Luyện tập về tứ giác nội tiếp

Kiểm tra bài cũ :
Phát biểu định nghĩa , định lý về tứ giác nội tiếp ?
Hóy chn khng nh sai. Mt t giỏc ni tip c nu:
A. T giỏc cú gúc ngoi ti mt nh bng gúc trong ca nh i
din.
B. T giỏc cú 4 nh cỏch u mt im.
C. T giỏc cú hai nh liờn tip cựng nhỡn cnh cha hai nh cũn
li di mt gúc .
D. T giỏc cú tng hai gúc bng 180
0
.
Em hãy nêu các cách chứng minh 1 tứ giác là
tứ giác nội tiếp?

Luyện tập về tứ giác nội tiếp
I) Lý thuyết :
1. Một số cách chứng minh tứ giác ABCD là tứ giác nội tiếp
Cách 1 : Chứng minh OA = OB = OC = OD = R
=> 4 đỉnh tứ giác cùng thuộc đ ờng tròn (O;R)
Cách 2 : Tứ giác có góc ngoài tại một đỉnh bằng góc trong
tại đỉnh đối của đỉnh đó
Cách 3 : Chứng minh tứ giác có tổng hai góc đối bằng 180
0
Cách 4 : Chứng minh 2 đỉnh liên tiếp của tứ giác cùng nhìn
đoạn thẳng nối 2 đỉnh còn lại d ới 1 góc


C¸ch 4 : Chøng minh 2 ®Ønh liªn tiÕp cña tø gi¸c cïng
nh×n ®o¹n th¼ng nèi 2 ®Ønh cßn l¹i d íi 1 gãc
α

α
α
A
D
B
C
α
α
A
C
B
D
Tø gi¸c ABCD néi tiÕp
Tø gi¸c ABCD kh«ng néi tiÕp

Luyện tập về tứ giác nội tiếp
I) Lý thuyết :
1. Một số cách chứng minh tứ giác ABCD là tứ giác nội tiếp
Cách 1 : Chứng minh OA = OB = OC = OD = R
=> 4 đỉnh tứ giác cùng thuộc đ ờng tròn (O;R)
Cách 2 : Tứ giác có góc ngoài tại một đỉnh bằng góc trong
tại đỉnh đối của đỉnh đó
Cách 3 : Chứng minh tứ giác có tổng hai góc đối bằng 180
0
Cách 4 : Chứng minh 2 đỉnh liên tiếp của tứ giác cùng nhìn
đoạn thẳng nối 2 đỉnh còn lại d ới 1 góc

2. Định lí: Trong một tứ giác nội tiếp, tổng số đo hai góc đối
nhau bằng
0

180

II) Luyện giải bài tập :
1. Dạng 1: Chứng minh tứ giác nội tiếp:
Bài tập 58 (SGK/90)
a ) Tứ giác ABDC là tứ giác nội tiếp
b) Tìm tâm đ ờng tròn đi qua
4 điểm A, B, D, C.
GT đều , DB = DC ;
KL
ABC
ả
à
2 1
1
2
C C=
2
1
1
2
/
/
C
B
A
D
Tam giác đều có
tính chất gì ?
Dự đoán chứng minh tứ giác ABDC nội tiếp

bằng cách nào ?

2
1
1
2
/
/
C
B
A
D
Bài tập 58 T 90 SGK
a ) Tứ giác ABDC là tứ giác nội tiếp
b) Tìm tâm đ ờng tròn đi qua
4 điểm A, B, D, C.
GT đều , DB = DC ;
KL
ABC
ả
à
2 1
1
2
C C=
Chứng minh :
a) Tam giác ABC đều =>
à
à
0

1 1
6 (1)0B C= =
BDC cân tại D ( do DB = DC )
=>

ả
ả
2 2
B C=
ả
à
ả
ả
0 0 0
2 1 2 2
1 1
60 30 (30
2
2
2
)C C B C= = = => = =
Mà
Từ (1) và (2) =>
à
ả
à
ả
ã
ã
0

1 2 1 2
90B B C C ABD ACD+ = + = = =
=> B ; C thuộc đ ờng tròn đ ờng kính AD
( Theo kết luận của bài toán quỹ tích )
=> 4 điểm A , B , D,C thuộc đ ờng tròn hay tứ giác
ABDC nội tiếp đ ờng tròn đ ờng kính AD.
b) Tâm O của đ ờng tròn đi qua 4 điểm A, B, D, C là trung điểm
đoạn thẳng AD
O

Bài tập 59 (SGK/90)
1
2
1
P
O
B
A
C
D
GT Hình bình hành ABCD, đ ờng tròn
đi qua 3 điểm A, B, C cắt đ ờng thẳng
CD tại P
KL AP = AD
Nếu AP = AD thì tam
giác ADP có gì đặc biệt ?
Dự đoán cách chứng minh tam giác ADP
cân trong bài này ?
Chứng minh :
2. Dạng 2: Sử dụng tứ giác nội tiếp giải các bài toán hình học

Bài tập 59 T 90 SGK
1
2
1
P
O
B
A
C
D
GT Hình bình hành ABCD , đ ờng tròn
đi qua 3 điểm A ; B ; C cắt đ ờng thẳng
CD tại P
KL AP = AD
Chứng minh :
Vì ABCP là tứ giác nội tiếp

(Hai góc đối của tứ giác nội tiếp)
à
à
0
2
180B P + =
à
à
0
1 2
180P P+ =
Mà ( Hai góc kề bù ) =>

à
à
1
(1)B P=
* Do ABCD là hình bình hành (2 góc đối) (2)
à
à
D B =
Hỏi thêm: Tứ giác ABCP là hình gì ?
* Có AB // DC (do ABCD là hình bình hành) nên AB // PC .
=> Tứ giác ABCP là hình thang .
Có (so le trong) .Mà (chứng minh trên)
à
à
1 1
A P=
à
à
1
B P=
à
à
1
A B =
Vậy ABCP là hình thang cân (hình thang có 2 góc kề 1 đáy bằng nhau).
Từ (1) và (2) nên ADP cân tại A => AD = AP .
à
à
1
P D =

20
40

C
B
D
O
F
E
A
Bài tập 56 T 89 SGK: Cho hình vẽ
Tìm số đo các góc của tứ giác ABCD ?
Giải :
x
x
*Theo tính chất góc ngoài của tam giác :
ã
ã
BCE DCF x= =
Gọi
( hai góc đối đỉnh )
Tìm mối liên hệ giữa với nhau và với x ?
ã
ã
;ABC ADC
ã
ã
ã

ã
0
0
0
40
60 2
20
ABC x
ABC ADC x
ADC x

= +

+ = +

= +


* ABCD là tứ giác nội tiếp
ã
ã
0
180ABC ADC + =
(1)
(2)
Từ (1) và (2) có 60
0
+ 2x = 180
0

Vậy x = ?
=> 2x = 120
0
=> x = 60
0
Vậy trong tứ giác ABCD có :
ã
ã
ã
ã
à
0 0 0
0 0 0
0 0 0 0
0 0 0 0
40 60 100
180 100 80
180 180 60 120
180 180 120 60
ABC
ADC
BCD x
BAD C
= + =
= =
= = =
= = =
Tính tiếp các góc của tứ giác ABCD ?

1 . Häc thuéc §N, tÝnh chÊt cña tø gi¸c néi

tiÕp, c¸c c¸ch chøng minh 1 tø gi¸c lµ tø gi¸c
néi tiÕp
2 . Hoµn thiÖn BT 56 (SGK/90)
Lµm bµi 60 (SGK/90); 40 ; 41 ; 42 (SBT)
3. T×m hiÓu kiÕn thøc: ® êng trßn ngo¹i tiÕp, ®
êng trßn néi tiÕp ®a gi¸c.
H íng dÉn vÒ nhµ

1. Để CM một tứ giác là tứ giác nội tiếp ta sử dụng một
trong 4 cách trên (phần lý thuyết)
2. Khi đã có đ ợc một tứ giác nội tiếp hoặc đã chứng
minh đ ợc một tứ giác nội tiếp ta có thể suy ra:

Các cặp góc đối bù nhau

Các cặp góc nội tiếp cùng chắn một cung bằng nhau


Đó chính là lợi ích của tứ giác nội tiếp để thực hiện các
yêu cầu khác của bài toán hình học.



Luật chơi

Chia lớp thành 2 đội chơi.

Mỗi đội chơi lần l ợt trả lời câu hỏi trong ô từ
1 đến 5 (thời gian suy nghĩ có trong câu hỏi).
Nếu trả lời đúng sẽ chơi tiếp. Nếu sai nh ờng

quyền chơi cho đội bạn.

Trên đ ờng đi có thể gặp ô may mắn đ ợc chơi
tiếp.

Đội nào giành đ ợc sao hoặc nếu hết giờ đội
nào đi đ ợc nhiều hơn sẽ chiến thắng

1
2
3
4
5
1
2
3
4
5
1
2

ChiÕn th¾ng !

T×m chç sai trong c©u sau:
Trong mét tø gi¸c néi tiÕp, tæng sè ®o
hai gãc b»ng 180
0
1 2 3 4 5

Chóc mõng !

Cho hình vẽ . Hãy tìm trên hình vẽ các tứ giác nội tiếp?
Bài tập:

Các tứ giác nội tiếp có trong hình
vẽ là:
AEHF , BFEC.
I
H
F
A
B
C
E
O
3
6 9
12 15

1 2 3 4 5
Bài tập: Cho hình bên, biết
Tính:
·
0
30BAC =
·
0
40BCA =
B
C

D
A
O
30
0
40
0
·
?ADC =
§¸p ¸n:
0
70

3
6 9
12
15
C©u sau ®óng hay sai?
H×nh ch÷ nhËt néi tiÕp ® îc trong mét ® êng trßn.
§¸p ¸n: §óng

3
6 9
12
15
Kh¼ng ®Þnh sau ®óng hay sai?
H×nh vu«ng néi tiÕp ® îc trong mét ® êng
trßn.
§¸p ¸n: §óng

Bài tập trắc nghiệm : Đ hay S ?
Tứ giác ABCD nội tiếp đ ợc trong đ ờng tròn
nếu có một trong các điều kiện sau ?
ã
ã
ã
ã
ã
ã
ã
ã
0
0
0
0
) 180
) 40
) 120
) 90
a BAD BCD
b ABD ACD
c ABC ADC
d ABC ADC
+ =
= =
= =
= =
A
C
D

B
Đ
40

40

C
A
D
B
Đ
S
C
A
B
D
Đ
120

120

C
A
B
D
e) ABCD là hình chữ nhật.
f) ABCD là hình bình hành.
g) ABCD là hình thang cân.
h) ABCD là hình vuông.
Đ

S
Đ
Đ

Cách 2:
Tứ giác ABCP nội tiếp (O)
AB//CP ( cạnh đối hbh)
Suy ra tứ giác ABCP là hình thang cân
(Hình thang cân nội tiếp được trong đường tròn)
Suy ra AP = BC = AD