Các dạng toán 9 ôn thi tuyển sinh lớp 10

Mt s bi toỏn v rỳt gn biu thc
Ph ơng pháp:
- Phân tích đa thức tử và mẫu thành nhân tử;
- Tìm ĐKXĐ (Nếu bài toán cha cho ĐKXĐ)
- Rút gọn từng phân thức(nếu đợc)
- Thực hiện các phép biến đổi đồng nhất nh:
+ Quy đồng(đối với phép cộng trừ) ; nhân ,chia.
+ Bỏ ngoặc: bằng cách nhân đơn ; đa thức hoặc dùng hằng đẳng thức
+ Thu gọn: cộng, trừ các hạng tử đồng dạng.
+ Phân tích thành nhân tử rút gọn
Chú ý: - Trong mỗi bài toán rút gọn thờng có các câu thuộc các loại toán: Tính giá trị biểu thức; giải ph-
ơng trình; bất phơng trình; tìm giá trị của biến để biểu thức có giá trị nguyên; tìm giá trị nhỏ nhất ,lớn nhất.
Do vậy ta phải áp dụng các phơng pháp giải tơng ứng, thích hợp cho từng loại bài.
*Tính giá trị của A tại x=?
* Tìm giá trị của x

z
* Tìm giá trị nhỏ nhất, giá tri lớn nhất của A
* Tìm giá trị của x để A.f(x) =g(x)
* Tìm giá trị của x để A=k; A
k;A
k
* Tìm x để
A A>
.
*Tìm x để
A A>
.
Dạng 1
Bài 1 Cho biểu thức
x 2 1

A ( ):
x 1 x x x 1
= +

a) Tìm điều kiện xác định, Rút gọn A
b)Tính giá trị của A khi x=3-2
2
Bài giải:
a) ĐKXĐ x > 0; x

1.
Rút gọn
x 2 1 x 2 1
A ( ): ( ):
x 1 x x x 1 x 1 x 1
x( x 1)
= + = +


2
( x) 2 x 1 (x 2)( x 1) x 2
A .
1
x( x 1) x( x 1) x
+ + +
= = =

b. Khi x= 3-2
2
=

2
( 2 1)
Bài 2: Cho biểu thức
1 1 3
A :
x 3 x 3 x 3

=
ữ
+

a) Tìm điều kiện xác định, rút gọn biểu thức A
1
( ) ( )
2
5 2 2 2 1
3 2 2 2 5 2 2
A 1 3 2
1
2 1
( 2 1)
+
+
= = = = +


b) Với giá trị nào của xthì A >
1
3
c) Tìm x để A đạt giá trị lớn nhất

Bài giải:
a) ĐKXĐ x
0;x 9

( )
( ) ( )
x 3 x 3
1 1 3
A :
x 3 x 3 x 3
x 3 x 3
+

= =
ữ
+

+
.
x 3
3

=
( ) ( )
6
x 3 x 3 +
.
x 3
3

A =
2
x 3+
b) A >
( )
1 2 1 2 1 3 x
0 0
3 3 3
x 3 x 3
3 x 3

> > >
+ +
+
3 x 0 >
( vì 3(
( x 3) 0)+ >

x 9 x 9 < <
Kết quả hợp với ĐKXĐ:
0 x 9
thì A > 1/3.
c)
2
A
x 3
=
+
đạt giá trị lớn nhất khi
x 3+

đạt giá trị nhỏ nhất.
Mà
( )
min
x 3 3 x 3 3 x 0 x 0+ + = = =
lúc đó A
Max
=
2
x 0.
3
=
Bài 3: Cho biểu thức
3 1 1
P :
x 1
x 1 x 1

= +
ữ

+ +

a) Nêu điều kiện xác định và rút gọn biểu thức P
b) Tìm các giá trị của x để P =
5
4
c) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: M
x 12 1
.

P
x 1
+
=

Bài giải:
a) ĐKXĐ x
0;x 1
P =
( ) ( ) ( )
3 1 3 x 1 x 1
.
1
x 1
x 1 x 1 ( x 1) x 1

+ +

+ =

+
+ +

=
( ) ( )
( ) ( )
x 2 x 1
x 2
x 1
x 1 x 1

+ +
+
=

+
2
b)
( ) ( )
5 x 2 5
P 4 x 2 5 x 1 4 x 8 5 x 5.
4 4
x 1
+
= = + = + =

x 13 x 168 = =
(TMĐK)
c)
x 12 1 x 12 x 1 x 12 x 4 16
M . .
P
x 1 x 1 x 2 x 2 x 2
+ + + +
= = = =
+ + +
=
16 16
x 2 x 2 4
x 2 x 2
+ = + +

+ +
ta có
16
x 2 2 16 2.4 8
x 2
+ + = =
+
min
16
M 8 4 4 M 4 x 2
x 2
= = + =
+

( ) ( ) ( )
( ) ( )
2
x 2 16 x 2 4 x 2 4 0
x 6 x 2 0 x 2 0 x 4(TMDK)
+ = + + + =
+ = = =
Vậy M
min
= 4
x 4 =
.
Bài 4: Cho biểu thức:
2 x x 3x 3 2 x 2
D : 1
x 9

x 3 x 3 x 3

+
= +
ữ ữ

+

a) Tìm ĐKXĐ ,rút gọn biểu thức
b) Tìm x để D < -
1
2
c) Tìm giá trị nhỏ nhất của D
Dạng 2
Bài 1 :Cho biểu thức:
a 2 a a a
P 1 : 1
a 2 a 1

+
= +
ữ ữ
+

a) Tìm ĐKXĐ, rút gọn P
b) Tìm a
z
để P nhận giá trị nguyên.
Bài giải:
a) ĐKXĐ: a

0;a 1
( ) ( )
( ) ( )
a a 2 a a 1
a 1
P 1 1 a 1 : a 1
a 2 a 1 a 1

+


= + = + =

+ +

b)
a 1 2
P 1
a 1 a 1

= =
+ +

3
để P nhận giá trị nguyên thì
2
a 1+
nhận giá trị nguyên dơng.
a 1 +
thuộc

ớc dơng của 2.
a 1 1 a 0
a 1
a 1 2

+ = =




=
+ =



a=1 (Loại vì không thoả mãi điều kiện)
Vậy P nhận giá trị nguyên khi a = 0
Bài 2: Cho biểu thức
( ) ( )
1 1
B
2 x 3 1 2 x 3 1
=
+ + +
a) Tìm x để B có nghĩa và rút gọn B.
b) Tìm x nguyên để B nhận giá trị nguyên.
Bài giải:
a) ĐKXĐ
x 3;x 2
B =

( ) ( )
( )
( ) ( )
x 3 1 x 3 1
1 1 2 1
2 x 3 1 2 x 2 x 2
2 x 3 1 2 x 3 1
+ + +
= = =
+ + +
+ + +
b) B nhận giá trị nguyên khi
1
x 2+
nhận giá trị nguyên.
x 2 +


Ư(1)
x 2 1 x 1
x 2 1 x 3
+ = =



+ = =

thoả mãn điều kiện
Vậy x= -1; x= -3 thì B nhận giá trị nguyên
Bài 3: Cho biểu thức:

( )
2
2 x 1
x x 2x x
P
x x 1 x x 1

+
= +
+ +
a) Tìm ĐKXĐ , rút gọn P
b) Tìm giá trị nhỏ nhất của P
c) Tìm x để biểu thức
2 x
Q
P
=
nhận giá trị nguyên.
Dạng 3
Bài 1: Cho biểu thức:
( )
2
1 1 x 1
P :
x x 1 x
1 x
+

= +
ữ

a) Tìm ĐKXĐ và rút gọn P
b) Tìm x để P > 0
Bài giải
a) ĐKXĐ x>0; x
1

4
( )
( )
( )
( )
2
2
1 x
1 1 x 1 1 x 1 x
P : .
1 x x 1 x
x 1 x x 1 x
1 x


+ +

= + = =

+

b) P > 0
1 x
0 1 x 0
x

> >
( vì
x 0)>

x 1 x 1. < <
Kết hợp với ĐKXĐ:
0 x 1< <
thì P > 0
Bài 2: Cho biểu thức:
1 1 a 1 a 2
P :
a 1 a a 2 a 1

+ +

=
ữ
ữ



a) Tìm ĐKXĐ, rút gọp P
b) Tìm giá trị của a để P > 0

Bài 3 : Cho biểu thức:
( )
2
1 x
x 2 x 2
P .
2
x 1 x 2 x 1


+
=
ữ
+ +

a) Tìm ĐKXĐ, rút gọn P
b) Tìm x để P <
1
2
Bài 4: Cho biểu thức:
x 3 6 x 4
P
x 1
x 1 x 1

= +

+
a) Tìm ĐKXĐ, rút gọn P.
b) Tìm x để P <

1
2
Bài 5: Cho biểu thức:
1 a a 1 a a
B a a
1 a 1 a

+
= +
ữ ữ
+

a)Tìm ĐKXĐ, rút gọn B
b)Tìm a để B < 7- 4
3
Bài 6: Cho biểu thức:
a 1 1 2
K :
a 1
a 1 a a a 1


=
ữ
ữ

+


a) Rút gọn biểu thức K

b) Tìm giá trị của K khi a = 3+2
2
c) Tìm giá trị của a sao cho K < 0
Dạng 4
5
Bài 1 : Cho biểu thức:
x 1 1
A :
x 1 x x x 1

=
ữ


a) Tìm ĐKXĐ và rút gọn A
b) Tìm tất cả các giá trị của x sao cho A < 0
c) Tìm tất cả các giá trị của tham số m để phơng trình A.
x m x=
có
nghiệm.
Bài giải
a) ĐKXĐ: x > 0; x
1

( )
( )
( )
2
x 1 1 x 1 1
A : :

x 1 x x x 1 x 1 x 1
x x 1
x 1
x 1 x 1
.
1
x
x 1 x



= =
ữ







= =

b) A < 0
x 1
0 x 1 0
x

< <
(vì
x 0

<
)
x 1 <
kết hợp với ĐKXĐ 0 <x < 1
thì
A < 0
c) P.t: A.
x 1
x m x . x m x x 1 m x(1)
x

= = =
( )
x 1 m x x x m 1 0(*) = + + =
Đặt
x t=
>0 ta có phơng trình
( ) ( )
2
t t m 1 0 *+ + =
để phơng trình (1) có
nghiệm thì phơng trình (*) phải có nghiệm dơng.
Để phơng trình (*) có nghiệm dơng thì:
( )
( )
1 4 m 1 0
m 1 0
= + +

+ <


5
4m 5 0
m
m 1
4
m 1 0
m 1


+



>

+ >


>

Vậy m>-1 và m
1
thì pt A
x m x=
có nghiệm.
Bài 2: Cho biểu thức:

1 1
P 1 .
x 1 x x

= +
ữ


a) Tìm ĐKXĐ và rút gọn P
b) Tìm giá trị của P khi x = 25
c) Tìm x để P.
( )
2
5 2 6. x 1 x 2005 2 3.+ = + +
6
Bài giải:
a) ĐKXĐ x > 0; x
1

( )
1 1 x 1
P 1 .
x 1 x x x 1
x x 1


ữ
= + =
ữ
ữ

( )
2
1
P
x 1
=

b) Khi x= 25
( )
2
1 1
P
16
25 1
= =

c)
( )
( )
( ) ( )
2
2 2
2
P. 5 2 6. x 1
1

x 2005 2 3 . 2 3 . x 1 x 2005 2 3
x 1
+
= + + + = + +


2 3 x 2005 2 3 + = + +

x 2005 =
TMĐK
Vậy x = 2005 thì P.
( )
2
5 2 6 x 1 x 2005 2 3+ = + +
Dạng 5
Bài 1: Cho biểu thức
1 1 1
A . 1
x 1 x 1 x

= + +
ữ ữ
+

a) Tìm ĐKXĐ, và rút gọn A.
b)Tính giá trị của A khi x=
1
4
.
c)Tìm giá trị của x để

A A.>
Bài giải:
a) ĐKXĐ x > 0; x
1
.
( ) ( )
1 1 1 x 1 x 1 x 1
A . 1 .
x 1 x 1 x x
x 1 x 1
+ + +

= + + =
ữ ữ
+

+
=
( )
( ) ( )
2 x x 1
2
A
x 1
x 1 x 1 x
+
=

+
b) Khi x =

1 2 2
A 4
1
4
1
1
1
2
4
= = =


c)
2
A 0 0 A 1 0 1.
x 1
> < < < <

7
( )
2
0 x 1 0 x 1 1
x 1
2 2 x 3
1 1 0 0
x 1 x 1 x 1
+ < > >


+ < > >

x 3 0
x 9
x 1 0

>

>

>


Vậy x > 9 thì
A A>
Bài 2: Cho biểu thức:
( )
x 2 x 1
A
x 1
x x 1

=


a) Tìm ĐKXĐ, rút gọn biểu thức A
b) Tính giá trị của biểu thức A
c) Với giá trị nào của x thì
A A>
Bài giải:
a) ĐKXĐ x > 0; x

1

.
( )
( )
( )
( )
( )
2 2
x 2 x 1 x 1
x 2 x 1 x 1
A
x 1 x
x x 1 x x 1 x x 1
+

= = = =


b) Khi x=36
36 1 5
A
6
36

= =
c)
x 1
A A A 0 0 x 1 0
x

> < < <
(vì
x 0>
)
x 1 x 1 < <
Kết hợp với điều kiện xác định 0 < x <1 thì
A A>
Chuyên đề tam thức bậc hai
A.lý thuyết
8
I. áp dụng công thức nghiệm và công thức nghiệm thu gọn để xét số
nghiêm phơng trình bậc hai.
Cho phơng trình bậc hai: ax
2
+bx+c=0(a

0)
2
b 4ac
=
.Nếu b =2b
'
thì
'

= b
'
2
- ac

1. Phơng trình có nghiệm khi .
Ta có thể xét hai trờng hợp:
+Trờng hợp 1:
- Nếu a = 0,phơng trình có nghiệm x=
c
b

.
+Trờng hợp 2 :

{
a 0
0


hoặc
{
'
a 0
0


2.Phơng trình có 2 nghiệm phân biệt khi .

{
a 0
0

>
hoặc

{
'
a 0
0

>
3.Phơng trình có nghiệm kép khi.

{
a 0
0

=
hoặc
{
'
a 0
0

=
4. Phơng trình vô nghiệm khi.

{
a 0
0

<
hoặc
{
'

a 0
0

<
Ví dụ1:
Cho phơng trình 2x
2
-(4m+3)x+2m
2
-1=0.Với m là tham số,tìm giá trị m để phơng
trình.
a.Phơng trình có nghiệm
b.Phơng trình có2nghiệm phân biệt
c.Phơng trình có nghiệm kép
d. Phơng trình vô nghiệm
Giải:

=(4m+3)
2
-4.2(2m
2
-1)=24m+17.
a.Phơng trình có nghiệm khi .

{
a 0
0

{
2 0
24m 17 0

+

m

17
24


b.Phơng trình có 2 nghiệm phân biệt khi.
9

{
a 0
0

>


{
2 0
24m 17 0
17
m
24

+ >

>
c.Phơng trình có nghiệm kép khi.

{
a 0
0

=

2 0
24m 17 0
17
m
24

+ =


=


d. Phơng trình vô nghiệm khi.

{
a 0
0

<
{

2 0
24m 17 0
17
m
24

+ <

<
Ví du 2 :
Cho phơng trình mx
2
-2(m-1)x+(m-4)=0 .Với m là tham số,tìm giá trị m để
phơng trình.
a.Phơng trình có nghiệm
b.Phơng trình có 2 nghiệm phân biệt
c.Phơng trình có nghiệm kép
d. Phơng trình vô nghiệm
Giải:
Ta có :a

0

m
0
,
'

= b
'2

-ac=
( )
2
(m 1)
-m(m-4)=m
2
-2m+1-m
2
+4m=2m+1
a.Phơng trình có nghiệm khi .
+Trờng hợp 1:
- Nếu a=0

m=0 ,phơng trình có nghiệm x=
c
b

m 4
2(m 1)


=2.
+Trờng hợp 2 :

{
a 0
0

{
m 0
2m 1 0

+

m 0
1
m
2






b.Phơng trình có 2 nghiệm phân biệt khi.

{
a 0
0

>


{
m 0 m o
2m 1 0 1
m
2

+ >





10
c.Phơng trình có nghiệm kép khi.

{
a 0
0

=

{
m 0
2m 1 0

+ =

m 0
1
m
2

=

d. Phơng trình vô nghiệm khi.

{
a 0
0

<

{
m 0 m 0
2m 1 0 1
m
2

+ <
<




II . Hệ thức vi- ét và ứng dụng.
1. Hệ thức vi- ét
Nếu x
1
,x
2
là hai nghiệm của phơng trình ax
2
+bx+c=0(a

0) thì x
1
+ x
2
=
b
a

và
x
1
.x
2
=
c
a
Ví dụ . Tính nhấm nghiêm của phơng trình x
2
-7x+12=0
Giải.
Ta có
2
b 4ac =
=(-7)
2
-4.12=49-48=1>0
Theo định lý Vi-ét x
1
+ x

2
=
b
a

=7, x
1
.x
2
=
c
a
=12

x
1
=3; x
2
=4
2.áp dụng để tính nhấm nghiệm .
Cho phơng trình ax
2
+bx+c=0(a

0)
-Nếu a+b+c=0 thì x
1
=1và x
2
=

c
a
Ví dụ :
Giải phơng trình 3x
2
-7x+4=0
Giải. Ta có a+b+c=3+(-7)+4=0

x
1
=1và x
2
=
c
a
=
4
3
-Nếu a-b+c=0 thì x
1
=-1và x
2
=
c
a

Ví dụ :
Giải phơng trình 7x
2
-5x-12=0

Giải.
Ta có a-b+c=7-(-5)+(-12)=0

x
1
=-1và x
2
=
c
a

=
12
7
11
3.áp dụng để xác định dấu các nghiệm
Cho phơng trình ax
2
+bx+c=0(a

0)
cú 2 nghim: trỏi du, cựng du, cựng dng, cựng õm .
Ta lp bng xột du sau:
Du nghim x
1
x
2
1 2
S x x= +
1 2

P x x=

iu kin chung
trỏi du

m
P < 0
0 0 ; P < 0.
cựng du,


P > 0
0 0 ; P > 0
cựng dng, + + S > 0 P > 0
0 0 ; P > 0 ; S > 0
cựng õm


S < 0 P > 0
0 0 ; P > 0 ; S < 0.
Ví dụ :
Cho phơng trình x
2
+(2m+2)x+m
2
-4=0
Có hai nghiệm trái dấu
Có hai nghiệm cùng dấu
Có hai nghiệm dơng
Có hai nghiệm âm

Giải :

= b
2
- 4ac = (2m+2)
2
- 4(m
2
-4) = 4m
2
+ 8m + 4 - 4m
2
-16 = 8m -12
* Có hai nghiệm trái dấu
x
1
.x
2
=
c
a
= m
2
- 4 = (m+1)(m-1)<0
-Trờng hợp 1. -1< m <1
-Trờng hợp 2. m <-1 và 1 < m
*Có hai nghiệm cùng dấu
{
'
1 2

0 ( 0)
x .x 0

>

2
1 2
8m 12 0
c
x .x m 4 0
a

= = >




3
m
2
m 2;m 2

< >




m>2
*Có hai nghiệm dơng
{

'
1 2 1 2
0( 0)
x x 0;x .x 0

+ > >

2
1 2 1 2
8m 12 0
b c
x x (2m 2) 0;x .x m 4 0
a a


+ = = + > = = >




3
m
2
m 1;m 2;m 2

< < >

m>2
*Có hai nghiệm âm khi
12
{
'
1 2 1 2
0( 0)
x x 0;x .x 0

+ < >
2
1 2 1 2
8m 12 0
b c
x x (2m 2) 0;x .x m 4 0
a a
=

+ = = + < = = >





3
m
2
m 1;m 2;m 2

> < >




m>2
4.áp dụng để xác định hai số biết tổng S và P của chủng
-Nếu hai số x
1
,x
2
sao cho x
1
+x
2
=S, x
1
.x
2
=P thì x
1
,x
2
là nghiệm phơng trình
x
2
-Sx+P=0
Ví dụ:
Tìm hai số, biết tổng của chủng là 15 và tích của chủng là 54.
Giải :

Nếu hai số phải tìm là x
1
,x
2
sao cho x
1
+x
2
=S =15, x
1
.x
2
=P=54 thì x
1
,x
2
là
nghiệm phơng trình
x
2
-15x+54=0

=(-15)
2
-4.54=225-216=9;

=3

x
1

=
15 3
9
2
+
=
; x
2
=
15 3
6
2

=
Vậy hai số cần tìm là 9 và 6.
b.Bài tập
Bài tập 1.
Cho phơng trình (m-4)x
2
-2mx+m-2=0,trong đó m là tham số
a.Giải phơng trình khi m=3.
b.Tìm m để phơng trình có nghiệm x=
2
.
c.Tìm m để
-phơng trình có nghiệm kép
-phơng trình có hai nghiệm phân biệt
Giải :
a.với m=3 ta có -x
2

-6x+1=0
'

=(-3)
2
+1=10;
'

=
10
-phơng trình có hai nghiệm phân biệt

x
1
=-3-
10
; x
2
=-3+
10
b. Phơng trình có nghiệm x=
2
,thay vào phơng trình ta có
(m-4)2-2
2
m+m-2=0

m=10(3+2
2
)

c Phơng trình có nghiệm kép khi
13
{
'
a 0
0

=
{
2
m 4
' m (m 4)(m 2) 0

= =


m 4
4
m
3

=



Ta có x
1
= x
2
=

'
b
a

=
4
m 1
3
4
m 4 2
4
3
= =


-Phơng trình có hai nghiệm phân biệt
{
'
a 0
0

>

m 4
4
m
3

>

Công thức tính nghiệm của phơng trình là x
1
=
4
m m
3
m 4
+

; x
2
=
4
m m
3
m 4


Bài tập 2.
Giải và biện luận phơng trình
a.2x
2
- (2-k)x=k(k-2).
b.(2k-1)
2
x
2
-4kx+1=0.

Giải :
a.Phơng trình đã cho có thể viết 2x
2
-(2-k)x-k(k-2)=0

=(2-k)
2
+8k(k+2)=4-4k+k
2
+8k
2
+16k=9k
2
+12k+4=(3k+2)
2
0
với mọi k.
Vậy phơng trình đã cho luôn có nghiệm với mọi k .
b Nếu 2k-1=0 hay k=
1
2
thì -4kx+1=-2x+1=0,ta có nghiệm x=
1
2
.
- Nếu 2k-1

0 hay k

1

2
thì ta tìm đợc
'

=(-2k)
2
-(2k-1)
2
=4k
2
-4k
2
+4k-
1=4k-1

0
Tức là k

1
4
,phơng trình có nghiệm.
Vậy với k >
1
4
và k

1
2
phơng trình có hai nghiệm phân biệt
x

1
=
2
2k 4k 1
(2k 1)
+

;x
2
=
2
2k 4k 1
(2k 1)


14
Với k =
1
4
phơng trình có một nghiệm kép x
1
= x
2
=-
'
b
a
=
2
2

1
2k
2
2
1
(2k 1)
( 1)
2


= =


Với k <
1
4
thì phơng trình vô nghiệm
Bài tập 3.
Cho phơng trình x+7x-5=0.Không giải phơng trình hãy tính .
a.Tổng và tích của hai nghiệm
b.Tổng các nghịch đảo của hai nghiệm
c.Tổng các bình phơng của hai nghiệm
d.Bình phơng của hiệu hai nghiệm
e.Tổng các lập phơng của hai nghiệm
Giải :
Ta thấy rằng phơng trình đã cho luôn có nghiệm vì các hệ số avà c khác dấu.
a.Tổng của hai nghiệm là S=x
1
+x
2

=-7 và tích của hai nghiệm là P= x
1
.x
2
=-5.
b. Tổng các nghịch đảo của hai nghiệm là
2 1
1 2 1 2
1 1 x x 7 7
x x x .x 5 5
+
+ = = =

c.Tổng các bình phơng của hai nghiệm
2 2 2 2
1 2 1 2 1 2
x x (x x ) 2x x ( 7) 2( 5) 49 10 59+ = + = = + =
d.Bình phơng của hiệu hai nghiệm là
2 2 2
1 2 1 2 1 2
(x x ) x x 2x .x = + =
59+10=69.
e.Tổng các lập phơng của hai nghiệm là
3 3 3 3
1 2 1 2 1 2 1 2
x x (x x ) 3x .x (x x ) ( 7) 3( 5)( 7) 343 105 448.+ = + + = = =
Bài tập 4.
Cho phơng trình 2x
2
+(2p-1)x+p-1=0

a.Tìm p để phơng trình có hai nghiệm phân biệt .
b.Tìm p để cả hai nghiệm đều dơng.
c.Tìm một hệ thức không phụ thuộc vào p.
Giải :
a.Phơng trình có 2 nghiệm phân biệt khi

=(2p-1)
2
- 4.2(p-1)=(2p-3)
2
> 0


p
3
2

b.Phơng trình có hai nghiệm đều dơng ta giải hệ phơng trình
1 2
1 2
b
1 2p 1
x x 0
0 p
a
2 2
c p 1 p 1
x .x 0 0
a 2

+ = >
> <
>
= > >









15
Hệ phơng trình vô nghiệm ,không có giá trị nào của p để cả hai nghiệm đều d-
ơng.
c. Do S=
1 2
1 2p
x x
2

+ =
và P=
1 2
x .x
=
p 1
2

nên ta có :S+2P=
1 2p
2

+
2p 2 1
2 2

=
Vậy hệ thức giữa hai nghiệm không phụ thuộc vào p là
1 2 1 2
1
x x 2x .x
2
+ + =
Bài tập 5.
Cho phơng trình x
2
- mx + m-1=0 với m là tham số .
a.Chứng minh phơng trình luôn có nghiệm với mọi m.
b.Gọi x
1
,x
2
là các nghiệm .Tìm giá trị nhỏ nhất của A=
2 2
1 2
x x+
.

Giải .
a.Ta có
2 2 2
m 4(m 1) m 4m 4 (m 2) 0 m = = + =
,vậy phơng trình
luôn có nghiệm với mọi m .
b. A=
2 2
1 2
x x+
=
2 2
1 2
x x+
+2x
1
x
2
-2x
1
x
2
=(x
1
+x
2
)
2
- 2x
1

x
2
= m
2
-2(m-1)= m
2
-2m+2=
m
2
-2m+1+1=(m-1)
2
+1

1

m

A nhỏ nhất bằng 1 khi (m-1)
2
=0

m=1
Bài tập 6.
Cho phơng trình x
2
- 2x + m =0 với m là tham số .
a.Tìm m sao cho phơng trình có hai nghiệm phân biệt x
1
,x
2

đều là số dơng.
b. Tìm m sao cho phơng trình có hai nghiệm phân biệt x
1
,x
2
thỏa mãn :
1 2
2 1
x x 10
x x 3
+ =
Giải:
a.Điều kiện để phơng trình có hai nghiệm phân biệt đều dơng là :
{
'
0
S 0,P 0
>
> >

{
{
1 m 0 m 1
2 0,m 0 m 0
0 m 1
> <
> > >
< <
b.Điều kiện để phơng trình có hai nghiệm phân biệt
'

=1-m > 0

m<1(1)
Khi đó S=x
1
+x
2
=2 và P= x
1
.x
2
= m nên :
1 2
2 1
x x 10
x x 3
+ =

2 2 2
1 2 1 2 1 2
1 2 1 2
x x 10 (x x ) 2x x 10
x .x 3 x x 3
+ +
= =
2
S 2P 10 4 2m 10
P 3 m 3

= =
Điều kiện m
0
(2)
Ta có 3(4-2m)=-10m

4m=-12

m=-3 thỏa mãn (1),(2).
Bài tập 7.
Cho phơng trình x
2
+ 2(m+1)x + m
2
=0 ,với m là tham số .
16
a.Giải phơng trình khi m=2 .
b.Tìm các giá trị của m để phơng trình có hai nghiệm phân biệt .
c.Tìm các giá trị của m để phơng trình có hai nghiệm phân biệt và trong đó có
một nghiệm bằng (-2).
Giải:
a.Khi m=2 thay vào phơng trình ,ta có x
2
+ 6x + 4=0

'
=3
2
-4=5,

=
5
Phơng trình có hai nghiệm phân biệt
x
1
= -3+
5
, x
2
=-3-
5
.
b.Phơng trình có hai nghiệm phân biệt khi
'

=(m+1)
2
- m
2
=2m+1>0

m >
1
2

c.Phơng trình có hai nghiệm phân biệt và trong đó có một nghiệm bằng (-2).
- Phơng trình có hai nghiệm phân biệt khi
'

>0

m >
1
2

- Theo hệ thức Vi- ét ta có
{
1 2
1 2
2
1 2
1 2
b
x x
x x 2(m 1)
a
c
x .x m
x .x
a
(1)

+ =
+ = +
=
=

- Theo giá thiết , phơng trình có một nghiệm bằng (-2) , giả sử x
1
=-2 .Từ hệ
phơng trình (1) ta có
2
2
2
x 2(m 1) 2
m
x
2
(2)
= + +
=



-Từ hệ phơng trình (2), rút gọn hai vế ta có m
2
+4m=0

m(m+4)=0

{
m 0
m 4
=
=
Với m=-4 (loại),m=0 (thỏa mãn) điều kiện m >
1

2

.
Vậy m=0 phơng trình có hai nghiệm phân biệt và trong đó có một nghiệm bằng
(-2).
Bài tập 8.
Cho phơng trình (m+1)x
2
+ 5x + m
2
-1=0 ,với m là tham số .
a.Tìm các giá trị của m để phơng trình có hai nghiệm trái dấu.
b.Tìm các giá trị của m để phơng trình có hai nghiệm trái dấu và trong hai
nghiệm đó có một nghiệm bằng 4.
17
Giải:
a.Phơng trình có hai nghiệm trái dấu khi
{
{
2
1 2
a 0 m 1 0 m 1 m 1
c m 1 0 m 1
m 1
x .x 0
0
a
m 1
+
< <

= <
<
+








b.Phơng trình có hai nghiệm trái dấu và trong hai nghiệm đó có một nghiệm
bằng 4.
-áp dụng hệ thức Vi-ét ta có
1 2
1 2
b
x x
a
c
x .x
a

+ =
=

1 2
2
1 2
5
x x
m 1
m 1
x .x
m 1
(I)
+ =
+

=
+



Thay giá trị x
1
=4 vào (I) ta có m
2
+16m+35=0

m
1
=-8+
29
;m
2

=-8-
29
Các giá trị m
1
, m
2
đều thỏa mãn điều kiện m<1 và m

-1
Vậy m=-8+
29
;m=-8-
29
phơng trình có hai nghiệm trái dấu và trong hai
nghiệm đó có một nghiệm bằng 4.
Bài tập 9.
Cho phơng trình (m+1)x
2
- 2(m-10x + m-3 =0 ,với m là tham số .
a.Chứng minh rằng phơng trình luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi giá trị
của m khác (-1).
b.Tìm giá trị m để phơng trình có hai nghiệm cùng dấu
c. Tìm giá trị m để phơng trình có hai nghiệm cùng dấu và trong hai nghiệm
đó có nghiệm này gấp đôi nghiệm kia .
Giải :
a.Phơng trình luôn có hai nghiệm phân biệt khi
{
{
{
' 2

a 0 m 1 0 m 1
4 0
0 (m 1) (m 1)(m 3) 0
+
>
> + >

Vậy phơng trình luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi giá trị của m

-1.
b Theo câu a ,ta đã có

>0 với mọi giá trị m

-1
-Phơng trình có hai nghiệm cùng dấu khi

1 2
c
x .x 0
a
= >

m 3
0
m 1

>
+

{
{
m 3 0
m 1 0
m 3 0
m 1 0
>
+>
<
+<

{
{
m 3
m 1
m 3
m 1
>
>
<
<

m 3
m 1
>
<
Vậy phơng trình có hai nghiệm cùng dấu khi m>3 hoặc m<-1
18
c.Theo câu a ,b phơng trình có hai nghiệm cùng dấu khi

>0 và
1 2
c
x .x 0
a
= >
ta có m>3 hoặc m<-1.
Mặt khác theo hệ thức Vi-ét ta có :

1 2
1 2
b
x x
a
c
x .x
a

+ =
=




1 2
1 2
2(m 1)
x x
m 1
m 3

x x
m 1
(I)

+ =
+

=
+



Với giả thiết cho x
1
=2x
2
,thay vào (I) ta có
1
2
1
2(m 1)
3x
m 1
m 3
2x
m 1

=
+

=
+




2
2(m 1) m 3
3(m 1) 2(m 1)


=

+ +

Rút ra ta đợc : m
2
- 2m- 35 = 0

m
1
=-5 ;m
2
=7 .Với giá trị m
1
;m
2
đều thỏa
mãn điều kiện m >3 và m <-1.
Vậy phơng trình có hai nghiệm cùng dấu và nghiệm này gấp đôi nghiệm kia

khi m=-5 hoặc m=7.
Bài tập 10.
Cho phơng trình m(x
2
-4x+3)+2(x-1)=0
a.Giải phơng trình khi m=-
1
2
.
b. Chứng minh rằng phơng trình luôn có nghiệm với mọi giá trị của m .
c.Tìm m để phơng trình đã cho có hai nghiệm nguyên.
Giải:
a.Với m=-
1
2
.Ta có x
2
-8x+7=0
Có a+b+c = 1+(-8)+7 = 0

x
1
=1;x
2
=
c
a
=7.
b.Phơng trình đã cho trở thành : mx
2

-2(m-1)x+3m-2=0 (1)
+ Với m=0 ,(1)

2x-2=0

x=1.
+ Với m

0 :
' 2 2 2 2
4m 4m 1 3m 2m m 2m 1 (m 1) = + + = + =

0
m
.
Vậy phơng trình luôn có nghiệm với mọi giá trị của m.
c.Ta có m(x
2
-4x+3)+2(x-1)= (x-1)
[ ]
m(x 3) 2 0 + =

Xét phơng trình m(x-3)+2 = 0
Để phơng trình có hai nghiệm thì m

0 khi mx-3m+2=0

x=
3m 2
m

=3-
2
m
.
Để phơng trình có hai nghiệm nguyên thì 2
M
m hay m=

1;m=
2

19
Bài tập 11.
Cho phơng trình x
2
- (m+2)x+2m = 0 (1)
a.Giải phơng trình khi m=-1
b.Tìm m để phơng trình có hai nghiệm x
1
,x
2
thỏa mãn (x
1
+x
2
)
2
- x
1

.x
2

5.
Giải:
a.Với m=-1 .Ta có x
2
- x-2 = 0 Có a-b+c= 1-(-1)+(-2)=0

x
1
=-1,x
2
=2
b. Ta có:

=(m+2)
2
-4.2m=m
2
+ 4m + 4- 8m = m
2
- 4m + 4 = ( m- 2)
2

0
m
. Vậy phơng trình có nghiệm
m
.

Ta có (x
1
+x
2
)
2
- x
1
.x
2
=m
2
+2m+4

5

m
2
+2m+ 1+3

5

m
2
+2m+ 1

5-3

(m+1)
2

2

-
2

m+1

2

-1-
2

m

2
-1
Bài tập 12.
Cho phơng trình x
2
- px + p-1 = 0
a.Chứng minh rằng phơng trình luôn có nghiệm với mọi giá trị của p .
b.Tính theo p giá trị biểu thức M=x
1
2
+x
2
2
- 6x

1
.x
2
.
c.Tìm giá trị nhỏ nhất của M.
Giải:
a.Ta có
2 2
p 4p 4 (p 2) 0 p = + =
.Chứng tỏ rằng phơng trình luôn có
nghiệm với mọi giá trị của p .
b.Ta có M=x
1
2
+x
2
2
- 6x
1
.x
2
=(x
1
+x
2
)
2
-2x
1
.x

2
- 6x
1
.x
2
=(x
1
+x
2
)
2
-8x
1
.x
2
= p
2
- 8(p-1) = p
2
- 8p + 8 = p
2
- 8p + 16 - 8 = (p-4)
2
- 8.
c.M=(p-4)
2
- 8

-8,vậy M đạt giá trị nhỏ nhất M=-8 khi (p-4)
2

=0

p-4=0

p=4.
Bài tập 13.
Chứng minh rằng nếu các hệ số của hai phơng trình bậc hai x
2
+p
1
x+q
1
=0 và
x
2
+p
2
x+ q
2
=0 ,liên hệ với nhau bởi hệ thức p
1
p
2
=2(q
1
+q
2
) thì ít nhất một
trong hai phơng trình trên có nghịêm.
Giải

Gọi phơng trình x
2
+p
1
x+q
1
=0 (1) và x
2
+p
2
x+ q
2
=0 (2)
Ta có
1

=p
1
2
-4 q
1
;
2

=
2
2
p
-4 q
2

;
1

+
2

= p
1
2
-4 q
1
+
2
2
p
-4 q
2
= p
1
2
+
2
2
p
- 4(q
1
+ q
2
).
Vì 2(q

1
+q
2
)= p
1
p
2

4(q
1
+ q
2
) = 2p
1
p
2
.
Do đó
1

+
2

= p
1
2
+
2
2
p

- 4(q
1
+ q
2
)= p
1
2
+
2
2
p
-2p
1
p
2
=
( )
2
1 2
p p 0
Điều này chứng tỏ ít nhất một trong hai biệt thức
1

hoặc
2

phải >0 .Vậy ít
nhất một trong hai phơng trình có nghiệm.
Bài tập 14.
Chứng minh rằng phơng trình ax

2
+ bx + c = 0 có nghiệm nếu một trong hai
điều kiện sau
a) a( a + 2b + 4c ) < 0
20
b) 5a + 3b + 2c = 0
Giải:
Ta có
2
b 4ac =
.
a) a( a + 2b + 4c ) = a
2
+2ab+4ac < 0

a
2
+b
2
+2ab < b
2
-4ac

b
2
-4ac >
( a+b)
2

0

0,phơng trình có nghiệm .
b) 5a + 3b + 2c = 0

10a
2
+6ab+4ac=0

(3a+b)
2
+ a
2
= b
2
-4ac

0



0,phơng trình có nghiệm .
Bài tập 15.
Chứng minh rằng nếu hai phơng trình bậc hai x
2
+p
1
x+q
1

=0 và x
2
+p
2
x+ q
2
=0 có nghiệm chung thì : (q
1
- q
2
)
2
+(p
1
-p
2
)(q
2
p
1
-q
1
p
2
)=0.
Giai:
Hai phơng trình có nghiệm chung
{
2
1 1

2
2 2
x p x q 0
x p x q 0
+ + =
+ + =
có nghiệm
Đặt y=x
2
,ta có
{
1 1
2 2
y p x q 0
y p x q 0
+ + =
+ + =
-Nếu p
1

p
2
,giải hệ phơng trình ta có x=
2 1
1 2
p p
p p


và y=

1 2 1 2
2 1
q p p q
p p


.Do y=x
2
suy
ra
1 2 1 2
2 1
q p p q
p p


=(
2 1
1 2
p p
p p


)
2
,khai triển biến đổi ta có :(q
1
-q
2
)

2
+( q
1
-q
2
)( q
2
p
1
-q
1
p
2
)=0.
-Nếu p
1
=p
2
ta có hệ
{
1 1
1 2
p x y q
p x y q
+ =
+ =
Hệ này có nghiệm ,suy ra q
1
=q
2

.Do đó
đẳng thức cần chứng minh có dạng 0 = 0, hiến nhiên đúng.
21
Chuyên đề:
Giải bài toán bằng cách lập phơng trình.
A) tóm tắt lý thuyết
Bớc 1: Lập phơng trình hoặc hệ ohơng trình:
a) Chọn ẩn và đặt điều kiện cho ẩn.
b) Biểu diễn các đại lợng cha biết thông qua ẩn và các địa lợng đã biết.
c) Lập phơng trình biểu thị mối quan hệ giữa các đại lợng.
Bớc 2: Giải phơng trình.
Bớc 3: Đối chiếu nghiệm của pt, hệ phơng trình (nếu có) với điều kiện của ẩn số để trả
lời.
Chú ý: Tuỳ từng bài tập cụ thể mà ta có thể lập phơng trình bậc nhất
một ẩn, hệ phơng trình hay phơng trình bậc hai.
Khi đặt diều kiện cho ẩn ta phải dựa vào nội dung bài toán và những kiến thức
thực tế
B) Các dạng toán
Dạng 1: Toán về quan hệ các số.
Nững kiến thức cần nhớ:
+ Biểu diễn số có hai chữ số :
( v= + ab 10a b ới 0<a 9; 0 b 9;a,b N)
+ Biểu diễn số có ba chữ số :
( vabc 100a 10b c ới 0<a 9; 0 b,c 9;a, b,c N)= + +
+ Tng hai số x; y là: x + y
+ Tổng bình phơng hai số x, y là: x
2
+ y
2
+ Bình phơng của tổng hai số x, y là: (x + y)

2
.
+ Tổng nghịch đảo hai số x, y là:
1 1
x y
+
.
Ví dụ 1: Mộu số của một phân số lớn hơn tử số của nó là 3 đơn vị. Nếu tăng cả
tử và mẫu của nó thêm 1 đơn vị thì đợc một phân số mới bằng
1
2
phân số đã
cho. Tìm phân số đó?
Giải:
Gọi tử số của phân số đó là x (đk:
x 3
)
Mẫu số của phân số đó là x + 3.
Nếu tăng cả tử và mẫu thêm 1 đơn vị thì
Tử số là x + 1
Mẫu số là x + 3 + 1 = x + 4
Đợc phân số mới bằng
1
2
ta có phơng trình
x 1 1
x 4 2
+
=
+

.
22
2(x 1) x 4
x 2( Thoả mãn điều kiện của bài toán)
2
Vậy phân số ban đầu đã cho là
5
+ = +
=
Ví dụ 2: Tổng các chữ số của 1 số có hai chữ số là 9. Nếu thêm vào số đó 63
đơn vị thì số thu đợc cũng viết bằng hai chữ số đó nhng theo thứ tự ngợc lại.
Hãy tìm số đó?
Giải
Gọi chữ số hàng chục là x (
(0 < x 9, x N)
Chữ số hàng đơn vị là y (0<y 9,y N)
Vì tng 2 ch số là 9 ta có x + y = 9 (1)
Số đó là
xy 10x y= +
Số viết ngợc lại là
yx 10y x= +
Vì thêm vào số đó 63 đơn vị thì đợc số viết theo thứ tự ngợc lại ta có
xy 63 yx 10x y 63 10y x
9x 9y 63(2)
+ = + + = +
=
Từ (1) và (2) ta có hệ phơng trình
x y 9 x y 9 2x 2
9x 9y 63 x y 7 x y 9
+ = + = =

= = + =

x 1
(thoả mãn điều kiện)
y 8
=



=

Vy s phải tìm là 18.
Ví dụ 3: Tìm hai số tự nhiên liên tiếp có tổng các bình phơng của nó là 85.
Giải
Gọi số bé là x (
x N
). Số tự nhiên kề sau là x + 1.
Vì tổng các bình phơng của nó là 85 nên ta có phơng trình: x
2
+ (x + 1)
2
= 85
2 2 2
2
2 2
x x 2x 1 85 2x 2x 84 0
x x 42 0

b 4ac 1 4.1.( 42) 169 0 169 13
+ + + = + =
+ =
= = = > = =
Phơng trình có hai nghiệm
1
2
1 13
x 6(thoả mãn điều kiện)
2
1 13
x 7(loại)
2
+
= =

= =
Vy hai số phải tìm là 6 và 7.
Bài tập:
Bài 1: Đem một số nhân với 3 rồi trừ đi 7 thì đợc 50. Hỏi số đó là bao nhiêu?
Bài 2: Tổng hai số bằng 51. Tìm hai số đó biết rằng
2
5
số thứ nhất thì bằng
1
6

số thứ hai.
23
Bài 3: Tìm một số tự nhiên có hai chữ số, biết tổng các chữ số của nó là 7.

Nếu đổi chỗ hai chữ số hàng đơn vị và hàng chụccho nhau thì số đó giảm đi 45
đơn vị.
Bài 4: Tìm hai số hơn kém nhau 5 đơn vị và tích của chúng bằng 150.
Bài 5: Tìm số tự nhiên có 2 chữ số, biết rằng số đó bằng lập phơng của số tạo
bởi chữ số hàng vạn và chữ số hàng nghìn của số đã cho theo thứ tự đó.
Đáp số:
Bài 1: Số đó là 19;
Bài 2: Hai số đó là 15 và 36
Bài 3: Số đó là 61
Bài 4: Hai số đó là 10 và 15 hoặc -10 và -15;
Bài 5: Số đó là 32.
Dạng 2: Toán chuyển động
Những kiến thức cần nhớ:
Nếu gọi quảng đờng là S; Vận tốc là v; thời gian là t thì:
S = v.t;
s s
v ;t
t v
= =
.
Gọi vận tốc thực của ca nô là v
1
vận tốc dòng nớc là v
2
tì vận tốc ca nô khi
xuôi dòng nớc là
v = v
1
+ v
2

. Vân tốc ca nô khi ngợc dòng là v = v
1
- v
2

Ví dụ1: Xe máy thứ nhất đi trên quảng đờng từ Hà Nội về Thái Bình hết 3 giờ 20 phút.
Xe máy thứ hai đi hết 3 giờ 40 phút. Mỗi giờ xe máy thứ nhất đi nhanh hơn xe máy thứ
hai 3 km.
Tính vận tốc của mỗi xe máy và quảng đờng từ Hà Nội đến Thái Bình?
Giải:
Gọi vận tốc x thứ nhất là x (km/h), đk: x>3;
Vận tốc của xe tứ hai là x - 3 (km/h).
Trong 3 giờ 20 phút (=
10
3
giờ) xe máy thứ nhất đi đợc
10
x(km)
3
Trong 3 giờ 40 phút (=
11
3
giờ) xe máy thứ nhất đi đợc
11
(x 3)(km)
3

Đó là quảng đờng tứ Hà nội đến Thái Bình nên ta có phơng trình
10 11
x (x 3) x 33

3 3
= =
(thoả mãn điều kiện bài toán).
Vậy vận tốc của xe máy thứ nhất là 33 km/h. Vận tốc của xe máy thứ hai là 30
km/h.
Quảng đờng từ Hà Nội đến Thái Bình là 110 km.
Ví dụ 2: Đoạn đờng AB dài 180 km . Cùng một lúc xe máy đi từ A và ô tô đi
từ B xe máy gặp ô tô tại C cách A 80 km. Nếu xe máy khởi hành sau 54 phút
thì chúng gặp nhau tại D cách A là 60 km. Tính vận tốc của ô tô và xe máy ?
Giải
Gọi vận tốc của ô tô là x (km/h), đk: x > 0.
24
Gọi vận tốc của xe máylà y(km/h), đk: y > 0.
Thời gian xe máy đi để gặp ô tô là
80
y
(giờ)
Quảng đờng ô tô đi là 100 km nên thời gian ô tô đi là
100
y
(giờ)
ta có phơng trình
100 80
x y
=
(1)
Quảng đờng xe máy đi là 60 km nên thời gian xe máy đi là
60
y
(giờ)

Quảng đờng ô tô đi lag 120 km nên thời gian ô tô đi là
120
y
(giờ)
Vì ô tô đi trớc xe máy 54 phút =
9
10
nên ta có phơng trình
120 60 9
(2)
x y 10
=
.
Từ (1) và (2) ta có hệ phơng trình
100 80 100 80
0
x y x y
120 60 9 40 20 3
x y 10 x y 10

= =





= =


Vậy vận tốc của ô tô là 50 km/h. Vận tốc của xe máy là 40 km/h.

Ví dụ 3: Một ô tô đi trên quảng đờng dai 520 km. Khi đi đợc 240 km thì ô tô
tăng vận tốc thêm 10 km/h nữa và đi hết quảng đờng còn lại. T ính vận tốc ban
đầu của ô tô biết thời gian đi hết quảng đờng là 8 giờ.
Giải:
Gọi vận tốc ban đầu của ô tô là x (km/h), đk: x>0.
Vận tốc lúc sau của ô tô là x+10 (km/h).
Thời gian ô tô đi hết quảng đờng đầu là
240
x
(giờ)
Thời gian ô tô đi hết quảng đờng đầu là
280
x 10+
(giờ)
Vì thời gian ô tô đi hết quảng đờng là 8 giờ nên ta có phơng trình
2
240 280
8 x 55x 300 0
x x 10
+ = =
+
2 2
b 4ac ( 55) 4.( 300) 4225 0 4225 65 = = = > = =
Phơng trình có hai nghiệm
+
= = = =
1 2
55 65 55 65
x 60(TMDK);x 5(loai)
2 2

25
100 80
60 12
0
x y x 50
x 10
(thoả mãn điều kiện)
100 80
160 80 12 y 40
0
x y
x y 10


=
=


=




=


=
=