một số sai lầm thường gặp của học sinh khi giải toán đại số 9 và biện pháp khắc phục

- 1 -
MỤC LỤC
Trang phụ bìa i
Lời cam đoan ii
Lời cảm ơn iii
Mục lục 1
MỞ ĐẦU 3
1. Lí do chọn đề tài 3
2. Mục đích nghiên cứu 4
3. Nhiệm vụ nghiên cứu 4
4. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu 4
5. Phương pháp nghiên cứu 4
6. Giả thuyết nghiên cứu 5
7. Cấu trúc khóa luận 5
Chương 1
CƠ SỞ LÍ LUẬN VÀ THỰC TIỄN
1.1. Cơ sở lí luận 6
1.1.1. Cơ sở tâm lí 6
1.1.2. Thuyết hành vi 7
1.2. Nội dung môn toán Đại số 9 8
1.3. Thực trạng dạy học và một số sai lầm trong giải bài tập toán của học sinh
trường trung học cơ sở hiện nay 10
1.3.1. Điều tra từ giáo viên 10
1.3.2. Điều tra từ học sinh 12
1.4. Kết luận chương 1 13
Chương 2
MỘT SỐ SAI LẦM THƯỜNG GẶP CỦA HỌC SINH KHI GIẢI TOÁN
ĐẠI SỐ 9 VÀ BIỆN PHÁP KHẮC PHỤC
2.1. Một số sai lầm thường gặp của học sinh khi giải toán Đại số 9 14
2.1.1. Sai lầm do kĩ năng tính toán, kĩ năng biến đổi đặc biệt là phép “


”,
“

” 14
2.1.2. Sai lầm do khả năng suy luận chưa logic 26
- 2 -
2.1.3. Sai lầm trong hoạt động chuyển đổi bài toán, trong hoạt động phân chia
trường hợp 36
2.1.4. Sai lầm do sử dụng sai ngôn ngữ, kí hiệu toán học; do tâm lí chủ quan,
do tiềm thức và do lầm tưởng sai vấn đề của học sinh 48
2.1.5. Sai lầm do không nắm vững định nghĩa, định lý, quy tắc và vận dụng sai
trong khi giải bài tập 56
2.2. Một số biện pháp khắc phục sai lầm khi giải toán Đại số 9 62

2.2.1. Biện pháp 1: Tạo niềm tin ở khả năng người học nhằm khắc phục sai
lầm của học sinh 62
2.2.2. Biện pháp 2: Tạo cơ hội để học sinh thử thách và tiếp cận với sai lầm 64
2.2.3. Biện pháp 3: Sử dụng phương pháp tư duy biện chứng nhằm khắc phục
sai lầm của học sinh 70
2.2.4. Biện pháp 4: Rèn luyện cho học sinh kĩ năng kiểm tra và nghiên cứu lời
giải 77
2.3. Kết luận chương 2 78
Chương 3
THỰC NGHIỆM SƯ PHẠM
3.1. Mục đích và nhiệm vụ thực nghiệm 79
3.1.1. Mục đích thực nghiệm 79
3.1.2. Nhiệm vụ thực nghiệm 79
3.2. Nội dung và hình thức tiến hành thực nghiệm 79
3.2.1. Nội dung thực nghiệm 79
3.2.2. Hình thức tiến hành thực nghiệm 87

3.3. Đánh giá kết quả thực nghiệm 88
3.4. Kết luận chương 3 88
KẾT LUẬN 89
1. Kết quả của đề tài 89
2. Hạn chế của đề tài 89
3. Hướng phát triển của đề tài 89
TÀI LIỆU THAM KHẢO 90
PHỤ LỤC

- 3 -
MỞ ĐẦU
1. LÍ DO CHỌN ĐỀ TÀI
Ngày nay, với sự phát triển vượt bậc của nền kinh tế thế giới đã kéo theo sự
phát triển thần tốc của các ngành khoa học thuộc nhiều lĩnh vực như: vật lý, hóa
học, thiên văn học, … Những ngành khoa học thuộc những lĩnh vực trên muốn
phát triển và vận dụng được vào thực tiễn, thì không thể thiếu vai trò của toán học
đặc biệt là tính chính xác của toán học. Tính chính xác trong toán học được thể bởi
tính cẩn thận, tính logic và nhiều đức tính khác. Những đức tính đó đòi hỏi người
giải toán phải không được mắc sai lầm và luôn khắc phục sửa chữa sai lầm mắc phải
khi học toán cũng như trong giải bài tập toán. Vì theo G.Polia: “Con người phải biết
học ở những sai lầm và những thiếu sót của mình”. Để khắc phục những sai lầm trên
ta không thể phủ nhận vai trò của người thầy trong việc dạy học giải bài tập toán.
Ngoài việc tạo ra các hoạt động để hướng dẫn học sinh giải bài tập, người giáo viên
cũng cần đến nghệ thuật phát hiện sai lầm và sữa chữa sai lầm cho học sinh trong
hoạt động và bằng hoạt động. Vì theo A.A.Stôliar: “Không được tiếc thời gian để
phân tích trên giờ học các sai lầm của học sinh”.
Thực tế sư phạm cho thấy trong hoạt động dạy học giải bài tập toán: giáo
viên thường chỉ nặng về hoạt động trình bày lời giải, tìm ra cách giải mà không chú
ý đến việc phát hiện khắc phục và sửa chữa sai lầm của học sinh khi giải toán. Bởi
vậy học sinh cũng chỉ hiểu được lời giải, trình bày được cách giải của bài toán

nhưng khi giải các bài toán khác có thể sẽ mắc sai lầm đáng tiếc. Ngoài ra, tài liệu
về sai lầm của học sinh trong khi giải toán và biện pháp khắc phục sai lầm cho học
sinh trung học cơ sở là rất ít, nếu có đi chăng thì cũng mang tính chất tản mạn theo
chủ đề, nên dù có phát hiện ra sai lầm của học sinh cũng sẽ rất khó cho giáo viên
thực hiện và vận dụng các phương pháp dạy học vào việc khắc phục và sửa chữa sai
lầm cho học sinh.
Hơn nữa, ta luôn thấy rằng nhiều học sinh dù có khả năng giải rất nhanh bài
toán, nhưng thực ra bài toán đó lại chưa đúng, do học sinh mắc phải những sai lầm
như không nắm vững kiến thức, chưa nắm phương pháp hoặc do tâm lý chủ quan,
Khi học sinh mắc càng nhiều sai lầm mà không có cách khắc phục, thì học sinh
thường có tâm lý sợ sệt dẫn đến không còn hứng thú trong giải toán nói riêng và
trong học tập nói chung. Đặc biệt, cấp trung học cơ sở là cấp học có nhiều điểm độc
- 4 -
đáo về nhận thức, về tư duy, hình thành kĩ năng và đây cũng là cấp học rất thích hợp
cho việc tạo hứng thú học tập cho học sinh, rèn luyện khả năng tự học tránh sai sót
trong quá trình giải toán để có thể hình thành những kiến thức cơ sở chuẩn bị cho
học trung học phổ thông. Vì vậy việc nghiên cứu phát hiện sai lầm và sửa chữa sai
lầm cho học sinh trung học cơ sở nhằm khắc phục những hạn chế trên và đưa ra
biện pháp phù hợp cho giáo viên, học sinh trong việc khắc phục và sửa chữa sai lầm
trong khi giải toán, nhằm nâng cao hiệu quả học tập của học sinh nói riêng và nâng
cao chất lượng giáo dục nói chung.
Đó cũng là lí do chúng tôi chọn đề tài nghiên cứu là: “Một số sai lầm thường
gặp của học sinh khi giải toán Đại số 9 và biện pháp khắc phục”.
2. MỤC ĐÍCH NGHIÊN CỨU
Tìm hiểu một số sai lầm thường gặp của học sinh khi giải toán Đại số 9 bậc
trung học cơ sở và đề xuất biện pháp khắc phục. Vận dụng một số biện pháp đã đề
xuất vào dạy học Đại số 9 nhằm nâng cao hiệu quả học tập của học sinh và nâng
cao chất lượng dạy học cho các trường trung học cơ sở.
3. NHIỆM VỤ NGHIÊN CỨU
Để đạt được mục đích trên, khóa luận có nhiệm vụ làm rõ những vấn đề sau:

- Tìm hiểu một số sai lầm thường gặp trong giải toán Đại số 9 bậc trung học
cơ sở và nguyên nhân dẫn đến sai lầm.
- Điều tra thực tế giáo viên và học sinh bằng hệ thống câu hỏi nhằm đánh giá
thực trạng của việc dạy và học cũng như nguyên nhân dẫn đến sai lầm cho học sinh
trong khi giải toán Đại số 9.
- Đề xuất một số biện pháp khắc phục những sai lầm trên cho học sinh.
- Tiến hành thực nghiệm thông qua thiết kế các hoạt động học tập dựa trên
một số biện pháp đã đề xuất.
4. ĐỐI TƯỢNG VÀ PHẠM VI NGHIÊN CỨU
- Đối tượng nghiên cứu: Một số sai lầm thường gặp của học sinh khi giải
toán Đại số 9 bậc trung học cơ sở và biện pháp khắc phục.
- Phạm vi nghiên cứu: Học sinh trường Trung Học Cơ Sở Nguyễn Thị Lựu –
Cao Lãnh – Đồng Tháp và trường Trung Học Cơ Sở Phạm Hữu Lầu – Cao Lãnh –
Đồng Tháp.
5. PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU
- 5 -
- Phương pháp nghiên cứu cơ sở lý luận: Nghiên cứu một số tài liệu về
những sai lầm của học sinh khi giải toán Đại số từ đó tạo tiền đề để nghiên cứu đề
tài.
- Phương pháp nghiên cứu thực tiễn: Phương pháp điều tra, giáo viên và
học sinh để có thêm những hiểu biết về sai lầm thường gặp của học sinh trong giải
toán Đại số 9 và biện pháp khắc phục. Xử lý kết quả bằng một số phương pháp
thống kê toán học.
- Thực nghiệm sư phạm: Tiến hành soạn và dạy một số giáo án dựa trên các
biện pháp đã đề ra, rồi kiểm tra tính khả thi thông qua bài kiểm tra học sinh
6. GIẢ THUYẾT NGHIÊN CỨU
Nếu tìm hiểu và nghiên cứu đúng những sai lầm của học sinh, những vướng
mắc chưa được giải quyết, từ đó có biện pháp khắc phục đúng đắn thì sẽ góp phần
nâng cao hứng thú học tập cho học sinh và nâng cao chất lượng dạy học.
7. CẤU TRÚC KHÓA LUẬN

Ngoài phần mở đầu và kết luận đề tài gồm có 3 chương:
Chương 1. Cơ sở lí luận và thực tiễn
1.1. Cơ sở lí luận.
1.2. Nội dung của môn toán Đại số 9.
1.3. Thực trạng dạy học và một số sai lầm trong giải bài tập toán của học
sinh trường trung học cơ sở hiện nay.
1.4. Kết luận chương 1.
Chương 2. Một số sai lầm thường gặp của học sinh khi giải Toán Đại số
9 và biện pháp khắc phục
2.1. Một số sai lầm thường gặp của học sinh khi giải toán Đại số 9.
2.2. Một số biện pháp khắc phục sai lầm khi giải toán Đại số 9.
2.3. Kết luận chương 2.
Chương 3. Thực nghiệm sư phạm
3.1. Mục đích và nhiệm vụ thực nghiệm.
3.2. Nội dung và hình thức tiến hành thực nghiệm.
3.3. Đánh giá kết quả thực nghiệm.
3.4. Kết luận chương 3.

- 6 -
Chương 1
CƠ SỞ LÍ LUẬN VÀ THỰC TIỄN
1.1. Cơ sở lí luận
1.1.1. Cơ sở tâm lí
Kết thúc tuổi thiếu niên và bắt đầu thời kì thanh niên mới lớn, tâm lí của học
sinh ở lứa tuổi 14 – 15 có những bước nhảy vọt về thể chất lẫn tinh thần nhằm tiến
bước sang giai đoạn phát triển cao hơn đó là giai đoạn của người trưởng thành. Học
sinh có sự tăng trưởng về chiều cao một cách rõ rệt, hệ xương phát triển mạnh đặc
biệt là xương tay và xương chân dài ra một cách nhanh chóng, nhưng ở đó xương
lồng ngực lại phát triển chậm hơn, có sự tăng trưởng về thể lực, cơ bắp phát triển.
Xét về hoạt động học tập của học sinh thời kì này họ có những biểu hiện của

sự hứng thú trong học tập, chú trọng hơn ở một số phân môn nhất định và có tính
chất định hướng nghề nghiệp. Tuy nhiên, những hứng thú của học sinh với một số
phân môn trên lại không sâu và bền nên rất dễ bị kích động bởi những yếu tố bên
ngoài. Mặt khác, do ở trường trẻ được tiếp xúc với những môn học có tính trừu
tượng cao được hình thành từ những mệnh đề, định nghĩa, định lí nên hoạt động học
tập của học sinh mang tính tích cực chủ động và tự giác cao, dần chuyển từ quá
trình dạy học “bắt tay chỉ việc” với sự hướng dẫn của giáo viên sang quá trình tự
học.
Khả năng trí tuệ của học sinh thời kì này chủ yếu là mang tính chất có chủ
định được thể hiện như: Tri giác có chủ định chiếm ưu thế, kỹ năng quan sát được
nâng cao. Trí nhớ tốt hơn, có khả năng ghi nhớ được nhiều tài liệu trừu tượng và
phức tạp, học sinh biết sử dụng các thao tác tư duy trong quá trình ghi nhớ của
mình. Phương thức tư duy khái quát hoá, đặc biệt hoá, phân tích và tổng hợp được
học sinh vận dụng để phân loại và hệ thống các sự vật, nhìn nhận sự vật không chỉ ở
dưới dạng hình thể vẻ bên ngoài, mà còn biết xét các sự vật hiện tượng theo tính
chất của chúng, biết phân loại nhiều sự vật hiện tượng dựa vào những đặc tính riêng
hoặc đặc tính chung của sự vật. Chẳng hạn, trẻ không xem vật lớn hơn là tất nhiên
phải nặng hơn. Học sinh đã hình thành ở mình lối tư duy logic mệnh đề được suy
diễn từ các giả thuyết đã cho, thực hiện thành thạo thao tác tư duy thuận-nghịch, ở
học sinh tương ứng là phương pháp chứng minh điều kiện cần và đủ trong toán học.
Do đặc tính của từng môn học nên vốn từ vựng của học sinh được phát triển phong
- 7 -
phú hơn, ngôn ngữ chính xác và ít thiếu sót hơn. Trẻ còn có thể thực hiện thao tác tư
duy từ cụ thể sang trừu tượng nhằm trừu tượng hoá vấn đề, ngược lại trẻ cũng có thể
chuyển từ tư duy trừu tượng sang cụ thể và thực hiện đồng thời cả hai thao tác tư
duy trên một cách linh hoạt, sáng tạo để có thể kiểm nghiệm chúng bởi thực tế.
Do ở lứa tuổi này học sinh phát triển rất mạnh và mang tính chất không đồng
đều, nên thường có những hành vi sai lệch không ý thức được bản thân, từ quá trình
suy nghĩ đến quyết định còn mang tính vội vàng, hành động mang tính tự phát.
Ngoài ra, còn có nhiều học sinh thực hiện nhớ các tài liệu, kiến thức và sự kiện một

cách máy móc mang tính chất không trọng tâm, nên học sinh thường rất dễ mắc sai
lầm trong giải toán.
1.1.2. Thuyết hành vi [11]
Sai lầm của học sinh là một hiện tượng tiêu cực, có hại cho việc lĩnh hội kiến
thức và do đó cần tránh và nếu gặp thì cần khắc phục. Trong dạy học, có người còn
đề nghị không viết lời sai lên bảng vì sợ rằng điều này sẽ củng cố thêm sai lầm
trong tiềm thức của học sinh.
Đối với nguyên nhân của sai lầm, thuyết hành vi lại có quan niệm phân đôi:
Thứ nhất, sai lầm là do học sinh mơ hồ, không nắm vững kiến thức đã học,
do thiếu hụt kiến thức, do vô ý, không cẩn trọng, Một cách cụ thể hơn, thuyết
hành vi cho rằng học sinh sai lầm do không nắm vững các khái niệm, định lý, không
nghiên cứu kỹ đầu bài, tính toán nhầm lẫn, vẽ hình sai và không nắm vững kiến thức
về logic toán,
Thứ hai, về sai lầm của học sinh cũng có thể là do giáo viên trình bày không
chính xác, dạy quá nhanh hay giải thích không rõ ràng,
Về biện pháp phòng tránh sai lầm của học sinh, thuyết hành vi đưa ra
phương pháp dạy học mà thường được gọi là “sư phạm từng bước nhỏ”. Theo đó,
mục tiêu dạy học một kiến thức được phân nhỏ thành các mục tiêu bộ phận, các mục
tiêu bộ phận đến lượt nó lại được phân thành các mục tiêu con, để làm sao cho
học sinh có thể lĩnh hội kiến thức cần giảng dạy bằng con đường quy nạp, đi từ đơn
giản đến phức tạp mà không phạm sai lầm nào. Với cách dạy học này, người giáo
viên tìm mọi cách có thể để tránh sai lầm.
Cách thức sửa chữa sai lầm của học sinh, thuyết hành vi cho rằng, nếu lỡ sai
lầm xuất hiện thì cách giải quyết thông thường là dạy lại, ôn luyện lại hay cung cấp
- 8 -
các kiến thức bổ trợ cho đến khi học sinh có được lời giải đúng như mong đợi. Mặt
khác, để khắc phục sai lầm của học sinh trong các suy luận, cần sớm đưa vào
chương trình nội dung logic toán và dạy thật kỹ nó.
Tuy nhiên, nhiều nghiên cứu đã chỉ ra rằng dù các biện pháp sửa chữa sai
lầm nêu trên đã được thực hiện, thì sau một thời gian nào đó, người ta ghi nhận có

không ít học sinh lại phạm phải sai lầm như cũ. Nói cách khác, sai lầm vẫn dai dẳng
tồn tại ở học sinh. Đây là một trong các minh chứng cho thất bại của thuyết hành vi
trong việc nghiên cứu những ứng xử phức tạp của con người.
Cụ thể hơn nữa là ở Pháp, sau nhiều thập niên nhấn mạnh đặc biệt trên vai trò
của dạy học các yếu tố logic, các chương trình toán trung học phổ thông sau năm
1990 đều ghi rõ: “Cấm mọi trình bày về logic toán”. Trong khi nhiều nghiên cứu chỉ
ra rằng người Pháp rất quan tâm đến khó khăn và sai lầm của học sinh trong dạy học
suy luận và chứng minh. Nhưng, thay vì gia tăng dạy học các yếu tố logic họ lại bỏ
nó đi. Nói cách khác, thể chế dạy học Pháp đang cố gắng thoát khỏi những hạn chế
của quan điểm sư phạm dựa trên thuyết hành vi ngay từ sự lựa chọn và tổ chức các
nội dung toán học cần giảng dạy.
1.2. Nội dung môn toán Đại số 9
Nội dung chính trong dạy học toán Đại số 9 được chia thành bốn chương như
sau:
 Chương I: Căn bậc hai – Căn bậc ba.
 Chương II: Hàm số bậc nhất.
 Chương III: Hệ phương trình bậc nhất hai ẩn.
 Chương IV: Hàm số


2
y ax a 0
 
– Phương trình bậc hai một ẩn.
Trong đó bốn chương trên có hai chương là “Chương I và Chương II” thuộc
chương trình học kì một, và hai chương là “Chương III và Chương IV” thuộc vào
chương trình học kì hai của sách giáo khoa.
Nội dung của từng chương được thể hiện bởi các bài như sau:
 Chương I: Căn bậc hai – Căn bậc ba.
Bài 1: Căn bậc hai

Bài 2: Căn thức bậc hai và hằng đẳng thức
2
A A

Bài 3: Liên hệ giữa phép nhân và phép khai phương
- 9 -
Bài 4: Liên hệ giữa phép chia và phép khai phương
Bài 5: Bảng căn bậc hai
Bài 6: Biến đổi đơn giản biểu thức chứa căn thức bậc hai
Bài 7: Biến đổi đơn giản biểu thức chứa căn thức bậc hai (tiếp theo)
Bài 8: Rút gọn biểu thức chứa căn thức bậc hai
Bài 9: Căn bậc ba
 Chương II: Hàm số bậc nhất.
Bài 1: Nhắc lại và bổ sung các khái niệm về hàm số
Bài 2: Hàm số bậc nhất
Bài 3: Đồ thị của hàm số


y ax b a 0
  

Bài 4: Đường thẳng song song và đường thẳng cắt nhau
Bài 5: Hệ số góc của đường thẳng


y ax b a 0
  

 Chương III: Hệ phương trình bậc nhất hai ẩn.
Bài 1: Phương trình bậc nhât hai ẩn

Bài 2: Hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn
Bài 3: Giải hệ phương trình bằng phương pháp thế
Bài 4: Giải hệ phương trình bằng phương pháp cộng đại số.
Bài 5: Giải bài toán bằng cách lập hệ phương trình
Bài 6: Giải bài toán bằng cách lập hệ phương trình (tiếp theo)
 Chương IV: Hàm số


2
y ax a 0
 
– Phương trình bậc hai một ẩn.
Bài 1: Hàm số


2
y ax a 0
 

Bài 2: Đồ thị của hàm số


2
y ax a 0
 

Bài 3: Phương trình bậc hai một ẩn
Bài 4: Công thức nghiệm của phương trình bậc hai
Bài 5: Công thức nghiệm thu gọn
Bài 6: Hệ thức Vi-et và ứng dụng

Bài 7: Phương trình quy về phương trình bậc hai
Bài 8: Giải bài toán bằng cách lập phương trình

- 10 -
1.3. Thực trạng dạy học và một số sai lầm trong giải bài tập toán của học sinh
trường trung học cơ sở hiện nay
Do đề tài nằm ở luận điểm là một khoá luận tốt nghiệp thuộc hệ Cao đẳng
Toán, nên hệ thống câu hỏi điều tra từ giáo viên và bài tập kiểm tra học sinh được
chúng tôi gửi và nghiên cứu chủ yếu ở hai trường trung học cơ sở là: Trung Học Cơ
Sở Nguyễn Thị Lựu, và Trung Học Cơ Sở Phạm Hữu Lầu.
1.3.1. Điều tra từ giáo viên
 Mục đích của hệ thống câu hỏi: Gồm 5 luận điểm cơ bản:
 Thứ nhất: Tìm hiểu năng lực của giải toán của học sinh, và tìm hiểu những
kiến thức mà học sinh cảm thấy khó tiếp thu thông qua việc dạy học của giáo
viên, từ đó ta có thể dự đoán sai lầm của học sinh nằm ở chủ đề kiến thức
nào, nội dung gì?
 Thứ hai: Nhằm tìm hiểu nguyên nhân mắc sai lầm của học sinh và những khó
khăn trong việc phát hiện sai lầm của học sinh trong giải toán.
 Thứ ba: Tìm hiểu những biện pháp khắc phục sai lầm mà giáo viên thường
vận dụng, những khó khăn khi khắc phục sai lầm và cách khắc phục khó
khăn của giáo viên.
 Thứ tư: Kiểm tra tính khả thi của đề tài.
 Thứ năm: Với những câu hỏi gợi mở nhằm thu thập thông tin từ giáo viên để
có thể đề ra những biện pháp khắc phục sai lầm một cách triệt để.
 Phân tích dữ liệu điều tra: Dựa vào những luận điểm cơ bản trên và
Phụ lục 4 bảng 1 ta có thể phân tích các ý kiến của giáo viên như sau:
Từ dữ liệu thực tế ta thấy rằng phần lớn học sinh có kiến thức ở dạng trung
bình – khá. Tỉ lệ học sinh khá ngày càng giảm, thay vào đó là tỉ lệ học sinh trung
bình ngày càng tăng. Nguyên nhân chủ yếu là học sinh không còn hứng thú vào việc
học hoặc do họ thiếu ý thức trong học tập. Hơn nữa, khi học và giải toán học sinh

chỉ học theo kiểu ghi nhớ máy móc, học thuộc lòng mà chẳng hiểu vấn đề cốt yếu
của bài toán dẫn đến họ không nắm vững định nghĩa, định lí và các công thức cơ
bản (40
0
/
0
giáo viên đồng ý) nên thường mắc sai lầm là không tránh khỏi. Ngoài ra,
học lực trung bình của học sinh còn thể hiện rõ ở sự tiếp thu kiến thức ở các chương
trong sách giáo khoa chẳng hạn ở “Chương I: Căn bậc hai – Căn bậc ba” 40
0
/
0
giáo
viên cho rằng học sinh tiếp thu chậm, “Chương II: Hàm số bậc nhất” là (33,4
0
/
0
),
- 11 -
“Chương III: Hệ phương trình bậc nhất hai ẩn” là (13,3
0
/
0
) và “Chương IV: Hàm
số
2
y ax




0
a

– Phương trình bậc hai một ẩn” là (13,3
0
/
0
). Từ những kết quả
trên, đặt ra cho chúng ta câu hỏi rằng “Phải chăng trong việc giải và học toán, học
sinh không có sự tiến bộ về môn học mà lại mắc sai lầm ngày càng nhiều, dẫn đến
đa số học sinh có học lực nằm ở mức trung bình? Vậy muốn khắc phục nó ta cần
phải có điều kiện gì?”. Để có câu trả lời chính xác hơn chúng tôi cần kết hợp tổng
hợp các câu hỏi ở các luận điểm sau nhất là luận điểm thứ năm.
Ngoài những nguyên nhân như đã nêu học sinh còn mắc sai lầm do nhiều
nguyên nhân khác như: do kĩ năng tính toán còn yếu, vẽ đồ thị không chính xác
(50
0
/
0
ý kiến nhất trí), hoặc do các hoạt động tư duy chưa phù hợp, do tâm lí chủ
quan của học sinh (10
0
/
0
ý kiến nhất trí). Vậy thì những biện pháp khắc phục sai lầm
trên là gì? Đại đa số giáo viên thống nhất thực hiện hai biện pháp sau:
+ Củng cố và nhắc lại định nghĩa, định lí hoặc qui tắc làm học sinh dễ mắc
sai lầm. Rèn luyện cho học sinh các thao tác tư duy biện chứng, tạo điều kiện để học
sinh được thử thách và tiếp cận với những bài tập dễ mắc sai lầm. (52,38
0

/
0
)
+ Giúp học sinh liên tưởng đến các bài tập cùng loại, và phân dạng một cách
có hệ thống các bài tập nhằm khắc phục sai lầm của học sinh. (42,86
0
/
0
)
Tuy nhiên khi vận dụng các biện pháp khắc phục sai lầm cũng như khi thực
hiện phát hiện sai lầm của học sinh, là giáo viên ta cũng có một số khó khăn nhất
định:
+ Do số lượng học sinh quá đông (42,86
0
/
0
) nên giáo viên không thể kiểm
soát được sai lầm và khắc phục được hết tất cả sai lầm của từng em, mà chỉ là khắc
phục các sai lầm cơ bản, phổ biến của lớp học mà thôi.
+ Học sinh thường có tâm lí che giấu sai lầm của mình (21,43
0
/
0
) vì vậy ta
không thể vận dụng được các biện pháp vào việc khắc phục.
+ Thời gian dạy học trên lớp không đủ để khắc phục sai lầm của học sinh.
(27,27
0
/
0

)
+ Do một số học sinh bị hỏng kiến thức quá nặng ở các lớp dưới (45,45
0
/
0
ý
kiến đồng ý), nên khi lên lớp trên học sinh không thể tiếp thu được kiến thức mới,
đồng thời cũng không thể bổ sung kiến thức cũ cho học sinh vì thời gian trên lớp
không cho phép.
- 12 -
+ 22,73
0
/
0
ý kiến giáo viên cho rằng học sinh mất niềm tin và không chịu hợp
tác với giáo viên để khắc phục sai lầm của mình.
Như vậy, muốn khắc phục sai lầm của học sinh một cách triệt để ta cần có sự
kết hợp một cách chặt chẽ và tạo điều kiện giữa giáo viên, học sinh, gia đình và nhà
trường.
+ Giáo viên cần rèn luyện ý thức học tập cho học sinh. (36,36
0
/
0
)
+ Cần có sự quan tâm của gia đình và được ban giám hiệu hỗ trợ, tạo điều
kiện về mọi mặt trong việc khắc phục sai lầm của học sinh. (22,71
0
/
0
)

+ Giáo viên phân dạng và hệ thống bài tập, tạo niềm tin cho học sinh và rèn
luyện kĩ năng tính toán, phương pháp giải toán cho học sinh. (13,64
0
/
0
)
+ Phân loại học sinh và luôn đổi mới phương pháp dạy học nhằm tạo điều
kiện cho việc khắc phục sai lầm của học sinh. (13,64
0
/
0
)
+ Giáo viên cần sắp xếp thời gian phụ đạo bổ sung kiến thức cho học sinh khi
cần thiết, và luôn nhiệt tình trong việc khắc phục sai lầm của học sinh. (9,1
0
/
0
)
+ Số học sinh ở một lớp không được quá 30 học sinh. (4,55
0
/
0
)
Từ những vấn đề trên ta có thể thấy rằng việc giáo viên thấu hiểu những khó
khăn của mình khi khắc phục sai lầm đi đến vận các biện pháp khắc phục phù hợp là
có hiệu quả và rất khả thi, vì khi khắc phục được sai lầm tâm lí của học sinh biến
đổi rất nhanh chóng từ việc mất niềm tin và không còn hứng thú học tập (94,11
0
/
0

),
đến học sinh hứng thú, tự tin hơn trong giải toán, ham muốn và khao khát được giải
các bài tập kế tiếp, quyết tâm không để mắc sai lầm trong lần sau (85,72
0
/
0
).
1.3.2. Điều tra từ học sinh
 Mục đích của bài tập kiểm tra học sinh:
Bài tập kiểm tra học sinh được chúng tôi soạn thảo thành hai đề (đề 1 Phụ lục
2 và đề 2 Phụ lục 3) và tiến hành khảo sát ở hai lớp 9A1 và 9A6 trường Trung Học
Cơ Sở Nguyễn Thị Lựu với mục đích là tìm hiểu rõ hơn về những nguyên nhân sai
lầm trong giải toán của học sinh.
 Phân tích dữ liệu điều tra:
Thông qua Phụ lục 4 bảng 2 và bài tập kiểm tra ta thấy rằng sai lầm của học
sinh là rất cơ bản và có thể khắc phục được triệt để nếu ta vận dụng đúng, linh hoạt
các biện pháp khắc phục chúng. Sai lầm này chủ yếu là do học sinh không nắm
vững định nghĩa, định lí và các quy tắc logic (70
0
/
0
học sinh sai lầm), thực hiện tư
- 13 -
duy phân tích chưa phù hợp (80
0
/
0
học sinh sai lầm) hoặc do học sinh phân chia
thiếu trường hợp, phân chia sai trường hợp với bài toán biện luận tham số (80
0

/
0
học
sinh sai lầm).
1.4. Kết luận chương 1
Trên cơ sở tìm hiểu về đặc điểm tâm sinh lí của học sinh, thuyết hành vi, nội
dung sách giáo khoa Đại số 9 và tình hình thực tiễn sư phạm ta thấy học sinh khi
giải toán còn vướng phải rất nhiều sai lầm đòi hỏi phải được khắc phục ngay. Và
những sai lầm đó là mang tính chủ quan do con người, nên có thể nghiên cứu và đề
ra được các biện pháp khắc phục chúng một cách hiệu quả nhất.

- 14 -
Chương 2
MỘT SỐ SAI LẦM THƯỜNG GẶP CỦA HỌC SINH KHI GIẢI TOÁN
ĐẠI SỐ 9 VÀ BIỆN PHÁP KHẮC PHỤC
2.1. Một số sai lầm thường gặp của học sinh khi giải toán Đại số 9
Trong mục này, chúng tôi xin đưa ra một số sai lầm và phân tích những sai
lầm cơ bản của học sinh trên phương diện hoạt động toán học nhằm tạo tiền đề cho
việc thực hiện các biện pháp sửa chữa những sai lầm trong mục kế tiếp.
2.1.1. Sai lầm do kĩ năng tính toán, kĩ năng biến đổi đặc biệt là phép
“

”, “

”
a. Sai lầm do kĩ năng tính toán
Kĩ năng tính toán ở đây là kĩ năng thực hiện các phép tính cộng, trừ, nhân,
chia, khai căn và luỹ thừa trên các con số, biểu thức và khả năng biến đổi các số,
biểu thức. Tuy nhiên, thực tiễn sư phạm cho thấy nhiều học sinh cấp trung học cơ sở
thường tính sai trên các phép tính này đặc biệt là phép khai căn và luỹ thừa, khi thực
hiện bỏ ngoặc thì không chú ý đến dấu “

” trước ngoặc.
Ví dụ 1: Tìm căn bậc hai của
15
4.4
.
Sai lầm của học sinh:

Học sinh giải như sau:


15
15 15 15
4.4 16 16 4
  

Một học sinh khác có lời giải là:
15 16 4
4.4 4 2 16
  

Lại có một kết quả khác:
16 4
4 4 456
 
Phân tích sai lầm của học sinh:
Thứ nhất, tuy học sinh tính được


15
15
16 16
 nhưng khi thực hiện mũ
hoá
15 15
4.4 16

thì lại sai, nguyên nhân là do học sinh nghĩ rằng



2
a.a a


 . Công
thức đúng là
a .a a
  

.
Thứ hai, do học sinh không chú ý đến thứ tự thực hiện các phép tính, nên họ
đã áp dụng một cách chế biến là lấy căn của cả cơ số và số mũ là không chính xác.
Học sinh lầm tưởng
 
 
a a a 0


 
là sai lầm mà công thức đúng ở đây là


 
a a a 0


 
.

- 15 -
Với kết quả thứ ba thì lại khác họ chỉ thực hiện lấy căn của số mũ nên cũng
đã dẫn đến kết quả sai. Để làm sáng tỏ điều này ta có thể lấy ví dụ như sau:
 
1
1 1
4 4 2

 
  , rõ ràng
1

là không có nghĩa.
Lời giải đúng:

16 2
4 65536 65536
  (vì đây là căn bậc hai số học).
Ví dụ 2: So sánh
25
9
và
144
121



Sai lầm của học sinh:
Ta có:
25 5

 
,
9 3
 
,
144 12
  
,
121 11
  
sau đó học sinh
chia thành các trường hợp rồi thực hiện so sánh.
Phân tích sai lầm của học sinh:
Học sinh đã sai lầm khi nhầm lẫn giữa định nghĩa “căn bậc hai” và “căn bậc
hai số học” nên áp dụng sai định nghĩa “căn bậc hai” cho “căn bậc hai số học”.
Sai lầm của học sinh:
Ta có:
25 5

,
9 3

,
144 12
  
,
121 11
  

Nên

25 5 12 144
3 11
9 121
 
  


(vì




5. 11 55 36 12 .3
      
)
Phân tích sai lầm của học sinh:
Tuy học sinh tính được căn bậc hai số học của một số dương cụ thể, nhưng
khi thực hiện phép toán so sánh hai phân số thì lại quên biến đổi các phân số thành
một phân số có tử số và mẫu số cùng dương, nên mắc phải sai lầm đáng tiếc khi
khẳng định rằng
25 144
9 121



(vì





5. 11 55 36 12 .3
      
).
Lời giải đúng:
Ta có:
25 5

,
9 3

,
144 12
  
,
121 11
  

Nên
25 5 12 144
3 11
9 121
  
(vì




5. 11 55 36 12 .3
  
)

Ví dụ 3: Tính giá trị biểu thức
1 2
A
6 5 7 5
 
 

Sai lầm của học sinh:
- 16 -
Ta có:


  
7 5 2 6 5
A
6 5 7 5
  

 


7 2 6 5
42 30 35 5
 

  
.
Phân tích sai lầm của học sinh:
Học sinh đã quá hấp tấp khi thực hiện phép quy đồng mẫu biểu thức
A

, dẫn
đến tạo sự phức tạp cho bài toán và tạo cho mình thế bế tắc không thể tiếp tục giải
được nữa. Tuy kết quả vẫn đúng, nhưng với sai lầm như trên thì học sinh chỉ có thể
được
1
4
số điểm của bài toán, với số điểm này thì không thể xem là học sinh làm
bài khá được.
Lời giải đúng:



2 7 5
A 6 5
2
6 7.

  
 

Ví dụ 4: Tính giá trị của biểu thức




A 3 2 2 1 2 1 2
    .
Sai lầm của học sinh:

   



     
   
    
 
 
2
2 2
2
2
2
4
3
3
3
A 3 2 2 1 2 1 2
2 2 2 1 1 2 1 2 1 2
2 1 2 1
2 1 2 1 2 1
2 1
A 2 1
   
 
     
 
 
  
   
 

  

Phân tích sai lầm của học sinh:
Học sinh đã rất tinh ý khi đã bình phương hai vế, vận dụng “hằng đẳng
thức” và định nghĩa “căn bậc hai số học” tạo thuận lợi khi khử
1 2
 và phục vụ
cho việc tìm
A
. Cùng với kết quả hoàn mĩ như vậy, học sinh cứ nghĩ là mình đúng
- 17 -
vì mình đã áp dụng đúng “hằng đẳng thức” và định nghĩa “căn bậc hai số học”
thật chính xác, nhưng kết quả lại không phù hợp. Rõ ràng


1 2 0
 
còn


3 2 2 1 2 0
  
nên
A 0

trái với
 
3
A 2 1 0
  

.
Lời giải đúng:





   
   
 
2
2
A 2 2 2 1 1 2 1 2
2 1 1 2 1 2
2 1 1 2 1 2 1 2
2 1 1 2
 
    
 
 
   
    
   

Ví dụ 5: Giải phương trình sau:
2
2
1 1 3x 4
1
x 1 x x x


   
 

Sai lầm của học sinh:

 
    
 
 
2
2
2 2
2 2 2 2
2
1 1 3x 4
1 *
x 1 x x x
x x 1 x 1 x 1 3x 4 x x **
x x x 1 3x 4 x x
0x 0x 3 0
x

   
 
         
        
   
 

Vậy không có
x
thoả phương trình.
Phân tích sai lầm của học sinh:
Ta thấy với
3
x
2

là nghiệm của phương trình đầu. Tuy nhiên, với cách tính
toán, biến đổi từ (*) sang (**) học sinh có suy nghĩ sai lầm rằng


2 2
x x x x 1
  

là mẫu thức chung của phương trình và tất yếu là đưa đến kết quả bài toán sai.
Lời giải đúng:
Điều kiện:


x x 1 0
 

- 18 -

 
2
2

2
2
1 1 3x 4
1
x 1 x x x
x x 1 3x 4 x x 1
2x x 3 0
3
x 1 x
2

   
 
       
   
    

Kết hợp điều kiện nhận
x 1
 
hoặc
3
x
2

làm nghiệm.
Ví dụ 6: Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức sau:
2
5
A

x 6x 14

 

Sai lầm của học sinh:
Đặt:
2
5
a
x 6x 14

 

2
ax 6ax 14a 5 0
    

Dùng phương pháp hàm số ta có:





 
  
2
2
36a 4a. 14a 5 0 *
20a 20 0 **
a 1 a 1 0

1 a 1
    
   
   
   

Vậy
maxA 1

khi
x 3
 
.
Phân tích sai lầm của học sinh:
Với học sinh lớp 9, họ đã rất nhuần nhuyễn khi thực hiện nhân đơn thức với
đa thức, nhưng với những học sinh khi có thói quen giải toán xong không thực hiện
bước kiểm tra, và với một kết quả chính xác như thế thì sai lầm xảy ra là khó tránh
khỏi ở các bước trung gian từ (*) sang (**).
Lời giải đúng:
Ta có:
2
5
A
x 6x 14

 


2
Ax 6Ax 14A 5 0

    
có nghiệm khi và chỉ khi:

 
2
' 2
2
3A 14A 5A 0
5A 5A 0
0 A 1
    
  
  

- 19 -
Vậy
maxA 1

khi
x 3
 
.
Ví dụ 7: Giải phương trình:
2
2 2
x 3x 2 2x
0
x 5x 2 x 5x 2
 
 

   
(*).
Sai lầm của học sinh:









2 2 2
4 3 2
* x 3x 2 x 5x 2 2x x 5x 2 0
x 6x 29x 12x 4 0
        
     

Phân tích sai lầm của học sinh:
Đến đây thì dừng lại vì chỉ có học sinh trường chuyên cấp trung học cơ sở
mới biết nhẩm nghiệm hoặc đặt nhân tử chung để giải phương trình dạng này. Ngoài
ra đây là phương trình chứa ẩn ở mẫu học sinh lại thiếu điều kiện để mẫu xác định.
Lời giải đúng:
Điều kiện:
2
2
x 5x 2 0
x 5x 2 0


  


  



Xét thấy
x 0

không phải là nghiệm của phương trình nên ta chia hai vế (*)
cho
x
ta được:
2
x 3
2
x
0
2 2
x 5 x 5
x x
 
 
   
.
Đặt
2
t x
x

 
(
t 2 2
 ), (*) trở thành:
t 3 2
0
t 5 t 5

 
 
. Phương trình vô
nghiệm.
b. Sai lầm do kĩ năng biến đổi đặc biệt là phép “

”, “

”
Tuy cấp trung học cơ sở học sinh chỉ được làm quen với phép biến đổi
“

”, “

” bằng phương tiện trực quan dưới dạng các qui tắc biến đổi và được
thừa nhận. Nhưng để đảm bảo tính logic của toán học nên hầu hết những bài toán
Đại số ở cấp học này, đặc biệt là Đại số 9 đều có sử dụng phép biến đổi “

”,
“

” trong việc trình bài lời giải bài toán. Chính vì lẽ đó học sinh cảm thấy lúng

túng khi dùng phép “

”,“

” nên đưa đến nhiều sai lầm khi giải toán.
Sai lầm chủ yếu là do học sinh thường lầm lẫn giữa phép “

”,“

” học
sinh không ý thức được lúc nào thì sử dụng phép “

”, lúc nào thì sử dụng phép
“

”. Họ không hiểu được thế nào là điều kiện cần và thế nào là điều kiện đủ, để
chứng minh bài toán thoả điều kiện cần và đủ ta cần phải chứng minh gì?. Nên
- 20 -
nhiều học sinh khi biến đổi đôi khi làm thu hẹp hoặc mở rộng tập xác định, tập
nghiệm của phương trình mà thật không biết điều đó.
Ví dụ 8: Tìm điều kiện để
y
xác định với
2
x
y
x ax


(

a
là hằng số).
Sai lầm của học sinh:
 
 
2
x
y *
x ax
1
y **
x a


 


Khi đó
y
xác định khi và chỉ khi
x a

.
Vậy


D \ a


thì

y
xác định.
Phân tích sai lầm của học sinh:
Từ (*) sang (**) không phải là phép biến đổi tương đương, phép biến đổi này
đã làm thu hẹp tập xác định của
y
nên phương trình đầu chỉ là phương trình hệ quả
qua phép biến đổi mà thôi. Phép biến đổi trên chỉ đúng khi
x 0

còn với
x 0

thì
0
y
0

không xác định.
Lời giải đúng:
y
xác định khi và chỉ khi:


2
x ax x x a 0
   

Vậy
x 0


và
x a

thì
y
xác định.
Ví dụ 9: Giải hệ phương trình sau:
2x 5y 1
3x y 4
 



 



Sai lầm của học sinh:
2x 5y 1
3x y 4
 



 



2x 5y 1

3x y 4
 



 

và
2x 5y 1
3x y 4
 


  


19
x
13
5
y
13







 



và
21
x
13
11
y
13

 








- 21 -
Vậy phương trình có nghiệm:
19 5
,
13 13
 

 
 
và
21 11

,
13 13
 

 
 
.
Phân tích sai lầm của học sinh:
Ở đây học sinh đã sử dụng phép toán logic một cách không chính xác là:






A B C A B A C
     
vì thế phép biến đổi trên không phải là phép biến
đổi tương đương. Phép biến đổi trên chỉ tương đương khi sử dụng phép biến đổi
logic đúng như sau:






A B C A B A C
     
.
Chú ý

' ' '
ax by c
a x b y c
 



 


tương đương với
' ' '
ax by c
a x b y c
 


 

hoặc
' ' '
ax by c
a x b y c
 


  

.
Lời giải đúng:

2x 5y 1
3x y 4
2x 5y 1
3x y 4
3x y 4
 



 


 



 




  



2x 5y 1
3x y 4
 




 

hoặc
2x 5y 1
3x y 4
 


  


19
x
13
5
y
13







 


hoặc
21

x
13
11
y
13

 








Vậy tập nghiệm của hệ là:
19 5
,
13 13
 

 
 
hoặc
21 11
,
13 13
 

 

 
.
Ví dụ 10: Giải phương trình
2
x x 1 0
  

Sai lầm của học sinh:


 
 
 
2
2
x x 1 0 *
x 1 x x 1 0 **
  
    

3
x 1 0
x 1
  
  

Kết hợp với điều kiện nhận nghiệm
x 1
 
.

Phân tích sai lầm của học sinh:
- 22 -
Nhận thấy rằng
x 1
 
không phải là nghiệm của phương trình đầu, và phép
biến đổi từ (*) sang (**) không phải là phép biến đổi tương đương vì nó làm thay
đổi tập nghiệm của phương trình. Lúc đầu phương trình vô nghiệm, nhưng khi ta
nhân hai vế phương trình cho


f x x 1
 
thì phương trình trở thành có nghiệm duy
nhất. Cần nhớ rõ rằng ta chỉ được nhân vào hai vế của phương trình với biểu thức


f x
khi




f x 0 x
 
mà thôi. Trong tình huống này ta phải xét


f x 0


để suy
ra giá trị
x
và thử xem có thoả phương trình cần giải hay không mới có thể kết luận
nghiệm.
Lời giải đúng:
Ta có:
3 0
   
nên phương trình vô nghiệm.
Ví dụ 11: Giải phương trình:


x 5 x 3 0
  

Sai lầm của học sinh:
Ta có:




x 5 x 3 0 *
  
 
x 5 0
**
x 3 0
x 5
x 3

 



 

 



 


Phân tích sai lầm của học sinh:
Nhận thấy rằng
x 5
 
không phải là nghiệm của phương trình đã cho.
Nhưng với học sinh thì đây là điều khó khăn để phát hiện ra sai lầm của mình, thật
vậy với cách lập luận rằng
A 0
A.B 0
B 0


 



thì học sinh nghĩ mình đã giải đúng

mà đã quên đi phải kết hợp điều kiện để
A, B
có nghĩa. Nên phép biến đổi từ (*)
sang (**) chỉ là phép biến đổi hệ quả.
Lời giải đúng:
Điều kiện:
x 3 0
 

- 23 -


x 5 x 3 0
x 5 0
x 3 0
x 5
x 3
  
 



 

 



 


Kết hợp với điều kiện nhận
x 3
 
là nghiệm.
Ví dụ 12: Giải phương trình:




x x 1 x 2 x
  

Sai lầm của học sinh:
     
 
 
 
x x 1 x 2 x 1
x. x 1 x. 2 x 2
x 1 2 x 3
x 1 2 x 4
3
x
2
  
   
   
   
 

Phân tích sai lầm của học sinh:
Thứ nhất, với phép biến đổi từ (1) sang (2), học sinh thật sự sơ ý với biểu
thức
A.B
khi thực hiện phép biến đổi không tương đương
A.B A. B
 . Nên
ghi nhớ rằng
A.B A. B
 chỉ đúng khi
A 0, B 0
 
; còn với
A 0, B 0
 
khi
đó
A.B A. B
  
.
Thứ hai, dễ thấy
x 0

là nghiệm của phương trình nhưng do phép biến đổi
từ (2) sang (3) đã đơn giản hai vế cho
x
mà chưa biết
x
khác 0 hay bằng 0. Với

phép biến đổi này, tập nghiệm của phương trình bị thu hẹp nên làm mất nghiệm
x 0

. Và phương trình (2) là phương trình hệ quả của phương trình (3).
Thứ ba, phép biến đổi từ (3) sang (4) học sinh đã mạnh dạng bình phương hai
vế phương trình khi chưa đặt điều kiện cho phương trình, nên đây cũng là phép biến
đổi không tương đương mà là phép biến đổi hệ quả. Trong trường hợp này,
A B
 chỉ tương đương với
2 2
A 0
A B





hoặc
2 2
B 0
A B





. Dễ dàng kiểm tra
x 0


hoặc
3
x
2

là nghiệm của phương trình.
- 24 -
Ví dụ 13: Bài 16 sách giáo khoa Toán 9 tập 1 chứng minh: “Muỗi có thể
nặng bằng voi” như sau:
Sai lầm của học sinh:
Khối lượng muỗi
m(g)
và khối lượng voi
V(g)
.
Ta có:
2 2 2 2
m V V m
  

   
     
 
2 2 2 2
2 2
2 2
m 2mV V V 2mV m
m V V m
m V V m *
m V V m **

2m 2V
     
   
   
   
 

Suy ra con muỗi nặng bằng con voi.
Phân tích sai lầm của học sinh:
Học sinh đã phạm sai lầm khi cho rằng
2
A A

và cuối cùng đưa đến kết
luận muỗi nặng bằng voi. Từ (*) sang (**) chỉ là phép biến đổi hệ quả, phép biến
đổi đúng là:
   
2 2
m V V m
   tương đương
m V V m
  
.
Ví dụ 14: Giải bất phương trình:


x 3 2x *
 

Sai lầm của học sinh:

Học sinh có suy luận như sau:
Vì
x 0

nên
3 2x 0
 
khi đó:
 
2
2
2
x 3 2x
x 3 2x
x 4x 3 0
x 1 x 3
 
  
   
   

Phân tích sai lầm của học sinh:
Học sinh lập luận như thế để khẳng định hai vế của bất phương trình trên
không âm nhằm phục vụ cho việc áp dụng bình phương hai vế của bất phương trình
(*). Xem ra cũng có lí, nhưng học sinh đã nhầm khi khẳng định rằng
x 3 2x
 

tương đương với
2

x 4x 3 0
  
nói cách khác điều đó là sai. Học sinh không ngờ
đến với
x 3

thì vế trái (*) dương, còn vế phải thì lại âm đây là điều mâu thuẫn mà
- 25 -
họ không thấy với bất phương trình trên. Bất phương trình
x 3 2x
 
chỉ tương
đương với
2
x 4x 3 0
  
khi có điều kiện
3
x
2

.
Lời giải đúng:
2
3
x
2
x 3 2x
3
x

2
x 4x 3 0
x 1





 







  

 

Vậy
x 1

thì bất phương trình (*) có nghiệm
Ví dụ 15: Giải phương bất phương trình sau:
     
1 1
x 3 x 2 x 3 x 5

   

.
Sai lầm của học sinh:
Điều kiện:






x 5 x 2 x 3 0
   

     
 
  
 
  
 
 
1 1
*
x 3 x 2 x 3 x 5
1 1
. x 3 . x 3
x 3 x 2 x 3 x 5
1 1
**
x 2 x 5
x 5 x 2


   
   
   
 
 
   

5 2
   
(đúng)
Vậy bất phương trình đã cho có nghiệm khi
x 5, x 2, x 3
   
.
Phân tích sai lầm của học sinh:
Sai lầm thứ nhất là do học sinh đã nhân vào hai vế của bất phương trình (*)
cho biểu thức


f x x 3
 
mà không chú ý đến chiều của bất phương trình. Điều
này chỉ đúng khi


f x 0

còn với



f x 0

thì bất sẽ đổi chiều. Chẳng hạn
4 5


không thể tương đương với




4. 2 8 10 5. 2
      
, mà chỉ tương đương




5. 2 10 8 4. 2
      
hoặc
4.2 8 10 5.2
  
.