
*tan2
2
1 tan
a
a
a
=
−

CÔNG THỨC HẠ BẬC
1 cos2
2
*cos
2
a
a
+
=
1 cos2
2
*sin
2
a
a
−
=
1 cos2
2
*tan

1 cos2
a
a
a
−
=
+
Bài 3( Tr.154)
Rút gọn các biểu thức
2
. sin( ) sin( )sin( )
2
1
. ( ) ( ) sin
4 4 2
. ( ) ( ) sin( )
2 2

a a b b
b cos a cos a a
c cos a cos b a b
π
α
π π
π π
+ + − −
+ − +
− − − −
I – CÔNG THỨC CỘNG
(1)

cos( ) cos cos sin sina b a b a b− = +
cos( ) cos cos sin sina b a b a b
+ = −
sin( ) sin cos cos sina b a b a b− = −
sin( ) sin cos cos sina b a b a b+ = +
tan tan
( )
1 tan tan
a b
tan a b
a b
−
− =
+
tan tan
( )
1 tan tan
a b
tan a b
a b
+
+ =
−
II – CÔNG THỨC NHÂN ĐÔI
(2)
(3)
(4)
(5)
(6)
*sin2a=2sina cosa

*cos2a=cos
2
a–sin
2
a=2cos
2
a-1
=1-2sin
2
a
2tan
*tan2
2
1 tan
a
a
a
=
−

CÔNG THỨC HẠ BẬC
1 cos2
2
*cos
2
a
a
+
=
1 cos2

2
*sin
2
a
a
−
=
1 cos2
2
*tan
1 cos2
a
a
a
−
=
+
Bài 4( Tr.154)
Chứng minh các đẳng thức
2 2
2 2
2 2
2 2
( ) cot cot 1
.
( ) cot cot 1
. sin( )sin( ) sin sin
s s
. cos( ) s( ) s sin
s sin

cos a b a b
a
cos a b a b
b a b a b a b
co b co a
c a b co a b co a b
co b a
− +
=
+ −
+ − = −
= −
+ − = −
= −

a. Áp dụng công thức cộng
sau đó chia cả tử và mẫu cho
sina.sinb
b và c. Áp dụng công thức
cộng và hệ thức
sin
2
a+cos
2
a=1