Bai tap ve dao dong tat dan(Chu Van Bien)

Trung tâm luyện thi Hồng Đức . Thầy Chu Văn Biên website: www.chuvanbien.com.vn
Các khái nịêm cơ bản
+ Khi hệ dao động trong môi trờng có lực ma sát
( )
ms
F
thì
hệ sẽ dao động tắt dần.
+ Lực ma sát luôn luôn hớng ngợc chiều chuyển động nên
sinh công âm làm cho cơ năng con lắc giảm dần, chuyển hoá
thành nhiệt năng.
+ Lực ma sát lớn dao động sẽ tắt nhanh còn lực ma sát nhỏ
dao động tắt chậm.
+ Ta chỉ xét trờng hợp lực ma sát nhỏ nên dao động lâu tắt,
tức là độ giảm biên độ sau một chu kì nhỏ
( )
nhỏ:' AAA
=
+ Nếu vật có khối lợng m trợt trên mặt phẳng với hệ số ma
sát
à
thì độ lớn của lực ma sát là
àà
cosmgNF
ms
==
(

là góc hợp bởi phơng chuyển động so với phơng ngang).
Dạng 1: Dao động tắt dần của con lắc lò xo
+ Độ giảm cơ năng sau một chu kì bằng công của lực ma sát cản trở trong chu kì đó:

( )( ) ( )( )
AFAA
k
AFAAAA
k
AF
kAkA
msmsms
4..2
2
4.''
2
4.
2
'
2
22
=+=
k
mg
k
F
A
ms
à
cos4
4
==

+ Số dao động thực hiện đợc:

A
A
N

=
+ Thời gian kể từ lúc bắt đầu dao động cho đến khi dừng hẳn:
k
m
NNTN




2.
2
.
===
+ Gọi
max
S
là qu ng đã ờng đi đợc kể từ lúc chuyển động cho đến khi dừng hẳn. Cơ năng ban đầu
bằng tổng công của lực ma sát trên toàn bộ qu ng đã ờng đó, tức là:
à
cos22
.
2
1
22
maxmax
2

mg
kA
F
kA
SSFkA
ms
ms
===
1. Bài toán mẫu
Bài 1: Một vật khối lợng
( )
gm 100
=
gắn với một
lò xo mà cứ kéo một lực
( )
NF 1
=
thì d n thêmã
( )
cml 1
=
. Đầu còn lại của lò xo gắn vào điểm cố
định sao cho vật dao động dọc theo trục Ox song
song với mặt phẳng ngang (xem hình bên). Kéo vật
khỏi vị trí cân bằng để lò xo d n một đoạn ã
( )
cm10

rồi buông nhẹ cho hệ dao động. Chọn gốc toạ độ O

là vị trí cân bằng, chiều dơng của trục ngợc với chiều kéo ra nói trên. Chọn gốc thời gian là lúc vật
bắt đầu dao động. Lấy gia tốc trọng trờng
( )
10,/10
22
==

smg
.
1. Nếu không có ma sát giữa vật và mặt phẳng ngang thì vật sẽ dao động thế nào? Viết phơng trình
dao động của nó.
2. Khi hệ số ma sát giữa m và mặt phẳng ngang là
à
= 0,1 thì vật sẽ dao động thế nào?
a) Tìm tổng chiều dài qu ng đã ờng s mà vật đi đợc cho tới lúc dừng lại.
b) Tìm thời gian từ lúc buông tay cho đến lúc m dừng lại.
Giải:
+ Độ cứng của lò xo:
( )
( )
( )
mN
m
N
F
k /100
10
1
2
==

=


.
1) Khi không có ma sát giữa m và thanh ngang thì vật dao động điều hoà.
141
Trung tâm luyện thi Hồng Đức . Thầy Chu Văn Biên website: www.chuvanbien.com.vn
+ Tần số góc:
)/(10
1,0
100
srad
m
k

===
, chu kì dao động:
( )
sT 2,0
10
22
===




.
+ Phơng trình li độ và phơng trình vận tốc:
( )

( )



+=
+=


tAv
tAx
10cos10
10sin
+ Thay t = 0 (s)
( )





=
=




=
=

=
=

2
10
0cos10
10sin
0
10




cmA
A
A
v
x
+ Vậy phơng trình dao động là:
( )
cmtx






=
2

10sin10


.
2) Khi hệ số ma sát
à
= 0,1 thì dao động sẽ tắt dần.
a) Gọi
max
S
là tổng chiều dài qu ng đã ờng mà vật đi đợc cho tới lúc dừng lại, thì cơ năng ban đầu
của vật phải bằng công của lực ma sát:
( )
( )
m
mg
kA
SmgSkASFE
ms
5
10.1,0.1,0.2
1,0.100
22
1
.
2
2
maxmax
2
max

=====
à
à
.
b) Gọi A và A là biên độ dao động trớc và sau một chu kì. Độ giảm cơ năng phải bằng công của lực
ma sát thực hiện trong một chu kì:
Amg)'AA)('AA(kAmg'kAkA
4à=+
2
1
4à=
2
1

2
1
22
(với
'AAA
=
, xem
AA

'
nên
AAA 2'
+
)
( )
)(4,0004,0

100
10.1,0.1,0.44
cmm
k
mg
A
====
à
+ Số chu kì thực hiện đợc từ lúc dao động cho đến khi dừng hẳn:
25=
40
10
=

=
,A
A
N
.
+ Do đó thời gian từ lúc buông tay cho đến lúc dừng lại:
( )
sTNt
cd
55,2.2,0.
===
.
ĐS: 1)
( )
cmtx

=
2
10sin10


; 2) a)
( )
mS 5
max
=
; b)
( )
st
cd
5
=
Bài 2: Một con lắc lò xo gồm lò xo có hệ số đàn hồi
( )
mNk /60
=
và quả cầu có khối lợng
( )
gm 60
=
, dao động trong một chất lỏng với biên độ ban đầu

( )
cmA 12
=
. Trong quá trình dao
động con lắc luôn chịu tác dụng của một lực cản có độ lớn không đổi
C
F
. Xác định độ lớn của lực
cản đó. Biết khoảng thời gian từ lúc dao động cho đến khi dừng hẳn là
( )
s120
=

. Cho
10
2
=

.
Giải:
+ Chu kì dao động của con lắc:
( )
s
k
m
T 2,0
60
06,0
22
===

+ Độ giảm cơ năng sau một chu kì bằng công của lực ma sát cản trở trong chu kì đó:
( )( ) ( )( )
AFAA
k
AFAAAA
k
AF
kAkA
CCC
4..2
2
4.''
2
4.
2
'
2
22
=+=
+ Suy ra độ giảm biên độ sau một chu kì:
k
F
A
C
4
=

142
Trung tâm luyện thi Hồng Đức . Thầy Chu Văn Biên website: www.chuvanbien.com.vn

+ Số dao động thực hiện đợc:
C
F
kA
A
A
N
4
=

=
+ Thời gian kể từ lúc dao động cho đến khi dừng hẳn:
C
F
kAT
TN
4
.
==

+ Suy ra, độ lớn lực cản:
( )
N
kAT
F
C
003,0
120.4
2,0.12,0.60
4

===

ĐS:
( )
NF
C
003,0
=
Bài 3: (ĐH Giao thông vận tải HN - 2001) Vật có khối lợng
( )
gm 250
=
đợc mắc với 2 lò xo có khối
lợng không đáng kể có độ cứng lần lợt là:
( ) ( )
mNkmNk /40,/60
21
==
nh hình vẽ. Tại vị trí cân
bằng tổng độ d n của hai lò xo là ã 5 (cm). Chọn trục Ox nh hình vẽ, O là vị trí cân bằng. Bỏ qua mọi
sức cản, các dây nối không co d n, khối lã ợng của ròng rọc và các dây nối bỏ qua. Ban đầu giữ cho lò
xo k
1
có chiều dài tự nhiên rồi truyền cho nó vận tốc ban đầu
( )
scmv /40
0
=
theo chiều dơng. Lấy
( )

2
/10 smg
=
.
a) Bỏ qua ma sát giữa vật và mặt bàn. Chứng minh hệ
dao động điều hoà. Viết phơng trình dao động.
b) Nếu thay đổi độ lớn của
0
v
thì nó cần thoả m n điềuã
kiện gì để vật dao động điều hoà.
c) Khi hệ số ma sát giữa vật và mặt bàn là
1,0
=
à
. Tìm
tổng chiều dài qu ng đã ờng S mà vật đi đợc cho tới lúc
dừng lại.
Giải:
a) Các lực tác dụng lên vật m: trọng lực
gm

, phản lực
của mặt phẳng ngang
N

, các lực đàn hồi
1
F

,
T
(T = lực đàn hồi lò xo k
2
bằng
22


k
). Trong
đó, trọng lực
gm

và phản lực của mặt phẳng ngang
N

luôn luôn cân bằng nhau nên chỉ còn hai
lực
1
F

,
T

là có tác dụng làm cho vật dao động.
+ Hợp lực tác dụng:
221111
+=+=
kkTkF
hl

(với
21

,
là độ d n của các lò xo ã k
1
và
k
2
).
+ Tại vị trí cân bằng, hợp lực tác dụng bằng không, (lò xo k
1
bị d n một đoạn ã
10


, lò xo k
2
bị d nã
một đoạn
20


) sao cho:
( )
( )
( )

3=
2=




5=+
0=+=
2 0
1 0
2 01 0
2 021 01
cm
cm
cm
kkF
hl




+ Tại vị trí li độ x (lò xo k
1
d n ã (
0


+ x) còn lò xo k
2
d n ã (

20


- x)), hợp lực tác dụng:
( ) ( ) ( )
xkkxkxkF
hl
21202101
+=++=

.
+ Phơng trình chuyển động:
( )
m
xkk
"x
21
+
=
, đặt
( )
m
kk
21
2
+
=
thì phơng trình đợc viết lại:
x"x
2

=
. Phơng trình này có
nghiệm là:
( )
+=
tsinAx
: chứng tỏ vật dao động điều hoà.
+ Tần số góc của dao động:
( )
srad
m
kk
/20
25,0
4060
21
=
+
=
+
=

.
143
Trung tâm luyện thi Hồng Đức . Thầy Chu Văn Biên website: www.chuvanbien.com.vn
+ Phơng trình dao động:
( )

+=
tAx 20sin

, vận tốc:
( )

+=
tAv 20cos20
. Tại vị trí cân bằng lò xo
1 d n 1 đoạn 2 (cm) nên khi vật ở vị trí mà lò xo đó không biến dạng thì toạ độ của vật là - 2 (cm).ã
+ Biên độ dao động xác định từ công thức:
( ) ( )
cm
v
xA 22
20
40
2
2
2
2
0
2
0
=






+=

+=

+ Thay
( )
( )
( )
4
/40cos
)(2sin
/40
)(2
0
0




=



=
=

+=
=
=
scmA
cmA
scm
cmx
st
20
v
0
+ Vậy phơng trình dao động là:
( )
cmtx






=
2
20sin22

.
b) Độ lớn lực căng sợi dây bằng lực đàn hồi lò xo 2 :
( ) ( )( )

+===
tAkxkkT sin
20220222

+ Để hệ dao động điều hoà thì sợi dây luôn căng ở mọi thời điểm, tức là:
00min0
20

AlTtT

( ) ( )
scmxv
v
x /455202320.0
222
0
2
200
2
0
2
020
==






+

.
c) Gọi s là tổng chiều dài qu ng đã ờng mà vật đi đợc cho tới lúc dừng lại, thì cơ năng ban đầu của
vật phải bằng công của lực ma sát cản trở trên tổng qu ng đã ờng đó:
( )
( )
( ) ( )
cmm
mg
Akk
mg
kA
F
kA
SSFkA
ms
ms
1616,0
10.25,0.1,0.2
202,0.100
2222
1
2
2
21
22
maxmax
2

===
+
====
àà
ĐS: a)
( )
cmtx






=
2
20sin22

; b)
( )
scmv /45
0

; c)
( )
cmS 16
max
=
2. Bài toán tự luyện
Bài 4: Một vật khối lợng
( )

gm 200
=
nối với một lò xo có độ cứng
( )
mNk /80
=
. Đầu còn lại của
lò xo gắn cố định, sao cho vật có thể dao động trên mặt phẳng nằm ngang. Kéo vật ra khỏi vị trí cân
bằng một đoạn
( )
cm10
rồi buông tay không vận tốc ban đầu. Chọn trục toạ độ Ox trùng với phơng
chuyển động, gốc toạ độ O là vị trí cân bằng, và chiều dơng của trục ngợc với chiều kéo ra nói trên.
Chọn gốc thời gian là lúc buông tay. Lấy gia tốc trọng trờng
( )
2
/10 smg
=
.
1. Nếu bỏ qua ma sát giữa vật và mặt phẳng nằm ngang. Viết phơng trình dao động.
2. Khi hệ số ma sát giữa m và mặt phẳng nằm ngang là
1,0
=
à
thì dao động sẽ tắt dần.
a) Tìm tổng chiều dài qu ng đã ờng
max
S
mà vật đi đợc cho tới lúc dừng lại.
b) Tính độ giảm biên độ dao động sau một chu kì. Tìm thời gian từ lúc vật bắt đầu dao động cho

đến lúc dừng lại.
ĐS:1)
( )
cmtx






=
2
20sin10

; 2) a)
( )
mS 2
max
=
; b)
( ) ( )
stcmA

==
;1
Bài 5: Một vật khối lợng
( )
kgm 1
=
nối với một lò xo có độ cứng

( )
mNk /100
=
. Đầu còn lại của lò
xo gắn cố định, sao cho vật có thể dao động dọc theo trục Ox trên mặt phẳng nghiêng so với mặt
phẳng nằm ngang một góc
0
60
=

. Hệ số ma sát giữa vật và mặt phẳng nghiêng là
01,0
=
à
. Từ
144
Trung tâm luyện thi Hồng Đức . Thầy Chu Văn Biên website: www.chuvanbien.com.vn
vị trí cân bằng truyền cho vật vận tốc ban đầu
( )
scmv /50
0
=
thì vật dao động tắt dần. Xác định
khoảng thời gian từ lúc bắt đầu dao động cho đến khi dừng hẳn.
ĐS:
( )
st

5
=

Dạng 2: Dao động tắt dần của con lắc đơn
+ Độ giảm cơ năng sau một chu kì bằng công của lực ma sát cản trở trong chu kì đó:
( ) ( )( )
( )( )
00
2
00000
2
0
2
0
22
0
2
.4..2
2
.4.''
2
4.
2
'
2
SFSS
m
SFSSSS
m
SF
SmSm
ms
msms

=+=



+ Suy ra, độ giảm biên độ dài sau một chu kì:
2
4

m
F
S
ms
=
+ Số dao động thực hiện đợc:
S
S
N

=
0
+ Thời gian kể từ lúc chuyển động cho đến khi dừng hẳn:
g
l
NTN

2..
==
+ Gọi
max

S
là qu ng đã ờng đi đợc kể từ lúc chuyển động cho đến khi dừng hẳn. Cơ năng ban đầu
bằng tổng công của lực ma sát trên toàn bộ qu ng đã ờng đó, tức là:
?.
2
1
maxmax
2
0
2
==
SSFSm
ms

+ Chú ý: Cơ năng dao động:
2
0
2
0
2
2
1
2


mgl
Sm
E
==
1. Bài toán mẫu

Bài 1: Một con lắc đơn có chiều dài
( )
ml 5,0
=
, quả cầu nhỏ có khối lợng
( )
gm 100
=
. Cho nó dao
động tại nơi có gia tốc trọng trờng
( )
2
/8,9 smg
=
với biên độ góc
( )
rad14,0
0
=

. Trong quá trình
dao động, con lắc luôn chịu tác dụng của lực ma sát nhỏ có độ lớn không đổi
( )
NF
C
002,0
=
thì nó
sẽ dao động tắt dần. Dao động tắt dần có cùng chu kì nh khi không có lực cản. H y chứng tỏ sauã
mỗi chu kì biên độ giảm một lợng nhất định. Tính khoảng thời gian từ lúc bắt đầu dao động cho

đến khi dừng hẳn. Lấy
1416,3
=

.
Giải:
+ Chu kì dao động của con lắc đơn:
( )
s
g
l
T 42,1
8,9
5,0
.1416,3.22
==

+ Độ giảm năng lợng dao động sau 1 chu kì bằng độ lớn công của lực cản thực hiện trên qu ng đã ờng
đi trong thời gian đó (= 4 lần biên độ dài =
0
4


). Giả sử trong 1 chu kì biên độ góc giảm từ
0


đến
0
'

, ta có:
( )( )
000000
2
0
2
0
.8''4.'
2
1
2
1

cc
FmgFmgmg
=+=


00
2..8

mgF
c
mg
F
C
4
=

+ Vậy sau mỗi chu kì biên độ góc giảm một lợng không đổi:
( )
rad
mg
F
C
0082,0
8,9.1,0
002,0.4
4
==

+ Số dao động thực hiện đợc:



=
0
N
+ Khoảng thời gian từ lúc bắt đầu dao động cho đến khi dừng hẳn là:
( )
sTTN 24,2442,1.
0082,0
14,0
..
0
=

==

ĐS:
( )
s24,24


145