LTĐH Chuyên đề: Phương Trình Lượng Giác

TTLT ĐẠI HỌC DIỆU HIỀN – 43D Đường 3/2 – TP Cần Thơ – ĐT: 0983. 336682
Trang 1

CHUYÊN ĐỀ 5: PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC
I. KIẾN THỨC CƠ BẢN
1/ Công thức lượng giác:
a/ Công thức cơ bản:
2 2
2 2
2 2
sin cos
sin cos 1, tan , cot
cos sin
1 1
1 tan , 1 cot
cos sin
a a
a a a a
a a
a a
a a
   
   

b/ Công thức nhân đôi:
2 2 2 2
2
sin 2 2sin cos
cos2 cos sin 2cos 1 1 2sin
2 tan
tan 2

1 tan
a a a
a a a a a
a
a
a

     



c/ Công thức nhân ba:
3
sin 3 3sin 4sin
a a a
 
3
cos3 4cos 3cos
a a a
 
d/ Công thức hạ bậc:
   
   
2 2
3 3
1 1 1
cos 1 cos2 ; sin 1 cos2 ; s
in .cos sin 2
2 2 2
1 1

cos 3cos cos3 , sin 3sin sin 3
4 4
a a a a a a a
a a a a a a
    
   

e/ Công thức tổng thành tích:
cos cos 2cos cos
2 2
cos cos 2sin sin
2 2
sin sin 2sin cos
2 2
sin sin 2cos sin
2 2
a b a b
a b
a b a b
a b
a b a b
a b
a b a b
a b
 
 
 
  
 
 

 
 

f/ Công thức tích thành tổng:
1
cos .cos [cos( ) cos( )]
2
1
sin .sin [cos( ) cos( )]
2
1
sin .cos [sin( ) sin( )]
2
1
cos .sin [sin( ) sin( )]
2
a b a b a b
a b a b a b
a b a b a b
a b a b a b
   
    
   
   

TTLT ĐẠI HỌC DIỆU HIỀN – 43D Đường 3/2 – TP Cần Thơ – ĐT: 0983. 336682
Trang 2

g/ Đặt
tan

2
a
t  thì
2
2 2
2 1
sin , cos
1 1
t t
a a
t t

 
 

Một số hằng đẳng thức lượng giác phải thuộc:
sin cos 2 sin
4
a a a

 
  
 
 
sin cos 2 cos
4
a a a

 
 

 
 

 
2
1 sin 2 sin cos ,
a a a  
 
2
1 sin 2 sin cos
a a a
  




3 3
sin cos sin cos 1 sin cos
a a a a a a
    ,




3 3
sin cos sin cos 1 sin cos
a a a a a a
   
4 4
cos sin cos2

a a a
 
4 4 2 2 2
1
sin cos 1 2sin cos 1 sin 2
2
a a a a a
    
6 6 2 2 2
3
sin cos 1 3sin cos 1 sin 2
4
a a a a a
     .
2/ Cung liên kết
a/ Cung đối nhau: cos đối b/ Cung bù nhau: sin bù c/ Cung khác 2



cos( ) cos
sin( ) sin
tan( ) tan
cot( ) cot
a a
a a
a a
a a
 
  
  

  

sin( ) sin
cos( ) cos
tan( ) tan
cot( ) cot
a a
a a
a a
a a




 
  
  
  

sin( 2 ) sin
cos( 2 ) cos
tan( 2 ) tan
cot( 2 ) cot
a a
a a
a a
a a





 
 
 
 

d/ Cung khác

: hơn kém pi tan e/ Cung phụ nhau: phụ chéo
sin( ) sin
cos( ) cos
tan( ) tan
cot( ) cot
a a
a a
a a
a a




  
  
 
 

sin cos ; cos sin
2 2
tan cot ; cot tan
2 2

a a a a
a a a a
 
 
   
   
   
   
   
   
   
   

3/ Phương trình lượng giác mẫu mực
a/ Phương trình cơ bản
2
sin sin
2
u v k
u v
u v k

 
 

 

  


cos cos 2
u v u v k

    

tan tan
u v u v k

   

cot cot
u v u v k

   

b/ Phương trình bậc nhất đối với sinx và cosx
- Dạng:
sin cos
a x b x c
 
.
- Điều kiện để phương trình có nghiệm:
2 2 2
a b c
 
.
- Cách giải: Chia cả hai vế của phương trình cho
2 2
a b


rồi đặt:
2 2
cos
a
a b



;
2 2
sin
b
a b



. Đưa phương trình về dạng:
cos sin sin cos sin sin( ) sin
x x x
    
    
.
c/ Phương trình đẳng cấp bậc 2 đối với sinx và cosx
TTLT ĐẠI HỌC DIỆU HIỀN – 43D Đường 3/2 – TP Cần Thơ – ĐT: 0983. 336682
Trang 3

- Dạng:
2 2
sin sin cos cos
a x b x x c x d

  
.
- Nếu
cos 0
x

. Thế vào phương trình thử nghiệm.
- Nếu
cos 0
x

. Chia 2 vế phương trình cho
2
cos
x
rồi giải phương trình bậc 2 đối với
tan
x
.
d/ Phương trình đẳng cấp bậc 3 đối với sinx và cosx
- Dạng:
3 2 2 3
sin sin cos sin cos cos sin cos 0
a x b x x c x x d x m x n x
     

- Nếu
cos 0
x


. Thế vào phương trình thử nghiệm.
- Nếu
cos 0
x

. Chia 2 vế phương trình cho
3
cos
x
rồi giải phương trình bậc 3 đối với
tan
x
.
e/ Phương trình đối xứng hoặc gần đối xứng đối với sinx và cosx.
- Dạng:
(sin cos ) sin cos 0.
a x x b x x c
   
.
- Cách giải: Đặt sin cos 2 sin
4
t x x x

 
   
 
 
, ĐK:
| | 2
t  .

2
1 2sin cos 1 sin 2
t x x x
     . Thay vào phương trình rồi giải ra t.
4/ Phương trình lượng giác không mẫu mực:
Sử dụng công thức lượng giác biến đổi đưa về các dạng mẫu mực, phương trình tích hay đặt ẩn
phụ. Kinh nghiệm là:
- Biến đổi không được thì đổi biến (đặt ẩn phụ).
- Bậc cao thì tìm cách hạ bậc.
- Tích thì đưa về tổng.
- Tổng thì đưa về tích.
- Gặp ngoặc trong hàm thì phá ngoặc.
- Dùng máy tính đoán nhân tử chung.
II. BÀI TẬP
1/




2
2sin 1 2sin 3 1 3 4cos
x x x
   
2/




1 tan 1 sin 2 1 tan
x x x

   
3/
3
tan 2 sin 2 cot
2
x x x
 
4/
tan 2cot 2 sin 2
x x x
 

5/
4 6
cos – cos 2 2sin 0
x x x
 

6/
2 2 2 2
cos cos 2 cos 3 cos 4 2
x x x x
   

7/
3 2
4sin 4sin 3sin 2 6cos 0
x x x x
   

8/
1
1 tan 2sin
cos
x x
x
  
9/
2 2 2
(2sin 1) tan 2 3(2cos 1) 0
x x x
   

33/




2cos 1 2sin cos sin 2 sin
x x x x x
   
34/
2
cot tan 4sin
sin 2
x x x
x
  
35/
3

2 2 cos ( / 4) 3cos sin 0
x x x

   

36/
4 4
cos sin 1 1
cot 2
5sin 2 2 8sin 2
x x
x
x x

 
37/
2 2 2
4sin ( ) tan cos 0
2 4 2
x x
x

  

38/


2
cos2 cos 2 tan 1 2
x x x

  

39/
3 sin
tan 2
2 1 cos
x
x
x

 
  
 

 

TTLT ĐẠI HỌC DIỆU HIỀN – 43D Đường 3/2 – TP Cần Thơ – ĐT: 0983. 336682
Trang 4

10/
sin(3 ) sin 2 .sin( )
4 4
x x x
 
  
11/
2 2
cos 2 2(sin cos ) 3sin 2 3 0
x x x x
    

12/
sin 2 2cos 2 1 sin 4cos
x x x x
   

13/
3 3
2sin sin
10 2 10 2
x x
 
   
  
   
   

14/
2
cos3 sin 3 4cos 2 5 4sin 2
x x x x
   
15/
2 3 2 3
tan tan tan cot cot cot 0
x x x x x x
     

16/



2 2
2cos2 sin cos sin cos 2 sin cos
x x x x x x x
   
17/
3 3
4sin cos3 4 cos sin3 3 3 cos4 6cos6
x x x x x x
  
18/
3 3 3
sin sin 3 cos cos3 cos 4
x x x x x
 
19/
   
3
sin cos 2 sin 2 1 sin cos 2 0
x x x x x
      

20/
3 3
3
1 sin 2 cos 2 sin 4
2
x x x
  
21/

5 3
sin cos 2 cos
2 4 2 4 2
x x x
 
     
   
     
     

22/
1 1
sin 2 sin 2cot 2
2sin sin 2
x x x
x x
   
23/
2
3 4 2sin 2
2 3 2(cot 1)
cos sin 2
x
x
x x

   

24/
2

cos 1
2(1 sin )(tan 1)
sin cos
x
x x
x x

  


25/
2
cos2 1
cot 1 sin sin 2
1 tan 2
x
x x x
x
   


26/
3 3
4sin sin ( ) 3sin 0
3
x x x

   

27/





2 cos / 4 1 sin 2 cos (1 tan )
x x x x

   
28/
1 1 7
4sin( )
3
sin 4
sin( )
2
x
x
x


  


29/


2sin 1 cos 2 sin 2 1 cos2
x x x x
   
30/

3 3 2 2
sin 3 cos =sin cos 3sin cos
x x x x x x
 
31/
2
2sin 2 sin 7 – 1 sin
x x x
 
32/




cot sin 1 tan .tan / 2 4
x x x x
  

40/
2
2
cos2 1
tan( ) 3tan
2 cos
x
x x
x


  

41/
9 11
sin(2 ) cos( ) 1 sin 2
2 4
x x x
 
    
42/
2
2
cos2 1 3 7
tan( ) 3cot ( )
cos 2 2
x
x x
x
 

   

43/
3
3 3
sin 2sin
4 2 4 2
x x
 
   
  
   

   

44/
3 1
8sin
cos sin
x
x x
 
45/
2 2
1 sin 2 cos sin 2 2cos
4
x x x x

 
   
 
 

46/
4cos – 2cos 2 – cos4 1
x x x


47/





2
sin tan 1 3sin cos sin 3
x x x x x
   

48/ cos os3 1 2 sin 2
4
x c x x

 
   
 
 

49/
2sin 2 4cos 1 0
6
x x

 
   
 
 

50/


 
2
cos . cos 1

2 1 sin .
sin cos
x x
x
x x

 


51/
5cos3 3cos5 0
6 10
x x
 
   
   
   
   

52/
2cos6 2cos 4 - 3 cos2 sin 2 3
x x x x  
53/
1 2(cos sin )
tan cot 2 cot 1
x x
x x x


 

54/
2
2cos (2 ) cot tan 2
4
x x x

   

55/
2 2
4
4
(2 sin 2 )(2cos cos )
cot 1
2sin
x x x
x
x
 
 
56/


2
5sin 2 3 1 sin tan
x x x
  
57/
5

2 2 os sin 1
12
c x x

 
 
 
 

58/
2 2
2 3 sin
sin sin
3 3 2
x
x x
 

   
   
   
   


TTLT ĐẠI HỌC DIỆU HIỀN – 43D Đường 3/2 – TP Cần Thơ – ĐT: 0983. 336682
Trang 5

59/





cos2 1 2cos sin cos 0
x x x x
   

60/
2
17
sin(2 ) 16 5 3.sin cos 20sin ( )
2 2 12
x
x x x
 
    
61/
1 sin cos sin 2 cos2 0
x x x x
    

62/
4 4
3
cos sin cos( )sin(3 ) 0
4 4 2
x x x x
 
     

63/

2 2
3
4sin 3cos 2 1 2cos ( )
2 4
x
x x

   
64/
2 2
cos 3xcos2x – cos x 0


65/




2
2cos cos – 2 3 – 2cos sin 0
x x x x
  

66/
sin 3 3sin 2 cos2 3sin 3cos 2 0
x x x x x
     

67/
6 cos 2 sin 1 3 sin 2 cos 2

x x x x
   
68/
2
2cos3 .cos 3(1 sin 2 ) 2 3 cos (2 )
4
x x x x

   
69/
sin3 cos3 sin cos 2 cos2
x x x x x
   
70/
3sin 2 cos2 2cos 1
x x x
  

71/
sin 2 2cos sin 1
0
tan 3
x x x
x
  



72/
3 3

sin sin cos cos 1
x x x x
  

73/
3 3
sin cos sin 2 sin cos
x x x x x
   
74/
5(sin cos ) sin 3 cos3 2 2(2 sin 2 )
x x x x x
    
75/
2 2
2(tan cot ) 5(tan cot ) 6 0
x x x x
    

76/
2
2
1
cot 4(tan cot ) 0
cos
x x x
x
   

77/

cos4 cos 2 3(sin 4 sin 2 )
x x x x
  
78/
cos2 5 2(2 cos )(sin cos )
x x x x
   

79/
3cos cos 2 cos3 2sin sin 2
x x x x x
  

80/
1 2cos 2 tan 0
x x
  



81/
1 sin
tan . 2.cos
4 2 sin
x x
x
x


 

 
 
 

82/




3 3
1 sin cos 1 cos sin 1 sin 2
x x x x x
    
83/
2 2
1
cos sin 2sin
3 6 2
x x x
 
   
    
   
   

84/
2 sin 2 2 3cos sin
4
x x x


 
   
 
 

85/
1 1
sin 2 cos 2cot 2 0
2cos sin 2
x x x
x x
    

86/


2cos 1 cos 2 sin 2 1 2sin
x x x x
   
87/
2
2cos 3 sin 2 1 3(sin 3 cos )
x x x x
   
88/


2
sin (2 cos ) (1 cos ) 1 cos
x x x x

   
89/


2 cos 3sin cos cos 3sin 1
x x x x x
   

90/
2
1 sin 2 cos 2
2 sin sin 2
1 cot
x x
x x
x
 



91/
sin 2 cos sin cos cos2 sin cos
x x x x x x x
   

92/
2sin sin 3 (3 2 1)cos2 3 0
x x x
   

93/
2
sin 2 2cos tan 3
x x x
  

94/
3
6sin 2cos 5sin 2 cos
x x x x
 
95/
3
4cos sin cos 0
x x x
  

96/
3 sin 2 cos5 cos9
x x x
 
97/
sin sin 2 sin 3 cos cos 2 cos3
x x x x x x
    

98/
1 sin cos 2 sin cos 2
x x x x
  

99/
2
(sin 3 cos ) 5 cos( )
6
x x x

   

100/
tan tan 2 tan 3 tan .tan 2 .tan 3
x x x x x x
  