Cac dang toan Tiep tuyen

MỘT SỐ BÀI TOÁN
VỀ TIẾÙP TUYẾN
1

CÂU HỎI
1) Viết (không chứng minh ) phương trình đường
thẳng qua M(x
0
; y
0
) có hệ số góc k?
Trả lời: y – y
0
= k( x – x
0
) hay: y = k(x – x
0
) + y
0
2) Cho biết ý nghóa hình học của đạo hàm?
Trả lời:
Cho hàm số y= f(x) có đạo hàm
tại x
0
, có đồ thò ( C) và M(x
0
; y
0
)
là một điểm thuộc (C), khi đó hệ

số góc của tiếp tuyến của (C) tại
M(x
0
; y
0
) là: k = f’(x
0
).
y
x
M
O
x
0
y
0
(C)
2

CÁC BÀI TOÁN
TÌM PHƯƠNG TRÌNH
TIẾP TUYẾN
3) Nêu (không chứng minh) phương trình tiếp
tuyến của đồ thò hàm số tại M(x
0
; y
0
) thuộc đồ
thò.
Trả lời: y – y

0
= f’(x
0
)(x – x
0
), hay y= f’(x
0
)(x – x
0
) + y
0
Hãy nêu các dạng toán về
phương trình tiếp tuyến đã học?
3
?

1. Biết tọa độ tiếp điểm (hoặc biết hoành độ x
0
hoặc
biết tung độ y
0
của tiếp điểm. Ta nói tiếp tuyến tại

điểm M(x
0
; y
0
) ).
2. Biết hệ số góc k của tiếp tuyến.
3. Biết tiếp tuyến qua một điểm M(x

0
; y
0
) cho trước.
4. Hai đường tiếp xúc nhau.
4
Trả lời:

O
x
y
(C) : y = f(x)
M
x
0
y
0

∗
Nếu chỉ biết x
0
, ta thay x
0
vào
công thức của hàm số để tính y
0
.
∗Tính f′(x) rồi tính f′(x
0
).

∗Thay các giá trò x
0
, y
0
, f′(x
0
) vào phương trình (1)
ta có phương trình tiếp tuyến cần tìm.
5
1)Trường hợp1: Biết tọa độ (x
0;
y
0
) của tiếp điểm
Phương trình cần tìm là: y = f’(x
0
).(x – x
0
) + y
0
(1)
∗
Nếu chỉ biết y
0
, ta thay y
0
vào
công thức của hàm số để tính
x
0

.

Ví dụ 1:
Cho đường cong (C):

Tìm phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm có
hoành độ x = 2
Giải:
Phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm có hoành
độ bằng x
0
là: y = f′(x
0
).(x – x
0
) + y
0
Theo đầu bài x
0
= 2. Suy ra y
0
= 1 và f′(x
0
) = 2
Vậy phương trình tiếp tuyến cần tìm là:
y = 2(x – 2) + 1, hay y = 2x – 3
6
( )
1
1

−
−==
x
xxfy

•
Gọi (x
0
, y
0
) là tọa độ tiếp điểm
•
•
Tính f′(x) rồi giải phương trình f′(x
0
) = k để tính x
0
.
•
•
Thay x
0
vào hàm số để tính y
0
.
•
•
Áp dụng vào (2) ta có phương trình tiếp tuyến
7
•

Phương trình tiếp tuyến có dạng:
y = k(x – x
0
) + y
0
(2) ; [với: k = f’(x
0
) ]
2)Trường hợp2: Biết hệ số góc k của tiếp tuyến

Gọi (x
0
; y
0
) là tọa độ tiếp điểm. Phương trình có dạng:

Theo giả thiết: f′(x
0
) = 1 (1)
Với x
0
= 0 thì y
0
= – 1. Với x
0
= – 4 thì y
0
= 3
8
Ví dụ 2:

Cho đường cong (C): y= f(x)=
Tìm phương trình các tiếp tuyến của (C). Biết tiếp
tuyến ấy song song với đường phân giác thứ nhất.
Giải: Vì tiếp tuyến song song với y = x, nên k =1
2
2
+
−
x
x
( )
1
2
4
1
2
0
=
+
⇔
x
)(
⇔ x
0
= 0 hoặc x
0
= – 4
Vậy ta có hai tiếp tuyến là : y = x – 1 và y = x + 7
y = (x – x
0

) + y
0


3)Trường hợp 3: Biết tiếp tuyến của (C) qua điểm M
Chú ý: M thuộc (C) hoặc không thuộc
(C), cách giải như nhau.
Gọi k là hệ số góc của đường
thẳng (d) qua M(x
M
, y
M
) và tiếp xúc
với (C). Phương trình đường thẳng
(d) là: y = k(x − x
M
) +y
M

hay: y = kx – kx
M
+ y
M
(a)
(d) Tiếp xúc với (C) khi hệ sau
đây có nghiệm
Giải hệ trên tính được k, thay k vào phương trình (a),
ta tìm được phương trình tiếp tuyến của (C) qua M.
9




=
+=
k)x('f
ykx-kxf(x)
MM
x
M
x
M
y
M
O
y

• M
 M
x
y
M
x
M
y
M

O

Phương trình đường thẳng d qua M(0; −1) là:
y = k(x − x

M
) + y
M
⇔ y = kx − 1
d là tiếp tuyến của (C) khi hệ sau có nghiệm:
Thay giá trò của k ở (2) vào (1), ta được phương trình:
2x
3
+ 3x
2
− 1= (6x
2
+ 6x)x − 1
⇔ 4x
3
+ 3x
2
= 0 ⇔ x = 0 hoặc x = − 3/4
Với x = 0 ta có k = 0, với x = − 3/4, ta có k = − 9/8
Vậy có hai tiếp tuyến với (C) qua M, phương trình là:
Ví dụ 3: Cho (C): y = f(x) = 2x
3
+ 3x
2
-1.Tìm phương
trình các tiếp tuyến với (C) biết tiếp tuyến qua M(0;
-1)
10
Giải:




=+
−=−+
)(kxx
)(kxxx
266
11132
2
23
1
8
9
1 −−=−= xyvày

Hai đường cong được
gọi là tiếp xúc nhau tại
điểm M nếu chúng có
chung điểm M và tiếp
tuyến tại M của hai
đường cong đó trùng
nhau.(SGK ; tr 101)
Đồ thò của hàm số y = f(x) và đồ thò của hàm số
y = g(x) tiếp xúc nhau khi và chỉ khi hệ sau đây có
nghiệm :
11



=

=
)(')('
)()(
xgxf
xgxf
y
O
x
M
y = f(x)
y = g(x)

4) Trường hợp 4 : Hai đường cong tiếp xúc
(Hệ đó cho ta hoành độ tiếp điểm)

Ví dụ 4:
Xác đònh a để đồ thò (C) của hàm số :

Giải :
Hoành độ tiếp điểm của (C) và (P) là nghiệm
của hệ :
(2) ⇔ x
2
− 4x + 4 = 0 ⇔ x = 2
Thay x = 2 vào (1), ta được :
xx
x
)x(fy 4
3
2

3
+−==
tiếp xúc với đồ thò Parabol (P): y = g(x) = x
2
+ a
12



=
=
)(')('
)()(
xgxf
xgxf
( )
( )





=+−
+=+−
⇔
2242
14
3
2
22

3
xxx
axxx
x
3
8
=
a
)P(xúctiếp)C(thìaKhi:ĐS
3
8
=

CAC BAỉI TOAN
ẹE REỉN LUYEN
13

14
Cho hàm số :
)(
)(
1
1
12
2
−
−−
=
x
mxm

y
.đònhxáctậpýchú
)m()x(
)mx(



−=−
=−
22
2
11
0
{
Tìm m để đồ thò của hàm số (1) tiếp xúc với
đường thẳng có phương trình: y = x.
ĐS: Mọi m khác 1
Gợi ý: Như ví dụ 4. Điều kiện tiếp xúc
Bài số 1:
)(x
x
mx)m(
1
1
12
2
=
−
−−
( )

21
1
12
2
2
=
−
+−−
)x(
m)m(
Đi đến:

ĐS: Không có tiếp tuyến nào qua tâm đối xứng.
Cho hàm số:
x
x
)x(fy
+
==
1
Gọi (C) là đồ thò. Tìm phương trình tiếp của đồ thò
đi qua tâm đối xứng (nếu có).
15
Gợi ý: Tâm đối xứng I(– 1; 1). Giống ví dụ 3
Phương trình tiếp tuyến qua điểm I.
Bài số 3:
Bài số 2:
Cho hàm số
2
33

2
+
++
==
x
xx
)x(fy
Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thò (C) của hàm số
Biết nó vuông góc với đường thẳng (a): x – 3y + 6 =
0.
Gợi ý: Gọi (d) là tiếp tuyến. Vì (a) có hệ số góc 1/3
nên (d) có hệ số góc là – 3.
ĐS: y = – 3x – 3 và y = – 3x – 11.

Cho (C): y = f(x) = x
3
− 3x
2
+ 2. Tìm trên
đường thẳng y = − 2 các điểm từ đó có thể
kẻ đến đồ thò hai tiếp tuyến vuông góc
16
Bài số 4:
Gợi ý:
Gọi A(a; – 2) là điểm cần tìm.



=−
−−=+−

)(k)x(x
)()ax(kxx
223
1223
23
Phương trình tiếp tuyến qua A là: y = k(x – a) – 2
Hoành độ tiếp điểm là nghiệm của hệ:
Thế (2) vào (1) ta được: (x – 2)[2x
2
– (3a – 1)x+2] = 0
+ Với x = 2: Ta có tiếp tuyến là y = – 2 (loại).
+ Với 2x
2
– (3a –1)x+ 2 = 0 (*). Để bài toán được
thỏa thì (*) phải có nghiệm x
1
,x
2
thỏa f’(x
1
).f’(x
2
) = – 1
⇔
∆ = (3a – 1)
2
– 16 > 0
(3x
1
2

– 6x
1
)(3x
2
2
– 6x
2
) = – 1
Giải hệ ta được
a = 55/27
{

17
Cho hàm số y = f(x) = x
4
– 12x
2
+ 4
Bài số 5:
Tìm trên trục tung những điểm mà từ đó vẽ được
đúng 3 tiếp tuyến với đồ thò (C) của hàm số.
ĐS: Điểm A(0;4)
Gợi ý: Gọi A(0; m) là điểm cần tìm.
Phương trình tiếp tuyến: y = kx + m
Điều kiện tiếp xúc:
{
x
4
– 12x
2

+ 4 = kx + m (1)
4x
3
– 24x = k (2)
Đi đến: 3x
4
– 12x
2
+ m – 4 = 0 (3)
Do có đúng 3 tiếp tuyến nên (3) là phương trình
trùng phương có 3 nghiệm cần thử lại.