skkn rèn luyện kỹ năng vận dụng bất đẳng thức bcs trong bồi dưỡng học sinh giỏi thpt yên định 2

I.ĐẶT VẤN ĐỀ
Lý do chọn đề tài:
Bồi dưỡng nhân tài, phát triển nguồn nhân lực là nhiệm vụ vô cùng
quan trọng mà Đảng và Nhà nước giao cho ngành Giáo dục. Vì lẽ đó
Bộ Giáo dục & Đào Tạo nói chung, các trường THPT nói riêng luôn
quan tâm đến việc phát hiện, bồi dưỡng học sinh khá, giỏi. Trong
những năm gần đây số lượng và chất lượng giải trong các kì thi học
sinh giỏi ngày càng tăng chính là kết quả của sự đầu tư, quan tâm của
các cấp quản lí giáo dục. Đối với môn Toán, một trong những môn
học quan trọng nhất thì việc bồi dưỡng học sinh khá, giỏi càng được
xem trọng hơn.
Chủ đề “Bất đẳng thức” là nội dung không thể thiếu trong việc bồi
dưỡng học sinh khá, giỏi. Trong các kì thì Đại học – Cao Đẳng, nội
dung bất đẳng thức thường là nội dung giúp phân loại, chọn lựa học
sinh khá, giỏi. Đối với hầu hết giáo viên và học sinh THPT đều xem
“Bất đẳng thức” là nội dung khó dạy, khó học nhất. Tuy nhiên nếu học
sinh học tốt chủ đề “Bất đẳng thức” thì sẽ phát huy tốt khả năng tư
duy sáng tạo từ đó học tốt các chủ đề khác, môn học khác. Thực tiễn
qua quá trình dạy học tôi nhận thấy rằng nhiều học sinh không thích
học chủ đề “Bất đẳng thức” chủ yếu do chưa có phương pháp học tập
phù hợp cộng với tâm lý ngại và sợ học nội dung này.
Bất đẳng thức Bunhiacopxki là một trong những bất đẳng thức
kinh điển của Toán học. Sử dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki là một
công cụ rất hay, hữu hiệu để giải quyết nhiều bài toán liên quan đến
bất đẳng thức. Học sinh THPT thường yếu ở kĩ năng vận dụng bất
đẳng thức Bunhiacopxki nên việc tăng cường rèn luyện kĩ năng vận
dụng bất đẳng thức này cho học sinh là việc làm rất thiết thực.
Những lí do nêu trên cùng với những kết quả tích cực từ thực tiễn dạy
học chủ đề “Bất đẳng thức” của bản thân là cơ sở để tôi đã chọn đề tài
nghiên cứu: “Rèn luyện kĩ năng vận dụng bất đẳng thức
Bunhiacôpxki trong bồi dưỡng học sinh khá, giỏi THPT”

.
II. GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ
1. Cơ sở lí luận của đề tài.
a. Các tính chất cơ bản của bất đẳng thức.
1/ a > b và b > c
⇒
a > c.
1
2/ a > b
⇒
a + c > b +c.
Hệ quả: a > b + c
⇔
a - c > b.
3/ a > b và c > d
⇒
a + c > b + d.
4/ a > b
⇔
ac > bc ( nếu c > 0 ); hoặc ac < bc ( nếu c < 0 ).
5/ a > b > 0 bà c > d > 0
⇒
ac > bd.
6/ a > b > 0, n nguyên dương
⇒

n
a
>

n
b
.
7/ a > b > 0, n nguyên dương
n
a⇒
>
n
b
.
Hệ quả: a > b ≥ 0:
aba ⇔≥
22
≥
bab ≥⇔
.
8/ a > b, ab > 0
a
1
⇒
<
b
1
.
9/ + a > 1, m và n nguyên dương, m > n
m
a⇒
>
n
a

.
+ 0 < a < 1, m và n nguyên dương, m > n
⇒

m
a
<
n
a
.
b. Bất đẳng thức Bunhiacopxki
* Bất đẳng thức Bunhiacopxki dạng đơn giản nhất.
Cho 4 số dương a, b, c, d khi đó ta có bất đẳng thức:
))(()(
22222
dbcacdab
++≤+
(1)
Dấu “=” xảy ra khi ad = bc
* Bất đẳng thức Bunhiacopxki với hai dãy số không âm.
Cho hai dãy số không âm a
1
,a
2
,…và b
1
,b
2
,…b
n

. khi đó ta có:
(a
1
b
1
+ a
2
b
2
+ …+ a
n
b
n
)
2

≤
(a
1
2
+a
2
2
+ …+ a
n
2
)(b
1
2
+b

2
2
+ …+b
n
2
) (2)
Dấu bằng xẩy ra
⇔
n
n
b
a
b
a
b
a
===
2
2
1
1
(với quy ước nếu mẫu bằng 0 thì tử
bằng 0).
c. Bất đẳng thức Bunhiacovski mở rộng:
Cho m dãy số thực không âm, trong mỗi dãy có n phần tử:









ccc
bbb
aaa
n
n
n
,, ,

,, ,
,, ,
21
21
21
m dãy
Khi đó ta có bất đẳng thức sau:
( )
m
nnn
cbacbacba

222111
+++
≤
( )
aaa
m
n

mm
+++
21
( )
bbb
m
n
mm
+++
21
…
( )
ccc
m
n
mm
+++
21
(3)
Dấu đẳng thức xẩy ra khi và chỉ khi:
a
1
: b
1
:…:c
1
= a
2
: b
2

:…: c
2
=…= a
n
: b
n
:…: c
n
Nhận xét: Bằng cách cho m;n một giá trị cụ thể ta thu được:
2
+ Với m=2; n=2 thì:
( )
2
2211
baba
+
≤
( )
aa
2
2
2
1
+
( )
bb
2
2
2
1

+
Dạng (1)
+ m=2; n
∈
N và n>2 ta có bất đẳng thức:
( )
2
2211

bababa
nn
+++
≤
( )
aaa
n
22
2
2
1
+++
( )
bbb
n
22
2
2
1
+++

⇒
Dạng
(2)
+ m=3; n=3 ta có:
( )
3
333222111
cbacbacba
++
≤
( )
aaa
3
3
3
2
3
1
++
( )
bbb
3
3
3
2
3
1
++
( )
ccc

3
3
3
2
3
1
++

(4)
…………………………………
2. Thực trạng của đề tài:
Qua quá trình thực tiễn dạy học tôi nhận thấy rằng khi dạy học
chủ đề “Bất đẳng thức” nói chung, dạy học bất đẳng thức
Bunhiacopxki nói riêng có thực trạng như sau:
+ Đa số học sinh rất ngại thậm chí “sợ” khi giải toán bất đẳng
thức. Từ tâm lý ngại và sợ đó dẫn đến tình trạng học sinh không quyết
tâm khi học chủ đề “ Bất đẳng thức”, nhiều học sinh cứ gặp bài toán
bất đẳng thức là bỏ, không chịu tư duy để giải toán.
+ Việc áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki của học sinh đa số
mới chỉ dừng lại ở mức nhận biết, rất ít học sinh thuần thục kỹ năng
và sáng tạo khi vận dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki vào giải toán.
+ Nhiều thầy cô giáo chưa thực sự quan tâm và đầu tư khi dạy
học chủ đề “Bất đẳng thức” nói chung, dạy học bất đẳng thức
Bunhiacopxki nói riêng.
+ Bất đẳng thức Bunhiacopxki không được dạy trong chương
trình SGK, chỉ giới thiệu ở dạng đơn giản nhất (dạng (1)) hơn nữa số
tiết theo phân phối chương trình dành cho chủ đề “ Bất đẳng thức” rất
ít nên ảnh hưởng không nhỏ đến việc dạy học chủ đề này.
+ Chủ đề “ Bất đẳng thức” thường dành ưu tiên đề bồi dưỡng
học sinh khá, giỏi nên rất khó để giáo viên tổ chức dạy học ở những

lớp có nhiều đối tượng học sinh.
3.Giải pháp và tổ chức thực hiện.
Khi dạy học chủ đề “bất đẳng thức” cho học sinh tôi đã dành một
phần thời lượng chương trình để tập trung rèn luyện kĩ năng vận dụng
bất đẳng thức Bunhiacôpxki cho học sinh. Tùy theo năng lực của mỗi
3
học sinh cũng như tập thể học sinh để tôi chuẩn bị giáo án phù hợp.
Các bài tập để học sinh vận dụng bất đẳng thức Bunhiacôpxki tôi soạn
theo 3 mức đó là:
Mức độ 1: Dành cho học sinh đại trà, học sinh khá. Các bài tập
này chủ yếu dừng ở mức độ nhận biết, giúp học sinh bước đầu biết
cách vận dụng lí thuyết để giải bài tập.
Mức độ 2: Dành cho học sinh khá, giỏi. Các bài tập ở mức thông
hiểu, để giải được các bài tập này học sinh ngoài việc phải nắm trắc
những kiến thức cơ bản còn phải biết linh hoạt sử dụng nhiều kiến
thức, kĩ năng toán học khác.
Mức độ 3: Dành cho những học sinh giỏi. Các bài tập ở mức cao
hơn đòi hỏi học sinh phải phát huy tốt tư duy toán học, để giải các bài
tập này ngoài kiến thức toán học vững vàng học sinh thường phải sử
dụng nhiều hoạt động toán học như phán đoán, phân tích, biến đổi, so
sánh, tổng hợp, khái quát…
Với các mức độ bài tập như trên tôi đã áp dụng vào thực tiễn dạy
học thông qua những giải pháp cụ thể sau:
3.1.Giải pháp 1: Rèn luyện kĩ năng vận dụng bất đẳng thức
Bunhiacôpxki trong chứng minh bất đẳng thức:
Ví dụ 1: Bài tập ở mức độ 1.
Cho 3 số dương a, b, c với a, b
≤
c. Chứng minh:
cacbbca

≤−+−
)()(

Lời giải: Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacôpxki ( dạng (1)) cho các bộ
số
);( aca
−
và
);( bbc
−
ta có:
22
))()(( cacbbca
≤−+−

⇒

đpcm
Ví dụ 2: Bài tập ở mức độ 2. ( Đề thi ĐH - CĐ khối A - năm 2003)
Cho x, y, z > 0 thỏa món : x + y + z
≤
1. Cmr:
P =
2
2
2
2
2
2
111

z
z
y
y
x
x
+++++
82
≥
Lời giải:
Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacôpxki cho các bộ số
)
1
;(
x
x
và (1; 9) ta
có:
)
1
.(82)
9
(
2
22
x
x
x
x
+≤+

tương tự ta có:
4
)
1
.(82)
9
(
2
22
y
y
y
y
+≤+
;
)
1
.(82)
9
(
2
22
z
z
z
z
+≤+
. Cộng vế với vế ta được:
P.
zyx

999
82
++≥
+ x+ y+ z
≥++−+++++≥
)(80)
111
(9)(81 zyx
zyx
zyx
≥−++++
80)
111
)((3.9.2
zyx
zyx
162 - 80 = 82
⇒
đpcm
Ví dụ 3: Bài tập ở mức độ 3.
a. Cho a;b;c là ba số dương
Chứng minh rằng:
1
222
≥
+
+
+
+
+ ba

c
ac
b
cb
a

b. Cho a;b;c>0;m nguyên dương và p;q>0
Chứng minh rằng:
( )
( )
2
1
3.
−
−
+
++
≥
+
+
+
+
+
=
m
m
mmm
qp
cba
qbpa

c
qapc
b
qcpb
a
N
Lời giải: a. Áp dụng bất đẳng thức (4)
Ta có (a+b+c)
3
=
3
3
3
3
3
3
3
3
3
3
).)2(.
2
.)2(.
2
.)2(.
2
( cbac
ba
c
bacb

ac
b
acba
cb
a
+
+
++
+
++
+

≤
).
222
(
ba
c
ac
b
cb
a
+
+
+
+
+
(ab+2ac+bc+2ab+ac+2bc).(a+b+c)
Chia hai vế cho: 3(ab+bc+ac).(a+b+c) , ta được:

ba
c
ac
b
cb
a
222 +
+
+
+
+
)(3
)(
2
acbcab
cba
++
++
≥

Hiển nhiên ta có : (a+b+c)
2
)(3 acbcab ++≥
do đó:

1
)(3
)(
2
≥

++
++
acbcab
cba

Từ đó suy ra:
1
222
≥
+
+
+
+
+ ba
c
ac
b
cb
a
(đpcm)
5
Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi: a=b=c
Sau khi cho học sinh giải bài tập giáo viên nên đặt câu hỏi, dẫn dắt để
học sinh hiểu rằng bất đẳng thức ở câu b thực chất là bất đẳng thức
tổng quát của bất đẳng thức đã chứng minh ở ý a.
b. Ta có: (a+b+c)
m
=
( )( ) ( )
  


2
222
111 111.
1 1.11 1.11 1.1
−
−−−
+++++++++
≤








+
+
++
+
++
+
m
m
m
m
m
m
m

m
m
m
m
qbpaqapcqcpbN
qbpa
qbpa
c
qapc
qapc
b
qcpb
qcpb
a
Suy ra: (a+b+c)
m
≤
N.
( )
qp +
( )
2
3.
−
++
m
cba
mà a+b+c > 0
Cho nên: N
≥

( )
( )
2
1
3.
−
−
+
++
m
m
qp
cba
(đpcm)
Dấu bằng xẩy ra khi và chỉ khi: a = b = c
Nhận xét: Việc tham số hoá trở lại thích hợp ta có một loại các bài
toán mới:
m =1;p=1;q=1:
cb
a
+
+
ac
b
+
+
2
3
≥
+ ba

c
m=1; p = 1; q = 2:
cb
a
2+
+
ac
b
2+
+
1
2
≥
+ ba
c
m =3; p = 2; q =
abc
1
:
+
+12
2
4
ab
ba
+
+12
2
4
bc

cb
12
2
4
+ca
ac
3
.
12
)(
2
abc
abc
cba
+
++
≥
p=q=1;m
∗
∈ N
:
1
3
.
2
3
−







++
≥
+
+
+
+
+
m
mmm
cba
ba
c
ac
b
cb
a

Ví dụ 4 : Bài tập ở mức độ 3.
a. Cho a,b,c >0 . CMR:
ac
b
cb
a
+
+
+
22

+
2
2
cba
ba
c ++
≥
+
6
b. Cho a,b,c>0 và
321
,, kkk
là các tham số dương
CMR:
ckbkak
cba
bka
c
akc
b
ckb
a
)1()1()1(
)(
132
2
3
2
2
2

1
2
+++++
++
≥
+
+
+
+
+

Lời giải:
a. Ta có:
( )
≤






+
+
++
+
++
+
=++
2
2

ba
ba
c
ac
ac
b
cb
cb
a
cba


≤
(
cb
a
+
2
+
ac
b
+
2
+
)
2
ba
c
+
.(b+c+c+a+a+b)

Hay
cb
a
+
2
+
ac
b
+
2
+
ba
c
+
2
2
cba ++
≥
(đpcm)
Nhận xét:
 Bất đẳng thức trên có thể chứng minh bằng nhiều cách .
 Tham số hoá bất đẳng thức trong câu a ta được bài toán tổng
quát chính là bất đẳng thức ở câu b.
b.
( )
≤









+
+
++
+
++
+
=++
2
3
3
2
2
1
1
2
bka
bka
c
akc
akc
b
ckb
ckb
a
cba

≤

)).((
321
3
2
2
2
1
2
bkakckcba
bka
c
akc
b
ckb
a
+++++
+
+
+
+
+
Suy ra (a+b+c)
2
≤

( )
ckbkak

bka
c
akc
b
ckb
a
)1()1()1().(
132
3
2
2
2
1
2
+++++
+
+
+
+
+
Vậy

ckbkak
cba
bka
c
akc
b
ckb
a

)1()1()1(
)(
132
2
3
2
2
2
1
2
+++++
++
≥
+
+
+
+
+
(đpcm)
7
Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi:



==
==
321
kkk
cba

3.2.Giải pháp 2: Rèn luyện kĩ năng vận dụng bất đẳng thức
Bunhiacôpxki khi giải bài toán tìm min, max ; tìm giá trị nhỏ nhất
(GTNN), giá trị lớn nhất (GTLN).
Ví dụ 5:
a. Bài tập mức độ 1.
Cho a; b > 0 và a+b=
4
5
. Tìm Min của biểu thức: S =
+
a4
1
b
4
b. Bài tập mức độ 2.
Cho a;b>0; a-b=1 và X;Y>0; X+Y=
b
a
. Chứng minh rằng:
a
bYX
b
≥+
1
Lời giải:
a. Do a;b > 0 nên áp dụng bất đẳng thức (1) cho 2 dãy:

;
2
1

a

b
2
và
a
;
b
ta được:

4
25
=
2
2
2
1






+ b
b
a
a
≤
(
+

a4
1
b
4
)(a+b)
Hay:
4
25
≤
(
+
a4
1
b
4
)
4
5
(vì a+b =
4
5
)
Suy ra: S=
+
a4
1
b
4
≥
5

Dấu bằng xẩy ra khi và chỉ khi:





=
=
⇔









>
=+
=
1
4
1
0;
4
5
:
2
:

2
1
b
a
ba
ba
b
b
a
a

Vậy MinS = 5 khi a =
4
1
; b = 1
8
b. Vận dụng bất đẳng thức (1) cho 2 dãy:

;
1
bY
X
b
và
Y
;
X
ta được:

( )

b
b
2
1+
=
2
1








+ X
X
b
Y
bY
≤

( )
YX
X
b
bY
+







+
1
Hay:
( )
b
b
2
1+
≤

b
a
X
b
bY






+
1
(do a=1+b)
Suy ra:
a

bYX
b
≥+
1
(đpcm)
Dấu bằng xẩy ra khi và chỉ khi:





=
=
⇔









>
=+
=
b
Y
X
YX

b
a
YX
X
X
b
Y
bY
1
1
0;
::
1
Ví dụ 6 : Bài tập mức độ 3.
Cho x>1;y>2 và x+y=
6
25
Tìm giá trị nhỏ nhất của S =
2
6
)1(6
1
−
+
− yx
Lời giải: Ta có x+y=
6
25
⇒
(x-1)+(y-2)=

6
7
và x>1;y>2 nên x-1>0;y-
2>0
Áp dụng bất đẳng thức(1) cho 2 dãy:
2
6
;
)1(6
1
−− yx
và
2;1 −− yx

ta được:
( )
)2()1(
2
6
)1(6
1
2
2
6
1
)1(6
1
6
49
2

−+−








−
+
−
≤








−
−
+−
−
= yx
yx
y
y
x

x

Hay
6
7
.
6
49
S≤

7≥⇒ S

9
Dấu “=” xẩy ra khi và chỉ khi :





=
=
⇔










>>
=+
=
−
−
3
6
7
2;1
6
25
6
1
2
1
y
x
yx
yx
y
x

Vậy MinS=7 khi x=
6
7
;y=3
3.3.Giải pháp 3: Rèn luyện kĩ năng vận dụng bất đẳng thức
Bunhiacôpxki để giải phương trình, hệ phương trình, bất phương
trình.

Ví dụ 7 : Bài tập mức độ 1.
Giải phương trình:
141232532
2
+−=−+−
xxxx
Lời giải :
Giải phương trình:

( )
2
2
2 3 5 2 3 12 14
2 3 5 2 3 2 2
x x x x
x x x
− + − = − +
⇔ − + − = − +
ĐK:
2 3 0
1,5 2,5
5 2 0
x
x
x
− ≥

⇔ ≤ ≤

− ≥


Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacốpxki cho hai bộ số không âm (1:1) và
(
2 3x
−
:
5 2x−
) ta có:
( )
( )
( ) ( )
2 2 2
2 2
2 3 5 2 1 1 2 3 5 2 2.2 4x x x x
 
− + − ≤ + − + − ≤ =
 
 

⇒

2 3 5 2 2 2 3 5 2 0x x Do x x
− + − ≤ − + − >
Dấu “=” xảy ra
2 3 5 2 2x x x
⇔ − = − ⇔ =

( )
2
3 2 2 2x

− + ≥
dấu”=” xẩy ra
⇔
x = 2
Vậy pt có nghiệm duy nhất x = 2
Ví dụ 8 : Bài tập mức độ 2.
Giải phương trình:
22)3(231
2
−+−=++−
xxxx
10
Lời giải:
2
1 3 2( 3) 2 2x x x x− + + = − + −
(a)
Áp dụng BĐT Bunhiacôpxki cho 2 bộ số không âm (
1x −
; x – 3)
và (1 ; 1) ta có:
( )
( )
( ) ( )
( )
2
2
2 2
2
1 3 1 1 1 3
1 3 2( 1) 2( 3)

x x x x
x x x x
 
− + − ≤ + − + −
 
− + − ≤ − + −

(b)
(a)và (b) xảy ra khi chỉ khi:
1 3x x
− = −

⇔
x
2
– 6x + 9 = x – 1

⇔
x
2
– 7x + 10 = 0
⇔
x = 2
hoặc x = 5
x = 2 không thoả mãn; x = 5 thoả mãn
vậy
{ }
5S
=
Ví dụ 9 : Bài tập mức độ 3.

Giải phương trình:
4
2 4 4 3
2 1x x x x
− − = −
Lời giải:
4
2 4 4 3
2 1x x x x
− − = −

4
2 4 3
2 1 ( 1)x x x x
⇔ − − = −
Đ K : x
4

≤
2
Vì x = 0 không phải là nghiệm nên phương trình
4
4 2
2
1
2 x x x
x
⇔ − + = +
Ta có:
2

2
1
2x
x
+ ≥
dấu “=” xảy ra
2
2
1
x
x
⇔ =

2
1x
⇔ =
(c)
Mặt khác: Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki ta có:
( )
(
)
2
4
4 2 2 4 2
2 1 1 2x x x
 
− ≤ + − +
 ÷
 
⇔

⇔

(
)
(
)
( )
4 2
4 4 4 2 4 4
4
4
2
2 4 2 4.2 2 16
2 16 2
x x x x x x
x x
− + ≤ − + ≤ − + =
⇒ − + ≤ =

(d)
Dấu “=” xảy ra khi chỉ khi x = 1
Từ (c) và (d) suy ra phương trình có nghiệm duy nhất x = 1.
Ví dụ 10. Bài tập mức độ 3. Giải phương trình
3111
44
4
2
=−+++−
xxx

11
Giải: Đk : -1

x

1
Theo bât đẳng thc Cô-si ta có:
4
2
1 x

=
4
)1)(1( xx
+

2
1 x

+
2
1 x
+
(i)
=+
4
1 x
4
)1.(1 x
+

2
11 x
++
(ii)
4
1 x

=
4
)1.(1 x


2
11 x
+
(iii)
Từ (i),(ii),và(iii) ỏp dng bt ng thc Bunhiacụpxki ta có :
4
2
1 x

+
4
1 x
+
+
4
1 x

1+
x
+
1
+
x

1

3
Dấu = xẩy ra khi và chỉ khi :
x
+
1
=
x

1
= 1

x=o
Kiểm tra lại ta thấy x=0 là nghiệm của phơng trình.
3.4.Gii phỏp 4: Rốn luyn k nng vn dng bt ng thc
Bunhiacụpxki khi gii mt s bi toỏn hỡnh hc.
Vớ d 11: Bi tp mc 2.
Cho elip (E) :
1
916
22

=+
yx
cỏc im M, N chuyn ng ln lt trờn
cỏc tia Ox, Oy sao cho MN luụn tip xỳc vi (E). Xỏc nh ta M,
N on MN cú di nh nht. Tỡm giỏ tr nh nht ú.
Li gii :
Phng trỡnh tip tuyn ti im
)();(
000
EyxM

l
1
9
.
16
.
00
=+
yyxx
Suy ra ta ca M, N l
)0;
16
(
0
x
M
v
)
9

;0(
0
y
N

2
0
2
2
0
2
2
916
yx
MN +=
=
)
916
(
2
0
2
0
yx
+
.
)
916
(
2

0
2
2
0
2
yx
+
p dng bt ng thc Bunhiacụpxki (dng (1)) ta cú :
49)34(
22
=+MN
Khi ú MN t GTNN bng 7 vi
)0;72(M
v
)21;0(N
.
12
Ví dụ 12 : Bài tập mức độ 2.
a, b, c là độ dài 3 cạnh của một tam giác
Chứng minh rằng : A =
1
222222
≥
−+
+
−+
+
−+
cba
c

bac
b
acb
a
Lời giải : Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki cho 6 số không âm
acb
a
−+ 22
;
bac
b
−+ 22
;
cba
c
−+ 22
và
)22( acba
−+
;
)22( bacb
−+
;
)22( cbac
−+
ta có :
2222
)()444.( cbacbacabcabA ++≥−−−++
Bằng biến đổi tương đương dễ dàng chứng minh được :
1

444
)(
222
2
≥
−−−++
++
cbacabcab
cba

1
≥⇒
A
, dấu “=” xảy ra khi tam
giác ABC là tam giác đều.
Ví dụ 13: Bài tập mức độ 3.
Cho tam giác ABC.Chứng minh rằng:
Q=
SinB
A
Sin
C
Sin
SinA
C
Sin
B
Sin
SinC
B

Sin
A
Sin
+
+
+
+
+
2
2
2
2
2
2
222
≥
)31(3
)
222
(2
2
+
++
C
Sin
B
Sin
A
Sin
Lời giải: Ta có

Do
0
0
<A;B;C<180
0
Nên
0
2
;
2
;
2
>
C
Cos
B
Cos
A
Cos
áp dụng bài
toán 3 ta được:
13
Q=
22
2
2
2
22
2
2

2
22
2
2
2
222
B
Sin
B
Cos
A
Sin
C
Sin
A
Sin
A
Cos
C
Sin
B
Sin
C
Sin
C
Cos
B
Sin
A
Sin

+
+
+
+
+
≥

2
)
2
21(
2
)
2
21(
2
)
2
21(
)
222
(
2
C
Sin
C
Cos
B
Sin
B

Cos
A
Sin
A
Cos
C
Sin
B
Sin
A
Sin
+++++
++
Hay Q
≥
SinCSinBSinA
C
Sin
B
Sin
A
Sin
C
Sin
B
Sin
A
Sin
+++++
++

222
)
222
(
2
(6)
Mặt khác ta dễ dàng chứng minh được kết quả sau:
2
33
;
2
3
222
≤++≤++ SinCSinBSinA
C
Sin
B
Sin
A
Sin
Suy ra:
2
)31(3
222
+
≤+++++ SinCSinBSinA
C
Sin
B
Sin

A
Sin
(7)
Từ (6) và (7) ta có: Q
≥
)31(3
)
222
(2
2
+
++
C
Sin
B
Sin
A
Sin
(đpcm)
Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi tam giác ABC đều
3.5.Một số bài tập áp dụng.
Bài tập 1: Giải phương trình:
2
6 3
3 2
1
x
x x
x x
−

= + −
− −
Bài tập 2:
4−x
+
6
−
x
=x
2
- 10x + 27
Bài tập 3:
Giải hệ phương trình:
2
2 2
6 3 1
1
x xy x y
x y

− + = −


+ =



14
Bài tập 4 : Cho x>2;y>3 và x+y=
7

43
Tìm Min của P=
)3)(2(7
)2(493
−−
−+−
yx
xy
Bài tập 5: Cho a;b;c> và a+b+c=1
CMR:
1
111
≥
−+
+
−+
+
−+ ca
c
bc
b
ab
a

Bài tập 6: Cho a;b;c>0.
CMR :
+
+1
2
3

ab
ba
+
+1
2
3
bc
cb
1
2
3
+
ca
ac
1
)(
+
++
≥
abc
cbaabc

Bài tập 7: Cho a;b;c là độ dài ba cạnh của một tam giác.Gọi R;r
lần lượt là bán kính của đường tròn ngoại tiếp và nội tiếp tam giác đó.
CMR
cb
a
+
3
+

ac
b
+
3
+
2
3
.
.
24
1






≥
+ rR
abc
ba
c

Bài tập 8: Cho a;b;c>0.
CMR:
1
888
222
≥
+

+
+
+
+ abc
c
acb
b
bca
a

(Đề thi
ÔLympic )

4. Kết quả thực nghiệm của đề tài.
Năm học 2012 – 2013 tôi đã áp dụng các giải pháp nêu trong đề tài
vào thực tiễn dạy học, cụ thể tại lớp 10 A3 – Trường THPT Yên Định
2 trong nội dung: Chủ đề tự chọn ( Ôn tập bất đẳng thức). Đồng thời
cũng với nội dung như trên tôi đã dạy học đối chứng tại lớp 10 A7 –
Trường THPT Yên Định 2 ( lớp 10 A7 và lớp 10 A3 đều học theo
chương trình cơ bản, có lực học tương đương nhau) , lớp dạy học đối
chứng không sử dụng các giải pháp nêu trên đề tài.
15
Sau nội dung ôn tập tôi cho 2 lớp làm bài kiểm tra ( nội dung về
chủ đề “Bất đẳng thức”) kết quả được thống kế như sau:
Lớp Sĩ
số
Giỏi Khá Trung bình Yếu Kém
SL % SL % SL % SL % S
L
%

10
A3
48 15 31,2 25 52,
1
8 16,7 0 0 0 0
10
A7
45 6 13,3 10 22,
2
24 53,3 5 11,
2
0 0
Những kết quả trên đây cùng với những kết quả định tính khi thăm
dò, điều tra từ học sinh tôi mạnh dạn khẳng định những giải pháp mà
đề tài đưa ra là hoàn toàn khả thi và có thể áp dụng hiệu quả trong quá
trình dạy học nói chung, bồi dưỡng học sinh khá giỏi nói riêng.

III.KẾT LUẬN
Từ kinh nghiệm thực tiễn của bản thân trong quá trình dạy học, sự
giúp đỡ đồng nghiệp, thông qua việc nghiên cứu các tài liệu có liên
quan đề tài đã hoàn thành và đạt được những kết quả chính sau đây:
+ Đề tài đã nêu lên thực trạng của việc dạy và học chủ đề “Bất
đẳng thức” hiện nay.
+ Đề tài đã đề xuất một số giải pháp thiết thực trong việc rèn luyện
kĩ năng vận dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki cho học sinh khá, giỏi.
+ Đề tài đã nêu được các ví dụ minh chứng điển hình cho các giải
pháp.
+ Đã đưa ra một số bài tập áp dụng theo các mức độ khó, dễ khác
nhau phù hợp với nhiều đối tượng học sinh.
Mặc dù tôi đã nhiều cố gắng xong thiếu xót, hạn chế của đề tài là

không thể tránh khỏi tôi rất mong nhận được những góp ý của các
thầy cô giáo, các bạn đồng nghiệp. Những góp ý đó sẽ là cơ sở để tôi
hoàn thiện hơn đề tài nghiên cứu của này.
Tôi xin chân thành cảm ơn!
16
Xác nhận của thủ trưởng đơn vị Thanh Hóa, ngày
16/05/2013 ……………………………………… Tôi xin cam
đoan đây là SKKN của
……………………………………… mình viết, không sao
chép nội dung
……………………………………… của người khác.
……………………………………… Người thực
hiện
Trịnh Hữu
Thực
TÀI LIỆU THAM KHẢO
1. Nguyễn Bá Kim (2004), Phương pháp dạy học môn Toán,
Nxb Đại học sư phạm.
2. Phạm Kim Hùng (2008), Sáng tạo bất đẳng thức, Nxb Hà
Nội.
4. Pôlya. G (1976), Toán học và những suy luận có lý, Nxb
Giáo dục.
17
5. Đoàn Quỳnh, Nguyễn Huy Đoan, Nguyễn Xuân Liêm,
Nguyễn Khắc Minh, Đặng Hùng Thắng (2007), Đại số 10 nâng cao,
Nxb Giáo dục.
6. Đoàn Quỳnh, Văn Như Cương, Phạm Khắc Ban, Tạ Mân
(2007), Hình học 10 nâng cao, Nxb Giáo dục.
7. Trần Văn Hạo, Chuyên đề luyện thi đại học - Bất đẳng thức,
Nxb Giáo dục.

8. Trần Phương, Võ Quốc Bá Cẩn, Trần Quốc Anh, Vẻ đẹp bất
đẳng thức, Nxb Đại học quốc gia Hà Nội
18
MỤC LỤC Trang
I. PHẦN MỞ ĐẦU: Lí do chọn đề tài 01
II. GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ 01
1. Cơ sở lí luận của đề tài. 01
2. Thực trạng của đề tài 03
3. Giải pháp và tổ chức thực hiện 03
3.1. Giải pháp 1: Rèn luyện kĩ năng vận dụng bất đẳng
thức Bunhiacôpxki trong chứng mình bất đẳng thức.
03
3.1. Giải pháp 2: Rèn luyện kĩ năng vận dụng bất đẳng
thức Bunhiacôpxki khi giải toán tìm min, mác; tìm
GTNN, GTLN.
07
3.1. Giải pháp 3: Rèn luyện kĩ năng vận dụng bất đẳng
thức Bunhiacôpxki để giải phương trình….
09
3.4. Giải pháp 4: Rèn luyện kĩ năng vận dụng bất đẳng
thức Bunhiacôpxki khi giải một số bài tập hình học.
11
3.5. Một số bài tập áp dụng 13
4. Kết quả thực nghiệm của đề tài 14
III. KẾT LUẬN VÀ ĐỀ XUẤT 15
Tài liệu tham khảo 16
19
20
21