bất phương trình mũ + logarit

Các phương pháp giải bất phương trình mũ và lôgarit – P1
Các phương pháp giải
bất phương trình mũ và lôgarit
Phần 1
Thầy giáo: Lưu Xuân Tình
Cộng tác viên truongtructuyen.vn
Các phương pháp giải bất phương trình mũ và lôgarit – P1
Nội dung
I. Phương pháp biến đổi chuyển về cùng một cơ số sau đó lôgarit
hoá hoặc mũ hoá
II. Phương pháp biến đổi và đặt ẩn phụ
III. Phương pháp đoán nghiệm và chứng minh tính đúng đắn của
nghiệm đó
Các phương pháp giải bất phương trình mũ và lôgarit – P1
Để giải bất phương trình mũ và lôgarit học sinh cần phải biết vận dụng
thành thạo các phép biến đổi về hàm số mũ và hàm số lôgarit; nắm vững
các tính chất đồng biến, nghịch biến của các hàm số đó. Ngoài ra còn phải
biết cách biến đổi tương đương các dạng bất phương trình cơ bản, bất
phương trình chứa căn thức…
Các phương pháp giải bất phương trình mũ và lôgarit – P1
Tóm tắt lý thuyết
1. Xét bất phương trình mũ dạng a
f(x)
> b (a > 0) ta có kết luận:
a) Nếu b ≤ 0 thì nghiệm của bất phương trình là ∀x ∈ D, với D là tập
xác định của f(x).
b) Nếu b > 0 thì bất phương trình tương đương với bất phương trình:
-
f(x) > log
a
b nếu a > 1

-
f(x) < log
a
b nếu 0 < a < 1
2. Xét bất phương trình mũ dạng a
f(x)
< b (a > 0) ta có kết luận:
a) Nếu b ≤ 0 thì bất phương trình vô nghiệm.
b) Nếu b > 0 thì bất phương trình tương đương với bất phương trình
-
f(x) > log
a
b nếu 0 < a < 1
1. f(x) < log
a
b nếu a > 1
Các phương pháp giải bất phương trình mũ và lôgarit – P1
Tóm tắt lý thuyết (tt)
3. Xét bất phương trình lôgarit dạng: log
a
f(x) > log
a
g(x) (a > 0, a ≠ 1), khi đó
a) Nếu a > 1 thì bất phương trình tương đương với hệ
b) Nếu 0 < a < 1 thì bất phương trình tương đương với hệ
Sau đây là các phương pháp giải bất phương trình mũ và lôgarit.
g(x) 0
f(x) g(x)
>



>

f(x) 0
f(x) g(x)
>


<

Các phương pháp giải bất phương trình mũ và lôgarit – P1
I. Phương pháp biến đổi chuyển về cùng một cơ số sau đó lôgarit hoá
hoặc mũ hoá
Ví dụ 1: Giải các bất phương trình mũ sau:
2
x 1 x 3 x 4 x 2 x x 1 x 2
x x 1 x 2 x 3 x x 1 x 2 x x 1
a) 7.3 5 3 5 b) 2 .3 .5 12
c) 5 5 5 5 7 7 7 d) 2 3
+ + + + − −
+ + + + + −
+ ≤ + >
+ + + > + + >
Các phương pháp giải bất phương trình mũ và lôgarit – P1
I. Phương pháp biến đổi chuyển về cùng một cơ số sau đó lôgarit hoá
hoặc mũ hoá (tt)
Ví dụ 1 (tt)
Bài giải
a) Chia hai vế của bất phương trình cho 5
x

> 0 ta được:

b) Bất phương trình được viết về dạng:
(2.3.5)
x
> 900 ⇔ 30
x
> 900 ⇔ x > 2
Vậy tập nghiệm của bất phương trình là S = (2 ; + ∞)
(
]
x x x x
3 3 3 5 5 5
21. 125 81. 25 x 1
5 5 5 3 3 3
V y t p nghi m c a b t ph ng trình l S ; 1
−
       
+ ≤ + ⇔ ≥ ⇔ ≥ ⇔ ≤ −
 ÷  ÷  ÷  ÷
       
= −∞ −
Ë Ë Ö ñ Ê ¬ µ
Các phương pháp giải bất phương trình mũ và lôgarit – P1
I. Phương pháp biến đổi chuyển về cùng một cơ số sau đó lôgarit hoá
hoặc mũ hoá (tt)
Ví dụ 1 (tt)
c) Bất phương trình được biến đổi thành:
( ) ( )
x 2 3 x 2

x
4
7
3
5
7
5
5 1 5 5 5 7 1 7 7
7 5 1 7 1 156 156
. x log
5 5 1 7 1 57 57
156
V y t p nghi m c a b t ph ng trình l S ; log
57
+ + + > + +
− −
 
⇔ < = ⇔ <
 ÷
− −
 
 
= −∞
 ÷
 
Ë Ë Ö ñ Ê ¬ µ
Các phương pháp giải bất phương trình mũ và lôgarit – P1
I. Phương pháp biến đổi chuyển về cùng một cơ số sau đó lôgarit hoá
hoặc mũ hoá (tt)
Ví dụ 1 (tt)

d) Lôgarit cơ số 2 cả hai vế của bất phương trình ta được:
x
2
> (x – 1)log
2
3 ⇔ x
2
– xlog
2
3 + log
2
3 > 0 (*)
Bất phương trình (*) có ∆ = (log
2
3)
2
– 4log
2
3 = log
2
3(log
2
3 – 4) < 0
(Vì log
2
3 > 0 và log
2
3 – 4 < 0) nên BPT (*) đúng với mọi giá trị của x.
Vậy tập nghiệm của bất phương trình là ∀x ∈ R.
Các phương pháp giải bất phương trình mũ và lôgarit – P1

I. Phương pháp biến đổi chuyển về cùng một cơ số sau đó lôgarit hoá
hoặc mũ hoá (tt)
Ví dụ 2: Giải các bất phương trình lôgarit sau:
( ) ( )
( )
2
5 1
4
2
1 1 1 1
7 7 4 4
2x 6 35 x 1
a) log 0 b) log
2x 1 x 2
2
c) log log 2 x d) log x 4 log x 2
x 1
− −
> > −
−
> − + > +
+
Các phương pháp giải bất phương trình mũ và lôgarit – P1
I. Phương pháp biến đổi chuyển về cùng một cơ số sau đó lôgarit hoá
hoặc mũ hoá (tt)
Ví dụ 2 (tt)
Bài giải
a) Do c s a 5 1 n n b t ph ng trình t ng g v i
2x 6 2x 6
1 1 0

2x 1 2x 1
5
0 2x 1 0
2x 1
1
x
2
1
V y nghi m c a b t ph ng trình l x
2
= >
− −
> ⇔ − >
− −
−
⇔ > ⇔ − <
−
⇔ <
<
¬ è ª Ê ¬ ¬ ®¬n í
Ë Ö ñ Ê ¬ µ
Cỏc phng phỏp gii bt phng trỡnh m v lụgarit P1
I. Phng phỏp bin i chuyn v cựng mt c s sau ú lụgarit hoỏ
hoc m hoỏ (tt)
Vớ d 2 (tt)
( )
( )
( )
2
2

1
2
2
2
2
2
2
1
b) M ho v i c s a 1 c hai v c a b t ph ng trỡnh ta c :
4
35 x
x 35 x 0, x 0
0
35 x 1
x
0 2
35 x
x 4
35 x
2 0
2
x
x
x 35
x 35 x 0, x 0
5 x 35
0 x 35
x x 2x 35 0
7 x
x 5

7 x 0

= <



>
<





< < =

ữ



>

<





<

>
< <

< <




+ >
<
>





< <


ũ á ớ ơ ố ả ế ủ ấ ơ đợ
( ) ( )
35
V y t p nghi m c a b t ph ng trỡnh l S 7 ; 35 5 ; 35


<


= ậ ậ ệ ủ ấ ơ à

Cỏc phng phỏp gii bt phng trỡnh m v lụgarit P1
I. Phng phỏp bin i chuyn v cựng mt c s sau ú lụgarit hoỏ
hoc m hoỏ (tt)
Vớ d 2 (tt)
( ) ( )
( )
2 2
1
c) M ho c hai v c a b t ph ng trỡnh theo c s 1 ta c :
7
2
x 2 0
2
0 2 x
x 1
x 1
x 1 0
2 x x 2x 2 x x
0 0
x 1 x 1
x 1 x 1
x x 1 x 1 0
0 x 1
x 1
V y nghi m c a b t ph ng trỡnh cho l S 0;1
<

+ <

< <

+

+

+ >


+ +
< <


+ +


> >


+ <

< <

>


=
ũ á ả ế ủ ấ ơ ơ ố đợ
ậ ệ ủ ấ ơ đã à
Cỏc phng phỏp gii bt phng trỡnh m v lụgarit P1
I. Phng phỏp bin i chuyn v cựng mt c s sau ú lụgarit hoỏ
hoc m hoỏ (tt)

Vớ d 2 (tt)
( ) ( )
2
2
1
d) M ho hai v c a b t ph ng trỡnh theo c s ta c :
4
x 2
x x 2 0
0 x 4 x 2
4 x 1
x 4
V y t p nghi m c a b t ph ng trỡnh cho l S 4; 1 2;
>

>

< + < +


< <
>


= +
ũ á ế ủ ấ ơ ơ ố đợ
ậ ậ ệ ủ ấ ơ đã à
Các phương pháp giải bất phương trình mũ và lôgarit – P1
I. Phương pháp biến đổi chuyển về cùng một cơ số sau đó lôgarit hoá
hoặc mũ hoá (tt)

Ví dụ 3: Giải các bất phương trình sau:
( )
( )
( )
2
7 7
log log x
x
2 3 4
1 1 1
3 9 3
a) 7 x 14
b) log log log 5x 1 0
c) log x 2log x 1 log 6
+ ≤
 
− >
 
+ − ≤
Cỏc phng phỏp gii bt phng trỡnh m v lụgarit P1
I. Phng phỏp bin i chuyn v cựng mt c s sau ú lụgarit hoỏ
hoc m hoỏ (tt)
Vớ d 3 (tt)
Bi gii
( )
( )
2
7
7 7 7
7 7 7

log x
log log x
x log x
log x log x log x
2
7 7 7
7
a) u ki n x 0
Tr c h t ta c 7 7 x
Do b t ph ng trỡnh cho c vi t v d ng :
x x 14 x 7
L y l garit c s 7 hai v ta c:
log x.log x 1 log x 1
1
1 log x 1 x 7 th a m n u ki n
7
V y n
>
= =
+


Điề ệ
ớ ế ó
đó ấ ơ đã đợ ế ề ạ
ấ ô ơ ố ế đợ
ỏ ã điề ệ
ậ
1
ghi m c a b t ph ng trỡnh l x 7

7
ệ ủ ấ ơ à
Các phương pháp giải bất phương trình mũ và lôgarit – P1
I. Phương pháp biến đổi chuyển về cùng một cơ số sau đó lôgarit hoá
hoặc mũ hoá (tt)
Ví dụ 3 (tt)
( )
( )
( ) ( )
2 3 4
3 4 4
3
b) Ta c log log log 5x 1 0
log log 5x 1 1 log 5x 1 3
65
5x 1 4 x 13
5
V y nghi m c a b t ph ng trình l 13.
 
− >
 
 
⇔ − > ⇔ − >
 
⇔ − > ⇔ > =
>
ã
Ë Ö ñ Ê ¬ µ x
Các phương pháp giải bất phương trình mũ và lôgarit – P1
I. Phương pháp biến đổi chuyển về cùng một cơ số sau đó lôgarit hoá

hoặc mũ hoá (tt)
Ví dụ 3 (tt)
( )
( )
( )
( )
2
3 9 3
3 3
3
3 3 3
2
3 3
c) Ð u ki nx 1
B t ph ng trình c vi t v d ng:
log x 2log x 1 log 6
log x 2log x 1 log 6
log x log x 1 log 6
log x x 1 log 6 x x 6 0
x 3
x 2
K t h p v i u ki n ta c nghi m c a b t ph ng trình l x 3.
>
− − − ≤ −
⇔ − − − ≤ −
⇔ + − ≥
⇔ − ≥ ⇔ − − ≥
≥

⇔


≤ −

≥
iÒ Ö
Ê ¬ ®î Õ Ò ¹
Õ î í ®iÒ Ö ã Ö ñ Ê ¬ µ
Các phương pháp giải bất phương trình mũ và lôgarit – P1
I. Phương pháp biến đổi chuyển về cùng một cơ số sau đó lôgarit hoá
hoặc mũ hoá (tt)
Ví dụ 4: Tìm các giá trị của x thoả mãn: log
2x+3
x
2
< log
2x+3
(2x + 3)
Các phương pháp giải bất phương trình mũ và lôgarit – P1
I. Phương pháp biến đổi chuyển về cùng một cơ số sau đó lôgarit hoá
hoặc mũ hoá (tt)
Ví dụ 4 (tt)
Bài giải
( )
2 2
2
x 0
x 0;x 1
Ð u ki n 2x 3 0
3
x

2x 3 1
2
Xét 2x 3 1, khi b t ph ng trình t ng ng v i h :
2x 3 1 x 1, x 0
x 0
1
1 x 3
0 x 2x 3 x 2x 3 0
Xét 0 2x 3 1, khi b t ph ng trình cho t ng ng v i h :
x
≠

≠ ≠ −

 
+ > ⇔
 
> −
 
+ ≠


+ >
+ > > − ≠
≠ 

⇔ ⇔
  
− < <
< < + − − <


 
< + <
>
iÒ Ö
®ã Ê ¬ ¬ ®¬ í Ö
®ã Ê ¬ ®· ¬ ®¬ í Ö
( )
2x 3
*
0 2x 3 1

+

< + <

Các phương pháp giải bất phương trình mũ và lôgarit – P1
I. Phương pháp biến đổi chuyển về cùng một cơ số sau đó lôgarit hoá
hoặc mũ hoá (tt)
Ví dụ 4 (tt)
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
2 2
x 3
V i x 2x 3 x 2x 3 0
x 1
x 1
3
V i 0 2x 3 1 x 1

3
2
x
2
3
V y t h * suy ra x 1 2
2
T 1 , 2 v u ki n suy ra t p nghi m c a b t ph ng trình l
3
S ; 1 1; 0 0; 3
2
>

> + ⇔ − − > ⇔

< −

< −


< + < ⇔ ⇔ − < < −

> −


− < < −
 
= − − ∪ − ∪
 ÷
 

í
í
Ë õ Ö
õ µ ®iÒ Ö Ë Ö ñ Ê ¬ µ :
Các phương pháp giải bất phương trình mũ và lôgarit – P1
I. Phương pháp biến đổi chuyển về cùng một cơ số sau đó lôgarit hoá
hoặc mũ hoá (tt)
Ví dụ 5:
x 4 2
2
2x 1
Gi i b t ph ng trình: log log 0
x 3
+
−
 
<
 ÷
+
 
¶ Ê ¬
Các phương pháp giải bất phương trình mũ và lôgarit – P1
I. Phương pháp biến đổi chuyển về cùng một cơ số sau đó lôgarit hoá
hoặc mũ hoá (tt)
Ví dụ 5 (tt)
Bài giải
Kết hợp với điều kiện x > –2 suy ra trong trường hợp này nghiệm của bất
phương trình là x > 4.
2
x 4

a) Xét tr ng h p 1 x 2
2
2x 1
Khi b t ph ng trình cho t ng ng v i 0 log 1
x 3
M ho c s c c v b t ph ng trình ta c :
2x 1 2x 1 7
2 2 0 0
x 3 0
x 3 x 3 x 3
2x 1 2x 1 x 4 x 4
1 1 0 0
x 3 x 3 x 3
+
> ⇔ > −
−
< <
+
− − −
  
< − < <
  
+ >
  
+ + +
⇔ ⇔ ⇔
  
− − − −
  
> − > >

  
+ + +
  
ê î
®ã Ê ¬ ®· ¬ ®¬ í
ò ¸ ¬ è 2 ¸ Õ Ê ¬ ®î
x 4
0

⇔ >

>

Các phương pháp giải bất phương trình mũ và lôgarit – P1
I. Phương pháp biến đổi chuyển về cùng một cơ số sau đó lôgarit hoá
hoặc mũ hoá (tt)
Ví dụ 5 (tt)
Kết hợp với điều kiện suy ra nghiệm của bất phương trình trong trường hợp
này là –4 < x < –3.
Vậy tập nghiệm của bất phương trình đã cho là: S = (–4 ; –3) ∪ (4 ; +∞)
2
x 4
b) X t tr ng h p 0 1 4 x 2
2
2x 1
Khi b t ph ng trình cho t ng ng v i : log 1
x 3
2x 1 7
M ho c s hai v ta c : 2 0 x 3 0 x 3
x 3 x 3

+
< < ⇔ − < < −
−
>
+
− −
> ⇔ > ⇔ + < ⇔ < −
+ +
Ð ê î
®ã Ê ¬ ®· ¬ ®¬ í
ò ¸ ¬ è 2 Õ ®î
Các phương pháp giải bất phương trình mũ và lôgarit – P1
II. Phương pháp biến đổi và đặt ẩn phụ
Ví dụ 6: Giải bất phương trình:
( )
( )
( ) ( ) ( )
x
x
3
4 1
x x x
5
a) log 4 1 log 3
2
b) 26 15 3 2 7 4 3 2 2 3 1
+
+ + >
+ + + − − <