tài liệu về dao động tắt dần dễ hiểu

Dao động tắt dần.
Nguyễn Bá Linh – THPT Trần Hưng Đạo – Thanh Xuân. 1

DAO ĐỘNG TẮT DẦN.
A. KIẾN THỨC CƠ BẢN
I - ĐỊNH NGHĨA
Dao động có biên độ giảm dần theo thời gian gọi là dao động tắt dần.
II – NGUYÊN NHÂN
Nguyên nhân chung là do lực cản của môi trường và ma sát sinh ra ở trong hệ. Năng lượng tiêu hao
dưới dạng nhiệt tương ứng với sự giảm dần biên độ dao động.
III – KIỂU DAO ĐỘNG TẮT DẦN DO LỰC MA SÁT KHÔ.
Xét một con lắc lò xo gồm một vật nặng khối lượng m gắn vào một đầu lò xo có độ cứng k, đầu kia
cố định. Giả thiết rằng con lắc lò xo nằm ngang và hệ số ma sát trượt bằng hệ số ma sát nghỉ và kí hiệu là µ.
1. Phương trình động lực học của chuển động của vật nặng

mx'' kx mg
   


F kx
 
: lực kéo về
(1.1)
Dấu trước số hạng cuối cùng là (+) trong khoảng thời gian vật chuyển động ngược chiều Ox, là dấu
(-) trong khoảng thời gian vật chuyển động cùng chiều Ox.
2. Vị trí cân bằng của vật trong quá trình dao động
Xét sự tương tự giữa chuyển động của vật với con lắc lò xo đặt thẳng đứng (định tính)
k

O

A

O
1

O

P




chiều
chuyển
động
ms
F


O

A

O
1


chiều chuyển động

B

ms
F


O

A

O
1

O
2

B

O
2

O

P


- Vai trò của P và F
ms
là
như nhau.
+ Trọng lực P không ảnh

hưởng tới chu kì dao động
của con lắc; lực F
ms
cũng
không ảnh hưởng tới chu
kì dao động của con lắc.
+ P làm VTCB của con lắc
được kéo xuống đoạn OO
1

= mg/k ; Lực F
ms
cũng làm
VTCB của dao động
chuyển từ O đến O
1
với
OO
1
= F
ms
/k.
- Vai trò của P và F
ms
là
như nhau.
+ Trọng lực P không ảnh
hưởng tới chu kì dao động
của con lắc; lực F
ms

cũng
không ảnh hưởng tới chu
kì dao động của con lắc.
+ P làm VTCB của con lắc
được kéo xuống đoạn OO
2

= mg/k ; Lực F
ms
cũng làm
VTCB của dao động
chuyển từ O đến O
2
với
OO
2
= F
ms
/k.
Dao động tắt dần.
Nguyễn Bá Linh – THPT Trần Hưng Đạo – Thanh Xuân. 2

* Xét cụ thể chuyển động của vật nặng với điều kiện ban đầu : Vật được kéo đến tọa độ x = A
0
và thả không
vận tốc đầu. Trong quá trình chuyển động của vật, hợp lực tác dụng lên vật :

mg
mx'' kx mg k x
k


 
      
 
 

(1.2)
Như vậy, vật nặng chịu tác dụng của lực kéo về tỉ lệ với khoảng cách từ điểm O
1
(có tọa độ
1 0
mg
OO x
k

 
) đến vật, và luôn hướng về O
1
.Vì vậy, vật sẽ thực hiện một nửa dao động điều hòa với tần
số góc
k
m
  , từ vị trí x = A
0
qua vị trí cân bằng mới O
1
và dừng lại tại vị trí đối xứng với vị trí ban đầu
qua O
1
. Vị trí này có tọa độ - A

0
+ 2x
0
. Biên độ dao động là A
0
– x
0
.
Khi vật tới vị trí này, nếu


dh msn
max
F F
thì vật chuyển động ngược trở lại theo chiều trục Ox và
thực hiện tiếp nửa dao động điều hòa với tần số góc
k
m
 
qua vị trí cân bằng O
2
(có tọa độ
2 0
mg
OO x
k

   
) và dừng lại tại điểm có tọa độ A – 4x
0

. Trong giai đoạn này, chuyển động của vật
cũng là điều hòa với cùng tần số góc ω như giai đoạn trước nhưng vị trí cân bằng là O
2
và biên độ là A – 3a.
Quá trình dao động được thực hiện cho tới khi vật dừng lại.
* Tọa độ của các vị trí biên :




*Tóm lại :
- Sau mỗi nửa chu kì, biên độ dao động giảm một lượng
0
2 mg
A 2x
k

  
, nghĩa là sau mỗi nửa
chu kì, vị trí biên nhích lại gần O một đoạn là 2x
0
.
- Sau mỗi chu kì, biên độ dao động giảm một lượng là 4x
0
.
3. Điều kiện để vật dừng lại hẳn
a) v = 0.
b)
 
kv msn

max
mg
F F k x mg x a a x a
k

          

(1.3)


B. BÀI TẬP
I. ĐỘ GIẢM CƠ NĂNG CỦA DAO ĐỘNG TẮT DẦN
1. Phần trăm cơ năng bị mất sau 1 chu kì.
Ta chỉ xét trường hợp dao động tắt dần chậm (ma sát nhỏ) , độ giảm biên độ sau mỗi chu kì
A A A'
  
rất nhỏ → A + A' ≈2A.
Phần trăm cơ năng bị mất sau một chu kì:



    

  
 
    
2
2
2
2

2
2 2
k A'
kA
A A' A A' A A'
W W - W' A
2 2
2.
kA
W W A A A
2
.
O

A
0

O
1
O
2

-A
0
+ 2a
A
0
-4a
-A
0

+ 6a
Dao động tắt dần.
Nguyễn Bá Linh – THPT Trần Hưng Đạo – Thanh Xuân. 3


A
A

là phần trăm biên độ bị giảm trong một chu kì.
VD1 Một con lắc dao động tắt dần trong môi trường với lực ma sát rất nhỏ. Cứ sau mỗi chu kì, biên độ giảm
đi 3%. Phần năng lượng của con lắc bị mất đi trong một dao động toàn phần là bao nhiêu phần trăm?
A. 3% B. 4,5% C. 6% D. 9%.
Lời giải
Do dao động tắt dần chậm vì lực ma sát nhỏ nên sau mỗi chu kì, phần trăm năng lượng của con lắc bị mất đi
là :

W A
2. 2.3% 6%
W A
 
  


2. Phần trăm cơ năng bị mất sau n chu kì.
- Phần trăm biên độ bị giảm sau n chu kì : h
na
=
n
A A
A



- Phần trăm biên độ còn lại sau n chu kì :
n
na
A
1 h
A
 

- Phần trăm cơ năng còn lại sau n chu kì :
2
n n
nw
W A
h
W A
 
 
 
 

- Phần trăm cơ năng bị mất (chuyển thành nhiệt) sau n chu kì :
n
nw
W-W
1 h
W
 
VD1 Một con lắc lò xo đang dao động tắt dần, sau ba chu kì đầu tiên biên độ của nó giảm đi 10%. Phần

trăm cơ năng còn lại sau khoảng thời gian đó là
A. 6,3% B 81% C. 19% D. 27%
Giải
Theo bài ra sau 3 chu kì biên độ giảm đi 10% nên ta có :

3 3
2
2
3 3
A A A
10% 90%
A A
W A
0,9 0,81 81%
W A


  



 

   
 

 


VD2 Một con lắc lò xo đang dao động với cơ năng ban đầu của nó là 8J, sau 3 chu kì đầu tiên biên độ của

nó giảm đi 10%. Phần cơ năng chuyển thành nhiệt sau khoảng thời gian đó là :
A. 6,3J B. 7,2J C. 1,52J D. 2,7J
Giải
Phần trăm cơ năng còn lại sau 3 chu kì là :

2
3 3 3 3
3 3 3
A-A A W A
10% 90% 0,81
A A W A
W 0,81W 6,48 W W-W 1,52J

 
     

 

 

      








Dao động tắt dần.

Nguyễn Bá Linh – THPT Trần Hưng Đạo – Thanh Xuân. 4

II. ĐỘ GIẢM BIÊN ĐỘ TRONG DAO ĐỘNG TẮT DẦN
1. Độ giảm biên độ sau mỗi chu kì. Biên độ dao động sau n dao động.
- Ta chỉ xét dao động tắt dần chậm nên độ giảm biên độ sau một chu kì rất nhỏ

A A A' A A' 2A
     

- Độ giảm cơ năng sau một chu kì bằng công của lực ma sát thực hiện trong chu kì đó :



  
2
2
ms
ms ms
k A'
4FkA k
F .4A A A' A A' F .4A A A
2 2 2 k
         

- Độ giảm biên độ sau mỗi chu kì :
ms
4F
A
k
 

- Độ giảm biên độ sau nửa chu kì:
ms
2F
A
2 k



- Biên độ dao động còn lại sau n chu kì: A
n
= A – n.∆A
VD1 Con lắc lò xo dao động theo phương ngang, lò xo nhẹ có độ cứng 100N/m, vật nhỏ dao động có khối
lượng 100g, hệ số ma sát giữa vật và mặt phẳng ngang là 0,01. Độ giảm biên độ sau mỗi lần vật qua vị trí
cân bằng.
A. 0,04mm B. 0,02mm C.0,4mm D.0,2mm
Giải
- Độ giảm biên độ sau mỗi chu kì: ∆A =
3
ms
4F 4.0,01.10.0,1
0,4.10 m
k 100

 

- Độ giảm biên độ sau mỗi nửa chu kì :
A
0,2mm
2




VD2 Một vật khối lượng 100g nối với một lò xo có độ cứng 100(N/m). Đầu còn lại của lò xo gắn cố định,
sao cho vật có thể dao động trên mặt phẳng nằm ngang. Kéo vật ra khỏi vị trí cân bằng một đoạn 8cm rồi
buông nhẹ. Lấy gia tốc trọng trường 10m/s
2
. Khi hệ số ma sát giữa vật và mặt phẳng nằm ngang là 0,2. Biên
độ dao động của vật sau 5 chu kì dao động là:
A. 2cm B. 6cm C. 5cm D. 4cm
Giải
Độ giảm biên độ sau mỗi chu kì :
4 mg
A 0,8cm
k

  

Biên độ dao động của vật sau 5 chu kì : A' = A – 5.∆A = 4cm.

2. Số dao động thực hiện được và thời gian trong dao động tắt dần
- Độ giảm biên độ sau mỗi chu kì :
ms
4F
A
k
 
- Tổng số dao động thực hiện được:
A
N

A



- Thời gian dao động :
m
t N.T N.2
k
   


VD1 Một con lắc lò xo, m = 100g, k = 100N/m. A
0
= 10cm. g = 10m/s
2
. Biết hệ số ma sát giữa vật và mặt
phẳng ngang là 0,1. Số dao động thực hiện được kể từ lúc dao động cho đến lúc dừng hẳn.
A. 25 B. 50 C. 30 D. 20
Giải
Dao động tắt dần.
Nguyễn Bá Linh – THPT Trần Hưng Đạo – Thanh Xuân. 5

- Độ giảm biên độ sau mỗi chu kì :
ms
4F
A
k
 

- Tổng số dao động thực hiện được : N = A/∆A = 25.

VD2 Một con lắc lò xo thẳng đứng gồm một lò xo nhẹ có k = 100N/m, một đầu cố định, một đầu gắn vật
nặng có khối lượng m = 0,5kg. Ban đầu kéo vật theo phương thẳng đứng khỏi vtcb 5cm rồi buông nhẹ cho
vật dao động. Trong quá trình dao động vật luôn chịu ác dụng của lực cản có đọ lớn bằng 1/100 trọng lực tác
dụng lên vật. Coi biên độ của vật giảm đều trong từng chu kì, g = 10m/s
2
. Số lần vật qua vtcb kể từ khi thả
vật đến khi nó dừng hẳn bằng bao nhiêu?
A. 25 B. 50 C. 30 D. 20
Giải
- Độ giảm biên độ sau mỗi chu kì : ∆A = 4F
ms
/k=0,2cm.
- Tổng số dao động thực hiện được :
A
N 25
A
 


- Tổng số lần qua vtcb : 25.2 = 50 lần.

VD3 Một con lắc lò xo m = 100g, k = 100N/m, dao động trên mặt phẳng ngang với biên độ ban đầu là
10cm. g = 10m/s
2
. Biết hệ số ma sát giữa vật và mặt phẳng 0,1. Tìm thời gian dao động.
A. 5s B. 3s C.6s D.4s
Giải
- Độ giảm biên độ sau mỗi chu kì :
ms

4F
A
k
 

- Tổng số dao động thực hiện được :
A
N
A



- Thời gian thực hiện dao động:
m
t N.T N.2
k
   
=5(s)
VD4 Một vật khối lượng m nối với lò xo có độ cứng k. Đầu còn lại của lò xo gắn cố định, sao cho vật có
thể dao động theo trục Ox trên mặt phẳng nghiêng so với mặt nằm ngang góc 60
0
. Hệ số ma sát 0,01. Từ
vtcb truyền cho vật vận tốc đầu 50(cm/s) thì vật dao động tắt dần. Xác định khoảng thời gian từ lúc bắt đầu
dao động cho đến khi dừng hẳn. Lấy gia tốc trọng trường 10m/s
2
.
Giải
- Độ giảm biên độ sau mỗi chu kì:
0
ms

4F
4 mgcos60
A
k k

  

- Tổng số dao động thực hiện được :
0
A kA
N
A 4 mgcos60
 
 

- Thời gian dao động :
 
0
kA m
t N.T .2 5 s
4 mgcos60 k
     


Dao động tắt dần.
Nguyễn Bá Linh – THPT Trần Hưng Đạo – Thanh Xuân. 6

III. QUÃNG ĐƯỜNG TRONG DAO ĐỘNG TẮT DẦN.

Bài toán: Một CLLX đặt trên mặt phẳng ngang, hệ số ma sát trượt giữa vật và mặt phẳng là µ. Ban
đầu kéo vật ra khỏi vị trí cân bẳng (Lò xo không biến dạng) một đoạn A
0
rồi buông nhẹ. Tính quãng
đường vật đi được từ lúc thả vật đến lúc dừng lại.
Bài giải:
Cách 1
+ Xác định vị trí
0
mg
x
k



+ Tìm số lần vật thực hiện 1/2 dao động :
0
0
A
m,n
2x


* Nếu n > 5 → Số lần 1/2 dao động là a = m + 1
* Nếu n
≤ 5 → S
ố lần 1/2 dao động là a = m.
+ Thời gian dao động là :
T
t a.
2


+ Quãng đường vật đi được : S = 2A
0
.a – x
0
.(2 + 6 + 10 +…) ; (trong ngoặc là cấp số cộng với công
sai là 4)
→
2
0 0
S 2A .a 2.x .a
 

Cách 2
+ Tính x
o
=
mg
k

+ Gọi A là độ giảm biên độ trong 1/2 chu kì A =

2mg
k
= 2x
o

+ Xét tỉ số
A
o
∆A
= n + q (q < 1). Ta có các trường hợp sau:
1. q = 0 (A
o
chia hết cho ∆A): vật chắc chắn dừng lại ở VTCB (các bạn tự CM), khi đó
s =
A
o
2
∆A

2. q = 0,5 (A
o
là số ban nguyên lần ∆A): vật dừng lại ở vị trí có |x| = x
o
. Khi đó:
s =
A
o
2
– x
o

2
∆A

3. 0,5 < q < 1: Lúc này biên độ cuối cùng trước khi dừng của vật là A
n
= q.∆A = x
o
+ rΔA (r = q – 0,5).
Vật sẽ dừng trước khi qua VTCB. Ta có
1
2
k(A
n
2
– x
2
) = mg(A
n
– x)  A
n
+ x = = 2x
o

 x
o
+ rΔA + x = 2x
o
 x = x
o
– rΔA = (1 –2 r)x

o
. x=ΔA(1-q)
 s =
A
o
2
– x
2
∆A
với x tính được theo công thức trên
4. 0 < q < 0,5: Trước đó ½ chu kì, biên độ của vật là : A
n
= ∆A + p. Vật dừng lại sau khi qua VTCB 1
đoạn x. Ta có
1
2
k(A
n
2
– x
2
) = mg(A
n
+ x)  A
n
– x = ∆A  x = p, Vậy
S=(A
0
2
-p

2
)/ ∆A

Cách 3
- Sau mỗi nửa chu kì, vị trí biên nhích lại gần O một khoảng bằng 2a.
Dao động tắt dần.
Nguyễn Bá Linh – THPT Trần Hưng Đạo – Thanh Xuân. 7

- Trong nửa chu kì cuối , vật sẽ chuyển động từ điểm M nào đó nằm ngoài đoạn O
1
O
2
đến điểm M’
nằm trong đoạn O
1
O
2
.
- Tọa độ vật khi dừng :
0
x A n.2a
 
với n là số nguyên lần nửa chu kì.
+ Vật dừng khi :
0
a x a a A n.2a a
       
. Giải bất phương trình trên để tính n từ đó suy ra
tọa độ vật khi dừng.
- Theo định luật bảo toàn năng lượng :

2 2
0
1 1
kA kx mg.S S ?
2 2
    


Ví dụ 1
Con lắc lò xo nằm ngang có
k
m
= 100(s
2
), hệ số ma sát trượt bằng hệ số ma sát nghỉ và cùng bằng
0,1. Kéo vật ra khỏi VTCB 1 đoạn A
o
rồi buông. Cho g = 10m/s
2
. Tìm quãng đường tổng cộng vật đi được
trong các trường hợp sau:
1. A
o
= 12cm 2. A
o
= 13cm 3. A
o
= 13,2cm 4. A
o
= 12,2cm

Áp dụng cụ thể cho bài toán trên:
∆A = 2cm ; x
o
= 1cm
1. A
o
= 12cm, chia hết cho A nên s =
12
2
2
= 72cm
2. A
o
= 13cm, chia cho A ra số bán nguyên, vật dừng cách VTCB1 đoạn x
o
nên
s =
13
2
 1
2
2
= 84cm
3. A
o
= 13,2cm:
A
o
A

= 6,6. Biên độ cuối cùng là A
n
= 0,6.A = 1,2cm . Vật dừng lại trước khi qua
VTCB
1
2
k(A
n
2
 x
2
) = mg(A
n
 x)  A
n
+ x = A  x = 2  1,2 = 0,8cm
s =
13.2
2
 0.8
2
2
= 86,8cm
4. A
o
= 12,2cm. Biên độ cuối cùng là A
n1
= 2,2cm  vật dừng cách VTCB một đoạn x = 0,2cm
s =
12.2

2
 0.2
2
2
= 74,4cm
* Các phần trên dùng công thức
2
0 0
S 2A .a 2.x .a
 
đều cho kết quả đúng.
Ví dụ 2
Một con lắc lò xo gồm lò xo k = 100N/m và vật nặng m =160g đặt trên mặt phẳng nằm ngang. Kéo vật đến
vị trí lò xo dãn 24,0mm rồi thả nhẹ. Biết hệ số ma sát giữa vật và mặt phẳng ngang là µ = 5/16. Lấy g =
10m/s
2
. Từ lúc thả đến lúc dừng lại, vật đi được quãng đường bằng
A. 43,6mm. B. 60,0mm. C. 57,6mm. D. 56,0mm.
Giải
* Ta có : x
0
= 5.10
– 3
(m)
*
0
0
A
24
2,4

2x 2.5
 
→ a = 2.
*


2 2
0 0
S 2A .a 2.x .a 2.24.2 2.5.2 56 mm
    

Kết luận : Theo tôi, bài toán về quãng đường đi trong dao động tắt dần nên làm theo cách 1 là chính xác,
nhanh gọn nhất.