Đại lượng ngẫu nhiên và quy luật phân phối sản xuất

Chương 2: Đại Lượng Ngẫu Nhiên Rời Rạc PGS-TS. Lê Anh Vũ

Tài Liệu Xác Suất Thống Kê
II.1
CHƯƠNG 2
ĐẠI LƯNG NGẪU NHIÊN VÀ
QUY LUẬT PHÂN PHỐI XÁC SUẤT
Nội dung

Đại lượng ngẫu nhiên (ĐLNN) và phân loại cácĐLNN. Quy luật phân phối xác suất
(PPXS) của ĐLNN.

Bảng PPXS của ĐLNN rời rạc. Hàm PPXS của ĐLNN ( rời rạc hay liên tục). Hàm
mật độ xác suất của ĐLNN liên tục.

Các phép tốn trên các ĐLNN. Hàm của đại lượng ngẫu nhiên rời rạc

Các đặc trưng số cơ bản của ĐLNN.

Các phân phối thơng dụng: Nhị thức, Siêu bội, Poisson, Chuẩn.

Phương pháp tính xấp xỉ giữa các phân phối xác suất.
1. ĐẠI LƯNG NGẪU NHIÊN - QUYLUẬT PHÂN PHỐI
XÁC SUẤT CỦA ĐẠI LƯNG NGẪU NHIÊN
Ví dụ 2.1.
Bảng dưới đây ghi kết quả khảo sát số xe máy hiện có ở 6.487 hộ gia đình tại Tp.
Hồ Chí Minh năm 2003.
Số xe máy (X) Số hộ (ni) Tần suất
0 27 0,004
1 1422 0,219
2 2865 0,442

3 1796 0,277
4 324 0,050
5 53 0,008
6487 1,000

Giả sử ta chọn ngẫu nhiên một hộ gia đình trong 6487 hộ trên, gọi X là số xe máy
của hộ đã chọn tại thời điểm khảo sát. Khi đó X là một đại lượng vì nó có thể nhận các
giá trị số (0, 1, …, 5); tuy nhiên ta khơng thể biết trước một cách chắc chắn giá trị của X
bằng bao nhiêu vì nó tùy thuộc vào hộ được chọn. Nói cách khác X có thể nhận một giá
trị ngẫu nhiên thuộc tập {0, 1, …, 5}. Ta bảo X là một đại lượng ngẫu nhiên.
Ví dụ 2.2.
Một xạ thủ bắn một viên đạn trúng vào bia hình tròn bán kính 50cm. Gọi K là
khoảng cách ( đo bằng cm) từ tâm của bia đến điểm chạm của viên đạn vào bia. Khi đó T
cũng là một đại lượng ngẫu nhiên nhận giá trị thuộc tập [0, 50].
Chương 2: Đại Lượng Ngẫu Nhiên Rời Rạc PGS-TS. Lê Anh Vũ

Tài Liệu Xác Suất Thống Kê
II.2
1.1. M
Ô TẢ KHÁI NIỆM ĐẠI LƯNG NGẪU NHIÊN
–
PHÂN LOẠI CÁC
ĐẠI LƯNG NGẪU NHIÊN


Đại lượng ngẫu nhiên (còn gọi là biến ngẫu nhiên) là một đại lượng (tức
là cân, đong, đo hoặc đếm được) mà có thể nhận giá trị bất kỳ thuộc một
tập hợp số xác định một cách ngẫu nhiên với xác suất nhất định. ĐLNN
thường được ký hiệu bởi các chữ X, Y, Z , … Còn các giá trị của ĐLNN
thường được ký hiệu bởi x, y, z, …

Trong ví dụ 2.1, đại lượng ngẫu nhiên X nhận giá trị một cách ngẫu nhiên thuộc
tập {0, 1, 2, 3, 4, 5}, ta viết X = {0, 1, 2, 3, 4, 5}. Khả năng (xác suất) để X nhận giá trị 3
là 27,7%. Trong ví dụ 2.2, đại lượng ngẫu nhiên K nhận giá trị một cách ngẫu nhiên
thuộc tập [0, 50cm]. Căn cứ vào tập giá trị của ĐLNN, ta phân chúng thành hai loại: rời
rạc và liên tục. Cụ thể, ta có phân loại dưới đây.

Đại lượng ngẫu nhiên rời rạc: Đó là ĐLNN mà tập các giá trị có thể có
của nó là một tập rời rạc, tức là có thể đánh số thành một dãy (hữu hạn hay
vơ hạn).

Đại lượng ngẫu nhiên liên tục: Đó là ĐLNN mà tập các giá trị có thể có
của nó là một đoạn hay khoảng (hữu hạn hay vơ hạn).
Nhận xét quan trọng
Cần phân biệt ĐLNN với BCNN. ĐLNN thì nhận giá trị này khác một cách ngẫu nhiên
nhưng khơng có xác suất, BCNN là một sự kiện có thể xẩy ra sau khi thực hiện phép thử
với xác suất xác định nhưng BCNN khơng có giá trị.
Tuy nhiên ĐLNN và BCNN có mối quan hệ khăng khít với nhau. Cụ thể, khi gán cho
mỗi ĐLNN một giá trị cụ thể hoặc một ràng buộc nào đó về giá trị, ta sẽ nhận được một
BCNN với xác suất xác định. Về mặt hình thức, có thể hình dung ĐLNN như là hàm của
BCNN trên khơng gian các biến cố sơ cấp
Trở lại ví dụ 2.1. Ta có (X=3) là một BCNN với P(X=3) = 0,277. Tương tự (X<3),
(X>3), (X≤3), (X≥3) cũng là những BCNN mà có thể dễ dàng tính xác suất của chúng
theo bảng số liệu đã cho.
Một cách tổng qt, với mỗi ĐLNN X tùy ý và x, y là hai số thực bất kỳ (x<y), (X<x),
(X=x), (X>x), (X≤x), (X≥x), (x<X<y), ... đều là các BC mà nói chung là ngẫu nhiên. Qua
xác suất của các BC này, ta sẽ biết được những giá trị nào hoặc những khoảng giá trị nào
X dễ nhận, những giá trị nào hay những khoảng giá trị nào X ít nhận hay khơng thể nhận.
Nói một cách khác, xác suất của những BC đó (khi cho x, y chạy khắp tập số thực) phản
ánh quy luật phân phối xác suất của X.
1.2. B

ẢNG PHÂN PHỐI XÁC SUẤT CỦA ĐLNN RỜØI RẠC

Đối với ĐLNN rời rạc, quy luật PPXS thường được cho bằng bảng.

Bảng phân phối xác suất: Đó là bảng liệt kê tất cả các giá trị có thể có
của đại lượng ngẫu nhiên rời rạc X cùng với xác suất để X nhận từng giá
trị đó.
X x
1
x
2
… x
n

… (nếu vơ hạn)
XS tương ứng
P(X = x
i
)
p
1
p
2
… p
n

…
Chương 2: Đại Lượng Ngẫu Nhiên Rời Rạc PGS-TS. Lê Anh Vũ


Tính chất đặc trưng: Các xác suất tương ứng p
i
trong bảng PPXS có hai
tính chất đặc trưng sau đây.
(i) 0 ≤ p
i
≤1;
(ii)
1p
.
n
1i
i
=
∑
=


Các tính chất khác
(i) P(a ≤ X < b) =
i
i
ax b
p
≤<
∑
;
(ii) P(a < X < b) =
i

i
ax b
p
<<
∑
.
Tương tự cho các BCNN với các dấu bất đẳng thức khác.
Ví duï 2.3.
Xét lại ví dụ 2.1. Chọn ngẫu nhiên một hộ, đặt X là số xe máy của hộ được chọn.
Khi đó X là ĐLNN có các giá trị là thuộc tập
{ }
0,1, 2,3, 4,5
.
Tìm quy luật PPXS của đại lượng ngẫu nhiên X (tức là lập bảng PPXS của X).
Tính xác suất để của BCNN (2<X<5).
Giải
Chúng ta sẽ tính xác suất tương ứng để X nhận từng các giá trị của nó. Bảng PPXS của X
như sau:
X 0 1 2 3 4 5
P(X=i)

0,004 0,219 0,442 0,277 0,050 0,008
P(2<X<5) = 0,277 + 0,050 = 0, 327.
Ví duï 2.4.
Một xạ thủ được phép bắn 3 viên đạn. Biết xác suất bắn trúng mục tiêu của mỗi viên
đạn đều 0,8. Gọi X là số viên đạn anh ta bắn trúng bia. Hãy lập bảng phân phối xác
suất của X.
Giải
Ta có X = {0, 1, 2, 3}. Ta cần tìm P(X = k), k = 0, 1, 2, 3.
Xem phép thử là bắn 1 viên đạn và A là biến cố viên đạn đó trúng mục tiêu. Ta có

P(A) = 0,8 không đổi ở mỗi lần bắn nên đây là một dãy 3 phép thử Bernoulli với p = 0,8 ;
q = 1 – p = 0,2. Áp dụng công thức Bernoulli, ta được
P(X = 0) = P
3
(0 ; 0,8) = 0,8
0
.0,2
3
= 0,008 ;
0
3
C
P(X = 1) = P
3
(1 ; 0,8) = 0,8
1
.0,2
2
= 0,96 ;
1
3
C
P(X = 2) = P
3
(2 ; 0,8) = 0,8
2
.0,2
1
= 0,384 ;
2

3
C
Tài Liệu Xác Suất Thống Kê
II.3
Chương 2: Đại Lượng Ngẫu Nhiên Rời Rạc PGS-TS. Lê Anh Vũ

P(X = 3) = P
3
(3 ; 0,8) = 0,8
3
.0,2
0
= 0,512.
0
3
C
Vậy, bảng phân phối xác suất của X là
X 0 1 2 3
P 0,008 0,096 0,384 0,512

1.3. H
ÀM PHÂN PHỐI XÁC SUẤT CỦA ĐLNN


Hàm phân phối xác suất của ĐLNN tùy ý X (rời rạc hay liên tục) là hàm
số F(x) xác định trên tập số thực bởi cơng thức sau
F(x) = P(X < x) , x ∈ .


Tính chất : Hàm phân phối xác suất có các tính chất sau

(1) F(x) là hàm khơng giảm và liên tục trái;
(2) 0 ≤ F(x) ≤ 1, ∀ x ∈ ;

(3)
0)(lim =
−∞→
xF
x
(4) ;
1)(lim =
+∞→
xF
x
(5) P(a ≤ X < b) = F(b) – F(a), với mọi a, b ∈ , a < b.

(6) F(x) đặc trưng cho loại của ĐLNN X theo nghĩa sau
* F(x) gián đoạn khi và chỉ khi X rời rạc;
* F(x) liên tục trên

khi và chỉ khi X liên tục.

Chú ý: Ba tính chất đầu đặc trưng cho hàm PPXS theo nghĩa sau đây: nếu F(x) là hàm số
xác định trên và có các tính chất (1), (2), (3) thì F(x) là hàm phân phối xác suất của
một đại lượng ngẫu nhiên nào đó. Hàm PPXS còn gọi là
hàm tích lũy xác suất
.

Nếu X là đại lượng ngẫu nhiên rời rạc hữu hạn có bảng phân phối xác suất như sau
X x
1

x
2
… x
n

P p
1
p
2
… p
n


( x
1
< x
2
< … < x
n
), thì hàm phân phối xác suất của X là
1
2
1
1
12 1
0
( ) ...............
...........................
....
1

nn
n
n
xx
x xx
p
Fx
x xx
pp p
xx
−
−
≤
⎧
⎪
<≤
⎪
⎪
=
⎨
⎪
< ≤
+++
⎪
>
⎪
⎩
,nếu
,nếu
.............

,nếu
,nếu

1.4. H
ÀM MẬT ĐỘ XÁC SUẤT CỦA ĐLNN LIÊN TỤC

Khác với bảng PPXS của ĐLNN rời rạc, hàm PPXS khơng cho ta biết rõ PPXS
của ĐLNN trong lân cận của bất kỳ điểm nào trên trục số. Hơn nữa, cần chú ý rằng nếu X
Tài Liệu Xác Suất Thống Kê
II.4
Chương 2: Đại Lượng Ngẫu Nhiên Rời Rạc PGS-TS. Lê Anh Vũ

là ĐLNN liên tục thì P(X=x) = 0 với mọi số thực x. Ta sẽ dưa vào khái niệm hàm mật độ
xác suất cho ĐLNN liên tục.

Hàm mật độ xác suất của ĐLNN liên tục X là hàm f(x) định nghĩa như
sau
f(x): =
0
()
lim
x
Px X x x
x
Δ→+
≤ ≤+Δ
Δ
=
0
()

lim
x
Px x X x
x
Δ→+
− Δ≤ ≤
Δ
;
Tất nhiên là trong giả thiết rằng cả hai giới hạn đó tồn tại hữu hạn. Nếu đại lượng
ngẫu nhiên liên tục X có hàm phân phối xác suất F(x) khả vi thì hàm mật độ XS chính là
đạo hàm của hàm PPXS: f(x) = F’(x), x∈ .


Tính chất
: Hàm mật độ xác suất có các tính chất sau

(1) f(x) ≥ 0, x ∈

;
(2)
∫
;
+∞
∞−
= 1)( dxxf
Ngược lại , một hàm số f(x) có các tính chất (1), (2) phải là hàm mật độ xác suất
của một đại lượng ngẫu nhiên nào đó.
(3) P(a < X < b) = P(a ≤ X < b) = P(a < X ≤ b) = P(a ≤ X ≤ b) = ;
∫
a

b
dxxf )(
(a,b ∈ , a < b)

(4) F(x) =
∫
, x ∈

.
∞−
x
dttf )(

1.5. C
AÙC PHEÙP TOAÙN TREÂN CAÙC ÑLNN
–
HAØM TREÂN ÑLNN

1.5.1. C
AÙC PHEÙP TOAÙN TREÂN CAÙC ÑLNN


Để đơn giản, ta chỉ xét các ĐLNN rời rạc. Giả sử X và Y là các ĐLNN rời
rạc độc lập (tức là dù ĐL này nhận giá trị nào cũng không hề ảnh hưởng đến
PPXS của ĐL kia) có bảng phân phối xácsuất như sau
X x
1
x
2
… x

m

P p
1
p
2
… p
m


Y y
1
y
2
… y
n

P p’
1
p’
2
… p’
n


Khi đó X + Y là đại lượng ngẫu nhiên rời rạc có bảng phân phối xác suất là

X + Y z
1
z

2
… z
s

P p”
1
p”
2
… p”
s


Tài Liệu Xác Suất Thống Kê
II.5
Chng 2: i Lng Ngu Nhiờn Ri Rc PGS-TS. Lờ Anh V

Trong ú z
k
l cỏc giỏ tr khỏc nhau ca cỏc tng x
i
+ y
j
v p
k
=
,
ijk
ij
xy
p p

z
+=

.
Cũn XY l i lng ngu nhiờn ri rc cú bng phõn phi xỏc sut l
X Y z
1
z
2
zs
P p
1
p
2
P
s


Trong ú z
k
l cỏc giỏ tr khỏc nhau ca cỏc tớch x
i
y
j
v p
k
=
,
ij k
ij

xy
p p
z
=



1.5.2. H
AỉM TREN ẹLNN

Nu ta cú mt hm s c xỏc nh trờn tp tỏt c cỏc giỏ tr ca i
lng ngu nhiờn X thỡ Y = (X) tr thnh mt i lng ngu nhiờn mi cú cựng lut
PPXS vi X. Giỏ tr ca i lng ngu nhiờn Y c xỏc nhtheo giỏ tr ca X thụng
qua hm .
Gi s ta cú quy lut phõn phi xỏc sut ca X nh sau
X x
1
x
2
x
j
x
n
P(X = x
i
) P
1
P
2
Pj

P
n
Khi ú, , ta xỏc nh cỏc giỏ tr y
i
ca Y=(X) bi
nixy
ii
,1),( ==


Y
(x
1
) (x
2
)

(x
j
)

(x
n
)
P(Y = y
i
) p
1
p

2
p
j
p
n
Chỳ ý nu (x
i
)= (x
j
) thỡ ta t y
*
= (x
i
)= (x
j
) v cng dn xỏc sut ca chỳng li:
p(Y = y
*
) = p
i
+ p
j
.
Vớ duù 2.5.
Cho hai i lng ngu nhiờn X v Y cú bng phõn phi xỏc sut ln lt l
X 0 1 2 Y -1 1 2
P 0,2 0,3 0,5 P 0,4 0,3 0,3
Hóy lp bng phõn phi xỏc sut ca cỏc i lng X+Y, XY.
Gii
i vi tng phộp toỏn ó cho ta lp bng ghi cỏc giỏ tr v xỏc sut tng ng.

a) Trng hp X+Y

X
Y
0 1 2 X
Y
0,2 0,3 0,5
-1 -1 0 1 0,4 0,008 0,12 0,20
1 1 2 3 0,3 0,06 0,09 0,15
2 2 3 4 0,3 0,06 0,09 0,15
Bng 1 Bng 2
Ti Liu Xỏc Sut Thng Kờ

II.6
Chương 2: Đại Lượng Ngẫu Nhiên Rời Rạc PGS-TS. Lê Anh Vũ

Tài Liệu Xác Suất Thống Kê

II.7
1 và Bảng 2 suy ra
}
0,09 = 0,24 ,
(X+Y = 4) = 0,15.
Vậy, bảng i xá của X+Y là

Từ Bảng
X+Y =
{
,2,1,0,1− ,4,3

P (X+Y = -1) = 0,08 ,
P (X+Y = 0) = 0,12 ,
P (X+Y = 1) = 0,20 + 0,06 = 0,26 ,
P (X+Y = 2) = 0,09 + 0,06 = 0,15 ,
P (X+Y = 3) = 0,15 +
P

phân phố c suất
X+Y -1 0 1 2 3 4
P 0,08 0,12 0,26 0,15 0,24 0,15

b) Trường XY
Ta chỉ cần lập lại bảng giá trị của tích XY tương tự như Bảng 1, nhưng kết
quả ở mỗi ô giữa trong bảng mới sẽ l
hợp

à tích các giá trị thuộc dòng 1 lần lượt với
các giá trị thuộc cột 1 (xem Bảng 3).

X 0 1 2
Y
-1 0 -1 -2
1 0 1 2
2 0 2 4
Bảng 3
ảng 2 suy ra
}
0,06 + 0,06 = 0,20 ,
0,09 = 0,24 ,
ậy, bảng phân phối xác suất của XY là

Từ Bảng 3 và B
XY =
{
,0,1,2 −− ,4,2,1

P (XY = -2) = 0,20 ,
P (XY = -1) = 0,12 ,
P (XY = 0) = 0,08 +
P (XY = 1) = 0,09 ,
P (XY = 2) = 0,15 +
P (XY = 4) = 0,15.
V
XY -2 -1 0 1 2 3
P 0,20 0,12 0,20 0,09 0,24 0,15