Ky Nang taylor

BỘ MÔN TOÁN ỨNG DỤNG - ĐHBK

TOÁN 1
GIẢI TÍCH HÀM MỘT BIẾN
•
BÀI 7: KỸ NĂNG KHAI TRIỂN TAYLOR
•
TS. NGUYỄN QUỐC LÂN (12/2007)

KHAI TRIỂN CƠ BẢN: MŨ, LGIÁC, HYPERBOLIC

Từ khai triển hàm y = e
x
⇒ Khai triển sinx, cosx, sinhx, coshx
( )
0,
3
tg
4
3
→++= xxo
x
xx
Chú ý phần dư cosx, sinx, chx, shx:
o nhỏ của số hạng bò triệt tiêu!
( )
( )
0,
)!2(
1

!4!2
1cos
12
242
→+
−
+−+−=
+
xxo
n
xxx
x
n
n
n
( )
( )
0,
)!12(
1

!3
sin
22
123
→+
+
−
++−=

+
+
xxo
n
xx
xx
n
n
n

!2
1
2
+++=
x
xe
x
chẵn Mũ
lẻ Mũ
( )
( ) ( )
12
22
22
123
)!2(

!2
1ch,
!12

!3
sh
++
+
++++=+
+
+++=
n
n
n
n
xo
n
xx
xxo
n
xx
xx
xxxx ch,shcos,sin → dấu đan khôngnhưng nhưtự Tương

KHAI TRIỂN CƠ BẢN: LUỸ THỪA, 1/(1 ± x), LN(1 + x)

Hàm nghòch đảo – inverse function (Tổng cấp số nhân):
( )
( )
( )
nn
n
nn

xoxxx
x
xoxx
x
+−+++−=
+
++++=
−
11
1
1
,1
1
1
2

Tổng quát: Hàm luỹ thừa (1 + x)
α
→ Nhò thức Newton (1 + x)
n

( )
( ) ( )
( )
nn
xox
n
n
xxx +
+−

++
−
++=+
!
1
!2
1
11
2
αααα
α
α


VD: Khai triển MacLaurint hàm
( )
3 cấp đến
3
1 xxf +=
Giải:
( )
( )
0,
!3
2
3
1
1
3
1

3
1
!2
1
3
1
3
1
3
11
3
32
3
1
→+






−






−+







−++=+ xxo
xxx
x
( )
( )
nn
n
xox
n
xx
xx +
−
+++−=+
−132
)1(
32
1ln 
ln(1 + x): ∫1/(1+x)
→ x
n
/n, đan dấu

BẢNG KHAI TRIỂN CÁC HÀM CƠ BẢN: 7 HÀM

Hàm Khai triển Phần dư Lagrange

x+1
1
!!3!2
1
32
n
xxx
x
n
+++++ 
( )
1
!1
+
+
n
c
x
n
e
( )
( )
n
n
n
x
n
xxx
2
242

!2
1
!4!2
1 −+−+− 
( )
( )
22
!22
sincos
+
+
n
x
n
c
( )
( )
12
1253
!12
1
!5!3
+
+
+
−+−+−
n
n
n
x

n
xxx
x 
( )
( )
32
!32
sincos
+
+
n
x
n
c
( )
n
n
xxxx 11
32
−++−+− 
x−1
1
x
e
xcos
xsin
( )
α
x+1
( )

x+1ln
( )
( )
1
2
1
1
1
1
+
+
+
+
−
n
n
n
x
c
n
xxxx +++++ 
32
1
( ) ( )
n
x
n
n
xx
!

1
!2
1
1
2
+−
++
−
++
αααα
α


( )
n
xxxx
x
n
n 1
432
1
432
+
−++−+− 

PPHÁP KHTRIỂN MACLAURINT: TỔNG, HIỆU, TÍCH

VD: Khai triển ML đến cấp 3:
( ) ( )
x

x
exf
x
+−
−
+= 1ln5
1
2
Giải:
( )
( ) ( )
3
2
2
2

2
5 12
2
1 xo
x
xxx
x
xxf +







+−−++++






+++=
VD: Khai triển MacLaurint đến cấp 3:
( )
xxxf coshcos ⋅=
Đưa hàm cần khai triển về dạng tổng, hiệu, tích (đhàm,
tphân) các hàm cơ bản. p dụng kh/tr MacLaurint cơ bản
Giải:

( )
( ) ( ) ( )
0,1
!2
1
!2
1
33
2
3
2
→+=







++






+−= xxoxo
x
xo
x
xf
Chú ý: Có thể sử dụng cả đạo hàm, tích phân (coi chừng C!)
VD: Khai triển ML đến cấp 2:
( )
( )
11ln
2
+++= xxxf

KHTRIỂN MACLAURINT HÀM THƯƠNG: DÙNG 1/(1 ± x)

VD: Khai triển MacLaurint
3 cấp2 cấp ,
cos
1
b/ ,

2
/
xx
e
a
x
+
Với thương (tỷ số, phân số) 2 hàm số: Dùng
Chú ý: Ở mẫu số bắt buộc phải xuất hiện số 1!
x±1
1
Giải:

( ) ( )






++−






+++=
+
⋅⋅

2
2
2
2
42
1
!2
1
2
1
21
1
2
1
/ xo
xx
xo
x
x
x
ea
x
( )( )
( ) ( )

22
1
!21
1
cos

1
b/
2
3
2
3
2
32
+






++






++=
+−
= xo
x
xo
x
xoxx
VD: Khai triển MacLaurint đến cấp 2

( )
34
1
2
+−
=
xx
xf
Giải:
( )
( )( )






−
−
−
⋅=






−
−
−

=
−−
=
xxxxxx
xf
1
1
31
1
3
1
2
1
3
1
1
1
2
1
31
1

KHAI TRIỂN MACLAURINT VỚI HÀM HP

VD: Khai triển MacLaurint
( )
4 cấp đếnxbxa cos/sin/
2
Hàm hợp f(u(x)): Khai triển lần lượt từng bước. Đầu tiên
khai triển MacLaurint u(x), sau đó khai triển f(u) & cắt

đến luỹ thừa được yêu cầu (Có thể đổi thứ tự).
Chú ý quan trọng: Luôn kiểm tra điều kiện u(0) = 0!
Giải:
( )
( )
42
3
2

!3
sin00&/ xox
u
uuuxua +=+−=⇒==
( ) ( )

2
1
1
242
1
242
1/
21
4
42
4
42
++=

















++−+=






+−− uxo
xx
xo
xx
b
u
  
VD (cảnh giác!): Khtriển MacLaurint y = ln(2 + x) đến cấp 2

KHAI TRIỂN TAYLOR QUANH x – x
0
: ĐƯA VỀ KTR ML

VD: Khai triển Taylor hàm
( )
3 cấp đến 2quanh
1
0
== x
x
xf
Khai triển Taylor f(x) quanh x = x
0
: Đổi biến t = x – x
0
và sử
dụng khai triển Mac Laurint cho hàm f(t)
Cách 2: Biến đổi để (x – x
0
) xuất hiện trực tiếp trong hàm số!
Giải: Cách 1: t = x – 2 ⇒
( )






++=

+
⋅=
+
== 
2
1
2
1
21
1
2
1
2
11 t
ttx
xf
Cách 2: Tạo (x – 2) trong hàm
( )
( ) ( )
221
1
2
1
22
1
−+
⋅=
+−
=
xx

xf
VD: Khai triển Taylor hàm
( )
2 cấp đến 8quanh
0
3
−== xxxf
Giải:
( )
( ) ( )






+






+−
⋅+−=







+
−−=−+
8
2
3
1
12
8
2
1282
31
3
xx
x

ỨNG DỤNG KT TAYLOR. TÌM GIỚI HẠN

Tìm lim: Khai triển ML với phần dư Peano + Ngắt bỏ VCB
VD: Tìm
( )
( )
xe
xxx
x
x
sin1
1ln3sin43sin
lim
3

0
−
+−+
→












+−
∞→
x
xx
x
1
1lnlim
2
(SGK/80)
( )
( )
3
4
3

0
3
4
3
0
6
lim
6
lim
x
xo
x
x
xo
x
xx
xx
+
=






+−−
=
→→
( )
2

0
1ln33sin
lim
x
xx
x
+−
=
→
( ) ( )
( )
xx
xxx
x
+
++−
=
→
1
1ln1
lim
2
0
( )
( )
( )
( )







+
+
−
+
+−
=
→
xx
xx
xx
xx
x
1
1ln
1
1ln
lim
22
0
VD: Tính
3
0
sin
lim
x
xx
x

−
→
VD: Tìm
( )
( )






+
−
+
→
2
0
1ln
1
1
lim
x
x
xx
x

ỨNG DỤNG KT TAYLOR. TÍNH GẦN ĐÚNG

Tính gần đúng & ước lượng sai số: phần dư Lagrange
( )

( )
( )
( )
( )
( )
xxcxx
n
cf
Rxx
k
xf
xf
n
n
n
n
k
k
k
,,
)!1(
,
!
)(
0
1
0
1
0
0

0
∈−
+
==∆−≈
+
+
=
∑
VD: Góc x nào cho phép xấp xỉ sinx ≈ x với độ chính xác 10
-4

Tương tự: Cần chọn bao nhiêu số hạng trong khai triển
hàm y = e
x
để có thể xấp xỉ e với độ chính xác 10
-4

VD: Tính gần đúng giá trò số e với độ chính xác 10
-4
(SGK/79)
Giải:
( )
( )
( )
!1
3
,1,0,
!1!
1
!2

1
!1
1
1
+
≤∆≈⇒∈
+
+++++=
n
Sec
n
e
n
e
c
S
  


VI PHÂN

Hàm khả vi tại x
0
⇔ ∆y = A∆x + o(∆x), ∆x → 0 : Số gia hàm
số biểu diễn tuyến tính theo ∆x và vô cùng bé bậc cao của ∆x
Vi phân: dy = A∆x = f’(x)dx
Nhận xét: Hàm có đạo hàm
⇔ Có vi phân: Hàm khả vi
x
y

O
( ) ( )
xfyC =:
0
x
( )
0
xf
xx ∆+
0
( )
xxf ∆+
0
x∆
y∆
( )
xxf ∆
0
'
1/ C: hằng số ⇒ dC = 0
& d(Cy) = Cdy
2/ Vi phân tổng,
hiệu, tích, thương:
( )
( )
udvvduuvd
dvduvud
+=
±=±
2

v
udvvdu
v
u
d
−
=







VI PHÂN HÀM HP

VD: Tính dy của a/ y = sinx b/ y = sinx, x = cost
Giải:
( )
=⇒=−== dytytdtxxdxdyb cossinsincoscos/ hoặc
VD: Tính d
2
y: a/ y = arctgx b/ y = arctgx, x = sint
ĐS:
( )
2
2
2
2
1

2
/ dx
x
x
yda
+
−=
2
2
22
1
sin
''/ dt
x
t
dxyydb
+
−=
Vi phân cấp 1:
( )
( ) ( )
dxydy
txxxfy
xxfy
'
:,
:,
=⇒







==
=
hợphàm
lập độc biến
⇒ Vi phân cấp 1: bất biến!
==⇒ yddxfydx
322
,'': lập độc Biến
( ) ( )
( )
22222
''''', dtxxdxdfdxfydtxxxfy =+=⇒==
Vi phân cấp cao: