Mặt cầu cơ bản

Giáo viên: Trần Thanh Vân
TRƯỜNG THPT DTNT KỲ SƠN
SỞ GIÁO DỤC ĐÀO TẠO NGHỆ AN
Năm học 2009-2010
Câu hỏi 2: Vị trí tương đối của một điểm với đường tròn
trong mặt phẳng?
Câu hỏi 1: Khái niệm đường tròn trong mặt phẳng?
Trả lời: Tập hợp những điểm M trong mặt phẳng cách đều
một điểm O cố định cho trước một khoảng không đổi bằng r
(r > 0) gọi là đường tròn tâm O bán kính R.
GIỚI THIỆU
I. MẶT CẦU VÀ KN
1. Mặt cầu
I. MẶT CẦU VÀ KN
1. Mặt cầu
CH1: Nêu khái niệm mặt cầu ?
I. MẶT CẦU VÀ KN
1. Mặt cầu
I. MẶT CẦU VÀ CÁC KHÁI NIỆM LIÊN QUAN
1. Mặt cầu
* Kí hiệu mặt cầu tâm O bán kính r là : S(O; r) hoặc (S)
Định nghĩa: S(O, r) = {M | OM=r, r>0}
* Cách biểu diễn mặt cầu trên mặt phẳng:
- Dùng phép chiếu vuông góc lên mp ⇒ đường tròn.
- Vẽ hình biểu biễn của 1 số đường tròn nằm trên mặt cầu.
- Vẽ một số điểm nằm trên mặt cầu, bán kính của mặt cầu
O
r
M
I. MẶT CẦU VÀ KN
1. Mặt cầu

* Dây cung: là đoạn thẳng nối 2 điểm nằm trên mặt cầu.
O
M
C
D
* Đường kính: là dây cung đi qua tâm mặt cầu.
VD: dây cung CD, CM, MD
VD: đường kính CD
* Chú ý: Một mặt cầu được xác định khi ta biết:
- Tâm và bán kính.
- Đường kính.
I. MẶT CẦU VÀ KN
1. Mặt cầu
2. Điểm nằm trong
2. Điểm nằm trong và điểm nằm ngoài mặt cầu. Khối cầu.
Cho mặt cầu S(O; r) và điểm A bất kì trong không gian.
- Nếu OA > r ⇒ điểm A
nằm ngoài
mặt cầu.
- Nếu OA = r ⇒ điểm A
nằm trên
mặt cầu.
- Nếu OA > r ⇒ điểm A
nằm trong
mặt cầu.
O
B
A
D
3. Đường kinh tuyến và vĩ tuyến của mặt cầu.

Xem mặt cầu là mặt tròn xoay được tạo nên bởi một nửa
đường tròn quay quanh trục chứa đường kính của đtròn đó.
Khi đó:
- Giao tuyến của mc với nửa mp bờ là trục của mc: kinh tuyến
- Giao tuyến của mc với các mp vuông góc với trục: vĩ tuyến
- Giao điểm của mc với trục: cực của mặt cầu.
I. MẶT CẦU VÀ KN
1. Mặt cầu
2. Điểm nằm trong
3. Kinh tuyến, vĩ tuyến
I. MẶT CẦU VÀ KN
1. Mặt cầu
2. Điểm nằm trong
3. Kinh tuyến, vĩ tuyến
Ví dụ 1
Tìm tập hợp tâm các mặt cầu luôn luôn đi qua hai điểm cố
định A và B cho trước.
A
B
O
Giải
Gọi O là tâm mặt cầu ⇒ OA = OB
Trong không gian, tập hợp các điểm O
cách đều hai điểm cho trước là mặt phẳng
trung trực của đoạn AB.
Vậy tập hợp tâm mặt cầu là mp trung trực của AB.
II. VỊ TRÍ TƯƠNG
ĐỐI CỦA MỘT MẶT
CẦU VÀ MỘT MẶT
PHẲNG

O
H
R
M
P
Cho một mặt cầu S(O;R) và
mp(P) bất kỳ.
Gọi H = hc O/mp(P)
Khi đó OH = d[O,mp(P)]
I. MẶT CẦU VÀ KN
Ta xét các trường hợp sau :
II. VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI CỦA MỘT MẶT CẦU VÀ MỘT MẶT
PHẲNG
II. VỊ TRÍ TƯƠNG
ĐỐI CỦA MỘT MẶT
CẦU VÀ MỘT MẶT
PHẲNG
I. MẶT CẦU VÀ KN
Khi đó mọi điểm M ∈ (P) thì
OM>OH. Vậy mọi điểm của (P)
đều nằm ngoài mặt cầu (S)
Vậy (S) ∩ (P) = ∅
Nếu OH > R:
O
H
R
M
P
II. VỊ TRÍ TƯƠNG
ĐỐI CỦA MỘT MẶT

CẦU VÀ MỘT MẶT
PHẲNG
I. MẶT CẦU VÀ KN
Khi đó điểm H ∈ (S). ∀
M∈ (P), M khác H. thì OM
> OH = R.
Vậy (S) ∩ (P) = H
Điểm H gọi là tiếp điểm của (S) và (P)
Mặt phẳng (P) gọi là tiếp diện của mặt cầu (S)
Nếu OH = R:
O
H
R
M
P
II. VỊ TRÍ TƯƠNG
ĐỐI CỦA MỘT MẶT
CẦU VÀ MỘT MẶT
PHẲNG
I. MẶT CẦU VÀ KN
O
H
R
M
P
Điều kiện cần và đủ để mặt phẳng (P) tiếp xúc
với mặt cầu S(O; r) tại điểm H là (P) vuông góc
với bán kính OH tại điểm H đó
Khi đó mp(P) sẽ cắt mặt cầu
(S) theo một đường tròn

C(H, r) với r = √R
2
– d
2

Khi d = 0 thì
C(O;R) gọi là đường tròn lớn của mặt cầu S(O;R).
Vậy (S)∩(P) = C(H,r)
Nếu OH < R:
O
H
R
M
P
II. VỊ TRÍ TƯƠNG
ĐỐI CỦA MỘT MẶT
CẦU VÀ MỘT MẶT
PHẲNG
I. MẶT CẦU VÀ KN
Mp(P) gọi là mặt phẳng kính của mặt cầu đó
II. VỊ TRÍ TƯƠNG
ĐỐI CỦA MỘT MẶT
CẦU VÀ MỘT MẶT
PHẲNG
I. MẶT CẦU VÀ KN
III. VỊ TRÍ TƯƠNG
ĐỐI CỦA MỘT MẶT
CẦU VÀ MỘT
ĐƯỜNG THẲNG
Cho một mặt cầu S(O;R) và đường thẳng (d) bất kỳ.

Gọi H = hc O/(d)
Khi đó OH = d [O, (d)]
Ta xét các trường hợp sau :
Nếu d không đi qua O thì: (O, d) ∩ (S) = C(O; R)
O
R
P
(C)
H
d
III. VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI CỦA MỘT MẶT CẦU VÀ MỘT ĐƯỜNG
THẲNG
Vậy d ∩ (S) = ∅
Nếu d > R:
Khi đó: d ∩ (C) = ∅
O
R
P
(C)
H
(d)
II. VỊ TRÍ TƯƠNG
ĐỐI CỦA MỘT MẶT
CẦU VÀ MỘT MẶT
PHẲNG
I. MẶT CẦU VÀ KN
III. VỊ TRÍ TƯƠNG
ĐỐI CỦA MỘT MẶT
CẦU VÀ MỘT

ĐƯỜNG THẲNG
Nếu d = R:
O
R
P
(C)
H
(d)
II. VỊ TRÍ TƯƠNG
ĐỐI CỦA MỘT MẶT
CẦU VÀ MỘT MẶT
PHẲNG
I. MẶT CẦU VÀ KN
III. VỊ TRÍ TƯƠNG
ĐỐI CỦA MỘT MẶT
CẦU VÀ MỘT
ĐƯỜNG THẲNG
Khi đó điểm H ∈ (S). ∀ M∈ (d), M khác H. thì OM >
OH = R.
Vậy (S) ∩ (d) = H
Khi đó đường thẳng (d) được gọi là tiếp tuyến của mặt
cầu.
O
R
P
(C)
H
(d)
II. VỊ TRÍ TƯƠNG
ĐỐI CỦA MỘT MẶT

CẦU VÀ MỘT MẶT
PHẲNG
I. MẶT CẦU VÀ KN
III. VỊ TRÍ TƯƠNG
ĐỐI CỦA MỘT MẶT
CẦU VÀ MỘT
ĐƯỜNG THẲNG
Điều kiện cần và đủ để đường thẳng (d) tiếp
xúc với mặt cầu S(O; r) tại điểm H là (d) vuông
góc với bán kính OH tại điểm H đó
II. VỊ TRÍ TƯƠNG
ĐỐI CỦA MỘT MẶT
CẦU VÀ MỘT MẶT
PHẲNG
I. MẶT CẦU VÀ KN
III. VỊ TRÍ TƯƠNG
ĐỐI CỦA MỘT MẶT
CẦU VÀ MỘT
ĐƯỜNG THẲNG
Vậy d cắt (S) tại 2 điểm
Nếu d < R:
Khi đó: d cắt (C) tại 2 điểm
O
P
(C)
H
(d)
Nếu d đi qua O thì d cắt mặt cầu tại 2
điểm A, B với AB là đường kính của mặt
cầu.

II. VỊ TRÍ TƯƠNG
ĐỐI CỦA MỘT MẶT
CẦU VÀ MỘT MẶT
PHẲNG
I. MẶT CẦU VÀ KN
III. VỊ TRÍ TƯƠNG
ĐỐI CỦA MỘT MẶT
CẦU VÀ MỘT
ĐƯỜNG THẲNG
Nhận xét:
O
P
a
A
Qua điểm A nằm trên mặt cầu S(O;R) có vô số tiếp tuyến
của mặt cầu (S). Tất cả các tiếp tuyến này đều nằm trên
tiếp diện của (S) tại điểm A.
II. VỊ TRÍ TƯƠNG
ĐỐI CỦA MỘT MẶT
CẦU VÀ MỘT MẶT
PHẲNG
I. MẶT CẦU VÀ KN
III. VỊ TRÍ TƯƠNG
ĐỐI CỦA MỘT MẶT
CẦU VÀ MỘT
ĐƯỜNG THẲNG
b) Qua một điểm A nằm ngoài mặt cầu S(O; r) có vô số tiếp
tuyến của mặt cầu đó. Tất cả các tiếp tuyến này tạo thành
một mặt nón đỉnh A. Độ dài các đoạn thẳng kẻ từ A đến các
tiếp điểm đều bằng nhau.

O
A
M
M’
(C)
p
II. VỊ TRÍ TƯƠNG
ĐỐI CỦA MỘT MẶT
CẦU VÀ MỘT MẶT
PHẲNG
I. MẶT CẦU VÀ KN
III. VỊ TRÍ TƯƠNG
ĐỐI CỦA MỘT MẶT
CẦU VÀ MỘT
ĐƯỜNG THẲNG
IV. DIỆN TÍCH MẶT
CẦU VÀ THỂ TÍCH
KHỐI CẦU.
Mặt cầu có bán kính r có diện tích là:
2
4 rS
π
=
Mặt cầu có bán kính r có thể tích là:
3
4
3
V r
π
=