Đại lượng ngẫu nhiên, Hàm phân phối

CHƯƠNG III: ĐẠI LƯỢNG NGẪU NHIÊN VÀ HÀM
PHÂN PHỐI
§ 1.ĐẠI LƯỢNG NGẪU NHIÊN
1.Định nghĩa: Một phép thử,  là không gian sự kiện sơ
cấp liên kết với phép thử, một ánh xạ X: R được gọi là
đại lượng ngẫu nhiên liên kết với phép thử.
Nói cách khác đại lượng ngẫu nhiên hay biến ngẫu
nhiên là một đại lượng có thể nhận giá trị này hay giá trị
khác lệ thuộc vào phép thử.
Ví dụ 1:Gieo 2 đồng xu cân đối, đồng chất. X là số lần
xuất hiện mặt sấp. X là biến ngẫu nhiên, nhận các giá trị
(0, 1,2).

Kí hiệu :
+Các đại lượng ngẫu nhiên được ký hiệu các bằng các chữ X,
Y,Z,…
+Các giá trị mà các đại lượng đó nhận được kí hiệu x,y,z,…
Ví dụ 1:Gieo 2 đồng xu cân đối, đồng chất. Gọi X là số lần xuất
hiện mặt sấp. X là đại lượng ngẫu nhiên, nhận các giá trị (0, 1,2).
Hay người ta còn nói miền giá trị của X là D = ( 0,1,2)
Ví dụ 2 : Một hộp bị đồng chất có 10 viên trong đó có 6 viên đỏ
và 4 viên xanh. Bốc ngẫu nhiên 5 viên. X là số bi đỏ có trong 5
viên lấy ra, Y là số bi xanh trong 5 viên lấy ra .
X là đại lượng ngẫu nhiên, nhận các giá trị D=( 0,1,2,3,4,5)
Y là đại lượng ngẫu nhiên, nhận các giá trị D=( 0,1,2,3,4)

2. Hàm phân phối
a) X là đại lượng ngẫu nhiên. Ta gọi hàm phân phối của đại
lượng ngẫu nhiên X, ký hiệu F(x), được xác định như sau :
F(x) = P(X<x), R

b) Tính chất :
b.1) 0 F(x)≤1
b.2) Nếu  <  thì P( x <  = F()-F()
b.3) Hàm F(x) là hàm không giảm x
1
<x
2
=> F(x
1
)  F(x
2
)
b.4) Lim F(x) = 0 và Lim F(x) = 1
x => - x => +

3. Đại lượng ngẫu nhiên rời rạc:
a) Định nghĩa : Nếu tập hợp các giá trị mà đại lượng
ngẫu nhiên nhận các giá trị là tập hợp một số hữu hạn
hoặc vô hạn nhưng đếm được. Khi đó đại lượng ngẫu
nhiên được gọi là biến ngẫu nhiên rời rạc.
Ví dụ 2: Gieo 2 đồng xu cân xứng đồng chất có hai mặt
S,N . X là đại lượng ngẫu nhiên chỉ số lần xuất hiện
mặt S. X nhận các giá trị D=(0,1,2). X là đại lượng
ngẫu nhiên rời rạc.

b)Luật phân phối xác suất của đại lượng ngẫu nhiên rời
rạc :
X là đại lượng ngẫu nhiên rời rạc có miền giá trị là D=
{x
1

,x
2
,…,x
n
}. P
1
=P(x
1
), P
2
=P(x
2
),…,P
n
=P(x
n
). Ta có
bảng phân phối xác suất sau đây:


X x
1
… x
n
P(X) p
1
… P
n

Pi = 1, pi > 0,  x  X

F(X)=P(X<x) =
∑
<
<
xxi
xiXP )(

Ví dụ 3: Một rổ trứng có 10 quả trong đó có 4 quả
hỏng. Mua ngẫu nhiên 3 quả. X là số trứng hỏng trong
3 quả ta mua. Lập bảng phân phối xác suất. Xác định
hàm phân phối F(X)
Giải :X là số trứng hỏng trong 3 quả ta mua là một đại
lượng ngẫu nhiên có tập giá trị là D= (0,1,2,3)
2
1
120
60
)1(
6
1
120
20
)0(
3
10
2
6
1
4
3

10
3
6
===
===
C
CC
P
C
C
P
30
1
120
4
)3(
10
3
120
36
)2(
3
10
3
4
3
10
1
6
2

4
===
===
C
C
P
C
CC
P


X 0 1 2 3
P 1/6 1/2 3/10 1/30
a)Bảng phân phối xác suất X
b)Hàm phân phối xác suất
0 nếu x ≤ 0
1/6 nếu 0 <x 1
F(X) = P(X<x) = 2/3 nếu 1<x ≤2
29/30 nếu 2< x ≤3
1 nếu x< 3

2) Biến ngẫu nhiên liên tục:
Định nghĩa : Giả sử X là đại lượng ngẫu nhiên có hàm
phân phối là F(X). Nếu tồn tại hàm số f(x) xác định và
không âm trên khoảng ( -, +) sao cho :
F(X) =  f(t) dt
Khi đó ta nói X là đại lượng ngẫu nhiên liên tục và
f(x) là hàm mật độ xác suất.
Nhận xét : Miền giá trị của đại lượng ngẫu nhiên liên tục là
một khoảng hay một đọan

+
-

b)Tính chất của hàm mật độ:
1.0 f(x)  x R
2. f(x) dx = 1
3.  <  thì P(  X < ) = F()-F()= f(x) dx
4 Hàm phân phối F(x) của đại lượng ngẫu nhiên liên tục
X là liên tục

-
+




§ 2.CÁC THAM SỐ ĐẶC TRƯNG CỦA ĐẠI
LƯỢNG NGẪU NHIÊN
1.Kỳ vọng toán: X là là đại lượng ngẫu nhiên(ĐLNN).
E(X) ta gọi kỳ vọng toán của X:
Nếu X là (ĐLNN)rời rạc thì E(X)=

Nếu X là (ĐLNN) liên tục E(X) =
∑
=
n
i
Pixi
1
.

∫
+∞
∞−
dxxxf )(


X -1 0 1 2
P 0,1 0,2 0,2 0,5
Ví dụ 4 : Giả sử X là (ĐLNN) rời rạc có bảng phân phối
xác suất
E(X)= -1.0,1 + 0.0,2 + 1.0,2+2.0,5=1,1
Ý nghĩa của kỳ vọng là giá trị trung bình của phép thử khi
mà phép thử càng lớn.


2.Phương sai: X là đại lượng ngẫu nhiên(ĐLNN), E(X)
là kỳ vọng. D(X) ta gọi là phương sai của X:
Nếu X là (ĐLNN)rời rạc thì D(X)=
Trong thực hành : D(X) = E(X
2
)- (E(X))
2
Nếu X là (ĐLNN) liên tục
∫
+∞
∞−
−=
dxxfaxXD )()()(
2
))(()(

1
2
XEaaxi
n
i
=−
∑
=


X -1 0 1 2
P 0,1 0,2 0,3 0,4
Ví dụ 5 : Giả sử X là (ĐLNN) rời rạc có bảng phân phối
xác suất
E(X)= -1.0,1 + 0.0,2 + 1.0,3+2.0,4 = 1
D(X) = E(X
2
) – (E(X))
2
= 2-1 = 1
Ý nghĩa của phương sai là độ phân tán của xác suất
Tìm D(X)


3.Median( Trung vị):
X là đại lượng ngẫu nhiên(ĐLNN), là giá trị tại đó F(xi)≤
½. Nếu X là đại lượng ngẫu nhiên liên tục thì F(xi)= ½
Ký hiệu Med[X]

X 1 2 3 4
P 0,2 0,25 0,1 0,45
Ví dụ 6 : Giả sử X là (ĐLNN) rời rạc có bảng phân phối
xác suất
Ý nghĩa là điểm phân đôi xác suất thành hai nửa bằng
nhau
Trung vị Med[X] = 3


4.Mode
X là đại lượng ngẫu nhiên(ĐLNN), là giá trị tại đó xác
suất đạt giá trị lớn nhất. Nếu X là đại lượng ngẫu nhiên
liên tục thì hàm mật độ đạt cực đại.
Ký hiệu Mod[X]



X 1 2 3 4
P 0,1 0,2 0,5 0,2
Ví dụ 6 : Giả sử X là (ĐLNN) rời rạc có bảng phân phối
xác suất
*Ý nghĩa là điểm phân đôi xác suất thành hai nửa bằng
nhau
*Nếu phân phối của đại lượng ngẫu nhiên có tính đối
xứng thi mod, med, kỳ vọng trùng nhau
Mod[X] = 3,

§ 3.MỘT SỐ PHÂN PHỐI MỘT CHIỀU QUEN

THUỘC
a.Định nghĩa :Đại lượng ngẫu nhiên rời rạc được gọi là
phân phối nhị thức với tham số n, P(0<p<1) nếu các giá
trị có thể nhận là 0,1,2,…,n với xác suất
p(X=k)=
mnmm
n
ppC
−
−
)1(
b. Các tham số số đặc trưng :
a. Kỳ vọng : n.p
b.Phương saiD(X)=np
c. Mod[X] =k
0
=[np+p-1]+1( Khả năng xẩy ra nhiều nhất
trong phân phối Bernoulli


Ví dụ 6 :Một xạ thủ bắn 20 phát, xác suất trúng đích là
0,8
1.Tìm xác suất để 18 phát trúng bia
2.Tìm số phát trúng trung bình khi bắn
3.Tìm xác suất để ít nhất 18 phát trúng
4. Tìm số phát trúng có khả năng xẩy ra nhất


Giải :Gọi X là số phát bắn trúng bia trong 20 phát, X là
ĐLNN có phân phối nhị thức n=20, p= 0,8

a)P(x=18) =
b)Số phát trúng bia trung bình trong 20 phát :E(X)= np
=20.0,8 =16
c)P(18 ≤x 20) = P(x=18)+P(x=19) +P( x=20) =
=
d) k=mod[X] = [np+p-1]+1 = [20.0,8+0,8-1]+1=16

21818
20
2,0.8,0.C
02020
20
11919
20
21818
20
2,0.8,0.2,0.8,0.2,0.8,0. CCC
++

2.Phân phối Poisson
a.Định nghĩa :Đại lượng ngẫu nhiên rời rạc X được gọi
là phân phối Poisson với tỷ số  >0. Nếu giá trị của X là
D= ( 0,1,2,…,n) với xác suất tương ứng là
P(X=k) =
Khi n lớn thì  = n.p

, )1,0(
!
.
=

−
k
k
k
λ
λ

b. Các tham số đặc trưng
E(X) = 
D(X) =  và  -1 Mod[X] ≤  +1



Ví dụ 7: Gieo 1000 hạt thóc biết tỷ lệ không nẩy
mầm là 0,005. Tìm xác suất để có 10 hạt không nẩy
mầm.
Giải: X là số hạt giống không nẩy mầm, X là ĐLNN
rời rạc có phân phối Bernoulli thỏa mãn các điều kiện
Poisson vậy  = n .p = 1000 . 0,005 = 5

P(X=10) 
!10
5.
105
−
e

3.Phân phối chuẩn ( Normal Distribution)
a.Định nghĩa : Đại lượng ngẫu nhiên liên tục gọi là phân
phối chuẩn với các tham số a, (  >0), ký hiệu N(a,)

hoặc (a,
2
). Hàm mật độ có dạng

2
)(
2
1
.
2
1
)(
σ
πσ
ax
exf
−
−
=
0

y
x
Đồ thị f(x), nhận trục hoành tiệm cận ngang, có giá trị cực
đại tại x= E(X). Hình quả chuông lật úp. Có trục đối xứng
là đường thẳng x = E(X). Nếu N(0,1) thì trục đối xứng x=0


b. Các tham số đặc trưng
E(X) = a

D(X) =
Khi N( 0,1)( phân phối chuẩn hóa) thì hàm mật độ
2
σ
2
2
.
2
1
)(
x
exf
−
=
π
Nên
∫
+∞
∞−
=
1)( pxxf