Chuyên đề phương pháp tọa độ trong không gian

Phạm Thanh Bình THPT Tân Hiệp.
Luyện thi đại học liên hệ : 01255640905 1
PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN

I. KIẾN THỨC CẦN NHỚ

1). Hệ tọa độ trong không gian.


a). Hệ tọa độ trong không gian.



Hệ gồm ba trục , ,Ox Oy Oz đôi một vuông góc
với các vectơ đơn vị tương ứng là , ,i j k
  
được gọi là
hệ trục tọa độ vuông góc trong không gian Oxyz .



Điểm O được gọi là gốc tọa độ.



Các mặt phẳng (Oxy), (Oyz), (Ozx) đôi một vuôing góc
gọi là các mặt phẳng tọa độ.
b). Tọa độ của vectơ và của điểm.



 
; ;u x y z u xi y j zk    
    
.


 
; ;M x y z OM xi y j zk   
   
.
( x : hoành độ , y : tung độ , z : cao độ )



Nếu
   
; ; ; ;vµ
A A A B B B
A x y z B x y z thì
 
; ;
B A B A B A
AB x x y y z z   

.
Đặc biệt:

Nếu M chia đoạn AB theo tỉ số 1k 
 
.MA k MB

 
thì ta có :

.
1
A B
M
x k x
x
k



;
.
1
A B
M
y k y
y
k



;
.
1
A B
M
z k z

z
k



.


M là trung điểm của AB ; ;
2 2 2
A B A B A B
x x y y z z
M
  
 

 
 
.


G là trọng tâm tam giác ABC

3
A B C
G
x x x
x
 
 ;

3
A B C
G
y y y
y
 
 ;
3
A B C
G
x x x
x
 



G là trọng tâm tứ diện ABCD

4
4
4
A B C D
G
A B C D
G
A B C D
G
x x x x
x
y y y y

y
z z z z
z
  




  




  





c). Vectơ bằng nhau. Tọa độ của vectơ tổng, vectơ hiệu:
Cho
   
1 1 1 2 2 2
; ; ; ;vµu x y z v x y z
 
. Khi đó:



1 2

1 2
1 2
x x
u v y y
z z



  




 
.


 
1 2 1 2 1 2
; ;u v x x y y z z    
 
.



 
1 1 1
; ;ku kx ky kz

, k   .



 
1 2 1 2 1 2
; ;u v x x y y z z    
 

Phạm Thanh Bình THPT Tân Hiệp.
Luyện thi đại học liên hệ : 01255640905 2
d). Hai vectơ cùng phương:
Hai vectơ




1 1 1 2 2 2
; ; ; ;
vµ
u x y z v x y z
 
,



 
0
v cùng phương    
 
 :
k u kv

.
Tức là








1 2
1 2
1 2
x kx
y ky
z kz
hay
2 2 2
1 1 1
x y z
x y z
  .
e). Tích vô hướng của hai vectơ . Cho




1 1 1 2 2 2
; ; ; ;
vµ

u x y z v x y z
 
. Khi đó:





1 2 1 2 1 2
. . . os ,
uv u v c u v x x y y z z
   
     
.


2
2 2 2
1 1 1
u u x y z
   
 
.





1 2 1 2 1 2
2 2 2 2 2 2

1 1 1 2 2 2
os ,
.
x x y y z z
c u v
x y z x y z
 

   
 
.


      
   
1 2 1 2 1 2
. 0 0
u v u v x x y y z z .





     
2 2 2
B A B A B A
AB AB x x y y z z      

.

f). Tích có hướng của hai vectơ.:
Trong không gian
Oxyz
, cho hai vectơ


1 1 1
; ;
u x y z

và


2 2 2
; ;
v x y z

.


Tích có hướng của hai vectơ
vµ
u v
 
là một véctơ , kí hiệu là
,
u v
 
 
 

, được xác định bởi:

 
1 1 1 1 1 1
1 2 2 1 1 2 2 1 1 2 2 1
2 2 2 2 2 2
, ; ; ; ;
y z z x x y
u v y z y z z x z x x y x y
y z z x x y
 
 
    
 
 
 
 
.
Tính chất :


Véctơ
,
u v
 
 
 
cùng vuông góc với cả hai vectơ
vµ
u v

 
.





, . .sin ,
u v u v u v
 

 
     
.



vµ
u v
 
cùng phương khi và chỉ khi
, 0
u v
 

 
  
.



Ba vectơ
, ,
w
u v
  
đồng phẳng
, . 0
u v w
 
 
 
  
.

g). Các ứng dụng của tích có hướng. (nâng cao)
o Diện tích tam giác ABC:
1
,
2
ABC
S AB AC
 

 
 
.

o Thể tích tứ diện:
1
, .

6
ABCD
V AB AC AD
 

 
  
.



o Diện tích hình bình hành ABCD : ,
ABCD
S AB AD
 

 
 


o Thể tích khối hộp:
. ' ' ' '
, .
ABCD A B C D
V AB AC AD
 

 
  
.

Phạm Thanh Bình THPT Tân Hiệp.
Luyện thi đại học liên hệ : 01255640905 3
h). Mặt cầu.
 Mặt cầu tâm
 
; ;I a b c , bán kính
R
có phương trình là:

     
2 2 2
2
x a y b z c R      .

 Phương trình :
2 2 2
2 2 2 0x y z ax by cz d       , với
2 2 2
a b c d  
, là phương trình
của mặt cầu có tâm
 
; ;I a b c   và bán kính
2 2 2
R a b c d
    .



2). Phương trình mặt phẳng:

a).Khái niệm.

Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng
 Véctơ 0n 
 
được gọi là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng
 

nếu giá của
n

vuông góc với
mp
 

, viết tắt là
 
n



.

Phương trình tổng quát của mặt phẳng.
 Trong không gian Oxyz phương trình dạng : 0Ax By Cz D    , với
2 2 2
0A B C   là
phương trình tổng quát của một mặt phẳng.

b). Tính chất.
 Mặt phẳng
 
: 0P Ax By Cz D    có vectơ pháp tuyến là
 
; ;n A B C

.
 Mặt phẳng qua điểm
 
0 0 0
; ;M x y x và có vectơ pháp tuyến
 
; ;n A B C

có phương trình tổng
quát là :
     
0 0 0
0A x x B y y C z z      .
Hoặc
 
0 0 0
0Ax By Cz Ax By Cz     
 Nếu hai vectơ
   
1 1 1 2 2 2
; ; ; ;vµu x y z v x y z
 

không cùng phương và giá của chúng song song
hoặc nằm trên
 

thì vectơ ,n u v
 

 
  
là một vectơ pháp tuyến của
 

.

c). Các trường hợp đặc biệt của phương trình tổng quát của mặt phẳng

Xét mặt phẳng
 

có phương trình 0Ax By Cz D    . Khi đó:
Hệ Số Phương trình mp
 

Tính Chất Mặt Phẳng
 


0
D


 
: 0Ax By Cz

  
 

đi qua gốc tọa độ.
0, 0C D 
 
: 0Ax By D

  
 

song song với trục
Oz
.
0C D 

 
: 0Ax By

 
 

chứa trục Oz .
0, 0
B C D
  
 

: 0Ax D

 
 

song song với
 
Oyz .
0
B C D
  
 
: 0 0Ax x

  
 

chính là mp
 
Oyz .
Các trường hợp khác tương tự……
Phạm Thanh Bình THPT Tân Hiệp.
Luyện thi đại học liên hệ : 01255640905 4
d). Vị trí tương đối của hai mặt phẳng.
Cho hai mặt phẳng
 
: 0Ax By Cz D

    có VTPT
 

; ;n A B C




và mặt phẳng
 
: ' ' ' ' 0A x B y C z D

    có VTPT


'; '; 'n A B C



. Khi đó:

   
 

' ' ' '
A B C D
A B C D
    .
.
. '
n k n
D k D
 









 


   
/ /
 

' ' ' '
A B C D
A B C D
   
.
. '
n k n
D k D
 









 


 

cắt
 

: : ': ': 'A B C A B C  .n k n
 
 
 


   
 
 ' ' ' 0AA BB CC    n n
 
 
 


e). Phương trình mặt phẳng theo đoạn chắn.

Mặt phẳng
 

không qua gốc tọa độ, cắt các trục

, ,Ox Oy Oz lần lượt tại
 
;0;0A a ,
 
0; ;0
B b
,
 
0;0;C c
có phương trình theo đoạn chắn là :
 
1 0
x y z
abc
a b c
    .


3). Phương trình đường thẳng:

a).Khái niệm.

Vectơ chỉ phương của đường thẳng.
 Véctơ 0u 
 
được gọi là vectơ chỉ phương của đường thẳng d nếu giá của
u

song song hoặc
trùng với d .


Phương trình tham số và chính tắc của đường thẳng.
 Đường thẳng d qua
 
0 0 0
; ;M x y z và có vectơ chỉ phương
 
; ;u a b c

có:
o Phương trình tham số là :
0
0
0
x x at
y y bt
z z ct
 


 


 

.
o Phương trình chính tắc là :
0 0 0
,
x x y y z z

a b c
  
  với điều kiện
0abc 
.
b). Đường thẳng giao tuyến của hai mặt phẳng
 Cho hai mặt phẳng cắt nhau
   
: 0 ' : ' ' ' ' 0vµAx By Cz D A x B y C z D
 
        .
Gọi
   
'd
 
  .
Khi đó một vectơ chỉ phương của d là , 'u n n
 

 
  
với
   
; ; & ' '; '; 'n A B C n A B C
 
.


Chú ý: Nếu M d thì tạo độ
 

; ;x y z của M là nghiệm của hệ :

0
' ' ' ' 0
Ax By Cz D
A x B y C z D
   


   

.
Phạm Thanh Bình THPT Tân Hiệp.
Luyện thi đại học liên hệ : 01255640905 5
c). Vị trí tương đối giữa hai đường thẳng

Cho hai đường thẳng
1 1 2 2
1 1 1 2 2 2
1 1 2 2
'
: : '
'
vµ
x x a t x x a t
d y y b t d y y b t
z z c t z z c t
   
 
 

   
 
 
   
 



1
d
qua
1
M
có vectơ chỉ phương
1
u

và
2
d
qua
2
M
có vectơ chỉ phương
2
u

. Khi đó:
Chương trình nâng cao Chương trình cơ bản


1 2
1 2
1 1 2
, 0
, 0
u u
d d
u M M

 

 
 

 


 

  
  
.


1 2
1 2
1 1 2
, 0
/ /

, 0
u u
d d
u M M

 

 


 


 

  
  




1
d
và
2
d
cắt nhau
1 2 1 2
1 2
, . 0

, 0
u u M M
u u

 

 

 


 

  
  
.


1
d
và
2
d
chéo nhau
1 2 1 2
, . 0
u u M M
 
 
 

  
.


1
u

và
2
u

cùng phương.



1 2
1 2
1 2
.
u k u
d d
M d



 





 





1 2
1 2
1 2
.
/ /
u k u
d d
M d








 



1
u

và

2
u

không cùng phương.
Xét hệ (I):
1 1 2 2
1 1 2 2
1 1 2 2
'
'
'
x a t x a t
y bt y b t
z c t z c t
  


  


  

( ẩn t và t’ ).


1
d
và
2
d

cắt nhau

Hệ (I) có đúng một nghiệm



1
d
và
2
d
chéo nhau

Hệ (I) vô nghiệm.
Lưu ý:



1 2
d d
 
Hệ (I) có vô số nghiệm.



1 2
/ /d d

Hệ (I) vô nghiệm và
1

u

,
2
u

cùng phương.

d). Vị trí tương đối của đường thẳng và mặt phẳng.
Cho mặt phẳng


: 0
Ax By Cz D

   
có VTPT


; ;
n A B C


, đương thẳng
0
0
0
:
x x at
d y y bt

z z ct
 


 


 


đi qua


0 0 0 0
; ;
M x y z
và có véctơ chỉ phương là


; ;
a a b c


.

Xét quan hệ giữa
a

và
n


.


 
 
0
. 0
a n
d
M





 




 



 
 
0
. 0
/ /

a n
d
M










 



d
cắt



. 0
a n
 
 






.
d n k a

  
 


Xét phương trình (ẩn là t):






0 0 0
. . . 0
A x a t B y b t C z c t D
      
(1).




d

 
Phương trình (1) có vô số nghiệm.





/ /d


Phương trình (1) vô nghiệm.



d
cắt




Phương trình (1) có đúng một nghiệm





,
d n a

 
 
cùng phương .

Phạm Thanh Bình THPT Tân Hiệp.
Luyện thi đại học liên hệ : 01255640905 6

4). Khoảng Cách.



a). Khoảng cách giữa hai điểm.
Cho hai điẻm
 
; ;
A A A
A x y z và
 
; ;
B B B
B x y z
.
Khi đó:
     
2 2 2
B A B A B A
AB AB x x y y z z      

.
b). Khoảng cách từ một điểm tới một mặt phẳng.
Cho
 
: 0Ax By Cz D


    và điểm
 
0 0 0
; ;M x y z .
Khi đó:
 
 
0 0 0
2 2 2
,
Ax By Cz D
d M
A B C

  

 
.
Lưu ý :


Nếu
 

là mặt phẳng đi qua M và song song với
 

thì
   
 

 
 
; ;d d M
  
 .


Mặt cầu
 
;S O R tiếp xúc với mp
 


 
 
;d O R

 
c). Khoảng cách từ một điểm đến một đương thẳng .
Chương trình chuẩn Chương trình nâng cao.

Khoảng cách từ M đến đường thẳng  .
Phương pháp:

Lập pt mp
 

đi qua M và vuông góc với  .

Tìm tọa độ giao điểm H của mp

 

và d .

Kết luận :
 
;d M MH 

Khoảng cách từ M đến đường thẳng 
Đường thẳng  đi qua
0
M và có VTCP là
u

.


 
0
.
;
M M u
d M
u
 
 
 
 


d). Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau  và ' .


 đi qua
 
; ;M x y z và có vectơ chỉ phương là
u

.


' đi qua
 
' '; '; 'M x y z và có vectơ chỉ phương là
'u

.
Phương pháp:


Lập phương trình mp
 

chứa  và song song
với '


Khi đó :
   
 

; ' ';d d M

   .



 
, . '
; '
, '
hép
®¸y
u u MM
V
d
S
u u
 
 
   
 
 
  
 



5. Góc.

a). Góc giữa hai mặt phẳng.

Cho hai mặt phẳng
   
: 0 : ' ' ' ' 0vµAx By Cz D A x B y C z D
 
        .
Gọi

 
0 0
0 90

 
là góc giữa hai mặt phẳng
   
&
 
.
Khi đó:
 
2 2 2 2 2 2
' ' '
cos cos ;
. ' ' '
AA BB CC
n n
A B C A B C
 

 
 

   
 
.
Phạm Thanh Bình THPT Tân Hiệp.
Luyện thi đại học liên hệ : 01255640905 7
b). Góc giữa hai đường thẳng.
Cho hai đường thẳng
1 2
,d d lần lượt có vectơ chỉ phương
   
1 1 1 1 2 2 2 2
, , & , ,u a b c u a b c
 
.
Gọi

 
0
0 90

 
là góc giữa
1 2
&d d .
Khi đó :
 
1 2
1 2 1 2 1 2
1 2
2 2 2 2 2 2

1 2
1 1 1 2 2 2
.
cos cos ;
.
.
u u
a a b b c c
u u
u u
a b c a b c

 
  
   
 
 
 
.
c). Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng
Cho đường thẳng d có vectơ chỉ phương
 
; ;u a b c

và
 

có vectơ pháp tuyến
 
; ;n A B C


.
Gọi

 
0
0 90

 
là góc giữa
 
&d

.
Khi đó :
 
2 2 2 2 2 2
.
sin cos ;
.
.
Aa
u n
Bb Cc
u n
u n
A B C a b c

 
  

   
 
 
 
.
KIẾN THỨC BỔ SUNG.

Hai điểm
 
1 1 1 1
; ;M x y z và
 
2 2 2 2
; ;M x y z nằm cùng phía đối với mặt phẳng
 
: 0Ax By Cz D

    khi và chỉ khi
   
1 1 1 2 2 2
. 0Ax By Cz D Ax By Cz D       .

Hai điểm
 
1 1 1 1
; ;M x y z và
 
2 2 2 2
; ;M x y z nằm khác phía đối với mặt phẳng
 

: 0Ax By Cz D

    khi và chỉ khi
   
1 1 1 2 2 2
. 0Ax By Cz D Ax By Cz D       .



II. CÁC DẠNG BÀI TẬP

DẠNG 1 : XÁC ĐỊNH TỌA ĐỘ ĐIỂM , VECTƠ VÀ ĐỘ DÀI CỦA VÉCTƠ.
Phương pháp:
Sử dụng các công thức :

 
; ;
B A B A B A
AB x x y y z z   




     
2 2 2
B A B A B A
AB AB x x y y z z      




 
1 2 1 2 1 2
; ;u v x x y y z z    
 



 
1 1 1
; ;ku kx ky kz

, k R  .
Với
 
1 1 1
; ;u x y z

và
 
2 2 2
; ;v x y z

.
Ví dụ 1: Cho ba véctơ :







 
  
0; 2;3 , 1; 2; 1 , 1;3;2a b c
. Tính tọa độ của các véctơ sau.
a).
 
  
u a b
. b).
  
   
2 3v a b c
. c).
  
   
1
2
w a b c
Giải.
a). Ta có :
 
 
0; 2;3
1;2; 1
a
b

 




 




 
    
  
1; 4; 4u a b
b). Ta có :


 
 
2 0 ; 4 ; 6
1 ; 2 ; 1
3 3; 9; 6
a
b
c

 


  


    






 
      
   
2 3 2; 11; 1v a b c
Phạm Thanh Bình THPT Tân Hiệp.
Luyện thi đại học liên hệ : 01255640905 8
c). Ta có :


 
0 ; 2 ; 3
1 1 1
;1;
2 2 2
1 ; 3 ; 2
a
b
c

 


 
  


 
 







 
   
 
 
   
1 1 11
; 0;
2 2 2
w a b c

Ví dụ 2. Trong không gian cho ba điểm






1;0; 2 ; 2;1; 1 ; 1; 2;2
A B C   .
a).Tính tọa độ và độ dài của các véctơ ; ;
AB AC BC

  
.
b).Tính tọa độ trung điểm các cạnh cúa tam giác ABC.
c).Tính tọa độ trọng tâm của tam giác ABC.
d).Cho


;3;
M x z
.Tìm x , z để ba điểm A, B, M thẳng hàng .
e).Tìm N thuộc mp(Oxz) sao cho NB + NC nhỏ nhất .
f).Tìm tọa độ điểm D sao cho ABCD là hình bình hành.

Ví dụ 3: Cho hình hộp
. ' ' ' '
ABCD A B C D
biết








 
1; 2; 0 , 1; 0;2 , 2;1;2 , ' 2; 1; 0
A B C A .
a).Tính tọa độ các đỉnh còn lại của hình hộp.
b).Tính độ dài các đường chéo AC’ và BD’.

Ví dụ 4. Trong không gian cho hai điểm




2; 1;7 ; 4;5; 2
A B
 
.
a).Điểm M chia đoạn thẳng AB theo tỉ số là 2 .Tìm tọa độ trung điểm của đoạn AM .
b).Đường thẳng AB cắt mp(Oyz) tại điểm G . Điểm G chia đoạn AB theo tỉ số nào? Tìm tọa độ của G .

DẠNG 2 : TÍCH VÔ HƯỚNG, TÍCH CÓ HƯỚNG VÀ ỨNG DỤNG.
Phương pháp : Sử dụng các công thức :



1 2 1 2 1 2
. . . os ,
uv u v c u v x x y y z z
   
     




1 1 1 1 1 1
2 2 2 2 2 2
, ; ;
y z z x x y

u v
y z z x x y
 
 

 
 
 
 
( Với


1 1 1
; ;
u x y z

và


2 2 2
; ;
v x y z

).

Ví dụ 1 : Cho ba vectơ







  
  
2; 3; 0 , 0; 2; 1 , 5;1;2
u v w
. Tính các tích sau.
a).
.
u v
 
;
.
v w
 
.
b).
;
u v
 
 
 
;
;
v u
 
 
 
.
c).

;
u w
 
 
 
;
;2. .
u w v
 
 
  

Ví dụ 2. Trong không gian cho 4 điểm








1;2;0 ; 1;0;2 ; 2;1;3 ; 2;0;0
A B C D .
a).Chứng minh : A, B , C tạo thành một tam giác .Tính diện tích tam giác ABC .
b).Chứng minh : ABCD là một tứ diện .Tính thể tích của tứ diện ABCD .
c). Tìm điểm K thuộc trục Oz sao cho 4 điểm A, B, C, K đồng phẳng .
d). Cho


2;0; 1

M

.Chứng minh :


AM ABC
 . Tính thể tích của tứ diện MABC .

Ví dụ 3. Trong không gian cho 3 điểm






1;2;0 ; 1;0;3 ; 2;1;1
A B C .
a).Tìm tọa độ điểm D thuộc trục Ox sao cho
AD AC

 
.
b). Tìm tọa độ điểm E thuộc trục Oz sao cho góc giữa hai vectơ ;
AE AB
 
bằng
0
60
.
c). Tìm tọa độ điểm F thuộc trục Ox sao cho ACE là tam giác có diện tích bằng

2
.


Phạm Thanh Bình THPT Tân Hiệp.
Luyện thi đại học liên hệ : 01255640905 9
DẠNG 3: LẬP PHƯƠNG TRÌNH MẶT CẦU. XÁC ĐỊNH TÂM VÀ BÁN KÍNH MẶT CẦU
Phương pháp:

Tìm tâm
 
; ;I a b c và bán kinh R của mặt cầu
Khi đó, mặt cầu có phương trình là :
     
2 2 2
2
x a y b z c R      .

Phương trình :
2 2 2
0x y z Ax By Cz D      
là phương trình của mặt cầu



2 2 2
2 2 2
A B C
D
     

  
     
     
.
Khi đó, mặt cầu có tâm
; ;
2 2 2
A B C
I
 
  
 
 
và bán kính
2 2 2
2 2 2
A B C
R D
     
   
     
     
.

Ví dụ 1: Lập phương trình mặt cầu trong các trường hợp sau.
a).Đi qua
 
5; 2;1M  và có tâm
 
3; 3;1I  .

b).Có tâm
 
2;1; 3I  và có đương kính bằng 12 .
c).Có đường kính là AB biết
   
1; 2;3 ; 3;2;1A B  .
d). Đi qua hai điểm
   
2;1;1 ; 1;0;3C D  và có tâm thuộc trục Ox.
e). Đi qua ba điểm
     
1;2;0 ; 1;0;3 ; 2;1;1E F H và có tâm thuộc mp(Oxy).
f). Có tâm
 
2;1;3I và tiếp xúc với mặt phẳng (Oxz).
g). Có tâm
 
2;0; 1I  và tiếp xúc với mặt phẳng
 
: 5 4 11 0x y z

    .
h). Có tâm


0;0;0O và tiếp xúc với mặt cầu :









2 2 2
: 3 2 4 1S x y z      .

Ví dụ 2
: Trong không gian Oxyz , lập phương trình mặt cầu ngoại tiếp tứ diện OABC ,
biết
     
1;0;0 ; 0; 2;0 ; 0;0;4A B C .
Ví dụ 3: Xác định tâm và bán kính của các mặt cầu có phương trình sau :
a).
2 2 2
6 2 16 26 0x y z x y z       .
b).
2 2 2
2 2 2 8 4 12 100 0x y z x y z       .
c).
2 2 2
2 4 1 0x y z x y     

Ví dụ 4 : Chứng minh phương trình
2 2 2
2 2 2 4 12 2 0x y z x z      là phương trình của một
mặt cầu. Hãy xác định tâm và bán kính của mặt cầu đó.

Ví dụ 5. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm
 

1;2;3E và mặt phẳng
 

có phương trình:
 

: 2 2 6 0x y z    .
Viết phương trình mặt cầu
 
S có tâm là gốc tọa độ O và tiếp xúc với mặt phẳng
 

.
( Đề tốt nghiệp THPT năm 2007 )

Phạm Thanh Bình THPT Tân Hiệp.
Luyện thi đại học liên hệ : 01255640905 10
DẠNG 4: LẬP PHƯƠNG TRÌNH MẶT PHẲNG
 

.
Phương pháp:
Cách 1:

Tìm một điểm
 
0 0 0 0
; ;M x y z thuộc mặt phẳng
 


.


Tìm một vectơ pháp tuyến
 
; ;n A B C

của mặt phẳng
 

.


Khi đó, phương trình mặt phẳng là:
     
0 0 0
0A x x B y y C z z     
Cách 2:

Sử dụng phương trình tổng quát 0Ax By Cz D    và phương trình mặt phẳng theo
đoạn chắn 1
x y z
a b c
   để tìm các hệ số A , B , C, D (hoặc a, b, c) .

Ví dụ 1. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho ba điểm
   
1;2;0 ; 1;0;2A B  ;
 
2;1;1C và

đường thẳng  có phương trình :
2 1
2 1 2
x y z 
  .
a). Viết phương trình mặt phẳng đi qua A và vuông góc với BC .
b). Viết phương trình mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng AB .
c). Viết phương trình mặt phẳng đi qua A và vuông góc với đường thẳng  .
d). Viết phương trình mặt phẳng (ABC) .
e). Viết phương trình mặt phẳng đi qua B , song song với trục Ox và  .
f). Viết phương trình mặt phẳng chứa  và vuông góc với mp(ABC) .
g). Viết phương trình mặt phẳng chứa  và song song với đường thẳng BC .
h). Viết phương trình mặt phẳng chứa  và hợp với mp(ABC) một góc
0
60
.

Ví dụ 2:
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng
1 2
; 
lần lượt có phương trình :
1 2
1 4
1 2 1
: : 2
2 1 2
3 4
vµ
x t

x y z
y t
z t
  

  

    



 

.
a). Xét vị trí tương đối của hai đường thẳng
1 2
; 
.
b). Viết phương trình mặt phẳng chứa hai đường thẳng
1 2
; 
.
Ví dụ 3
. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho ba điểm
   
1;0;0 ; 0;2;0A B và
 
0;0;3C
a).Viết phương trình mặt phẳng đi qua A và vuông góc với đường thẳng BC.
b).Tìm tọa độ tâm mặt cầu ngoại tiếp tứ diện OABC .

( Đề tốt nghiệp THPT năm 2010 )

Ví dụ 4: Viết phương trình mp(P) trong các trường hợp sau.
a). Chứa trục Oz và tạo với mặt phẳng
 
:2 5 0x y z

   một góc 60
0
.
b). Đi qua hai điểm
   
3;0;0 ; 0;0;4A B và tạo với trục Oy một góc

, biết
5
tan
6

 .

Ví dụ 5. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng  có phương trình :

1 1
2 2 1
x y z 
 

.
a).Tính khoảng cách từ điểm O đến đường thẳng  .

b).Viết phương trình mặt phẳng chứa điểm O và đường thẳng .
( Đề tốt nghiệp THPT năm 2010 )

Phạm Thanh Bình THPT Tân Hiệp.
Luyện thi đại học liên hệ : 01255640905 11
Ví dụ 6. Trong không gian Oxyz, cho điểm
 
1; 2;3A  và đường thẳng d có phương trình :

1 2 3
2 1 1
x y z  
 

.
a).Viết phương trình tổng quát của mặt phẳng đi qua điểm A và vuông góc với đường thẳng d .
b).Tính khoảng cách từ A đến đường thẳng d .Viết phương trình mặt cầu tâm A , tiếp xúc với d .
( Đề tốt nghiệp THPT năm 2009 )

Ví dụ 7
. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm
 
1; 1;0M   và mặt phẳng
 
P
có phương
trình : 2 4 0
x y z
    .
Viết phương trình mặt phẳng (Q) đi qua M và song song với mp

 
P
.
( Đề tốt nghiệp THPT năm 2007 )

Ví dụ 8
. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho hai mặt phẳng :
(P): 3x – 2y + 2z – 5 = 0 và (Q): 4x + 5y – z + 1 = 0.
Viết phương trình mặt phẳng (R) đi qua gốc tọa độ O ,vuông góc với (P) và (Q).

DẠNG 5: LẬP PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG  .
Phương pháp:


Tìm một điểm
 
0 0 0 0
; ;M x y z thuộc đường thẳng  .


Tìm một vectơ chỉ phương
 
; ;u a b c

của đường thẳng  .


Khi đó, phương trình tham số của  là :
0
0

0
x x at
y y bt
z z ct
 


 


 

.

Ví dụ 1. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm
 
1; 2; 1A   và mặt phẳng
 

có phương
trình :
 

: 2 0y z   .
a). Viết phương trình đường thẳng đi qua A và vuông góc với
 

.
b). Viết phương trình đường thẳng đi qua hai điểm A, B, biết
 

0;1; 2B  .
c). Viết phương trình đường thẳng đi qua A và vuông góc với
 
Oxy
.
d). Viết phương trình đường thẳng đi qua A và song song với trục Oy .

Ví dụ 2
. Trong không gian Oxyz. Viết phương trình đường thẳng d trong mỗi trường hợp sau :
a). Đi qua
 
4;3;1M và song song với đường thẳng
1 2
: 3
3 2
x t
y t
z t
 


  


 

.
b). Đi qua
 
1; 2;2M  và vuông góc với hai đường thẳng có phương trình lần lượt là :

1 2
1 3
1 2 1
: : 2
2 1 2
3 1
vµ
x t
x y z
y t
z t
 

  

    



 

.
Phạm Thanh Bình THPT Tân Hiệp.
Luyện thi đại học liên hệ : 01255640905 12
c). Đi qua
 
0; 7;0M  , song song với mp
 
: 3 4 9 0x y z


    và vuông góc với đường
thẳng có phương trình là :
1 2 1
:
1 1 2
x y z  
  
.
Ví dụ 3
: Viết phương trình hình chiếu vuông góc của đường thẳng
a).
1 3
:
1 1 5
x y z 
  
 
trên mặt phẳng
 
: 4 7 0x y z

    .

b).
3
: 6 5
8 10
x t
y t

z t



   


  

trên mặt phẳng
 
: 4 10 13 0x y z

    .
c).
3
: 2
5
x
y t
z t



  


 

trên mặt phẳng (Oxy) .

Ví dụ 4
: Viết phương trình đường thẳng giao tuyến của hai mặt phẳng :
a).
 
: 4 7 0x y z

    và
 
: 2 2 2 0x y z

    .
b).
 
:3 4 5 0x y z

    và
 
:7 5 8 9 0x y z

    .
c).
 
: 3 4 9 0x y z

    và mp
 
Oxy .
Ví dụ 5: Viết phương trình đường thẳng d trong các trường hợp sau.
a). Vuông góc với mặt phẳng

 
: 3 4 6 0x y z

    và cắt cả hai đường thẳng
1 2
3 5
6 8
: : 2
1 1 2
5
vµ
x t
x y z
y
z t
 

 

    



 

.
b). Đi qua
 
2; 1;1M  ,song song với mặt phẳng
 

: 3 4 6 0x y z

    và tạo với trục Oz góc 60
0

Ví dụ 6
: Viết phương đường vuông góc chung của các cặp đường thẳng sau:
a).
1 2
1 3
2 3 4
: : 4 2
2 3 5
4
vµ
x t
x y z
y t
z t
  

  

     



 

.

b).
3 4
2 2
: 2 1 : 3
2
vµ
x t
z
x y y
z t
 


      





Ví dụ 7
. Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu (S) và mặt phẳng (P) có phương trình .









2 2 2
: 1 2 2 36S x y z      và
 
: 2 2 18 0P x y z    .
a).Xác định tọa độ tâm T và tính bán kính của mặt cầu (S). Tính khoảng cách từ T đến mp(P) .

b).Viết phương trình tham số của đường thẳng d đi qua T và vuông góc với (P) .
( Đề tốt nghiệp THPT năm 2009 )
Ví dụ 8. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm
 
1; 1;0M   và mặt phẳng
 
P
có phương
trình : 2 4 0x y z    .
Phạm Thanh Bình THPT Tân Hiệp.
Luyện thi đại học liên hệ : 01255640905 13
Viết phương trình tham số của đường thẳng d đi qua M và vuông góc với mp
 
P
.Tìm tọa độ giao điểm
H của đường thẳng d với mặt phẳng
 
P
.
( Đề tốt nghiệp THPT năm 2007 )

Ví dụ 9
. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho hai mặt phẳng :
(P): 3x – 2y + 2z – 5 = 0 và (Q): 4x + 5y – z + 1 = 0.

a).Tính góc giữa hai mặt phẳng (P) và (Q) .
b).Viết phương trình tham số của giao tuyến của hai mặt phẳng (P) và (Q).

Bài tập tương tự.

1. Cho ba vectơ






 
  
2; 5;3 , 0;2; 1 , 1; 4;2a b c :
a) Tính tọa độ của véctơ
2.x a b 
  

b) Tính tọa độ của vectơ
  
   
4 2 3u a b c

c) Tính tọa độ của vectơ
  
   
1
2
2

v a b c
2. Cho ba vectơ






  
  
2; 3; 0 , 0; 2; 1 , 5;1;2u v w
:
a) Tính tích có hướng
;u v
 
 
 

b) Tính tích có hướng
;v u
 
 
 

c) Tính tích có hướng ;u w
 
 
 

3. Cho hình hộp
. ' ' ' '
ABCD A B C D
biết








1;0;1 , 2;1;2 , 1; 1;1 , ' 4;5; 5A B D C  . Tính tọa độ các
đỉnh còn lại của hình hộp.

4. Tìm tọa độ tâm và bán kính mỗi mặt cầu có phương trình sau đây:
a)
2 2 2
8 2 1 0x y z x y     
b)
2 2 2
9 9 9 6 18 1 0x y z x z      .
5. Lập phương trình của mặt cầu
 
S trong các trường hợp sau:
a)
 
S có đường kính
AB
với





6;4; 3 & 2;8;1A B .
b)
 
S có tâm thuộc
Oz
và đi qua hai điểm




0;1;2 & 1;0; 1M N 

6. Cho bốn điểm








1;0;0 , 0;1; 0 , 0;0;1 , 2;1; 2A B C D   .
a) Chứng minh rằng , , ,
A B C D
là bốn đỉnh của một tứ diện.
b) Tính góc tạo bởi các cạnh đối của tứ diện đó.

c) Tính thể tích tứ diện ABCD.
d) Tính độ dài đường cao của tứ diện ABCD kẻ từ đỉnh A.

7. Cho các vectơ
     
1;0; 2 , 1;2; 1 , 0;3; 2a b c  
  
. Tìm tọa độ của
u

biết:
a)
2 3 2 0a b c u   
    
.
b)
, & 21u a u b u  
    
.
8. Cho các điểm






1;2; 1 , 2; 1;3 , 2;3;3A B C   .
a) Chứng minh , ,
A B C
là ba đỉnh của một tam giác.

b) Tìm tọa độ của điểm M là đỉnh thứ tư của hình bình hành
ABCM
.
Phạm Thanh Bình THPT Tân Hiệp.
Luyện thi đại học liên hệ : 01255640905 14
c) Tìm tọa độ các điểm tương ứng là chân đường phân giác trong, ngoài của góc
A
của
ABC

.
d) Chứng minh , , ,O A B C là bốn đỉnh của một tứ diện. Tìm tọa độ trọng tâm của tứ diện đó.
9. Cho các điểm






2;1; 2 , 3; 0;1 , 2; 1;3 ,
A B C D Oy
   .
a) Tính diện tích
ABC

.
b) Tính độ dài đường cao kẻ từ đỉnh
A
của
ABC


.
c) Tìm tọa độ điểm D sao cho tứ diện
ABCD
có thể tích bằng 5.
d) Tính góc giữa đường thẳng &BC OA .
10. Hãy viết phương trình mặt cầu trong mỗi trường hợp sau:
a) Đi qua


5; 2;1A  và có tâm


3; 3;1K  .
b) Đi qua điểm






0;8;0 , 4;6;2 , 0;12;4M N P và có tâm nằm trên mặt phẳng
 
Oyz .
c) Có tâm


1;2;3I và tiếp xúc với



mp Oyz .
11. Cho mặt cầu
 
S có phương trình
2 2 2
2 4 4 0x y z x y z      .
a) Xác định tọa độ tâm và bán kính của
 
S .
b) Xác định tọa độ giao điểm của
 
S với các trục tọa độ.
12. Viết phương trình mặt phẳng đi qua ba điểm






2;0; 1 , 1; 2;3 , 0;1;2A B C  .
13. Viết phương trình mặt phẳng đi qua hai điểm




0;1;1 , 1;0;2A B  và vuông góc với mặt phẳng
1 0x y z    .
14. Tính khoảng cách từ



2;4; 3A  đến mặt phẳng 2 2 9 0x y z    .
15. Viết phương trình mặt phẳng qua ba điểm






1;0;0 , 0; 2;0 , 0; 0;3H I K .
16. Viết phương trình mặt phẳng
 

qua




1;2;3 , 2; 2;4M N  và song song với Oy .
17. Viết phương trình mặt phẳng
 

qua gốc tọa độ, vuông góc với


: 2 0Q x y z   và tạo với


mp Oyz một góc
0
45

.
18. Cho




2; 2;0 , 4;2; 2 .A B  Viết phương trình mặt phẳng
 
P vuông góc với AB và cách


1; 1;0K  một khoảng bằng 3.
19. Viết phương trình mặt phẳng
 
P song song
Oz
, vuông góc với


: 0Q x y z   và tiếp xúc với
mặt cầu


2 2 2
: 2 2 4 3 0S x y z x y z       .
20. Cho





: 4 6 10 0, : 12 12 4 0x ay z bx y z
 
        . Xác định ,a b để




/ /
 
, rồi tính
khoảng cách từ
 

đến
 

.
21. Cho








2;3;1 , 4;1; 2 , 6;3;7 , 5; 4;8A B C D   . Tính độ dài đường cao hạ từ đỉnh A của tứ diện
ABCD
.
22. Viết phương trình tham số, phương trình chính tắc (nếu có) của đường thẳng qua





2;3; 1 & 1;2;4A B .
23. Cho điểm


3;2; 1M  .
a) Viết phương trình tham số của đt qua M và song song với đt
 
 

1 1
:
2 3 4
x y z
d .
b) Viết phương trình chính tắc của đt  qua M và song song với đt

 

  




1 2
: 3 3
5

x t
d y t
z t
.
Phạm Thanh Bình THPT Tân Hiệp.
Luyện thi đại học liên hệ : 01255640905 15
24. Xét vị trí tương đối của đường thẳng

 

  


 

1 2
: 2 4
3
x t
y t
z t
lần lượt với các mặt phẳng sau:
a)



   
1
: 3 0x y z .
b)




   
2
: 2 5 0x y z
c)



   
3
:2 2 4 10 0x y z
d)



   
4
:4 8 2 1 0x y z

25. Xét vị trí tương đối của cặp đường thẳng
1 2
&d d cho bởi các phương trình sau:
 
    
 
     
 
 

   
 
1 2
3 2 5
: 2 3 & : 1 4
6 4 20
x t x t
d y t d y t
z t z t
.
26. Lập phương trình chính tắc của đt giao tuyến của hai mặt phẳng
2 3 4 0
3 2 5 4 0
x y z
x y z

   

   

.
27. Chứng minh hai đt sau chéo nhau và vuông góc nhau:

 
   
 
   
 
 
  

 
1 2
3
: 1 & : 2 3
2 2 2
x t x s
d y t d y s
z t z s
.
28. Lập phương trình đường thẳng d biết:
a) d qua


0;1;2A và vuông góc với mặt phẳng


: 2 1 0P x y   .
b) d qua


1;2 3B   , song song với


: 2 0Q x y z   và vuông góc với
' : 2 ; 0; 3d x t y z t     .
c) d tiếp xúc với mặt cầu


2 2 2
: 2 4 1 0S x y z x y      tại điểm



1;1;1M và tạo với
Oz

một góc
0
45
.
29. Lập phương trình tham số của đường vuông góc chung của hai đường thẳng:
7 3 9 3 1 1
: , ':
1 2 1 7 2 3
x y z x y z
d d
     
   
 
.
30. Tìm phương trình chính tắc của hình chiếu của đường thẳng:
2 2 1
3 4 1
x y z  
  trên mặt phẳng
2 3 4 0x y z    .
31. Tìm phương trình tham số của hình chiếu của đt :
1 2
2 3
x t
y t

z t

 




  

trên mặt phẳng
 
Oxz .
32. Xác định tọa độ điểm đối xứng của điểm


3;1; 1A   qua đt  là giao tuyến của hai mặt phẳng


:4 3 13 0P x y   và


: 2 5 0Q y z   .

Phạm Thanh Bình THPT Tân Hiệp.
Luyện thi đại học liên hệ : 01255640905 16
III. MỘT SỐ BÀI TOÁN TỔNG HỢP

1. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho bốn điểm , , ,
A B C D
có tọa độ xác định bởi:



2;4; 1 , 4
A OB i j k
   
   
,


2;4;3C
, 2 2OD i j k  
   
.
a) Chứng minh rằng , ,
AB AC AC AD AD AB
   . Tính thể tích khối tứ diện
ABCD
.
b) Viết phương trình tham số của đường vuông góc chung  của hai đương thẳng &
AB CD
.
c) Tính góc giữa


&
ABD

.
d) Viết phương trình mặt cầu



S
đi qua bốn điểm , , , .
A B C D

e) Viết phương trình mặt phẳng tiếp diện



của


S
song song với


ABD
.
2. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho bốn điểm


1; 1;2 ,A 


1;3;2 ,B




4;3;2 , 4; 1;2C D 

.
a) Chứng minh A, B, C, D đồng phẳng.
b) Gọi '
A
là hình chiếu vuông góc của A trên mặt phẳng Oxy . Viết phương trình
mặt cầu


S
qua bốn điểm ', , ,
A B C D
.
c) Viết phương trình tiếp diện



của


S
tại '
A
.

3. Trong không gián với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt cầu


2 2 2
: 2 2 4 3 0S x y z x y z      
và hai đường thẳng

 
1
1
:
1 1 1
yx z
  
 
và
2
 là
đường thẳng giao tuyến của hai mặt phẳng
2 2 0
2 0
x y
x z

  


 


.
a) Chứng minh
1 2
&  chéo nhau.
b) Viết phương trình tiếp diện của



S
, biết tiếp diện đó song song với hai đường
thẳng
1 2
&  .
4. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, Cho ba điểm






1;0; 1 , 1;2;1 , 0;2;0A B C
. G là trọng
tâm
ABC
 .
a) Viết phương trình đường thẳng OG .
b) Viết phương trình mặt cầu


S
qua bốn điểm , , ,O A B C
c) Viết phương trình các mặt phẳng vuông góc với OG và tiếp xúc với mặt cầu


S
.
5. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho ba điểm







2;0;0 , 0;3;0 , 0;0;6A B C
.
a) Viết phương trình mặt phẳng đi qua ba điểm , ,
A B C
. Tính diện tích
ABC
 .
b) Gọi G là trọng tâm
ABC
 . Viết phương trình mặt cầu đường kính OG .
6. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng d có phương trình
12 1
1 2 3
yx z 
  và
mặt phẳng


P
có phương trình 3 2 0x y z    .
a) Tìm tọa độ giao điểm M của d và


P
.

b) Viết phương trình mặt phẳng chứa d và vuông góc với


P
.
7. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm


1; 1;0M  
và mặt phẳng


P
có phương trình :
(P): 2 4 0x y z    .
a) Viết phương trình mặt phẳng


Q
qua M và song song với


P
.
Phạm Thanh Bình THPT Tân Hiệp.
Luyện thi đại học liên hệ : 01255640905 17
b) Viết phương trình tham số của đường thẳng d qua M và vuông góc với


P

. Tìm tọa độ giao
điểm H của d và


P
.
8. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai đường thẳng
1
21 1
:
1 2 3
yx z
d
 
  và
2
1
: 1 2
1 3
x t
d y t
z t

  

 


  


a) Chứng minh rằng
1 2
d d
b) Viết phương trình mặt phẳng qua


1; 2;1K 
qua vuông góc với
2
d
9. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm




1; 4;5 , 3;2;7 ,E F





1;0;2 , 3;1;5A B

và đường thẳng
1 2
: 3
6
x t
d y t

z t

 

  


 


a) Viết phương trình mặt cầu đi qua F và có tâm là E .
b) Viết phương trình mặt phẳng trung trực của EF .
c) Viết phương trình mặt phẳng qua A và vuông góc với d
d) Viết phương trình tham số của đường thẳng AB.
10. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm


1;2;3M
và mặt phẳng


:2 3 6 35x y z

  
.
a) Viết phương trình đường thẳng qua M và vuông góc với



.

b) Tính khoảng cách từ M đến



.
c) Tìm điểm N trên Ox sao cho


 
,MN d M

 .
11. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm


3; 2; 2A  
và


:2 2 1 0P z y z   

a) Viết phương trình đường thẳng qua
A
và vuông góc với


P
.
b) Tính khoảng cách từ
A

đến


P

c) Viết phương trình


Q
song song với


P
sao cho










, ,d Q P d A P
12. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho
ABC
 với







1;4; 1 , 2;4;3 , 2;2; 1A B C 
.
a) Viết phương trình mặt phẳng qua A và vuông góc với BC.
b) Tìm tọa độ điểm D sao cho ABCD là hình bình hành.
13. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm


2;1; 2M  
và đường thẳng
11
:
2 1 2
yx z
  


a) Chứng minh rằng đường thẳng OM song song với .
b) Viết phương trình mặt phẳng đi qua M và vuông góc với .
14. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho các điểm




1; 2;0 , 3;4;2M N 
và mặt phẳng



:2 2 7 0P x y z   

a) Viết phương trình đường thẳng MN.
b) Tính khoảng cách từ trung điểm của MN đến


P
.
15. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm


2; 1;3A 
và
Phạm Thanh Bình THPT Tân Hiệp.
Luyện thi đại học liên hệ : 01255640905 18


: 2 2 10 0P x y z   
.
a) Tính khoảng cách từ A đến


P

b) Viết phương trình đường thẳng qua A và vuông góc với


P

16. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt cầu








2 2 2
: 1 2 2 36S x y z      và mặt phẳng


: 2 2 18 0P x y z   
.
a) Tìm tâm T và bán kinh của mặt cầu


S
. Tính khoảng cách từ T đến


P
.
b) Viết phương trình tham số của d đi qua T và vuông góc với


P
. Tìm tọa đô giao điểm của d
và



P
.
17. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm


1; 2;3A 
và đường thẳng
21 3
:
2 1 1
yx z 
  

.
a) Viết phương trình tổng quát của mặt phẳng qua A và vuông góc với d.
b) Tính khoảng cách từ A đến d
c) Viết phương trình mặt cầu tâm A và tiếp xúc với d.
18. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho ba điểm






1;0;0 , 0;3;0 , 0;0;2A B C
.
a) Viết phương trình tổng quát của mặt phẳng



ABC
.
b) Viết phương trình đường thẳng qua


8;5; 1M 
và vuông góc với


ABC

c) Tìm tọa độ hình chiếu của điểm M trên


ABC
.
19. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho


:2 2 0P x y  
và
m
d là đường thẳng giao tuyến của
hai mặt phẳng


   
2 1 4 2 0
2 1 1 1 0

mx m z m
m x m y m

    


     


. Tìm giá trị tham số m để
m
d song song với


P
.
20. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho
1
1
: 2
1 2
x t
d y t
z t

 

 



 

và
2
d là đường thẳng giao tuyến của hai
mặt phẳng
2 4 0
2 2 4 0
x y z
x y z

   


   


.
a) Viết phương trình mặt phẳng


P
chứa
2
d và song song với
1
d .
b) Cho



2 1 4M l l
. Tìm tọa độ điểm H thuộc
1
d sao cho đoạn thẳng MH có độ dài nhỏ nhất.
21. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho


: 2 5 0P x y z   
và đường thẳng giao tuyến
k

của hai mặt phẳng
3 2 0
1 0
x k z
kx y z

   


   


. Tìm giá trị tham số k để đường thẳng
k
 vuông góc với


P
.

22. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm




2;0;0 , 0;0;8A B
và điểm C thỏa mãn


0;6;0AC 

. Tính khoảng cách từ trung điểm I của BC đến đường thẳng OA .
Phạm Thanh Bình THPT Tân Hiệp.
Luyện thi đại học liên hệ : 01255640905 19
23. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho ba điểm






2;0;1 , 1;0;0 , 1;1;1A B C
và mặt phẳng


: 2 0P x y z   
. Viết pt mặt cầu qua ba điểm A, B, C và có tâm thuộc mặt phẳng


P

.
24. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm


4; 2;4A  
và đường thẳng
3 2
: 1
1 4
x t
y t
z t

  

  


  

.
Viết phương trình đường thẳng qua A, cắt  và vuông góc với  .
25. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hình chóp .S ABCD có đáy là hình thoi tâm O. Biết






2;0;0 , 0;1;0 , 0;0;2 2A B S . Gọi M là trung điểm của SC.

a) Tính góc và khoảng cách giữa hai đường thẳng SA và BM.
b) Giả sử


ABM
cắt SD tại N. Tính thể tích khối chóp .S ABMN .
26. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng
1
21 1
:
3 1 2
yx z 
  

và đường thẳng
giao tuyến
2
 của hai mặt phẳng
2 0
3 12 0
x y z
x y

   


  


.

a) Chứng minh rằng
1 2
/ /  . Viết phương trình mặt phẳng



chứa hai đường thẳng đó.
b) Mặt phẳng Oxz cắt hai đường thẳng
1 2
&  lần lượt tại A và B. Tính diện tích OAB .
27. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hình lăng trụ
1 1 1
.
ABC A B C
với








1
0; 3;0 , 4;0;0 , 0;3;0 , 4;0;4A B C B
.
a) Tìm tọa độ các đỉnh
1 1
,
A C

. Viết phương trình mặt cầu có tâm là A và tiếp xúc với mặt
phẳng


1 1
BCC B
.
b) Gọi M là trung điểm của
1 1
A B
. Viết phương trình mặt phẳng


P
đi qua hai điểm A, M và
song song với
1
BC . Giả sử


P
cắt
1 1
A C
tại N. Tính độ dài đoạn MN .
28. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng
31 3
:
1 2 1
yx z

d
 
 

và mặt phẳng


: 2 2 9 0P x y z   
.
a) Tìm tọa độ điểm I tuộc d sao cho khoảng cách từ I đến


p
bằng 2.
b) Tìm tọa độ giao điểm A của d và


P
. Viết phương trình tham số của đường thẳng nằm
trong


P
, biết đường thẳng đó qua A và vuông góc với d.
29. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm


1;2;3A
và hai đường thẳng
1

22 3
:
2 1 1
yx z
d
 
 

và
2
11 1
:
1 2 1
yx z
d
 
 

.
a) Tìm tọa độ điểm '
A
đối xứng của A qua đường thẳng
1
d .
b) Viết phương trình đường thẳng  qua A, vuông góc với
1
d và cắt
2
d .
Phạm Thanh Bình THPT Tân Hiệp.

Luyện thi đại học liên hệ : 01255640905 20
30. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho


0;1;2A
và hai đường thẳng
1
1 1
:
2 1 1
yx z
d
 
 

và
2
1
: 1 2
2
x t
d y t
z t

 

  


 


.
a) Viết phương trình mặt phẳng


P
qua A, đồng thời song song với
1 2
&d d .
b) Tìm tọa độ các điểm M thuộc
1
d và N thuộc
2
d sao cho ba điểm , ,
A N M
thẳng hàng.
31. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hình lập phương . ' ' ' '
ABCD A B C D
với








0;0;0 , 1;0;0 , 0;1;0 , ' 0;0;1A B D A
. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AB và CD.
a) Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng '

A C
và MN.
b) Viết phương trình mặt phẳng chứa '
A C
và tạo với mặt phẳng Oxy một góc

biết
1
cos
6

 .
32. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm




1;4;2 , 1;2;4A B 
và đường thẳng
21
:
1 1 2
yx z
  

.
a) Viết phương trình đường thẳng d đi qua trọng tâm G của tam giác OAB và vuông góc với
mặt phẳng



OAB
.
b) Tìm tọa độ điểm M thuộc đường thẳng  sao cho
2 2
MA MB nhỏ nhất.
33. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt cầu


2 2 2
: 2 4 2 3 0S x y z x y z      
và mặt phẳng


: 2 2 14 0P x y z   
.
a) Viết phương trình mặt phẳng


Q
chứa trục Ox và cắt


S
theo một đường tròn có bán
kính bằng 3.
b) Tìm tọa độ điểm M thuộc


S
sao cho khoảng cách từ M đến



P
lớn nhất.
34. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai đường thẳng
1
1 2
:
2 1 1
yx z
d
 
 

và
2
1 2
: 1
3
x t
d y t
z

  

 





.
a) Chứng minh rằng
1 2
&d d chéo nhau.
b) Viết phương trình đường thẳng  vuông góc với


: 7 4 0P x y z  
và cắt hai đường
thẳng
1 2
&d d .
35. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho bốn điểm








3;3;0 , 3;0;3 , 0;3;3 , 3;3;3A B C D
.
a) Viết phương trình mặt cầu đi qua bốn điểm , , ,
A B C D
.
b) Tìm tọa độ tâm đường tròn ngoại tiếp
ABC

36. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho ba điểm







0;1;2 , 2; 2;1 , 2;0;1A B C 
.
a) Viết phương trình mặt phẳng


ABC
.
b) Tìm tọa độ điểm M thuộc


: 2 2 3 0P x y z   
sao cho MA MB M C  .
Phạm Thanh Bình THPT Tân Hiệp.
Luyện thi đại học liên hệ : 01255640905 21
37. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho


2;5;3A
và đường thẳng
1 2
:
2 1 2
yx z
d

 
  .
a) Tìm tọa độ hình chiếu vuông góc của A trên d .
b) Viết phương trình mặt phẳng



chứa d sao cho khoảng cách từ A đến



lớn nhất.
38. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho các điểm






2;1;0 , 1;2;2 , 1;1;0A B B
và mặt phẳng


: 20 0P x y z   
. Xác định tọa độ điểm D thuộc đường thẳng AB sao cho đường thẳng CD
song song với mặt phẳng


P
.

39. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳn
22
:
1 1 1
yx z
  

và


: 2 3 4 0P x y z   
. Viết phương trình đường thẳng d nằm trong


P
sao cho d cắt và vuông
góc với .
40. Trong không gian Oxyz, cho tứ diện ABCD có các đỉnh






1;2;1 , 2;1;3 , 2; 1;1A B C 


, 0;3;1D .
Viết phương trình



P
qua A, B sao cho








, ,d C P d D P .
41. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho


: 2 2 5 0P x y z   
và hai điểm




3;0;1 , 1; 1;3A B 
. Trong các đường thẳng đi qua A và song song với


P
, hãy viết phương
trình đường thẳng mà khoảng cách từ B đến đường thẳng đó là nhỏ nhất.
42. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho



:2 2 4 0P x y z   
và mặt cầu


2 2 2
: 2 4 6 11 0S x y z x y x      
. Chứng minh


P
cắt


S
theo một đường tròn. Xác định
tọa độ tâm và bán kính của đường tròn đó.
43. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho


: 2 2 1 0P x y z   
và hai đường thẳng
1
1 9
:
1 1 6
yx z 
   và
2
31 1

:
2 1 2
yx z 
  

. Xác định tọa độ điểm M thuộc
1
 sao cho
khoảng cách từ M đến
2
 bằng khoảng cách từ M đến


P
.